ZAHLEN UND GELDBETRÄGE BILDEN UND ORDNEN 3

Transkript

1 ZAHLEN UND GELDBETRÄGE BILDEN UND ORDNEN 3 Thema: Dekadische Struktur im Zahlraum bis 1000; Kombinatorik Klasse: 3. Klasse (nach Zahlenbuch S. 24 und 28) Material: Stellentafel und Legeplättchen; Spielgeld: 100er-Noten, 10er-Noten, 1 Fr. (1 Euro-) Münzen Zeitbedarf: 2 mal 2 Lektionen Bearbeitung: S. Tschopp, E. Atz Wolfensberger, E. Hengartner Aufgabe Zahlen an der Stellentafel bilden a) Nimm immer drei Plättchen. Welche Zahlen kannst du darstellen? Ordne sie nach der Größe. Wie viele verschiedene Zahlen sind es? H Z E b) Versuche jetzt dasselbe mit immer zwei Plättchen, mit einem Plättchen, mit fünf, sechs,... acht Plättchen. Wie viele Zahlen kannst du jeweils bilden? c) Dividiere die gefundenen Zahlen durch 9: Was fällt auf? d) Was geschieht, wenn du noch den Stellenwert für Tausender dazu nimmst? Geldbeträge bilden a) Nimm immer drei Geldstücke. Welche Geldbeträge kannst du bilden? Ordne sie nach der Grösse. Wie viele verschiedene Beträge sind es? b) Versuche jetzt dasselbe mit immer zwei Stücken, mit einem Stück, mit fünf, sechs, acht Stücken. Wie viele Beträge kannst du jeweils legen? c) Teile die Geldbeträge unter neun Kinder: Was fällt dir auf? d. Was geschieht, wenn du noch Tausendernoten dazu nimmst? (nur SFr,)

2 Worum geht es? Zahlen an der Stellentafel bilden und Geldbeträge bilden sind zwei Lernumgebungen mit gleicher Zielsetzung und Struktur. Zunächst stehen Lernziele der Zahlraumerweiterung im Zentrum: Im Tausenderraum werden Zahlen mit Legeplättchen dargestellt und Geldbeträge gebildet und geordnet. Ziel ist der Aufbau von Größenvorstellungen von Zahlen. Die Zahlen sind an der Stellentafel durch Plättchen abstrakter repräsentiert als mit den dekadisch gewählten Geldwerten wo jeder Stellenwert durch die Münzen, die Zehnernoten und die Hunderternoten unterschieden wird. Für das intendierte Lernziel den Aufbau von Grössenvorstellungen mag dies von Vorteil sein und langsameren Kindern entgegenkommen. Für Einsichten in Strukturen und die Gestaltung von Gedankenprotokollen scheint aber die Darstellung mit Plättchen an der Stellentafel einfacher, wie in den Schülerdokumenten deutlich wird. Eine Übersicht über die mit unterschiedlicher Anzahl Plättchen bzw. Geldstücken gelegten und geordneten Zahlen bzw. Geldbeträge soll die Struktur verdeutlichen: mit 1 mit 2 mit 3 mit 4 mit n = = = =15 Die Anzahl möglicher Zahlen oder Geldbeträge wächst gemäss der fortgesetzten Addition der natürlichen Zahlen. Es entsteht die Folge der Dreieckszahlen. Am Beispiel mit 4 wird in der Übersicht durch Hervorheben der Hunderter die Bildungsregel sichtbar: Mit 4 Hundertern gibt es eine Möglichkeit, mit 3 Hundertern zwei, mit 2 Hundertern dann drei, mit 1 Hunderter vier und mit 0 Hunderter 5 verschiedene Zahlen oder Geldbeträge, das macht = 15.

3 Zu Aufgabe d) Nimmt man die Tausender als Stellenwert oder als Note hinzu, so wächst die Anzahl möglicher Zahlen bzw. Beträge gemäss der fortgesetzten Addtion der Dreieckszahlen: mit 1 mit 2 mit 3 mit 4 1+3= = = =35 usw. Zu Aufgabe c) Bei alle Zahlen bzw. Geldbeträgen, die mit gleicher Stückzahl gebildet sind, entsteht bei der Division durch 9 der gleiche Rest. Bei den zehn Zahlen / Beträgen zum Beispiel, die mit 3 Stücken gebildet bzw. mit drei Plättchen gelegt wurden, ist der Rest stets drei. Erklärung: Ich lege mit den drei Plättchen zunächst die Zahl drei. Verschiebe ich nun ein Plättchen nach zehn, gebe ich 9 dazu. Mache ich aus einem Einer einen Hunderter, gebe ich 99 dazu. Und aus einem Zehner einen Hunderter machen heisst 90 dazu. So entstehen beim Verschieben der Plättchen stets Neunerdifferenzen.. Die der Aufgabe c) und d) zugrunde liegende Struktur öffnet ein mögliches Entdeckungsfeld für Schnellere. Sie ist kein Lernstoff, sondern eine zusätzliche Herausforderung für einige Kinder. Wie kann man vorgehen? (Unterrichtsprotokoll von Salome Tschopp) Geldbeträge bilden (1 bis 2 Lektionen): Die Lernumgebung mit den Geldbeträgen wählte ich zuerst, weil die Kinder konkret mit Spielgeld Beträge bilden können. Ich habe sie im Kreis eingeführt: Je drei Einfränkler, drei Zehnernoten und drei Hunderternoten lagen in der Mitte. Abwechselnd nahm ein Kind jeweils drei Geldstücke, berechnete den Betrag und notierte ihn an der Wandtafel. Wir besprachen, wie man die Arbeit darstellen und die nach Grösse geordneten Beträge notieren kann. Dann arbeiteten die Kinder allein oder zu zweit. Sie hatten Spielgeld auf den Schülerpulten zur Verfügung. Die meisten arbeiteten aber ohne das Spielgeld, also abstrakt und zudem recht systematisch. Zahlen an Stellentafel bilden (etwa eine Woche später; 1 bis 2 Lektionen) An der Wandtafel habe ich eine dreistellige Zahl mit Magnetplättchen dargestellt. Ein Kind notierte die Zahl daneben. Wir bildeten weitere Zahlen mit gleich vielen Plättchen und notierten sie. Anschliessend sollten die Kinder in Partnerarbeit möglichst viele Zahlen mit drei Plättchen finden und notieren. Eine Stellentafel und Plättchen standen ihnen zur Verfügung. Wir sammelten und ordneten die gefundenen Zahlen und wir besprachen die Darstellung. Die meisten Kinder erkannten in der weiteren Arbeit den Zusammenhang beider Lernumgebungen. Sie fühlten sich gefordert durch das Addieren, Ordnen, Kombinieren und Darstellen im Tausenderraum. Die Arbeit machte ihnen Spass.

4 Dokumente aus der Erprobung Julia hat zunächst Zahlen an der Stellentafel mit drei Plättchen gebildet: Von den zehn möglichen Zahlen hat sie sieben gefunden und korrekt der Grösse nach geordnet. Von den 21 möglichen Lösungen mit fünf Plättchen hat sie acht gefunden und von der kleinsten zur grössten Zahl richtig geordnet. Als letztes Beispiel wählt sie die drei Zahlen mit einem Plättchen. Auf der Ebene des Lernziels ist sie erfolgreich. Janick bildet zuerst Zahlen an der Stellentafel mit drei Plättchen und ordnet sie nach der Grösse. Er hat alle zehn Zahlen gefunden. Interessant ist ein Vergleich mir derselben Aufgabe mit Geldbeträgen: Es scheint für ihn schwieriger zu sein, Übersicht zu bewahren.

5 An der Stellentafel hingegen versucht Janick es sogar mit 8 Plättchen. Er findet zwar nur 34 von 45 Lösungen; aber seine Suchstrategie ist bemerkenswert: Er beginnt mit acht Plättchen als Hunderter und verschiebt dann Plättchen für Plättchen zunächst an die Zehnerstelle, dann ebenso systematisch an die Einerstelle, bis alle acht Plättchen dort liegen und die Zahl 8 darstellen. Dann verschiebt er wiederum systematisch die Plättchen von der Einer- zur Zehnerstelle und gewinnt so weitere acht Zahlen. Das Lernziel Ordnen von Zahlen nach Grösse tritt in den Hintergrund zugunsten eines systematischen Bildens und Darstellens von Zahlen. Cordula stellte zunächst wie Janick Zahlen mit drei, dann mit vier Plättchen an der Stellentafel dar und ordnete sie korrekt (ist hier nicht abgebildet). Die Zahlen mit 5 und mit 8 Plättchen schreibt sie sodann geordnet von der grössten zur kleinsten Zahl auf, ohne auf das Arbeitsmittel der Stellentafel zurückzugreifen. Sie hat die kombinatorische Regel der Zahlenbildung völlig begriffen. Cordula, Nife und Anna haben die Zusatzaufgabe c. gelöst: Dividiere die gefundenen Zahlen durch 9. Was fällt auf? (Die geforderten Divisionen gehören ins 4. Schuljahr!). Alle drei haben zutreffend beschrieben, dass mit gleicher Anzahl Plättchen bzw. Geldstücken derselbe Rest entsteht. Die Bemerkung weil 5 Geldstücke (bzw. Plättchen) sind ist vermutlich auch als Teil der Beschreibung und nicht als Erklärung zu verstehen.