Ausdrucksstärke von monadischem Datalog auf Bäumen

Transkript

1 Ausdrucksstärke von monadischem Datalog auf Bäumen RWTH Aachen Seminar über Automaten für XML (WS 2005/06) 06. Dezember 2005 Druckversion

2 Worum es geht... Aufgabe: Selektieren von Knoten in Bäumen Anfragesprache: Monadisches Datalog

3 Gliederung 1 Einleitung 2 Monadisches Datalog auf Bäumen 3 Ausdrucksstärke 4 Zusammenfassung

4 Literatur Georg Gottlob and Christoph Koch. Monadic datalog and the expressive power of languages for web information extraction. JACM: Journal of the ACM, 51, Frank Neven and Thomas Schwentick. Query automata over finite trees. TCS: Theoretical Computer Science, 275, 2002.

5 Motivation Anfragemechanismen mit der Ausdrucksstärke von MSO-Anfragen: Anfrageautomaten [Neven, Schwentick] Boolesche Attributgrammatiken [Neven, van den Bussche] Nachteile: Keine Programmiersprachen für Anfragen Modellierung des gesamten Dokuments (Baums) notwendig Monadisches Datalog als Anfragesprache Arbeitet auf Relationen Effiziente Anfrageberechnung Core XPath kann effizient auf monadisches Datalog abgebildet werden

6 Bäume Annahme: Ein Baum t ist gegeben als relationale Struktur: t beschränkt (Baum t rk über der Signatur τ rk ): t rk = dom, root, leaf, (child k ) k K, (label a ) a Σ t unbeschränkt (Baum t ur über der Signatur τ ur ): t rk = dom, root, leaf, firstchild, nextsibling, lastsibling, (label a ) a Σ Folie 1

7 Monadisches Datalog - Syntax (1) Datalog-Ausdrücke Monadisches Datalog arbeitet auf Prädikaten (Relationen) Atomare Bausteine sind Datalog-Ausdrücke n-stelliger Datalog-Ausdruck: p(a 1,..., a n ) p: Prädikat a i : Variablen und Konstanten über dom (d. h. Wertebereich ist die Menge aller Baumknoten) Datalog-Fakt: variablenfreier Datalog-Ausdruck Unterscheide zwei Arten von Prädikaten (extensionale und intensionale Prädikate) Extensionale Prädikate: Prädikate über der Signatur τ rk bzw. τ ur bereits interpretiert durch gegebenen Baum t

8 Monadisches Datalog - Syntax (2) Monadische Datalog-Programme Monadisches Datalog-Programm P: Menge von Datalog-Regeln der Form h(x) b 1,..., b n. 1 h ist kein extensionales Prädikat 2 b i ist entweder ein extensionales Prädikat oder es gibt eine Regel der Form b i... P. 3 Für jede Regel mit Kopf h(x) tritt die Variable x auch im Rumpf in einem b i auf Regel mit Kopf h(x) definiert ein zusätzliches einstelliges Prädikat (intensionales Prädikat) Einstellige Prädikate entsprechen Markierungen von Baumknoten

9 Monadisches Datalog - Syntax (3) Anfragen Auszeichung eines intensionalen Prädikats q als Anfrageprädikat: Interpretation von q(x) ist die durch P bestimmte Auswahl von Baumknoten Beispiel Selektiere in einem binären Baum alle Knoten, die... mindestens einen mit a beschrifteten Knoten in ihrem linken Teilbaum haben und mindestens einen mit b beschrifteten Knoten in ihrem rechten Teilbaum haben. Folie 2

10 Fixpunktsemantik (1) Gegeben: monadisches Datalog-Programm P mit intensionalen Prädikaten p 1,..., p n T i p j : Menge der Baumknoten, die nach der i-ten Ausführung von P mit p j markiert sind T 0 p 1,..., T 0 p n := T i P := {p j(v) p j intensionales Präd., v T i p j } {p(a 1,..., a n ) t rk/ur } T i+1 p j := trans i p j (T i P )

11 Fixpunktsemantik (2) Auswertung: Funktion φ: Belegung der Variablen erweitert ϕ(a) = a für alle Konstanten a Auf Datalog-Ausdrücken: φ(p(a 1,..., a m )) := p(φ(a 1 ),..., φ(a m )). Transformationen: trans i p j : 2 Prim 2 dom trans i p j (X) = Tp i j {φ(x) dom t es gibt eine Regel p j (x) b 1,..., b n. P, so dass φ(b 1 ),..., φ(b n ) X} Folgen T 0 p j, T 1 p j, T 2 p j,... Fixpunkte T n p j = T n+1 p j Folge T 0 P, T 1 P, T 2 P,... Fixpunkt T n P = T n+1 P Es existiert stets kleinster Fixpunkt T ω P =: T ω p j =: T ω P

12 Zusammenfassung: Monadisches Datalog Monadisches Datalog: Praktische Anfragesprache über Bäumen Fixpunkt T ω P existiert und lässt sich effizient berechnen Auswertung möglich in O( P dom ) Ausdrucksstärke von MSO-definierbaren Anfragen Satz (Monadisches Datalog MSO) Eine einstellige Anfrage über Bäumen ist MSO-definierbar gdw. ein monadisches Datalog-Programm über τ rk bzw. τ ur existiert, das die selbe Anfrage definiert.

13 Monadisches Datalog MSO Satz (Monadisches Datalog Π 1 -MSO) Jede monadische Datalog Anfrage über Bäumen ist Π 1 -MSO-definierbar. Beweis. Gegeben: monadisches Datalog-Programm P, intensionale Präd. P 1,..., P n, Anfrageprädikat P 1. Konstruiere Π 1 -MSO-Formel ϕ(x) := P 1... P n ( SAT(P 1,..., P n ) x P 1 ) SAT(P 1,..., P n ): Konjunktion aller Formeln, die Regeln aus P entsprechen. h b 1,..., b m. wird zu z 1... z k (b 1... b m h) mit FO-Variablen z 1,..., z k.

14 MSO Monadisches Datalog Satz Wir wissen bereits: Eine einstellige Anfrage über Bäumen ist MSO-definierbar genau dann, wenn ein QA r bzw. SQA u existiert, der diese Anfrage berechnet. Konstruiere zu einem Anfrageautomaten ein monadisches Datalog-Programm, das die gleiche Anfrage berechnet Hier: Nur Beweis für beschränkte Bäume

15 Anfrageautomaten Monadisches Datalog Beschränkte Anfrageautomaten Erinnerung: Ein beschränkter Anfrageautomat (QA r ) (engl. ranked query automaton) ist ein Tupel A = Q, Σ, F, s, δ, δ, δ root, δ leaf, λ Anfrageautomaten arbeiten deterministisch Satz (QA r Monadisches Datalog) Zu jedem QA r A existiert ein monadisches Datalog-Programm P, das eine zu A äquivalente Anfrage definiert.

16 Idee Modellierung von Konfigurationen zu aufwändig Lauf deterministisch: Codierung der Zustandszuweisungen im Lauf von A Zustandszuweisung: Paar (q, v) (im Lauf von A besuchter Knoten v bekommt Zustand q zugewiesen) Menge dieser Zustandszuweisungen ( History ): H = {(q, v) v C i und c i (v) = q für ein i}, Charakterisierung eines deterministischen Laufs in A Wenn Zustandszuweisung (q, v) im Lauf auftritt, soll Prädikat q(v) beweisbar sein

17 Simulation Übersicht 1 Anfangszustand 2 Aufwärtstransition 3 Abwärtstransition 4 Wurzeltransition 5 Blatttransition 6 Akzeptanzbedingung 7 Auswahlfunktion

18 1. Anfangszustand Wenn s der Anfangszustand von A ist, enthält P die Regel s(x) root(x).

19 2. Aufwärtstransition Wenn δ ( q 1, a 1,..., q n, a n ) = q, enthält P die Regel q (x) child 1 (x, x 1 ),..., child n (x, x n ), q 1 (x 1 ),..., q n (x n ), label a1 (x 1 ),..., label an (x n ).

20 3. Abwärtstransition Wenn δ (q, a, n) = q 1... q n, enthält P die Regeln q i (x i ) q(x), child i (x, x i ), label a (x).

21 4. Wurzeltransition Wenn δ root (q, a) = q, enthält P die Regel q (x) q(x), label a (x), root(x).

22 5. Blatttransition Wenn δ leaf (q, a) = q, enthält P die Regel q (x) q(x), label a (x), leaf(x). Folie 3

23 Akzeptanz und Anfragemarkierungen Bisher: Zu tun: Simulation von Transitionen Markierungen für auftretende Zustandszuweisungen Anfragemarkierungen query(x) entsprechend Auswahlfunktion λ : Q Σ {, }. Dazu notwendig: Prädikat accept für die Akzeptanz des Automaten

24 6. Akzeptanzbedingung Wenn q f F, enthält P die Regel accept(x) root(x), q f (x).

25 7. Auswahlfunktion Wenn λ(q, a) =, enthält P die Regel query(x) q(x), label a (x), accept(y).

26 Beispiel (1) Beispiel Betrachte QA r mit Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q f, q + }, F = {q f } und folgenden Transitionen: 1 δ (q 0,, 2) = q 1, q 1 2 δ ( q 1,, q 1, ) = q 2 3 δ (q 2,, 2) = q 3, q 3 4 δ ( q 3,, q 3, ) = q f 5 für alle anderen (q, ) Q Σ : δ ( q,, q, ) = q + { falls q = q f Auswahlfunktion: λ(q, ) = sonst Folie 4

27 Beispiel (2) Beispiel q 0 (x) root(x). q 1 (x 1 ) q 0 (x), child 1 (x, x 1 ), label a (x). q 1 (x 2 ) q 0 (x), child 2 (x, x 2 ), label a (x). q 2 (x) child 1 (x, x 1 ), child 2 (x, x 2 ), q 1 (x 1 ), q 1 (x 2 ), label a (x 1 ), label a (x 2 ). q 3 (x 1 ) q 2 (x), child 1 (x, x 1 ), label a (x). q 3 (x 2 ) q 2 (x), child 2 (x, x 2 ), label a (x). q 0 (v 0 ) TP ω q 1 (v 1 ) TP ω q 1 (v 2 ) TP ω q 2 (v 0 ) TP ω q 3 (v 1 ) TP ω q 3 (v 2 ) TP ω

28 Beispiel (3) Beispiel q f (x) child 1 (x, x 1 ), child 2 (x, x 2 ), q 3 (x 1 ), q 3 (x 2 ), label a (x 1 ), label a (x 2 ). accept(x) root(x), q f (x). query(x) q f (x), label a (x), accept(y). q + (x) child 1 (x, x 1 ), child 2 (x, x 2 ), q 1 (x 1 ), q 3 (x 2 ), label a (x 1 ), label a (x 2 ). q f (v 0 ) TP ω accept(v 0 ) TP ω query(v 0 ) TP ω q + (v 0 ) TP ω

29 Problem des naiven Ansatzes Problem: Aufwärtstransitionen hängen von mehreren Knoten und deren Zuständen ab Sicherstellen, dass Zustandszuweisungen der Kinder auch wirklich in in der gleichen Konfiguration auftreten Trick: Speichere zusätzlich die letzte Zustandszuweisung des Elternknotens

30 Erweiterte Zustandszuweisungen Lemma Erweitere Zustandszuweisungen (q, v) zu Tupeln (q 0, q, v) (q 0 letzter Zustand des Elternknotens von v) Seien q 0 Q, v dom. Falls q, label(v) U, dann gibt es höchstens einen Zustand q, so dass (q 0, q, v) eine erweiterte Zustandszuweisung ist. (q, x) q(x) (q 0, q, x) q 0, q (x) Zusätzlicher Dummy-Zustand:

31 Aufwärtstransition (angepasste Simulation) Wenn δ ( q 1, a 1,..., q n, a n ) = q, enthält P die Regeln q 0, q (x) q 0, q (x), für alle q Q, q 0 (Q { }). child 1 (x, x 1 ),..., child n (x, x n ), q, q 1 (x 1 ),..., q, q n (x n ), label a1 (x 1 ),..., label an (x n ). Folie 5

32 Korrektheit und Vollständigkeit der Konstruktion Erinnerung ( History ): H = {(q, v) v C i und c i (v) = q für ein i} Für eine Menge X TP ω definieren wir π(x) := {(q, v) q 0 q 0, q (v) X} Zu zeigen ist π(t ω P ) = H Vollständigkeit (π(t ω P ) H): Klar per Konstruktion, denn alle Transitionen in A werden auch in P kodiert Korrektheit (π(t ω P ) H): Induktion über die Berechnung des Fixpunktes T ω P Skip

33 Identität der selektierten Knotenmengen Noch zu zeigen: Durch P definierte Anfrage ist zu der durch A definierten Anfrage äquivalent {v A selektiert v in t} {v A akzeptiert t, (q, v) H und λ(q, label(v)) = } {v query(v) T ω P }

34 Mögliche Vereinfachung des Beweises Ist die Erweiterung der Zustandszuweisungen von (q, v) zu (q 0, q, v) immer notwendig? Wir wissen: L( DTA) = L(2DTA) Für Berechnung ist ein Bottom-Up Durchlauf ausreichend Mit dieser Einschränkung für Anfrageautomaten ist die naive Simulation möglich. Ausdrucksstärke bleibt wegen obiger Äquivalenz erhalten

35 Zusammenfassung Monadisches Datalog als Anfragesprache über Bäumen. Syntax Fixpunktsemantik Effektive Auswertung Äquivalenz von monadischen Datalog-Anfragen und MSO-Anfragen Monadisches Datalog Π 1 -MSO-Anfragen MSO-Anfragen Anfrageautomaten Monadisches Datalog Effektive Auswertung von Anfrageautomaten Nach Anpassung der Anfrageautomaten ist eine Vereinfachung der Simulation möglich

36 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit