Kap. 5 Erweiterung der Relationenalgebra für Deduktive Datenbanken

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1 Kap. 5 Erweiterung der Relationenalgebra für Deduktive Datenbanken Ziel dieses kurzen Kapitels: Verbindung herstellen zwischen Logiksprachen und Relationenalgebra. Umgehen mit (rekursiven) Regeln zusätzlich zu Fakten. Zulassen von Gleichungen in Relationenalgebra Auflösen solcher Gleichungen = Berechnung von Fixpunkten Wir wissen aus IS-G über die Grenzen von Algebra und SQL: z.b. sind Erreichbarkeitsprobleme in Graphen nicht ausdrückbar. Wie immer ist die explizite Programmierung in ESQL eine Abhilfe. Dies wird zur Motivation und Übung dringend empfohlen. Deduktive DB Einführung und Problemstellung In (nichtdeduktiven) DBS werden Informationen ausschließlich extensional - in Form von Daten (Fakten) - repräsentiert. In deduktiven Datenbanken können Informationen zusätzlich auch intensional - in Form von Regeln - repräsentiert werden. Mit Hilfe der Regeln können aus den Fakten weitere Informationen hergeleitet werden Beispiel Flüge Flugverbindungen FlugNr Abflugort Zielort... Abflugort Zielort SR58 Zürich Chicago Zürich Chicago AA371 Chicago Phoenix Zürich Dallas DA77 Phoenix Flagstaff Zürich Phoenix AA70 Zürich Dallas Zürich Flagstaff AA351 Dallas Phoenix UA111 Chicago Dallas Deduktive DB-2 1

2 Beispiel mit intensionaler Repräsentation der Flugverbindungen: in "Pseudo-SQL" (rekursive Sichtdefinition): CREATE VIEW Flugverbindungen (Abflugort, Zielort) AS SELECT Abflugort, Zielort FROM Flüge UNION SELECT V.Abflugort, F.Zielort FROM Flugverbindungen V, Flüge F WHERE V.Zielort = F.Abflugort Achtung: Solche rekursiven Views sind im Standard- SQL nicht möglich! als Menge von (Prolog-artigen) Regeln: Flugverbindungen (a,z) :- Flugverbindungen (a,z) :- Flüge (a,z) Flüge (o,z), Flugverbindungen (a,o) als relationenalgebraische Gleichung: (.A := Abflugsort.Z := Zielort ) V := F π [V.A, F.Z] (σ [V.Z=F.A] (F V)) Deduktive DB Datalog - Hintergrundinformation Gegeben sei eine endliche Menge von Prädikaten (Prädikatsymbolen). Eine Hornklausel über dieser Prädikatenmenge ist eine logische Formel der Form X 1,..., X n : P 1 (Z 11, Z 12,..., Z 1k1 )... P m (Z m1, Z m2,..., Z mkm ) P 0 (Z 01, Z 02,..., Z 0k0 ) mit k i -stelligen Prädikaten P i, Variablen X 1,..., X n und Konstanten oder Variablen Z ij, so dass Z ij entweder eine Konstante ist oder eine der Variablen X 1,..., X n. Die Formel P 0 (Z 01, Z 02,..., Z 0k0 ) wird als "Kopf" (engl.: head) der Hornklausel bezeichnet, die Formel P 1 (Z 11, Z 12,..., Z 1k1 )... P m (Z m1, Z m2,..., Z mkm ) als "Rumpf" (engl.: body). Ein Datalog-Programm zu gegebener endlicher Menge von Prädikaten besteht aus - einer Menge von Fakten der Form P i (V 1, V 2,..., V k ) mit einem k-stelligen Prädikat P i und Konstanten V 1,..., V k und - einer Menge von Regeln in Form von Hornklauseln über den geg. Prädikaten. Deduktive DB-4 2

3 Datalog Begriffe Ein Datalog-Programm mit Negation besteht aus - einer Menge von Fakten wie in einem einfachen Datalog-Programm und - einer Menge von Regeln in Form von Klauseln vom selben Typ wie bei einem einfachen Datalog-Programm, bei denen jedoch Prädikate im Rumpf negiert sein können. Eine Anfrage (Ziel; engl: goal) für ein Datalog-Programm ist ein Ausdruck der Form P(Z 1,..., Z k ) mit einem k-stelligen Prädikat P und Konstanten oder Variablen Z 1,..., Z k, so daß mindestens eines der Z j eine (freie) Variable ist. Eine rekursive Regel heißt linear, wenn das Kopfprädikat genau einmal unter den Rumpfprädikaten auftaucht und keines der anderen Rumpfprädikate als Kopfprädikat einer anderen rekursiven Regel auftritt. Ein Datalog-Programm heißt linear, wenn es nur lineare rekursive oder nichtrekursive Regeln hat. Deduktive DB-5 Beispiel: Adam Abigail Jonny Bonnie Bob Bill Jill Clyde Claire Cerise Charly Cecilia Fakten Mann (Adam), Mann (Jonny), Mann (Bob), Mann (Bill), Mann (Clyde),Mann (Charly) Frau (Abigail), Frau (Bonnie), Frau (Jill), Frau (Claire), Frau (Cerise), Frau (Cecilia) Ehepaar (Adam, Abigail), Ehepaar (Jonny, Bonnie), Ehepaar (Bill, Jill) Elternteil (Adam, Bonnie), Elternteil (Adam, Bob), Elternteil (Adam, Bill), Elternteil (Abigail, Bonnie), Elternteil (Abigail, Bob), Elternteil (Abigail, Bill), Elternteil (Jonny, Clyde), Elternteil (Jonny, Claire), Elternteil (Bonnie, Clyde), Elternteil (Bonnie, Claire), Elternteil (Bill, Cerise), Elternteil (Bill, Charly), Elternteil (Bill, Cecilia), Elternteil (Jill, Cerise), Elternteil (Jill, Charly), Elternteil (Jill, Cecilia) SelbeGeneration (Adam, Abigail) SpieltMit (Clyde, Charly) Deduktive DB-6 3

4 Regeln Elternteil (X, Y) Vorfahren (X, Y) Elternteil (X, Y) Vorfahren (Y, Z) Vorfahren (X, Z) Elternteil (X, Y) Mann (X) Vater (X, Y) Elternteil (X, Y) Frau (X) Mutter (X, Y) Elternteil (X, Y) Elternteil (X, Z) Y Z Geschwister (Y, Z) Elternteil (X, Y) Elternteil (U, W) Geschwister (X, U) Frau (W) Cousine (W, Y)) Elternteil (X, Y) Elternteil (U, W) SelbeGeneration (X, U) SelbeGeneration (Y, W) Geschwister (X, Y) SpieltMit (X, Y) SpieltMit (Clyde, Y) SpieltMit (Claire, Y) TRUE SpieltMit (Cecilia, Y) (leerer Rumpf) Elternteil (X, Y) Verwandt (X, Y) Geschwister (X, Y) Verwandt (X, Y) Verwandt (X, Y) Verwandt (Y, X) Verwandt (X, Y) Verwandt (Y, Z) Verwandt (X, Z) (nichtlinear) Mann (X) NOT Ehepaar (X, Y) Ledig (X) (mit Negation) Frau (Y) NOT Ehepaar (X,Y) Ledig (Y) (mit Negation) Beispiele für Anfragen Ledig (X) Cousine (X, Clyde) SelbeGeneration (Clyde, X) Deduktive DB-7 Vergleich mit Relationenalgebra an Beispielen Mann MN Adam Jonny Bob... Frau FN Abigail Bonnie Jill... Ehepaar MN FN Adam Abigail Jonny Bonnie Bob Jill Elternteil E K Adam Bonnie Adam Bob Abigail Bonnie... Vater(MN,K) := π[mn,k] ( σ[mn=e] ( Elternteil Mann ) ) Geschwister(K1,K2) := π[k1,k2] ( σ[k1 K2] ( Elternteil[E,K1] Elternteil[E,K2] ) ) Deduktive DB-8 4

5 Vergleich von Datalog-Anfragen und Regeln mit SQL (a) Datalog-Anfragen parent(x, Laura ) (b) Datalog-Regeln (nicht-rekursiv) father(x) age(x,n) NOT married(x) N<25 jusifa(x,n) parent(g,p) parent(p,c) grandparent(g,c) SELECT p.parent FROM parent p WHERE p.child= Laura CREATE VIEW jusifa (Name, Age) AS SELECT f.name,a.age FROM father f,age a WHERE f.name=a.name AND NOT EXISTS (SELECT * FROM married m WHERE m.name=f.name) AND a.age<25 CREATE VIEW grandparent(grpar,child) AS SELECT p1.parent,p2.child FROM parent p1,parent p2 WHERE p1.child=p2.parent Deduktive DB-9 Vergleich Datalog mit Relationenalgebra Sätze: 1) Die Menge der Anfragen, die sich mit (rekursivem) Datalog mit Negation ausdrücken lassen, ist eine echte Obermenge der Menge von Anfragen, die sich mit der Relationenalgebra ausdrücken lassen. 2) Nichtrekursives (sicheres) Datalog mit Negation ist äquivalent zur Relationenalgebra 3) Nichtrekursives Datalog ohne Negation ist äquivalent zur Relationenalgebra ohne Differenz. (ohne Beweise, siehe dazu z.b. Ullman) Deduktive DB-10 5

6 Gegenüberstellung Relationenalgebra=Nichtrekursives Datalog mit Negation Datalog mit Negation Datalog ohne Negation RA ohne Differenz = Nichtrekursives Datalog ohne Negation Deduktive DB Gleichungen in Relationenalgebra und Berechnung von Fixpunkten...am Beispiel der transitiven Hülle eines Graphen Seien A(X,Y) und B(X,Y) binäre Relationen. Der Kompositionsoperator zwischen A und B ist wie folgt definiert: A Β = π[a.x, B.Y] ( σ [ A.Y = B.X]( A B)) Damit lautet die Fixpunktgleichung für die transitive Hülle eines Graphen G H = (H G) G Wie in der numerischen Mathematik ("Typ x=f(x)") lösen wir diese Gleichung iterativ: (a) Naive Iteration H 0 := {}; i := 0; repeat H i+1 := (H i G) G until H i+1 = H i Problem: H i+1 enthält jeweils H i unnötigerweise, daher besser... Deduktive DB-12 6

7 (b) Delta-Iteration (semi-naive Iteration) Setze für i=1,2,... : H i := H i-1 i dann ist H i+1 := ((H i-1 i ) G) G = ((H i-1 G) ( i G)) G = (H i-1 G) G ( i G) = H i ( i G) i+1 := i G Delta-Iteration: H 0 := {}; 1 := G; i := 1; repeat H i := H i-1 i i+1 := i G until i+1 = 0 Deduktive DB-13 Beispiel: Flüge: Relation G, Flugverbindungen: Relation H Dieses Beispiel bezieht sich auf Folie Nr. 2, wobei Z = Zürich, C = Chicago etc. Naive Auswertung: i Hi 0 {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D)} 1 {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D), (Z,P), (C,F), (D,F)} 2 {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D), (Z,P), (C,F), (D,F), (Z,F)} 3 {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D), (Z,P), (C,F), (D,F), (Z,F)} Semi-naive Auswertung: i Hi i+1 0 { } {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D)} 1 {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D)} {(Z,P), (C,F), (D,F), (Z, D), (C, P)} 2 {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D), (Z,P), (C, F), (D, F)} {(Z, F), (Z, P), (C, F)} 3 {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D), (Z,P), (C, F), (D, F), (Z, F)} {(Z, F)} 4 {(Z,C), (C,P), (P,F), (Z,D), (D,P), (C,D), (Z,P), (C, F), (D, F), (Z, F)} { } Deduktive DB-14 7