Logik für Informatiker

Transkript

1 Logik für Informatiker im Wintersemester 2012/13

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort v 1 Aussagenlogik Grundbegriffe der Aussagenlogik Äquivalenz und Normalformen Hornformeln Minimale Modelle für Klauselmengen Der Endlichkeitssatz (Kompaktheitssatz) Resolution ii

3 2 Prädikatenlogik Grundbegriffe der Prädikatenlogik Normalformen Unentscheidbarkeit Herbrand Theorie Resolution Hyperresolution für Hornformeln iii

4 3 Logikprogrammierung Grundlagen von PROLOG SLD und SLDNF Resolution Suche in Graphen Sortieren und Suchbäume Literatur 408 iv

5 Vorwort Anwendungen: Zermelo und Fraenkel: Axiome der Mengenlehre Formulierung von Theoremen: Fermat Theorembeweisen Boolesche Schaltkreise: Analyse und Optimierung Datenbanken: SQL Logikprogrammierung: PROLOG Semantic Web: Beschreibungslogiken, OWL, SWRL... v

6 Mathematische Axiome und Theoreme Die Russellsche Antinomie ist ein von Bertrand Russell und Ernst Zermelo entdecktes Paradoxon der naiven Mengenlehre, das Russell 1903 publizierte. Dies führte zur Entwicklung der axiomatischen Mengenlehre. Die Logik bietet einen exakten Formalismus zur Repräsentation und Verarbeitung von mathematischem Wissen in Form von Axiomen und Theoremen. Beim Theorembeweisen können mit Hilfe von Kalkülen automatisch neue Theoreme aus den Axiomen und den bereits bekannten Theoremen hergeleitet werden. Durch die steigende Rechnerleistung ist zu erwarten, daß zukünftig verstärkt Theoreme automatisch oder semi automatisch bewiesen werden können. vi

7 Zermelo und Fraenkel: Axiome der Mengenlehre (vgl. Wikipedia) ZF hat unendlich viele Axiome, da zwei Axiomenschemata (8. und 9.) verwendet werden, die zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften je ein Axiom angeben. Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat. Die Infix Notation A B ist gleichbedeutend mit der Präfix Notation (A,B). 1. Extensionalitätsaxiom oder Axiom der Bestimmtheit: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. A B (A = B C (C A C B)) vii

8 2. Leermengenaxiom oder Nullmengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente. B A (A B) Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge B, das heißt, daß es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als geschrieben und leere Menge genannt. Das bedeutet: Die leere Menge ist in ZF das einzige Urelement. Andere Urelemente sind nur beim allgemeineren originalen Axiom der Bestimmtheit von Zermelo möglich. viii

9 3. Paarmengenaxiom: Für alle A undb gibt es eine Menge C, die genau A und B als Elemente hat. A B C D (D C (D = A D = B)) Auch diese Menge C ist eindeutig bestimmt. Sie wird geschrieben als {A,B}. Die Menge {A,A} wird üblicherweise als{a} geschrieben. 4. Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, die genau die Elemente der Elemente vonaals Elemente enthält. A B C (C B D(D A C D)) Auch die Menge B ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente vona, geschrieben als A. Zusammen mit dem Paarmengenaxiom lässt sich die Vereinigung A B := {A,B} definieren. ix

10 5. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine (induktive) Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Menge x {x} enthält. A( X A Y A (Y X) X (X A X {X} A) ) Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.). Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch IN := {, { }, {,{ }}, {,{ },{,{ }}},...}. x

11 Die weiteren Axiome (6. bis 10.) führen wir ohne prädikatenlogische Definition der Vollständigkeit halber auf: 6. Potenzmengenaxiom, 7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom, 8. Aussonderungsaxiom, 9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel), 10. Auswahlaxiom. xi

12 6. Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge P, deren Elemente genau die Teilmengen vonasind. 7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dassaund B disjunkt sind. Das Element B, welches zu A disjunkt ist, ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Das Fundierungsaxiom verhindert, dass es unendliche oder zyklische Folgen von Mengen gibt, bei denen jeweils eine in der nächsten enthalten ist,x 1 x 2 x 3..., denn dann könnte man eine Menge A = {x 1,x 2,x 3,...} bilden, die dem Axiom widerspricht: Für jedes x i A ist x i+1 x i A, die beiden Mengen sind also nicht disjunkt. xii

13 8. Aussonderungsaxiom: Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom zu jedem einstelligen Prädikat P : Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge B vona, die genau die Elemente C vonaenthält, für die P(C) wahr ist. Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, daß es genau eine solche Menge gibt. Diese wird mit{ C A P(C)} notiert. 9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel): Ist A eine Menge und wird jedes Element vonaeindeutig durch eine beliebige Menge ersetzt, so geht A in eine Menge B über. Die Ersetzung wird präzisiert durch zweistellige Prädikate mit ähnlichen Eigenschaften wie eine Funktion, und zwar als Axiomenschema für jedes zweistellige Prädikat F : Die Menge B ist eindeutig bestimmt und wird als{y D A F(D,Y)} notiert. xiii

14 10. Auswahlaxiom: Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element vona enthält. Dieses Axiom hat eine komplizierte Formel, die mit dem Eindeutigkeitsquantor! etwas vereinfacht werden kann: Eine andere übliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktionf (vonain seine Vereinigung), die jedem Element B vonaein Element vonb zuordnet (ein Element von B auswählt). In der Mathematik wird häufig auch das Auswahlaxiom benutzt, das ZF zu ZFC erweitert. xiv

15 Theorem von Fermat Sei n > 2 eine beliebige ganze Zahl. Dann erfüllen keine 3 positiven ganzen Zahlen a,bund c die Gleichung a n +b n = c n. Fürn = 2 findet man leicht solche Zahlen (vgl. auch Satz von Pythagoras). n IN ( n > 2 ( a IN + b IN + c IN + (a n +b n = c n )) ). Dieses Theorem wurde schon im Jahre 1637 von Pierre de Fermat postuliert, es konnte aber erst 1995 von Andrew Wiles vollständig bewiesen werden. Komplexitätstheorie Eine bislang immer noch unbeantwortete Frage der theoretischen Informatik ist, ob die beiden Komplexitätsklassen P undnp gleich sind. xv

16 Logische Schaltkreise: Analyse und Optimierung xvi

17 Datenbanken und Logikprogrammierung Relationen in einer Familien Datenbank: PARENT NAME PARENT Elizabeth George Charles Elizabeth William Charles GRANDPARENT NAME GRANDPARENT Charles George William Elizabeth Die Menge aller logischen Fakten zu einemn stelligen Prädikat hier parent und grandparent entspricht einer n stelligen Relation: parent( Elizabeth, George ), parent( Charles, Elizabeth ), parent( William, Charles ). Analog: 3 Fakten für grandparent. xvii

18 Familienstammbaum: Charles William Diana Harry George Elizabeth Anne Philip Andrew Edward Der Familienstammbaum umfaßt hier 4 Generationen; Frauen sind in Rot, Männer in Blau angezeigt. xviii

19 Berechnung der Großeltern: in Datenbanken: Tupelkalkül {p 1.name,p 2.parent parent(p 1 ) parent(p 2 ) p 1.parent = p 2.name } in der Logikprogrammierung: Bereichskalkül {X,Z parent(x,y) parent(y,z)} Tupelvariablen p 1 undp 2 ; Bereichsvariablen X,Y undz. Im Tupelkalkül werden Verbundbedingungen explizit angegeben, wogegen ein Verbund im Bereichskalkül durch gleichbenannte Variablen gebildet wird. xix

20 Logikprogrammierung: PROLOG Prädikatensymbole: parent, grandparent, ancestor, alle 2 stellig Regeln: Kopf Rumpf, man sagt Kopf falls Rumpf Rumpf ist Konjunktion von Atomen oder deren Negation grandparent(x,z) parent(x,y) parent(y,z) ancestor(x,y) parent(x,y) ancestor(x,z) ancestor(x,y) parent(y,z) Bedeutung: X,Y,Z : ((ancestor(x,y) parent(y,z)) ancestor(x,z)) Fakten: parent( Elizabeth, George ) parent( Charles, Elizabeth ) parent( William, Charles ) xx

21 Man kann mittels der Regel grandparent(x,z) parent(x,y) parent(y,z) z.b. folgende neuen Fakten ableiten. Dazu ersetzt man in der Regel die Variablen wie folgt: parent parent Z Y X grandparent Für{ X Charles, Y Elizabeth, Z George } erhalten wir grandparent( Charles, George ) parent( Charles, Elizabeth ) parent( Elizabeth, George ). Mit Hilfe der entsprechenden Fakten aus dem Regelrumpf kann man dann grandparent( Charles, George ) ableiten. Für{ X William, Y Charles, Z Elizabeth } kann man grandparent( William, Elizabeth ) ableiten. xxi

22 Datenbanken: SQL Fallsparent als zweispaltige Relation PARENT realisiert wäre, so könnte man die Relation GRANDPARENT zugrandparent wie folgt in SQL berechnen: CREATE VIEW GRANDPARENT(NAME, GRANDPARENT) AS SELECT P1.NAME, P2.PARENT FROM PARENT P1, PARENT P2 WHERE P1.PARENT = P2.NAME In der entsprechenden Regel wird die Bedingung P1.PARENT = P2.NAME durch die zweimalige Verwendung der Variablen Y ausgedrückt: grandparent(x,z) parent(x,y) parent(y,z) xxii

23 Vergleich: Transformiert man ein SELECT Statement nach PROLOG, so ergibt sich folgendes: der SELECT Teil entspricht dem Regelkopf, der FROM Teil entspricht den Prädikaten im Regelrumpf, Gleicheitsbedingungen aus dem WHERE Teil können direkt durch gleiche PROLOG Variablen ausgedrückt oder wie alle weiteren arithmetischen Bedingungen in den Regelrumpf übernommen werden. In PROLOG erfolgt die Selektion nicht über Attribute, sondern über die Argumentposition. Die Relation ANCESTOR kann man in SQL im allgemeinen nicht berechnen, da man nicht weis wieviele Stufen die zugrunde liegende Relation PARENT hat. xxiii