ENTSCHEIDUNGSTHEORIE Klausur vom Die Mindestpunktzahl zum Bestehen der Klausur beträgt 45 Punkte!

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1 Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Professur für Wirtschaftsmathematik Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger ENTSCHEIDUNGSTHEORIE Klausur vom Als Hilfsmittel sind neben Schreibmaterial zugelassen: Viel Erfolg! a. ein einfacher Taschenrechner (mit ein- oder zweizeiligem Display), Magnetkarten und Zusatzmodule dürfen nicht verwendet werden. b. das Buch "Entscheidungstheorie" von Prof. Dr. Rommelfanger und Dr. Eickemeier. In das Buch dürfen Bemerkungen und Querverweise eingetragen werden. Auch dürfen im Buch schon vorhandene Formeln an andere Stellen übertragen werden. Darüber hinaus gehende Eintragungen und das Verwenden von Kopien des Buches sind nicht erlaubt. Das Schreiben mit Bleistift ist nicht gestattet! Die Lösungen sind so ausführlich darzustellen, dass der Lösungsweg nachvollzogen werden kann! Bitte schreiben Sie alle Lösungsschritte in das Lösungsheft, da Eintragungen auf dem Klausurblatt bei der Korrektur nicht berücksichtigt werden!!! Die Mindestpunktzahl zum Bestehen der Klausur beträgt 45 Punkte! 1. Die Gewinne der Aktionen a1, K, a5 sind normalverteilt mit den Verteilungen N (7,1); N (6, 1); N (5, 3); N (8,1); N (4, ) a. Welche dieser Alternativen können mit 95,4 %-Wahrscheinlichkeit als dominiert angesehen werden? b. Wie lautet die Rangordnung der Alternativen, wenn der Entscheidungsträger (ET) nach der μ-präferenzregel entscheidet? c. Wie lautet die Rangfolge, wenn der ET nach der ( μ, σ) -Präferenzregel auswählt und sein Präferenzverhalten durch die μ-σ -Isolinien 2 μ 1 ( σ + 2) = C beschrieben wird? 4 (7,5) 2. Die Risikonutzenfunktion eines Entscheidungsträgers (ET) ist 1 x2 + 1 x für 0 x u(x) = 1 x + 2 für 10 < x < x + 4 für 20 x <

2 2 a. Interpretieren Sie die Risikofunktion, indem sie für die einzelnen Definitionsintervalle die jeweilige Risikoeinstellung des ET offen legen. Erscheint Ihnen eine solche Nutzenfunktion plausibel? Wenn ja, warum? b. Ermitteln Sie das ARROW-PRATT-Maß zu u(x) für x 1 =5, x 1 =20 und x 1 =32. Interpretieren Sie mit diesen Ergebnissen die Risikoeinstellung des ET an diesen drei Stellen. (16) 3. Nach ausgiebigen Diskussionen stehen noch die sechs alternativen Projekte A, B, C, D, E, F zur Auswahl. Die Präferenzordnungen der neun Gesellschafter der Fa. R. Eich & C. Lever sind in der nachfolgenden Tabelle dargestellt. G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 C A F C E E C E C E E C F F B A D E D B D D B D E B D A F B E A A D C A B C E A C F B F B F D A B D C F A F a. Wie lautet die Präferenzfolge bei Verwendung der Abstimmungsregel i. Einfache Mehrheit, ii. Double Vote, iii. BORDA-Verfahren? b. Welches Projekt wird nach dem Double Election-Verfahren ausgewählt? c. Welche Alternative wird nach der Methode des paarweisen Vergleichs ausgewählt, wenn die Alternativen in alphabetischer Reihenfolge zur Abstimmung gestellt werden? Ist das so ausgewählte Projekt eine CONDORCET-Alternative? (16) 4. Ein aus sechs Personen bestehendes Managerteam soll aus den drei zur Auswahl stehenden Standorten für eine neue Betriebsstätte eine auswählen. Um eine allgemein akzeptierte Lösung zu erhalten, soll jedes Teammitglied 20 Punkte auf die Standorte A, B, C so aufteilen, dass die Punktverteilung sein individuelles Präferenzprofil widerspiegelt. Gewählt ist der Standort, der die meisten Punkte erhält.

3 3 Wie lautet die Rangfolge der Standorte, wenn das Managerteam die Punkte folgendermaßen zugeordnet hat: M1 M2 M3 M4 M5 M6 A B C Offensichtlich gibt es im Managerteam jeweils 2 Personen mit gleichem Präferenzprofil. Welche Zweiergruppe hat das Verfahren von GOODMAN/MARKOWITZ am besten verstanden? (5) 5. Da das Spar-Plus-Konto der Studentin N. E. Ureich derzeit einen Betrag von aufweist, sucht sie nach alternativen Anlagemöglichkeiten. Nach kurzer Recherche sieht sie die folgenden Anlagemöglichkeiten als sinnvoll an: I. Kauf des Pkws ihres Steuerberaters S. Alto zum Preis von ; II. Beteiligung an dem mittelständigen Unternehmen "Floriert", wobei ein oder mehrere Beteiligungsanteile in Höhe von erworben werden können; III Erwerb festverzinslicher Staatsanleihen. Diese können nur im Nennwert von mit einem Ausgabekurs von 80 % erworben werden. Welche Aktionen stehen Frau Ureich nach dem Prinzip vollkommener Alternativenstellung zur Verfügung? (6) 6. Die Unternehmerin Dorothea U. Plo produziert Schokoriegel, die ihr einen sicheren monatlichen Absatz von x = 200 t gewährleisten. Da zurzeit aber Mohrenköpfe in sind, überlegt sie, die gesamte Produktion auf die Herstellung von Mohrenköpfen umzustellen. Eine erste Marktanalyse ergab, dass die Wahrscheinlichkeit eine Absatzmenge in Höhe von x 1 = 300t (Zustand s 1 ) zu erreichen 20 % beträgt. Mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit ist mit der Absatzmenge x 2 = 200t (Zustand s 2 ) zu rechnen. Im schlechtesten Fall ist mit der restlichen Wahrscheinlichkeit eine Absatzmenge von x 3 = 50t (Zustand s 3 ) zu erwarten. Bei beiden Produkten kann der Gewinn mit der Funktion G(x) = 5x 500 [T ] berechnet werden.

4 4 a. Soll D. U. Plo weiterhin Schokoriegel produzieren oder soll sie die Produktion auf Mohrenköpfe umstellen, wenn sie das Ziel Gewinnmaximierung verfolgt? b. D. U. Plo erwägt, zusätzliche Informationen mittels einer Testmarktanalyse heranzuziehen. Die Kosten betragen 50 [T ], und die Untersuchung zieht die drei Testmarktergebnisse y 1 = günstiges Ergebnis, y 2 = mittleres Ergebnis und y 3 = ungünstiges Ergebnis in Betracht. Über die Verlässlichkeit eines Testmarktergebnisses ( y k ) in Bezug auf die tatsächliche Marktsituation ( s j ) existieren Erfahrungen in Form der nachfolgenden Likelihoods p(yk s j). p(y s ) k j y 1 y 2 y 3 s 1 0,7 0,2 0,1 s 2 0,2 0,6 0,2 s 3 0 0,2 0,8 Soll die Testmarktanalyse durchgeführt werden? c. Die weltbekannte Wahrsagerin K. A. F. Feesatz bietet D. U. Plo an, mit vollkommener Information die wahre Marktsituation vorherzusagen. Nehmen wir an, dass D. U. Plo von den Fähigkeiten der Wahrsagerin überzeugt ist, welchen Preis soll sie maximal für diese Information zahlen? (20) 7. Gegeben sei folgendes hierarchisches Zielsystem zur Beurteilung der Rentabilität eines Unternehmens: Rentabilität Gesamtkapitalrentabilität Umsatzrentabilität Zur Klassifizierung der Eingangsgrößen werden trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen verwendet, wobei im Folgenden nur die Eckpunkte der Zugehörigkeitsfunktionen auf 0- und 1-Niveau angegeben werden (GKR = Gesamtkapitalrentabilität, UR = Umsatzrentabilität). GKR (niedrig) [%] = ( ; ; 0; 4) UR (niedrig) [%] = ( ; ; 0; 3) GKR (mittel) [%] = ( 0; 4; 8;13) UR (mittel) [%] = ( 0; 3; 6;10) GKR (hoch) [%] = ( 8;13; + ; + ) UR (hoch) [%] = ( 6;10; + ; + )

5 Die Unterziele werden mit dem nachfolgenden Regelsatz aggregiert. 5 R-Nr. Gesamtkapitalrentabilität Umsatzrentabilität Rentabilität 1 s s s 2 s m s 3 s g m 4 m s s 5 m m m 6 m g m 7 g s m 8 g m g 9 g g g Geben sie für das Unternehmen "Back-Frisch" mit einer Gesamtkapitalrentabilität von 11 % und einer Umsatzrentabilität von 2 % eine Fuzzy- Beurteilung des Oberziels "Rentabilität" ab. Interpretieren Sie das Ergebnis. (9) 8. Gegeben ist eine Entscheidungssituation mit den drei Alternativen a 1, a2, a3, den möglichen Umweltzuständen s 1, s2, s3 und der nachfolgenden Matrix U = U ~ (a,s )} mit Fuzzy-Nutzenwerten vom ε -λ-typ. { i j s 1 s 2 s 3 a 1 (160, 170, 180, 190, 200, 210) (80, 85, 90, 90, 95, 100) (-100, -90, -80, -70, -60, -50) a 2 (100, 105, 110, 110, 120, 130) (40, 50, 55, 60, 65, 70) (-30, -25, -20, -20, -15, -10) a 3 (50, 55, 60, 70, 75, 80) (20, 25, 30, 30, 35, 40) (10, 15, 20, 20, 25, 30) a. Bestimmen Sie die Rangordnung der Alternativen: i. bei Verwendung der Maximin-Regel; ii. bei Verwendung des HURWICZ-Kriteriums mit δ = 0, 3. b. Ist bei Verwendung des BERNOULLI-Kriteriums a 1 oder a 2 die bessere Alternative, wenn gilt: p(s1 ) = 0,2; p(s2) = 0,3; p(s3) = 0, 5? (14) 9. Gegeben ist eine Entscheidungssituation mit drei fuzzy-bewerteten Alternativen, vier möglichen Umweltzuständen und der nachfolgenden Matrix der Ergebnisse g(ai, s j), die dargestellt sind als Intervall der ε -λ -Form.

6 6 Aktion a 1 Aktion a 2 Aktion a 3 s 1 (10; 15; 20; 20; 30; 40) (30; 35; 40; 40; 45; 50) (60; 60; 60; 80; 80; 80) s 2 (120; 130; 150; 160; 170; 180) (100; 110; 115; 120; 130; 140) (70; 75, 80; 90; 100; 110) s 3 ( 40; 35; 30; 20; 15; 10) ( 110; 100; 90; 80; 70; 60) (20; 30; 40; 40; 50; 60) s 4 (80; 90; 95; 100; 105; 115) (150; 160; 170; 180; 190; 200) (50; 55; 60; 70; 75; 80) Das maximale Ergebnis wird angestrebt. a. Welche Alternative ist auszuwählen i. bei Verwendung der Maximin-Regel ii. bei Verwendung der Maximax-Regel (Tipp: Hier reicht die Angabe des optimalen Ergebnisses und der zugehörigen Aktion aus!) b. Mittels HURWICZ-Kriterium mit dem Optimismusparameter λ = 0, 5 sind die Alternativen a 1 und a 3 zu vergleichen. c. Zur Anwendung des SAVAGE-NIEHAUS-Kriteriums sind zuerst die Regret- Werte zu berechnen. Führen Sie diese Berechnung nur für die Alternative a 2 durch. Beurteilen Sie das SAVAGE-NIEHAUS-Kriterium im Vergleich zum Maximin-Kriterium. d. Der ET ist nur in der Lage, die Eintrittswahrscheinlichkeiten größenordnungsmäßig anzugeben, vgl. die nachfolgende Tabelle. Um die exakten erwarteten Ergebnisse zu berechnen sind Hilfsgrößen erforderlich, die nach den Algorithmen auf S. 98/99 zu berechnen sind. Bestimmen Sie diese Hilfsgrößen, die zur Berechnung des Fuzzy-Erwartungswertes der Alternative a 2 benötigt werden. P ~ (s1) (0,35; 0,38; 0,40; 0,40; 0,44; 0,48) P ~ (s2 ) (0,09; 0,10; 0,12, 0,14; 0,15; 0,19) P ~ (s3) (0,16; 0,18; 0,20; 0,23; 0,25; 0,28) P ~ (s4 ) (0,20; 0,22; 0,25; 0,27; 0,30; 0,32) (20)