Kompetenzorientierung im Mathematikunterricht. Maximilian Steger ZFL Mathematik

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1 Kompetenzorientierung im Mathematikunterricht Maximilian Steger ZFL Mathematik

2 Themen Der Kompetenzbegriff Kompetenzen in den Bildungsstandards Anforderungsniveaus Kompetenzorientierte Aufgaben

3 Der Kompetenzbegriff Kompetenz (von lateinisch competere = zusammentreffen, ausreichen, zu etwas fähig sein, zustehen) bezeichnet psychologisch die integrierte Gesamtheit von Fähigkeiten und Fertigkeiten, bezogen auf bestimmte Anforderungen.

4 Der Kompetenzbegriff die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können. F. E. Weinert

5 Kompetenzen (Bildungsstandards) (K 1) Mathematisch argumentieren (K 2) Probleme mathematisch lösen (K 3) Mathematisch modellieren (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 6) Kommunizieren

6 Anforderungsbereiche (Bildungsstandards) 3 Anforderungsbereiche für alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen: I: Reproduzieren II: Zusammenhänge herstellen III: Verallgemeinern und Reflektieren

7 I: Reproduzieren Dieser Anforderungsbereich umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang.

8 II: Zusammenhänge herstellen Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden.

9 III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen.

10 (K 1) Mathematisch argumentieren Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind ( Gibt es?, Wie verändert sich?, Ist das immer so? ) und Vermutungen begründet äußern, mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise), Lösungswege beschreiben und begründen.

11 (K 2) Probleme mathematisch lösen vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten, geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen und anwenden, die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren.

12 (K 3) Mathematisch modellieren den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten, Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren und prüfen.

13 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden, Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen, unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln.

14 (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten, symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt, Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen, mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software) sinnvoll und verständig einsetzen.

15 (K 6) Kommunizieren Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, verständlich darstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien, die Fachsprache adressatengerecht verwenden, Äußerungen von anderen und Texte zu mathematischen Inhalten verstehen und überprüfen.

16 Kompetenzen - Anforderungsbereiche (K1) Mathematisch argumentieren Reproduzieren - Routineargumentationen wiedergeben - mit Alltagswissen argumentieren Zusammenhänge herstellen - überschaubare mehrschrittige Argumentationen erläutern, entwickeln - Lösungswege beschreiben und begründen Verallgemeinern und Reflektieren - komplexe Argumentation erläutern entwickeln - verschiedene Argumentationen bewerten - Vermutungen begründet äußern

17 Kompetenzen - Anforderungsbereiche (K2) Probleme mathematisch lösen Reproduzieren - Routineaufgaben lösen ( sich zu helfen wissen ) einfache Probleme mit bekannten, auch experimentellen Verfahren lösen... Zusammenhänge herstellen - Probleme bearbeiten, deren Lösung die Anwendung von heuristischen Hilfsmitteln, Strategien und Prinzipien erfordert - Probleme selbst formulieren Verallgemeinern und Reflektieren - Anspruchsvolle Probleme bearbeiten - das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren -...

18 Kompetenzen - Anforderungsbereiche (K3) Mathematisch modellieren Reproduzieren - vertraute und direkt erkennbare Modelle nutzen - Einfachen Erscheinungen aus der Erfahrungswelt mathematische Objekte zuordnen - Resultate am Kontext prüfen Zusammenhänge herstellen - Modellierungen,die mehrere Schritte erfordern, vornehmen Ergebnisse einer Modellierung interpretieren und an der Ausgangssituation prüfen... Verallgemeinern und Reflektieren - komplexe oder unvertraute Situationen modellieren - Verwendete mathematische Modelle reflektieren und kritisch beurteilen

19 Kompetenzen - Anforderungsbereiche (K4) Mathematische Darstellungen... Reproduzieren - vertraute und geübte Darstellungen von mathematischen Objekten und Situationen anfertigen oder nutzen Zusammenhänge herstellen - Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen und zwischen den Darstellungsformen wechseln Verallgemeinern und Reflektieren - eigene Dar-stellungen ent-wickeln verschiedene Formen der Darstellung zweckentsprechend beurteilen - nicht vertraute Darstellungen lesen und ihre Aussagekraft beurteilen

20 Kompetenzen - Anforderungsbereiche (K5) Mit symbolischen,formalen... Reproduzieren - Routineverfahren verwenden - mit vertrauten Formeln und Symbolen umgehen - Mathematische Werkzeuge in Situationen nutzen,in denen ihr Einsatz geübt wurde Zusammenhänge herstellen - Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt - mit Variablen, Termen,... Verallgemeinern und Reflektieren - Lösungs- und Kontrollverfahren hinsichtlich ihrer Effizienz bewerten Möglichkeiten und Grenzen der Nutzung mathematischer Werkzeuge reflektieren

21 Kompetenzen - Anforderungsbereiche (K6) Kommunizieren Reproduzieren einfache mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich ausdrücken... Zusammenhänge herstellen - Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse verständlich darstellen... Verallgemeinern und Reflektieren - komplexe mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich präsentieren...

22 Vorteile der Kompetenzorientierung Nicht bloß Abprüfen einzelner Wissens- oder Könnenselemente, sondern eine koordinierte Anwendung verschiedener Einzelleistungen anhand eines für den Probanden jeweils neuen Problems. Orientiert er sich nicht an abstraktem Schulstoff, sondern stets an lebensweltlichen Bezügen des Probanden, am Sich-Bewähren im Leben (Rudolf Messner, 2003). Kompetenzen lassen sich in Kompetenzstufen untergliedern

23 Kompetenzen Kompetenzmodelle beschreiben unterschiedliche Facetten und Niveaustufen. Im Unterricht sollen Aufgaben den Erwerb verschiedenster Kompetenzen fördern. Die Schüler sollen mathematische Kompetenzen erwerben und nicht Lösungsschemata memorieren und anwenden. Timo Leuders

24 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe Offenes Pflaster

25 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe Offenes Pflaster Schülerlösung 1

26 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe Offenes Pflaster Schülerlösung 2

27 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe Offenes Pflaster Schülerlösung 3

28 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe Offenes Pflaster

29 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe Offenes Pflaster Hinzufügen von (K1) Argumentieren Begründe: Das dargestellte Achteck ist nicht regelmäßig. Einfahrt mit 8,50 m Länge und 12 m Breite. Nimm Stellung zu dieser Berechnung: (8,50 12):(0,4 0,6) = 425 Man braucht 425 Rasengittersteine.

30 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe Offenes Pflaster Hinzufügen von (K1) Argumentieren Veränderung des Modellierungsanspruchs: Z. B. durch Weglassen der Maße und zeigen eines Fotos mir einer Person als Größenanhaltspunkts. Veränderung des Problemlöseanspruchs, etwa durch Weglassen der Dichtangabe in d)

31 (K1) Mathematisch argumentieren Summen von Nachbarzahlen Ab II Lösungsvielfalt Jette behauptet: Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch drei teilbar. Hat Jette recht? Begründe deine Antwort.

32 (K1) Mathematisch argumentieren Summen von Nachbarzahlen Lösungsvielfalt Paradigmatischer Lösungsansatz: Man nimmt drei aufeinanderfolgende Zahlen, z. B. 3; 4; 5 (4-1)+4+(4+1)=4+4+4=3 4 Dies gilt offenbar immer!

33 (K1) Mathematisch argumentieren Summen von Nachbarzahlen Lösungsvielfalt Algebraischer Lösungsansatz: Wenn n die erste dieser drei Zahlen ist gilt: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3 (n+1) dies ist durch drei teilbar!

34 (K1) Mathematisch argumentieren Summen von Nachbarzahlen Lösungsvielfalt Zeichnerischer Lösungsansatz oder

35 (K1) Mathematisch argumentieren Summen von Nachbarzahlen Lösungsvielfalt Inhaltlicher Lösungsansatz eine der drei Zahlen ist immer durch 3 teilbar (Dreierreihe) also bleibt bei der Division mit 3 bei einer der Rest 1 und bei der anderen der Rest 2. Als Rest bleibt also 1+2=3 und damit ist die Summe durch 3 teilbar.

36 (K1) Mathematisch argumentieren Summen von Nachbarzahlen Lösungsvielfalt Iterativer Lösungsansatz 1+2+3=6; durch 3 teilbar 2+3+4=9=6+3; also durch 3 teilbar... die Summe wächst jeweils um 3 und bleibt deshalb durch drei teilbar.

37 (K 2) Probleme mathematisch lösen Fläche In das abgebildete Quadrat mit der Seitenlänge a sind zwei Halbkreise und eine Diagonale eingezeichnet. Berechne den Inhalt der grauen Fläche.

38 (K 3) Probleme mathematisch modellieren Problemlöseprozesse Zerlegungsprinzip Analogieprinzip Vorwärtsarbeiten Rückwärtsarbeiten Systematisches Probieren Veranschaulichung (math. Figur; Tabelle; Skizze

39 (K 3) Probleme mathematisch modellieren Tanken Herr Stein wohnt in Trier, 20 km von der Grenze zu Luxemburg entfernt. Er fährt mit seinem VW Golf zum Tanken nach Luxemburg, wo sich direkt hinter der Grenze eine Tankstelle befindet. Dort kostet der Liter Benzin nur 1,05, im Gegensatz zu 1,30 in Trier. Lohnt sich die Fahrt für Herrn Stein? Begründe deine Antwort.

40 (K 3) Probleme mathematisch modellieren Tanken Schritte 1. Problem verstehen 2. Problem strukturieren/präzisieren 3. Problem mathematisieren 4. Mathematisch arbeiten 5. Ergebnis interpretieren und überprüfen

41 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Darstellungsformen 1. Diagramme, Abbildungen, Fotos, Skizzen, statistische Schaubilder, Graphen 2. Formeln 3. Sprachliche Darstellungen 4. Handlungen/Gesten 5. Programme (in einer Programmiersprache)

42 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Wahlen Stelle das folgende Wahlergebnis in einem Kreisdiagramm dar. 5% Partei A: 30 % 30% 25% Partei B: 40 % Partei C: 25 % Sonstige: 5 % Partei A Partei B Partei C Sonstige 40%

43 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Trainingsanalyse Radrennfahrer

44 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Wie lang ist die Abfahrt vom ersten Berg?

45 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Wie viele Serpentinen (enge Kurven) kamen auf der Abfahrt vom ersten Berg vor?

46 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Wie oft hat der Radrennfahrer angehalten?

47 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Wie groß war die ungefähre Durchschnittsgeschwindigkeit des Radrennfahrers?

48 (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Überlege dir noch eine weitere interessante Aufgabe, die man anhand dieses Graphen beantworten kann, und löse sie.

49 (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kennen und Anwenden mathematischer Definitionen, Regeln Algorithmen und Formeln Formales Arbeiten mit Variablen, Termen, Gleichungen und Funktionen Ausführen von Lösungs- und Kontrollverfahren Durchführen geometrischer Grundkonstruktionen Verwenden von Hilfsmitteln (Formelsammlung, Taschenrechner)

50 (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Gleichung Löse die Gleichung 3x + 5 = 27

51 (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Geradenbüschel Betrachte das Bündel von Geraden.

52 (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Geradenbüschel Welche gemeinsame Eigenschaft besitzen alle diese Geraden? Gib zu drei dieser Geraden die zugehörige Gleichung an. Wie lautet die Gleichung der Parallelen zur x-achse in diesem Bündel?

53 (K 6) Mathematisch kommunizieren Haustiere Ab II Die Deutschen halten immer mehr Haustiere. Von 2004 bis 2005 hat die Zahl der Hunde, Katzen, Vögel und Kleintiere (ohne Zierfische und Terrarientiere) um 1,3 Prozent auf 23,1 Millionen zugenommen. Die Hundepopulation stieg um sechs Prozent auf 5,3 Millionen Tiere, die Zahl der Katzen um 2,7 Prozent auf nunmehr 7,5 Millionen. Ein Minus wurde dagegen bei Vögeln konstatiert, hier sank die Zahl um 8,7 Prozent auf 4,2 Millionen. Die meisten Haustiere haben der Statistik zufolge die 40- bis 49- Jährigen, sie stellen 25 Prozent der Tierbesitzer. Immerhin 24 Prozent und damit Fast-Spitzenreiter sind die Senioren im Alter über 60 Jahren. - AFP

54 (K 6) Mathematisch kommunizieren Bruchzahlen Beschreibe möglichst genau, wie man zwei Bruchzahlen addiert.

55 Literatur ematik_msa_bs_ pdf rung/standards/ Bildungsstandards Mathematik: konkret Cornelsen Scriptor

56 Was haben wir gelernt?

57 Weitere Informationen Weitere Schulungsveranstaltungen Nennen Sie Bücher, Artikel, elektronische Quellen. Beratungsdienste, andere Quellen