STANDARDS FÜR DIE KOMPETENZBEREICHE DES FACHS MATHEMATIK

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1 STANDARDS FÜR DIE KOMPETENZBEREICHE DES FACHS MATHEMATIK MATHEMATIK Mathematik Primarbereich Allgemeine mathematische Kompetenzen Primarbereich Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Primarbereich Mathematik Hauptschule Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik (HS) Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen im Fach Mathematik Mathematische Leitideen Anforderungsbereiche der allgemeinen mathematischen Kompetenzen Mathematik Realschule Allgemeine mathematische Kompetenzen (RS) Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik... 14

2 2 MATHEMATIK 1 Mathematik Primarbereich 1.1 Allgemeine mathematische Kompetenzen Primarbereich Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit Mathematik und auf die gleiche Weise, in der tätigen Auseinandersetzung, werden sie erworben. Die angestrebten Formen der Nutzung von Mathematik müssen daher auch regelmäßig genutzte Formen des Mathematiklernens sein. Von zentraler Bedeutung für eine erfolgreiche Nutzung und Aneignung von Mathematik sind vor allem die folgenden fünf allgemeinen mathematischen Kompetenzen. Diese lassen sich für Schülerinnen und Schüler am Ende der 4. Jahrgangsstufe wie folgt konkretisieren: Problemlösen - mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden, - Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.b. systematisch probieren), - Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen. Kommunizieren - eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren, - mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden, - Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und einhalten. Argumentieren - mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen, - mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln, - Begründungen suchen und nachvollziehen.

3 3 Modellieren - Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen, - Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen, - zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben formulieren. Darstellen - für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen, - eine Darstellung in eine andere übertragen, - Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten. 1.2 Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Primarbereich Die Standards orientieren sich inhaltlich an mathematischen Leitideen, die für den gesamten Mathematikunterricht - für die Grundschule und für das weiterführende Lernen - von fundamentaler Bedeutung sind. Für Schülerinnen und Schüler am Ende der 4. Jahrgangsstufe lassen sich aus diesen Leitideen folgende Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen ableiten, die im Unterricht aufeinander bezogen und miteinander verknüpft werden: Zahlen und Operationen Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen - den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems verstehen, - Zahlen bis auf verschiedene Weise darstellen und zueinander in Beziehung setzen, - sich im Zahlenraum bis orientieren (z. B. Zahlen der Größe nach ordnen, runden).

4 4 Rechenoperationen verstehen und beherrschen - die vier Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen, - die Grundaufgaben des Kopfrechnens (Einspluseins, Einmaleins, Zahlzerlegungen) gedächtnismäßig beherrschen, deren Umkehrungen sicher ableiten und diese Grundkenntnisse auf analoge Aufgaben in größeren Zahlenräumen übertragen, - mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien verstehen und bei geeigneten Aufgaben anwenden, - verschiedene Rechenwege vergleichen und bewerten; Rechenfehler finden, erklären und korrigieren, - Rechengesetze erkennen, erklären und benutzen, - schriftliche Verfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation verstehen, geläufig ausführen und bei geeigneten Aufgaben anwenden, - Lösungen durch Überschlagsrechnungen und durch Anwenden der Umkehroperation kontrollieren. in Kontexten rechnen - Sachaufgaben lösen und dabei die Beziehungen zwischen der Sache und den einzelnen Lösungsschritten beschreiben, - das Ergebnis auf Plausibilität prüfen, - bei Sachaufgaben entscheiden, ob eine Überschlagsrechnung ausreicht oder ein genaues Ergebnis nötig ist, - Sachaufgaben systematisch variieren, - einfache kombinatorische Aufgaben (z.b. Knobelaufgaben) durch Probieren bzw. systematisches Vorgehen lösen Raum und Form Raum und Form sich im Raum orientieren - über räumliches Vorstellungsvermögen verfügen, - räumliche Beziehungen erkennen, beschreiben und nutzen (Anordnungen, Wege, Pläne, Ansichten), - zwei- und dreidimensionale Darstellungen von Bauwerken (z.b. Würfelgebäuden) zueinander in Beziehung setzen (nach Vorlage bauen, zu Bauten Baupläne erstellen, Kantenmodelle und Netze untersuchen). Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen - Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen, - Körper und ebene Figuren in der Umwelt wieder erkennen, - Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen und untersuchen (Bauen, Legen, Zerlegen, Zusammenfügen, Ausschneiden, Falten...), - Zeichnungen mit Hilfsmitteln sowie Freihandzeichnungen anfertigen. einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen - ebene Figuren in Gitternetzen abbilden (verkleinern und vergrößern), - Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen, beschreiben und nutzen, - symmetrische Muster fortsetzen und selbst entwickeln.

5 5 Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen - die Flächeninhalte ebener Figuren durch Zerlegen vergleichen und durch Auslegen mit Einheitsflächen messen, - Umfang und Flächeninhalt von ebenen Figuren untersuchen, - Rauminhalte vergleichen und durch die enthaltene Anzahl von Einheitswürfeln bestimmen Muster und Strukturen Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen - strukturierte Zahldarstellungen (z.b. Hunderter- Tafel) verstehen und nutzen, - Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z.b. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen, - arithmetische und geometrische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben. funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen - funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen, sprachlich beschreiben (z.b. Menge Preis) und entsprechende Aufgaben lösen, - funktionale Beziehungen in Tabellen darstellen und untersuchen, - einfache Sachaufgaben zur Proportionalität lösen Größen und Messen Größenvorstellungen besitzen - Standardeinheiten aus den Bereichen Geldwerte, Längen, Zeitspannen, Gewichte und Rauminhalte kennen, - Größen vergleichen, messen und schätzen, - Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, die im Alltag wichtig sind, - Größenangaben in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen (umwandeln), - im Alltag gebräuchliche einfache Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen kennen und verstehen. mit Größen in Sachsituationen umgehen - mit geeigneten Einheiten und unterschiedlichen Messgeräten sachgerecht messen, - wichtige Bezugsgrößen aus der Erfahrungswelt zum Lösen von Sachproblemen heranziehen, - in Sachsituationen angemessen mit Näherungswerten rechnen, dabei Größen begründet schätzen, - Sachaufgaben mit Größen lösen.

6 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Daten erfassen und darstellen - in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen, - aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen - Grundbegriffe kennen (z. B. sicher, unmöglich, wahrscheinlich), - Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) einschätzen.

7 7 2 Mathematik Hauptschule 2.1 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik (HS) Mit dem Erwerb des Hauptschulabschlusses nach Klasse 9 sollen Schülerinnen und Schüler über die nachfolgend genannten allgemeinen mathematischen Kompetenzen verfügen, die für alle Ebenen des mathematischen Arbeitens relevant sind. Diese Kompetenzen werden immer im Verbund erworben bzw. angewendet. Mit dem Erwerb des Hauptschulabschlusses nach Klasse 9 sollen Schülerinnen und Schüler über die nachfolgend genannten allgemeinen mathematischen Kompetenzen verfügen, die für alle Ebenen des mathematischen Arbeitens relevant sind. Diese Kompetenzen werden immer im Verbund erworben bzw. angewendet. (K 1) Mathematisch argumentieren Dazu gehört: - Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind ( Gibt es?, Wie verändert sich?, Ist das immer so? ), und Vermutungen begründet äußern, - mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise), - Lösungswege beschreiben und begründen.

8 8 (K 2) Probleme mathematisch lösen Dazu gehört: - vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten, - geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen und anwenden, - die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren. (K 3) Mathematisch modellieren Dazu gehört: - Bereiche oder Situationen, die modelliert werden sollen, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, - in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten, - Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren und prüfen. (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Dazu gehört: - verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden, - Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen, - unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln. (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Dazu gehört: - mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten, - symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt, - Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen, - mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software) sinnvoll und verständig einsetzen. (K 6) Kommunizieren Dazu gehört: - Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, verständlich darstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien, - die Fachsprache adressatengerecht verwenden, - Äußerungen von anderen und Texte zu mathematischen Inhalten verstehen und überprüfen.

9 9 2.2 Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen im Fach Mathematik Mathematische Leitideen Die oben beschriebenen allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden von Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Dementsprechend lassen sich die allgemeinen mathematischen Kompetenzen als Dispositionen von Schülerinnen und Schülern vielfältig inhaltsbezogen konkretisieren. Im Folgenden werden Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen benannt. Sie sind jeweils ausgewählten mathematischen Leitideen zugeordnet, um Verständnis von grundlegenden mathematischen Konzepten zu erreichen, Besonderheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt erfahren zu lassen. Folgende mathematische Leitideen sind zu Grunde gelegt: Zahl, Messen, Raum und Form, Funktionaler Zusammenhang, Daten und Zufall. Eine Leitidee vereinigt Inhalte verschiedener mathematischer Sachgebiete und durchzieht ein mathematisches Curriculum spiralförmig. Die Zuordnung einer inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenz zu einer mathematischen Leitidee ist nicht in jedem Fall eindeutig, sondern davon abhängig, welcher Aspekt mathematischen Arbeitens im inhaltlichen Zusammenhang betont werden soll. Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen geordnet nach Leitideen (L 1) Leitidee Zahl... - nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit, - stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise, - rechnen mit natürlichen, gebrochenen und negativen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, auch im Kopf, - nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen, - nutzen Überschlagsrechnungen, - runden Zahlen dem Sachverhalt entsprechend sinnvoll, - verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht, - erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge, - wählen und beschreiben Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen, - prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen.

10 10 (L 2) Leitidee Messen - nutzen das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Längen-, Flächen- und Volumenmessung, auch in Naturwissenschaften und in anderen Bereichen, - wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel) und wandeln sie ggf. um, - schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über alltagsbezogene Repräsentanten, - ermitteln Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und Kreis sowie daraus zusammengesetzten Figuren, - ermitteln Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide und Zylinder sowie daraus zusammengesetzten Körpern, - nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor oder entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial, führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in Bezug auf die Sachsituation. (L 3) Leitidee Raum und Form - erkennen und beschreiben geometrische Objekte und Beziehungen in der Umwelt, operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern, - stellen geometrische Figuren und elementare geometrische Abbildungen im ebenen kartesischen Koordinatensystem dar, - fertigen Netze, Schrägbilder und Modelle von ausgewählten Körpern an und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen, - klassifizieren Winkel, Dreiecke, Vierecke und Körper, - erkennen und erzeugen Symmetrien, - wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen und Berechnungen an, insbesondere den Satz des Pythagoras, - zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel, wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometrie-Software. (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang - beschreiben und interpretieren funktionale Zusammenhänge und ihre Darstellungen in Alltagssituationen, - verwenden für funktionale Zusammenhänge unterschiedliche Darstellungsformen, - unterscheiden proportionale und antiproportionale Zuordnungen in Sachzusammenhängen und stellen damit Berechnungen an, - nutzen die Prozentrechnung bei Wachstumsprozessen (beispielsweise bei der Zinsrechnung), auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms, - nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen situationsgerecht, - lösen einfache lineare Gleichungen, - vergleichen ihr Vorgehen beim Lösen einfacher linearer Gleichungen mit anderen Lösungsverfahren (wie inhaltlichem Lösen oder systematischem Probieren).

11 11 (L 5) Leitidee Daten und Zufall - werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, - sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel wie Software, - berechnen und interpretieren Häufigkeiten und Mittelwerte, - beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, - interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag, - bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten Anforderungsbereiche der allgemeinen mathematischen Kompetenzen Zum Lösen mathematischer Aufgaben werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen in unterschiedlicher Ausprägung benötigt. Diesbezüglich lassen sich drei Anforderungsbereiche unterscheiden: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen sowie Verallgemeinern und Reflektieren. Im Allgemeinen nehmen Anspruch und kognitive Komplexität von Anforderungsbereich zu Anforderungsbereich zu. Die Anforderungsbereiche sind für alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen wie folgt charakterisiert: Anforderungsbereich I: Reproduzieren Dieser Bereich umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen Dieser Bereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieser Bereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Reproduzieren Zusammenhänge herstellen K1 - Mathematisch argumentieren. Dazu gehört: - Routineargumentationen - überschaubare mehrschrittige wiedergeben (wie Rechnungen, Argumentationen erläutern oder Verfahren, Herleitungen, Sätze, die entwickeln aus dem Unterricht vertraut sind) - einen Lösungsweg beschreiben - mit Alltagswissen argumentieren und begründen - Ergebnisse bzgl. ihres Anwendungskontextes bewerten - Zusammenhänge, Ordnungen und Strukturen erläutern Verallgemeinern und Reflektieren - komplexe Argumentationen erläutern oder entwickeln - verschiedene Argumentationen bewerten - Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind und Vermutungen begründet äußern

12 12 Reproduzieren Zusammenhänge herstellen K2 - Probleme mathematisch lösen. Dazu gehört: - Routineaufgaben lösen ( sich zu - Probleme bearbeiten, deren helfen wissen ) Lösung die Anwendung von - einfache Probleme mit bekannten - heuristischen Hilfsmitteln, auch experimentellen - Verfahren Strategien und Prinzipien erfordert lösen - Probleme selbst formulieren - die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen K3 - Mathematisch modellieren. Dazu gehört: - vertraute und direkt erkennbare Modelle nutzen - einfachen Erscheinungen aus der Erfahrungswelt mathematische Objekte zuordnen - Resultate am Kontext prüfen - Modellierungen, die mehrere Schritte erfordern, vornehmen - Ergebnisse einer Modellierung interpretieren und an der Ausgangssituation prüfen - einem mathematischen Modell passende Situationen zuordnen K4 - Mathematische Darstellungen verwenden. Dazu gehört: - vertraute und geübte Darstellungen - Beziehungen zwischen von mathematischen Objekten und Darstellungsformen erkennen und Situationen anfertigen oder nutzen zwischen den Darstellungsformen wechseln Verallgemeinern und Reflektieren - anspruchsvolle Probleme bearbeiten das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren - komplexe oder unvertraute Situationen modellieren - verwendete mathematische Modelle (wie Formeln, Gleichungen, Darstellungen von Zuordnungen, Zeichnungen, strukturierte Darstellungen, Ablaufpläne) reflektieren und kritisch beurteilen - eigene Darstellungen entwickeln - verschiedene Formen der Darstellung zweckentsprechend beurteilen - nicht vertraute Darstellungen lesen und ihre Aussagekraft beurteilen K5 - Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen. Dazu gehört: - Routineverfahren verwenden - mit vertrauten Formeln und Symbolen umgehen - Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt - Lösungs- und Kontrollverfahren hinsichtlich ihrer Effizienz bewerten K6 - Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen. Dazu gehört: - mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software) in Situationen nutzen, in denen ihr Einsatz geübt wurde K7 Kommunizieren. Dazu gehört: - einfache mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich ausdrücken - aus kurzen, einfachen mathematikhaltigen Texten, Grafiken und Abbildungen Informationen entnehmen - auf Fragen und Kritik sachlich und angemessen reagieren - mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Tabellen und Diagrammen arbeiten - mathematische Werkzeuge verständig auswählen und einsetzen - Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse verständlich darstellen - komplexe mathematikhaltige Texte, Grafiken und Abbildungen sinnentnehmend erfassen - die Fachsprache adressatengerecht verwenden - auf Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten eingehen - mit Fehlern konstruktiv umgehen - Möglichkeiten und Grenzen der Nutzung mathematischer Werkzeuge reflektieren - komplexe mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich präsentieren - komplexe mathematische Texte sinnentnehmend erfassen - Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten bewerten

13 13 3 Mathematik Realschule 3.1 Allgemeine mathematische Kompetenzen (RS) (K 1) Mathematisch argumentieren - Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind ( Gibt es?, Wie verändert sich?, Ist das immer so? ) und Vermutungen begründet äußern, - mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise), - Lösungswege beschreiben und begründen. (K 2) Probleme mathematisch lösen - vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten, - geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen und anwenden, - die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren. (K 3) Mathematisch modellieren - den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, - in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten, - Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren und prüfen. - (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden - verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden, - Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen, - unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln. - (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen - mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten, - symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt, - Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen, - mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software) sinnvoll und verständig einsetzen. (K 6) Kommunizieren - Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, verständlich darstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien, - die Fachsprache adressatengerecht verwenden, - Äußerungen von anderen und Texte zu mathematischen Inhalten verstehen und überprüfen.

14 Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik Mathematische Leitideen Die oben beschriebenen allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden von Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Dementsprechend lassen sich die allgemeinen mathematischen Kompetenzen als Dispositionen von Schülerinnen und Schülern vielfältig inhaltsbezogen konkretisieren. Im Folgenden werden Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen benannt. Sie sind jeweils ausgewählten mathematischen Leitideen zugeordnet, um Verständnis von grundlegenden mathematischen Konzepten zu erreichen, Besonderheiten mathematischen Denkens zu verdeutlichen sowie Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt erfahren zu lassen. Folgende mathematische Leitideen sind zu Grunde gelegt: Zahl, Messen, Raum und Form, Funktionaler Zusammenhang, Daten und Zufall. Eine Leitidee vereinigt Inhalte verschiedener mathematischer Sachgebiete und durchzieht ein mathematisches Curriculum spiralförmig. Die Zuordnung einer inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenz zu einer mathematischen Leitidee ist nicht in jedem Fall eindeutig, sondern davon abhängig, welcher Aspekt mathematischen Arbeitens im inhaltlichen Zusammenhang betont werden soll. Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen geordnet nach Leitideen (L 1) Leitidee Zahl - nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit, - stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise, - begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an Beispielen, - nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen, - nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen und andere Verfahren, - runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll, - verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht,

15 15 - erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge, - wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen, - führen in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen durch, um die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten zu bestimmen, - prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells und seiner Bearbeitung. (L 2) Leitidee Messen - nutzen das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Längen-, Flächen- und Volumenmessung, auch in Naturwissenschaften und in anderen Bereichen, - wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel), - schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten, - berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und Kreis sowie daraus zusammengesetzten Figuren, - berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern, - berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen, - nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor, entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial, führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in Bezug auf die Sachsituation. (L 3) Leitidee Raum und Form - erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt, - operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern, - stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar, - stellen Körper (z. B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen, - analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene und des Raumes, - beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen, - wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen an, insbesondere den Satz des Pythagoras und den Satz des Thales, - zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware, - untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen, - setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und Problemlösen ein.

16 16 (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang - nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, - erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar, - analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (wie lineare, proportionale und antiproportionale), - lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen, - interpretieren lineare Gleichungssysteme graphisch, - lösen Gleichungen, und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig bzw. algorithmisch, auch unter Einsatz geeigneter Software, und vergleichen ggf. die Effektivität ihres Vorgehens mit anderen Lösungsverfahren (wie mit inhaltlichem Lösen oder Lösen durch systematisches Probieren), - untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen, - bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her, - wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an, - verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen, - beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms, - geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können. (L 5) Leitidee Daten und Zufall - werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, - planen statistische Erhebungen, - sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software), - interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen, - reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren, - beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, - bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.