Originalklausur mit Musterlösung

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1 Originalklausur mit Musterlösung Abitur Mathematik Aufgabe A: Aufgabe B: Aufgabe C: Aufgabe D: Analysis Geometrie / Algebra Stochastik Verschiedenes In den Aufgabenstellungen werden unterschiedliche Operatoren (Arbeitsanweisungen) verwendet; sie weisen auf unterschiedliche Anforderungsbereiche (Schwierigkeitsgrade) hin und bedeuten, dass unterschiedlich viele Punkte erzielt werden können. Die Lösungen zeigen beispielhaft, welche Antworten die verschiedenen Operatoren erfordern. Alles Wissenswerte rund um die Abiprüfung finden Sie im Buch im Kapitel Prüfungsratgeber und Prüfungsaufgaben. Originalklausuren mit Musterlösungen zu weiteren Fächern finden Sie auf in der Rubrik SMS Abi. Das Passwort zum Download befindet sich auf der vorderen Umschlagklappe. Die Veröffentlichung der Abitur-Prüfungsaufgaben erfolgt mit Genehmigung des zuständigen Kultusministeriums. Das Schnell-Merk-System fürs Abi aufschlagen, nachschlagen, merken Buch Prüfungswissen für Oberstufe und Abitur systematisch aufbereitet nach dem SMS-Prinzip Extrakapitel mit Prüfungsaufgaben zu allen Unterrichtseinheiten, zu Operatoren und Anforderungsbereichen und Download Originalklausuren mit Musterlösungen als Beispiele für den Umgang mit Operatoren kostenlos auf Für die Fächer Deutsch, Englisch, Mathematik, Geschichte, Biologie, Chemie, Physik sowie Politik und Wirtschaft

2 Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 7/8 Geltungsbereich: - allgemeinbildendes Gymnasium - Abendgymnasium und Kolleg - schulfremde Prüfungsteilnehmer Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik - E R S T T E R M I N - Material für den Prüfungsteilnehmer Allgemeine Arbeitshinweise Ihre Arbeitszeit (einschließlich der Zeit für das Lesen der Aufgabentexte und der Zeit für die Auswahl der Wahlaufgabe) beträgt 3 Minuten. Auf dem Deckblatt der Arbeit haben Sie den verwendeten GTR-Typ anzugeben. Die Prüfungsarbeit besteht aus den zu bearbeitenden Pflichtteilen A, B und C sowie dem Wahlteil D. Es sind alle Aufgaben der Pflichtteile zu bearbeiten. Aus dem Teil D ist genau eine der beiden Wahlaufgaben zu bearbeiten. Der Lösungsweg mit Begründungen, Nebenrechnungen und (bei Konstruktionen) Hilfslinien muss deutlich erkennbar in gut lesbarer Form dargestellt werden. Insgesamt sind 6 Bewertungseinheiten (BE) erreichbar, davon im Teil A 5 BE, im Teil B 5 BE, im Teil C BE, im Teil D BE. Erlaubte Hilfsmittel: - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung - Taschenrechner ohne Computer-Algebra-System - Tabellen- und Formelsammlung (im Unterricht eingeführt, ohne ausführliche Musterbeispiele) - Zeichengeräte - Beiliegende Materialien für Aufgaben zur Stochastik Signatur 49/ (Math-LK-ET/Ma) Seite von 7

3 Prüfungsinhalt Pflichtaufgaben Teil A: Analysis Für jede reelle Zahl a ( a > ) ist eine Funktion a mit a (x) 4 x ( a x ) definiert. a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D fa an. = ( x ) Zeigen Sie, dass für jedes a der Koordinatenursprung auf dem Graphen der Funktion liegt. f a Außerdem existiert für jedes a ein weiterer gemeinsamer Punkt Z a des Graphen der Funktion f a mit der Abszissenachse. Geben Sie die Koordinaten des Punktes Z a an und zeigen Sie, dass der Anstieg der Tangenten im Punkt stets unabhängig von a ist. Z a Berechnen Sie für jedes a die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen der Funktion und untersuchen Sie die Art des Extremums. f a Begründen Sie, dass kein a existiert, für das der Graph der Funktion Wendepunkt besitzt. Geben Sie den Wertebereich von an. f a f a einen Erreichbare BE-Anzahl: b) Für jedes u u R, < u < sind die Punkte P a (u; fa(u)), Q(u; ) und der a Koordinatenursprung Eckpunkte eines Dreiecks. Es gibt genau einen Wert u, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird. Berechnen Sie diesen Wert u. Ermitteln Sie den Wert a, für den sich ein maximaler Flächeninhalt von ergibt. Erreichbare BE-Anzahl: 5 c) Für jedes a begrenzen der Graph der Funktion f a und die Abszissenachse eine Fläche vollständig. 8 Berechnen Sie den Wert a, für den der Inhalt dieser Fläche beträgt. 4 Erreichbare BE-Anzahl: 5 d) Für jedes x ( x R, x > ) ist die Funktion f Stammfunktion einer Funktion g. Berechnen Sie alle Werte von t ( t R, t > ), für die gilt: g (z) dz < f (x). x t D fa Erreichbare BE-Anzahl: 3 Signatur 49/ (Math-LK-ET/Ma) Seite von 7

4 Teil B: Geometrie / Algebra In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (4; ; ), B(; 4; ) und C (4; 4; 3) sowie für jedes t ( t R) ein Punkt (3 + t; 3 + t; t) gegeben. Es gibt Punkte S, für die das Dreieck ABC Grundfläche einer Pyramide ABCS ist. t a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, auf der die Punkte S t liegen. b) Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. S t Erreichbare BE-Anzahl: Erreichbare BE-Anzahl: c) Ermitteln Sie alle Werte t, für die A, B, C und S t Eckpunkte einer Pyramide sind. Weisen Sie rechnerisch nach, dass diese Pyramide Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCS t. ABCS t gerade ist. Erreichbare BE-Anzahl: 6 d) Es existiert genau ein Wert t, für den die Punkte P 5; 6;, A, B und S t in einer 3 Ebene liegen. Ermitteln Sie diesen Wert t. Erreichbare BE-Anzahl: e) Es gibt Pyramiden ABCS t mit einem rechtwinkligen Dreieck als Seitenfläche. Begründen Sie, dass für diese Pyramiden alle Seitenflächen rechtwinklige Dreiecke sind. Berechnen Sie alle Werte t, für die Pyramiden mit rechtwinkligen Seitenflächen entstehen. Erreichbare BE-Anzahl: 4 t Signatur 49/ (Math-LK-ET/Ma) Seite 3 von 7

5 Teil C: Stochastik Stefan und Tina nutzen ein Computerprogramm, das zufällig jeweils eine der Zahlen ; oder + erzeugt. Erfahrungsgemäß tritt die Zahl zu %, die Zahl zu 3 % und die Zahl + zu 5 % auf. a) Ein Zufallsexperiment besteht darin, dass drei Zahlen erzeugt werden. Betrachtet wird die Summe dieser drei Zahlen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Ereignis A: Die Summe dieser Zahlen beträgt. Ereignis B: Bei vier Durchführungen dieses Zufallsexperimentes kommt genau zwei Mal die Summe vor. Ereignis C: Bei zwei Durchführungen dieses Zufallsexperimentes kommt mindestens ein Mal die Summe vor. Erreichbare BE-Anzahl: 4 b) In einem Spiel rufen Tina und Stefan abwechselnd mit ihrem Computerprogramm eine Zahl ab, insgesamt aber höchstens 5 Zahlen. Stefan beginnt das Spiel. Gewonnen hat derjenige, der zuerst die Zahl erhält. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit mit der Stefan gewinnt. Der Sieger bekommt vom Verlierer das Quadrat der Anzahl der abgerufenen Zahlen in Euro. Hat nach dem 5. Abruf niemand gewonnen, zahlt Stefan an Tina einen Betrag x. Ermitteln Sie den Betrag x so, dass das Spiel fair ist. Erreichbare BE-Anzahl: 4 c) Tina und Stefan testen ein entsprechendes Computerprogramm eines Mitschülers. 4 % der ermittelten Zufallszahlen waren +, davon hat Tina 55 % ermittelt. Von den anderen Zufallszahlen hat Tina 5 % ermittelt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die von Tina ermittelten Zufallszahlen nicht + sind. Erreichbare BE-Anzahl: Signatur 49/ (Math-LK-ET/Ma) Seite 4 von 7

6 Teil D: Wahlaufgaben Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus. Wahlaufgabe Es gibt verschiedene Arten von Sonnenuhren. Bei den vertikalen Sonnenuhren befindet sich das Ziffernblatt auf einer vertikalen Projektionsebene, z. B. einer Häuserwand. An dieser ist ein zu dieser Ebene geneigter Schattenstab befestigt. Die Projektionsebene einer vertikalen Sonnenuhr sei die x-z-koordinatenebene eines kartesischen Koordinatensystems ( Einheit entspricht m), dessen x-achse in Ost- West-Richtung verläuft. Der Schattenstab ist im Koordinatenursprung befestigt und endet im Punkt P(,;,;,5). a) Die Neigung des Schattenstabes gegenüber der x-y-ebene entspricht näherungsweise der geographischen Breite des Aufstellungsortes der Sonnenuhr. Berechnen Sie die geographische Breite des Aufstellungsortes der Sonnenuhr. Erreichbare BE-Anzahl: b) Durch die Länge des Schattens lässt sich mit Sonnenuhren auch das Datum anzeigen. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors 4 ein. 5 Bestimmen Sie die Länge des Schattens auf der Projektionsebene. Erreichbare BE-Anzahl: 3 c) Zwischen einer Sonnenuhr und einer mechanischen Uhr gibt es Zeitabweichungen t durch die Ellipsenbewegung der Erde um die Sonne und Zeitabweichungen t durch die Neigung der Erdachse. Die gesamte Zeitabweichung t (in Minuten) kann an einem bestimmten Ort näherungsweise durch folgende Zeitgleichung modelliert werden: t = t + t = 8 sin (T 85) + sin (T 8) T R, < T 365,5 365,5 ( 365) Die Variable T kennzeichnet die Tage eines Nichtschaltjahres (für den. Januar gilt < T, für den. Januar gilt < T usw.). Geben Sie einen Tag des Jahres an, an dem zu einem bestimmten Zeitpunkt die Zeitabweichung t keinen Einfluss auf t hat. Bestimmen Sie ein Datum eines Jahres, an dem die Sonnenuhr und die mechanische Uhr gleich gehen. Ermitteln Sie einen Näherungswert für die maximale Zeitabweichung t. Erreichbare BE-Anzahl: 5 Signatur 49/ (Math-LK-ET/Ma) Seite 5 von 7

7 Wahlaufgabe Die Schönfelder Papierfabrik im Erzgebirge stellt verschiedene Arten von Recycling-Papieren her. Papierrolle Bei der Herstellung wird das Papier am Ende der Papiermaschine auf einen Tambour (Trommel) mit einem Durchmesser von 4, cm Papierbahn aufgewickelt (siehe Abbildung). Walze Tambour Abbildung (nicht maßstäblich) Der Tambour rotiert um eine Achse, die in einem kartesischen Koordinatensystem ( Einheit entspricht m) durch die Gleichung,, x = 3, + t 5, ( t R, t, 68) beschrieben werden kann. 3,, Das Papier wird mit einer Breite von 33 cm mittig auf dem Tambour aufgerollt. a) Der Tambour ist so lang wie seine Drehachse. Ermitteln Sie, wie weit der Tambour auf jeder der beiden Seiten der Papierrolle übersteht. Erreichbare BE-Anzahl: b) Zu Beginn der Aufwicklung auf den leeren Tambour verläuft die Papierbahn zwischen Tambour und der dazu parallelen Walze in der Ebene E mit der Gleichung 5 x + y 4 z =. Der Durchmesser der Walze wird für den folgenden Sachverhalt vernachlässigt. Auf der Walze existiert ein Punkt ( 5,;,; 5,5) P. Zeigen Sie, dass der Punkt P in der Ebene E liegt und dass die Ebene E den Tambour berührt. Erreichbare BE-Anzahl: 3 c) Bei der Herstellung einer bestimmten Papiersorte beträgt die Papierdicke, mm. Ein Quadratmeter dieses Papiers hat eine Masse von 6, g. Berechnen Sie die Masse des aufgewickelten Papiers, wenn der Durchmesser der auf dem Tambour aufgewickelten Rolle 4 cm beträgt. Erreichbare BE-Anzahl: 5 Signatur 49/ (Math-LK-ET/Ma) Seite 6 von 7

8 Φ(z) = π Φ( z) = Φ(z) Materialien für Aufgaben zur Stochastik Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung z t e dt z ,,5,54,58,5,56,599,539,579,539,5359,,5398,5438,5478,557,5557,5596,5636,5675,574,5753,,5793,583,587,59,5948,5987,66,664,63,64,3,679,67,655,693,633,6368,646,6443,648,657,4,6554,659,668,6664,67,6736,677,688,6844,6879,5,695,695,6985,79,754,788,73,757,79,74,6,757,79,734,7357,7389,74,7454,7486,757,7549,7,758,76,764,7673,774,7734,7764,7794,783,785,8,788,79,7939,7967,7995,83,85,878,86,833,9,859,886,8,838,864,889,835,834,8365,8389,,843,8438,846,8485,858,853,8554,8577,8599,86,,8643,8665,8686,878,879,8749,877,879,88,883,,8849,8869,8888,897,895,8944,896,898,8997,95,3,93,949,966,98,999,95,93,947,96,977,4,99,97,9,936,95,965,979,99,936,939,5,933,9345,9357,937,938,9394,946,948,949,944,6,945,9463,9474,9484,9495,955,955,955,9535,9545,7,9554,9564,9573,958,959,9599,968,966,965,9633,8,964,9649,9656,9664,967,9678,9686,9693,9699,976,9,973,979,976,973,9738,9744,975,9756,976,9767,,977,9778,9783,9788,9793,9798,983,988,98,987,,98,986,983,9834,9838,984,9846,985,9854,9857,,986,9864,9868,987,9875,9878,988,9884,9887,989,3,9893,9896,9898,99,994,996,999,99,993,996,4,998,99,99,995,997,999,993,993,9934,9936,5,9938,994,994,9943,9945,9946,9948,9949,995,995,6,9953,9955,9956,9957,9959,996,996,996,9963,9964,7,9965,9966,9967,9968,9969,997,997,997,9973,9974,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9979,998,998,9,998,998,998,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 3,,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,999,999 3,,999,999,999,999,999,999,999,999,9993,9993 3,,9993,9993,9994,9994,9994,9994,9994,9995,9995,9995 3,3,9995,9995,9995,9996,9996,9996,9996,9996,9996,9997 3,4,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9998 3,5,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998 3,6,9998,9998,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,7,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,8,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,9,,,,,,,,,, y x Signatur 49/ (Math-LK-ET/Ma) Seite 7 von 7

9 Musterlösungen für die Prüfungsaufgaben Abitur Pflichtaufgaben Teil A: Analysis a) Da die Wurzelfunktion nur für nichtnegative reelle Zahlen definiert ist, gilt D fa = {x R ; x }. Für alle a > gilt f a () = 4 ( a ) = 4 ( ) = 4 =. Also verläuft jeder Graph durch den Koordinatenursprung ( ). Es muss gezeigt werden, dass die Funktionen f a außer an der Stelle x = noch eine weitere Nullstelle x besitzen. Wegen f a (x) = (4 x) ( a x) gilt f a (x) = genau dann, wenn 4 x = oder a x = gilt. Der erste Fall führt auf die schon berechnete Nullstelle x =, daher muss nur noch folgende Gleichung gelöst werden: a x = a x = x = a = x = a. Eine weitere Nullstelle von f a liegt also an der Stelle x = a vor. Die Koordinaten von Z a lauten ( a, ). Um die Steigung der Tangenten von f a im Punkt Z a zu bestimmen, muss die Ableitung von f a an der Stelle x ausgewertet werden. Für die Ableitung von f a erhält man mit der Produktformel f a(x) = 4 ( a x) ( ) + 4 x a = 4 6 a x. x Auswerten von f a(x) an der Stelle x = a liefert f a ( ) a a = 4 6 = 4 6 =. a Der Anstieg der Tangente im Punkt Z a beträgt also für alle a > und ist damit in der Tat unabhängig von a. ½

10 Um eventuelle Extremwerte von f a zu ermitteln, müssen zunächst die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt werden. Es gilt: f a(x) = 4 6 a x = x = 3 a = x = 4 9 a. Die Stelle x = 4 9 a ist damit der einzige Kandidat für einen Extremwert. Wir berechnen die zweite Ableitung f a (x) = 3 a x Wegen a > ist die zweite Ableitung negativ für alle x >, insbesondere auch an der Stelle x, also liegt dort ein lokales Maximum vor. Der Wert von f a an dieser Stelle beträgt ( ) 4 f a (x ) = f a 9 a = 4 ( 4 9 a a ) = 6 3 a 9 a 3 = 6 7 a. Die Koordinaten des lokalen Extrempunkts lauten also ( 4 9 a 6 7 a ). Die Graphen von f a besitzen alle keinen Wendepunkt, da deren zweite Ableitung auf dem gesamten Definitionsbereich negativ ist. Bei einem Wendepunkt müsste die zweite Ableitung eine Nullstelle besitzen. Der Graph von f a verläuft links vom lokalen Maximum streng monoton steigend (da die erste Ableitung dort positiv ist), rechts davon streng monoton fallend (da die erste Ableitung dort stets negativ ist). Also ist das lokale Maximum auch das globale. Ferner gilt lim x f a (x) = wegen lim x 4 x = und lim x a x = für a >. Damit erhält man für den den Wertebereich { W fa = x R : < x 6 } 7 a. Die Abbildung zeigt die Graphen für einige Werte von a. Dies war in der Aufgabenstellung allerdings nicht verlangt. y x f f,5 f f,5 b) Für jedes u und jedes a handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Kathetenlängen u und f a (u). Bezeichnet man mit A a (u) den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u, dann gilt A a (u) = u f a(u) = u ( a u). ¾

11 Der gesuchte maximale Flächeninhalt entspricht dem Maximalwert der Funktion A a im Intervall (, a ). Um diesen zu ermitteln, bestimmt man die erste Ableitung: A a (u) = 4 u ( a u) u a u = u (4 4 a u a u ) = u (4 5 a u). Die Ableitung verschwindet für u = (dieser Fall ist uninteressant) oder wenn gilt: 4 5 a u = u = 6 5 a. An der Stelle u = 6 5 a liegt ein Maximum von A a vor, da A a links davon positiv und rechts davon negativ ist. Ferner liegt u im vorgegebenen Intervall (, a ). Der gesuchte maximale Flächeninhalt des Dreiecks ist also durch den Wert ( ) 6 6 A a (u ) = A a 5 a = 5 a 4 5 = 5 35 a 4 gegeben. Es ist A a (u ) = 5 35 a 4 = 4 a = 4, c) Der Flächeninhalt wird durch das Integral von f a über den Bereich von bis x berechnet. Es ist x Nun gilt f a (x)dx = = /a ( ) 4 x 4 a x 3 dx ( x 4 a ) /a 5 x5 5 a 4 = a = = 4 8 = 3. = a 4 8 a 5 a 5 = 5 a 4. 8 Der Graph der Funktion f schließt damit den Flächeninhalt 3 4 mit der Abszissenachse ein. d) Da f Stammfunktion zur Funktion g ist, gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: x t g (z)dz = f (x) f (t). Es geht daher nur darum, folgende Ungleichung zu lösen: f (x) f (t) < f (x) f (t) >. Nun hat f nach Aufgabenteil a) Nullstellen bei t = und t = 4. Zwischen diesen beiden Nullstellen ist f positiv. Daher liegen die gesuchten Werte von t genau im Intervall (, 4).

12 Teil B: Geometrie / Algebra a) Die Gleichung der Geraden lautet 3 x = 3 + t. b) Es ist AB = 4 4, AC = 4, 4 BC = 4. 4 Damit erhält man für die die Seitenlängen AB, BC und AC der Grundfläche AB = ( 4) = 3 = 4 AC = = 3 = 4 BC = = 3 = 4. Da die Seiten alle gleich lang sind, ist die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck. c) Man erhält eine Pyramide für alle Punkte S t, die nicht in der durch A, B und C aufgespannten Ebene E ABC liegen. Eine Parameterdarstellung dieser Ebene lautet 4 4 E ABC = A + λ AB + µ AC = + λ 4 + µ 4. Für einen Normalenvektor n muss gelten 4 n 4 = und n 4 =. 4 Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem, das etwa mit dem Gauß-Algorithmus lösbar ist. Man sieht allerdings auch unmittelbar, dass n = eine Lösung ist. Eine Normalengleichung von E ABC lautet daher 4 x = bzw. x = 5. Ein Punkt S t (3 + t; 3 + t; t) liegt genau dann in E ABC, wenn 4 (3 + t) + (3 + t) + t = t = 5, also t = 3 gilt. Damit erhält man für alle Punkte S t mit t 3 eine Pyramide. Die Gerade, auf der die Punkte S t liegen, liegt senkrecht zur Ebene E ABC, da der Rich-

13 tungsvektor der Geraden mit dem Normalenvektor n übereinstimmt. Um zu zeigen, dass die Pyramide für alle t mit t 3 gerade ist, muss daher nur nachgewiesen werden, dass die Gerade die Ebene genau im Schwerpunkt des Dreiecks ABC schneidet. Der Schnittpunkt S entspricht nach der obigen Rechnung dem Punkt auf der Geraden mit dem Parameterwert t = 3. Damit gilt S = S 3 = = 8/3 8/3. /3 Der Abstand von S zu den Eckpunkten A, B und C beträgt jeweils AS = 3 (4 8/3) + ( 8/3) + ( /3) = 3, BS = 3 ( 8/3) + (4 8/3) + ( /3) = 3, CS = (4 8/3) + (4 8/3) + (3 /3) = 3 3. Der Schnittpunkt S hat zu allen drei Eckpunkten denselben Abstand und ist folglich auch der Schwerpunkt des Dreicks ABC. Damit ist gezeigt, dass die Pyramide für alle Werte von t mit t 3 gerade ist. Da die Gerade, auf der die Punkte S t liegen, senkrecht zur Grundfläche der Pyramide liegt, gilt für die Höhe h der Pyramide ABCS t h = S t S = (3 + t 8/3) + (3 + t 8/3) + ( t /3) = 3 (/3 + t) = t. Ferner hat das gleichseitige Dreieck der Grundfläche den Flächeninhalt A G = 4 (4 ) ( ) = 4 6 = 8 3. Damit erhält man für das Volumen V (t) der Pyramide ABCS t V (t) = 3 A G h = t = t. d) Eine Parameterdarstellung für die Ebene E PAB lautet E PAB = P + λ PA + µ PB = 5 6 /3 Ein Normalenvektor n erfüllt die beiden Gleichungen n 6 = 5, und n =. 7/3 7/3 5 + λ 6 + µ. 7/3 7/3

14 Setzt man etwa n =, so führt das auf das Gleichungssystem 6n n 3 = n n 3 = 5 mit den Lösungen n = und n 3 = 3. Es folgt n =, und eine Normalengleichung für E PAB 3 lautet 5 x 6 = bzw. x + x + 3x 3 =. /3 3 Der Punkt S t liegt genau dann in E PAB, wenn (3 + t) + (3 + t) + 3 ( t) =, also t = 5 gilt. Somit liegen die Punkte P, A, B und S 5 in einer Ebene. e) Da die Pyramide für alle zulässigen Werte von t gerade ist, sind die Seitenflächen kongruent. Ist eine Seitenfläche rechtwinklig, dann also auch die anderen beiden. Daher genügt es, sich für die folgende Rechnung auf eine Seitenfläche etwa das Dreieck ABS t zu konzentrieren und diejenigen Werte t zu bestimmen, für die dieses Dreieck einen rechten Winkel im Punkt S t besitzt. In diesem Fall gilt AS t t 3 + t BS t = 3 + t t =. t + + t Dies führt auf die quadratische Gleichung 3t + t 5 = bzw. t + 5 t 5 3 =. Mithilfe der p-q-formel ergeben sich die Nullstellen t, = 3 ± 6 9 = 3 ± 4 3. Man erhält also rechtwinklige Dreiecke genau für die Werte t = und t = 5 3. Teil C: Stochastik a) Das Ereignis A besteht genau aus den drei Wurfserien (,, ), (,, ) und (,, ), die alle jeweils die Wahrscheinlichkeit...3 =, besitzen. Folglich gilt P(A) = 3, =, 36 = 3, 6%

15 Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B zu berechnen, mache man sich zunächst klar, dass es ( 4 ) = 6 Möglichkeiten gibt, die beiden Versuche, in denen man als Summe erhält, auf die 4 Versuche insgesamt zu verteilen. Jede dieser Möglichkeiten besitzt die Wahrscheinlichkeit, 36, 36 (, 36) (, 36), also folgt P(B) = 6 (, 36, 36 (, 36) (, 36) ), 7 =, 7% Das Ereignis, dass in einem Versuch die Summe erzielt wird, besteht aus der Wurfserie (,, ) sowie sämtlichen Serien, in denen die Zahlen, und genau einmal vorkommen. Von diesen gibt es genau 3! = 6 verschiedene Möglichkeiten (entsprechend der Anzahl der verschiedenen Anordnungen der drei Zahlen). Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt also 6 (, 5, 3, ) +, 3, 3, 3 =, 7. Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, in zwei Versuchen die Summe nicht zu erzielen P(C) = (, 7) (, 7). Daraus ergibt sich dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(C) = P(C) = (, 7) (, 7), 37 = 37, %. b) Die Wahrscheinlichkeiten, dass Stefan beim k-ten (k =,, 3) seiner Versuche bzw. Tina beim j-ten (j =, ) ihrer Versuche gewinnen, betragen P(Stefan, k) =,, 8 (k ) und P(Tina, j) =,, 8 j Dabei beschreibt der jeweils erste Faktor die immer gleich bleibende Wahrscheinlichkeit, dass in einem Versuch die Zahl erscheint, der zweite die Wahrscheinlichkeit, dass in den (k ) bzw. j vorhergehenden Versuchen nicht die Zahl erzielt wurde. Für die Wahrscheinlichkeit, dass Stefan gewinnt, ergibt sich also P(Stefan gewinnt) = P(Stefan, ) + P(Stefan, ) + P(Stefan, 3) =,, 8 +,, 8 +,, 8 4, 499. Sei x der Betrag der an Tina ausbezahlt wird, falls nach fünf Versuchen niemand die Zahl abgerufen hat. Dann gewinnt Tina durchschnittlich E(x) = P(Stefan, ) e + P(Tina, ) 4e P(Stefan, ) 9e +P(Tina, ) 6e P(Stefan, 3) 5e xe =. e e..8 9e e e xe =, 6e xe. Damit das Spiel fair ist, muss E(x) = gelten. Damit errechnet sich der Betrag, den Tina erhalten müsste zu x = 3, 4e.

16 c) Bezeichne X die Zufallsgröße für die ermittelte Zufallszahl, Y die Zufallsgröße für die Person, die die Zahlen ermittelt. Dann sind folgende Werte gegeben P(X = ) =, 4, P(X ) =, 6, P X= (Y = Tina) =, 55, P X (Y = Tina) =, 5. Gesucht ist der Wert P Y =Tina (X ). Für diesen existiert die Formel P Y =Tina (X ) = P((X ) (Y = Tina)). ( ) P(Y = Tina) Für den Nenner in dem Bruch auf der rechten Seite erhält man mit der zweiten Pfadregel P(Y = Tina) = P(X = ) P X= (Y = Tina) + P(X ) P X (Y = Tina) =, 4, 55 +, 6, 5 =, 5. Den Zähler ermittelt man mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: P((X ) (Y = Tina)) = P(X ) P X (Y = Tina) =.6.5 =.3. Einsetzen dieser Ergebnisse in ( ) liefert schließlich P Y =Tina (X ) =, 3, 5769 = 57, 69%., 5 Wahlaufgaben Wahlaufgaben a) Die geographische Breite entspricht dem Neigungswinkel α des Stabes gegenüber der x-y-ebene. Dieser berechnet sich zu tanα =, 5,, also α 5, 34. b) Der Schnittpunkt S der Sonnenstrahlen mit der x-z-ebene besitzt Koordinaten der Form S =. Der Schnittpunkt S = =. + λ 4. z.5 5 Aus der zweiten Zeile folgt λ =, 5. Damit erhält man als z-koordinate des Schnittpunkts z =.5. Dies ist gleich der Länge des Vektors S und damit gleich der gesuchten Schattenlänge. Diese beträgt also, 5 m. z

17 c) Es gilt ( 36 ) t = sin (T 8) = 36, , 5 (T 8) = k 8 (k Z) T = k 36, (k Z). Für k = erhält man zum Beispiel T = 8, das heißt den 8. Tag des Jahres. Das ist der. März. Weitere zulässige Ergebnisse im Intervall (, 365] erhält man, wenn man k =, k = oder k = 3 setzt, d) Mit dem GTR ermittelt man die Nullstellen der Funktion t(t). Dies liefert Nullstellen am 6., 6., 4. und 357. Tag des Jahres. Die entsprechenden Daten sind der 7.4., der.6., der 3.8. und der 4.. Mit dem GTR ermittelt man das Maximum der Funktion t(t) auf dem Intervall (, 365]. Man erhält max{ t(t) : T (, 365]} = 7, 7. Die maximale Zeitabweichung beträgt ungefähr 7 Minuten. Wahlaufgaben, a) Die Länge l der Drehachse ist die Länge des Vektors.68 5,. Man erhält l = (.68) + (5.68) = 3, 669., Der Überstand auf beiden Seiten beträgt damit 366, 9cm 33 cm = 8, 95 cm b) Die Koordinaten des Punktes P erfüllen wegen 5 5, +, 4 5, 5 =. die Ebenengleichung für E. Damit liegt P in E. Wegen 5 (, ) + 5, 4, = stehen der Normalenvektor n E = 5 und der Richtungsvektor, 4, die Achse liegt, senkrecht aufeinander. Das bedeutet, dass die Achse des Tambours parallel zur Ebene E verläuft. Da außerdem P in E liegt, berührt die Ebene E den Tambour. c) Der Querschnitt der aufgewickelten Rolle ist eine Kreisscheibe mit der Fläche A = 7 π cm π cm 437 cm 5, der Geraden, in der

18 Das Volumen des aufgewickelten Papiers beträgt demnach V = 437 cm 33 cm = 4665 cm 3 Bei einer Papierdicke von, mm entspricht das der folgenden Fläche an Papier: 4665 cm 3, cm = 4665 cm = 4665, m. Bei einem Gewicht von 6, g/m =, 6 kg/m führt das auf ein Gesamtgewicht von (4665,, 6) kg 799 kg, 8 t. ½¼

19 Die hier abgedruckten Lösungsvorschläge sind nicht die amtlichen Lösungen des zuständigen Kultusministeriums. Impressum: Alle Rechte vorbehalten. Nachdruck, auch auszugsweise, vorbehaltlich der Rechte die sich aus den Schranken des UrhG ergeben, nicht gestattet. c Dudenverlag, Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim 8 Redaktionelle Leitung: Simone Senk Redaktion: Christa Becker, Tamara Jordan Autor: Thomas Epp ½½