Flexible Performance-Messung mittels DEA im Internet

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1 UNIVERSITÄT HOHENHEIM INSTITUT FÜR BETRIEBSWIRTSCHAFTSLEHRE LEHRSTUHL FÜR INDUSTRIEBETRIEBSLEHRE Prof. Dr. W. Habenicht Flexible Performance-Messung mittels DEA im Internet Andreas Kleine und Dennis Sebastian

2 Flexible Performance-Messung mittels DEA im Internet Andreas Kleine und Dennis Sebastian Universität Hohenheim (510A) Lehrgebiet Quantitative Methoden D Stuttgart Tel. 0711/ Fax: 0711/ Internet: Arbeitspapier Nr. 48 / Juli 2009 ISSN Herausgeber: Prof. Dr. W. Habenicht, Universität Hohenheim, Institut für Betriebswirtschaftslehre, Lehrstuhl für Industriebetriebslehre (510A), Stuttgart, Tel. 0711/ , Fax: 0711/ , habenicht@uni-hohenheim.de, Internet: 2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Grundidee der Data Envelopment Analysis Implementierung eines DEA-Softwaretools Bildschirmaufbau und Navigation Neue Modellinstanz anlegen Manuelle Dateneingabe Datenimport aus Dateien DEA-Modelle Allgemeiner Modellrahmen Referenzmengen Performancemaß Ausgewählte DEA-Modelle Erweiterungen Gewichte bzw. Schattenpreise (Dualvariablen) Nicht-kontrollierbare Kriterien (Non-discretionary Variables) Super-Effizienz Modellauswahl Standardmodelle Freie Parametrisierung Zusatzoptionen Auswertungen Datentabellen Grafische Auswertungen Säulendiagramme DMU-Details Zusatzauswertung Report-Download Ausblick 29 Anhang Modellformulierungen 31 Literaturverzeichnis 35 Index 37 3

4 1 Einführung 1.1 Grundidee der Data Envelopment Analysis Soll die Performance von Organisationen verglichen werden, erweist sich ein Vergleich auf Grundlage von mehreren Kennzahlen häufig als schwierig, da sich die zu untersuchenden Organisationsteile zumeist durch eine Vielzahl relevanter Kriterien auszeichnen. Ist eine der betrachteten Organisationen im Verhältnis zu anderen bei einem bestimmten Merkmal sehr gut, bei einem anderen hingegen schlecht, so lässt sich nicht unmittelbar eine Aussage über deren relative Performance treffen. Die Data Envelopment Analysis (DEA) stellt einen Ansatz zur Performance-Messung dar, bei dem alle zu untersuchenden Kriterien zu einer Spitzenkennzahl (dem Performancemaß) zusammengefasst werden. Auf der Grundlage von quantitativ vergleichbaren Merkmalen ermöglicht die DEA somit eine unmittelbare Gegenüberstellung von Organisationen bzw. Organisationsteilen. Die zu vergleichenden (Entscheidungs-)Einheiten werden in der DEA als Decision Making Units (DMUs) bezeichnet. Ursprünglich für Unternehmen aus dem Non-Profit-Sektor (wie z.b. Museen, Gerichte oder Bildungseinrichtungen) entwickelt, findet die Data Envelopment Analysis inzwischen auch im For-Profit-Sektor Beachtung, speziell bei Dienstleistungsunternehmen. Zu vergleichende DMUs sind hier beispielsweise Krankenhäuser oder Banken. 1 Eine der ersten bekannten Veröffentlichungen zur DEA geht auf Charnes/Cooper/ Rhodes (1978) zurück. Der nach diesen Autoren benannte CCR-Ansatz (vgl. Charnes et al. 1978) ist eine von vielen DEA-Modell-Varianten. In zahlreichen Aufsätzen und Monographien wurden weitere Modelle entwickelt. 2 Die Ansätze unterscheiden sich insbesondere bezüglich der Annahmen an die zum Vergleich herangezogenen Referenzen und an das Performancemaß. Allgemein basiert die Data Envelopment Analysis auf der Idee, dass DMUs sich als Input-Output-Systeme darstellen lassen. In Anlehnung an die Produktionstheorie (Aktivitätsanalyse) wird angenommen, dass aus dem Einsatz von Inputfaktoren nach einer Transformation in der DMU bestimmte Leistungen, d.h. ein oder mehrere Outputs, resultieren (vgl. Abb. 1). 3 Bei einer Performance-Messung mittels der DEA werden für jede DMU zum einen die Inputs x = (x 1,..., x M ) T und zum anderen die Outputs y = (y 1,..., y N ) T quantitativ erfasst. Es handelt sich hierbei aus produktionstheoretischer Sicht um Produktionen bzw. Aktivitäten einer Technologie (T IR M IR N ). Aus entscheidungstheoretischer Sicht spiegeln die Inputs zu minimierende und die Outputs zu maximierende Zielgrößen wider. 4 Da die für die DMUs zu Grunde liegende reale 1 Vgl. Anwendungen in Cooper et al. 2004, chapter Zu Einführung und Überblick der DEA vgl. u.a. Cooper et al. 2007, Thanassoulis 2001, Zhu Vgl. Dyckhoff 2006, S.176ff, Kleine 2002, S.125ff. 4 Vgl. Kleine 2002, S.216; Dyckhoff/Gilles

5 .. Technologie T nicht bekannt ist, dienen als Benchmark für eine Effizienzanalyse lediglich die erfassten Aktivitäten der DMUs. Die Analyse stellt daher eine Best Practice Untersuchung dar. Input x 1... Input x M Decision Making Unit (DMU)..... Output y 1 Output y N Abbildung 1: Input-Output-System für eine DMU Die Annahmen für die aus diesen Aktivitäten generierbaren Referenzen (Referenzmenge) variieren jedoch zum Teil erheblich, so dass es nicht nur einen, sondern mehrere DEA-Ansätze gibt. Die zu Grunde liegenden Annahmen sollten bei der Durchführung und speziell der Interpretation der Ergebnisse bekannt sein. Die wichtigsten Annahmen zu den Referenzmengen werden kurz in Abschnitt erläutert. In Bezug auf den aus diesen Daten resultierenden Data Envelope lassen sich einige DMUs als effizient klassifizieren, andere als ineffizient. Eine DMU ist im Hinblick auf eine Technologie T effizient, falls keine Referenz aus T existiert, die sowohl für alle Inputs und Outputs nicht schlechter als auch bei mindestens einem Input oder Output besser ist. Eine DMU mit Input x und Output y ist genau dann effizient, falls die Technologie T keine Produktion mit Input x und Output y enthält, so dass gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x und. +y +y +y +y Die DEA unterscheidet grundsätzlich zwischen der Menge aller effizienten DMUs und der Menge aller ineffizienten DMUs. Die effizienten DMUs repräsentieren die Peergroup für alle ineffizienten DMUs. Jede ineffiziente DMU wird in der Regel mit einer virtuellen DMU verglichen, die einer Linearkombination effizienter DMUs entspricht (vgl. Abschnitt 3.1.1). Diese hier auch als Composite bezeichnete Kombination dominiert somit eine betrachtete DMU. Während effiziente DMUs durch ein einheitliches Performancemaß charakterisiert sind, lassen sich ineffiziente DMUs durch das resultierende Performancemaß differenzierter vergleichen. 5 Ein DEA-Performancemaß misst für eine ineffiziente DMU den Abstand zum effizienten Rand (dem Data Envelope ). Auf Basis dieser Kennzahlen resultiert somit ein Ranking aller ineffizienten DMUs. Da ein Abstand auf unterschiedliche Art und 5 Zu erweiterten Ansätzen mit individuellen Kennzahlen für effiziente DMUs vgl. Erweiterungen speziell Super-Effizienzen in Abschnitt

6 Weise gemessen werden kann, divergieren die unterschiedlichen Ansätze ebenfalls unter diesem Aspekt. Die Wahl des Abstandsmaßes kann daher einen erheblichen Einfluss auf das Ranking der ineffizienten DMUs haben. Die Parameter, die ein Performancemaß beeinflussen können, sind Gegenstand von Abschnitt Es folgen in den beiden nächsten Abschnitten 1.2 und 1.3 zunächst einige grundlegende Anmerkungen zum DEA-Tool. Wie sich ein Modell und die zugehörigen Daten eingeben bzw. einlesen lassen, ist Gegenstand von Abschnitt 2. Die zur Auswahl stehenden DEA-Modelle werden anschließend in Abschnitt 3.1 theoretisch eingeführt und in Abschnitt 3.3 in Bezug auf die möglichen Optionen im Tool erläutert. Die vom Tool angebotenen Auswertungen beinhaltet Abschnitt 4. Die AMPL-Formulierungen einiger ausgewählter DEA-Modelle sind für den interessierten Leser im Anhang angegeben. Der ebenfalls enthaltene Index erlaubt den Benutzern des Tools eine gezielte Stichwortsuche und ergänzt so die Online-Hilfe. 1.2 Implementierung eines DEA-Softwaretools Der praktische Einsatz neuer, insbesondere quantitativer Methoden scheitert häufig am Widerstand der Nutzer in der Zielgruppe. Vielfach ist dies auf Schwierigkeiten bei der Anwendung der Verfahren oder mangelnde Anschaulichkeit aufgrund fehlender grafischer Darstellungsmöglichkeiten der Ergebnisse zurückzuführen. Um einem breiten Anwenderkreis die Data Envelopment Analysis zugänglich zu machen, wurde am Lehrgebiet Quantitative Methoden der Universität Hohenheim eine Web-Anwendung entwickelt, die eine leichte Durchführung der Berechnungen erlaubt. Sie übernimmt ebenfalls die Ergebnisaufbereitung und läuft komplett auf dem Server der Universität Hohenheim. 6 Die Implementierung der Nutzerschnittstelle erfolgte in PHP und DHTML und ist so prinzipiell mit Hilfe frei verfügbarer Software 7 auf beliebigen Rechnern nutzbar. Damit lässt sich das DEA-Tool auch ohne Internet-Zugang beispielsweise in Vorlesungen einsetzen. Auch können Studierende Übungen zur DEA selbständig mit dem Tool vorbereiten, wobei der Zugriff durch den Nutzer über entsprechende Masken in einem beliebigen Browser anonym erfolgt. Die im Verlauf des Optimierungsprozesses notwendige Identifikation des individuellen Nutzers erfolgt über einen zufällig erzeugten eindeutigen Code, der auf dem Nutzerrechner in einem Cookie gespeichert wird. Dies erlaubt auch den späteren erneuten Zugriff des Nutzers auf seine bereits eingegebenen Daten 8 innerhalb eines festgelegten Zeitrahmens 9 auch bei zeitgleicher Nutzung durch mehrere Personen Hier: Apache 2 ( mit php ( 8 Sofern der Zugriff vom selben PC/Browser aus erfolgt und die Cookies nicht zwischenzeitlich vom Nutzer gelöscht wurden. Die Verfügbarkeit wird nicht garantiert! 9 Derzeit erfolgt nach dem jeweils letzten Zugriff eine vierzehntägige Speicherung auf dem Server. 6

7 Den Kern des Tools bildet schließlich ein austauschbarer Solver, der aus dem Tool heraus im Hintergrund gestartet wird und somit serverseitig über entsprechende Schnittstellen voll in die Anwendung integriert ist. Die Größe der verarbeitbaren Modellinstanzen ist so lediglich von der Leistungsfähigkeit des Solvers und der gewählten Modellparametrisierung abhängig. Die aktuelle Online-Version nutzt die ebenfalls frei verfügbare Testversion von AMPL/CPLEX 10 und erlaubt damit ausschließlich zu Studienzwecken die Verarbeitung vergleichsweise kleiner Instanzen mit linearer Modellformulierung. 1.3 Bildschirmaufbau und Navigation Seit April 2009 ist eine modernisierte und funktionell erweiterte Version des Tools online verfügbar. Die grundlegende schrittweise Nutzerführung wurde aus der Vorversion übernommen und folgt zudem dem logischen Aufbau dieses Beitrags. Neben einer deutschen ist auch eine englische Sprachfassung wählbar, wobei die Präferenzen für kommende Besuche in einem weiteren Cookie abgelegt werden. Abbildung 2: Einstiegsseite des DEA-Tools Der Bildschirmaufbau der Benutzerschnittstelle (vgl. Abb. 2) ist Karteikarten nachempfunden, wobei die Reiter direkt unterhalb des Titelbanners der freien Navigation dienen. Der eigentliche Inhalt wird durch Boxen strukturiert in der Fläche darunter angezeigt. Das Layout passt sich weitgehend der Bildschirmbreite an, so dass ein Scrollen der Anzeige lediglich in eine Richtung erforderlich ist. In der Fußzeile direkt 10 Testversion beschränkt auf 300 Variablen und 300 Restriktionen. 7

8 unterhalb des Inhalts wird neben der Internet-Adresse und der Version des Tools das aktuelle Server-Datum angezeigt. Das Tool leitet den Nutzer sequentiell durch den Optimierungsprozess. Ein vollständiger Durchlauf beinhaltet die folgenden Schritte: die manuelle Dateneingabe oder den Import von Daten aus einer Datei, die Festlegung der Parameter eines DEA-Modells und die Auswertung der Daten. Nach dem ersten Durchlauf kann an jedem beliebigen Punkt wieder in den Prozess eingesprungen werden. Alle vorgelagerten Einstellungen und Daten bleiben dabei erhalten. So ist ein Test zahlreicher unterschiedlicher Modellvarianten ohne erneuten Eingabeaufwand der Daten möglich. Da die hierfür benötigten Informationen zum Zeitpunkt des ersten Besuchs noch nicht gespeichert 11 wurden, sind die zu späteren Schritten gehörenden Reiter zunächst ausgegraut und können nicht ausgewählt werden. Über die intuitive Bedienung hinaus stellt das Tool auch eine rudimentäre Hilfe zur Verfügung. Neben allgemeinen Informationen zum Tool und seiner schrittweisen Bedienung sind dort auch detaillierte Informationen zum erforderlichen Dateiformat externer Quellen und der downloadbaren Report-Datei (vgl. Abschnitt 4.3) zu finden. Ergänzend wurden Verweise auf relevante Literaturquellen in einer Kurzbibliographie zusammengestellt. 2 Neue Modellinstanz anlegen Für das Anlegen einer neuen Modellinstanz stehen im DEA-Tool drei unterschiedliche Optionen zur Verfügung (vgl. Abb. 2). Je nachdem für welche der Möglichkeiten sich der Nutzer entscheidet, sind lediglich die Angaben im entsprechenden Bereich relevant. 2.1 Manuelle Dateneingabe Entscheidet sich der Nutzer für die manuelle Eingabe, so muss er zunächst die Modelldimensionen der anzulegenden Instanz angeben, d.h. die Anzahl der DMUs, Inputs und Outputs. 12 Alle Bezeichnungen der Modellelemente werden standardmäßig automatisch vergeben und mit fortlaufenden Nummern versehen (vgl. Abb. 3). Es stehen allerdings Optionen zur Verfügung, mit denen benutzerdefinierte Namen vergeben werden können. Die Eingabe der Daten erfolgt in einer übersichtlichen Maske in Listenform (vgl. Abb. 3), die anhand der Modelldimensionen dynamisch erzeugt wird und in der 11 Eine Speicherung erfolgt erst nach vollständigem Abschluss eines Schrittes. 12 Auf Grund von Interdependenzen zwischen Modelldimension und den zu wählenden Modellparametern kann hier u.u. eine größere Modellinstanz angelegt werden als tatsächlich lösbar ist. 8

9 bei Auswahl der entsprechenden Option auch die Benennung der Inputs/Outputs bzw. DMUs erfolgt. Abbildung 3: Dateneingabemaske 2.2 Datenimport aus Dateien Beim Datenimport wird zwischen dem Upload einer eigenen Datei vom PC des Benutzers (Datei importieren) und dem Einlesen von serverseitig bereitgestellten Dateien (Beispielinstanzen vom Server) unterschieden. Die Speichermöglichkeit auf dem Server ist für den Einsatz in der Lehre und zu Demonstrationszwecken interessant, wobei der Dateiname exakt bekannt sein muss und in einer Veranstaltung einem ausgewählten Kreis kommuniziert werden kann. Eine Testinstanz (test.csv) ist im Auswahlfeld bereits eingetragen und steht jedem Benutzer zur Verfügung. In der Regel werden die Dateien allerdings vom Nutzer erstellt und befinden sich folglich auf dem eigenen PC. In diesem Fall kann der Rechner über einen entsprechenden Button durchsucht und die Datei auf diese Weise gewählt werden. Sollen Dateien eingelesen werden, müssen sie in einem bestimmten Format vorliegen. Dieses ist in Abbildung 4 für das Testbeispiel von Zhu 13 und die Erstellung mit Microsoft Excel 14 exemplarisch dargestellt. Da alle Layout-Elemente (wie zusammengefasste Zellen oder Schriftmerkmale) beim Speichern ohnehin verloren gehen, kann aus rein technischer Sicht darauf verzichtet werden. Wichtig ist jedoch die korrekte Positionierung der Schlüsselworte Inputs (hier logisch in Zelle B1) sowie Outputs (Zelle E1) jeweils über der ersten Spalte, die die 13 Zhu 2003, S.14ff. 14 Natürlich können auch andere Programme oder einfache Texteditoren zur Erstellung genutzt werden, jedoch wird vermutlich in den meisten Fällen Excel Verwendung finden. 9

10 Abbildung 4: Format der Import-Datei Input- respektive Output-Werte enthält. Sie sind für die automatische Erkennung der Modelldimensionen unbedingt notwendig. Die zweite Zeile kann mit beliebigen, vom Nutzer gewählten Bezeichnungen 15 für die Vektorkomponenten (Faktoren) versehen werden. Gleiches gilt für DMU-Bezeichnungen in der ersten Spalte. Sofern die Datenmatrix Dezimalbrüche enthält, ist für diese sowohl die Verwendung des Punktes als auch des Kommas (je nach Excel-Version) erlaubt. Eine möglicherweise erforderliche Umwandlung wird vom Tool selbständig durchgeführt. Da die Zelle A1 beim Einlesen ignoriert wird, steht sie dem Nutzer für erläuternde Informationen zur Verfügung alle weiteren Felder dürfen keine Einträge enthalten! Die Speicherung muss im csv- Format 16 erfolgen, wobei für die Verwendung mit dem DEA-Tool das Semikolon als Trennzeichen erforderlich ist. Nach dem Import wird eine dem ursprünglichen Dateiformat entsprechende Maske (vgl. Abb. 3) angezeigt, in der die Daten noch einmal überprüft und gegebenenfalls korrigiert werden können. Die Möglichkeit DMU-, Input- oder Output-Bezeichnungen zu verändern besteht in dieser Darstellung nicht mehr, da die verwendeten Namen aus der Importdatei übernommen werden. 15 Gegebenenfalls sind hier Einschränkungen bezüglich nicht darstellbarer Sonderzeichen zu beachten. 16 comma separated values 10

11 3 DEA-Modelle 3.1 Allgemeiner Modellrahmen Die in diesem Tool verwendeten Modelle zur Bestimmung eines Performancemaßes für eine zu untersuchende DMU o weisen generell eine einheitliche Struktur auf. In diesem Abschnitt wird zunächst der allgemeine Modellrahmen vorgestellt. 17 Es sei: T ψ Referenz- bzw. Technologiemenge, Menge aller zulässigen Produktionen Performancemaß, Abstandsmaß (ψ : T IR) x o = (x o 1,..., x o M )T Inputs einer DMU o y o = (y o 1,..., y o N )T Outputs einer DMU o d = (d 1,..., d M )T Abweichungen bei den Inputs d + = (d + 1,..., d + N )T Abweichungen bei den Outputs t = (t 1,..., t M, t+ 1,..., t + N )T Normierungsfaktoren (Gewichte) für Inputs, Outputs. Die Ermittlung eines Performancemaßes ψ erfolgt für eine DMU o durch die Lösung des folgenden Programms (DEA-Grundmodell): max ψ t (d, d + ) x + d = x o y d + = y o d, d + o ( ) x +y T (1) Die Abweichungsvariablen d sowie d + erfassen für die zu untersuchende DMU o die Abweichungen über alle Inputs und Outputs im Vergleich zu einer effizienten (virtuellen) DMU. Dieses Composite mit dem Input x und dem Output y repräsentiert eine zulässige Kombination aus der Menge T. Für eine streng monoton steigende Funktion ψ ist eine DMU o genau dann effizient, wenn alle optimalen Abweichungen gleich null sind (d = o, d + = o). 18 Die zu untersuchende DMU stimmt dann mit dem Composite überein, d.h. es gibt keine DMU, die die zu untersuchende DMU o dominiert. Da mit Programm (1) genau eine DMU auf Effizienz untersucht wird, erfordert ein Vergleich von J DMUs folglich die Lösung von J Programmen. Generell unterscheiden sich Ansätze der DEA bezüglich der Annahmen an die Referenzmenge (Technologie) T und das Performancemaß ψ. 17 Vgl. Kleine 2002, S.125ff, Kleine Es sei o jeweils ein entsprechender Nullvektor. 11

12 3.1.1 Referenzmengen Die Menge aller zulässigen Input-Output-Kombinationen (Referenzmenge) T bildet zunächst einen Rahmen für zahlreiche DEA-Modell-Varianten. Folgende Variablen und Parameter fließen ausgehend von J zu untersuchenden DMUs in die Modellformulierung ein: X= x x J 1.. Matrix der erfassten M Inputs von J DMUs Y = x 1 M... xj M y y J 1.. Matrix der erfassten N Outputs von J DMUs y 1 N... yj N λ = (λ 1,..., λ J ) T Linearfaktoren (Skalenniveaus) bezüglich der J DMUs δ = (δ 1,..., δ J ) T Binärvariablen bezüglich der J DMUs, wobei δ j = 1, falls j-te DMU als Referenz dient und 0 sonst λ L, λ U, δ U M untere bzw. obere Schranken für die Summe der Linearfaktoren bzw. Binärvariablen hinreichend große Zahl Die allgemeine Referenzmenge T lässt sich auf Grundlage dieser Notation formulieren als: ( ) x T := +y X λ = x Y λ = y o λ M δ 1 T λ λ U λ L 1 T δ δ U δ {0, 1} J x IR M +, y IR N + Die Menge T enthält drei Parameter λ L, λ U (2) und δ U, die zur Charakterisierung bekannter Technologien notwendig sind. Einen Überblick bekannter Technologien gibt Tabelle 1. Eine Technologie mit konstanten Skalenerträgen (CRS) berücksichtigt als mögliche Referenzen die Menge aller nichtnegativen Linearkombinationen. Diese so genannte Kegeltechnologie ist eine Obermenge aller anderen aufgelisteten Technologien. 19 Bei den Technologien mit nicht steigenden bzw. nicht fallenden Skalenerträgen (NIRS bzw. NDRS) ist die Summe der Skalarfaktoren entsprechend begrenzt. Im Falle von variablen Skalenerträge (VRS) bilden Konvexkombinationen der Inputs und Outputs aller 19 Zu graphischen Illustration vgl. Dyckhoff 2006, S.176ff, Kleine 2002, S.132ff. 12

13 Technologie Skalenerträge λ L λ U δ U CRS konstant 0 J NDRS nicht fallend 1 J NIRS nicht steigend 0 1 J VRS variabel 1 1 J GBRS generell beschränkt 1 1 J RS FDH FDH-kombiniert mit {C, ND, NI, V, GB} Tabelle 1: Modellparameter von DEA Technologien DMUs (konvexe Hülle) die Referenzmenge. Die Mengen GBRS ermöglichen eine beliebige Beschränkung der Summe der Skalenniveaus. Referenzmengen aus der Gruppe der Free Disposal Hull (FDH) berücksichtigen lediglich eine DMU als Referenz. Bei einer FDH-Technologie im engeren Sinne kommen genau die erfassten Inputs und Outputs einer DMU als Referenz zum Tragen, d.h. die Technologie lässt sich in diesem Fall auch schreiben als: X λ = x ( ) x Y λ = y T := +y 1 T λ = 1 λ {0, 1} J Diese Technologie basiert somit auf einer VRS-Technologie. Die Berücksichtigung weiterer FDH-Varianten deuten in Tabelle 1 die mit den gekennzeichneten Mengen an. 20 Vielfach werden in der Literatur FDH Modelle separat behandelt. Die entsprechenden gemischt-ganzzahligen linearen Programme sind z.b. mit Branch & Bound-Verfahren zu lösen. 21 Die unterschiedlichen Annahmen an die Referenzmengen haben einen erheblichen Einfluss auf die Menge der effizienten DMUs. Da eine CRS-Technologie eine Obermenge in Bezug auf die anderen Technologien darstellt, ist jede bezüglich einer CRS-Technologie effiziente DMU stets bezüglich z.b. einer VRS-Technologie effizient, aber nicht umgekehrt. Die Anzahl der effizienten DMUs kann somit unter Berücksichtigung zusätzlicher Anforderungen an die Menge T steigen. 20 Vgl. Deprins et al. 1984, Kerstens/Eeckaut Vanden Vgl. zu Branch & Bound-Verfahren Domschke/Drexl 2007, S. 121ff. 13

14 3.1.2 Performancemaß Während sich die Annahmen an die Referenzmenge T auf die Peergroup auswirken, hat die Wahl der Parameter bezüglich der Funktion ψ einen Einfluss auf das DEA- Performancemaß der ineffizienten DMUs. Bei effizienten DMUs ergeben sich keine Abweichungen, weil hier jeweils ein Funktionswert von null 22 resultiert. Für die ineffizienten DMUs ist mindestens eine Abweichungsvariable positiv. In diesem Fall hängt der Wert des Performancemaßes von der Art der Aggregation (vgl. Tabelle 2), der Berücksichtigung von Abweichungen bei Inputs und/oder Outputs, d.h. der Orientierung (vgl. Tabelle 3) sowie der Normierung der Abweichungen (vgl. Tabelle 4) ab. Aggregation Additiv Maximin ɛ-maximin Funktion ψ M t m d m + N t + n d + n m=1 n=1 { } t m d m, t + n d + n min m,n min m,n { t m d m, t + n d + n } + ɛ ( 1 d + 1 d +) Tabelle 2: Aggregation der Abweichung Grundsätzlich kann zwischen Maximin (radialen) und additiven (nicht radialen) Performancemaßen unterschieden werden. Bei additiven Maßen kommt die aus der Vektoroptimierung insbesondere aus dem Goal Programming bekannte Summe aller gewichteten Abweichungen zur Anwendung. Maximin-Maße messen dagegen den Abstand zu einer effizienten Produktion in Anlehnung an eine Tschebycheff-Norm. Da möglicherweise eine ineffiziente DMU bei einem radialen Maß als effizient ausgewiesen werden kann, ist die zusätzliche Integration der mit einer hinreichend kleinen Zahl (ɛ > 0) gewichteten Summe aller Abweichungen erforderlich (ɛ-maximin). 23 Im Folgenden kommt der Maximin-Ansatz ausschließlich in Kombination mit dem ɛ-term zur Anwendung. Der Wert für den Parameter ɛ wird im Tool automatisch hinreichend klein angesetzt Zahlreiche DEA-Ansätze kennzeichnen eine effiziente DMU durch den Wert eins ( hundertprozentige Effizienz ); die Werte dieser Ansätze lassen sich entsprechend auf eine Ineffizienz von null umrechnen, vgl. auch Erläuterung zu Modell (4) S. 16f. 23 Durch radiale Maße werden schwach effiziente DMUs möglicherweise als effizient gekennzeichnet, vgl. Cooper et al. 2007, S.44ff. 24 Zur Bestimmung einer oberen Schranke für den Parameter ɛ vgl. Amin/Toloo

15 Orientierung Parameter t m, t + n Input-orientiert t m 0 t + n = 0 Output-orientiert t m = 0 t + n 0 Nicht-orientiert t m 0 t + n 0 Tabelle 3: Orientierung in Bezug auf Input/Output Die DEA-Ansätze lassen sich zudem nach der Art der Berücksichtigung von Abweichungen bei den Inputs bzw. Outputs differenzieren. Bei Input-orientierten Ansätzen fließen nur die gewichteten Abweichungen bei den Inputs ein, bei Output-orientierten Ansätzen nur die bei den Outputs. Nicht-orientierte Ansätze beachten dagegen Abweichungen sowohl bei den Inputs als auch bei den Outputs. Normierung Parameter t m, t + n Einfach t m = 1 t + n = 1 DMU-spezifisch t m = x 1 m Bandbreiten t m = 1 m t + n = y 1 n o t + n = 1 + n Tabelle 4: Normierung von Abweichungen Die Normierung der Abweichungen durch die Parameter t m und t + n soll der unterschiedlichen Skalierung der Input- und Output-Größen Rechnung tragen. Aus diesem Grund ist eine einfache Gewichtung (Einheitsgewichte) selten anzutreffen. Bei den DMU-spezifischen Gewichten werden jeweils die relativen Abweichungen im Verhältnis zu den Inputs bzw. Outputs der untersuchten DMU betrachtet. Im Unterschied dazu stellen die Bandbreitengewichte für alle DMUs identische Normierungsfaktoren dar. Die Bandbreiten hängen bei diesem Range Adjusted Measure maßgeblich von der unterstellten Technologie ab und resultieren aus: 25 { ( ) x m = max j {x mj } min x m +y ˆT } (m = 1,..., M) { ( ) x + n = max y n +y ˆT } min j {y nj } (n = 1,..., N) mit ˆT ( ) x x = +y T m max j {x mj } (m = 1,..., M) y n min j {y nj } (n = 1,..., N) Durch die unterschiedliche Wahl der Parameter des Performancemaßes, d.h. der Funktion ψ, kann der Funktionswert für ineffiziente DMUs schwanken. Somit haben diese 25 Vgl. für VRS-Technologien Cooper et al sowie zur Erweiterung Kleine/Sebastian

16 Parameter einen Einfluss auf das Performancemaß der ineffizienten DMUs und damit auf das Ranking dieser DMUs, denn je größer die aggregierten Abweichungen, desto schlechter wird eine DMU eingestuft Ausgewählte DEA-Modelle Ein bestimmtes DEA-Modell ist einerseits durch eine Technologiemenge und andererseits durch ein Performancemaß charakterisiert. Die im DEA-Tool verwendeten Standardmodelle (vgl. Abschnitt 3.3.1) listet Tabelle 5 mit den verwendeten Einstellungen der Parameter auf. Durch andere Kombinationen der Parameter lassen sich zahlreiche Modellvarianten erzeugen (vgl. Abschnitt 3.3.2). Modell Technologie Aggregation Orient. Normierung CCR (Charnes/Cooper/Rhodes) CRS maximin ja DMU-spez. BCC (Banker/Charnes/Cooper) VRS maximin ja DMU-spez. FDH (Free Disposal Hull) VRS FDH maximin ja DMU-spez. (einfaches) Additives Modell CRS additiv nein einfach RAM (Range Adjusted Model) VRS additiv nein Ranges Russell-Maß CRS additiv ja DMU-spez. Tabelle 5: Parameter von DEA-Standardmodellen Exemplarisch sei an dieser Stelle das input-orientierte CCR-Modell angegeben. Das DEA-Grundmodell mit einem ɛ-maximin-maß lässt sich in ein lineares Programm (3) überführen, in dem nun θ (Performancemaß) den Abstand zum effizienten Rand misst: max ψ = θ + ɛ ( M d m + N m=1 d + n n=1 u.d.n. λ j x j m + d m = x o m (1 θ) (m = 1,..., M) j=1 λ j yn j d + n = yn o (n = 1..., N) j=1 ) λ 1,..., λ J 0 Charnes et al verwenden in ihrem klassischen Modell eine Formulierung (4), in der die Variable θ durch θ = 1 θ ersetzt wird: min θ ɛ ( M d m + N ) m=1 d + n n=1 u.d.n. λ j x j m + d m = x o m θ (m = 1,..., M) j=1 λ j yn j d + n = yn o (n = 1..., N) j=1 λ 1,..., λ J 0 16 (3) (4)

17 Bei der klassischen Formulierung des CCR-Modells (4) ist eine betrachtete DMU o effizient, wenn θ gleich eins ist und alle Abweichungen gleich null sind. Das Tool erlaubt daher bei Modellen, die auf einem ɛ-maximin Maß beruhen, eine Umschaltung auf klassische Effizienzwerte (vgl. Abschnitt 3.1.2). Falls eine DMU o ineffizient ist, resultiert dann bei einem input-orientierten Modell für θ ein Wert zwischen null und eins, bei einem output-orientierten Modell ein Wert größer als ein, für nicht-orientierte ist die Option nicht wählbar. 3.2 Erweiterungen Gewichte bzw. Schattenpreise (Dualvariablen) Zu einem DEA-Modell lässt sich in der Regel auch das duale lineare Programm angeben. Im Unterschied zu den hier betrachteten primalen linearen Programmen, die als Envelopment-Form bezeichnet werden, sind die dualen Programme unter dem Begriff der Multiplier-Form bekannt. Von besonderem Interesse sind die Dualvariablen (Schattenpreise) der Inputs und Outputs. Diese repräsentieren die Gewichte bzw. Preise für die zugehörigen Inputs und Outputs. Zu dem zuvor vorgestellten klassischen CCR-Modell (4) lautet beispielsweise das zugehörige duale Programm (5) mit den Gewichten µ m (m = 1,..., M) für die Inputs und den Gewichten ν n (n = 1,..., N) für die Outputs: max N yn o ν n u.d.n. M m=1 M m=1 n=1 x o m µ m = 1 x j m µ m + N yn j ν n 0 (j = 1,..., J) n=1 µ 1,..., µ M, ν 1,..., ν N ɛ (5) Die optimalen Gewichte dieses Programms müssen auf Grund der Dualitätstheorie nicht berechnet werden, sondern lassen sich unmittelbar aus der optimalen Lösung des primalen Programms ablesen. Daher ist das duale Programm hier nur zum Verständnis bzw. Interpretation der Schattenpreise angegeben. 26 Im Tool werden diese Schattenpreise 27 (Gewichte) für jede DMU angezeigt, wenn es sich um Modellformulierungen handelt, die nicht auf einer FDH-Technologie bzw. Varianten der FDH-Technologie basieren. 26 Zur Dualitätstheorie vgl. Domschke/Drexl 2007, S. 31ff. 27 Wenn die Optimallösung degeneriert ist, sind auch die Schattenpreise entsprechend vorsichtig zu interpretieren. 17

18 3.2.2 Nicht-kontrollierbare Kriterien (Non-discretionary Variables) Bei der Beurteilung von DMUs mittels der DEA kann es Inputs (z.b. Kaufkraft) geben, die nicht direkt durch eine DMU beeinflussbar sind. Bei diesen Kriterien sollen Abweichungen bei den betroffenen Inputs nicht in das Effizienzmaß (Zielfunktionswert ψ) eingehen, aber dennoch nicht vernachlässigt werden. Bei einem input-orientierten Modell können somit Inputs in die Betrachtung einfließen, die zwar Einfluss auf die Technologiemenge haben und damit den effizienten Rand bestimmen, allerdings nicht unmittelbar im Effizienzmaß Berücksichtigung finden. Analog kann es für ein outputorientiertes Modell entsprechende Outputs geben. Es folgt zunächst ein Beispiel für ein input-orientiertes CCR-Modell in Anlehnung an die klassische Formulierung (4). Es wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen, dass die Inputs m = 1,..., M k (M k M) kontrollierbar seien und die restlichen Inputs m = M k + 1,... M nicht-kontrollierbar: min θ ɛ ( M d m + N m=1 d + n n=1 ) u.d.n. λ j x j m + d m = x o m θ (m = 1,..., M k, kontrollierbar) j=1 (6) λ j x j m + d m = x o m (m = M k + 1,..., M, nicht-kontrollierbar) j=1 λ j yn j d + n = yn o (n = 1..., N) j=1 λ 1,..., λ J 0 Ebenso lässt sich für ein output-orientiertes BCC-Modell ein entsprechender Ansatz (7) formulieren. Es wird nun angenommen, dass die Outputs n = 1,..., N l (N l N) kontrollierbar seien und die restlichen Outputs n = N l + 1,... N nicht-kontrollierbar: max θ + ɛ ( M d m + N m=1 d + n n=1 u.d.n. λ j x j m + d m = x o m (m = 1..., M) j=1 ) λ j yn j d + n = yn o θ (n = 1,..., N l, kontrollierbar) j=1 λ j yn j d + n = yn o (n = N l + 1,..., N, nicht-kontrollierbar) j=1 λ j = 1, λ 1,..., λ J 0 j=1 (7) Bei den radialen Maßen (Maximin bzw. ɛ-maximin) ist somit bei den nicht-kontrollierbaren Inputs bzw. Outputs keine relative Anpassung zu berücksichtigen. D.h., die typische 18

19 Aussage bei einem input-orientierten Ansatz, dass bei der betrachteten DMU o alle Inputs im Vergleich zur effizienten Referenz um das θ-fache reduziert werden können, gilt hier nur für die kontrollierbaren Inputs. Die nicht-kontrollierbaren dienen als reine Benchmarks. Abschließend folgt noch ein Beispiel (8) für ein nicht-orientiertes additives Modell und CRS-Technologie mit M k kontrollierbaren Inputs und N l kontrollierbaren Outputs: max M k m=1 t m d m + N l n=1 t + n d + n + ɛ ( M m=m k +1 d m + N d + n n=n l +1 u.d.n. λ j x j m + d m = x o m (m = 1,..., M k, kontrollierbar) j=1 λ j x j m + d m = x o m (m = M k + 1,..., M, nicht-kontrollierbar) j=1 λ j yn j d + n = yn o (n = 1,..., N l, kontrollierbar) j=1 λ j yn j d + n = yn o (n = N l + 1,..., N, nicht-kontrollierbar) j=1 λ 1,..., λ J 0 ) (8) Hier ist offensichtlich, dass lediglich die Aggregationsfunktion anzupassen ist, wobei der ɛ-term wiederum sicherstellt, dass eine effiziente Referenz zum Vergleich herangezogen wird. Nicht-kontrollierbare Kriterien lassen sich grundsätzlich bei beliebigen Technologien berücksichtigen und sind daher im Tool uneingeschränkt wählbar Super-Effizienz Die effizienten DMUs sind bei der DEA durch einen Effizienzwert gekennzeichnet, der keine weitere Differenzierung erlaubt. Die effiziente DMU selbst bildet die Referenz, so dass es zu keiner Abweichung kommt. Daher stellt sich die Frage, ob es Möglichkeiten gibt, die effizienten DMUs weiter zu differenzieren. So wird in der Literatur beispielsweise vorgeschlagen zu untersuchen, wie oft eine effiziente DMU als Referenz für ineffiziente DMUs herangezogen wird. Diese Referenzhäufigkeit wird im Tool für alle effizienten DMUs standardmäßig angegeben. Darüber hinaus kommt vielfach ein Ansatz zur Anwendung, der auf Andersen/Petersen 1993 zurückgeht. Es wird vorgeschlagen, für jede effiziente DMU eine Super-Effizienz zu bestimmen, die auf einer leicht modifizierten Technologie beruht. 28 Die Berechnung der Super-Effizienz wird speziell für radiale (Maximin bzw. ɛ-maximin) Ansätze durchgeführt. Bei einem input-orientierten Ansatz sind effiziente DMUs nach 28 Vgl. auch Doyle/Green 1993, zu kritischen Anmerkungen vgl. Bouyssou

20 dem klassischen CCR-Modell (vgl. Modell (4), S. 16f) durch einen Effizienzwert von eins gekennzeichnet, ineffiziente DMUs durch einen Wert kleiner eins. Bei der Super- Effizienz wird nun der (radiale) Abstand zum effizienten Rand einer Technologie bestimmt, in der die betrachtete DMU nicht mehr enthalten ist. Je größer der Abstand zu diesem modifizierten effizienten Rand ist, desto besser wird eine DMU eingestuft, d.h. sie erhält einen höheren Effizienzwert. In Anlehnung an das input-orientierte klassische CCR-Modell (4) ergibt sich für eine DMU o der (Super-)Effizienzwert: min θ ɛ ( M u.d.n. j=1,j o j=1,j o m=1 d m + N d + n n=1 ) λ j x j m + d m = x o m θ (m = 1,..., M) λ j y j n d + n = y o n (n = 1..., N) λ 1,..., λ J 0 (9) Wird dieses Modell für alle DMUs gelöst, bleibt der Effizienzwert für ineffiziente DMUs unverändert. Lediglich für effiziente DMUs wird der Optimalwert größer als eins. Für eine Technologie mit konstanten Skalenerträgen sind die linearen Programme stets lösbar. Für alle anderen Fälle lässt sich hingegen möglicherweise keine Lösung ermitteln, da die Alternativenmenge leer sein kann. Im Tool wird dies jeweils in der Auswertung durch einen Strich gekennzeichnet. Eine solche Situation tritt beispielsweise für eine Technologie mit variablen Skalenerträgen (VRS) bei der Bestimmung der Super- Effizienz einer DMU, die am oberen oder unteren Rand liegt, auf. Analog zu den bisherigen Erweiterungen folgt ein Beispiel (10) für ein output-orientiertes BCC-Modell, aus dem der (Super-)Effizienzwert für eine DMU o resultiert: max θ + ɛ ( M u.d.n. j=1,j o j=1,j o m=1 d m + N d + n n=1 ) λ j x j m + d m = x o m (m = 1..., M) λ j y j n d + n = y o n θ (n = 1,..., N) λ j = 1, λ 1,..., λ J 0 j=1 (10) Bei diesem output-orientierten Modell ist zu beachten, dass ineffiziente DMUs durch einen Wert größer als und super-effiziente durch Werte kleiner oder gleich eins gekennzeichnet sind. Zur besseren Vergleichbarkeit wird daher im Tool der Kehrwert der 20

21 entsprechenden Werte angegeben, d.h. die Super-Effizienzwerte sind auch hier größer als eins. Auch bei additiven Modellen können die Super-Effizienzwerte durch das Tool berechnet werden. Für eine geeignete Interpretation empfiehlt sich allerdings die Anwendung von Range Adjusted Modellen. 3.3 Modellauswahl Über die geeignete Kombination von Einstellungen in den Parametrisierungsmasken lassen sich die in Abschnitt 3.1 und 3.2 vorgestellten Varianten im Tool realisieren, womit dem Nutzer größtmögliche Freiheit gewährt wird. Da andererseits die Konsistenz der Nutzereingaben nicht automatisch sichergestellt werden kann, werden im zunächst angezeigten Layout der Auswahlmaske ausschließlich einige Standardmodelle angeboten. Zwar werden unlösbare Modellformulierungen und Instanzgrößen mit einer entsprechenden Fehlermeldung quittiert, dies gilt jedoch nicht für mathematisch lösbare Kombinationen mit schwachem oder fehlendem Aussagegehalt, so dass die Verantwortung für die Sinnhaftigkeit einer Berechnung stets beim Nutzer liegt. Nach der Parametrisierung durch den Anwender wird das (mathematische) Modell für jeden Optimierungslauf erneut dynamisch entsprechend den Nutzervorgaben erstellt 29 und im Anschluss automatisch durch das Tool gelöst. Wird eines der Range Adjusted Modelle ausgewählt, führt das Tool vor dem eigentlichen Optimierungslauf alle notwendigen Berechnungen selbständig aus und übernimmt die Ergebnisse als Parameter in das gewünschte Modell. Im Auswertungsbildschirm werden in einem solchen Fall die Ranges auch noch einmal explizit ausgewiesen Standardmodelle Im Basislayout werden dem Benutzer die in Tabelle 5 vorgestellten Standardmodelle in einer übersichtlichen Maske (vgl. Abb. 5) präsentiert, wobei die Auswahlmöglichkeiten insbesondere zur Unterstützung des unerfahrenen Anwenders begrenzt sind. Neben der Auswahl eines der Grundmodelle muss lediglich die Orientierung individuell festgelegt werden. Durch Auswählen der Option Freie Modellkonfiguration kann auf die im nächsten Abschnitt beschriebene Maskenvariante umgeschaltet werden, in der auch freie Eingaben möglich sind Freie Parametrisierung Um den fortgeschrittenen Anwendern mit tieferen DEA-Kenntnissen das gesamte angebotene Modellspektrum zugänglich zu machen, kann das Layout der Auswahlmaske 29 Ein Beispiel der AMPL-Modellformulierung findet sich im Anhang (ab S. 31). 21

22 Abbildung 5: Auswahlmaske für Standardmodelle umgeschaltet werden (vgl. Abb. 6). In dieser Maskenvariante werden die in den Standardmodellen implizit enthaltenen Komponenten einzeln angezeigt. Eventuell zuvor in der Standardmaske vorgenommene Einstellungen werden jedoch nicht übernommen. Die differenzierten Wahlmöglichkeiten erlauben dem Nutzer die Auswahl vielfältiger Kombinationen. Zunächst kann das gewünschte Performancemaß noch einmal genau spezifiziert werden, d.h. Orientierung, Normierung und Aggregation lassen sich anpassen. 30 Darüber hinaus steht in dieser Sicht eine zusätzliche Technologie (GBRS, vgl. auch Tabelle 1) zur Verfügung. Sie verwendet benutzerdefinierte Unter- und/oder Obergrenzen für die Summe der Gewichtungsfaktoren (λ) sowie für die Anzahl der zur Konstruktion der Composites 31 herangezogenen Referenz-DMUs (δ) Zusatzoptionen Unabhängig davon, ob ein frei parametrisiertes oder ein Standardmodell gewählt wurde, stehen derzeit zwei zusätzliche Optionen zur Verfügung: Festlegung nicht-kontrollierbarer Kriterien (vgl. Abschnitt 3.2.2) Berechnung der Super-Effizienz (vgl. Abschnitt 3.2.3) Sollen nicht-kontrollierbare Kriterien festgelegt werden, wird eine weitere Auswahlmaske eingeblendet (vgl. Abb. 7). Je nach gewählter Orientierung enthält diese lediglich die 30 Ein nichtlineares Distanzmaß (Aggregation in Anlehnung an die L 2 -Norm) steht zur Zeit noch nicht zur Verfügung. 31 Der Begriff bezeichnet die theoretische, optimale Vergleichsaktivität (virtuelle DMU). 22

23 Abbildung 6: Auswahlmaske für freie Parameterangabe relevanten Inputs bzw. Outputs, da z.b. bei input-orientierten Modellen die Outputs ohnehin nicht im Performancemaß berücksichtigt werden. Wird durch nachträgliche Änderung der Orientierung ein bereits ausgewähltes Kriterium nicht mehr angezeigt, so ist dies unschädlich, da eine nicht relevante Auswahl vom Tool ignoriert wird. Abbildung 7: Auswahl nicht-kontrollierbarer Kriterien Zur Berechnung der Super-Effizienz ist keine weitere Auswahl zu treffen. Die notwendigen Modellinstanzen werden automatisch gelöst und die Ergebnisse in der Auswertung angezeigt. 23

24 4 Auswertungen Nach Beendigung des Optimierungslaufs werden die Ergebnisdaten aufbereitet und auf vielfältige Weise tabellarisch und grafisch dargestellt. 32 Zur individuellen Nutzung der Ergebnisse bietet das Tool zudem die Möglichkeit, die Auswertung in Form von Rohdaten herunterzuladen. Das Format wird in Abschnitt 4.3 näher beschrieben. Zusätzlich können auch alle vom Tool dynamisch im png-format 33 erzeugten Diagramme durch einfachen Rechtsklick auf die Darstellung heruntergeladen werden. 34 Abbildung 8: Auswertung DMU-Datentabelle 4.1 Datentabellen Im oberen Bereich des Auswertungsbildschirms werden zunächst wesentliche Informationen zu effizienten und ineffizienten DMUs in verschiedenen Boxen tabellarisch dargestellt. Die Haupttabelle (vgl. Abb. 8, linker Teil) beinhaltet alle ineffizienten DMUs und weist für diese den Grad der Ineffizienz, die herangezogenen Referenzen und deren Aktivitätsniveaus aus. Standardmäßig ist diese Tabelle analog der ursprünglichen Eingabereihenfolge der DMUs aufgebaut, sie lässt sich jedoch auch nach dem Ineffizienzwert (Performancemaß) sortieren. Für einen großen Teil der Modelle lässt sich außerdem das angezeigte Performancemaß auf klassische Effizienzwerte 35 umschalten. Rechts neben der Haupttabelle werden in Abhängigkeit der gewählten Optionen weitere Informationen angezeigt. Eine Standardtabelle enthält alle effizienten DMUs sowie die Häufigkeit, mit der sie als 32 Erfordert aktiviertes JavaScript. Auswertungen sind teilweise optional. 33 portable network graphics (verlustfreies, komprimiertes Speicherformat) 34 Der Dateiname inklusive einer korrekten Dateiendung muss vom Nutzer vergeben werden. 35 vgl. Hinweis S. 16f und Fußnote 22 S

25 Abbildung 9: Detailansicht Schattenpreise effizienter DMUs Referenz dienen. Über die Symbole neben den DMU-Bezeichnungen lassen sich zudem die jeweiligen Schattenpreise ein- bzw. ausblenden (vgl. Abb. 9). Sofern Super-Effizienzwerte oder Bandbreiten (Ranges) berechnet wurden, werden diese ebenfalls tabellarisch neben der DMU-Datentabelle ausgewiesen. 4.2 Grafische Auswertungen Säulendiagramme Zusätzlich zur Darstellung in Form einer Datenliste werden die Informationen der oben beschriebenen Haupttabelle auch grafisch als Säulendiagramme aufbereitet. Das erste Diagramm (o. Abb.) zeigt noch einmal das Performancemaß im Vergleich der ineffizienten DMUs (Ranking), das zweite (vgl. Abb. 10) stellt die Zusammensetzung der optimalen Referenz dar und veranschaulicht so noch einmal den relativen Anteil der effizienten DMUs DMU-Details Als wichtigste Auswertung kann eine Detaildarstellung einzelner ineffizienter DMUs angesehen werden (vgl. Abb. 11). Auf die jeweils zu betrachtende DMU kann über eine Auswahlliste im entsprechenden Block umgeschaltet werden. Die Darstellung selbst ist dreigeteilt, wobei der obere Bereich die ineffiziente DMU darstellt. Ausgewiesen werden hier die ursprünglichen Werte der Inputs und Outputs mit ihrer prozentualen Abweichung 36 von der optimalen Referenz (Composite), die im unteren Bereich detailliert berechnet wird, sowie Informationen zu den Schattenpreisen der berechneten 36 Aus einer Aggregation der absoluten Abweichungen ergibt sich das Performancemaß, welches hier jedoch nicht noch einmal ausgewiesen wird. 25

26 Abbildung 10: Auswertung Kombinationsdiagramm Optimallösung 37. Die relativen Werte an den Schattenpreisen geben die Gewichtung des jeweiligen Faktors innerhalb derselben Faktorgruppe (d.h. Inputs oder Outputs) an. Kernstück ist eine Grafik 38 zur Gegenüberstellung normierter Input-/Output-Größen. Somit ist ein direkter Vergleich der Faktoren der betrachteten DMU mit denen einzelner Referenz-DMUs möglich. Die Darstellung ist je Faktor normiert, wobei als Normwert (100%) das jeweils individuelle Maximum der Inputs/Outputs verwendet wird, welches über die betrachtete DMU selbst und die herangezogenen Referenzen gebildet wird. In Anlehnung an die formale Darstellung im DEA-Grundmodell sind die Inputs nach unten im negativen Bereich und die Outputs im entsprechenden positiven Bereich abgetragen. Im unteren Teil der Darstellung wird schließlich die Bildung der optimalen Referenz dargestellt. Bei dieser handelt es sich um ein theoretisches Konstrukt (virtuelle DMU), welches sich aus den mit dem jeweiligen λ gewichteten Faktorwerten der Referenz- DMUs berechnet. 37 Wenn die Optimallösung degeneriert ist, sind die Schattenpreise entsprechend vorsichtig zu interpretieren. 38 Vgl. El-Mahgary/Lahdelma

27 Abbildung 11: Auswertung Zusätzliche Informationen zur DMU Zusatzauswertung Für den Vergleich aller DMUs steht ebenfalls eine geeignete Grafik (vgl. Abb. 12) zur Verfügung. In ihr werden die von den DMUs erreichten Performancewerte in Abhängigkeit nur eines ausgewählten Faktors 39 dargestellt. Dabei wird die Darstellung nach demjenigen Faktor auf der Abszisse aufsteigend 40 sortiert, welcher vom Nutzer in einer Auswahlliste oberhalb des Diagramms festgelegt wird. 4.3 Report-Download Die Rohdaten des im Tool auch grafisch aufbereiteten Berichtes werden als csv-datei 41 im Auswertungsbildschirm über einen Link zum Download bereitgestellt. Dies erlaubt 39 Dies kann ein beliebiger Input oder Output sein. 40 Zu beachten ist, dass es sich dabei nur um eine Ordinalskala handelt. 41 Auch hier wird wieder das Semikolon als Trennzeichen verwendet. 27

28 Abbildung 12: Auswertung Grafische Darstellung der Rangfolge eine weitergehende Verarbeitung durch den Nutzer, wobei auch hier wieder ein beliebiges Tabellenkalkulationsprogramm verwendet werden kann. Problematisch bei dieser Variante sind eventuelle Beschränkungen der Programme, die schon bei mittleren Datenmengen zu Schwierigkeiten führen können. 42 Natürlich ist auch eine anderweitige (automatisierte) Verarbeitung denkbar. Abbildung 13: Datenformat der Report-Datei Die Struktur einer solchen Exportdatei ist in Abbildung 13 dargestellt. Die farbigen Hervorhebungen darin dienen hier lediglich der Veranschaulichung der folgenden Ausführungen und sind in der tatsächlichen Datei nicht enthalten. Bei ihr handelt es sich technisch gesehen um eine reine Textdatei. Die erste Zeile beinhaltet stets die Modelldimensionen der Instanz sowie die Bezeichnungen der In- und Outputs. Die folgenden Zeilen enthalten jeweils verschiedene Werte derjenigen DMU, deren Bezeichnung in der ersten Zelle der betreffenden Zeile steht. Der logische Aufbau des DMU-Datenblocks wird im Folgenden beschrieben. 42 In der Onlineversion dürften diese kritischen Größen nicht erreicht werden, zudem ist die Basis-csv- Datei nicht betroffen. 28

29 Unmittelbar hinter der DMU-Bezeichnung ist abzulesen, ob es sich um eine effiziente oder ineffiziente DMU handelt. Es folgt die Matrix der Gewichtungsfaktoren λ, wobei in den Feldern mit zwei identischen Indizes 43 der Ineffizienzwert der durch den betreffenden Index bezeichneten DMU abgelegt ist. Im Anschluss an die Matrix werden die Werte der Inputs sowie der Outputs aufgeführt, gefolgt von den berechneten Dualwerten (Schattenpreisen) für diese Faktoren. Die letzte Spalte enthält die Super-Effizienzwerte oder eine entsprechende Markierung bei Unzulässigkeit des Super-Effizienzmodells. 44 Unterhalb des DMU-Datenblocks befinden sich weitere Zeilen mit (optionalen) Einträgen zu berechneten Ranges, die jeweils in den entsprechenden Spalten unterhalb der zugehörigen Inputs/Outputs ausgewiesen werden. Unmittelbar darunter markiert ein X diejenigen Faktoren, die als nicht-kontrollierbar gesetzt wurden. Die letzte Zeile beinhaltet einen technischen Marker, der lediglich für die Steuerung der Anzeige im Tool erforderlich ist und daher vom Nutzer ignoriert werden kann. 5 Ausblick In diesem Beitrag ist ein zweisprachiges, web-basiertes Tool vorgestellt worden, welches nicht nur bekannte Standardmodelle der DEA, sondern auch zahlreiche Besonderheiten und Erweiterungen integriert. Dabei wurde besonderen Wert auf Benutzerfreundlichkeit sowie die Darstellung der Ergebnisse gelegt. Im Vergleich zu kommerziell verfügbarer Software bietet das DEA-Tool ebenfalls einen großen Funktionsumfang bei schnellem und einfachem Zugang. Es erleichtert damit den Einstieg und den Einsatz der DEA und ist nicht zuletzt auch zur Unterstützung der Lehre geeignet. Zur Evaluation der Praxistauglichkeit besteht eine grundsätzliche Kooperationsmöglichkeit mit dem Fachgebiet in Praxisprojekten. Das DEA-Tool bietet einem Nutzer aus methodischer Sicht vielfältige Möglichkeiten, die Ergebnisse unterschiedliche DEA-Modelle zu analysieren. Durch die benutzereigene Wahl der Parameter sowohl bezüglich der Referenzmengen als auch bezüglich des Performancemaßes lässt sich ein DEA-Modell individuell nach den praktischen Anforderungen anpassen. Da neben den bereits vorhandenen Modellvarianten weitere teils sehr spezielle DEA-Modelle existieren, 45 die fortlaufend weiterentwickelt werden, bieten sich zahlreiche Möglichkeiten das DEA-Tool zu erweitern. Neben den bisherigen Modellvarianten könnte beispielsweise das verbreitete Slack-Based-Modell von K. Tone implementiert werden. 46 Ebenso könnten die einperiodigen Betrachtungen um dynamische Analysen 43 Dies ist die Diagonale der (quadratischen) Matrix. 44 Die Spalte weist nur Werte auf, sofern die Option zur Berechnung gewählt wurde. 45 Zu Erweiterungen vgl. u.a. Cooper et al. 2004, Cook/Zhu Vgl. Cooper et al. 2007, S.99ff. 29