Forscherhefte und Mathematikkonferenzen

Transkript

1 Inhaltsübersicht Inhaltsübersicht Vorwort 4 Leitgedanken zum Konzept 7 Mathematische Inhalte erforschen und verstehen 7 Komplexe Lernumgebung für alle Kinder 10 Über Mathematik mit anderen und vor anderen sprechen 11 Inhaltliche Offenheit und verbindliche Zielerwartung 13 Methodische Überlegungen zum Konzept 14 Konzeption der einzelnen Forscherhefte 14 Methoden in Mathematikkonferenzen 15 Lernumgebung und Lernraum 16 Unterrichtliche Einsatzmöglichkeiten 16 von Forscherheften 16 Forscherhefte und ihre methodischen Variationen 17 Formen der Lernwegbegleitung 17 Themenübersicht und Bezug zu den Bildungsstandards 18 Inhaltliche Einordnung der Forscherhefte 18 Bezug zu den Bildungsstandards 20 Unterrichtlicher Einsatz der Forscherhefte Forscherheft Tabellenspiel 41 Forscherheft Königsberger Brückenproblem 56 Forscherheft Turm von Hanoi im Sierpinski-Dreieck 78 Forscherheft Vier-Felder-Tafeln 103 Literaturverzeichnis 122 Internetadressen 123 3

2 Vorwort VORWORT FORSCHERHEFTE UND MATHEMATIKKONFERENZEN VON DER IDEE ZUM KONZEPT Angeregt durch Veröffentlichungen von Peter Schütz (vgl. Schütz, P., 1994, S. 20 ff.) und Paul le Bohec (vgl. Le Bohec, P., 1994) Mathematik in einem inhaltlich vollständig offenen Rahmen zu erforschen und zu erfinden, entstand die Idee diese Unterrichtsform zu variieren, indem die inhaltliche Offenheit themenbezogen zugelassen und mit einer verbindlichen Zielerwartung verknüpft wird das Forscherheftkonzept. Gemeinsam mit Lehramtsanwärterinnen und Lehramtsanwärtern, Lehrkräften und Kindern haben wir dieses Konzept im Rahmen der Lehreraus- und fortbildung kontinuierlich erprobt, evaluiert und verändert. In seinem 1994 erschienenen Aufsatz Forscherhefte und mathematische Konferenzen erläutert Peter Schütz (vgl. a.a.o.) sein an die Schreibkonferenzen erinnerndes Konzept. Schütz ging es vor allem darum, lernschwache Schüler und Schülerinnen in ihren Talenten zu fördern. Die Kinder bekamen ein leeres Heft das Forscherheft und trugen alles für sie Mathematische ein. Es gab keine Vorgaben oder Einschränkungen inhaltlicher Art. Bemerkenswert für Peter Schütz war der kommunikative Aspekt. Überraschend war für mich die Beobachtung wie eine Tätigkeit, die ich bisher immer als Einzelarbeit eingestuft hatte, nämlich das Päckchen-Rechnen, zur Gruppenarbeit wird. (...) Wenn ( ) jemand eine neue Variation entdeckt hatte, wurde sie den anderen gleich mitgeteilt und von diesen ggf. aufgenommen und ausprobiert. Schreibkonferenzen auf mathematisch? (ebd. S. 21) In einer mathematischen Konferenz, an der alle Kinder teilnehmen konnten, wurden vom Lehrer ausgewählte, interessante, originale Kindertexte vorgelesen, von den Konferenzmitgliedern spontan kommentiert, korrigiert und diskutiert. Wenn es für die Gesprächsteilnahme von Kindern mit geringeren mathematischen Kenntnissen erforderlich war, wurden gezielt vertiefende oder weiterführende Impulse gegeben. Der gemeinsame Austausch über ihre Erfindungen und ihre Forschungsergebnisse war den Kindern so wichtig, dass sie das Interesse an ihrer Forscherarbeit verloren, sobald die Konferenzen ausgesetzt wurden. Neben den vollständig offenen Forscherheften existieren vorstrukturierte Formen, in denen die Kinder einzelne, als Loseblattsammlung oder als Heft zusammengestellte Forscheraufträge aus einem Themenkomplex individuell bearbeiten (vgl.verboom, L., 1998, Peter-Koop, A., Selter, C., Wollring, B., 2002). Auch für die mathematischen Konferenzen von Peter Schütz finden sich mehr oder weniger strukturierte Variationen und Entsprechungen in den Begrifflichkeiten Rechenkonferenzen (Sundermann, B., 1999), Mathekonferenzen (Kurhofer, D., 2005) oder Strategiekonferenzen (Francke, M., 2002). Parallel zu diesen Entwicklungen erwies sich in der Lehrerausbildung die Lernumgebung Forscherheft als konstruktive Form, die praktischen und theoretischen Anteile der Ausbildung miteinander zu verzahnen. Orientiert an vorgegebenen Kriterien und vorhandenen Vorlagen konzipierten Teams von Lehramtsanwärterinnen und Lehramtsanwärtern Forscherhefte zu komplexen mathematischen Lerngegenständen. Die Forscherheftidee entwickelte sich über den Einsatz in der täglichen Unterrichtsarbeit hinaus zum Projekt Forschertag Mathematik. Alle zwei Jahre planen, organisieren und realisieren die angehenden Lehrerinnen und Lehrer einen mathematischen Forschertag an einer Schule. An diesem Tag sind die Klassengrenzen aufgehoben und die Kinder arbeiten in interessenbezogenen und jahrgangsübergreifenden Grup- 4

3 Vorwort pen an den unterschiedlichen, von den Lehramtsanwärterinnen und Lehramtsanwärtern entwickelten Forschervorhaben. Die in den Forscherteams entstandenen Forschungsergebnisse werden am Tagesende der Schulgemeinschaft und den Eltern präsentiert. Eine Auswahl der mittlerweile umfangreichen Sammlung von Forscherheften aus unterschiedlichen Bereichen der Mathematik lag den fünf Heften dieses Buches zugrunde. Allen Heften gemeinsam ist eine übergeordnete Fragestellung, die nach der Bearbeitung einzelner, miteinander vernetzter Fortscheraufträge beantwortet werden kann. Im Einzelnen geht es um die folgenden Themen und ihre zentralen Forscherfragen: Spiegelzahlen Wie kannst du beim Rechnen mit Spiegelzahlen durch die Auswahl der Ziffernkarten schon vorher das Ergebnis beeinflussen? Forscherfragen Tabellenspiel Es gibt einen Trick, wie man das Tabellenspiel gewinnen kann. Wie funktioniert er? Königsberger Brückenproblem Kann man in Königsberg einen Spaziergang machen, bei dem man alle sieben Brücken nacheinander überquert, ohne eine Brücke auszulassen oder über eine Brücke doppelt zu gehen? Turm von Hanoi im Sierpinski-Dreieck Nach welchem Lösungsmuster lässt sich der Turm von Hanoi mit x Plättchen versetzen? Vier-Felder-Tafeln Welche Gesetzmäßigkeiten bestimmen die Muster und Strukturen von Vier-Felder-Tafeln? Entdecke sie. 5

4 ZIELE DES FORSCHERHEFTES UND BEZIEHUNG ZU DEN BILDUNGSSTANDARDS Das Forscherheft fördert die inhaltsbezogenen Kompetenzen ebenso wie die allgemeinen mathematischen Kompetenzen auf unterschiedlichen Niveaus. Da die Kinder wiederholt durch ziffernweises Subtrahieren Ergebnisse erzeugen, entwickeln sie eine entsprechende Routine in der Anwendung des schriftlichen Algorithmus und entdecken einige Rechenerleichterungen. Kombinatorische Aspekte spielen bei der Produktion von zweistelligen Zahlen und ihren Spiegelzahlen und bei der Frage nach der Vollständigkeit aller Zahlenpaare eine Rolle. Das problemlösende Denken wird gefördert, wenn die gewonnenen Einsichten auf Aufgabenstellungen übertragen werden, bei denen rekursiv aus einem vorgegebenen Ergebnis auf eine bestimmte Ziffernbelegung geschlossen werden muss. Die Argumentations- und Darstellungsfähigkeit wird erweitert, indem zur Beschreibung gewonnener Einsichten vorstrukturierte Dokumentations- und Notationsformen als Artikulationshilfen verwendet werden. Die Problemlösefähigkeiten werden um Elemente einer mathematischen Beweisführung bereichert. (Prinzip der Vollständigkeit und Prinzip der Verallgemeinerung vom Einzelfall zur Allgemeingültigkeit) Bei einer ausreichenden Anzahl von Spiegelzahldifferenzen erkennen die Kinder schnell die Eigenschaft Vielfache von 9 und vermuten die Allgemeingültigkeit. Ihre Hypothese verdichtet sich im Laufe der Bearbeitung und regt zur zielgerichteten Erkundung der arithmetischen Zusammenhänge an. Am Ende der Bearbeitung haben die Kinder alle möglichen Spiegelzahldifferenzen ermittelt und stellen fest, dass sich in jedem Fall die beobachteten Eigenschaften einstellen. Da es also kein Gegenbeispiel gibt, liegt in der Vollständigkeit ein hinreichender Beweis für die Allgemeingültigkeit der Behauptungen. Vor diesem Hintergrund lässt sich die Frage: Wie kannst du beim Rechnen mit Spiegelzahlen durch die Auswahl der Ziffern schon vorher das Ergebnis beeinflussen? auf kindgemäßer Ebene mithilfe der beobachteten Feststellungen eindeutig beantworten. Offen bleibt noch die Frage nach dem Warum?. Dem Forscherdrang der Kinder sollte Genüge getan und die Frage nach dem Warum? algebraisch beantwortet werden. Wegen des hohen Anspruchsniveaus wird hier aber nicht verlangt, dass die Kinder den algebraischen Beweis selbst entwickeln. Die Anforderung, die algebraische Begründung nachvollziehend zu verstehen ist hoch genug. Im Laufe der Bearbeitung des Forscherheftes erleben die Kinder das Ziffernrechnen für die Produktion von Ergebnissen und für die Erklärung arithmetischer Phänomene als günstig, dagegen stellt sich das halbschriftliche Verfahren der Subtraktion für die Beweisführung als vorteilhafter heraus. Werden die Kinder angeregt, über die unterschiedlichen Funktionen von Rechenverfahren zu reflektieren, leistet das Forscherheft einen Beitrag zum Flexibilisieren ihres rechnerischen Könnens. 22

5 CHECKLISTE ZUR VORBEREITUNG DES FORSCHERHEFTES UND DER MATERIALIEN Um das Forscherheft im Unterricht einzusetzen, müssen folgende Vorbereitungen getroffen werden: Forscherheft / Material Vorbereitung Menge F1 F15 kopieren und mit einem Heftstreifen fixieren Klassensatz M3 kopieren Klassensatz M4 kopieren Klassensatz M5 auf Karton kopieren Klassensatz M6 kopieren Klassensatz M7 kopieren halber Klassensatz M8 kopieren dreimal und die Tipps auseinander schneiden M9 kopieren dreimal M10, M11 kopieren bei Bedarf für einzelne Kinder M12 kopieren doppelter Klassensatz Für die Forscherarbeit der Kinder, gemeinsame Unterrichtsphasen und die Mathematikkonferenzen sind darüber hinaus folgende Vorbereitungen sinnvoll: Material Vorbereitung M1, M2 je einmal als Plakat auf DIN A3 vergrößert kopieren M3 als Plakat auf DIN A3 vergrößert kopieren M5 auf DIN-A3-Karton vergrößern und die Ziffernkarten ausschneiden M10, M11 auf OHP-Folie kopieren als Plakat auf DIN A3 vergrößert kopieren F3 und in der Klasse aufhängen, wenn die Arbeit mit Forscherheften für die Kinder noch neu ist F10 - Tabelle als Plakat anfertigen leere Plakate, Papierbögen, Papierstreifen, Klebeband und dicke Filzstifte in verschiedenen Farben zur Dokumentation von bereit stellen Hypothesen, Fragen, Ergebnissen etc. leere, gelochte DIN-A4-Blätter zum Einheften in die Forscherhefte doppelter Klassensatz 23

6 ÜBERSICHT ÜBER DIE UNTERRICHTSSEQUENZEN ZUM FORSCHERHEFT SPIEGELZAHLEN Die Arbeit mit dem Forscherheft zu den Spiegelzahlen umfasst neun Sequenzen. Das Heft muss chronologisch bearbeitet werden. Gemeinsamer Einstieg in die Arbeit mit dem Forscherheft Individuelle Bearbeitung des Forscherheftes und gemeinsame Mathematikkonferenzen Spiegelzahlen bilden (M4) mit Mathematikkonferenz (M12) und Transparenz des Forschervorhabens Einführung der Bildungsregel von Spiegelzahlen (M3) und Produktion von Zahlenpaaren aus Zahl und Spiegelzahl (M4, M5) Entwicklung der Forscherfrage (M1) und Übersicht über die Inhalte des Forschervorhabens (M1, M2) Vorstellen des Forscherheftes zu den Spiegelzahlen (F1 bis F15) Hinweise zum methodischen Vorgehen (F3) Spiegelzahlen subtrahieren (F4) mit Mathematikkonferenz (M12) Ergebnis 27 (F5) mit Tipp (M7) Ergebnisse treffen (F6, F7, F8) mit Mathematikkonferenz (M12) Alle Ergebnisse (F9, F10, M6) mit Tipp (M8) und Mathematikkonferenz (M12) Fakultative Phase mit einzelnen Kindern 6 Beweis der Vielfachen von 9 (M10) Individuelle Bearbeitung des Forscherheftes und gemeinsame Mathematikkonferenzen Große Spiegelzahlen aus drei Ziffernkarten (F11, F12) mit Tipp (M8) Verschiedene Ergebnisse bei drei Ziffernkarten (F13, F14) mit Aufgabe zum Weiterforschen (M9) Ergebnisse im Vergleich (F15) mit Tipp (M8) und Mathematikkonferenz (M12) ERLÄUTERUNGEN ZU DEN EINZELNEN SEQUENZEN Sequenz 1: Spiegelzahlen bilden (M1, M2, M3, M4, M5) mit Mathematikkonferenz (M12) und Transparenz des Forschervorhabens (F1-F5) Gemeinsamer Einstieg in die Arbeit mit dem Forscherheft Sachinformationen zu Sequenz 1 Spiegelzahlen werden gebildet, indem man die Ziffernfolge einer beliebigen Zahl in umgekehrter Reihenfolge notiert, also von hinten nach vorne. Die in diesem Heft thematisierten Zahlen sollen keine doppelten Ziffern enthalten. Die einstelligen Zahlen sind hier mit den Nullen zu denken, also statt 4 wird 04 oder 004 verwendet. Die Spiegelzahl von 530 lautet entsprechend 035. Aus diesen Vorgaben ergibt sich eine endliche Anzahl von möglichen Zahlenpaaren aus einer Zahl und ihrer Spiegelzahl. Die Anzahl der möglichen Zahlenpaare spielt an dieser Stelle noch keine Rolle. 24

7 Damit alle Kinder die Bildungsregel von Spiegelzahlen erfassen, wird mithilfe der vergrößerten Ziffernkarten (M5) zunächst im Klassenverband an einigen Beispielen das Bilden von Zahl und Spiegelzahl demonstriert. Es sollten auch größere als zweistellige Zahlen vorkommen, selbst wenn die Kinder den Zahlenraum bis 100 noch nicht überschritten haben. Die Besonderheit der Zahlen und Spiegelzahlen, die sich aus der Null ergeben, muss thematisiert werden. Auch die Begriffe Zahl und Ziffer bedürfen einer Erklärung. Die Bildungsregel (M3) wird als Plakat vergrößert zur visuellen Unterstützung aufgehängt. Im Anschluss daran legen die Kinder mithilfe der Ziffernkarten (M5) selbst Zahlenpaare und schreiben sie auf (M4). In der gemeinsamen Mathematikkonferenz werden die Zahlenpaare der Kinder zusammengetragen und übersichtlich nach der Anzahl ihrer Stellen geordnet. Die Ergebnisse einer jeden Mathematikkonferenz sollen die Kinder unter Angabe des Themas auf dem Dokumentationsblatt für Mathematikkonferenzen (M12) fortlaufend festhalten. Am Ende dieser Sequenz wird in Aussicht gestellt, mit diesen Zahlen zu rechnen: Die Lehrkraft entwickelt die Forscherfrage (Plakat) zu den Spiegelzahlen und verdeutlicht die inhaltlichen Sequenzen der Forscherarbeit (Plakat M2). Die Kinder erhalten ihr Forscherheft (F1-F15) und heften zunächst die Seiten M3 und M4 vorne in ihrem Heft ab. Die methodischen Hinweise zur Handhabung eines Forscherheftes (F3) und die didaktischen Leitideen (vgl. allgemeiner Teil) werden umfassend besprochen, falls dieses Konzept für die Kinder noch unbekannt ist. In diesem Falle werden auch die Hinweise in der Klasse (Plakat F3) aufgehängt. Methodische Hinweise zu Sequenz 1 1. Ziele der Mathematikkonferenz Die Kinder erkennen auf der Basis ihrer Sammlung, dass die Anzahl der Zahlenpaare beschränkt ist. Die Kinder, die eine Systematik bei der Erzeugung der Spiegelzahlen entwickelt haben, beschreiben diese. Spickzettel für die Mathematikkonferenz der Sequenz 1 2. Leitimpulse für die Mathematikkonferenz Wie viele Zahlenpaare gibt es vermutlich? Wie könnte man alle finden? 3. Materialien für die Mathematikkonferenz Plakate für die Zahlenpaare Plakate M1, M2, F3 4. Methodische Ideen zur Durchführung der Mathematikkonferenz Die Zahlenpaare der Kinder sortiert nach der Anzahl der Stellen auf je einem Plakat festhalten. Vermutungen der Kinder über die Anzahlen aller möglichen Zahlenpaare werden offen stehen gelassen. Im letzten Schritt erhalten die Kinder den Ausblick, dass sie im weiteren Verlauf der Stunden mit diesen Zahlen rechnen und die Ergebnisse erforschen werden. Eine Übersicht über das Forschervorhaben wird anhand der Plakate M1, M2 bzw. zum methodischen Vorgehen anhand des Plakats F3 gegeben. 25

8 2009 verlag für pädagogische medien (vpm), Donauwörth 2009 verlag für pädagogische medien (vpm), Donauwörth 2009 verlag für pädagogische medien (vpm), Donauwörth Kopiervorlagen zu Sequenz 1: M1, M2, M3, M4, M5, F1-F5 Spiegelzahlen M3 In deinem Forscherheft geht es um das Thema Spiegelzahlen. Vielleicht hast du schon einmal etwas von Spiegelzahlen gehört? Wenn nicht, dann kannst du dir das folgende Beispiel anschauen. Beispiel für Spiegelzahlen: Du hast zwei Ziffernkarten z.b. 2 und 6. Daraus lässt sich die Zahl 2 6 bilden. Spiegelzahlen bilden M4 Du brauchst die Ziffernkarten 0 bis 9 (M5) Hole dir die Ziffernkarten und schneide sie aus. Ziehe zwei (drei, vier) Ziffernkarten und bilde daraus zweistellige (drei-, vierstellige) Zahlen und die dazugehörigen Spiegelzahlen. Schreibe beide Zahlen auf. Bilde möglichst viele Paare aus Zahl und Spiegelzahl. Ziffernkarten M5 Schneide die Ziffernkarten aus Die Spiegelzahl erhältst du, wenn du die Ziffern vertauschst: 6 2 Auch bei drei- und vierstelligen Zahlen gibt es eine Spiegelzahl. Zwei Beispiele: Die Spiegelzahl von lautet Die Spiegelzahl von lautet M3 M4 M5 Sequenz 2: Spiegelzahlen subtrahieren (F4) mit Mathematikkonferenz (M12) Individuelle Bearbeitung des Forscherheftes und gemeinsame Mathematikkonferenzen Sachinformationen zu Sequenz 2 Methodische Hinweise zu Sequenz 2 In dieser Sequenz geht es um die Differenzen aus zweistelligen Zahlen und ihrer Spiegelzahl. Von den 100 möglichen ein- bis zweistelligen Zahlen (99 Zahlen und die Null) werden die 10 Schnapszahlen (auch die 00 gilt als Schnapszahl) abgezogen, da sie keine Spiegelzahlen besitzen. Nach der paarweisen Zuordnung von Zahl und Spiegelzahl ergeben sich als mögliche Zahlenpaare genau (100-10) : 2 = 45. Aus jedem Zahlenpaar lässt sich wiederum eine Subtraktionsaufgabe bilden, wobei die größere Zahl der Minuend und die kleinere Zahl der Subtrahend ist. Bei genügend großer Zahl von Daten fällt auf, dass sich bestimmte Ergebnisse häufen, andere Ergebnisse seltener vorkommen und die Ergebnisse immer Vielfache von 9 sind. Zunächst wird anhand der Forscheraufträge (M2) der Inhalt dieser Sequenz transparent gemacht, indem die Kinder die Zahlenpaare aus nur zweistelligen Zahlen fokussieren. Exemplarisch demonstriert die Lehrkraft in einer Frontalphase die Differenzbildung aus Zahl und Spiegelzahl unter Verwendung der Fachtermini Minuend und Subtrahend. Es empfi ehlt sich, bereits in dieser Demonstration das Verfahren der schriftlichen Subtraktion zu verwenden. Nachdem einige Aufgabenbeispiele gemeinsam entwickelt wurden, bilden die Kinder selbstständig aus den Zahlen und Spiegelzahlen die Differenz und dokumentieren ihre Aufgaben in ihrem Forscherheft. Um möglichst vielfältige Aufgaben untersuchen zu können, sollen die Kinder sich mit dem Partner austauschen und gemeinsam die Lupenfrage beantworten. Am Ende dieser Sequenz findet eine Mathematikkonferenz statt. 26

9 2009 verlag für pädagogische medien (vpm), Donauwörth 2009 verlag für pädagogische medien (vpm), Donauwörth 1. Ziele der Mathematikkonferenz Die Kinder erkennen, dass die Ergebnisse der Subtraktionsaufgaben Vielfache von 9 sind. dass einige Ergebnisse häufiger, andere seltener vorkommen. Die Kinder stellen Vermutungen über die Häufigkeit der Ergebnisse und über alle möglichen Ergebniszahlen an. Spickzettel für die Mathematikkonferenz der Sequenz 2 2. Leitimpulse für die Mathematikkonferenz Welche Ergebnisse hast du gefunden? Wie oft kommen die verschiedenen Ergebnisse vor? Welche Eigenschaft haben die Ergebnisse? Vergleicht die Ergebnisse miteinander. Ordnet die Ergebnisse nach ihrer Größe. Ordnet den Ergebnissen ihre Häufigkeit zu. Vermute, welche Ergebnisse möglich sind. Vermute, wie oft jedes Ergebnis vorkommen kann. 3. Materialien für die Mathematikkonferenz Papierstreifen, worauf jeweils ein Ergebnis notiert und anschließend die Häufigkeit ergänzt wird Ergebnis Häufigkeit Methodische Ideen zur Durchführung der Mathematikkonferenz Tabelle aus den Papierstreifen sukzessive entstehen lassen. Vermutungen und Entdeckungen schriftlich an der Tafel oder auf Plakat festhalten. Spiegelzahlen subtrahieren F4 Ziehe verdeckt zwei Ziffernkarten. Bilde aus ihnen die größte Zahl und ziehe davon die Spiegelzahl ab. Schreibe die Aufgabe auf und errechne das Ergebnis. Ziehe zwei neue Ziffernkarten und mache mit ihnen das Gleiche. Wiederhole den Vorgang einige Male. Mathematikkonferenzen M12 Mathematikkonferenz Thema: Ergebnisse: Kopiervorlagen zu Sequenz 2: F4, M12 Mathematikkonferenz Thema: Ergebnisse: Vergleicht eure Aufgaben und eure Ergebnisse miteinander. Untersucht die Ergebniszahlen. Welche Zahlen kommen als Ergebnis heraus? Welche Ergebnisse kommen öfter, welche kommen selten vor? Beschreibe die Auffälligkeiten. Mathematikkonferenz Thema: Ergebnisse: Mathematikkonferenz F4 M12 27