Das Damenproblem - funktional und logisch

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Karin Junge
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1 - funktional und logisch 1 1 Technische Fakultät Universität Bielefeld / Seminar Programmiersprachen

2 Gliederung Einleitung 1 Einleitung 2 3

3 Problembeschreibung Definition Definition Sei N eine natürliche Zahl. Dann verstehen wir unter queens(n) das Problem, N Damen auf einem Schachbrett mit N Zeilen und Spalten so zu positionieren, dass sie sich gegenseitig nicht schlagen können. Allgemein sind wir daran interessiert, die Liste aller möglichen Lösungen für ein gegebenes N zu erhalten.

4 Problembeschreibung Definition Definition Sei N eine natürliche Zahl. Dann verstehen wir unter queens(n) das Problem, N Damen auf einem Schachbrett mit N Zeilen und Spalten so zu positionieren, dass sie sich gegenseitig nicht schlagen können. Allgemein sind wir daran interessiert, die Liste aller möglichen Lösungen für ein gegebenes N zu erhalten.

5 Vorüberlegungen Zeilen und Spalten Einleitung Eine Dame kann horizontal, vertikal oder diagonal schlagen Jede Zeile und Spalte darf nur eine Dame enthalten Wir können die indizierten Spalten systematisch auswählen und müssen dann nur die richtigen Zeilen finden Eine Lösung ist eine Permutation der Liste [1, 2,..., N]

6 Vorüberlegungen Zeilen und Spalten Einleitung Eine Dame kann horizontal, vertikal oder diagonal schlagen Jede Zeile und Spalte darf nur eine Dame enthalten Wir können die indizierten Spalten systematisch auswählen und müssen dann nur die richtigen Zeilen finden Eine Lösung ist eine Permutation der Liste [1, 2,..., N]

7 Vorüberlegungen Zeilen und Spalten Einleitung Eine Dame kann horizontal, vertikal oder diagonal schlagen Jede Zeile und Spalte darf nur eine Dame enthalten Wir können die indizierten Spalten systematisch auswählen und müssen dann nur die richtigen Zeilen finden Eine Lösung ist eine Permutation der Liste [1, 2,..., N]

8 Vorüberlegungen Zeilen und Spalten Einleitung Eine Dame kann horizontal, vertikal oder diagonal schlagen Jede Zeile und Spalte darf nur eine Dame enthalten Wir können die indizierten Spalten systematisch auswählen und müssen dann nur die richtigen Zeilen finden Eine Lösung ist eine Permutation der Liste [1, 2,..., N]

9 Vorüberlegungen Diagonalen Einleitung Aus Effizienzgründen werden auch die Diagonalen indiziert Aufsteigende Diagonalen durch Differenz der Spalten/Zeilen

10 Vorüberlegungen Diagonalen Einleitung Aus Effizienzgründen werden auch die Diagonalen indiziert Absteigende Diagonalen durch Summe der Spalten/Zeilen

11 Wiederholung: Listenbeschreibungen [ e p < l ] = map ( \ p > e ) l [ e b ] = i f b then [ e ] else [ ] [ e l e t ds ] = l e t ds in [ e ] [ e q1, q2 ] = concat [ [ e q2 ] q1 ]

12 Haskell-Lösung Funktion place Einleitung place : : Integer > [ Integer ] > [ Integer ] > [ Integ place c [ ] ud dd = [ [ ] ] place c rs ud dd = [ q : qs q < rs, l e t uq = q c, l e t dq = q + c, uq notelem ud, dq notelem dd, qs < place ( c +1) ( delete q rs ) ( uq : ud ) ( dq : dd ) ]

13 Haskell-Lösung Aufruf Einleitung type Board = [ Integer ] queens : : Integer > [ Board ] queens n = place 1 [ 1.. n ] [ ] [ ]

14 Damenproblem aus dem Tutorial Hilfsprädikate - takeout takeout (X, [ X R],R ). takeout (X, [ F R ], [ F S ] ) : takeout (X,R, S ). takeout ist erfüllt, wenn R mit jener Liste unifiziert werden kann, die entsteht, wenn X aus der Liste des 2. Arguments entfernt wird

15 Damenproblem aus dem Tutorial Hilfsprädikate - perm perm ( [ X Y ], Z ) : perm (Y,W), takeout (X, Z,W). perm ( [ ], [ ] ). perm ist erfüllt, wenn das 2. Argument eine Permutation des 1. darstellt

16 Damenproblem aus dem Tutorial Hilfsprädikate - combine combine ( [ X1 X ], [ Y1 Y ], [ S1 S ], [ D1 D ] ) : S1 is X1 +Y1, D1 is X1 Y1, combine (X, Y, S,D ). combine ( [ ], [ ], [ ], [ ] ). wird combine für gegebene Listen von Spalten und Zeilen mit freien Variablen im 3. und 4. Argument aufgerufen, werden die Listen gesucht, die den korrespondierenden Diagonalen entsprechen

17 Damenproblem aus dem Tutorial Hilfsprädikate - alldiff a l l _ d i f f ( [ X Y ] ) : \+member(x, Y), a l l _ d i f f (Y ). a l l _ d i f f ( [ X ] ). alldiff überprüft, ob sich alle Elemente einer Liste paarweise unterscheiden

18 Damenproblem aus dem Tutorial solve solve ( L, P) : perm ( L, P), combine ( L, P, S,D), a l l _ d i f f (S), a l l _ d i f f (D ). solve kombiniert schließlich alle Hilfprädikate, sodass für ein gegebenes L jene Listen P gesucht werden, die eine Permutation von L sind es werden die Diagonalen S, D zu L und der jeweiligen Permutation erstellt es wird für beide Diagonalen auf Verschiedenheit der Elemente getestet

19 Damenproblem aus dem Tutorial Fazit Das Prädikat ist extrem ineffizient, da Alle möglichen Permutationen erstellt werden Auch für fehlerhafte Permutationen die Diagonalen berechnet werden Eine effizientere Lösung wird nun direkt anhand des Source-Codes vorgestellt.

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