1 Grundlagen der Maßtheorie

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1 1 Grundlagen der Maßtheorie In diesem Kapitel führen wir die Mengensysteme ein, die eine systematische Betrachtung von Ereignissen und zufälligen Beobachtungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlauben. Ferner sollen Maße, insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße, auf solchen Mengensystemen konstruiert werden. Schließlich werden wir Zufallsvariablen als messbare Abbildungen definieren. 1.1 Mengensysteme Im Folgenden ist stets Ω eine Menge und A 2 Ω (Potenzmenge von Ω) eine Familie von Teilmengen. Später wird die Menge Ω als Raum von Elementarereignissen interpretiert werden und A als ein System von beobachtbaren Ereignissen. Wir wollen in diesem Abschnitt Mengensysteme, die abgeschlossen sind unter einfachen mengentheoretischen Verknüpfungen, mit Namen versehen und einfache Beziehungen zwischen solchen Systemen herstellen. Definition 1.1. Das Mengensystem A heißt -stabil (sprich: schnittstabil) oder ein π-system, falls für je zwei Mengen A, B Agilt, dass auch A B A, σ- -stabil (sigma-schnittstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen A 1,A 2,... Agilt, dass auch A n A, -stabil (vereinigungsstabil), falls für je zwei Mengen A, B Agilt, dass auch A B A, σ- -stabil (sigma-vereinigungsstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen A 1,A 2,... Agilt, dass auch A n A, \-stabil (differenzmengenstabil), falls für je zwei Mengen A, B Agilt, dass auch A \ B A, komplementstabil, falls mit jeder Menge A Aauch A c := Ω \ A Agilt.

2 2 1 Grundlagen der Maßtheorie Definition 1.2 (σ-algebra). Ein Mengensystem A 2 Ω heißt σ-algebra, falls die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind. (i) Ω A, (ii) A ist komplementstabil, (iii) A ist σ- -stabil. σ-algebren sind die natürlichen Mengensysteme für zufällige Ereignisse, denn wie wir sehen werden, können wir diesen Ereignissen in konsistenter Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Satz 1.3. Ist A komplementstabil, so gelten die beiden folgenden Äquivalenzen. A ist -stabil A ist -stabil, A ist σ- -stabil A ist σ- -stabil. Beweis. Dies folgt direkt aus den de Morgan schen Regeln (Erinnerung: ( A i ) c = A c i ). Ist beispielsweise A σ- -stabil und sind A 1,A 2,... A, so ist auch ( c A n = An) c A. Also ist A auch σ- -stabil. Die anderen Fälle folgen analog. Satz 1.4. Ist A\-stabil, so gelten die folgenden Aussagen. (i) A ist -stabil. (ii) Falls A σ- -stabil ist, dann ist A auch σ- -stabil. (iii) Jede abzählbare (beziehungsweise endliche) Vereinigung von Mengen aus A lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung von Mengen in A schreiben. Beweis. (i) Seien A, B A. Dann ist auch A B = A \ (A \ B) A. (ii) Seien A 1,A 2,... A.Dannist A n = (A 1 A n )= A 1 \ (A 1 \ A n )=A 1 \ (A 1 \ A n ) A. n=2 n=2 n=2 A n als abzählbare, disjunkte Vereini- (iii) Seien A 1,A 2,... A.Dannist gung in A darstellbar durch

3 1.1 Mengensysteme 3 A n = A 1 (A 2 \ A 1 ) ((A 3 \ A 1 ) \ A 2 ) (((A 4 \ A 1 ) \ A 2 ) \ A 3 )... Bemerkung 1.5. Manchmal bezeichnen wir, wie im obigen Beweis, die Vereinigung paarweise disjunkter Mengen mit dem Symbol. Dies soll lediglich der optischen Verdeutlichung dienen und ist keine neue Verknüpfung. Definition 1.6. Ein Mengensystem A 2 Ω heißt Algebra, falls gilt: (i) Ω A, (ii) A ist \-stabil, (iii) A ist -stabil. Offenbar ist in einer Algebra stets = Ω \ Ω enthalten. Diese Eigenschaft ist im Allgemeinen jedoch schwächer als (i) in Definition 1.6. Satz 1.7. Ein Mengensystem A 2 Ω ist genau dann eine Algebra, wenn es folgende drei Eigenschaften hat: (i) Ω A, (ii) A ist komplementstabil, (iii) A ist -stabil. Beweis. Übung! Definition 1.8. Ein Mengensystem A 2 Ω heißt Ring, falls gilt: (i) A, (ii) A ist \-stabil, (iii) A ist -stabil. Ein Ring heißt σ-ring, falls er σ- -stabil ist. Definition 1.9. Ein Mengensystem A 2 Ω heißt Semiring (oder Halbring), falls gilt: (i) A, (ii) für je zwei Mengen A, B Aist B \ A endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen aus A, (iii) A ist -stabil.

4 4 1 Grundlagen der Maßtheorie Definition Ein Mengensystem A 2 Ω heißt Dynkin-System (oder λ-system), falls gilt: (i) Ω A, (ii) für je zwei Mengen A, B Amit A B ist B \ A A, (iii) für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen A 1,A 2,... A gilt A n A. Beispiele (i) Ist Ω eine beliebige nichtleere Menge, so sind A = {,Ω} und A = 2 Ω die trivialen Beispiele für Algebren, σ-algebren und Dynkin-Systeme. Hingegen sind A = { } und A =2 Ω die trivialen Beispiele für Semiringe, Ringe und σ-ringe. (ii) Sei Ω = R. DannistA = {A R : A ist abzählbar} ein σ-ring. (iii) A = {(a, b] : a, b R, a b} ist ein Semiring über Ω = R (aber kein Ring). (iv) Die Menge endlicher Vereinigungen von beschränkten Intervallen ist ein Ring über Ω = R (aber keine Algebra). (v) Die Menge endlicher Vereinigungen beliebiger (auch unbeschränkter) Intervalle ist eine Algebra über Ω = R (aber keine σ-algebra). (vi) Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω := E N die Menge aller Folgen ω =(ω n ) n N mit Werten in E.Für ω 1,...,ω n E sei [ω 1,...,ω n ]:={ω Ω : ω i = ω i für jedes i =1,...,n} die Menge aller Folgen, die mit den Werten ω 1,...,ω n beginnen. Sei A 0 = { }. Für n N setze A n := {[ω 1,...,ω n ]: ω 1,...,ω n E}. (1.1) Dann ist A := n=0 A n ein Semiring, aber kein Ring (falls #E >1). (vii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist A := {A Ω : A oder A c ist endlich} eine Algebra. Ist #Ω =, soista jedoch keine σ-algebra. (viii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist A := {A Ω : A oder A c ist abzählbar} eine σ-algebra. (ix) Jede σ-algebra ist auch ein Dynkin-System. (x) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und A = {, {1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4} }. Dann ist A ein Dynkin-System, aber keine Algebra.

5 1.1 Mengensysteme 5 Satz 1.12 (Inklusionen zwischen Mengensystemen). (i) Jede σ-algebra ist ein Dynkin-System, eine Algebra und ein σ-ring. (ii) Jeder σ-ring ist ein Ring, jeder Ring ein Semiring. (iii) Jede Algebra ist auch ein Ring. Eine Algebra auf einer endlichen Menge Ω ist auch eine σ-algebra. Beweis. (i) Das ist klar. (ii) Sei A ein Ring. Nach Satz 1.4 ist A schnittstabil und damit ein Semiring. (iii) Sei A eine Algebra. Dann ist = Ω \ Ω A,alsoistA ein Ring. Ist zudem Ω endlich, so ist A endlich und damit jede abzählbare Vereinigung in A schon eine endliche Vereinigung. Definition 1.13 (liminf und limsup). Es seien A 1,A 2,...Teilmengen von Ω. Dann heißen lim inf A n := A m und lim sup A n := A m n n m=n m=n Limes inferior beziehungsweise Limes superior der Folge (A n ) n N. Bemerkung (i) Es gilt lim inf A n = { ω Ω :#{n N: ω A n } < }, n lim sup A n = { ω Ω :#{n N: ω A n } = }. n Der Limes inferior ist also das Ereignis, dass schließlich alle der A n eintreten, der Limes superior hingegen das Ereignis, dass unendlich viele der A n eintreten. Insbesondere ist A := lim inf n A n A := lim sup n A n. (ii) Bezeichnen wir mit { 1, falls x A, 1 A (x) := 0, falls x A, (1.2) die Indikatorfunktion auf der Menge A, so gilt 1 A = lim inf 1 A n, 1 A = lim sup 1 An. n n (iii) Ist A 2 Ω eine σ-algebra und A n Afür jedes n N, soista Aund A A. Beweis. Übung!

6 6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz 1.15 (Schnitt von Mengensystemen). Ist I eine beliebige Indexmenge und A i eine σ-algebra für jedes i I,soist A I := { A Ω : A A i für jedes i I } = i I A i eine σ-algebra. Dies gilt analog für: Ringe, σ-ringe, Algebren und Dynkin-Systeme; nicht aber für Semiringe. Beweis. Wir führen den Beweis hier nur für σ-algebren durch. Wir prüfen für A die Punkte (i) (iii) aus Definition 1.2. (i) Für jedes i I ist Ω A i.alsoistω A. (ii) Sei A A.DannistA A i für jedes i I. Also ist auch A c A i für jedes i I. Mithin ist A c A. (iii) Seien A 1,A 2,... A.DannistA n A i für jedes n N und jedes i I. Also ist auch A := A n A i für jedes i I und damit A A. Gegenbeispiel für Semiringe: Seien Ω = {1, 2, 3, 4}, A 1 = {,Ω,{1},{2, 3}, {4}} und A 2 = {,Ω,{1},{2},{3, 4}}. DannsindA 1 und A 2 Semiringe, aber A 1 A 2 = {,Ω,{1}} ist keiner. Satz 1.16 (Erzeugte σ-algebra). Sei E 2 Ω. Dann existiert eine kleinste σ- Algebra σ(e) mit E σ(e): σ(e) := A. A 2 Ω ist σ-algebra A E σ(e) heißt die von E erzeugte σ-algebra. E heißt Erzeuger von σ(e). Analog wird das von E erzeugte Dynkin-System δ(e) definiert. Beweis. A =2 Ω ist eine σ-algebra mit E A. Also ist der Schnitt nicht leer. Nach Satz 1.15 ist σ(e) eine σ-algebra, und dies ist offenbar die kleinste σ-algebra, die E enthält. Für Dynkin-Systeme geht der Beweis genauso. Bemerkung Es gelten die folgenden einfachen Aussagen. (i) E σ(e). (ii) Gilt E 1 E 2,soistσ(E 1 ) σ(e 2 ). (iii) A ist genau dann σ-algebra, wenn σ(a) =A. Die analogen Aussagen gelten für Dynkin-Systeme. Ferner ist stets δ(e) σ(e).

7 1.1 Mengensysteme 7 Satz 1.18 (Schnittstabiles Dynkin-System). Ist D 2 Ω ein Dynkin-System, so gilt D ist -stabil D ist eine σ-algebra. Beweis. = Dies ist klar. = Wir prüfen die Eigenschaften (i) (iii) aus Definition 1.2. (i) Offensichtlich ist Ω D. (ii) (Komplementstabilität) Sei A D.DaΩ Dgilt, und nach Eigenschaft (ii) des Dynkin-Systems, ist A c = Ω \ A D. (iii) (σ- -Stabilität) Seien A, B D. Nach Voraussetzung ist A B D, und es gilt trivialerweise A B A.AlsoistA \ B = A \ (A B) D. Mithin ist D\-stabil. Seien nun A 1,A 2,... D. Nach Satz 1.4(iii) existieren paarweise disjunkte Mengen B 1,B 2,... Dmit A n = B n D. σ- -stabil Algebra Ω A Ring σ-algebra Ω A -stabil σ-ring Dynkin-System σ- -stabil -stabil Semiring Abb Zusammenhang zwischen den Mengensystemen A 2 Ω. Satz 1.19 (Dynkin scher π λ Satz). Sei E 2 Ω ein -stabiles Mengensystem. Dann gilt σ(e) =δ(e). Beweis. Dies ist klar nach Bemerkung Zu zeigen ist: δ(e) ist eine σ-algebra. Nach Satz 1.18 reicht es zu zeigen, dass δ(e) -stabil ist. Für B δ(e) sei

8 8 1 Grundlagen der Maßtheorie D B := {A δ(e) :A B δ(e)}. Für die Schnittstabilität von δ(e) reicht es zu zeigen, dass δ(e) D B für jedes B δ(e). (1.3) Wir zeigen, dass D E für jedes E δ(e) ein Dynkin-System ist, indem wir (i) (iii) aus Definition 1.10) prüfen: (i) Offenbar ist Ω E = E δ(e), alsoistω D E. (ii) Für A, B D E mit A B ist (B \ A) E =(B E) \ (A E) δ(e). (iii) Seien A 1,A 2,... D E paarweise disjunkt. Dann ist ( ) A n E = (A n E) δ(e). Nach Voraussetzung ist für A Eauch A E E,alsoistE D E, falls E E gilt. Nach Bemerkung 1.17(ii) ist daher auch δ(e) D E für E E.Für B δ(e) und E Eist also B E δ(e). Mithin gilt E D B für jedes B δ(e), also E D B für jedes B δ(e), und damit gilt (1.3). Von besonderer Bedeutung sind σ-algebren, die von Topologien erzeugt werden. Hier wiederum spielt natürlich der euklidische Raum R n die prominenteste Rolle, aber wir wollen auch den (unendlichdimensionalen) Raum C([0, 1]) der stetigen Funktionen [0, 1] R im Blick haben. Auf diesem Raum wird durch die Norm f =sup x [0,1] f(x) eine Topologie erzeugt. Zur Erinnerung bringen wir hier das Axiomensystem der Topologie. Definition 1.20 (Topologie). Sei Ω eine beliebige Menge. Ein Mengensystem τ Ω heißt Topologie auf Ω, falls folgende drei Eigenschaften gelten. (i),ω τ. (ii) Sind A, B τ, so ist auch A B τ. (iii) Ist F τeine beliebige Familie, so ist auch ( A F A) τ. Das Paar (Ω,τ) heißt dann topologischer Raum.DieMengenA τ heißen offen, die Mengen A Ω mit A c τ heißen abgeschlossen. Anders als bei σ-algebren sind bei Topologien nur endliche Schnitte, jedoch auch überabzählbare Vereinigungen erlaubt. Ist d eine Metrik auf Ω, und bezeichnet B r (x) ={y Ω : d(x, y) <r} die offene Kugel um x Ω mit Radius r>0, so wird eine Topologie erzeugt durch

9 1.1 Mengensysteme 9 { } τ = B r(x) : F Ω (0, ). (x,r) F Dies ist das gewöhnliche System offener Mengen, das man in den meisten Analysisbüchern findet. Definition 1.21 (Borel sche σ-algebra). Sei (Ω,τ) ein topologischer Raum. Die von den offenen Mengen erzeugte σ-algebra B(Ω) :=B(Ω,τ) :=σ(τ) heißt Borel sche σ-algebra auf Ω. Die Elemente A B(Ω,τ) heißen Borel sche Mengen oder Borel-messbare Mengen. Bemerkung Wir sind meistens an B(R n ) interessiert, wobei wir auf R n den euklidischen Abstand annehmen: d(x, y) = x y 2 = n (x i y i ) 2. (i) Es gibt Teilmengen von R n, die keine Borel schen Mengen sind. Diese sind kompliziert herzustellen, wie beispielsweise die Vitali-Mengen, die man in Analysisbüchern findet (siehe etwa [7]). Wir wollen hier auf diesen Aspekt nicht näher eingehen, sondern lediglich die - mathematisch unpräzise - Feststellung treffen, dass jede Menge, die man sich konstruktiv herstellen kann, auch Borel sch ist. (ii) Jede abgeschlossene Menge C R n ist in B(R n ),dennesistc c τ,alsoist C =(C c ) c σ(τ). Speziell ist {x} B(R n ) für jedes x R n. (iii) B(R n ) ist keine Topologie. Sei nämlich V R n, V B(R n ).Wäre B(R n ) eine Topologie, so wären beliebige Vereinigungen Borel scher Mengen wieder Borel sch, also auch V = x V {x} B(Rn ). Das Mengensystem der offenen Mengen, das die Borel sche σ-algebra erzeugt, ist in vielen Fällen unhandlich groß. Wir wollen daher andere Mengensysteme als Erzeuger von B(R n ) identifizieren, mit denen wir in der Praxis besser arbeiten können. Hierzu wollen wir einerseits Mengen von einfacher Struktur, Quader etwa, betrachten, andererseits aber auch die Größe des Systems einschränken, indem wir abzählbare Mengensysteme betrachten. Wir führen folgende Notationen ein. Mit Q bezeichnen wir die Menge der rationalen Zahlen, mit Q + die Menge der strikt positiven rationalen Zahlen. Für a, b R n schreiben wir a<b, falls a i <b i für jedes i =1,...,n. (1.4) Wir definieren für a<bden offenen Quader als das kartesische Produkt (a, b) := n (a i,b i ):=(a 1,b 1 ) (a 2,b 2 ) (a n,b n ) (1.5)

10 10 1 Grundlagen der Maßtheorie und analog [a, b], (a, b] und [a, b). Ferner schreiben wir (,b):= n (,b i ) und definieren analog (,b] und so fort. Wir führen die folgenden Mengensysteme ein: E 1 := {A R n : A ist offen}, E 2 := {A R n : A ist abgeschlossen}, E 3 := {A R n : A ist kompakt}, E 4 := {B r (x) : x Q n,r Q + }, E 5 := {(a, b) : a, b Q n,a<b}, E 6 := {[a, b) : a, b Q n,a<b}, E 7 := {(a, b] : a, b Q n,a<b}, E 8 := {[a, b] : a, b Q n,a<b}, E 9 := {(,b): b Q n }, E 10 := {(,b]: b Q n }, E 11 := {(a, ) : a Q n }, E 12 := {[a, ) : a Q n }. Satz Die Borel sche σ-algebra B(R n ) wird von jedem der Mengensysteme E 1,...,E 12 erzeugt: B(R n )=σ(e i ) für jedes i =1,...,12. Beweis. Wir zeigen nur exemplarisch ein paar der Identitäten. (1) B(R n )=σ(e 1 ) gilt per Definition. (2) Sei A E 1.DannistA c E 2,alsoA =(A c ) c σ(e 2 ). Daher gilt E 1 σ(e 2 ) und dann (wegen Bemerkung 1.17) auch σ(e 1 ) σ(e 2 ). Analog folgt aber σ(e 2 ) σ(e 1 ) und damit die Gleichheit. (3) Jede kompakte Menge ist abgeschlossen. Also gilt σ(e 3 ) σ(e 2 ). Sei nun A E 2. Dann sind die Mengen A K := A [ K, K] n, K N, kompakt, also ist die abzählbare Vereinigung A = K=1 A K in σ(e 3 ). Es gilt also E 2 σ(e 3 ) und damit σ(e 2 )=σ(e 3 ). (4) Offenbar ist E 4 E 1,alsoσ(E 4 ) σ(e 1 ). Sei nun A R n offen. Für x A sei R(x) = min(1, sup{r >0: B r (x) A}). DaA offen ist, folgt R(x) > 0. Sei r(x) (R(x)/2,R(x)) Q. Für jedes y A und x (B R(y)/3 (y)) Q n ist nun R(x) R(y) x y 2 > 2 3 R(y), alsor(x) > 1 3 R(y), alsoy B r(x)(x). Also ist A = x A Q n B r(x)(x) eine abzählbare Vereinigung von Mengen aus E 4 und damit in σ(e 4 ). Es gilt also auch σ(e 1 ) σ(e 4 ). (5 12) Ähnliche Ausschöpfungsargumente wie in (4) funktionieren auch für die Quader. In (4) können statt der offenen Kugeln B r (x) offene Quader genommen werden. So folgt die Gleichheit mit σ(e 5 ). Man bemerke beispielsweise, dass n [a i,b i )= n k=1 ( a i 1 ) k,b i σ(e 5 ). Die anderen Inklusionen E i σ(e j ) zeigt man analog. Bemerkung Jedes der Mengensysteme E 1, E 2, E 3, E 5,...,E 12 (nicht aber E 4 ) ist schnittstabil, mithin ist die Borel sche σ-algebra jeweils gleich dem erzeugten

11 1.1 Mengensysteme 11 Dynkin-System: B(R n ) = δ(e i ) für i = 1, 2, 3, 5,...,12. Die Mengensysteme E 4,...,E 12 sind zudem abzählbar. Dies ist eine Eigenschaft, die wir an späterer Stelle wieder benötigen werden. Definition 1.25 (Spur eines Mengensystems). Es sei A 2 Ω ein beliebiges System von Teilmengen von Ω und A 2 Ω \ { }. Das Mengensystem A A := {A B : B A} 2 A (1.6) heißt Spur von A auf A, oder Einschränkung von A auf A. Satz Ist A eine σ-algebra, oder eines der Mengensysteme aus den Definitionen auf Ω, soista ein Mengensystem vom selben Typ, allerdings auf A A statt Ω. Beweis. Übung! Übung Sei A ein Semiring. Man zeige: Jede abzählbare (beziehungsweise endliche) Vereinigung von Mengen aus A lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung von Mengen in A schreiben. Übung Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass im Allgemeinen die Vereinigung A A zweier σ-algebren keine σ-algebra ist. Übung Seien (Ω 1,d 1 ) und (Ω 2,d 2 ) metrische Räume, f : Ω 1 Ω 2 eine beliebige Abbildung und U f = { x Ω 1 : f ist unstetig in x } die Menge der Unstetigkeitsstellen. Man zeige: U f B(Ω 1 ). Hinweis: Man zeige zunächst, dass für ε>0und δ>0die Menge U δ,ε f := { x Ω 1 : es gibt y, z B ε (x) mit d 2 (f(y),f(z)) >δ } (wobei B ε (x) ={y Ω 1 : d 1 (x, y) <ε}) offen ist und konstruiere dann U f aus solchen Mengen. Übung Sei Ω eine überabzählbare Menge und A = σ({ω} : ω Ω).Zeige: A = { A Ω : A ist abzählbar oder A c ist abzählbar }. Übung Sei A ein Ring auf der Menge Ω. Man zeige: A erfüllt die Axiome eines kommutativen Rings (im Sinne der Algebra) mit als Multiplikation und als Addition.

12 12 1 Grundlagen der Maßtheorie 1.2 Mengenfunktionen Definition Sei A 2 Ω und μ : A [0, ] eine Mengenfunktion. μ heißt (i) monoton, falls für je zwei Mengen A, B Amit A B gilt, dass μ(a) μ(b), (ii) additiv, falls für je endlich viele ( paarweise disjunkte Mengen A 1,...,A n A n n ) mit A i Agilt, dass μ A i = n μ(a i ), (iii) σ-additiv, falls für je abzählbar viele ( paarweise disjunkte Mengen A 1,A 2,... aus A mit ) A i Agilt, dass μ A i = μ(a i ), (iv) subadditiv, falls für je endlich viele Mengen A, A 1,A 2,...,A n Amit A n A i gilt, dass μ(a) n μ(a i ), (v) σ-subadditiv, falls für je abzählbar viele A, A 1,A 2,... Amit A gilt, dass μ(a) μ(a i ). A i Definition Sei A ein Semiring und μ : A [0, ] eine Mengenfunktion mit μ( ) =0. μ heißt Inhalt, falls μ additiv ist, Prämaß, falls μσ-additiv ist, Maß, falls μ ein Prämaß ist und A eine σ-algebra, Wahrscheinlichkeitsmaß (kurz W-Maß), falls μ ein Maß ist und μ(ω) =1. Definition Sei A ein Semiring. Ein Inhalt μ auf A heißt (i) endlich, fallsμ(a) < für jedes A A, (ii) σ-endlich, falls es Mengen Ω 1,Ω 2,... A gibt mit Ω = μ(ω n ) < für jedes n N. Ω n und Beispiel 1.30 (Inhalte, Maße). (i) Sei ω Ω und δ ω (A) =1 A (ω) (siehe (1.2)). Dann ist δ ω ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf jeder σ-algebra A 2 Ω und heißt Dirac-Maß im Punkt ω, oder Einheitsmasse. (ii) Sei Ω eine endliche, nichtleere Menge. Durch μ(a) := #A für A Ω, #Ω

13 1.2 Mengenfunktionen 13 wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A =2 Ω definiert. μ heißt Gleichverteilung oder uniforme Verteilung auf Ω.Wirführen hierfür das Symbol U Ω := μ ein. Das so definierte Tripel (Ω,A, U Ω ) wird auch Laplace-Raum genannt. (iii) Sei Ω abzählbar unendlich und A := {A Ω :#A< oder #A c < }. Dann ist A eine Algebra. Die durch { 0, falls A endlich, μ(a) =, falls A c endlich, auf A definierte Mengenfunktion ist ein Inhalt, aber kein Prämaß, denn es gilt μ ( ω Ω {ω}) = μ(ω) =,aber ω Ω μ ({ω}) =0. (iv) Sei (μ n ) n N eine Folge von Maßen (Prämaßen, Inhalten) und (α n ) n N eine Folge von nichtnegativen Zahlen. Dann ist auch μ := α nμ n ein Maß (Prämaß, Inhalt). (v) Sei Ω eine (höchstens) abzählbare, nichtleere Menge und A =2 Ω.Ferner seien (p ω ) ω Ω nichtnegative Zahlen. Dann wird durch μ(a) := ω A p ω für jedes A Ω, einσ-endliches Maß auf 2 Ω definiert. Wir nennen p =(p ω ) ω Ω die Gewichtsfunktion von μ. (vi) Ist in (v) speziell ω Ω p ω =1,soistμein Wahrscheinlichkeitsmaß. Wir interpretieren dann p ω als Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses ω und nennen p =(p ω ) ω Ω auch einen Wahrscheinlichkeitsvektor. (vii) Ist in (v) speziell p ω =1für jedes ω Ω, soheißtμ das Zählmaß auf Ω. Ist Ω endlich, so ist auch μ endlich. (viii) Sei A der Ring endlicher Vereinigungen von Intervallen (a, b] R. Für a 1 <b 1 <a 2 <b 2 <...<b n und A = n (a i,b i ] setzen wir μ(a) = n (b i a i ). μ ist ein σ-endlicher Inhalt auf A (sogar ein Prämaß), denn es ist und μ(( n, n]) = 2n < für jedes n N. (ix) Sei f : R [0, ) stetig. Analog zu (viii) setze μ f (A) = n bi a i f(x) dx. ( n, n] =R μ f ist ein σ-endlicher Inhalt auf A (sogar ein Prämaß). Die Funktion f heißt Dichte und spielt hier eine ähnliche Rolle wie die Gewichtsfunktion p in (v).

14 14 1 Grundlagen der Maßtheorie Lemma 1.31 (Eigenschaften von Inhalten). Sei A ein Semiring und μ ein Inhalt auf A. Dann gelten die folgenden Aussagen. (i) Ist A ein Ring, so istμ(a B)+μ(A B) =μ(a)+μ(b) für je zwei Mengen A, B A. (ii) μ ist monoton. Ist A ein Ring, so gilt genauer μ(b) =μ(a)+μ(b \ A) für je zwei Mengen A, B Amit A B. (iii) μ ist subadditiv. Ist μ sogar σ-additiv, so ist μ auch σ-subadditiv. (iv) Ist A ein Ring, so gilt für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen A 1,A 2,... Amit A n Astets ( μ(a n ) μ A n ). Beweis. (i) ist, folgt Es ist A B = A (B \A) und B =(A B) (B \A).Daμ additiv μ(a B) =μ(a)+μ(b \ A) und μ(b) =μ(a B)+μ(B \ A). Hieraus folgt sofort (i). (ii) Sei A B. WegenA B = A folgt μ(b) =μ(a (B \ A)) = μ(a) + μ(b \ A), falls B \ A Aist, insbesondere also, falls A ein Ring ist. Ist nun A nur ein Semiring, so ist B \ A = n C i für gewisses n N und paarweise disjunkte Mengen C 1,...,C n A. In diesem Fall ist μ(b) =μ(a)+ n μ(c i) μ(a), also ist μ monoton. (iii) Seien n N und A, A 1,...,A n Amit A n A i. Setze B 1 = A 1 und k 1 B k = A k \ A i = k 1 (A k \ (A k A i )) für k =2,...,n. Per Definition des Semirings ist jedes A k \(A k A i ) disjunkte Vereinigung endlich vieler Mengen in A, also existiert ein c k N und Mengen C k,1,...,c k,ck Amit ck C k,i = B k A k. Analog existieren d k N und D k,1,...,d k,dk Amit A k \ B k = d k D k,i.daμ additiv ist, gilt μ(a k )= c k μ(c k,i )+ d k μ(d k,i ) Wiederum aufgrund von Additivität und Monotonie gilt ( n ) c k n μ(a) =μ (C k,i A) = n k=1 c k k=1 μ(c k,i ) c k c k k=1 n μ(a k ). k=1 μ(c k,i ). μ(c k,i A)

15 1.2 Mengenfunktionen 15 Also ist μ subadditiv. Die σ-subadditivität folgt aus der σ-additivität in analoger Weise. (iv) Sei A ein Ring und A = A n A.Daμadditiv (und damit monoton) ist, gilt nach (ii) ( m m ) μ(a n )=μ A n μ(a) für jedes m N. Also ist μ(a n ) μ(a). Bemerkung In (iv) kann strikte Ungleichheit herrschen (siehe etwa Beispiel 1.30(iii)). Mit anderen Worten: Es gibt Inhalte, die keine Prämaße sind. Satz 1.33 (Einschluss- Ausschlussformel). Sei A ein Ring und μ ein Inhalt. Dann gelten für n N und A 1,...,A n Adie Einschluss- Ausschlussformeln μ(a 1... A n )= μ(a 1... A n )= n ( 1) k 1 k=1 n ( 1) k 1 k=1 {i 1,...,i k } {1,...,n} {i 1,...,i k } {1,...,n} μ(a i1... A ik ), μ(a i1... A ik ), wobei sich die Summen über alle k-elementigen Teilmengen von {1,...,n} erstrecken. Beweis. Übung! Hinweis: Man verwende vollständige Induktion über n. Wir wollen die σ-subadditivität durch eine Stetigkeitseigenschaft charakterisieren (Satz 1.36). Hierzu verabreden wir die folgende Sprechweise und Notation. Definition Sind A, A 1,A 2,...Mengen, so schreiben wir A n A, falls A 1 A 2... und A n = A, A n A, falls A 1 A 2 A 3... und A n = A. Wir sagen dann, dass (A n ) n N gegen A aufsteigt beziehungsweise absteigt.

16 16 1 Grundlagen der Maßtheorie Definition 1.35 (Stetigkeit von Inhalten). Sei μ ein Inhalt auf dem Ring A. (i) μ heißt stetig von unten, falls für jedes A Aund jede Folge (A n ) n N in A mit A n A gilt: μ(a n ) n μ(a). (ii) μ heißt stetig von oben, falls für jedes A Aund jede Folge (A n ) n N in A mit A n A sowie μ(a n ) < für jedes n N gilt: μ(a n ) n μ(a). (iii) μ heißt -stetig, falls (ii) für A = gilt. Bei der Stetigkeit von oben wurde die Endlichkeitsbedingung eingeführt, weil sogar für das Zählmaß μ auf (N, 2 N ) und A n := {n, n+1,...} sonst keine Gleichheit gelten kann. Satz 1.36 (Stetigkeit und Prämaß). Sei μ ein Inhalt auf einem Ring A. Betrachte die folgenden fünf Eigenschaften. (i) μ ist σ-additiv (also ein Prämaß). (ii) μ ist σ-subadditiv. (iii) μ ist stetig von unten. (iv) μ ist -stetig. (v) μ ist stetig von oben. Dann gelten die Implikationen (i) (ii) (iii)= (iv) (v). Ist μ endlich, so gilt auch (iv) = (iii). Beweis. (i) = (ii) Seien A, A 1,A 2,... Amit A A i. Setze B 1 = A 1 und B n = A n \ n 1 A i Afür n =2, 3,...Dann ist A = (A B n), also wegen der Monotonie von μ und der σ-additivität von μ μ(a) = μ(a B n ) μ(a n ). Damit ist μ als σ-subadditiv erkannt. (ii) = (i) Dies folgt aus Lemma 1.31(iv). (i) = (iii) Sei μ ein Prämaß und A Asowie (A n) n N eine Folge in A mit A n A sowie A 0 =. Dann gilt μ(a) = μ(a i \ A i 1 ) = lim n n μ(a i \ A i 1 ) = lim n μ(a n). (iii) = (i) Gelte nun (iii). Seien B 1,B 2,... Apaarweise disjunkt, und gelte B = B n A. Setze A n = n B i für jedes n N. Dann folgt aus (iii)

17 μ(b) = lim n μ(a n)= Also ist μσ-additiv und damit ein Prämaß. 1.2 Mengenfunktionen 17 μ(b i ). (iv) = (v) Seien A, A 1,A 2,... Amit A n A und μ(a 1 ) <. Setze B n = A n \ A Afür jedes n N. Dann gilt B n.esgiltalsoμ(a n ) μ(a) = μ(b n ) n 0. (v) = (iv) Dies ist trivial. (iii) = (iv) Seien A 1,A 2,... Amit A n und μ(a 1 ) <. Dann gilt A 1 \ A n Afür jedes n N und A 1 \ A n A 1,also μ(a 1 ) = lim μ(a 1 \ A n )=μ(a 1 ) lim μ(a n). n n Wegen μ(a 1 ) < ist lim μ(a n)=0. n (iv) = (iii) (für den Fall μ endlich) Es gelte nun μ(a) < für jedes A A, und μ sei -stetig. Seien A, A 1,A 2,... Amit A n A. Dann gilt A \ A n und μ(a) μ(a n )=μ(a \ A n ) n 0. Also gilt (iii). Beispiel (Vergleiche Beispiel 1.30(iii).) Sei Ω abzählbar unendlich und A = {A Ω :#A< oder #A c < }, { 0, falls A endlich, μ(a) =, falls A unendlich. Dann ist μ ein -stetiger Inhalt, aber kein Prämaß. Definition (i) Ein Paar (Ω,A), bestehend aus einer nichtleeren Menge Ω und einer σ-algebra A 2 Ω,heißtMessraum. DieMengenA Aheißen messbare Mengen.IstΩ höchstens abzählbar und A =2 Ω, so heißt der Messraum (Ω,2 Ω ) diskret. (ii) Ein Tripel (Ω,A,μ) heißt Maßraum, wenn (Ω,A) ein Messraum ist und μ ein Maß auf A. (iii) Ist zudem μ(ω) =1,soheißt(Ω,A,μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Indiesem Fall heißen die Mengen A Aauch Ereignisse. (iv) Den Raum aller endlichen Maße auf (Ω,A) bezeichnen wir mit M f (Ω) := M f (Ω,A), den der W-Maße mit M 1 (Ω) :=M 1 (Ω,A), schließlich den der σ-endlichen Maße mit M σ (Ω,A).

18 18 1 Grundlagen der Maßtheorie Übung Sei A = {(a, b] Q : a, b R, a b}. Definiere μ : A [0, ) durch μ ( (a, b] Q ) = b a. Man zeige, dass A ein Semiring ist und μ ein unterhalb und oberhalb stetiger Inhalt auf A, der jedoch nicht σ-additiv ist. 1.3 Fortsetzung von Maßen In diesem Abschnitt wollen wir Maße konstruieren, indem wir zunächst auf einem einfachen Mengensystem, nämlich einem Semiring, plausible Werte für einen Inhalt angeben und dann, nach Möglichkeit, diesen Inhalt zu einem Maß auf der erzeugten σ-algebra fortsetzen. Bevor wir zu den konkreten Bedingungen kommen, unter denen das machbar ist, bringen wir zwei Beispiele. Beispiel 1.39 (Lebesgue-Maß). Sei n N und A = {(a, b] : a, b R n,a<b} der Semiring der halboffenen Quader (a, b] R n (vergleiche (1.5)). Das n-dimensionale Volumen des Quaders ist μ((a, b]) = n (b i a i ). Können wir μ zu einem (eindeutig bestimmten) Maß auf der Borel schen σ-algebra B(R n )=σ(a) fortsetzen? Wir werden sehen, dass dies möglich ist. Das resultierende Maß heißt Lebesgue-Maß (manchmal auch Lebesgue-Borel-Maß) λ auf (R n, B(R n )). Beispiel 1.40 (Produktmaß, Bernoulli-Maß). Wir wollen ein Wahrscheinlichkeitsmaß konstruieren für die unendliche, unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperiments mit endlich vielen möglichen Ausgängen. Die Menge der Ausgänge sei E. Für e E sei p e die Wahrscheinlichkeit, dass e eintritt. Es gilt also e E p e =1. Die Ergebnisse dieser Experimente seien ω 1,ω 2,... E. Der Raum des gesamten Experiments ist daher Ω = E N. Wie in Beispiel 1.11(vi) definieren wir [ω 1,...,ω n ]:={ω Ω : ω i = ω i für jedes i =1,...,n} (1.7) als die Menge aller Folgen, die mit den Werten ω 1,...,ω n beginnen. Sei A 0 = { }. Für n N definieren wir das Mengensystem der Zylindermengen, die nur von den ersten n Koordinaten abhängen, und setzen A := n=0 A n. A n := {[ω 1,...,ω n ]: ω 1,...,ω n E}, (1.8)

19 1.3 Fortsetzung von Maßen 19 Wir interpretieren [ω 1,...,ω n ] als das Ereignis, dass im ersten Experiment der Wert ω 1 herauskommt, im zweiten ω 2 und schließlich im n-ten Experiment der Wert ω n. Die Ergebnisse der weiteren Experimente spielen für das Eintreten des Ereignisses keine Rolle. Für ω 1,...,ω n E soll die Wahrscheinlichkeit für [ω 1,...,ω n ] das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten sein (das verstehen wir intuitiv unter Unabhängigkeit ) n μ([ω 1,...,ω n ]) = p ωi. Hierdurch wird ein Inhalt auf A definiert, und unser Ziel ist es, μ in eindeutiger Weise zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf σ(a) fortzusetzen. Bevor wir dies tun, treffen wir noch die folgenden Definition. Wir definieren eine (Ultra-)Metrik auf Ω durch { 2 inf{n N: ω n ω d(ω, ω n }, falls ω ω, )= (1.9) 0, falls ω = ω. Dann ist (Ω,d) ein kompakter, metrischer Raum. Offenbar ist [ω 1,...,ω n ]=B 2 n(ω) ={ω Ω : d(ω, ω ) < 2 n }. Das Komplement von [ω 1,...,ω n ] ist die Vereinigung von (#E) n 1 offenen Kugeln [ω 1,...,ω n ] c = [ω 1,...,ω n], (ω 1,...,ω n ) (ω1,...,ωn) also offen. Damit ist [ω 1,...,ω n ] abgeschlossen und kompakt, weil Ω kompakt ist. Ähnlich wie in Satz 1.23 kann man zeigen, dass σ(a) =B(Ω,d). Übung: Man zeige die obigen Aussagen. Das Hauptergebnis dieses Kapitels ist der Fortsetzungssatz für Maße, den wir hier in der Form von Carathéodory formulieren. Satz 1.41 (Carathéodory). Sei A 2 Ω ein Ring und μ ein σ-endliches Prämaß auf A. Dann kann μ auf genau eine Weise zu einem Maß μ auf σ(a) fortgesetzt werden, und μ ist σ-endlich. Den Beweis dieses Satzes müssen wir mit einigen Lemmata vorbereiten. Wir zeigen dann in Satz 1.53 eine etwas stärkere Aussage. Dort wird auch die griffige Formulierung kann fortgesetzt werden präzisiert. Lemma 1.42 (Eindeutigkeit durch schnittstabilen Erzeuger). Sei (Ω,A,μ) ein σ-endlicher Maßraum und E A ein schnittstabiler Erzeuger von A. Esgebe E 1,E 2,... Emit E n Ω und μ(e n ) < für jedes n N. Dann ist μ durch die Werte μ(e), E E, eindeutig festgelegt. Ist μ ein W-Maß, so gilt die Folgerung auch ohne die Existenz der Folge (E n ) n N.

20 20 1 Grundlagen der Maßtheorie Beweis. Sei ν ein weiteres σ-endliches Maß auf (Ω,A) mit der Eigenschaft μ(e) =ν(e) für jedes E E. Sei E Emit μ(e) <. Betrachte das Mengensystem D E = {A A: μ(a E) =ν(a E)}. Um zu zeigen, dass D E ein Dynkin-System ist, prüfen wir die Eigenschaften aus Definition 1.10: (i) Offensichtlich ist Ω D E. (ii) Seien A, B D E mit A B. Dannist μ ((A \ B) E) =μ(a E) μ(b E) = ν(a E) ν(b E) =ν ((A \ B) E). Also ist A \ B D E. (iii) Seien A 1,A 2,... D E paarweise disjunkt sowie A = A n.dannist also A D E. μ(a E) = μ(a n E) = ν(a n E) =ν(a E), Offenbar ist E D E,alsoδ(E) D E.DaE schnittstabil ist, ist nach Satz 1.19 A D E δ(e) =σ(e) =A. Also ist D E = A. Für jedes A Aund E Emit μ(e) < gilt also μ(a E) =ν(a E). Seien nun E 1,E 2,... Emit E n Ω und μ(e n ) < für jedes n N.Daμund ν von unten stetig sind, gilt für A A μ(a) = lim n μ(a E n) = lim n ν(a E n)=ν(a). Der Zusatz ist trivial, denn Ẽ := E {Ω} ist ebenfalls ein schnittstabiler Erzeuger von A, und der Wert μ(ω) =1ist bekannt. Es kann also die konstante Folge E n = Ω, n N,gewählt werden. Man beachte jedoch, dass es nicht reicht zu fordern, dass μ endlich ist, weil dann im Allgemeinen die Gesamtmasse μ(ω) nicht eindeutig festgelegt ist (siehe Beispiel 1.45(ii)).

21 1.3 Fortsetzung von Maßen 21 Beispiel Sei Ω = Z und E = { E n : n Z }, wobei E n =(,n] Z. E ist schnittstabil und σ(e) =2 Ω. Also ist ein endliches Maß μ auf (Ω,2 Ω ) eindeutig festgelegt durch die Werte μ(e n ), n Z. Ein σ-endliches Maß auf Z ist jedoch durch die Werte auf E noch nicht eindeutig bestimmt: Sei μ das Zählmaß auf Z und ν =2μ. Dannistμ(E) = = ν(e) für jedes E E.Umμund ν zu unterscheiden, brauchen wir also einen Erzeuger, der Mengen endlichen Maßes (für μ) enthält. Tun es die Mengen F n =[ n, n] Z, n N? InderTatistfür jedes σ-endliche Maß μ jetzt μ( F n ) < für jedes n N. Allerdings erzeugen die F n nicht 2 Ω (sondern welche σ-algebra?). Wir können aber die Definition so modifizieren: F n =[ n/2, (n +1)/2] Z.Dannist σ({f n,n N}) =2 Ω,alsoE = {F n,n N} ein schnittstabiler Erzeuger von 2 Ω und μ(f n ) < für jedes n N. WegenF n Ω sind die Bedingungen des Satzes erfüllt. Beispiel 1.44 (Verteilungsfunktion). Ein W-Maß μ auf dem Raum (R n, B(R n )) ist durch Angabe der Werte μ((,b]) auf den Mengen (,b]= n (,b i ], b R n, eindeutig festgelegt, da diese Mengen einen schnittstabilen Erzeuger bilden (Satz 1.23). Speziell ist ein W-Maß μ auf R durch Angabe der Verteilungsfunktion F : R [0, 1], x μ((,x]) eindeutig bestimmt. Beispiel (i) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und E = { { 1, 2}, {2, 3} }. Offenbar gilt σ(e) =2 Ω, jedoch ist E nicht schnittstabil. Tatsächlich ist hier ein W-Maß μ durch Angabe der Werte μ({1, 2}) =μ({2, 3}) = 1 2 nicht eindeutig festgelegt. Es gibt beispielsweise die Möglichkeiten μ = 1 2 δ δ 3 oder μ = 1 2 δ δ 4. (ii) Sei Ω = {1, 2} und E = {{1}}. DannistE ein schnittstabiler Erzeuger von 2 Ω, und ein W-Maß μ ist durch Angabe von μ({1}) eindeutig festgelegt. Allerdings gilt dies nicht für endliche Maße im Allgemeinen, denn μ =0und ν = δ 2 sind zwei endliche Maße, die auf E übereinstimmen. Definition 1.46 (Äußeres Maß). Eine Mengenfunktion μ : 2 Ω [0, ] heißt äußeres Maß, falls gilt: (i) μ ( ) =0, (ii) μ ist monoton, (iii) μ ist σ-subadditiv. Lemma Sei A 2 Ω ein beliebiges Mengensystem mit Aund μ eine monotone Mengenfunktion auf A mit μ( ) =0.Für A Ω sei { U(A) = F A: F ist höchstens abzählbar und A } F F F die Menge der abzählbaren Überdeckungen F von A mit Mengen F aus A.Setze

22 22 1 Grundlagen der Maßtheorie { } μ (A) :=inf μ(f ): F U(A), F F wobei inf =. Dann ist μ ein äußeres Maß. Ist μ zudem σ-subadditiv, so gilt μ (A) =μ(a) für jedes A A. Beweis. Wir weisen die Eigenschaften (i) (iii) des äußeren Maßes nach. (i) Wegen Aist { } U( ), alsoistμ ( ) =0. (ii) Ist A B,soistU(A) U(B), alsoistμ (A) μ (B). (iii) Sei A n Ω für jedes n N und A A n.wirmüssen zeigen, dass μ (A) μ (A n ). Ohne Einschränkung sei μ (A n ) < und damit U(A n ) für jedes n N. Wähle ε>0und zu jedem n N eine Überdeckung F n U(A n ) mit μ(f ) μ (A n )+ε2 n. F F n Dann ist F := F n U(A) und μ (A) F F μ(f ) F F n μ(f ) μ (A n )+ε. Sei A A.Wegen{A} U(A) ist μ (A) μ(a). Istμσ-subadditiv, so gilt für jedes F U(A), dass F F μ(f ) μ(a) ist, also auch μ (A) μ(a). Definition 1.48 (μ -messbare Mengen). Sei μ ein äußeres Maß. Eine Menge A 2 Ω heißt μ -messbar, falls μ (A E)+μ (A c E) =μ (E) für jedes E 2 Ω. (1.10) Wir schreiben M(μ )={A 2 Ω : A ist μ -messbar}. Lemma Es ist A M(μ ) genau dann, wenn μ (A E)+μ (A c E) μ (E) für jedes E 2 Ω. Beweis. Da μ subadditiv ist, gilt stets die andere Ungleichung. Lemma M(μ ) ist eine Algebra. Beweis. Wir prüfen die Eigenschaften (i) (iii) der Algebra aus Satz 1.7. (i) Ω M(μ ) ist klar.

23 1.3 Fortsetzung von Maßen 23 (ii) (Komplementstabilität) Per Definition ist A M(μ ) A c M(μ ). (iii) (Schnittstabilität) Seien A, B M(μ ) und E 2 Ω.Dannist μ ((A B) E)+μ ((A B) c E) = μ (A B E)+μ ( (A c B E) (A c B c E) (A B c E) ) μ (A B E)+μ (A c B E) + μ (A c B c E)+μ (A B c E) = μ (B E)+μ (B c E) = μ (E). Dabei haben wir in der vorletzten Gleichung A M(μ ) benutzt und in der letzten B M(μ ). Lemma Ein äußeres Maß μ ist σ-additiv auf M(μ ). Beweis. Seien A, B M(μ ) mit A B =. Dannist μ (A B) =μ (A (A B)) + μ (A c (A B)) = μ (A)+μ (B). Induktiv folgt die (endliche) Additivität. Da μ per Definition σ-subadditiv ist, folgt nach Satz 1.36, dass μ auch σ-additiv ist. Lemma Ist μ ein äußeres Maß, so ist M(μ ) eine σ-algebra. Speziell ist μ ein Maß auf M(μ ). Beweis. Nach Lemma 1.50 ist M(μ ) eine Algebra, also insbesondere schnittstabil. Nach Satz 1.18 reicht es zu zeigen, dass M(μ ) ein Dynkin-System ist. Seien also A 1,A 2,... M(μ ) paarweise disjunkt und A := A n. Zu zeigen ist A M(μ ),also μ (A E)+μ (A c E) μ (E) für jedes E 2 Ω. (1.11) Setze B n = n A i für jedes n N. Es gilt für jedes n N μ (E B n+1 )=μ ( ) (E B n+1 ) B n + μ ( (E B n+1 ) Bn c ) = μ (E B n )+μ (E A n+1 ), und induktiv μ (E B n ) = n μ (E A i ). Wegen der Monotonie von μ folgt μ (E) = μ (E B n )+μ (E Bn) c μ (E B n )+μ (E A c ) = n μ (E A i )+μ (E A c ).

24 24 1 Grundlagen der Maßtheorie Indem wir n gehen lassen, folgt mit der σ-subadditivität von μ μ (E) μ (E A i )+μ (E A c ) μ (E A)+μ (E A c ). Also gilt (1.11), und der Beweis ist komplett. Wir zeigen nun einen Satz, der mit schwächeren Voraussetzungen auskommt als der Satz von Carathéodory (Satz 1.41) und diesen impliziert. Satz 1.53 (Fortsetzungssatz für Maße). Sei A ein Semiring und μ : A [0, ] eine additive, σ-subadditive, σ-endliche Mengenfunktion mit μ( ) =0. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ : σ(a) [0, ] mit μ(a) =μ(a) für jedes A A. Beweis. Da A schnittstabil ist, folgt die Eindeutigkeit aus Lemma Um die Existenz zu zeigen, definieren wir wie in Lemma 1.47 { } μ (A) :=inf μ(f ): F U(A) für jedes A 2 Ω. F F Nach Lemma 1.31(ii) ist μ monoton, also ist μ nach Lemma 1.47 ein äußeres Maß und μ (A) =μ(a) für jedes A A.Wirmüssen zeigen, dass M(μ ) σ(a) gilt. Da M(μ ) eine σ-algebra ist (Lemma 1.52), reicht es, A M(μ ) zu zeigen. Seien also A A und E 2 Ω mit μ (E) <. Seiε > 0. Danngibtes E 1,E 2,... Amit E E n und μ(e n ) μ (E)+ε. Setze B n := E n A A.DaA ein Semiring ist, gibt es zu jedem n N ein m n N sowie Cn,...,C 1 n mn Amit E n \ A = E n \ B n = mn Cn.Alsoist k k=1 E A B n, E A c m n k=1 C k n und E n = B n m n k=1 C k n. μ ist σ-subadditiv, und nach Voraussetzung ist μ additiv. Wegen μ A μ (es gilt sogar Gleichheit, wie wir gleich sehen) folgt

25 μ (E A)+μ (E A c ) = = 1.3 Fortsetzung von Maßen 25 ( mn ) μ (B n )+ μ μ(cn) k k=1 m n μ(b n )+ μ(cn) k k=1 ( ) m n μ(b n )+ μ(cn) k k=1 μ(e n ) μ (E)+ε. Daher ist μ (E A) +μ (E A c ) μ (E) und damit A M(μ ),alsoist A M(μ ). Setze nun μ : σ(a) [0, ], A μ (A). Nach Lemma 1.51 ist μ ein Maß und μ ist σ-endlich, weil μσ-endlich ist. Beispiel 1.54 (Lebesgue-Maß, Fortsetzung von Beispiel 1.39). Wir wollen das auf den Quadern A = {(a, b] : a, b R n,a<b} eingeführte Volumen μ((a, b]) = n (b i a i ) zu einem Maß auf der Borel schen σ-algebra B(R n ) fortsetzen. Um die Voraussetzungen von Satz 1.53 zu prüfen, müssen wir nur noch zeigen, dass μ σ-subadditiv ist. Seien also (a, b], (a(1),b(1)], (a(2),b(2)],... Amit Wir müssen zeigen, dass (a, b] μ((a, b]) (a(k),b(k)]. k=1 μ((a(k),b(k)]). (1.12) k=1 Hierzu benutzen wir ein Kompaktheitsargument, um (1.12) auf die endliche Additivität zurück zu führen. Sei also ε>0, und sei für jedes k N ein b ε (k) >b(k) so gewählt, dass μ((a(k),b ε (k)]) μ((a(k),b(k)]) + ε 2 k 1. Ferner sei a ε (a, b) so gewählt, dass μ((a ε,b]) μ((a, b]) ε 2. Nun ist [a ε,b] kompakt und (a(k),b ε (k)) (a(k),b(k)] (a, b] [a ε,b]. k=1 k=1 Also existiert ein K 0 mit K 0 k=1 (a(k),b ε(k)) (a ε,b]. Daμ (endlich) subadditiv ist (Lemma 1.31(iii)), folgt

26 26 1 Grundlagen der Maßtheorie μ((a, b]) ε 2 + μ((a ε,b]) ε K μ((a(k),b ε (k)]) k=1 k=1 ε K ( ε 2 k 1 + μ((a(k),b(k)]) ) ε + μ((a(k),b(k)]). Da ε>0 beliebig war, folgt (1.12) und damit die σ-subadditivität von μ. k=1 Zusammen mit Satz 1.53 haben wir den folgenden Satz gezeigt. Satz 1.55 (Lebesgue-Maß). Es existiert ein eindeutig bestimmtes Maß λ n auf (R n, B(R n )) mit der Eigenschaft λ n ((a, b]) = n (b i a i ) für alle a, b R n mit a<b. λ n heißt Lebesgue-Maß auf (R n, B(R n )), oder Lebesgue-Borel-Maß. Beispiel 1.56 (Lebesgue-Stieltjes-Maß). Sei Ω = R und A = {(a, b] : a, b R, a b}. A ist ein Semiring und σ(a) = B(R), wo B(R) die Borel sche σ- Algebra auf R ist. Ferner sei F : R R monoton wachsend und rechtsseitig stetig. Wir definieren eine Mengenfunktion μ F : A [0, ), (a, b] F (b) F (a). Offensichtlich ist μ F ( ) =0, und μ F ist additiv. Seien (a, b], (a(1),b(1)], (a(2),b(2)],... Amit (a, b] (a(n),b(n)]. Sei ε>0, und sei a ε (a, b) so gewählt, dass F (a ε ) F (a) <ε/2. Dies geht, weil F als rechtsstetig angenommen wurde. Ferner sei für jedes k N ein b ε (k) >b(k) so gewählt, dass F (b ε (k)) F (b(k)) <ε2 k 1. Wie in Beispiel 1.54 kann man jetzt zeigen, dass μ F ((a, b]) ε + k=1 μ F ((a(k),b(k)]). Es folgt, dass μ F σ- subadditiv ist. Nach Satz 1.53 können wir μ F auf eindeutige Weise zu einem σ- endlichen Maß μ F auf B(R) fortsetzen. Definition 1.57 (Lebesgue-Stieltjes-Maß). Das Maß μ F auf (R, B(R)) mit μ F ((a, b]) = F (b) F (a) heißt Lebesgue-Stieltjes-Maß zur Funktion F. für alle a, b R mit a<b Beispiel Wichtige Spezialfälle für das Lebesgue-Stieltjes-Maß sind: (i) Ist F (x) =x,soistμ F = λ 1 das Lebesgue-Maß auf R. (ii) Sei f : R [0, ) stetig und F (x) = x 0 f(t) dt für x R. Dannistμ F die Fortsetzung des in Beispiel 1.30(ix) definierten Prämaßes mit Dichte f.

27 1.3 Fortsetzung von Maßen 27 (iii) Sind x 1,x 2,... R und α n 0 für n N mit α n <,sogehört zu F = α n 1 [xn, ) das endliche Maß μ F = α nδ xn. (iv) Sind x 1,x 2,... R, soistμ = δ x n ein σ-endliches Maß. μ ist genau dann ein Lebesgue-Stieltjes-Maß, wenn die Folge (x n ) n N keinen Häufungspunkt hat. Hat nämlich (x n ) n N keinen Häufungspunkt, so ist nach dem Satz von Bolzano- Weierstraß #{n N : x n [ K, K]} < für jedes K>0. Setzen wir F (x) = #{n N : x n [0,x]} für x 0 und F (x) = #{n N : x n [x, 0)}, soist μ = μ F. Ist nun andererseits μ ein Lebesgue-Stieltjes-Maß, also μ = μ F für ein F, dann ist #{n N : x n ( K, K]} = F (K) F ( K) < für jedes K>0, also hat (x n ) n N keinen Häufungspunkt. (v) Gilt lim x ( F (x) F ( x) ) =1,soistμF ein W-Maß. Den Fall, wo μ F ein W-Maß ist, wollen wir noch weiter untersuchen. Definition 1.59 (Verteilungsfunktion). Eine rechtsseitig stetige, monoton wachsende Funktion F : R [0, 1] mit F ( ) := lim F (x) =0und F ( ) := x lim F (x) =1heißt Verteilungsfunktion. Gilt statt F ( ) =1lediglich F ( ) x 1, soheißtf uneigentliche Verteilungsfunktion. Ist μ ein (Sub-)W-Maß auf (R, B(R)), soheißtf μ : x μ((,x]) die Verteilungsfunktion von μ. Offenbar ist F μ rechtsseitig stetig und F ( ) =0,weilμstetig von oben und endlich ist (Satz 1.36). Auf Grund der Stetigkeit von unten ist F ( ) =μ(r), also ist F μ tatsächlich eine (uneigentliche) Verteilungsfunktion, wenn μ ein (Sub-)W- Maß ist. Die Argumentation aus Beispiel 1.56 liefert nun den folgenden Satz. Satz Die Abbildung μ F μ ist eine Bijektion von der Menge der W-Maße auf (R, B(R)) auf die Menge der Verteilungsfunktionen, beziehungsweise von der Menge der Sub-W-Maße auf die der uneigentlichen Verteilungsfunktionen. Wir sehen also, dass jedes endliche Maß auf (R, B(R)) ein Lebesgue-Stieltjes-Maß für eine gewisse Funktion F ist. Für σ-endliche Maße ist dies im Allgemeinen falsch, wie wir in Beispiel 1.58(iv) gesehen haben. Wir kommen nun zu einem Satz, der Satz 1.55 mit dem Lebesgue-Stieltjes-Maß kombiniert. Später werden wir sehen, dass dieser Satz in größerer Allgemeinheit gültig ist. Speziell kann man auf die Bedingung verzichten, dass die einzelnen Faktoren vom Lebesgue-Stieltjes-Typ sind.

28 28 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz 1.61 (Endliche Produkte von Maßen). Sei n N, und seien μ 1,...,μ n endliche Maße oder, allgemeiner, Lebesgue-Stieltjes-Maße auf (R, B(R)). Dann existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ auf (R n, B(R n )) mit μ((a, b]) = Wir nennen μ =: n μ i ((a i,b i ]) für alle a, b R n mit a<b. n μ i das Produktmaß zu den Maßen μ 1,...,μ n. Beweis. Dies geht völlig analog zum Beweis von Satz Man muss sich vergewissern, dass die Intervalle (a, b ε ] und so weiter, so gewählt werden können, dass μ((a, b ε ]) <μ((a, b]) + ε. Hierzu wird die Rechtsstetigkeit der zu den μ i gehörigen wachsenden Funktion F i verwendet. Wir überlassen die Details zur Übung. Bemerkung Wir werden später in Satz sehen, dass die Aussage auch für beliebige σ-endliche Maße μ 1,...,μ n auf beliebigen (auch unterschiedlichen) Messräumen gilt.wir können auch unendliche (sogar überabzählbare) Produkte betrachten, wenn wir voraussetzen, dass alle Faktoren Wahrscheinlichkeitsräume sind (Satz 14.36). Beispiel 1.63 (Unendliches Produktmaß, Fortsetzung von Beispiel 1.40). Sei E eine endliche Menge und Ω = E N der Raum der Folgen mit Werten in E. Ferner sei (p e ) e E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Der auf A = {[ω 1,...,ω n ]: ω 1,...,ω n E, n N} definierte Inhalt μ([ω 1,...,ω n ]) = soll nun zu einem Maß auf σ(a) fortgesetzt werden. Um die Voraussetzungen von Satz 1.53 zu prüfen, müssen wir zeigen, dass μσ-subadditiv ist. Wie im vorangehenden Beispiel geht dies mit Hilfe eines Kompaktheitsarguments. Seien also A, A 1,A 2,... Aund A A n. Es reicht zu zeigen, dass es ein N N gibt mit der Eigenschaft A n p ωi N A n. (1.13) Dann ist nämlich aufgrund der endlichen Subadditivität von μ (Lemma 1.31(iii)) schon μ(a) N μ(a n ) μ(a n ),alsoistμσ-subadditiv. Wir geben nun zwei Beweise für (1.13) an.

29 1.3 Fortsetzung von Maßen Beweis. Wie in Beispiel 1.40 angemerkt, ist Ω mit der von der Metrik d in (1.9) erzeugten Produkttopologie kompakt, und jedes A A ist abgeschlossen und damit auch kompakt. Da jedes der A n zugleich offen ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von A, mithin gilt (1.13). 2. Beweis. Wir zeigen nun auf elementare Weise die Gültigkeit von (1.13). Das Vorgehen imitiert den Beweis dafür, dass Ω kompakt ist. Wir setzen B n := A \ n A i, nehmen an, dass B n für jedes n N und führen dies zum Widerspruch. Nach dem Dirichlet schen Schubfachprinzip (E ist endlich) können wir ein ω 1 E auswählen, sodass [ω 1 ] B n für unendlich viele n N. Wegen B 1 B 2...folgt [ω 1 ] B n für jedes n N. Wähle nun sukzessive ω 2,ω 3,... E so aus, dass [ω 1,...,ω k ] B n für alle k, n N. B n ist disjunkte Vereinigung von gewissen Mengen C n,1,...,c n,mn A. Daher existiert zu jedem n N ein i n {1,...,m n } mit [ω 1,...,ω k ] C n,in für unendlich viele k N. Wegen[ω 1 ] [ω 1,ω 2 ]...folgt [ω 1,...,ω k ] C n,in für alle k, n N. Für festes n N und großes k ist [ω 1,...,ω k ] C n,in,alsoistω =(ω 1,ω 2,...) C n,in B n. Es folgt im Widerspruch zur Annahme, dass B n. Zusammen mit Satz 1.53 haben wir den folgenden Satz gezeigt. Satz 1.64 (Produktmaß, Bernoulli-Maß). Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω = E N sowie (p e ) e E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes W-Maß μ auf σ(a) =B(Ω) mit μ([ω 1,...,ω n ]) = n p ωi für alle ω 1,...,ω n E und n N. Wir nennen μ das Produktmaß oder Bernoulli-Maß auf Ω mit Gewichten (p e ) e E. Wir schreiben auch ( e E p ) N eδ e := μ. Ferner nennen wir (2 E ) N := σ(a) die Produkt-σ-Algebra auf Ω. Auf Produktmaße gehen wir systematisch noch einmal in Kapitel 14 ein. Der Fortsetzungssatz liefert uns einen abstrakten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Maße, die wir zuvor nur auf einem Semiring A definiert hatten. Der folgende Satz zeigt, wie gut wir das Maß von σ(a)-messbaren Mengen durch endliche, beziehungsweise abzählbare Operationen mit Mengen aus A annähern können.

30 30 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir schreiben A B := (A \ B) (B \ A), für A, B Ω, (1.14) für die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B. Satz 1.65 (Approximationssatz für Maße). Sei A 2 Ω ein Semiring und μ ein Maß auf σ(a), das σ-endlich auf A ist. (i) Zu A σ(a) und ε>0( gibt es paarweise disjunkte Mengen A 1,A 2,... A mit A ) A n und μ A n \ A <ε. (ii) Zu A σ(a) mit μ(a) < und ε>0 ( gibt es n ) N und paarweise disjunkte Mengen A 1,...,A n Amit μ A n A k <ε. (iii) Zu jedem A M(μ ) gibt es A,A + σ(a) mit A A A + und μ(a + \ A )=0. k=1 Bemerkung Nach (iii) gelten (i) und (ii) auch für A M(μ ) (mit μ statt μ). Ist A eine Algebra, so gilt in (ii) für jedes A σ(a) sogar inf μ(a B) =0. B A Beweis. (ii) Da μ auf σ(a) mit dem äußeren Maß μ übereinstimmt und μ(a) endlich ist, gibt es nach Definition von μ (siehe Lemma 1.47) eine Überdeckung B 1,B 2,... Avon A mit Sei n N mit i=n+1 Mengen C, D, E gilt μ(a) μ(b i ) < ε 2 μ(b i ) ε/2. (dies existiert, weil μ(a) < ). Für je drei C D =(D \C) (C \D) (D \C) (C \(D E)) E (C (D E)) E. Mit C = A, D = n B i und E = i=n+1 B i erhalten wir ( ) ( ) ( n μ A B i μ A B i + μ i=n+1 ( ) μ B i μ(a)+ ε 2 ε. B i )

31 Schreibe nun n n B i = B 1 i=2 1.3 Fortsetzung von Maßen 31 i 1 k (B i \ B j )=: j=1 A i für ein gewisses k N und gewisse A 1,...,A k A(Semiring-Eigenschaft). (i) Sei A σ(a) und E n Ω, E n σ(a) mit μ(e n ) < für jedes n N. Wähle zu n N eine Überdeckung (B n,m ) m N von A E n mit μ(a E n ) μ(b n,m ) 2 n ε. m=1 (Dies ist möglich nach Definition des äußeren Maßes μ, das auf A mit μ übereinstimmt.) Schreibe B n,m = A n für gewisse A n A, n N m, (Übung 1.1.1). Dann ist ( ) ( μ A n \ A = μ μ m=1 ( m=1 B n,m \ A ) ( Bn,m \ (A E n ) )) (( ) ) μ(b n,m ) μ(a E n ) ε. m=1 (iii) Sei A M(μ ) und (E n ) n N wie oben. Wähle zu m, n N ein A n,m σ(a) mit A n,m A E n und μ (A n,m ) μ (A E n )+ 2 n m. Setze A m := A n,m σ(a). DannistA m A und μ (A m \ A) 1 m. Setze A + := m=1 A m.dannistσ(a) A + A und μ (A + \ A) =0.Wähle analog (A ) c σ(a) mit (A ) c A c und μ ((A ) c \A c )=0.DannistA + A A und μ(a + \ A )=μ (A + \ A )=μ (A + \ A)+μ (A \ A )=0. Bemerkung 1.67 (Regularität von Maßen). (Vergleiche auch Satz 13.6 auf Seite 248.) Sei λ n das Lebesgue-Maß auf (R n, B(R n )). SeiA der Semiring der Quader der Form (a, b]) R n. Nach Satz 1.23 ist B(R n )=σ(a). Nach dem Approximationssatz gibt es zu A B(R n ) und ε>0abzählbar viele A 1,A 2,... A mit ( ) λ n A i \ A <ε/2.

32 32 1 Grundlagen der Maßtheorie Zu jedem A i existiert ein offener Quader B i A i mit λ n (B i \ A i ) <ε2 i 1 (Stetigkeit von oben von λ n ). Daher ist U = B i eine offene Menge U A mit λ n (U \ A) <ε. Diese Eigenschaft von λ n heißt Regularität von außen. Ist λ n (A) endlich, so gibt es zu ε>0eine kompakte Menge K A mit λ n (A \ K) <ε. Diese Eigenschaft von λ n heißt Regularität von innen. InderTat:SeiN>0mit λ n (A) λ n (A [ N,N] n ) <ε/2.wähle eine offene Menge U (A [ N,N] n ) c mit λ n (U \ (A [ N,N] n ) c ) <ε/2und setze K := [ N,N] n \ U A. Definition 1.68 (Nullmenge). Sei (Ω,A,μ) ein Maßraum. (i) Eine Menge A Aheißt μ-nullmenge, oder kurz Nullmenge, falls μ(a) =0. Mit N μ bezeichnen wir das System aller Teilmengen von μ-nullmengen. (ii) Sei E(ω) eine Eigenschaft, die dem Punkt ω Ω zukommen kann. Wir sagen, dass Eμ-fast überall (f.ü.) gilt oder für fast alle (f.a.) ω, falls es eine Nullmenge N gibt, sodass E(ω) für jedes ω Ω \ N gilt. Ist A A, so sagen wir, dass E fast überall auf A gilt, falls es eine Nullmenge N gibt, sodass E(ω) für jedes ω A\N gilt. Ist μ = P ein W-Maß, so sagen wir dann auch, dass EP-fast sicher (f.s.) gilt, beziehungsweise fast sicher auf A. (iii) Sind A, B A, so schreiben wir A = B (mod μ), falls es eine Nullmenge N gibt mit A B N. Definition Ein Maßraum (Ω,A,μ) heißt vollständig, falls N μ A. Bemerkung 1.70 (Vervollständigung eines Maßraums). Sei (Ω,A,μ) ein Maßraum. Es gibt genau eine kleinste σ-algebra A A und eine Fortsetzung μ von μ auf A, sodass (Ω,A,μ ) vollständig ist. (Ω,A,μ ) heißt die Vervollständigung von (Ω,A,μ). In der Notation des Beweises von Satz 1.53 ist ( Ω,M(μ ),μ ) M(μ ) diese Vervollständigung. Ferner ist M(μ )=σ(a N μ )={A N : A A,N N μ } und μ (A N) = μ(a) für jedes A Aund N N μ. Da wir diese Aussagen im Folgenden nicht benötigen werden, verzichten wir auf den Beweis und verweisen auf die gängigen Maßtheoriebücher, etwa [46].

33 1.3 Fortsetzung von Maßen 33 Beispiel Ist λ das Lebesgue-Maß (genauer: das Lebesgue-Borel-Maß) auf (R n, B(R n )), solässt sich λ eindeutig fortsetzen zu einem Maß λ auf B (R n )=σ(b(r n ) N), wo N die Menge der Teilmengen der Lebesgue-Borel schen Nullmengen bezeichnet. B (R n ) heißt σ-algebra der Lebesgue-messbaren Mengen. Zur Unterscheidung wird manchmal λ das Lebesgue-Borel-Maß genannt und λ das Lebesgue- Maß. Wir werden diese Unterscheidung im Folgenden aber nicht benötigen. Beispiel Sei μ = δ ω auf einem Messraum (Ω,A). Ist{ω} A,soistdie Vervollständigung A = 2 Ω, μ = δ ω. Im Extremfall der trivialen σ-algebra A = {,Ω} hingegen ist N μ = { }, also die Vervollständigung A = {,Ω}, μ = δ ω. Man beachte, dass man auf dieser trivialen σ-algebra die Dirac-Maße zu verschiedenen Punkten aus Ω nicht unterscheiden kann. Definition Sei (Ω,A,μ) ein Maßraum und Ω A. Dann wird durch μ (A) :=μ(a) für A A mit A Ω Ω definiert. Dieses Maß nennen wir die Ein- ein Maß auf der Spur-σ-Algebra A Ω schränkung von μ auf Ω. Beispiel Die Einschränkung des Lebesgue-Borel-Maßes λ von (R, B(R)) auf [0, 1] ist ein W-Maß auf ([0, 1], B(R) ). Allgemeiner nennen wir für messbares [0,1] A B(R) die Einschränkung λ das Lebesgue-Maß auf A. Oftmals wird als Symbol wieder λ verwendet, weil wir nicht zu viele kleinliche Unterscheidungen treffen A wollen. Wir sehen später (Korollar 1.84), dass B(R) = B(A), wobei B(A) die Borel sche A σ-algebra auf A ist, die von den in A (relativ) offenen Mengen erzeugt wird. Beispiel 1.75 (Gleichverteilung). Ist A B(R n ) mit n-dimensionalem Lebesgue- Maß λ n (A) (0, ), sowirddurch μ(b) := λn (B) λ n (A) für B B(R n ),B A, ein W-Maß auf B(R n ) definiert. Wir nennen μ die uniforme Verteilung oder A Gleichverteilung auf A und schreiben U A := μ. Übung Man zeige die folgende Verallgemeinerung von Beispiel 1.58(iv): Ein Maß α nδ xn ist genau dann ein Lebesgue-Stieltjes Maß zu einer geeigneten Funktion F,wenn n: x α n K n < für jedes K>0gilt.

34 34 1 Grundlagen der Maßtheorie Übung Sei Ω eine überabzählbare Menge und ω 0 Ω ein beliebiges Element. Sei A = σ({ω} : ω Ω \{ω 0 }). (i) Charakterisiere A ähnlich wie in Übung (Seite 11). (ii) Zeige, dass (Ω,A,δ ω0 ) vollständig ist. Übung Sei (μ n ) n N eine Folge von endlichen Maßen auf dem Messraum (Ω,A). Für jedes A Aexistiere der Grenzwert μ(a) := lim μ n(a). n Man zeige: μ ist ein Maß auf (Ω,A). Hinweis: Zu zeigen ist insbesondere die -Stetigkeit von μ. 1.4 Messbare Abbildungen Eine Zwangshandlung in der Mathematik ist es, Homomorphismen zwischen Objekten anzugeben, also strukturerhaltende Abbildungen. Für topologische Räume sind dies die stetigen Abbildungen, für Messräume die messbaren Abbildungen. Seien im Folgenden stets (Ω,A) und (Ω, A ) Messräume. Definition 1.76 (Messbare Abbildungen). (i) Eine Abbildung X : Ω Ω heißt A A -messbar (oder kurz: messbar), falls X 1 (A ):={X 1 (A ):A A } Aist, falls also X 1 (A ) A für jedes A A. Ist X messbar, so schreiben wir auch X :(Ω,A) (Ω, A ). (ii) Ist Ω = R und A = B(R) die Borel sche σ-algebra auf R, soheißtx : (Ω,A) (R, B(R)) kurz eine reelle A-messbare Abbildung. Beispiel (i) Die Identität id : Ω Ω ist A A-messbar. (ii) Sei A =2 Ω oder A = {,Ω }. Jedes X : Ω Ω ist dann A A -messbar. (iii) Sei A Ω. Die Indikatorfunktion 1 A : Ω {0, 1} ist genau dann A 2 {0,1} -messbar, wenn A A. Satz 1.78 (Erzeugte σ-algebra). Sei (Ω, A ) ein Messraum und Ω eine nichtleere Menge sowie X : Ω Ω eine Abbildung. Das Urbild X 1 (A ):={X 1 (A ): A A } (1.15) ist die kleinste σ-algebra, bezüglich der X messbar ist. Wir nennen σ(x) := X 1 (A ) die von X erzeugte σ-algebra auf Ω.

35 1.4 Messbare Abbildungen 35 Beweis. Übung! Wir wollen nun σ-algebren betrachten, die von mehreren Abbildungen erzeugt werden. Definition 1.79 (Erzeugte σ-algebra). Sei Ω eine nichtleere Menge. Sei I eine beliebige Indexmenge, und für jedes i I sei (Ω i, A i ) ein Messraum sowie X i : Ω Ω i eine beliebige Abbildung. Dann heißt ( ) ( ) σ(x i,i I) :=σ σ(x i ) = σ X 1 i (A i ) i I die von (X i,i I) erzeugte σ-algebra auf Ω. Dies ist die kleinste σ-algebra, bezüglich der jedes X i messbar ist. Wie bei stetigen oder linearen Abbildungen gibt es eine Verknüpfungseigenschaft. Satz 1.80 (Verknüpfung von Abbildungen). Sind (Ω,A), (Ω, A ) und (Ω, A ) Messräume sowie X : Ω Ω messbar und X : Ω Ω messbar, so ist die Abbildung Y := X X : Ω Ω, ω X (X(ω)) messbar bezüglich A A. i I Beweis. Es ist Y 1 (A )=X 1 ((X ) 1 (A )) X 1 (A ) A. Praktisch kann man die Messbarkeit einer Abbildung X kaum prüfen, indem man sämtliche Urbilder X 1 (A ), A A auf Messbarkeit hin untersucht. Dafür sind die meisten σ-algebren A einfach zu groß. Glücklicherweise reicht hier die Betrachtung eines Erzeugers von A aus: Satz 1.81 (Messbarkeit auf einem Erzeuger). Für jedes System E A -messbaren Mengen gilt σ(x 1 (E )) = X 1 (σ(e )) und damit A von X ist A σ(e )-messbar X 1 (E ) A für jedes E E. Ist speziell σ(e )=A, dann gilt X ist A A -messbar X 1 (E ) A. Beweis. Offenbar ist X 1 (E ) X 1 (σ(e )) = σ(x 1 (σ(e ))). Also ist auch σ(x 1 (E )) X 1 (σ(e )). Für die andere Inklusion betrachten wir das Mengensystem A 0 := { A σ(e ):X 1 (A ) σ(x 1 (E )) } und zeigen zunächst, dass A 0 eine σ-algebra ist, indem wir die Punkte (i) (iii) aus Definition 1.2 prüfen:

36 36 1 Grundlagen der Maßtheorie (i) Offensichtlich ist Ω A 0. (ii) (Komplementstabilität) Ist A A 0,soist X 1 ((A ) c ) = (X 1 (A )) c σ(x 1 (E )), also (A ) c A 0. (iii) (σ- -Stabilität) Seien A 1,A 2,... A 0.Dannist ( ) X 1 = X 1 (A n) σ(x 1 (E )), also ist A n A 0. A n Wegen E A 0 ist A 0 = σ(e ),alsox 1 (A ) σ(x 1 (E )) für jedes A σ(e ) und damit X 1 (σ(e )) σ(x 1 (E )). Korollar 1.82 (Messbarkeit von verknüpften Abbildungen). Sei I eine nichtleere Indexmenge sowie (Ω,A), (Ω, A ) und (Ω i, A i ) Messräume, i I. Sei ferner (X i : i I) eine Familie messbarer Abbildungen X i : Ω Ω i mit der Eigenschaft A = σ(x i : i I). Dann gilt: Eine Abbildung Y : Ω Ω ist genau dann A-A messbar, wenn X i Y messbar ist bezüglich A-A i für jedes i I. Beweis. Ist Y messbar, so ist nach Satz 1.80 jedes X i Y messbar. Sei nun jede der zusammengesetzten Abbildungen X i Y messbar bezüglich A-A i. Die Menge E := {X 1 i (A ): A A i,i I} ist nach Voraussetzung ein Erzeuger von A, und es gilt Y 1 (A ) Afür jedes A E wegen der Messbarkeit aller X i Y. Nach Satz 1.81 ist also Y messbar. Wir erinnern an den Begriff der Spur eines Mengensystems aus Definition Korollar 1.83 (Spur der erzeugten σ-algebra). Ist E 2 Ω und A Ω nichtleer, so gilt σ ( E A ) = σ(e) A. Beweis. Sei X : A Ω, ω ω die Inklusionsabbildung. Dann ist X 1 (B) = A B für jedes B Ω. Nach Satz 1.81 ist σ ( E A ) = σ({e A : E E}) = σ({x 1 (E) : E E})=σ(X 1 (E)) = X 1 (σ(e)) = {A B : B σ(e)} = σ(e). A Zur Erinnerung: Für eine Teilmenge A Ω eines topologischen Raums (Ω,τ) ist τ die Topologie der in A relativ offenen Mengen. Mit B(Ω,τ) =σ(τ) bezeichnen A wir die Borel sche σ-algebra auf (Ω,τ).

37 1.4 Messbare Abbildungen 37 Korollar 1.84 (Spur der Borel schen σ-algebra). Sei (Ω,τ) ein topologischer Raum und A Ω eine beliebige Teilmenge von Ω. Dann gilt B(Ω,τ) A = B ( A, τ A ). Beispiel (i) Ist Ω abzählbar, so ist X : Ω Ω genau dann A 2 Ω - messbar, wenn X 1 ({ω }) Afür jedes ω Ω.Für überabzählbare Ω ist dies im Allgemeinen falsch. (Man betrachte etwa Ω = Ω = R, A = B(R), X(ω) =ω für jedes ω Ω. Offenbar ist X 1 ({ω}) ={ω} B(R). Ist andererseits A R nicht in B(R), soista 2 R, jedoch X 1 (A) B(R).) (ii) Für x R verabreden wir folgende Schreibweisen für das Ab- und Aufrunden x := max{k Z : k x} und x := min{k Z : k x}. (1.16) Die Abbildungen R Z, x x und x x sind messbar bezüglich B(R) 2 Z,dennfür jedes k Z sind die Urbilder {x R : x = k} =[k, k +1) und {x R : x = k} = (k 1,k] in B(R). Nach dem Verknüpfungssatz (Satz 1.80) sind dann für jede messbare Abbildung f :(Ω,A) (R, B(R)) auch die Abbildungen f und f messbar bezüglich A 2 Z. (iii) Eine Abbildung X : Ω R d ist genau dann A B(R d )-messbar, wenn X 1 ((,a]) A für jedes a R d, denn σ((,a], a R d )=B(R d ) nach Satz Analog gilt dies auch für die anderen Mengensysteme E 1,...,E 12 aus Satz Beispiel Sei d(x, y) = x y 2 der gewöhnliche euklidische Abstand auf R n und B(R n,d)=b(r n ) die Borel sche σ-algebra zu der von d erzeugten Topologie. Für jede Teilmenge A von R n ist dann B(A, d) =B(R n,d). A Wir wollen die reellen Zahlen um die Punkte und + erweitern und definieren R := R {, + }. Topologisch wollen wir R als die so genannte Zweipunktkompaktifizierung ansehen, indem wir R als topologisch isomorph zu [ 1, 1] betrachten, beispielsweise vermöge der Abbildung tan(πx/2), falls x ( 1, 1), ϕ :[ 1, 1] R, x, falls x = 1,, falls x =+1. In der Tat wird durch d(x, y) = ϕ 1 (x) ϕ 1 (y) für x, y R eine Metrik auf R definiert, sodass ϕ und ϕ 1 stetig sind (also ist ϕ ein topologischer Isomorphismus). Mit τ bezeichnen wir die induzierte Topologie auf R, mitτ die gewöhnliche Topologie auf R.

38 38 1 Grundlagen der Maßtheorie Korollar Es gilt τ R = τ, und daher gilt B(R) R = B(R). Ist speziell X :(Ω,A) (R, B(R)) messbar, so ist X in kanonischer Weise auch eine R-wertige messbare Abbildung. MitR haben wir also eine echte Erweiterung der reellen Zahlen geschaffen, und die Inklusion R R ist messbar. Satz 1.88 (Messbarkeit stetiger Abbildungen). Sind (Ω,τ) und (Ω,τ ) topologische Räume und f : Ω Ω stetig, dann ist f auch B(Ω) B(Ω )-messbar. Beweis. Wegen B(Ω )=σ(τ ) reicht es nach Satz 1.81 zu zeigen, dass f 1 (A ) σ(τ) für jedes A τ.daf stetig ist, gilt aber sogar f 1 (A ) τ für jedes A τ. Für x, y R verabreden wir folgende Notationen x y = max(x, y) (Maximum), x y = min(x, y) (Minimum), x + = max(x, 0) (Positivteil), x = max( x, 0) (Negativteil), x = max(x, x) =x + x + (Absolutbetrag), sign(x) =1 {x>0} 1 {x<0} (Vorzeichenfunktion). Analog bezeichnen wir für reelle messbare Abbildungen beispielsweise X + = max(x, 0). Die Abbildungen x x +, x x und x x sind stetig (und damit nach dem vorangehenden Satz messbar), die Abbildung x sign(x) ist offenbar auch messbar. Wir erhalten also (zusammen mit Korollar 1.82): Korollar Ist X eine reelle oder R-wertige messbare Abbildung, so sind auch die Abbildungen X, X +, X und sign(x) messbar. Satz 1.90 (Koordinatenabbildungen sind messbar). Sei (Ω,A) ein Messraum und f 1,...,f n : Ω R Abbildungen sowie f := (f 1,...,f n ):Ω R n. Dann gilt f ist A B(R n )-messbar jedes f i ist A B(R)-messbar. Die Aussage gilt analog für f i : Ω R := R {± }. Beweis. Für b R n ist f 1 ((,b)) = n f 1 i ((,b i )). Ist jedes f i messbar, so ist also f 1 ((,b)) A. Die Quader (,b), b R n, erzeugen aber B(R n ), und daher ist dann f messbar. Sei nun f messbar. Für i =1,...,nsei π i : R n R, x x i die i-te Projektion. Offenbar ist π i stetig also B(R n ) B(R)-messbar. Nach Satz 1.80 ist auch f i = π i f messbar.

39 1.4 Messbare Abbildungen 39 Für den folgenden Satz vereinbaren wir die Konvention x 0 := 0 für jedes x R. Satz Sei (Ω,A) ein Messraum und f,g : (Ω,A) (R n, B(R n )) sowie h :(Ω,A) (R, B(R)) messbar. Dann sind auch die Abbildungen f + g, f g, f h und f/h messbar. Beweis. Die Abbildung π : R n R R n, (x, α) α x ist stetig, also messbar. Nach Satz 1.90 ist (f,h) :Ω R n R messbar, also auch die zusammengesetzte Abbildung f h = π (f,h). Analog folgt die Messbarkeit von f + g und f g. Um die Messbarkeit von f/h zu zeigen, definieren wir H : R R, x 1/x. Nach unserer Konvention ist H(0) = 0. Dannistf/h = f H h. Esreichtalso zu zeigen, dass H messbar ist. Offenbar ist H stetig. Für offenes U R ist R\{0} auch U \{0} offen und damit H 1 (U \{0}) B(R).FerneristH 1 ({0}) ={0}. Also ist schließlich H 1 (U) =H 1 (U \{0}) (U {0}) B(R). Satz Sind X 1,X 2,... messbare Abbildungen (Ω,A) (R, B(R)), dann sind auch die folgenden Abbildungen messbar: inf n N X n, sup X n, n N lim inf n X n, lim sup X n. n Beweis. Für jedes a R gilt ( ) 1 inf X n ([,a)) = n N X 1 n ([,a)) A. Nach Satz 1.81 folgt hieraus die Messbarkeit von inf X n. Analog geht der Beweis n N für sup X n. n N Für n N setzen wir Y n := inf X m.dannisty n messbar, und damit auch m n lim inf X n := sup Y n. Analog folgt der Beweis für den Limes superior. n n N Ein wichtiges Beispiel für messbare Abbildungen (Ω, A) (R, B(R)) sind Elementarfunktionen. Definition 1.93 (Elementarfunktion). Sei (Ω,A) ein Messraum. Eine Abbildung f : Ω R heißt Elementarfunktion, wenn es ein n N und paarweise disjunkte, messbare Mengen A 1,...,A n Asowie Zahlen α 1,...,α n R gibt mit f = n α i 1 Ai.

40 40 1 Grundlagen der Maßtheorie Bemerkung Eine messbare Abbildung, die nur endlich viele Werte annimmt, ist eine Elementarfunktion. (Übung!) Definition Sind f,f 1,f 2,...Abbildungen Ω R mit f 1 (ω) f 2 (ω)... und lim f n(ω) =f(ω) für jedes ω Ω, n so schreiben wir f n f und sagen, dass (f n ) n N punktweise monoton aufsteigend gegen f konvergiert. Analog schreiben wir f n f, falls ( f n ) ( f). Satz Sei (Ω,A) ein Messraum und f : Ω [0, ] messbar. Dann gelten die folgenden Aussagen. (i) Es gibt eine Folge nichtnegativer Elementarfunktionen (f n ) n N mit f n f. (ii) Es gibt A 1,A 2,... A und α 1,α 2,... 0 mit f = α n 1 An. Beweis. (i) Für n N 0 definiere f n =(2 n 2 n f ) n. Dannistf n messbar (nach Satz 1.92 und Beispiel 1.85(ii)) und nimmt höchstens n2 n +1Werte an, ist also eine Elementarfunktion. Offenbar gilt f n f. (ii) Seien f n wie oben, B n,i := {ω : f n (ω) f n 1 (ω) =i 2 n } und β n,i = i 2 n für n N und i =1,...,2 n.manüberlege sich, dass 2 n B n,i = Ω. Dannist f n f n 1 = 2n β n,i 1 Bn,i. Nach Umnummerierung (n, i) m erhalten wir (α m ) m N und (A m ) m N, sodass f = f 0 + (f n f n 1 )= α m 1 Am. m=1 Als Korollar zu dieser Strukturaussage für messbare [0, ]-wertige Abbildungen zeigen wir das Faktorisierungslemma. Korollar 1.97 (Faktorisierungslemma). Seien (Ω, A ) ein Messraum und Ω eine nichtleere Menge. Sei f : Ω Ω eine Abbildung. Eine Abbildung g : Ω R ist genau dann messbar bezüglich σ(f) B(R), wenn es eine messbare Abbildung ϕ :(Ω, A ) (R, B(R)) gibt mit g = ϕ f. Beweis. = Ist ϕ messbar und g = ϕ f, soistg messbar nach Satz = Sei nun g messbar bezüglich σ(f) B(R). Wir betrachten zunächst den Fall, wo g nichtnegativ ist. Dann existieren messbare Mengen A 1,A 2... σ(f)

41 1.4 Messbare Abbildungen 41 sowie Zahlen α 1,α 2,..., [0, ) mit g = α n 1 An. Nach der Definition von σ(f) gibt es für jedes n N eine Menge B n A mit f 1 (B n )=A n,also mit 1 An = 1 Bn f.wirdefinieren nun ϕ : Ω R durch ϕ = α n 1 Bn. Offenbar ist ϕ messbar bezüglich A B(R), und es gilt g = ϕ f. Sei nun der allgemeine Fall betrachtet, wo g auch negative Werte annehmen kann. Dann existieren messbare Abbildungen ϕ und ϕ + mit g = ϕ f und g + = ϕ + f. Daher leistet ϕ := ϕ + ϕ das Gewünschte. Mit einer messbaren Abbildung wird auch ein Maß von einem Raum auf einen anderen transportiert. Definition 1.98 (Bildmaß). Seien (Ω,A) und (Ω, A ) Messräume und μ ein Maß auf (Ω,A). Ferner sei X :(Ω,A) (Ω, A ) messbar. Das durch μ X 1 : A [0, ], A μ(x 1 (A )) definierte Maß auf (Ω, A ) heißt Bildmaß von μ unter X. Beispiel Sei μ ein Maß auf Z 2 und X : Z 2 Z, (x, y) x + y. Dannist μ X 1 ({x}) = y Z μ({(x y, y)}). Beispiel Ist L : R n R n eine bijektive lineare Abbildung und λ das Lebesgue-Maß auf (R n, B(R n )), soistλ L 1 = det(l) 1 λ.diesistklar,weil für a, b R n mit a<bdas Spat (oder Parallelepiped) L 1 ((a, b]) das Volumen det(l 1 ) n (b i a i ) hat. Als Verallgemeinerung des letzten Beispiels geben wir hier ohne Beweis den Transformationssatz für Maße mit stetigen Dichten unter differenzierbaren Abbildungen an. Den Beweis findet man in Lehrbüchern zur Analysis II unter dem Stichwort Transformationssatz oder Substitutionsregel (siehe etwa [7] oder [46]). Satz (Dichtetransformationsformel im R n ). Es sei μ ein Maß auf R n mit stetiger (oder stückweise stetiger) Dichte f : R n [0, ), das heißt μ((,x]) = x1 dt 1 xn dt n f(t 1,...,t n ) für jedes x R n. Sei A R n eine offene (oder abgeschlossene) Menge mit μ(r n \ A) =0.Ferner sei B R n offen oder abgeschlossen sowie ϕ : A B bijektiv und stetig differenzierbar mit Ableitung ϕ. Dann hat das Bildmaß μ ϕ 1 die Dichte

42 42 1 Grundlagen der Maßtheorie f(ϕ 1 (x)) f ϕ (x) = det(ϕ (ϕ 1, falls x B, (x))) 0, falls x R n \ B. Übung Sei f : R R, x x. Zeige: Eine Borel-messbare Abbildung g : R R ist genau dann messbar bezüglich σ(f) =f 1 (B(R)), wenng gerade ist. Übung Man zeige: Ist (Ω,A,μ) ein Maßraum, f : Ω R messbar und g = fμ-fast überall, so braucht g nicht messbar zu sein. Übung Sei f : R R differenzierbar mit Ableitung f.zeige:f ist B(R) B(R) messbar. Übung (Vergleiche Beispiele 1.40 und 1.63.) Sei Ω = {0, 1} N und A = (2 {0,1} ) N die σ-algebra, die von den Zylindermengen { [ω 1,...,ω n ] : n N, ω 1,...,ω n {0, 1} } erzeugt wird. Ferner sei μ = ( 1 2 δ δ 1) N das Bernoulli-Maß auf Ω mit gleichen Gewichten auf 0 und 1. Für n N sei X n : Ω {0, 1}, ω ω n die n-te Koordinatenabbildung, und sei U(ω) = X n (ω)2 n für ω Ω. (i) Zeige: A = σ(x n : n N). (ii) Zeige: U ist A B([0, 1]) messbar. (iii) Bestimme das Bildmaß μ U 1 auf ([0, 1], B([0, 1])). (iv) Man gebe ein Ω 0 Aan, sodass Ũ := U bijektiv ist. Ω0 (v) Man zeige, dass Ũ 1 messbar ist bezüglich B([0, 1]) A Ω0. (vi) Welche Interpretation hat die Abbildung X n Ũ 1? Übung (Satz von Lusin). Sei f : R R Borel-messbar. Man zeige: Für jedes ε>0existiert eine abgeschlossene Menge C R mit λ(r \ C) <ε, sodass die Einschränkung f von f auf C stetig ist. (Merke: Dies heißt natürlich nicht, C dass f in jedem Punkte x C stetig wäre.) Anleitung: Man zeige die Aussage zunächst mit Hilfe der inneren Regularität des Lebesgue-Maßes λ (Bemerkung 1.67) für Indikatorfunktionen messbarer Mengen und approximiere mit solchen die Abbildung f auf einer geeigneten Menge C gleichmäßig.

43 1.5 Zufallsvariablen Zufallsvariablen In diesem Abschnitt werden wir messbare Abbildungen als Zufallsvariablen auffassen, die zufällige Beobachtungen beschreiben. Wir definieren den Begriff der Verteilung von Zufallsvariablen. Im Folgenden sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Mengen A A heißen Ereignisse. P[A] wird als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass A eintritt. Oft ist allerdings nicht der Wahrscheinlichkeitsraum selbst betrachtbar, sondern nur gewisse Beobachtungsgrößen. Wir wollen also Wahrscheinlichkeiten dafür definieren, dass Zufallsgrößen bestimmte Werte annehmen und einen Kalkül für, zum Beispiel, Summen von Zufallsgrößen entwickeln. Definition (Zufallsvariablen). Sei (Ω, A ) ein Messraum und X : Ω Ω messbar. (i) X heißt Zufallsvariable mitwertenin(ω, A ).Ist(Ω, A )=(R, B(R)),so nennen wir X eine reelle Zufallsvariable oder schlicht Zufallsvariable. (ii) Ist A A, so schreiben wir {X A } := X 1 (A ) und P[X A ]:= P[X 1 (A )]. Speziell schreiben wir {X 0} := X 1 ([0, )) und analog {X b} und so weiter. Definition (Verteilungen). Sei X eine Zufallsvariable. (i) Das W-Maß P X := P X 1 heißt Verteilung von X. (ii) Ist X eine reelle Zufallsvariable, so heißt die Abbildung F X : x P[X x] die Verteilungsfunktion von X (eigentlich von P X ). Ist μ = P X,soschreiben wir auch X μ und sagen, dass X nach μ verteilt ist. (iii) Eine Familie (X i ) i I heißt identisch verteilt, falls P Xi = P Xj für alle i, j I. Wir schreiben X = D Y, falls P X = P Y (D für distribution). Satz Zu jeder Verteilungsfunktion F existiert eine reelle Zufallsvariable X mit F X = F. Beweis. Wir müssen explizit einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R angeben mit F X = F. Die einfachste Möglichkeit ist, (Ω,A) =(R, B(R)) zu wählen, X : R R die identische Abbildung und P das Lebesgue-Stieltjes Maß mit Verteilungsfunktion F (siehe Beispiel 1.56). Eine andere Möglichkeit, die zudem etwas lehrreicher ist, beruht darauf, zunächst unabhängig vom konkreten F eine Art Standard-Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren, auf dem eine uniform auf (0, 1) verteilte Zufallsvariable definiert ist, die

44 44 1 Grundlagen der Maßtheorie dann vermöge der Umkehrabbildung F 1 zu einer Zufallsvariablen X mit Verteilungsfunktion F transformiert wird: Wir wählen Ω := (0, 1), A := B(R) und Ω P das Lebesgue-Maß auf (Ω,A) (siehe Beispiel 1.74). Definiere die (linksstetige) Inverse von F F 1 (t) :=inf{x R : F (x) t} für t (0, 1). Dann ist F 1 (t) x t F (x). Speziell ist {t : F 1 (t) x} =(0,F(x)] (0, 1), alsoistf 1 (R, B(R)) messbar und :(Ω,A) P[{t : F 1 (t) x}] =F (x). Mithin ist X := F 1 die gewünschte Zufallsvariable. Beispiel Wir geben zu verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R reelle Zufallsvariablen X mit ebendieser Verteilung an. (Der konkrete Ort in diesem Buch dient lediglich als Vorwand, um ein paar der wichtigsten Verteilungen einzuführen, auf die wir bei späteren Gelegenheiten immer wieder zurückkommen.) (i) Ist p [0, 1] und P[X =1]=p, P[X =0]=1 p,soheißtp X =: Ber p die Bernoulli-Verteilung mit Parameter p. Formalist Ber p =(1 p) δ 0 + pδ 1, und die Verteilungsfunktion ist 0, falls x<0, F X (x) = 1 p, falls x [0, 1), 1, falls x 1. (ii) Ist p [0, 1] und n N sowie X : Ω {0,...,n} mit ( ) n P[X = k] = p k (1 p) n k, k so heißt P X =: b n,p die Binomialverteilung mit Parametern n und p. Formalist b n,p = n k=0 ( ) n p k (1 p) n k δ k. k (iii) Ist p (0, 1] und X : Ω N 0 mit P[X = n] =p (1 p) n für jedes n N 0,

45 1.5 Zufallsvariablen 45 so heißt γ p := b 1,p := P X die geometrische Verteilung 1 mit Parameter p. Formal können wir schreiben: γ p = p (1 p) n δ n. n=0 Die Verteilungsfunktion ist F (x) =1 (1 p) x+1 0 für x R. Wir können X +1als die Wartezeit auf den ersten Erfolg bei unabhängigen Zufallsexperimenten auffassen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg führen. In der Tat: Sei Ω = {0, 1} N und P das Produktmaß ( ) N (1 p)δ 0 + pδ 1 (Satz 1.64) sowie A = σ([ω 1,...,ω n ]: ω 1,...,ω n {0, 1}, n N). Wir setzen X(ω) :=inf{n N : ω n =1} 1, mit der Konvention inf =. Offenbar ist jede der Abbildungen X n : Ω R, { n 1, falls ωn =1, ω, falls ω n =0, A B(R)-messbar und X = inf n N X n.alsoistx auch A B(R)-messbar, also eine Zufallsvariable. Sei ω 0 := (0, 0,...) Ω. DannistP[X n] = P[[ω 0 1,...,ω 0 n]] = (1 p) n.alsoist P[X = n] =P[X n] P[X n +1]=(1 p) n (1 p) n+1 = p (1 p) n. (iv) Seien r>0 (nicht notwendigerweise ganzzahlig) und p (0, 1]. Mit b r,p := k=0 ( ) r ( 1) k p r (1 p) k δ k (1.17) k bezeichnen wir die negative Binomialverteilung oder Pascal-Verteilung mit Parametern r und p. (Hierbei ist ( ) x k = x(x 1) (x k+1) k! für x R und k N der verallgemeinerte Binomialkoeffizient.) Für r N ist b r,p, ähnlich wie im vorangehenden Beispiel, die Verteilung der Wartezeit auf den r-ten Erfolg bei unabhängigen Versuchen. Wir werden hierauf in Beispiel 3.4(iv) zurückkommen. (v) Ist λ [0, ) und X : Ω N 0 mit λ λn P[X = n] =e für jedes n N 0, n! so heißt P X =: Poi λ die Poisson-Verteilung mit Parameter λ. (vi) Die hypergeometrische Verteilung mit Parametern S, W, n N 1 Obacht: Manche Autoren nennen die um Eins verschobene Verteilung auf N die geometrische Verteilung.

46 46 1 Grundlagen der Maßtheorie ( B )( W ) b n b Hyp B,W;n ({b}) = ( B+W ), b {0,...,n}, (1.18) n gibt die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit S schwarzen und W weißen Kugeln bei n-maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau s schwarze Kugeln zu ziehen. Mit ein bisschen Kombinatorik lässt sich dies leicht auf die Situation mit k Farben und B i Kugeln der Farbe i =1,...,k verallgemeinern. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter n gezogenen Kugeln exakt b i von jeder Farbe i =1,...,ksind, ist gegeben durch die verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung ( B1 ) b Hyp B1,...,B k ;n({(b 1,...,b k )}) = 1 ( Bk ) b ( k B1+...+B k ). (1.19) n (vii) Seien μ R, σ 2 > 0 und X reell mit P[X x] = 1 2πσ 2 x e (t μ) 2 2σ 2 dt für x R. Dann heißt P X =: N μ,σ 2 Gauß sche Normalverteilung mit Parametern μ und σ 2. (viii) Ist X 0 reell und θ>0 sowie P[X x] =P[X [0,x]] = x 0 θe θt dt für x 0, so heißt P X Exponentialverteilung mit Parameter θ (kurz: exp θ ). (ix) Ist X R d -wertig, μ R d, Σ eine positiv definite d d Matrix und ( P[X x] = det(2πσ) 1/2 exp 1 ) t μ, Σ 1 (t μ) λ d (dt) 2 (,x] für x R d (wobei, das Skalarprodukt im R d bezeichnet), so heißt P X =: N μ,σ die d-dimensionale Normalverteilung mit Parametern μ und Σ. Definition Hat die Verteilungsfunktion F : R n [0, 1] die Gestalt F (x) = x1 dt 1 xn dt n f(t 1,...,t n ) für x =(x 1,...,x n ) R n, für eine integrierbare Funktion f : R n [0, ), soheißtf die Dichte der Verteilung. Beispiel (i) Für θ, r > 0 heißt die Verteilung Γ θ,r auf [0, ) mit Dichte x θr Γ (r) xr 1 e θx (wo Γ die Gamma-Funktion bezeichnet) Gamma-Verteilung mit Größenparameter θ und Formparameter r.

47 (ii) Für r, s > 0 heißt die Verteilung β r,s auf [0, 1] mit Dichte x Γ (r + s) Γ (r)γ (s) xr 1 (1 x) s 1 Beta-Verteilung mit Parametern r und s. (iii) Für a>0heißt die Verteilung Cau a auf R mit Dichte x 1 1 aπ 1+(x/a) Zufallsvariablen 47 Cauchy-Verteilung mit Parameter a. Übung Man leite (1.17) nach der Interpretation als Wartezeit kombinatorisch her unter Benutzung der Identität ( ) n k ( 1) k = ( ) n+k 1 k. Übung Man gebe ein Beispiel an für zwei normalverteilte X und Y, sodass (X, Y ) nicht (zweidimensional) normalverteilt ist. Übung Man zeige mit Hilfe von Satz (Transformationsformel für Dichten): (i) Ist X N μ,σ 2 und sind a R\{0} und b R,soist(aX +b) N aμ+b,a 2 σ 2. (ii) Ist X exp θ und a>0,soistax exp θ/a.

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