Mathematische Grundkompetenzen und schulformspezifische Kompetenzen in den einzelnen Clustern

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1 1 Mathematische Grundkompetenzen und schulformspezifische Kompetenzen in den einzelnen Clustern Zusätzlich zu den Grundkompetenzen von Teil A hat jeder Cluster die für die Ausbildung charakteristischen Grundkompetenzen und schulformspezifischen Kompetenzen. 1 Kompetenzliste zu Cluster 1a 1 Zahlen und Maße B1a_1.1 absolute und relative Fehler berechnen und interpretieren 2 Algebra und Geometrie B1a_2.1 B1a_2.2 B1a_2.3 B1a_2.4 quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels 0 α 360 (bzw. 0 α 2π) interpretieren und anhand des Einheitskreises erklären rechtwinkelige und schiefwinkelige Dreiecke im anwendungsbezogenen Kontext: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 1a) B1a_2.5 Resultierende von zwei Kräften bzw. Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten: darstellen, berechnen und interpretieren 3 Funktionale Zusammenhänge B1a_3.1 B1a_3.2 den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion erklären und grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane interpretieren folgende Funktionen skizzieren, interpretieren und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, 1/x, 1/x 2, Wurzelfunktion, Winkelfunktionen, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktionen), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a, b und c interpretieren und erklären (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung gemäß a f(x + b) + c)

2 2 Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 1a) B1a_3.3 Polynomfunktionen zur anwendungsbezogenen Modellierung verwenden und mittels Technologie berechnen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren 4 Analysis B1a_4.1 B1a_4.2 B1a_4.3 Ableitungsfunktionen von Winkel- und Logarithmusfunktionen sowie von zusammengesetzten Funktionen berechnen; Quotientenregel anwenden Stammfunktionen von elementaren Winkel- und Exponentialfunktionen berechnen; Methode der linearen Substitution anwenden Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben; Unstetigkeitsstellen interpretieren Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 1a) B1a_4.4 B1a_4.5 Differenzialrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar Kommentar B1a_4.4: Kommentar B1a_4.5: Anwendung der Differenzialrechnung auf die in B1a_3.2 und B1a_3.3 genannten Funktionstypen; Linearisierung von Funktionen in einem Punkt; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: v = ds dt, a = dv dt = d2 s dt 2 Krümmungsverhalten (Vorzeichen) Anwendung der Integralrechnung auf die in B1a_3.3 genannten Funktionstypen und Exponentialfunktionen; Ermittlung einer Größe aus ihrer Änderungsrate durch Integration unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen; das bestimmte Integral (orientierter Flächeninhalt) interpretieren; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: s = v dt und v = a dt rotationssymmetrische Volumina bezüglich der x-achse

3 3 5 Stochastik B1a_5.1 B1a_5.2 B1a_5.3 1 B1a_5.4 1 den Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben und erklären Verteilung der Mittelwerte x von Stichproben normalverteilter Merkmalswerte: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären Schätzwerte für Verteilungsparameter (μ, σ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären siehe Kommentar lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mit Technologieeinsatz berechnen und interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Kommentar B1a_5.3: Schätzwert für μ: x = 1 n n 1 x i und σ : s = n 1 n (x i x ) 2 i=1 i=1 Zu unterscheiden sind die Fälle bei unbekannter und bekannter Standardabweichung: Die Anwendung der t-verteilung (im Vergleich zur Normalverteilung) ist bei unbekannter Standardabweichung σ zur Bestimmung des Vertrauensbereiches für μ erforderlich. 1 Dieser Deskriptor wird erst fünf Jahre nach Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend.

4 4 2 Kompetenzliste zu Cluster 1b 1 Zahlen und Maße B1b_1.1 absolute und relative Fehler berechnen und interpretieren 2 Algebra und Geometrie B1b_2.1 B1b_2.2 B1b_2.3 B1b_2.4 quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels 0 α 360 (bzw. 0 α 2π) interpretieren und anhand des Einheitskreises erklären rechtwinkelige und schiefwinkelige Dreiecke im anwendungsbezogenen Kontext: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 1b) B1b_2.5 Resultierende von zwei Kräften bzw. Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten: darstellen, berechnen und interpretieren 3 Funktionale Zusammenhänge B1b_3.1 B1b_3.2 den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion erklären und grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane interpretieren folgende Funktionen skizzieren, interpretieren und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, 1/x, 1/x 2, Wurzelfunktion, Winkelfunktionen, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktionen), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a, b und c interpretieren und erklären (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung gemäß a f(x + b) + c) Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 1b) B1b_3.3 Polynomfunktionen zur anwendungsbezogenen Modellierung verwenden und mittels Technologie berechnen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren

5 5 4 Analysis B1b_4.1 B1b_4.2 B1b_4.3 Ableitungsfunktionen von Winkel- und Logarithmusfunktionen sowie von zusammengesetzten Funktionen berechnen; Quotientenregel anwenden Stammfunktionen von elementaren Winkel- und Exponentialfunktionen berechnen; Methode der linearen Substitution anwenden Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben; Unstetigkeitsstellen interpretieren Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 1b) B1b_4.4 B1b_4.5 Differenzialrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar Kommentar B1b_4.4: Kommentar B1b_4.5: Anwendung der Differenzialrechnung auf die in B1b_3.2 und B1b_3.3 genannten Funktionstypen; Linearisierung von Funktionen in einem Punkt; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: v = ds dt, a = dv dt = d2 s dt 2 Krümmungsverhalten (Vorzeichen) Anwendung der Integralrechnung auf die in B1b_3.3 genannten Funktionstypen und Exponentialfunktionen; Ermittlung einer Größe aus ihrer Änderungsrate durch Integration unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen; das bestimmte Integral (orientierter Flächeninhalt) interpretieren; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: s = v dt und v = a dt rotationssymmetrische Volumina bezüglich der x-achse

6 6 5 Stochastik B1b_5.1 B1b_5.2 B1b_5.3 1 B1b_5.4 1 den Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben und erklären Verteilung der Mittelwerte x von Stichproben normalverteilter Merkmalswerte: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären Schätzwerte für Verteilungsparameter (μ, σ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären siehe Kommentar lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mit Technologieeinsatz berechnen und interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Kommentar B1b_5.3: Schätzwert für μ: x = 1 n n 1 x i und σ : s = n 1 n (x i x ) 2 i=1 i=1 Zu unterscheiden sind die Fälle bei unbekannter und bekannter Standardabweichung: Die Anwendung der t-verteilung (im Vergleich zur Normalverteilung) ist bei unbekannter Standardabweichung σ zur Bestimmung des Vertrauensbereiches für μ erforderlich. 1 Dieser Deskriptor wird erst fünf Jahre nach Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend.

7 7 3 Kompetenzliste zu Cluster 2 1 Zahlen und Maße B2_1.1 absolute und relative Fehler berechnen und interpretieren Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 2) B2_1.2 B2_1.3 komplexe Zahlen in der Gauß schen Zahlenebene darstellen, erklären und in verschiedene Formen umrechnen (Komponentenform, Polarform, Exponentialform) sowie komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren mithilfe von komplexen Zahlen in typischen Bereichen der Elektrotechnik anwendungsbezogen modellieren und rechnen (maximal 3 Bauelemente (R, L, C) in einer Schaltung) 2 Algebra und Geometrie B2_2.1 B2_2.2 B2_2.3 B2_2.4 quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels 0 α 360 (bzw. 0 α 2π) interpretieren und anhand des Einheitskreises erklären rechtwinkelige und schiefwinkelige Dreiecke im amwendungsbezogenen Kontext: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 2) B2_2.5 B2_2.6 Vektoren im R² und R³: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt, Vektorprodukt) siehe Kommentar lineare Gleichungssysteme in Matrizenform übertragen und diese Darstellungsform mithilfe der Matrizenmultiplikation begründen Kommentar B2_2.5: Resultierende von vektoriellen Größen, Richtungsvektor, Betrag, Einheitsvektor, Winkel zwischen Vektoren Fachbezogene Anwendungen von Skalarprodukt und Vektorprodukt werden in der Aufgabenstellung erklärt.

8 8 3 Funktionale Zusammenhänge B2_3.1 B2_3.2 den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion erklären und grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane interpretieren folgende Funktionen skizzieren, interpretieren und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, 1/x, 1/x 2, Wurzelfunktion, Winkelfunktionen, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktionen), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a, b und c interpretieren und erklären (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung gemäß a f(x + b) + c) Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 2) B2_3.3 B2_3.4 B2_3.5 B2_3.6 die in B2_3.2 genannten Funktionen, Polynomfunktionen sowie die allgemeine Sinusfunktion (y = a sin(b x + c)) zur anwendungsbezogenen Modellierung verwenden, mit Technologieeinsatz berechnen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren logarithmische Skalierung: modellieren, interpretieren und argumentieren (Darstellung über mehrere Zehnerpotenzen; Darstellung von Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion als Gerade) Zusammenhang zwischen Zeigerdiagramm und allgemeiner Sinusfunktion (und umgekehrt) angeben und interpretieren; Umrechnung von Sinus-Cosinus-Form in Amplitudenphasenform durchführen und erklären Additionen von Sinusfunktionen gleicher Frequenz: im Zeigerdiagramm erklären und berechnen 4 Analysis B2_4.1 B2_4.2 B2_4.3 Ableitungsfunktionen von Winkel- und Logarithmusfunktionen sowie von zusammengesetzten Funktionen berechnen; Quotientenregel anwenden Stammfunktionen von elementaren Winkel- und Exponentialfunktionen berechnen; Methode der linearen Substitution anwenden Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben; Unstetigkeitsstellen interpretieren Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 2) B2_4.4 B2_4.5 Differenzialrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar

9 9 B2_4.6 B2_4.7 lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten anwendungsbezogen aufstellen und lösen; Methode Trennen der Variablen anwenden; homogene und inhomogene Differenzialgleichung unterscheiden, allgemeine und spezielle Lösung bestimmen, die Lösungsteile und die Lösung darstellen und interpretieren siehe Kommentar Fourier-Analyse: Symmetrieeigenschaften von Funktionen erklären, periodische Funktionen (Rechteck-, Dreieck- und Sägezahn-Schwingungen) durch Fourier-Reihen approximieren Kommentar B2_4.4: Kommentar B2_4.5: Kommentar B2_4.6: Anwendung der Differenzialrechnung auf die in B2_3.2 und B2_3.3 genannten Funktionstypen; Linearisierung von Funktionen in einem Punkt; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: v = ds dt, a = dv dt = d2 s dt 2; aus dem Bereich der Elektrotechnik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: i = dq dt, u = L di L dt, q = C u C Anwendung der Integralrechnung auf die in B2_3.2 und B2_3.3 genannten Funktionstypen; Ermittlung einer Größe aus ihrer Änderungsrate durch Integration unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: s = v dt und v = a dt Integralmittelwerte: linearer Mittelwert, quadratischer Mittelwert Das Aufstellen von Differenzialgleichungen beschränkt sich auf das Übertragen von angegebenen Zusammenhängen in mathematische Formelsprache. aus dem Bereich der Elektrotechnik: RL- und RC-Serienschaltung

10 10 5 Stochastik B2_5.1 B2_5.2 B2_5.3 B2_5.4 den Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben und erklären Verteilung der Mittelwerte x von Stichproben normalverteilter Merkmalswerte: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären Schätzwerte für Verteilungsparameter (μ, σ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären siehe Kommentar lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mit Technologieeinsatz berechnen und interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 2) B2_5.5 Ausgleichsfunktionen (linear, quadratisch, kubisch, exponentiell) modellieren, mit Technologieeinsatz berechnen und die Ergebnisse interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Kommentar B2_5.3: Schätzwert für μ: x = 1 n n 1 x i und σ : s = n 1 n (x i x ) 2 i=1 i=1 Zu unterscheiden sind die Fälle bei unbekannter und bekannter Standardabweichung: Die Anwendung der t-verteilung (im Vergleich zur Normalverteilung) ist bei unbekannter Standardabweichung σ zur Bestimmung des Vertrauensbereiches für μ erforderlich.

11 11 4 Kompetenzliste zu Cluster 3 1 Zahlen und Maße B3_1.1 absolute und relative Fehler berechnen und interpretieren Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 3) B3_1.2 komplexe Zahlen in der Gauß schen Zahlenebene darstellen, erklären und in verschiedene Formen um rechnen (Komponentenform, Polarform, Exponentialform) sowie komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren 2 Algebra und Geometrie B3_2.1 B3_2.2 B3_2.3 B3_2.4 quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels 0 α 360 (bzw. 0 α 2π) interpretieren und anhand des Einheitskreises erklären rechtwinkelige und schiefwinkelige Dreiecke im anwendungsbezogenen Kontext: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 3) B3_2.5 B3_2.6 Vektoren im R² und R³: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt, Vektorprodukt) siehe Kommentar lineare Gleichungssysteme in Matrizenform übertragen und diese Darstellungsform mithilfe der Matrizenmultiplikation begründen Kommentar B3_2.5: Resultierende von vektoriellen Größen (Kräfte und Geschwindigkeiten), Richtungsvektor, Normalvektor, Betrag, Einheitsvektor, Winkel zwischen Vektoren; Geradengleichung*, Ebenendarstellung* Fachbezogene Anwendungen werden in der Aufgabenstellung erklärt. * wird erst fünf Jahre nach der Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend

12 12 3 Funktionale Zusammenhänge B3_3.1 B3_3.2 den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion erklären und grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane interpretieren folgende Funktionen skizzieren, interpretieren und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, 1/x, 1/x 2, Wurzelfunktion, Winkelfunktionen, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktionen), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a, b und c interpretieren und erklären (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung gemäß a f(x + b) + c) Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 3) B3_3.3 B3_3.4 1 die in B3_3.2 genannten Funktionen, Polynomfunktionen sowie die allgemeine Sinusfunktion (y = a sin(b x + c)) zur anwendungsbezogenen Modellierung verwenden, mit Technologieeinsatz berechnen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren logarithmische Skalierung: modellieren, interpretieren und argumentieren (Darstellung über mehrere Zehnerpotenzen; Darstellung von Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion als Gerade) 1 Dieser Deskriptor wird erst fünf Jahre nach Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend. 4 Analysis B3_4.1 B3_4.2 B3_4.3 Ableitungsfunktionen von Winkel- und Logarithmusfunktionen sowie von zusammengesetzten Funktionen berechnen; Quotientenregel anwenden Stammfunktionen von elementaren Winkel- und Exponentialfunktionen berechnen; Methode der linearen Substitution anwenden Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben; Unstetigkeitsstellen interpretieren Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 3) B3_4.4 B3_4.5 B3_4.6 Differenzialrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten anwendungsbezogen aufstellen und lösen; Methode Trennen der Variablen anwenden; homogene und inhomogene Differenzialgleichung unterscheiden, allgemeine und spezielle Lösung bestimmen, die Lösungsteile und die Lösung darstellen und interpretieren siehe Kommentar

13 13 Kommentar B3_4.4: Kommentar B3_4.5: Kommentar B3_4.6: Anwendung der Differenzialrechnung auf die in B3_3.2 und B3_3.3 genannten Funktionstypen; Linearisierung von Funktionen in einem Punkt; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: v = ds dt, a = dv dt = d2 s dt 2 Anwendung der Integralrechnung auf die in B3_3.2 und B3_3.3 genannten Funktionstypen; Ermittlung einer Größe aus ihrer Änderungsrate durch Integration unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen; das bestimmte Integral (orientierter Flächeninhalt) interpretieren; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: s = v dt und v = a dt rotationssymmetrische Volumina Integralmittelwert: linearer Mittelwert Das Aufstellen von Differenzialgleichungen beschränkt sich auf das Übertragen von angegebenen Zusammenhängen in mathematische Formelsprache. 5 Stochastik B3_5.1 B3_5.2 B3_5.3 1 B3_5.4 den Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben und erklären Verteilung der Mittelwerte x von Stichproben normalverteilter Merkmalswerte: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären Schätzwerte für Verteilungsparameter (μ, σ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären siehe Kommentar lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mit Technologieeinsatz berechnen und interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 3) B3_5.5 Ausgleichsfunktionen (linear, quadratisch, kubisch, exponentiell) modellieren, mit Technologieeinsatz berechnen und die Ergebnisse interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Kommentar B3_5.3: Schätzwert für μ: x = 1 n n 1 x i und σ : s = n 1 n (x i x ) 2 i=1 i=1 Zu unterscheiden sind die Fälle bei unbekannter und bekannter Standardabweichung: Die Anwendung der t-verteilung (im Vergleich zur Normalverteilung) ist bei unbekannter Standardabweichung σ zur Bestimmung des Vertrauensbereiches für μ erforderlich. 1 Dieser Deskriptor wird erst fünf Jahre nach Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend.

14 14 5 Kompetenzliste zu Cluster 4 1 Zahlen und Maße B4_1.1 absolute und relative Fehler berechnen und interpretieren 2 Algebra und Geometrie Kompetenzen für Teil B (übergreifend für alle HTL-Cluster) B4_2.1 B4_2.2 B4_2.3 B4_2.4 quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels 0 α 360 (bzw. 0 α 2π) interpretieren und anhand des Einheitskreises erklären rechtwinkelige und schiefwinkelige Dreiecke im anwendungsbezogenen Kontext: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 4) B4_2.5 B4_2.6 B4_2.7 Vektoren im R² und R³: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt, Vektorprodukt) siehe Kommentar lineare Gleichungssysteme in Matrizenform übertragen und diese Darstellungsform mithilfe der Matrizenmultiplikation begründen Matrizen als Operatoren von Abbildungen im R² (Drehungen um beliebige Punkte, Spiegelungen an beliebigen Geraden, Skalierungen um beliebige Punkte, Schiebungen): modellieren, operieren, interpretieren und argumentieren siehe Kommentar Kommentar B4_2.5: Kommentar B4_2.7: Resultierende von vektoriellen Größen, Richtungsvektor, Normalvektor, Betrag, Einheitsvektor, Winkel zwischen Vektoren; Geradengleichung*, Ebenendarstellung* Fachbezogene Anwendungen werden in der Aufgabenstellung erklärt. * wird erst fünf Jahre nach der Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend Damit auch die Schiebung im R² in Matrixschreibweise angegeben werden kann, verwendet man homogene Koordinaten. Jeder Punkt wird in der Form (x y 1) dargestellt. x 1 0 t x x t Die Schiebung um den Vektor ( x ) t y erfolgt durch ( y ) = ( 0 1 t y) ( y )

15 15 3 Funktionale Zusammenhänge B4_3.1 B4_3.2 den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion erklären und grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane interpretieren folgende Funktionen skizzieren, interpretieren und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, 1/x, 1/x 2, Wurzelfunktion, Winkelfunktionen, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktionen), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a, b und c interpretieren und erklären (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung gemäß a f(x + b) + c) Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 4) B4_3.3 B4_3.4 1 die in B4_3.2 genannten Funktionen, Polynomfunktionen sowie die allgemeine Sinusfunktion (y = a sin(b x + c)) zur anwendungsbezogenen Modellierung verwenden, mit Technologieeinsatz berechnen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren logarithmische Skalierung: modellieren, interpretieren und argumentieren (Darstellung über mehrere Zehnerpotenzen; Darstellung von Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion als Gerade) 1 Dieser Deskriptor wird erst fünf Jahre nach Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend. 4 Analysis B4_4.1 B4_4.2 B4_4.3 Ableitungsfunktionen von Winkel- und Logarithmusfunktionen sowie von zusammengesetzten Funktionen berechnen; Quotientenregel anwenden Stammfunktionen von elementaren Winkel- und Exponentialfunktionen berechnen; Methode der linearen Substitution anwenden Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben; Unstetigkeitsstellen interpretieren Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 4) B4_4.4 B4_4.5 B4_4.6 Differenzialrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar in Natur und Technik auftretende Änderungsraten mit dem Differenzialquotienten beschreiben und erklären; Differenzialgleichungen des Typs dy dx = k y bzw. dy dx = k (y r) anwendungsbezogen aufstellen und lösen; Methode Trennen der Variablen anwenden; Unterschied zwischen unbeschränktem und beschränktem exponentiellem Wachstum anhand der Differenzialgleichung interpretieren und erklären siehe Kommentar

16 16 Kommentar B4_4.4: Kommentar B4_4.5: Kommentar B4_4.6: Anwendung der Differenzialrechnung auf die in B4_3.2 und B4_3.3 genannten Funktionstypen; Linearisierung von Funktionen in einem Punkt; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: v = ds dt, a = dv dt = d2 s dt 2 Anwendung der Integralrechnung auf die in B4_3.2 und B4_3.3 genannten Funktionstypen; Ermittlung einer Größe aus ihrer Änderungsrate durch Integration unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen; das bestimmte Integral (orientierter Flächeninhalt) interpretieren; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: s = v dt und v = a dt rotationssymmetrische Volumina Bogenlänge Integralmittelwert: linearer Mittelwert Fünf Jahre nach Einführung des neuen modularen Lehrplans wird dieser Deskriptor durch den folgenden ersetzt: lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten anwendungsbezogen aufstellen und lösen; Methode Trennen der Variablen anwenden; homogene und inhomogene Differenzialgleichung unterscheiden, allgemeine und spezielle Lösung bestimmen, die Lösungsteile und die Lösung darstellen und interpretieren 5 Stochastik B4_5.1 B4_5.2 B4_5.3 B4_5.4 den Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben und erklären Verteilung der Mittelwerte x von Stichproben normalverteilter Merkmalswerte: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären Schätzwerte für Verteilungsparameter (μ, σ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären siehe Kommentar lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mit Technologieeinsatz berechnen und interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 4) B4_5.5 Ausgleichsfunktionen (linear, quadratisch, kubisch, exponentiell) modellieren, mit Technologieeinsatz berechnen und die Ergebnisse interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären

17 17 Kommentar B4_5.3: Schätzwert für μ: x = 1 n n 1 x i und σ : s = n 1 n (x i x ) 2 i=1 i=1 Zu unterscheiden sind die Fälle bei unbekannter und bekannter Standardabweichung: Die Anwendung der t-verteilung (im Vergleich zur Normalverteilung) ist bei unbekannter Standardabweichung σ zur Bestimmung des Vertrauensbereiches für μ erforderlich.

18 18 6 Kompetenzliste zu Cluster 5 1 Zahlen und Maße B5_1.1 absolute und relative Fehler berechnen und interpretieren 2 Algebra und Geometrie B5_2.1 B5_2.2 B5_2.3 B5_2.4 quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels 0 α 360 (bzw. 0 α 2π) interpretieren und anhand des Einheitskreises erklären rechtwinkelige und schiefwinkelige Dreiecke im anwendungsbezogenen Kontext: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen 3 Funktionale Zusammenhänge B5_3.1 B5_3.2 den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion erklären und grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane interpretieren folgende Funktionen skizzieren, interpretieren und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, 1/x, 1/x 2, Wurzelfunktion, Winkelfunktionen, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktionen), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter a, b und c interpretieren und erklären (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung gemäß a f(x + b) + c) Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 5) B5_3.3 B5_3.4 die in B5_3.2 genannten Funktionen, Polynomfunktionen sowie die allgemeine Sinusfunktion (y = a sin(b x + c)) zur anwendungsbezogenen Modellierung verwenden, mit Technologieeinsatz berechnen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren logarithmische Skalierung: modellieren, interpretieren und argumentieren (Darstellung über mehrere Zehnerpotenzen; Darstellung von Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion als Gerade)

19 19 4 Analysis B5_4.1 B5_4.2 B5_4.3 Ableitungsfunktionen von Winkel- und Logarithmusfunktionen sowie von zusammengesetzten Funktionen berechnen; Quotientenregel anwenden Stammfunktionen von elementaren Winkel- und Exponentialfunktionen berechnen; Methode der linearen Substitution anwenden Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben; Unstetigkeitsstellen interpretieren Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 5) B5_4.4 B5_4.5 B5_4.6 Differenzialrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten anwendungsbezogen aufstellen und lösen; Methode Trennen der Variablen anwenden; homogene und inhomogene Differenzialgleichung unterscheiden, allgemeine und spezielle Lösung bestimmen, die Lösungsteile und die Lösung darstellen und interpretieren siehe Kommentar Kommentar B5_4.4: Kommentar B5_4.5: Kommentar B5_4.6: Anwendung der Differenzialrechnung auf die in B5_3.2 und B5_3.3 genannten Funktionstypen; Linearisierung von Funktionen in einem Punkt; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: v = ds dt, a = dv dt = d2 s dt 2 Anwendung der Integralrechnung auf die in B5_3.2 und B5_3.3 genannten Funktionstypen; Ermittlung einer Größe aus ihrer Änderungsrate durch Integration unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen; das bestimmte Integral (orientierter Flächeninhalt) interpretieren; aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt: s = v dt und v = a dt rotationssymmetrische Volumina Integralmittelwert: linearer Mittelwert Das Aufstellen von Differenzialgleichungen beschränkt sich auf das Übertragen von angegebenen Zusammenhängen in mathematische Formelsprache.

20 20 5 Stochastik B5_5.1 B5_5.2 B5_5.3 B5_5.4 den Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben und erklären Verteilung der Mittelwerte x von Stichproben normalverteilter Merkmalswerte: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären Schätzwerte für Verteilungsparameter (μ, σ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für den Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen, interpretieren und erklären siehe Kommentar lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mit Technologieeinsatz berechnen und interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Clusterspezifische Kompetenzen (Cluster 5) B5_5.5 Ausgleichsfunktionen (linear, quadratisch, kubisch, exponentiell) modellieren, mit Technologieeinsatz berechnen und die Ergebnisse interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären Kommentar B5_5.3: Schätzwert für μ: x = 1 n n 1 x i und σ : s = n 1 n (x i x ) 2 i=1 i=1 Zu unterscheiden sind die Fälle bei unbekannter und bekannter Standardabweichung: Die Anwendung der t-verteilung (im Vergleich zur Normalverteilung) ist bei unbekannter Standardabweichung σ zur Bestimmung des Vertrauensbereiches für μ erforderlich.

21 21 7 Kompetenzliste zu Cluster 6 2 Algebra und Geometrie B6_2.1 B6_2.2 Gleichungen für den Lösungsbereich linearer Ungleichungen und linearer Ungleichungssysteme aufstellen, den Lösungsbereich linearer Ungleichungen und linearer Ungleichungssysteme mit zwei Variablen ermitteln, interpretieren und erläutern lineare Optimierung einer Zielfunktion modellieren, mit geeignetem Technologieeinsatz lösen, den Lösungsweg erklären und begründen sowie das Ergebnis interpretieren 3 Funktionale Zusammenhänge B6_3.1 B6_3.2 B6_3.3 B6_3.4 B6_3.5 Zinseszins auf Grundlage der geometrischen Folgen modellieren und interpretieren sowie Berechnungen durchführen und die Ergebnisse argumentieren Rentenrechnungen auf der Grundlage geometrischer Reihen modellieren, interpretieren sowie Berechnungen durchführen und die Ergebnisse argumentieren siehe Kommentar Sparformen mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren und interpretieren sowie Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse erklären Kredite und Schuldentilgung mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren und interpretieren sowie Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse erklären unbegrenzte Zu- und Abnahmeprozesse mit Exponentialfunktionen modellieren, mit den Gleichungen Berechnungen durchführen, die Funktionen grafisch darstellen, die Ergebnisse interpretieren und Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse argumentieren Kommentar B6_3.2: Formulierungen und deren Bedeutung: Ist... monatliche Zahlung bei einem Zinssatz von 8 % p. a. formuliert, so ist ein monatlicher Zinssatz von 1, = 0,6434 % gemeint. Ist... monatliche Zahlung bei einem Zinssatz von nominell 8 % p. a. und quartalsmäßiger Verzinsung formuliert, so ist ein Quartalszinssatz von 8 % : 4 = 2 % bzw. ein monatlicher Zinssatz von 1, = 0,6623 % gemeint. 4 Analysis B6_4.1 B6_4.2 Nachfragefunktionen modellieren, deren Gültigkeit interpretieren und markante Punkte (Höchstpreis, Sättigungsmenge) ermitteln; Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse (auch grafisch) dokumentieren, interpretieren und argumentieren siehe Kommentar Aufgabenstellungen in wirtschaftlichem Kontext mit Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion modellieren

22 22 B6_4.3 B6_4.4 B6_4.5 B6_4.6 B6_4.7 die typischen Verläufe der Graphen von Erlösfunktion, Kostenfunktion (progressiv, de gressiv, Kostenkehre), Stückkostenfunktion und Gewinnfunktion interpretieren, beschreiben, grafisch darstellen, Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkt berechnen und Ergebnisse im fachlichen Kontext argumentieren Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze sowie Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze modellieren und berechnen, interpretieren und im Kontext erläutern Gewinnschwelle und Gewinngrenze der Break-even-Analyse berechnen und grafisch darstellen; aus der Grafik der Gewinnfunktion (oder aus den Schnittpunkten der Kosten- und Erlösfunktion) ablesen und im Kontext erläutern Gleichungen für die Berechnung von Erlös- und Gewinnmaximum erstellen, diese lösen, die Extremwerte aus den jeweiligen Graphen ablesen und die Ergebnisse im Kontext erklären, den Cournot schen Punkt berechnen und im Kontext interpretieren die wirtschaftlichen Grenzfunktionen als Ableitungsfunktionen modellieren, berechnen und erklären sowie von Grenzfunktionen die Stammfunktionen ermitteln und ihren grafischen Zusammenhang erklären Kommentar B6_4.1: Unter der Nachfragefunktion versteht man die Abhängigkeit der nachgefragten Menge x vom Preis p, also x(p). Verwendet wird aber häufig die Umkehrfunktion, also p( x): Preisfunktion der Nachfrage. 5 Stochastik B6_5.1 B6_5.2 B6_5.3 B6_5.4 B6_5.5 B6_5.6 B6_5.7 B6_5.8 Daten aus einer berufsfeldbezogenen Untersuchung in Tabellenform erstellen und grafisch darstellen; den Unterschied bei der Bearbeitung von qualitativen und quantitativen Merkmalen beschreiben und erklären; Datenmanipulierbarkeit argumentieren kontextbezogen das geeignete grafische Modell für Häufigkeitsverteilungen von eindimensionalen Daten erstellen und darstellen: Stab, Säule, Balken, Kreis, Histogramm oder Boxplot; die Grafik interpretieren, erklären und beurteilen Mittelwerte sowie Lage- und Streuungsmaße berechnen und interpretieren: arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel, Modus, Median, Quartil; Standardabweichung, Spannweite, Quartilsabstand mit der Additions- und der Multiplikationsregel die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von einander ausschließenden und voneinander unabhängigen Ereignissen modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen modellieren, unter Anwendung von Pfadregeln begründen und berechnen; Baumdiagramme interpretieren grafische Darstellung von zweidimensionalen Datenmengen (Punktwolken); Regression von zweidimensionalen Datenmengen erklären, mit Technologieeinsatz bestimmen und die Ergebnisse interpretieren siehe Kommentar Korrelationskoeffizient bei linearer Regression bestimmen und interpretieren Wahrscheinlichkeiten aus dem ausbildungsbezogenen Kontext mit der Binomialverteilung modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren; Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung ermitteln; die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion grafisch darstellen und sie im Sachzusammenhang interpretieren und argumentieren

23 23 B6_5.9 Wahrscheinlichkeiten aus dem ausbildungsbezogenen Kontext mit der Normalverteilung modellieren und berechnen*; die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion grafisch darstellen und sie im Sachzusammenhang interpretieren und argumentieren siehe Kommentar Kommentar B6_5.6: Kommentar B6_5.9: lineare, quadratische und kubische Regression * Hier sind folgende Varianten gemeint: die Wahrscheinlichkeiten für X < k; X > k; k 1 < X < k 2 bei bekanntem Erwartungswert und bekannter Standardabweichung berechnen aus einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit die Intervallgrenzen für das passende Ereignis ermitteln

24 24 8 Kompetenzliste zu Cluster 7 2 Algebra und Geometrie B7_2.1 B7_2.2 B7_2.3 lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen aufstellen, lösen und interpretieren; die optimale Lösung einer Zielfunktion berechnen und interpretieren Bestimmungsstücke im allgemeinen Dreieck und in einem Vieleck berechnen siehe Kommentar Flächeninhalt von allgemeinen Dreiecken und Vielecken berechnen Kommentar B7_2.2: Aufgabenstellungen in räumlichem Kontext werden durch die Angabe einer Skizze unterstützt. 3 Funktionale Zusammenhänge B7_3.1 B7_3.2 B7_3.3 B7_3.4 Modelle für Aufgabenstellungen in wirtschaftlichem Kontext durch lineare Funktionen und Polynomfunktionen erstellen, lösen und interpretieren funktionale Zusammenhänge durch die natürliche und die dekadische Logarithmusfunktion modellieren, lösen, interpretieren und argumentieren Änderungsprozesse (Wachstum, Abnahme, Abklingen und Sättigung) mithilfe der Exponentialfunktion und der logistischen Funktion modellieren; die Parameter der jeweiligen Funktion bestimmen, berechnen und interpretieren Rentenrechnung auf der Grundlage von geometrischen Reihen modellieren, berechnen und interpretieren siehe Kommentar Kommentar B7_3.4: Einschränkung auf Zinsperiode = Rentenperiode

25 25 4 Analysis B7_4.1 B7_4.2 B7_4.3 B7_4.4 B7_4.5 B7_4.6 B7_4.7 die Ableitung der Sinus- und der Cosinusfunktion sowie der natürlichen Logarithmusfunktion berechnen Modelle der Preis- und Kostentheorie erklären, berechnen und interpretieren (Nachfrage, Erlös, Gewinnanalyse, Betriebsoptimum, Kostenkehre, Grenzkosten, Stückkosten) siehe Kommentar Integrale für Aufgabenstellungen aus der Wirtschaft mit Grundfunktionen interpretieren sowie numerisch und mit Technologieeinsatz berechnen Integrale mithilfe numerischer Methoden berechnen: Trapezregel, Kepler-Regel, Simpson- Regel Eigenschaften von Funktionen bestimmen und interpretieren sowie Umkehraufgaben im fachlichen Kontext lösen den Wert der Ableitungsfunktion einer beliebigen Funktion in einem Punkt und das bestimmte Integral einer beliebigen Funktion mit Technologieeinsatz berechnen die Graphen von Ableitungs- und Stammfunktionen von beliebigen Funktionen mit Technologieeinsatz darstellen siehe Kommentar Kommentar B7_4.2: Kommentar B7_4.7: Unter der Nachfragefunktion versteht man die Abhängigkeit der nachgefragten Menge x vom Preis p, also x(p). Verwendet wird aber häufig die Umkehrfunktion, also p( x): Preisfunktion der Nachfrage. je nach Technologieeinsatz punktweise oder über den Funktionsterm 5 Stochastik B7_5.1 B7_5.2 die Normalverteilung im ausbildungsbezogenen Kontext zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten nutzen; Verlauf und Parameter (μ, σ 2 ) interpretieren; Intervallgrenzen für die jeweilige Zufallsvariable bzw. die Parameter der Normalverteilung bei gegebener Wahrscheinlichkeit bestimmen die lineare Regression und Korrelation von zweidimensionalen Datenmengen anschaulich erklären, mit Technologieeinsatz berechnen und Aussagen interpretieren

26 26 9 Kompetenzliste zu Cluster 8 2 Algebra und Geometrie B8_2.1* B8_2.2* B8_2.3* wirtschaftliche Sachverhalte in Matrizenschreibweise darstellen, die Matrixelemente interpretieren und damit argumentieren die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation von Matrizen sowie die Berechnung der Inversen von Matrizen mit Technologieeinsatz durchführen Gozinto-Graphen mithilfe von Matrizen darstellen und inter pretieren sowie Matrizen als Gozinto-Graphen darstellen und argumentieren * Wird erst ab dem Maturajahrgang 2018/2019 abgeprüft. 3 Funktionale Zusammenhänge B8_3.1 B8_3.2 B8_3.3 B8_3.4 B8_3.5 B8_3.6 B8_3.7 B8_3.8 mit verschiedenen Verzinsungsmethoden (einfache Zinsen und Zinseszinsen) Finanzierungsfragen lösen und beurteilen die charakteristischen Größen der Rentenrechnung wie Barwert und Endwert (vor- und nachschüssig), Verzinsungs- und Rentendauer, Rentenraten und Teilraten berechnen, interpretieren und damit im Kontext argumentieren siehe Kommentar Effektivzinssätze von Finanzgeschäften (wie Krediten, Leasing oder Ratenzahlungen) auf Basis des BWG in der jeweils gültigen Fassung berechnen, interpretieren und damit im Kontext argumentieren Rentenumwandlungen und Schuldkonvertierungen durchführen und deren Ergebnisse interpretieren Tilgungsplan einer Annuitätenschuld erstellen und interpretieren Kapitalwert, internen Zinssatz und modifizierten internen Zinssatz von Investitionen berechnen, interpretieren und im Kontext argumentieren verschiedene stetige Wachstumsmodelle aufstellen (linear, exponentiell, logistisch, beschränkt), berechnen, diese interpretieren und damit im Kontext argumentieren Zahlungsströme auf einer Zeitachse skizzieren und gegebene grafische Darstellungen des Zahlungsstroms interpretieren Kommentar B8_3.2: Formulierungen und deren Bedeutung: Ist... monatliche Zahlung bei einem Zinssatz von 8 % p. a. formuliert, so ist ein monatlicher Zinssatz von 1, = 0,6434 % gemeint. Ist... monatliche Zahlung bei einem Zinssatz von nominell 8 % p. a. und quartalsmäßiger Verzinsung formuliert, so ist ein Quartalszinssatz von 8 % : 4 = 2 % bzw. ein monatlicher Zinssatz von 1, = 0,6623 % gemeint.

27 27 4 Analysis B8_4.1 B8_4.2 B8_4.3 B8_4.4 B8_4.5 B8_4.6 B8_4.7 B8_4.8 Nachfrage- und Angebotsfunktionen bestimmen, deren Eigenschaften argumentieren und markante Punkte (Höchstpreis, Sättigungsmenge, Marktgleichgewicht) ermitteln und interpretieren siehe Kommentar die Begriffe Bogenelastizität und Punktelastizität erklären und diese am Beispiel von Nachfragefunktionen berechnen, interpretieren und den Zusammenhang mit der Erlösfunktion erklären siehe Kommentar eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion als Polynomfunktion 3. Grades aufstellen und interpretieren die Kostenkehre berechnen und interpretieren sowie die typischen Kostenverläufe (progressiv und degressiv) interpretieren Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze sowie Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze berechnen, interpretieren und damit im Kontext argumentieren Erlös- und Gewinnfunktionen erstellen und interpretieren; die Gewinngrenzen (untere Gewinngrenze [Break-even-Point] und obere Gewinngrenze) ermitteln und interpretieren; den Zusammenhang mit Kosten- und Erlösfunktion argumentieren das Erlös- und das Gewinnmaximum sowie den Cournot schen Punkt berechnen und die Ergebnisse im Kontext argumentieren den Begriff der wirtschaftlichen Grenzfunktion als Ableitungsfunktion erklären; Grenzfunktionen berechnen, interpretieren und grafisch darstellen; von Grenzfunktionen auf ihre Stammfunktionen schließen, diese interpretieren, grafisch darstellen und die Zusammenhänge argumentieren Kommentar B8_4.1: Kommentar B8_4.2: Unter der Nachfrage-/Angebotsfunktion versteht man die Abhängigkeit der nachgefragten/angebotenen Menge x vom Preis p, also x N (p) bzw. x A (p). Verwendet werden aber häufig die Umkehrfunktionen, also die Preisfunktion der Nachfrage p N (x) bzw. die Preisfunktion des Angebots p A (x). Elastizitäten werden mit entsprechendem Vorzeichen angegeben. 5 Stochastik B8_5.1 B8_5.2 B8_5.3 B8_5.4 B8_5.5 mit dem Additionssatz für nicht ausschließende Ereignisse und mit dem Multiplikationssatz für abhängige Ereignisse (bedingte Wahrscheinlichkeit) modellieren, operieren, interpretieren und argumentieren das geometrische Mittel als mittlere prozentuelle Änderung berechnen, interpretieren und damit argumentieren lineare, quadratische, kubische und exponentielle Regressionskurven mit Technologieeinsatz ermitteln und grafisch darstellen sowie deren Parameter im Kontext interpretieren den Korrelationskoeffizienten nach Pearson mit Technologieeinsatz ermitteln, interpretieren und damit im Kontext argumentieren Erwartungswert μ und Standardabweichung σ der Normalverteilung berechnen

28 28 10 Kompetenzliste zu Cluster 9 1 Zahlen und Maße B9_1.1 Verknüpfungen von Mengen (Durchschnitt, Vereinigung und Differenz) ermitteln, interpretieren und begründen sowie Venn-Diagramme erstellen 2 Algebra und Geometrie B9_2.1 B9_2.2 B9_2.3 B9_2.4 Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in Form von Gleichungen modellieren und ihre Lösungen berechnen; Gleichungen in anwendungsbezogenen Sachzusammenhängen interpretieren, beurteilen und erklären lineare Gleichungssysteme anwendungsbezogen aufstellen, lösen, interpretieren und beurteilen Vektoren anwendungsbezogen aufstellen, zweidimensionale Vektoren im Koordinatensystem darstellen, die Länge/den Betrag eines Vektors berechnen; Summe und Differenz von Vektoren sowie Multiplikation mit einem Skalar und einem Skalarprodukt berechnen, geometrisch interpretieren und erklären Informationen aus anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen in allgemeine Dreiecke transferieren; Flächen, Seiten und Winkel berechnen; mit Sinus- und Cosinussatz zweidimensionale Aufgabenstellungen lösen sowie die Ergebnisse interpretieren und begründen 3 Funktionale Zusammenhänge B9_3.1 B9_3.2 B9_3.3 B9_3.4 B9_3.5 empirische Funktionen aus Untersuchungen grafisch darstellen, interpretieren und argumentieren; Aufgabenstellungen damit lösen siehe Kommentar lineare Funktionen und Exponentialfunktionen als Modelle für die Beschreibung von Zu- und Abnahmeprozessen aufstellen, damit Berechnungen durchführen, sie im Sachzusammenhang vergleichen, interpretieren und beschreiben; den Unterschied zwischen linearen Funktionen und Exponentialfunktionen interpretieren und erklären Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften bis zum Grad 4 (Null-, Extremund Wendestellen, Monotonieverhalten) interpretieren und damit argumentieren; Aufgabenstellungen damit lösen anwendungsbezogene Aufgabenstellungen mithilfe arithmetischer und geometrischer Folgen modellieren, lösen, interpretieren und die Wahl der Folge begründen; den Zusammenhang von Funktionen mit Folgen bei der Beschreibung von Zu- und Abnahmevorgängen argumentieren anwendungsbezogene Aufgabenstellungen mithilfe der Logarithmusfunktionen zu den Basen e und 10 modellieren, lösen, grafisch darstellen und beschreiben; den Zusammenhang von Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion als Umkehrfunktion interpretieren

29 29 B9_3.6 B9_3.7 anwendungsbezogene Aufgabenstellungen zu Zu- und Abnahmeprozessen modellieren, lösen, interpretieren und beschreiben Modelle zu anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mit geeigneten Funktionen bilden (Aufstellen einer Funktionsgleichung und Angabe einer Definitionsmenge); anwendungsbezogene Aufgabenstellungen lösen Kommentar B9_3.1: z. B. auch abschnittsweise definierte Funktionen 4 Analysis B9_4.1 Funktionen aus anwendungsbezogenen Kontexten aufstellen ( Umkehraufgaben ) 5 Stochastik B9_5.1 B9_5.2 B9_5.3 B9_5.4 B9_5.5 B9_5.6 Daten aus einer anwendungsbezogenen Untersuchung in Tabellenform angeben oder grafisch darstellen; den Unterschied bei der Bearbeitung von qualitativen und quantitativen Merkmalen erklären; Datenmanipulierbarkeit argumentieren Modelle zu anwendungsbezogenen Untersuchungen mithilfe der beschreibenden Statistik bilden; anwendungsbezogene Aufgabenstellungen lösen, interpretieren und beschreiben, z. B. Mittelwerte und Streuungsmaße berechnen, interpretieren und argumentieren (arithmetisches Mittel, Median, Modus, Standardabweichung, Spannweite, Quartil und Quartilsabstand) Regression und Korrelation von zweidimensionalen Datenmengen erklären, mit Technologieeinsatz bestimmen, interpretieren und Schlussfolgerungen aus den Berechnungen argumentieren Baumdiagramme für anwendungsbezogene Aufgabenstellungen erstellen, interpretieren und erklären den Begriff der Zufallsvariablen erklären und damit Modelle bilden; Verteilungsfunktion und Kenngrößen (Erwartungswert und Varianz) einer Zufallsvariablen bestimmen, interpretieren und argumentieren Binomial- und Normalverteilungen zu anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen aufstellen; anwendungsbezogene Aufgabenstellungen mit Binomial- und Normalverteilungen lösen, interpretieren und beschreiben sowie die Wahl der Verteilung begründen