scinexx.de - Das Wissensmagazin

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2 01 Über uns scinexx.de - Das Wissensmagazin scinexx - sprich ['saineks], eine Kombination aus science und next generation - bietet als Onlinemagazin seit 1998 einen umfassenden Einblick in die Welt des Wissens und der Wissenschaft. Mit einem breiten Mix aus News, Trends, Ergebnissen und Entwicklungen präsentiert scinexx.de anschaulich Informationen aus Forschung und Wissenschaft. Die Schwerpunktthemen liegen in den Bereichen Geowissenschaften, Biologie und Biotechnologie, Medizin, Astronomie, Physik, Technik sowie Energie- und Umweltforschung. Das Internetmagazin spricht alle wissbegierigen User an - ob in Beruf, Studium oder Freizeit. scinexx wurde 1998 als Gemeinschaftsprojekt der MMCD NEW MEDIA GmbH in Düsseldorf und des Heidelberger Springer Verlags gegründet und ist heute Teil der Konradin Mediengruppe mit dem bekannten Magazin Bild der Wissenschaft sowie den Wissensangeboten: wissen.de, wissenschaft.de, scienceblogs.de, natur.de und damals.de.

3 02 Inhalt ÜBER UNS INHALT 03 DIE WUNDERBARE WELT DES PI Geheimnisvolle Eigenheiten einer allgegenwärtigen Zahl 04 IMPRESSUM

4 03 Die wunderbare Welt des Pi Geheimnisvolle Eigenheiten einer allgegenwärtigen Zahl VON NADJA PODBREGAR Pi ist vielleicht die bekannteste und zugleich geheimnisvollste Zahl. Allgegenwärtig in jeder runden oder gebogenen Form, gibt sie den Mathematikern auch heute noch Rätsel auf. Der 14. März ist Pi-Day und feiert diese geheimnisvolle Zahl.

5 ES GEHT NICHT OHNE PI Pum sie kreist, wenn die runden Räder von Auto, Straßenbahn oder i - die allgegenwärtige Naturkonstante Pi ist überall: Wenn wir morgens aufstehen und uns als erstes Kaffee in unsere kreisrunde Tasse gießen, wenn die annähernd kugelförmige Sonne aufgeht und die Erde im Jahresverlauf Bus uns zu unserem Arbeitsplatz befördern ohne Pi geht da kaum etwas. In jedem runden Gegenstand, aber auch in jeder Schwingung und Welle ist die Naturkonstante Pi enthalten. Vordergründig beschreibt Pi zunächst einfach nur das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser das haben wir alle im Mathematikunterricht gelernt. Doch die Bedeutung der Kreiszahl geht weit darüber hinaus: Denn Pi mischt auch in vielen anderen Formeln und physikalischen Grundgesetzen mit. Damit ist sie nahezu unabkömmlich für fast alle Bereiche der Wissenschaft, aber auch des

6 täglichen Lebens: So gäbe es ohne Pi keine Gauß sche Glockenkurve, das vielleicht bekannteste Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Und selbst die DNA-Doppelhelix, die Basis allen Lebens, spiegelt in ihren Windungen noch die Konstante Pi wider. Zwischen Science und Fiction In der Physik könnte man weder die Kreisbewegung noch das Verhalten von Wellen beschreiben und auch die Berechnung der Knicklast, der Belastung, bei der ein Träger oder eine Mauer bricht, wäre ohne Pi unmöglich. In der Welt der kleinsten Teilchen taucht die Kreiszahl bei Superstrings, Wellentheorien und auch in der Heisenberg schen Fast überall in der Natur findet sich Pi SXC Unschärferelation auf. Diese Formel begründet, warum es nicht möglich ist, Eigenschaften von Elektronen oder Photonen zu messen ohne diese dabei zu verändern. Die Bedeutung von Pi geht so weit, dass die Kreiszahl als eine der Botschaften der Menschheit mit Radioteleskopen ins All gesendet wird. Denn als Naturkonstante ist Pi so grundlegend und universell, dass nach Meinung der Astronomen auch andere, fremde Lebensformen diese Zahl erkennen könnten. In der Fiction griff der Schriftsteller Carl Sagan dieses Motiv auf: In seinem Buch Contact, das später mit Jodie Foster verfilmt wurde, ist es diese Zahl, mit der die außerirdische Zivilisation ihre Anleitung zum Bau einer geheimnisvollen Maschine verschlüsselt.

7 IRRATIONAL UND TRANSZENDENT Dauszeichnen. Zwei davon sind heute mathematisch bewiesen und ie bewiesenen Eigenschaften von Pi Was ist das Besondere an Pi? Und warum gibt sie den Mathematikern noch immer Rätsel auf? Letztlich sind es vor allem drei Eigenschaften, die die Kreiszahl damit gesichert. Pi ist irrational Eine Eigenheit der Kreiszahl ist ihre Irrationalität. Das bedeutet, dass Pi, im Gegensatz zu den meisten Dezimalzahlen, nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist. Als Konsequenz hören ihre Dezimalstellen nicht irgendwann auf, sondern setzen sich bis ins Unendliche fort. Dass es überhaupt solche Zahlen gibt, entdeckten schon die alten Griechen. Der Legende nach soll der Mathematiker Hippasos von Metapont sogar für diese Entdeckung gestorben sein:

8 Nachdem er festgestellt hatte, dass die Wurzel aus zwei irrational ist, kam es zum Zerwürfnis mit seinem Lehrer Pythagoras. Als er später im Meer ertrank, galt dies als göttliche Strafe für seinen Frevel. Ob es nun stimmt oder nicht gegen die Erkenntnis, dass es diese seltsamen, unendlich andauernden Zahlen gibt, half das jedenfalls nichts. Euklid veröffentlichte im 4. Jahrhundert vor Christus den Beweis der Irrationalität von Wurzel aus zwei in seinen Elementen, dem bis ins 19. Jahrhundert hinein bekanntesten Lehrbuch der Mathematik. Die Kreiszahl Pi allerdings musste noch bis zum Jahr 1761 warten, bis auch ihre Irrationalität von Johann Heinrich Lambert belegt wurde. Pi: nicht esoterisch, aber transzendent SXC Pi ist transzendent Pi hat unendlich viele Nachkommastellen SXC Auch wenn es so klingt: Transzendenz bedeutet hier nicht, dass Pi in irgendeiner Form esoterisch oder spirituell angehaucht sein könnte. Wenn Mathematiker von Transzendenz sprechen, meinen sie Zahlen, die nicht durch bestimmte algebraische Gleichungen beschreibbar sind. Oder, wie es der Mathematiker Leonhard Euler 1748 in seinem Lehrbuch formulierte: Sie überschreiten [ ] die Wirksamkeit algebraischer Methoden. Mathematisch konkreter gesagt: Es gibt kein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das Pi als Nullstelle hat. Salopp übersetzt heißt das im Prinzip nichts anderes als dass eine Quadratur des

9 Kreises unmöglich ist. Bei diesem klassischen Problem der Geometrie geht es darum, dass auf einem gegeben Kreis ein Quadrat mit genau demselben Flächeninhalt konstruiert werden soll. An dieser Aufgabe versuchten sich seit der Antike immer wieder Mathematiker, aber auch Philosophen und andere mathematische Laien alle vergeblich. Denn mit Lineal und Zirkel ist eine Lösung dieser auf den ersten Blick so einfach erscheinenden Aufgabe nicht möglich, wie der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann 1882 bewies.

10 WIE NORMAL IST PI? Ralle Ziffern und Ziffernblöcke in ihrer Zahlenfolge in absolut gleicher ätsel um die dritte Eigenschaft der Kreiszahl Die dritte große Eigenschaft von Pi gehört zu den bis heute offenen Fragen der Mathematik. Es geht um die Normalität. Normal ist eine Zahl im mathematischen Sinne immer dann, wenn Häufigkeit auftreten, und dies vollkommen zufällig verteilt. Das heißt, keine der Zahlen von 0 bis 9 darf in den Nachkommastellen von Pi häufiger oder weniger häufig vorkommen als eine andere. Selbst vermeintlich ausgefallene Zahlengruppen wie oder dürfen bei einer normalen Zahl nicht seltener auftreten als oder Damit muss theoretisch auch jede beliebige Zahlenkombination, sei es eine Telefonnummer ein Geburtsdatum oder ein in Zahlen übersetzter Satz, irgendwo in Pi enthalten sein. Tatsächlich kommt beispielsweise die Zahlenfolge in

11 den bisher bekannten Nachkommastellen von Pi gleich mehrfach vor, das erste Mal ab der Stelle. Die ersten Ziffern von Pi, , tauchen ebenfalls noch einmal auf, allerdings erst nach der ein billionsten Stelle. Die Bibel in Pi Da die Dezimalstellen unendlich weitergehen, wäre es sogar möglich, dass alle überhaupt in irgendeinem Zusammenhang existierenden Zahlen oder auch umgerechneten Buchstabenkombinationen in Pi enthalten sind. Konsequent zu Ende gedacht heißt das, dass theoretisch sogar alle Texte der Bibel oder die Werke Goethes in codierter Form in Pi zu finden sind. Frei nach dem Prinzip der Sind die Nachkommastellen von Pi wirklich absolut zufällig? MMCD unendlich lang tippenden Affen, die irgendwann alle Werke Shakespeares durch Zufall erzeugen. Rein mathematisch gesehen ist dieses Theorem längst eindeutig bewiesen in der Praxis aber wohl kaum nachvollziehbar. Test der ersten 100 Millionen Dezimalstellen Ob sich tatsächlich irgendwo in Pi sinnvolle Botschaft verbirgt und ob die Zahlenfolge wirklich überall dem Gesetz der Normalität folgt, weiß bis heute niemand. Im Jahr 2005 untersuchten die Physiker Ephraim Fischbach und Shu-Ju Tu von der amerikanischen Purdue Universität die ersten 100 Millionen Stellen von Pi auf ihre

12 Zufälligkeit. Sie verglichen sie zudem mit den Ergebnissen von kommerziell erhältlichen Programmen zur Erzeugung von Zufallszahlen. Tatsächlich konnten die Forscher kein verborgenes Muster oder eine sonstige Regelmäßigkeit in den Dezimalstellen der Kreiszahl entdecken. Zwar schnitten einige der Zufallsprogramme etwas besser ab als Pi, das Fazit lautete aber dennoch: Pi ist in jedem Falle eine gute und geeignete Quelle für Zufallszahlen. Bewiesen ist damit die Normalität der Kreiszahl allerdings noch immer nicht.

13 WIE VIEL PI BRAUCHT DER MENSCH? Asind auch für die komplexesten technischen oder mathematischen uf der Jagd nach den Nachkommastellen Für die meisten Anwendungen der Kreiszahl ist es vollkommen ausreichend, die ersten, uns noch allen geläufigen Stellen 3, mit einzubeziehen. Viel mehr als 20 Stellen Berechnungen nicht nötig. Schon zehn Dezimalstellen von Pi reichen aus, um den Erdradius auf einen Millimeter genau zu berechnen, mit 15 Stellen lässt sich der Radius der Erdumlaufbahn in dieser Genauigkeit abdecken. Und mit nur 39 Nachkommastellen kommt man auf einen Kreis, der der Größe des gesamten sichtbaren Universums 15 Milliarden Lichtjahre entspricht und dennoch von der perfekten Kreisform um nicht mehr als eine Protonenbreite abweicht. 1,24 Billionen Stellen

14 Doch dessen ungeachtet geht die Jagd nach immer genaueren Näherungen von Pi, nach immer mehr Stellen hinter dem Komma ungebrochen weiter. Der derzeitige Rekord liegt bei unvorstellbaren 1,241 Billionen Dezimalstellen. Würde man diese Zahl ausdrucken, würde sie knapp Bücher mit jeweils tausend Seiten füllen. Yasumasa Kanada, Professor an der Universität Tokio brauchte zur Berechnung mit einem extrem leistungsstarken Supercomputer mehr als 600 Rechenstunden. Aber worin liegt der Sinn dieser Für den genauen Erdradius reichen schon wenige Stellen von Pi NASA/MMCD niemals endenden Jagd? Da die Dezimalstellen von Pi unendlich sind, kann auch ihre Berechnung niemals abgeschlossen werden. Sind es einfach nur Ehrgeiz und Spaß an der Freud? Zum Teil wahrscheinlich schon. Der englische Schriftsteller George Bernhard Shaw drückte es so aus: Was wir brauchen sind ein paar verrückte Menschen. Seht nur wohin uns die normalen gebracht haben. Hoffnung auf noch verborgene Muster Aber auf der rein mathematischen Ebene steckt auch die Hoffnung dahinter, vielleicht doch noch Hinweise auf verborgene Muster oder Gesetzmäßigkeiten in den bisher unbekannten Stellen zu entdecken. Denn das wäre ein Beleg dafür, dass Pi doch nicht normal ist bewiesen ist die Normalität der Kreiszahl schließlich noch immer nicht. Einen ganz praktischen Sinn haben die mit ungeheurem Rechenaufwand betriebenen Kalkulationen auf jeden Fall: sie fordern moderner Hard- und Software das Äußerste an Leistung ab und dienen damit auch als guter Test für die Genauigkeit und Geschwindigkeit von neuen Rechnern.

15 VOM 96-ECK ZUM COMPUTERPROGRAMM DWunder: Denn auch in den frühen Kulturen kamen die Menschen um ie Geschichte der Pi-Berechnung Pi - und auch die Suche nach einer möglichst genauen Näherung - ist keineswegs eine Marotte der Neuzeit: Die Bedeutung der Kreiszahl ist schon seit mehr als Jahren bekannt. Kein diese Zahl nicht herum, wollten sie Fehler bei so alltäglichen Tätigkeiten wie der Bereifung eines Wagenrads oder der Volumenberechnung eines Weinfasses vermeiden. Mit dem Schnurmaß Im Nahen Osten zur Zeit des Alten Testaments, aber auch im alten China, begnügte man sich dabei zunächst mit dem Näherungswert 3. In der Bibel, im Buch der Könige, heißt es beispielsweise: Er fertigte ein kreisrundes Becken an, das von einem zum anderen Rand zehn Ellen maß. [ ], eine Schnur von 30 Ellen umspannte es. Doch schon

16 die Ägypter nahmen es da etwas genauer. Im ältesten erhaltenen Rechenbuch der Welt, dem so genannten Rhind Papyrus, findet sich 3,1605 als Wert für die Kreiszahl. Damit waren sie immerhin schon deutlich präziser als ihre hebräischen Nachbarn. Die Babylonier dagegen nutzten 3 plus ein Achtel, also 3,125 als Kreiszahl, in Indien war es 3,0044. Allen diesen Werten ist jedoch gemeinsam, dass sie auf der Basis von Messungen entstanden. Zwei 96-eckige Vielecke als Rechenwerkzeug Die erste rein mathematische Berechnung der Kreiszahl stammt von dem griechischen Mathematiker Archimedes von Syracus, der 287 bis 212 vor Christus lebte. Er näherte sich Pi von zwei Seiten gleichzeitig an: Um einen Kreis konstruierte er ein innenliegendes Vieleck und ein außenliegendes Vieleck und vermehrte ihre Ecken so lange, bis sich beide Formen möglichst eng an die Der Rhind-Papyrus gibt bereits eine Näherung von Pi an rechtefrei Kreislinie anschmiegten. Mit 96 Ecken pro Polygon ermittelte Archimedes so einen oberen Grenzwert von 3,1428 und einen unteren von irgendwo dazwischen musste Pi liegen. Noch weiter kam 480 nach Christus der chinesische Mathematiker Zu Chongzhi, der mit dem gleichen Verfahren Pi bereits auf eine Position zwischen 3, und 3, einengte. Der Name Pi

17 Der Mathematiker Leonhard Euler historisch Nachdem die Mathematiker lange Zeit einfach die Methode des Archimedes weitergeführt hatten, entwickelten verschiedene Gelehrte im 17. Jahrhundert gleich mehrere neue Verfahren der Berechnung. So der englische Mathematiker John Wallis im Jahr 1655, der deutsche Universalgelehrte Gottfried Wilhelm Leibniz im Jahr 1682 und der Mathematiker Leonard Euler. Letzterer kam 1748 in seinem Analysis-Lehrbuch immerhin schon auf 148 Stellen. Auch die Bezeichnung der Kreiszahl mit dem griechischen Buchstaben Pi geht nicht etwa auf die Griechen zurück, sondern auf den aus Wales stammenden Mathematiker William Jones, der diesen Begriff Pi als Kurzform für Perimeter, Umfang, in seinem 1706 erschienenen Mathematik-Lehrbuch verwendete. Durchbruch erst 1996 Alle die bis dahin und auch später noch gebräuchlichen Methoden eigneten sich jedoch noch nicht dazu, schnell und effektiv viele Nachkommastellen der Kreiszahl zu ermitteln. Erst 1996 entwickelten drei Mathematiker, David Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe, eine Summenformel, mit der man eine beliebige Stelle in der Zahlenfolge von Pi ausrechnen konnte, ohne erst alle vorhergehenden Ziffern kalkulieren zu müssen. Auf diese und andere neue Formeln gehen auch die meisten heute gebräuchlichen Computerprogramme zur Pi-Kalkulation zurück.

18 PI IST KULT VMitgliedschaft in einem der zahlreichen Pi-Clubs weltweit wären wir on Pi-Clubs, Pi-Gedichten und anderen Kuriositäten 3, so weit können die meisten von uns die Dezimalstellen von Pi gerade noch rezitieren. Dann allerdings hört es meist auch schon auf. Für die damit leider absolut unterqualifiziert. Denn hier sind mindestens 100 Stellen aus dem Kopf gefragt, bei einigen sogar Stellen. Ihr Motto: Pi fördern, feiern und verbreiten. Viele Leute fragen mich, warum ich so verrückt bin, in meiner Freizeit Pi zu memorieren, erklärt der Amerikaner Benjamin Yang im Forum einer Internetseite für Pi-Enthusiasten. Ich finde es einfach faszinierend, dass mit aller unserer fortgeschrittenen Mathematik wir noch nicht einmal etwas so Einfaches wie das genaue Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser bestimmen können. Ein

19 anderer antwortet auf die Frage nach dem Warum seiner Begeisterung für Pi: Einfach weil es sie gibt. Pi als Gedicht Wie aber merkt man sich diese Menge an völlig zufälligen Zahlen? Die meisten Gedächtniskünstler nutzen dafür spezielle Memotechniken. So bilden sie die Zahlen im Geiste als Wegstrecke mit Haltepunkten ab, oder assoziieren zu jeder Ziffer ein Bild, Wort oder eine Geschichte. Pi als Mosaik vor dem Forschungszentrum Matheon Holger Motzkau/ GFDL Beginn des Gedichts Near a Raven Mike Keith Sehr viel origineller ging Mike Keith zu Werke. Er produzierte das Gedicht Near a Raven, das die ersten 740 Stellen von Pi in Worte übersetzt die Anzahl der Buchstaben jedes Wortes entspricht dabei der entsprechenden Ziffer. Dabei gelingt Keith das Kunststück, den Rhythmus und die Stimmung des als Vorbild dienenden Gedichts von Edgar Allen Poe weitgehend beizubehalten. Inzwischen hat er nach ähnlichem Muster eine Kurzgeschichte geschrieben, die sogar Nachkommastellen von Pi kodiert. Lady in Pi Richard Lawrence, ein weiterer Pi-Enthusiast, wandelte die Pi in Binärcode um und ordnete die resultierende Reihe aus Nullen und

20 Einsen spiralförmig in einem sechseckigen Gitter an. Nachdem er alle Einsen dunkel gefärbt hatte, schienen die hellen Bereiche ein Gesicht zu ergeben. Er füllte die hellen Bereiche jeweils bis zu einer durchgezogenen Grenze aus dunklen Pixeln mit drei verschiedenen Farben auf und enthüllte das leicht verzerrte, aber erkennbare Abbild einer Frau die Lady in Pi. Ein Tag zu Ehren von Pi Ihren Höhepunkt erreichen die Pi-Aktivitäten alljährlich am 14. März genau eine Minute vor 2 Uhr. Warum? Auch hier ist wieder Zahlenspielerei am Werk: In amerikanischer Schreibweise Die Lady in Pi Mike Keith entsprechen Datum und Uhrzeit der Abfolge 3/14 1:59. Initiiert hat den Pi-Day der Physiker Larry Shaw im Jahr 1987 am Exploratorium in San Francisco, dem ersten wissenschaftlichen Mitmachmuseum weltweit. Aus seiner Faszination für Rotationsbewegungen aller Art entsprang die Idee, den Tag des Pi durch besondere Aktionen wie das feierliche Umkreisen einer Plakette mit den ersten hundert Ziffern von Pi und Vorleseaktionen zu begehen. Inzwischen ist die Idee so etabliert, dass sich weltweit Pi-Fans aber auch Institutionen daran beteiligen. Es gibt Pi-Memorier-Wettbewerbe, Kunstwerke mit Pi-Motiv, Vorleseaktionen an ungewöhnlichen Orten und natürlich auch Vorträge über die mathematischen Besonderheiten der Kreiszahl. Selbst in der virtuellen Welt von Second Life wird eine Pi- Day Feier stattfinden.

21 PI - 24 STUNDEN LANG WSystem wiederholenden Stellen als die Herausforderung schlechthin. ettstreit der Pi-Gedächtniskünstler Das Memorieren von Pi ist auch außerhalb der Pi-Clubs längst ein echter Sport geworden. Unter Gedächtniskünstlern gilt die Kreiszahl mit ihren unendlich vielen, sich ohne Den offiziellen Weltrekord im Memorieren hält derzeit der Chinese Chao Lu. Er rezitierte am 20. November 2005 unglaubliche Dezimalstellen und brauchte dafür entsprechend lange: 24 Stunden und vier Minuten dauerte das Aufsagen der Zahlen. Lu gelang damit sowohl der Sprung in das Guinness Buch der Rekorde als auch in die offizielle Pi World Ranking List. Rekord dank japanischer Wortspiele Der Japaner Akira Haraguchi soll inzwischen sogar Stellen memoriert haben, sein Rekord gilt aber noch als unbestätigt. Er hat

22 dabei vermutlich eine Memotechnik genutzt, die bereits sein Landsmann Hideaki Tomoyori, der den Rekord von 1987 bis 1995 inne hatte, entwickelt hat. Bei dieser Technik merkte sich Tomoyori für jeweils ein Ziffernpaar ein japanisches Wort, das dem Namen dieser Zahl ähnelte. Aus fünf dieser Wörter bildete er eine Geschichte, jede Geschichte wiederum merkte er sich über ein Schlüsselwort. Diese Schlüsselworte kombiniert der Japaner dann wieder zu einer Geschichte. Von der Matrix zum Everest Doch es geht noch anspruchsvoller: Im Matrix-Test werden die Nachkommastellen von Pi in Reihen und Blöcke aufgeteilt. Die Kandidaten müssen die Ziffern einer beliebigen Reihe auf Zuruf rezitieren können oder auch die Zahl an einer bestimmten Position in dieser Reihe benennen können. In anderen Tests wird eine Ziffernfolge vorgegeben und entweder deren Position in Pi oder die Ziffern der angrenzenden Stellen müssen benannt werden. Den Weltrekord im so genannten Everest of Memory -Test hält zurzeit Jan Harms aus Hannover. Ihm gelang es im Juli 2007, zu willkürlich aus den ersten zehntausend Stellen gewählten 50 Ziffernfolgen à fünf Ziffern jeweils die fünf davor und dahinterstehende Stellen zu benennen. Mit memorierten Ziffern ist Harms seitdem auch der deutschen Rekordhalter im Pi-Memorieren.

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