Versuchsprotokoll. Holografie

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1 Versuchsprotokoll Holografie Versuchsdatum: Versuchsbetreuer: Dr. Steffen Hackbarth Institut für Physik, Humboldt-Universität zu Berlin Sebastian Bommel (514544) Matthias Reggentin (514620) Gruppe: B08W-08 Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene WS08/09 Modul P8

2 Inhaltsverzeichnis 1 Zielstellung 2 2 Kohärenzeigenschaften des HeNe-Lasers Kohärenzlänge l C,spektrale Bandbreite λ und Frequenzbandbreite f Ergebniseinschätzung Bestimmung der Verbiegung einer Metallplatte Theoretische Betrachtungen zur Berechnung des Phasenbildes Ergebniseinschätzung A Intensitätsverteilungen für d = 2cm, d = 6cm und d = 10cm 9

3 1 Zielstellung Die Holografie ist eines der faszinierensten Phänomene der Physik und findet besonders in der Materialprüfung Anwendung. In diesem Versuch sollte die Durchbiegung einer Platte mit Hilfe der Holografie (Phasen-Schiebe-Methode) bestimmt werden. Da die Holografie bzw. das Hologramm auf Interferenzerscheinungen beruht, wurden zunächst die Kohärenzeigenschaften des verwendeten HeNe-Lasers mittels eines Michelson-Interferometers ermittelt. Da die Bestimmung der Kohärenzeigenschaften des Lasers und die Bestimmung der Durchbiegung der Platte mit der Holografie zwei unabhängige Experimente darstellen, wird im Folgenden die Auswertung beider Experimente auch unabhängig voneinander dargestellt. 2 Kohärenzeigenschaften des HeNe-Lasers Michelson-Interferometer Abbildung 1: Schema eines Michelson-Interferometer Das Michelson-Interferometer wurde zur Bestimmung der Kohärenzeigenschaften des verwendeten HeNe-lasers genutzt. Das Michelson-Interferometer wie auch der experimentelle Aufbau der Holografie waren vibrationsarm auf einem Experimentiertisch aufgebaut. Der Experimentiertisch war zur Vermeidung von Erschütterungen auf Reifen gelagert. Der sich ausbreitende Laserstrahl wurde mit Hilfe eines Strahlteilers auf den beweglichen Spiegel 2 und den festen Spiegel 1 gelenkt. Die beiden Teilstrahlen wurden mit einer Linse aufgeweitet und konnten so auf einer Wand dargestellt werden und dort zur Überlagerung gebracht werden. Durch die Verschiebung des beweglichen Spiegels 2 konnte die abnehmende Intensität des Kontrastes untersucht werden. Dafür wurden die auf die Wand geleiteten Strahlen bzw. die Überlagerungsmuster der beiden Teilstrahlen mit Hilfe einer CCD-Kamera aufgenommen und mit dem Programm fringes in eine Intensitätskurve umgewandelt. Zunächst wurde die Empfindlichkeit des experimentellen Aufbaus gegenüber äußeren Einflüssen untersucht und begutachtet. Es wurde festgestellt, dass der Aufbau durch die Lagerung auf Reifen aufkommende Erschütterungen, wie z.b. Herumlaufen, gut dämpfte. 2

4 Des Weiteren war ein Zittern des Interferenzbildes zu beobachten, sobald man laut redete, den Experimentiertisch berührte oder die Tür zuschlug. Daher ist zu vermuten, dass der experimentelle Aufbau negativ auf durch die Luft übertragene Schwingungen reagiert. Außerdem war eine gewisse Temperaturempfindlichkeit zu erkennen. Als man den beweglichen Spiegel 2 des Michelson-Interferometers einstellte, kam man mit der warmen Hand in die Nähe des Aufbaus und beeinflusste so auch die Temperatur des Experimentiersystems. Sobald man die Hand wieder entfernte, war ebenfalls ein Zittern des Interferenzbildes zu beobachten. 2.1 Kohärenzlänge l C,spektrale Bandbreite λ und Frequenzbandbreite f Der Kontrast eines Interferenzmusters lässt sich durch K = I max I min I max + I min (1) berechnen. Die maximalen und minimalen Intensitäten des Interferenzmusters können aus den Intensitätskurven abgelesen werden. Die jeweiligen Fehler der minimalen und maximalen Intensität ergeben sich aus der Fluktuation der Datenpunkte in diesem Bereich. Die Intensitätsverteilungen für d = 2cm, d = 6cm und d = 10cm sind beispielhaft im Anhang einzusehen. Es ist zu beobachten, dass es für hohe d zu einer Schwebung kommt, was wahrscheinlich daran liegt, dass mehrere Moden des Lasers anschwingen. Verschiebung d[cm] I max [rel.einheiten] I min [rel.einheiten] Kontrast ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± 0.09 Die Kohärenzlänge l C ist defniert als der Gangunterschied, bei dem der Kontrast auf e 1 abgenommen hat. Da der Kontrast exponentiell mit der Verschiebung d des beweglichen Spiegels 2 abnimmt, kann man nun durch einen exponentiell abnehmenden Fit ([1, S.6]) die Kohärenzlänge l C aus dem Kontrast ermitteln. ( K(x) = exp 2d ) l C 3

5 Für die grafische Darstellung wurde der relative Kontrast gebildet. Der Wert für d = 4cm wurde für den Fit aus der Datenmenge entfernt, da er eine zu große Abweichung zu den anderen Werten aufwies. Auf die Fehlerbalken für die Verschiebung d wurde aufgrund der Geringfügigkeit verzichtet. Die aus dem Fitparameter erhaltende Kohärenzlänge beträgt Abbildung 2: Kontrast in Abhängigkeit der Verschiebung d l C = (23.7 ± 1.4)cm. Aus dieser fundamentalen Kohärenzeigenschaft des Lasers kann man nun die spektrale Bandbreite λ und die Frequenzbandbreite f berechnen, wobei λ = nm: λ2 λ = l C 2π f = c l C 2π = (0.27 ± 0.02)pm = (200 ± 10)MHz Die von uns berechneten Kohärenzlänge l C entspricht dem erwarteten Wert. Im Fall von HeNe-Lasern liegen die Kohärenzlängen einfacher Realisierungen (Multimodenlasern) im Bereich der Resonatorlänge, also ca cm [2]. 2.2 Ergebniseinschätzung Mit einem relativen Fehler von ca. 6% sind die Kohärenzlänge, die spektrale Bandbreite und die Frequenzbandbreite recht genau. Der grafisch ermittelte Wert für die Kohärenzlänge entspricht dem erwarteten Wert von cm. Er würde sich noch genauer bestimmen lassen, wenn man weitere Messwerte für kleineren Intervalle aufnehmen würde. Aufgrund des erhaltenden Ergebnisses für die Kohärenzlänge l C, welche ein wichtiger Parameter für die Interferenz ist und die Interferenz maßgebend für die Holografie ist, kann man sagen, dass der Laser ein sehr guten Ausgangspunkt für Holografieuntersuchungen darstellt. 3 Bestimmung der Verbiegung einer Metallplatte Die Versuchsanordnung der Holografie wurde durch den Versuchsbetreuer aufgebaut. Ausgehend von einem HeNe-Laser wurde der Laserstrahl durch einen Strahlteiler aufgeteilt, damit die für die Holografie notwendigen Objekt-und Referenzwellen entstehen. Bei der Ausrichtung der Objekt- und Referenzwelle ist auf eine optimale Ausleuchtung der Photoplatte und des Objektes (u.a. kleines Teekänchen) zu achten. Das geschieht mit einem 4

6 komplexen Spiegel- und Linsensystem. Des Weiteren ist der experimentelle Aufbau so konzipiert, dass Streulicht, z.b. durch den Laser, minimiert wird. Zur Minimierung der Intensit atsschwankung der Objektwelle wurden die Intensit aten von Referenz- und Objektwelle in einem Verh altnis von 4:1 eingestellt. Vor dem Laser wurde eine automatische Blende bzw. Verschluss gestellt, womit die genaue Belichtungszeit von 2.2s garantiert werden konnte. Zur Erzeugung des Hologramms wurde der Raum zun achst abgedunkelt und eine Photoplatte eingesetzt. Danach wurden einige Minuten gewartet, um einen schwinungsfreien und thermisch stabilisierten Versuchsaufbau zu gew ahrleisten. Nachdem das Hologramm photo-chemisch behandelt wurde, war es durch Repositionierung am Ort der Aufnahme m oglich, die Objekte durch den Referenzstrahl originalgetreu darzustellen. Die Darstellung wurde mit Hilfe einer CCD-Kamera aufgenommen und auf einem Fernseher dargestellt. Nach der Reposistionierung wurde die Mitte der Platte mit einer Punktlast belastet und es wurden Interferenzringe sichtbar. Danach sollte die Phasenverschiebung um 2π bestimmt werden. Dazu musste die erfor- Abbildung 3: Rekonstruktion des Objektes derliche Spannung bestimmt werden, mit der man ein Piezoversteller im Strahlengang der Referenzwelle betreiben musste, um die Phasenverschiebung zu erreichen. Dazu wurden sechs Messwerte aufgenommen und es wurde eine Spannung von U = 193±19 V bestimmt. Nun wurde dieser Wert gedrittelt und drei um 2Π/3 phasenverschobene Aufnahmen in den Computer eingelesen und danach konnte das Phasenbild berechnet werden. 5

7 3.1 Theoretische Betrachtungen zur Berechnung des Phasenbildes Die Intensitätsverteilung auf der Platte lässt sich mit dem Ansatz I n (x, y) = a(x, y) + b(x, y) cos(δ(x, y) + Φ n (x, y)) bestimmen, wobei a(x, y) und b(x, y) alle möglichen Störterme, δ die Phasenverteilung symbolisieren und Φ n sich über Φ n = (n 1) 2π 3, n = 1, 2, 3 bestimmen lässt. Es sind also mindestens drei Intensitätsmessungen notwendig, um die drei Unbekannten a(x, y), b(x, y) und δ(x, y) zu bestimmen. I 1 = a + b cos(δ) I 2 = a + b cos(δ + 2π 3 ) I 3 = a + b cos(δ + 4π 3 ) Mit Hilfe des Additionstheoremes cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) kann das Gleichungssystem zu I 1 = a + b cos(δ) I 2 = a + b( 1 2 cos(δ) 3 2 sin(δ)) I 3 = a + b( 1 2 cos(δ) sin(δ)) umgeformt werden. Nun bildet man I 2 + I 3 und I 3 I 2, womit sich I 1 = a + b cos(δ) I 2 + I 3 = 2a b cos(δ) I 3 I 2 = 3b sin(δ) ergibt. Die Funktion a lässt sich nun durch Bildung von 2I 1 I 2 I 3 eliminieren. 2I 1 I 2 I 3 = 3b cos(δ) (2) I 3 I 2 = 3b sin(δ) (3) Dividiert man nun 3 durch 2 und stellt dieses nach δ um, erhält man die gesuchte Formel für das Phasenbild: ( ) 3 I 3 I 2 δ = arctan (4) 2I 1 I 2 I 3 Das Computerprogramm fringes nutzt die Beziehung 4, um das Phasenbild zu berechnen. 6

8 Abbildung 4: Phasenbild Aus der Anzahl der Ringe N kann die Durchbiegung w bestimmt werden: w = N λ 2 cos ( ) α (5) 2 Der Winkel α/2 wurde aus der Versuchsanordnung abgeschätzt und beträgt (17 ± 3). Die Anzahl der Ringe N beträgt 13 ± 1 und die Wellenlänge beträgt λ = nm und wird als fehlerfrei angenommen. Diese Annahme wird durch die geringe spektrale Bandbreite bestätigt. Aus den gegebenen Werten ergibt sich die Verbiegung w zu w 1 = (4300 ± 300)nm Mit dem Phasenbild (4) kann man über das Programm fringes ein Deformationverlauf berechnen lassen, in dem das Maximum der Durchbiegung entspricht. Aus der Grafik liest man ab: Abbildung 5: Deformationsverlauf der Durchbiegung w 2 = (4000 ± 100)nm 7

9 Berücksichtigt man nun noch den Betrachtungswinkel der Kamera und teilt w 2 durch cos(α/2) erhält man: w 3 = (4200 ± 100)nm (6) Die nun erhaltenden Werte w 2 und w 3 gleichen sich und somit kann man sagen, dass die gemachten Annahmen gerechtfertigt sind. Bildet man nun das gewogene Mittel, erhält man das Endergebnis w: 3.2 Ergebniseinschätzung w = (4210 ± 90)nm Aufgrund der erhaltenden Ergebnisse für die Durchbiegung w kann man mit dem Verlauf des Versuches sehr zufrieden sein. Die beiden Verfahren zur Bestimmung der Durchbiegung lieferten die gleichen Ergebnisse. Eine noch genauere Bestimmung wäre durch eine genauere Bestimmung des Winkels α möglich. Literatur [1] Anleitung zum F-Praktikum- Versuch D3 - Holographie, Dr. G.Wernicke [2] Helium-Neon-Laser - Wikipedia, , Uhr 8

10 A Intensit atsverteilungen fu r d = 2cm, d = 6cm und d = 10cm (a) Interferenzmuster auf der Wand f ur d = 2cm (b) Intensit atsverteilung f ur d = 2cm (c) Interferenzmuster auf der Wand f ur d = 6cm (d) Intensit atsverteilung f ur d = 6cm (e) Interferenzmuster auf der Wand f ur d = 10cm (f) Intensit atsverteilung f ur d = 10cm 9