Abb. 1: Stereografische Projektion

Transkript

1 Hans Walser, [ ] Stereografische Projektion 1 Ausgangslage Wir projizieren die Erde (Geodaten) vom Nordpol aus auf die Tangentialebene im Südpol. Die Abbildung 1 zeigt die Projektion exemplarisch für zwei partikuläre aber nicht spezielle Punkte, die Südspitze Indiens und die Nordspitze Madagaskars. Abb. 1: Stereografische Projektion Der Projektionsstrahl geht vom Nordpol aus durchs Innere der Erdkugel bis zum abzubildenden Punkt, dann außerhalb der Erdkugel weiter bis zur Projektionsebene. Die stereografische Projektion ist also ein Sonderfall einer Zentralprojektion. Projektionszentrum ist in unserem Beispiel der Nordpol.

2 Hans Walser: Stereografische Projektion 2 / 8 Die Abbildung 2 zeigt die Bildebene (Ausschnitt). Abb. 2: Projektionsebene

3 Hans Walser: Stereografische Projektion 3 / 8 Die Abbildung 3 zeigt die Projektionsebene entzerrt (Draufsicht). Abb. 3: Entzerrte Situation Am Beispiel von Afrika (wo ist Afrika) sehen wir, dass die Situation spiegelbildlich ist gegenüber unseren Sehgewohnheiten. Warum ist das so?

4 Hans Walser: Stereografische Projektion 4 / 8 Wir spiegeln also und drehen noch ein bisschen, bis wir die uns gewohnte Situation haben (Abb. 4). Abb. 4: Gewohnte Situation

5 Hans Walser: Stereografische Projektion 5 / 8 2 Eigenschaften der stereografischen Projektion Im Folgenden zwei zentrale Eigenschaften der stereografischen Projektion. Die Beweise sind aufwändig und werden hier weggelassen. Man kann aber, wenn man eine der beiden Eigenschaften bewiesen hat, die zweite daraus leicht herleiten. Die stereografische Projektion ist winkeltreu (konform). Die stereografische Projektion bildet Kreise entweder auf Kreise oder auf Geraden ab. Man fasst Kreise und Geraden zusammen unter dem Begriff Möbiuskreise. Vorstellung dahinter: Eine Gerade ist ein Kreis mit der Krümmung null und dem Radius unendlich. Die stereografische Projektion bildet Kreis auf Möbiuskreise ab. 3 Reichweite der stereografischen Projektion Mit der stereografischen Projektion kann jeder Kugelpunkt mit Ausnahme des Nordpols abgebildet werden. Die Bilder von Punkten in der Nähe des Nordpols sind sehr weit außen. Die Abbildung 5 zeigt die stereografische Projektion des gesamten Landanteils (Festland, inklusive Inseln, exklusive Meer) der Erde. Abb. 5: Landanteil

6 Hans Walser: Stereografische Projektion 6 / 8 Der äußerste Kreis ist der Breitenkreis für 75 N. Was außerhalb liegt, ist näher am Nordpol. Die Verzerrungen sind gigantisch: Grönland, das am nächsten an den Nordpol heranreicht, erscheint größer als Afrika, Asien und Europa zusammen. 4 Andere Disposition Sehr oft wird das Zentrum der Zentralperspektive auf dem Äquator gewählt und die Projektionsebene entsprechend gegenüber. In der Abbildung 6 ist das Projektionszentrum auf dem Äquator bei 180 E. Es ist nur ein Ausschnitt des Bildes angegeben. Abb. 6: Stereografische Projektion Elementargeometrisch haben wir folgende Situation: Die Meridiane bilden ein Kreisbüschel durch die beiden Pole. Die Breitenkreise bilden ein Büschel von Apolloniuskreisen zu den beiden Polen. Die Kreise der beiden Kreisbüschel schneiden einander orthogonal.

7 Hans Walser: Stereografische Projektion 7 / 8 In der Abbildung 7 ist das Projektionszentrum auf dem Äquator bei 0 E. Wie heißt der gewaltige rote Erdteil, der am linken und oberen Rand ins Bild guckt? Wo ist das Kap der guten Hoffnung? Abb. 7: Stereografische Projektion

8 Hans Walser: Stereografische Projektion 8 / 8 Sehr oft beschränkt man sich auf die beiden in den Abbildungen 6 und 7 angegebenen zentralen blauen Kreise (Abb. 8). Wir haben es jetzt mit zwei Karten zu tun, die insgesamt die ganze Erdkugel abbilden. Bereits Rumold Mercator, der Sohn von Gerhard Mercator, hat die Erdkugel auf diese Weise dargestellt. Er hat aber eine andere Disposition der Projektionszentren auf dem Äquator gewählt, so dass die alten Erteile Afrika, Asien und Europa auf der einen Scheibe und die neuen Erdteile Amerika und Australien auf der anderen Scheibe erscheinen. Abb. 8: Stereografische Doppelkarte Websites Geodaten ( ) Rumold Mercator ( )