Ebene Schnitte einer Kugel

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1 Ebene Schnitte einer Kugel Eine Kugel Φ(M,r) und eine Ebene Σschneiden sich in einem Kreis k(σ, M k, r k ), falls der Abstand d des Kugelmittelpunkts von Σ kleiner r ist. Φ Φ k r=r k d M k r k M=M k k M r Σ Σ M Σ: k heißt Großkreis (d=0) M Σ: k heißt Kleinkreis (0<d<r)

2 Normalprojektion eines Groß- bzw. Kleinkreises u 2 '' C'' C'' k'' M'' u 1 '' u 1 '' u 2 '' k'' M k '' M'' D'' D'' s 2 =Σ'' s 2 =Σ'' x 12 x 12 B' h' B' u 2 ' C' M' D' s 1 u 2 ' C' M' M k ' D' s 1 u 1 ' k' u 1 ' k' A' A'

3 Normalprojektion eines Großkreises

4 Normalprojektion eines Groß- bzw. Kleinkreises Konstruktionsprotokolle

5 Kugelkoordinaten

6 Gradnetz der Erdkugel Der Erddurchmesser mit Nord- und Südpol fällt mit der Rotationsachse zusammen. Die zugehörige Polare heißt Äquator. Das Gradnetz besteht aus allen Großkreisen durch die Nord- und Südpol, den Längenkreisen, dem Äquator und allen Kleinkreisen, deren Ebene parallel zur Äquatorebene ist, den Breitenkreisen. Ein halber Längenkreis zwischen den Polen wird Meridian genannt N N S 90 0 Äquator Nullmeridian durch Greenwich 60 S

7 Kartenprojektionen Wie drücke ich die Schale einer Apfelsine in eine Ebene, ohne dass diese einreißt? Seit dem Abrücken der Menschheit von dem Erdkörpermodell einer flachen Scheibe ist dies die konstituierende Grundfrage der gesamten Kartennetzentwurfslehre. Eine mögliche Antwort: 1. Glühbirne in die Mitte der Apfelsine. 2. Das Ding auf eine Projektionsebene drauflegen. 3. Licht anmachen. Das Ergebnis heißt gnomonische Azimutalprojektion, ist eingermaßen brauchbar und beweist zumindest, dass es lohnt, sich hierüber weitere Gedanken zu machen. Was allerdings nicht geht Eine Abbildung bei der alle Strecken auf der Kugeloberfläche ihre Länge in der Ebene behalten. Wer dennoch glaubt, ein derartiges perpetuum mobile der mathematischen Kartographie gefunden zu haben: Schnell zum Patentamt Dr.-Ing. Rolf Böhm Ingenieurbüro für Kartographie Kartographischer Verlag

8 Kartenprojektionen Die Bildebene Π ist die Tangentialebene an die Kugel in einem Punkt P. Das Projektionszentrum Z liegt auf der Geraden MP, der Normalen zu Π durch P. Der Bildpunkt R eines beliebigen Kugelpunkts R ist damit der Schnittpunkt des Projektionsstrahls ZR mit der Bildebene Π. Π P R Man unterscheidet: M R Polarprojektion P ist der Nord-oder Südpol Äquatorprojektion P liegt auf dem Äquator Meridianprojektion sonst Z

9 Kartenprojektionen Um das Konzept der Kartenprojektion zu verstehen, ist es hilfreich, sich einen Globus mit einer Lichtquelle vorzustellen. Diese Lichtquelle projiziert die Punkte, Linien und Flächen des Globus auf die Oberfläche eines Hilfskörpers, die sich einfach in die Ebene abrollen lässt. Als Hilfskörperkann man entweder eine Ebene, einen Kegell, einen Zylinderoder einen anderen Körper nutzen. Grundsätzlich kann man alle Kartenprojektionen nach der Art des genutzten Hilfskörpers unterscheiden. Schließlich ist es von Bedeutung, ob die Hilfsfläche modellhaft den Globus berührt oder schneidet. Azimutalprojektion Hilfskörper: Ebene Kegelprojektion Hilfskörper: Kegel Zylinderprojektion Hilfskörper: Zylinder z.b. Mercartor-Projektion Quelle: Wikipedia &

10 Orthographische Projektion (ZP= ) P N S Die orthographische Projektion kann theoretisch bis zur Darstellung einer Halbkugel verwendet werden. Bei der im Bild dargestellten Polarprojektion werden die Breitenkreise längentreu abgebildet. Z Γ'=x 12 N' Im Allgemeinen ist die Orthographische Projektion weder längen-noch flächen-bzw. winkeltreu. Die Bilder von Längen-oder Breitenkreisen sind im Allgemeinen Ellipsen. Sie wird zur anschaulichen Darstellung der Erdkugel, sowie zur Darstellung anderer Himmelskörper (Mond, Planeten) verwendet, da sie den Himmelskörper so darstellt, wie er im Weltraum (aus großer Entfernung) zu sehen wäre. S'

11 Stereographische Projektion (ZP=2r) P Z Γ' N N' Im Gegensatz zur orthographischen Projektion kann bei diesem Verfahren ein Gebiet abgebildet werden, das größer als die Halbkugel ist. Im Allgemeinen ist die stereographische Projektion wiederum weder längen-noch flächentreu. Aber sie ist winkeltreuund damit auch kreistreu, d.h. alle Bilder von Groß-oder Kleinkreisen sind wiederum Kreise oder Geraden. Sie wird u. A. wegen der Winkeltreue für Sternenkarten verwendet S'=O'

12 Gnomonische Projektion (ZP=r) P Z N Bei der im Bild dargestellten Polarprojektion kann der Äquator nicht mit abgebildet werden, d.h. es kann nur ein Gebiet projiziert werden, dass kleiner als die Halbkugel ist. Diese Projektion ist wieder weder längennoch flächen-bzw. winkeltreu. Aber die Bilder von Großkreisensind immer Geraden. Γ' N' O'