Kartografie I. Hans Walser. Kartenprojektionen Lernumgebung

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1 Kartografie I Hans Walser Kartenprojektionen Lernumgebung

2 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung ii Inhalt Parameterdarstellung der Kugel... 2 Geodätische Linien... 3 Kegelprojektion: Variante mit zwei Breitenkreisen... 4 Grenzübergang Kegelabwicklung Verzerrungsellipsen Flächentreue zylindrische Karten Sinuskurve in der Karte von Archimedes Vordere Halbkugel Gnomonische Projektion Flächentreues Bild (Lambert) Verzerrungsellipsen?... 2 Maßstäbliche Karte Maßstäbe Maßstäbe Entwurf von Bonne... 8 Winter 2005/06 Probeausgabe Winter 2006/07 Ergänzungen Herbst 2007 Ergänzungen Herbst 2008 Erweiterung Herbst 2009 Erweiterung Herbst 200 Erweiterung Frühjahr 203 Kleine Änderung Herbst 203 Kürzung. Grafische Überarbeitung Herbst 204 Technische Überarbeitung Herbst 205 Technische Überarbeitung Herbst 207 Kleine Ergänzung last modified: 0. Juli 207 ETH Zürich Institut für Kartografie und Geoinformation (IKG) Stefano-Franscini-Platz 5 CH-8093 Zürich Hans Walser

3 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung Parameterdarstellung der Kugel Wie kann die Einheitskugel mit der geographischen Breite ϕ und der geographischen Länge λ parametrisiert werden? Ergebnis Parameterdarstellung: x ϕ, λ ( ) = 2 Geodätische Linien cos( ϕ)cos( λ) cos( ϕ)sin( λ) sin( ϕ) Was sind die geodätischen Linien auf einem Zylinder? Antwort Mantellinien, Querschnittkreise, Schraubenlinien., ϕ π 2, π 2, λ [ π,π] 3 Kegelprojektion: Variante mit zwei Breitenkreisen In unserem ersten Beispiel zur Kegelprojektion war der Kegel durch die Spitze als Bild des Nordpols und durch einen längentreu abgebildeten Breitenkreis bestimmt. Wir variieren nun die Situation, indem wir den Kegel durch zwei längentreu abzubildenden Breitenkreise (für ϑ = ϑ 0 und ϑ = ϑ ) definieren. Dann wird der Nordpol natürlich nicht mehr auf die Spitze des Kegels abgebildet, sondern, wie der Südpol, auf einen Querschnittkreis des Kegels. Die zu ϑ = ϑ 0 und ϑ = ϑ gehörenden Breitenkreise auf der Kugel haben die Radien r 0 = sin( ϑ 0 ) und r = sin( ϑ ); dies sind natürlich auch die Radien der zugehörigen Querschnittkreise des Kegels. Da nun die Poldistanz ϑ auf den Mantellinien des Kegels abgetragen werden soll, ergibt sich für den halben Öffnungswinkel ω 0 des Kegels: ( ) = sin ϑ sin ω 0 ( ) sin ( ϑ 0 ) ϑ ϑ 0 Beispiel: Für ϑ 0 = 60 und ϑ = 75 erhalten wir ω 0 =

4 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 2 T 0 = 0 Bild des Nordpols sin( 0 ) sin( ) = 0 = = Bild des Südpols Achsenschnitt des Kegels mit ϑ 0 = 60 und ϑ = 75 Wir können diesen Kegel nicht mehr in einen direkten räumlichen Bezug zur Kugel bringen. Frage: Warum können wir diesen Kegel nicht mehr in einen direkten räumlichen Bezug zur Kugel bringen? Antwort Auf der Kugel ist die Meridiandifferenz Δ zwischen den zu ϑ = ϑ 0 und ϑ = ϑ gehörenden Breitenkreisen Δ = ϑ ϑ 0 ; dies ist eine Bogenlänge. Auf dem Kegel wird ϑ auf den Mantellinien abgetragen, die Differenz Δ = ϑ ϑ 0 erscheint also als Streckenlänge. Diese Strecke kann nicht Sehne eines Bogens gleicher Länge sein. Die zu ϑ = ϑ 0 und ϑ = ϑ gehörenden Breitenkreise auf der Kugel haben einen kleineren vertikalen Höhenunterschied als die entsprechenden Querschnittkreise auf dem Kegel. 4 Grenzübergang Kegel für ϑ 0 = 60, ϑ = 75, mit Großkreisbildern Was geschieht bei der Kegelprojektion mit zwei Breitenkreisen beim Grenzübergang ϑ ϑ 0?

5 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 3 Antwort Der Kegel wird zum Berührkegel, der die Kugel im Breitenkreis für ϑ = ϑ 0 berührt. Wir haben also wieder einen direkten räumlichen Bezug des Kegels zur Kugel. Für den halben Öffnungswinkel ω 0 des Kegels erhalten wir: sin( ω 0 ) = lim Es ist also ω 0 = π 2 ϑ 0 = ϕ 0. 5 Kegelabwicklung sin( ϑ ) sin ϑ 0 ϑ ϑ 0 ( ) = si n ϑ ϑ ϑ 0 0 ( ) = cos( ϑ 0 ) Welchen Scheitelwinkel σ 0 hat der abgewickelte Mantel eines Kegels mit dem gegebenen halben Öffnungswinkel ω 0? Antwort σ 0 = 2πsin( ω 0 ). Beispiel: Für ϑ 0 = 60 und ϑ = 75 erhielten wir ω 0 = Damit ist σ 0 = 2πsin( ω 0 ) Verzerrungsellipsen Netz für ϑ 0 = 60, ϑ = 75, mit Großkreisbildern Wie verhalten sich die Verzerrungsellipsen bei der flächentreuen Karte nach Archimedes/Lambert? Antwort Auf dem Äquator haben wir Kreise, deren Radius wir auf Eins normieren. Dann gilt für die geografischen Breiten ±ϕ folgendes: Lange Halbachse a =, kurze Halbachse cos( ϕ) b = cos( ϕ). Alle Verzerrungsellipsen haben also denselben Flächeninhalt (folgt aus der Flächentreue).

6 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 4 = 60 = 30 = 0 Die Verzerrungsellipsen haben denselben Flächeninhalt 7 Flächentreue zylindrische Karten Ein flächentreuer Zylinderentwurf kann geometrisch sehr einfach realisiert werden. Wir legen einen Zylinder der Höhe 2 um die Kugel und projizieren waagerecht von der Erdachse nach außen. Diese Idee geht auf ARCHIMEDES zurück. LAMBERT hat dann die differenzialgeometrischen Grundlagen dazu geliefert. N S Geometrisches Vorgehen: Waagerecht nach außen projizieren Flächentreue Karte nach ARCHIMEDES / LAMBERT. Verzerrungsellipsen Wie wir aus den Verzerrungsellipsen erkennen, ist diese Karte genau am Äquator auch winkeltreu. Wie muss diese Karte modifiziert werden, damit sie auf dem Breitenkreis für die geografische Breite φ winkeltreu wird? Wie muss das geometrische Projektionsverfahren modifiziert werden?

7 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 5 Bearbeitung Wenn wir die Karte in Ost-West-Richtung zusammenpressen (oder, was auf dasselbe herauskommt, in Nord-Süd-Richtung auseinander ziehen) gibt es in der nördlichen und südlichen Hemisphäre je eine geografische Breite, bei der die Verzerrungsellipsen zu Kreisen werden, die Karte also winkeltreu wird. Da in der Karte nach Archimedes / Lambert die Verzerrungsellipsen die lange Achse a = und die kurze Achse b = cos φ cos( φ) ( ), also das Achsenverhältnis a b = cos 2 ( φ), haben, müssen wir in horizontaler Richtung mit dem Faktor cos 2 ( φ) arbeiten, um einen Kreis zu erhalten. Für die geometrische Realisation müssen wir den Zylinderradius mit dem Faktor cos 2 φ ( ) verkürzen. Dies kann gemäß Skizze gemacht werden. N φ S Schmaler Zylinder Beachtenswert ist dabei, dass die beiden Fixpunktkreise der Projektion nicht die geografische Breite φ haben. Behrmann ( ) = 3 4 Für φ = 30 ist cos 2 30 ; wir erhalten wir die Karte von Walter Emmerich Behrmann ( ). Sie ist winkeltreu für 30 N und 30 S. Karte von Behrmann, 90

8 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 6 N 30 S Zylinder für die Karte von Behrmann Gall-Peters ( ) = 2 Für φ = 45 ist cos 2 45 ; wir erhalten wir die Karte von Gall-Peters (James Gall, , und Arno Peters, ). Sie ist winkeltreu für 45 N und 45 S. Karte von Gall-Peters N 45 S Zylinder für die Karte von Gall-Peters 8 Sinuskurve in der Karte von Archimedes Die Ausmaße der Karte nach ARCHIMEDES / LAMBERT lädt ein, genau eine Sinuskurve einzupassen. Diese Sinuskurve ist aber nicht das Bild eines Großkreises. Hingegen hat

9 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 7 sie die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie entlang der Diagonalen von Netzrechtecken läuft. Wie sieht diese Kurve auf der Kugel aus? Antwort Einpassen einer Sinuskurve. Spitzen in den Polen Die Kurve hat im Nordpol (und im Südpol) eine Spitze. 9 Vordere Halbkugel Spitzen in den Polen Wir bilden die vordere Halbkugel φ π 2, π 2, λ π 2, π 2 auf die Tangentialebene im Punkt ( 0,0) ab. Die Tangentialebene habe die horizontalen Koordinaten x und die vertikalen Koordinaten y. 9. Gnomonische Projektion Zentralprojektion vom Kugelmittelpunkt aus. Die beiden Pole und die Meridiane für ± π 2 sind nicht abbildbar. Es gelten die Formeln: ( ) x = tan λ y = tan( φ) cos( λ) Für φ 3 2 π, 3 2 π, λ 3 2 π, 3 2 π und Maschenbreite π 2 erhalten wir:

10 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 8 y x 9.2 Flächentreues Bild (Lambert) Gnomonische Projektion, 5 -Raster Wir verwenden das Verfahren des flächentreuen Azimutalentwurfes, bezogen auf den Berührungspunkt 0, 0 ( ). Einen Punkt der gnomonischen Projektion (blau) müssen wir nach folgendem Muster näher an den Nullpunkt ziehen rot ist der entsprechende Punkt des flächentreuen Entwurfs:

11 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 9 P P P Übergang von der gnomonischen Projektion zum flächentreuen Entwurf, Sicht von der Seite Dies ergibt (nach einiger Rechnung) die Abbildungsgleichungen: x = sin( λ) y = tan( φ) 2 2 cos( φ)cos( λ) sin 2 ( λ)+tan 2 ( φ) 2 2 cos( φ)cos( λ) sin 2 ( λ)+tan 2 ( φ)

12 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 0 Für φ 6 2 π, 6 2 π, λ 6 2 π, 6 2 π y und Maschenbreite π 2 erhalten wir: x Flächentreuer Entwurf, 5 -Raster

13 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung Für φ 9 8 π, 9 8 π, λ 9 8 π, 9 8 π y und Maschenbreite π 8 erhalten wir: x Flächentreuer Entwurf, 0 -Raster

14 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 2 Der flächentreue Entwurf gestattet ein Bild der gesamten Kugel. y x 2 Gesamte Kugel, 5 -Raster Der große Umrisskreis ist das Bild des dem Berührungspunkt der Tangentialebene gegenüberliegenden Punktes. Dieser Umrisskreis hat den Radius 2, was dem Durchmesser der abgebildeten Einheitskugel entspricht. 0 Verzerrungsellipsen? Da die MERCATOR-Karte lokal ähnlich zur Kugeloberfläche ist, sind die Verzerrungsellipsen Kreise, allerdings unterschiedlichern Größe. Wie groß sind diese Kreise? Antwort Wenn die Kreise auf dem Äquator den Radius Eins haben, erhalten wir für die Kreise der geographischen Breite ±ϕ Radien von cos( ϕ).

15 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 3 Maßstäbliche Karte Diskutieren Sie den Begriff maßstäbliche oder maßstäbige Karte (für globale Karten). Antwort In der Regel wird unter Maßstab der Längenmaßstab gemeint. Davon zu unterscheiden ist der Flächenmaßstab. Längenmaßstab: Es gibt keine maßstäbliche Karte, da es prinzipiell unmöglich ist, eine gekrümmte Fläche wie die Kugel oder das Ellipsoid längentreu oder mit einem konstanten Längenmaßstab auf die Ebene abzubilden. Dies ist eine Folge des Theorema egregium von Gauß, welches besagt, dass bei isometrischen (längentreuen) Abbildungen Urbildfläche und Bildfläche dieselbe Gauß sche Krümmung haben müssen. Die Gaußsche Krümmung ist das Produkt der beiden extremen Normalschnittkrümmungen. Die Einheitskugel hat die Gaußsche Krümmung Eins, die allgemeine Kugel die Gaußsche Krümmung r 2. Ein Kegel oder ein Zylinder haben die Gaußsche Krümmung Null, da die minimale Normalschnittkrümmung (in Richtung der Mantellinien) Null ist. Daher sind Kegel und Zylinder längentreu in die Ebene abbildbar, was durch eine Abwicklung bewerkstelligt werden kann. Einzig ein Globus ist eine maßstäbliche Karte. Unsere Landeskarten sind nur näherungsweise maßstäblich; das liegt daran, dass die Schweiz vergleichsweise klein ist, also fast eben. Für bestimmte Kurven kann in einzelnen Fällen ein Längenmaßstab angegeben werden. So wird für Mercator-Karten in der Regel der Längenmaßstab für den Äquator angegeben; das gilt dann aber nur auf dem Äquator und nur in Richtung des Äquators. Auf einer Plattkarte kann ein Maßstab angegeben werden, welche für alle Punkte des Äquators gilt (in beliebiger Richtung) und ebenso für alle Punkte auf einem Meridian, aber nur in Richtung des Meridians. Eine eher sprachliche Frage geht darum, was eine große oder eine kleine Karte ist. Dazu ist der Maßstab als Bruchzahl zu interpretieren. So ist etwa : 25 ' 000 > : 50 ' 000, da 25 ' 000 > 50 ' 000. Auf einer Karte mit großem Maßstab kann nur ein kleiner Geländeausschnitt dargestellt werden. Weltkarten haben einen kleinen Maßstab (small scaled maps). Flächenmaßstab: Alle flächentreuen Karten sind flächenmaßstäblich. 2 Maßstäbe Für diese Aufgabe kann davon ausgegangen werden, dass die Erde eine Kugel mit dem Umfang 40'000 km ist. Die vorgegebene Plattkarte ist 8 cm breit.

16 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 4 a) Gesucht sind die fehlenden Daten Geografische Breite Plattkarte, 8 cm breit Umfang des Breitenkreises Maßstab in W-O- Richtung Maßstab in S-N- Richtung b) Gesucht sind die fehlenden Daten Maßstab in W-O- Richtung 400 Mio 300 Mio 200 Mio 00 Mio Bearbeitung Geografische Breite a) Für die geografische Breite ϕ gilt: Umfang des Breitenkreises Maßstab in S-N- Richtung

17 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 5 Umfang Breitenkreis ϕ = 40'000 km cos( ϕ) Maßstab in W-O-Richtung = 8 cm Umfang Breitenkreis ϕ = 8 cm 40 ' 000 km cos( ϕ) = cos( ϕ) Der Maßstab in S-N-Richtung ist immer derselbe (abstandstreue Karte), nämlich. Geografische Breite Umfang des Breitenkreises Maßstab in W-O- Richtung 0 40'000 km 5 38'637 km 483 Mio 30 34'64 km 433 Mio 45 28'284 km 354 Mio 60 20'000 km 250 Mio 75 0'353 km 29 Mio Maßstab in S-N- Richtung b) Aus der Formel folgt: Maßstab in W-O-Richtung = 8 cm Umfang Breitenkreis ϕ = cos( ϕ) = Maßstab in W-O-Richtung ϕ = arccos Maßstab in W-O-Richtung Umfang Breitenkreis ϕ = 40'000 km cos ϕ ( ) 8 cm 40 ' 000 km cos( ϕ) = cos( ϕ) ( ) = 40'000 km Maßstab in W-O-Richtung

18 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 6 Maßstab in W-O- Richtung Geografische Breite Umfang des Breitenkreises Maßstab in S-N- Richtung 400 Mio 300 Mio 200 Mio 00 Mio 0 40'000 km '000 km '000 km '000 km '000 km 3 Maßstäbe Für diese Aufgabe können wir annehmen, die Erde sei eine Kugel mit dem Umfang 40'000 km. a) Eine globale Plattkarte sei 8 cm breit. Plattkarte, 8 cm breit Wie groß ist der Kartenmaßstab am Äquator? Wie groß ist der Kartenmaßstab in Zürich? Bemerkung: Maßstabe variieren nicht nur ortsbezogen, sondern allenfalls auch richtungsbezogen. Falls wir in verschiedenen Richtungen unterschiedliche Maßstäbe haben, genügen die Angaben in Ost-West-Richtung und in Nord-Süd-Richtung. b) Eine normalachsige Mercatorkarte sei 8 cm breit. Wie groß ist der Kartenmaßstab am Äquator? Wie groß ist der Kartenmaßstab in Zürich? Ganz subtil: Wo ist der Kartenmaßstab (Sie haben richtig gelesen: Kartenmaßstab eins zu eins)? c) Eine flächentreue normalachsige Zylinderprojektion (nach Archimedes / Lambert) sei 8 cm breit. Wie groß ist der Kartenmaßstab am Äquator? Wie groß ist der Kartenmaßstab in Zürich?

19 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 7 Bearbeitung a) Wir nehmen an, dass die Erde eine Kugel ist und rechnen mit einem Äquatorumfang von 40'000 km. Für den Kartenmaßstab am Äquator erhalten wir: 8 cm 40 ' 000 km = 0.08 = : 40 ' 000 ' 000 Dieser Maßstab gilt für alle Punkte des Äquators und in jeder Richtung. Zürich (HIL) hat die geografischen Koordinaten ( ϕ Z / λ Z ) = ( N / E). Die geografische Länge λ Z ist für unsere Überlegungen belanglos. Der Breitenkreis auf der geografischen Breite ϕ Z hat die Länge 40'000 cos ϕ Z ( ) km = 27'07 km. Für den Kartenmaßstab in Ost-West-Richtung erhalten wir somit: 8 cm = : 338 Mio 27'07 km Die schnelle Rechnung geht so: 500'000'000 cos( ϕ Ζ ) = 338'382' Mio Dieser Maßstab ist größer als am Äquator. Der Kartenmaßstab in Süd-Nord-Richtung ist derselbe wie am Äquator, also :, da die Plattkarte abstandstreu ist. b) Am Äquator haben wir wieder den Kartenmaßstab :. Dieser Maßstab gilt für alle Punkte des Äquators und in jeder Richtung. In Zürich haben wir den Kartenmaßstab : 338 Mio. Dieser Maßstab gilt für alle Punkte des Breitenkreises durch Zürich und in jeder Richtung. Beim Maßstab muss gelten: 500'000'000 cos( ϕ) = ( ) = ± = ±89 59' " ϕ = ± arccos 500 ' 000 ' 000 Dies ist etwa.27 cm vom Nordpol (oder Südpol) entfernt. Direkte Rechnung: Wir suchen einen Kreis um den Nordpol (oder Südpol) mit dem Umfang 8 cm. Für seinen Radius erhalten wir etwa.27 cm. Die Erdkrümmung spielt da keine Rolle mehr. c) Am Äquator haben wir wieder den Kartenmaßstab :. Dieser Maßstab gilt für alle Punkte des Äquators und in jeder Richtung. In Zürich haben wir in der Ost-West-Richtung den Kartenmaßstab : 338 Mio. In Süd- Nord-Richtung, ist die Sache subtiler. Der ursprüngliche Maßstab : der Plattkarte wird mit cos( ϕ Z ) multipliziert. Wir erhalten : 739 Mio. Dieser Maßstab ist kleiner als am Äquator.

20 Hans Walser: Kartenprojektionen. Lernumgebung 8 4 Entwurf von Bonne Was geschieht beim Entwurf von Bonne, wenn das Zentrum der Kreise, welche die Breitenkreise abbilden, immer mehr nach oben verschoben wird? Antwort Im Grenzfall, in welchem sich das Zentrum im Unendlichen befindet, kommen wir zum Entwurf von MERCATOR/SANSON zurück. Die Bildsequenz illustriert den Übergang von STAB/WERNER über zwei Darstellungen von BONNE zu MERCATOR/SANSON und weiter wieder über BONNE, diesmal mit dem Zentrum unten. Bildsequenz