Hans Walser, [ ] Lemniskate 1 Worum geht es Es werden Konstruktionen der Lemniskate mit Hilfe von Ellipsen und deren Brennpunkten

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1 Hans alser, [ ] Lemniskate 1 orum geht es s werden Konstruktionen der Lemniskate mit Hilfe von llipsen und deren Brennpunkten besprochen. 2 Das Vorgehen ir zeichnen den inheitskreis mit Mittelpunkt (0, 0) und die Punkte (1, 0), ( 1, 0), (0, 1), (0, 1) (Abb. 1). Auf dem inheitskreis wählen wir einen beliebigen Punkt P. P Abb. 1: in Punkt P auf dem inheitskreis un zeichnen wir die llipse mit den konjugierten Halbmessern und P sowie deren Brennpunkte F 1 und F 2 (Abb. 2).

2 Hans alser: Lemniskate 2 / 10 P F 1 F 2 Abb. 2: llipse mit Brennpunkten Die beiden Brennpunkte liegen auf der zu den Punkten und gehörenden Lemniskate (Abb. 3). P F 1 F 2 Abb. 3: Brennpunkte auf Lemniskate

3 Hans alser: Lemniskate 3 / 10 Durch Variation von P erhalten wir so alle Punkte der Lemniskate (rtslinie). 3 Lemniskate inige Fakten zur Lemniskate (Abb. 4). L 1 1 Abb. 4: Lemniskate Für einen Punkt L auf der Lemniskate gilt (definierende igenschaft): L L = 1 (1) In Polarkoordinaten hat die Lemniskate die Gleichung: r = 2cos( 2ϕ ) (2) In kartesischen Koordinaten hat die Lemniskate die Gleichung: ( ) 2 2( 2 2 ) = 0 (3) 4 Beweis der Brennpunkteigenschaft Der Punkt P (Abb. 2) habe die Koordinaten:

4 Hans alser: Lemniskate 4 / 10 ( ( )) (4) P cos( 2t),sin 2t Der Faktor 2 beim Parameter t ist aus technischen Gründen dabei. r vereinfacht die Formeln. Da die beiden konjugierten Halbmesser und P die gleiche Länge haben, sind die Hauptachsenrichtungen der llipse die inkelhalbierenden der Halbmesser. Die Halbachsen a und b haben die Länge: a = 2 cos( t), b = 2 sin( t) (5) Daraus erhalten wir die halbe Brennpunktweite c: c = a 2 b 2 = 2 cos 2 ( t) sin 2 ( t) = 2 cos( 2t) (6) Vergleich mit (2) beweist die Behauptung. 5 Umriss Die Hüllkurve der sich durch die Variation von P ergebenden llipsenschar (rote llipse in Abb. 2 und 3) ist ihrerseits eine llipse (Abb. 5). P F 1 F 2 Abb. 5: Umrissellipse

5 Hans alser: Lemniskate 5 / 10 ie hat die Punkte und als Brennpunkte und verläuft durch die Punkt und. Die lange Halbachse ist 2, die kurze Halbachse ist 1. ir können das durch eine kartografische Überlegung einsehen. 6 chrägbild der rdkugel ir stellen die rdkugel auf den Tisch (Projektionsebene) und beleuchten von recht oben unter einem inkel von 45 (Abb. 6a, Aufriss). In der Projektionsebene erhalten wir so ein chrägbild der rdkugel (Abb. 6b, Grundriss).

6 Hans alser: Lemniskate 6 / 10 a) b) Abb. 6: chrägbild der rdkugel Die Abbildung 7 zeigt das chrägbild allein.

7 Hans alser: Lemniskate 7 / 10 Abb. 7: o ist das schöne Tirol? Die Breitenkreise sind in diesem chrägbild als Kreise dargestellt. Der Äquator erscheint als inheitskreis in der Mitte. Der Kartenumriss ist eine llipse mit der langen Halbachse 2 und der kurzen Halbachse 1 (chrägschnitt des sich durch die Projektionsstrahlen ergebenden Umrisszlinders). Die Brennpunkte dieser llipse sind die Bilder der beiden Pole (Überlegung mit Kugeln von Dandelin). Die Meridiane erscheinen als llipsen durch die beiden Pole, welche die Umrissellipse von innen berühren. Die Abbildung 8 zeigt das etz (15 -Maschenweite) der Meridiane und Breitenkreise ohne die rde. egen der Projektionsrichtung 45 und der Maschenweite 15 berühren sich die Bilder der Breitenkreise.

8 Hans alser: Lemniskate 8 / 10 Abb. 8: Meridiane und Breitenkreise Die Figur der Abbildung 8 passt genau auf die Figur der Abbildung 5. Die rote llipse in der Abbildung 5 entspricht einem Meridianbild im chrägbild. omit erhalten wir eine Variante der Lemniskaten-Konstruktion. 7 Variante der Lemniskaten-Konstruktion ir zeichnen die Punkte (1, 0), ( 1, 0), (0, 1), (0, 1) und dazu die llipse mit den Brennpunkten und durch. Auf der llipse wählen wir einen beliebigen Punkt Q (Abb. 9).

9 Hans alser: Lemniskate 9 / 10 Q Abb. 9: tart mit llipse un zeichnen wir eine zweite llipse mit dem Mittelpunkt durch, welche die erste llipse in Q berührt (Abb. 10). benso zeichnen wir die Brennpunkte G 1 und G 2 dieser llipse. Q G 2 G 1 Abb. 10: Berührende Inellipse

10 Hans alser: Lemniskate 10 / 10 Die Brennpunkte G 1 und G 2 liegen auf unserer Lemniskate (Abb. 11). Q G 2 G 1 Abb. 11: Brennpunkte auf Lemniskate ebsites Kartenprojektionen ( ): ikipedia, Lemniskate ( ):