Algorithmen für geographische Informationssysteme

Transkript

1 Algorithmen für geographische Informationssysteme. Vorlesung:. Oktober 01 Jan-Henrik Haunert

2 Bezugssysteme und Kartenabbildungen Welche Form hat die Erde? Wie gebe ich eine Position an? Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion

3 Geodätische Grundlagen Quelle: Autodesk

4 Geodätische Grundlagen Geodäsie: Wissenschaft von der Ausmessung und Abbildung der Erdoberfläche Friedrich Robert Helmert ( ) Quelle: wikipedia

5 Welche Form hat die Erde? Ebene Kugel (zuerst ca. 500 v. Chr bekannt) Ellipsoid (um 1736 nachgewiesen) Geoid (ab 188) Radius 6370 km gr. Halbachse a 6378 km kl. Halbachse b 6357 km Abplattung f = a b a 1: bis +85 m Abweichung von Ellipsoid

6 Welche Form hat die Erde? Geoid Quelle: wikipedia Das Geoid entspricht einer ruhend gedachten Meeresoberfläche (fortgesetzt unter den Kontinenten). Geoid = Fläche gleichen Schwerepotentials

7 Welche Form hat die Erde? Meeresoberfläche (Geoid) Meeresgrund Geoid? (a) (b)

8 Welche Form hat die Erde? Meeresoberfläche (Geoid) Meeresgrund Geoid (a) (b)

9 Welche Form hat die Erde? Ebene als lokale Näherung; Distanzmessungen > 10 km müssen auf Kugel reduziert werden (Kahmen, 1997) Kugel Ellipsoid als Grundlage für Karten als Grundlage für Karten mit Maßstab < 1: Mio. mit Maßstab 1: Mio. (Hake et al., 00) Geoid für Höhen

10 Wie gebe ich eine Position an? Geodätisches Datum bestimmt Ursprung, Orientierung und Maßstab eines Bezugssystems X, Y, Z im Verhältnis zu einem grundlegenden absoluten System.

11 Wie gebe ich eine Position an? Geodätisches Datum bestimmt Ursprung, Orientierung und Maßstab eines Bezugssystems X, Y, Z im Verhältnis zu einem grundlegenden absoluten System. Außerdem: Form eines Bezugsellipsoids

12 Wie gebe ich eine Position an? Beispiel 1 Z Berlin X, Y Rauenberg-Datum (auch Potsdam-Datum) Form: Lage: Verwendung: lokal an Deutschland angepasst (Bessel-Ellipsoid) Lage Fundamentalpunkt Rauenberg & Azimut zur Marienkirche in Berlin festgelegt Deutsches Hauptdreiecksnetz, auch heute noch Grundlage vieler Daten

13 Wie gebe ich eine Position an? Beispiel 𝑍 𝑋, 𝑌 WGS84 Form: Lage: Verwendung: global angepasst Zentrum des Ellipsoids = Massenschwerpunkt Erde; z-achse in Richtung Nordpol; Greenwich in x-z-ebene; Realisiert durch Fundamentalstationen GPS Quelle: wikipedia

14 Wie gebe ich eine Position an? Beispiel 3 𝑍 𝑋, 𝑌 ETRS89 Form: Lage: Verwendung: global angepasst zum wie WGS84, danach an eurasische Platte gebunden Deutsche Landesvermessungen ab 1991

15 Wie gebe ich eine Position an? In dreidimensionalen kartesischen Koordinaten: 𝑍 b 𝑝 = 𝑋𝑝, 𝑌𝑝, 𝑍𝑝 𝒁𝒑 𝑿𝒑 𝒀𝒑 a 𝑋 𝑌 Verwendung: z.b. Rechnen mit Raumstrecken Quelle: wikipedia

16 Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten (Breite 𝝋, Länge 𝝀): 𝑍 b 𝑝 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑌 𝒉 = ellipsoidische Höhe von 𝒑 (wird selten verwendet, aber zur Berchnung von 𝑋𝑝, 𝑌𝑝, 𝑍𝑝 aus geogr. Koord. erforderlich)

17 Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten (Breite 𝝋, Länge 𝝀): 𝑍 Einheiten: b 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑌 𝑝 𝝋 = 𝟔𝟐 𝟏𝟒 𝟏𝟑. 𝟑𝟑 Bogenminuten (60 = 1 ) Bogensekunden (60 = 1 ) = 𝟔𝟐. 𝟐𝟑𝟕𝟎𝟑𝟔 Faustregel: 𝟏 𝟑𝟎 𝐦

18 Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten (Breite 𝝋, Länge 𝝀): 𝑍 Zusammenhang: b 𝒉 𝑵 a 𝝀 𝑋 𝝋 𝑝 𝑋 𝑌 = 𝑍 𝑁 + ℎ cos 𝜑 cos 𝜆 𝑁 + ℎ cos 𝜑 sin 𝜆 𝑁 + ℎ sin 𝜑 1 + 𝑒 mit 𝑌 𝑁= 𝑎 𝑎 cos 𝜑 + 𝑏 sin 𝜑 𝑏 𝑎 𝑒 = 𝑏

19 Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten: 𝑍 in Kartenkoordinaten bzw. projizierten Koordinaten: 𝑥 b 𝑝 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 𝑌 Kartenabbildung 𝑥𝑝 𝑦𝑝 = 𝑓 𝜑𝑝, 𝜆𝑝 𝑦

20 Wie gebe ich eine Position an? In geographischen Koordinaten: 𝑍 in Kartenkoordinaten bzw. projizierten Koordinaten: 𝑥 b 𝑝 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 𝑌 Kartenabbildung 𝑥𝑝 𝑦𝑝 = 𝑓 𝜑𝑝, 𝜆𝑝 𝑦 normalerweise: Höhen in Karte beziehen sich aufs Geoid

21 Wie gebe ich eine Position an? 𝑍 b 𝑝 Quelle: wikipedia 𝝋 a 𝝀 𝑋 𝒉 𝑌 verschiedene Abbildungen für verschiedene Zwecke

22 Wie gebe ich eine Position an? Merke: Zu jeder Koordinatenangabe 𝑋, 𝑌, 𝑍 gehört die Angabe - eines geodätischen Datums.

23 Wie gebe ich eine Position an? Merke: Zu jeder Koordinatenangabe 𝜑, 𝜆 gehört die Angabe - eines geodätischen Datums (inkl. Form d. Ellipsoids).

24 Wie gebe ich eine Position an? Merke: Zu jeder Koordinatenangabe 𝑥, 𝑦 gehört die Angabe - eines geodätischen Datums (inkl. Form d. Ellipsoids). und - der verwendeten Kartenabbildung.

25 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? x y = f φ, λ Gesucht!

26 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝜑, 𝜆 Gesucht! Einfachste Abbildung: Plattkarte 𝑥 𝑅𝜆 𝑦 = 𝑓 𝜑, 𝜆 = 𝑅𝜑 Quelle: wikipedia

27 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝜑, 𝜆 Gesucht! Einfachste Abbildung: Plattkarte 𝑥 𝑅𝜆 𝑦 = 𝑓 𝜑, 𝜆 = 𝑅𝜑 Nachteil: Breitenkreise werden extrem gestreckt Proportionen (auch lokal!) gehen verloren Quelle: wikipedia

28 Quelle: autobild.de Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Es gibt keine Abbildung, die alle Distanzen unverzerrt abbildet!

29 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Mögliche Eigenschaften: Flächentreue Winkeltreue (Konformität) Längentreue für bestimmte Linien...

30 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Mögliche Eigenschaften: Flächentreue Winkeltreue (Konformität) Längentreue für bestimmte Linien... Aufgabe: Finde eine Abbildung f, die bestimmte Vorgaben erfüllt.

31 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion (für Kugel) Quelle: wikipedia Quelle: wikipedia Gerhard Krämer ( )

32 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion (für Kugel) Vorteil: Konformität (Winkeltreue) Quelle: wikipedia Nachteil: Flächenverzerrungen Quelle: wikipedia Gerhard Krämer ( )

33 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion X Y Z = N + h cos φ cos λ N + h cos φ sin λ N + h sin φ 1 + e N = a a cos φ + b sin φ e = a b b

34 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion X Y Z = N = N + h cos φ cos λ N + h cos φ sin λ N + h sin φ 1 + e a a cos φ + b sin φ X = X Y Z = R cos φ cos λ R cos φ sin λ R sin φ für Kugel (a = b = R und h = 0) e = a b b

35 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 𝑋 𝑋 = 𝑌 = 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 𝑅 sin 𝜑 𝑍 R 𝝋 𝝀 𝑋 𝑌 𝑝

36 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝝋 𝝀 𝑋 𝑌 𝑝 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 𝑋 𝑋 = 𝑌 = 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 𝑅 sin 𝜑 𝑍 Tangentialvektoren: = 𝑅 sin 𝜑 cos 𝜆 𝑅 sin 𝜑 sin 𝜆 𝑅 cos 𝜑 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 = 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 0

37 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝝋 𝝀 𝑋 𝑌 𝑝 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 𝑋 𝑋 = 𝑌 = 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 𝑅 sin 𝜑 𝑍 Tangentialvektoren: = 𝑅 sin 𝜑 cos 𝜆 𝑅 sin 𝜑 sin 𝜆 𝑅 cos 𝜑 𝑅 cos 𝜑 sin 𝜆 = 𝑅 cos 𝜑 cos 𝜆 0

38 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 Zylinderabbildung: 𝑥 𝑅𝜆 𝑥= 𝑦 = 𝑓 𝜑 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝

39 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Zylinderabbildung: 𝑥 𝑅𝜆 𝑥= 𝑦 = 𝑓 𝜑 Tangentialvektoren: 0 = 𝑓 𝜑 𝑅 = 0

40 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke =

41 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke = 𝑌 Proportionen (lokal gesehen) bleiben erhalten!

42 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑌 = =

43 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion 𝑍 R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑌 = = Koeffizienten der ersten Fundamentalform der Kugel

44 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion x φ = 0 f φ = f φ

45 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion x φ = 0 f φ = f φ x λ = R 0 = R

46 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion x φ = 0 f φ = f φ x λ = R 0 = R X φ = R sin φ cos λ R sin φ sin λ R cos φ = R sin φ cos λ + R sin φ sin λ + R cos φ = R sin φ cos λ + sin λ + R cos φ = R sin φ + cos φ = R

47 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion x φ = 0 f φ = f φ x λ = R 0 = R X φ = R sin φ cos λ R sin φ sin λ R cos φ = R sin φ cos λ + R sin φ sin λ + R cos φ = R sin φ cos λ + sin λ + R cos φ = R sin φ + cos φ = R X λ = R cos φ sin λ R cos φ cos λ 0 = R cos φ sin λ + R cos φ cos λ = R cos φ sin λ + cos λ = R cos φ

48 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑓 𝜑 = = 𝑅 = 𝑅 𝑅 cos 𝜑

49 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑓 𝜑 = = 𝑅 = 𝑅 𝑓 𝜑 = 𝑅 cos𝜑 𝑅 cos 𝜑

50 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Konformität: Gleiches Seitenverhältnis der aufgespannten Rechtecke 𝑓 𝜑 = = 𝑅 = 𝑅 𝑅 cos 𝜑 𝑓 𝜑 = 𝑅 cos𝜑 𝑓 𝜑 = 𝑅 ln tan 𝜑 + 𝜋 4

51 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R Z Achtung: Trotz Winkeltreue gilt α α! Quelle: wikipedia X a α b Y a α b c c

52 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion R Z Achtung: Trotz Winkeltreue gilt α α! Quelle: wikipedia X a α b Y a α b c c Winkeltreue gilt nur für differentiell kleine Dreiecke!

53 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion Quelle: Spata (010) in transversaler Lage (Mittelmeridian kann beliebig gewählt werden)

54 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion Gauß-Krüger-Koordinaten: Erde wird in 3 breite Streifen zerlegt Jeder Streifen wird mit einer transversalen Mercatorprojektion abgebildet (Mittelmeridian = Streifenzentrum) Quelle: wikipedia Verwendung deutsche Landesvermessungen (mit Potsdam Datum) ab 1991 durch UTM abgelöst

55 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Beispiel: Mercatorprojektion Universal Transversal Mercator (UTM): Prinzip wie Gauß-Krüger Streifenbreite jedoch 6 Zylinder schneidet Kugel Quelle: wikipedia Verwendung GPS-Koordinaten (mit Datum WGS84) Deutsche Landesvermessungen (mit Datum ETRS89)

56 Wie bilde ich die Erde auf die Ebene ab? Aufgabe: Flächentreue Zylinderabbildung R 𝒚 𝝋 𝑋 𝒙 𝝀 𝑌 𝑝 Flächentreue: Gleicher Flächeninhalt der aufgespannten Rechtecke

57 Quellen N. de Lange: Geoinformatik in Theorie und Praxis, Springer, Berlin, F. J. Gruber & R. Joeckel: Formelsammlung für das Vermessungswesen, Teubner, Stuttgart, G.Hake, D. Grünreich, L. Meng: Kartographie, de Gruyter, Berlin, 00. H. Kahmen: Vemessungskunde, de Gruyter, Berlin, 1997.