Klaus Höllig Jörg Hörner. Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik

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1 Klaus Höllig Jörg Hörner Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik

2 Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik

3 Klaus Höllig Jörg Hörner Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik

4 Klaus Höllig Stuttgart, Deutschland Jörg Hörner Stuttgart, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung: Dr. Andreas Rüdinger Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Deutschland Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany

5 Vorwort Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften haben bereits zu Beginn ihres Studiums ein sehr umfangreiches Mathematikprogramm zu absolvieren. Die Höhere Mathematik, diefür die einzelnen Fachgebiete in den ersten drei Semestern gelesen wird, umfasst im Allgemeinen die Gebiete Vektorrechnung und Lineare Algebra, Analysis von Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher, Differentialgleichungen, Vektoranalysis, Komplexe Analysis. Dieser Unterrichtsstoff aus unterschiedlichen Bereichen der Mathematik stellt hohe Anforderungen an die Studierenden. Aufgrund der knapp bemessenen Zeit für die Mathematik-Vorlesungen haben wir deshalb begleitend zu unseren Lehrveranstaltungen umfangreiche zusätzliche Übungs- und Lehrmaterialien bereitgestellt, die inzwischen teilweise bundesweit genutzt werden. Als Bestandteil dieser Angebote enthält das Buch Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik eine umfassende Sammlung von Aufgaben, die üblicherweise in Übungen oder Klausuren gestellt werden. Studierenden wird durch die exemplarischen Musterlösungen die Bearbeitung von Übungsaufgaben wesentlich erleichtert. Für alle typischen Fragestellungen werden in dem Buch die anzuwendenden Lösungstechniken illustriert. Des Weiteren sind die gelösten Aufgaben zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Wiederholung geeignet. Die Aufgabensammlung wird durch das Angebot von Mathematik-Online auf der Web-Seite ergänzt. Im Lexikon von Mathematik-Online werden relevante Definitionen und Sätze detailliert erläutert. Dort finden sich auch Beispiele für die verwendeten Methoden. Darüber hinaus existieren für viele Aufgaben des Buches bereits Varianten mit interaktiver Lösungskontrolle, mit denen Studierende ihre Beherrschung der Lösungstechniken testen können. Auch im Nebenfach soll das Mathematik-Studium Freude bereiten! Ein besonderer Anreiz ist der sportliche Aspekt mathematischer Probleme, die nicht durch unmittelbare Anwendung von Standardtechniken gelöst werden können. Das Buch enthält auch einige solcher Aufgaben, die wir teilweise in kleinen Wettbewerben parallel zu Vorlesungen ( Die am schnellsten per eingesendete korrekte Lösung gewinnt... ) verwendet haben. Einige dieser Aufgaben werden ebenfalls als Aufgaben der Woche auf der oben erwähnten Web-Seite veröffentlicht (Anklicken des Logos von Mathematik-Online).

6 vi Vorwort Die Aufgabensammlung des Buches basiert teilweise auf Vorlesungen zur Höheren Mathematik für Elektrotechniker, Kybernetiker, Mechatroniker und Physiker des ersten Autors. Beim letzten Zyklus, der im Wintersemester 2012/2013 begann, haben Dr. Andreas Keller und Dr. Esfandiar Nava Yazdani bei Übungen und Vortragsübungen mitgewirkt. Beide Mitarbeiter haben eine Reihe von Aufgaben und Lösungen zu dem Buch beigetragen. Die Arbeit an Mathematik-Online und an Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik hat uns nicht nur viel Freude bereitet, sondern auch die Durchführung unserer Lehrveranstaltungen für Ingenieure und Naturwissenschaftler erheblich erleichtert. In den nachfolgenden Hinweisen für Dozenten geben wir einige Anregungen, wie das Buch in Verbindung mit den im Internet bereitgestellten Materialien optimal genutzt werden kann. Um die Verwendung der verschiedenen Angebote noch effektiver zu gestalten, werden wir weiterhin unsere Projekte in der Lehre unter Einbeziehung neuer Medien mit großem Engagement verfolgen. Wir bedanken uns dabei herzlich für die Unterstützung des Landes Baden-Württemberg und der Universität Stuttgart, die maßgeblich zum Erfolg unserer Internet-Angebote beigetragen hat. Herrn Dr. Rüdinger vom Springer-Verlag danken wir für seine Initiative, unsere Online-Angebote durch ein Lehrbuch zu ergänzen, und für die ausgezeichnete Betreuung in allen Phasen dieses Projektes gemeinsam mit seinem Team. Stuttgart, Dezember 2016 Klaus Höllig und Jörg Hörner

7 Hinweise für Dozenten Die Lösungen des Buches sind stichwortartig beschrieben, in einer Form, wie sie bei Klausuren gefordert oder bei Handouts für Studierende verwendet wird. Damit sind sie ebenfalls als Beamer-Präsentationen geeignet und wurden für den Dozenten-Bereich auf der Springer-Website (derzeit DozentenPlus) entsprechend aufbereitet. Über einen Index können Dozenten eine Auswahl treffen und die Aufgaben als Beispiele in ihre Vorlesungen integrieren oder in Vortragsübungen verwenden. Mit Hilfe der Templates zu den L A TEX-Quelldateien lässt sich die Sammlung individuell erweitern. Die Aufgaben-Folien enthalten Links auf Vortragsfolien zu relevanten Definitionen und Lehrsätzen. Ein Dozent kann damit zunächst wichtige Begriffe und Methoden wiederholen, bevor er mit der Präsentation einer Musterlösung beginnt. Die vollständige Sammlung Vortragsfolien zur Höheren Mathematik ist über einen Index auf der Web-Seite verfügbar. Sie kann nicht nur in Verbindung mit dem Buch genutzt werden, sondern auch um Beamer-Präsentationen für Vorlesungen zusammenzustellen und Handouts für Studierende zu generieren. Es ist geplant, zu den Standardaufgaben Varianten bereitzustellen, die teilweise in großer Anzahl automatisch generiert werden können. Für diese Varianten werden keine Lösungen publiziert, so dass sie für die Verwendung in Übungen geeignet sind. Die Musterlösungen des Buches, die alle wichtigen Lösungstechniken illustrieren, bilden eine ideale Ergänzung, die auch den Betreuungsaufwand reduziert. Nutzt man alle in Verbindung mit dem Buch Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik angebotenen Resourcen, so reduziert sich der Aufwand für die Vorbereitung von Lehrveranstaltungen zur Höheren Mathematik erheblich: Beamer-Präsentationen für die Vorlesungen können aus den Vortragsfolien zur Höheren Mathematik ausgewählt werden. Mit den Folien lassen sich Handouts für Studierende zur Wiederholung und Nachbereitung des Unterrichtsstoffes generieren. Vortragsübungen können mit Hilfe der im Dozenten-Bereich zur Verfügung stehenden Aufgaben-Folien gehalten werden. Mit der Verwendung von Varianten zu den Aufgaben des Buches in den Gruppenübungen wird durch die publizierten Musterlösungen die Bearbeitung von Übungsblättern erleichtert. Tests mit interaktiver Lösungskontrolle aus Mathematik-Online und weitere Aufgaben unserer Sammlungen bieten Studierenden eine optimale Vorbereitung auf Klausuren in Übungen und Prüfungen.

8 viii Vorwort In der Vergangenheit haben wir bereits sehr von unseren Lehrmaterialien, die über einen Zeitraum von mehr als zwanzig Jahren entwickelt wurden, profitiert. Wir hoffen, dass andere Dozenten einen ähnlichen Nutzen aus den Angeboten für die Höhere Mathematik ziehen werden und dadurch viel redundanten Vorbereitungsaufwand vermeiden können.

9 Inhaltsverzeichnis Vorwort Einleitung I Mathematische Grundlagen Elementare Logik Mengen und Abbildungen Komplexe Zahlen II Vektorrechnung Vektoren Längen, Winkel und Skalarprodukt Vektor- und Spatprodukt Geraden und Ebenen III Differentialrechnung Polynome und rationale Funktionen Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit Differentiationsregeln und Anwendungen Taylor-Entwicklung Extremwerte und Funktionsuntersuchung IV Integralrechnung Integral und Stammfunktion Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden Uneigentliche Integrale V Lineare Algebra Gruppen und Körper Vektorräume, Skalarprodukte und Basen Lineare Abbildungen und Matrizen Determinanten Lineare Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme Eigenwerte, Normalformen und Singulärwertzerlegung v

10 x Inhaltsverzeichnis 23 Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken VI Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix Kettenregel und Richtungsableitung Inverse und implizite Funktionen Anwendungen partieller Ableitungen Taylor-Entwicklung Extremwerte VII Mehrdimensionale Integration Volumina und Integrale über Elementarbereiche Transformationssatz Kurven- und Flächenintegrale Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment Partielle Integration VIII Vektoranalysis Skalar- und Vektorfelder Arbeits- und Flussintegral Integralsätze von Gauß, Stokes und Green Potential und Vektorpotential IX Differentialgleichungen Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen zweiter Ordnung Differentialgleichungssysteme Laplace-Transformation X Fourier-Analysis Reelle und komplexe Fourier-Reihen Diskrete Fourier-Transformation Fourier-Transformation XI Komplexe Analysis Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen Komplexe Integration und Residuenkalkül

11 xi 49 Taylor- und Laurentreihen Komplexe Differentialgleichungen Literaturverzeichnis

12 Einleitung Grundlage für die Aufgaben des Buches bildet der Stoff, der üblicherweise Bestandteil der Mathematik-Grundvorlesungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist. Die Reihenfolge der Themen entspricht einem typischen dreisemestrigen Vorlesungszyklus Höhere Mathematik für Fachrichtungen, die ein umfassendes Mathematikangebot benötigen: Semester 1: Grundlagen, Vektorrechnung, Differentialrechnung, Integralrechnung Semester 2: Lineare Algebra, Multivariate Analysis, Mehrdimensionale Integration Semester 3: Vektoranalysis, Differentialgleichungen, Fourieranalysis, Komplexe Analysis. Die Lineare Algebra beinhaltet die Vektorrechung in allgemeinerem Kontext und kann auch vor der Analysis einer Veränderlichen unterrichtet werden. Bei der oben gewählten Themenfolge wird eine kurze Einführung in das Rechnen mit Vektoren in der Ebene und im Raum vorgezogen, um möglichst früh wesentliche Hilfsmittel bereitzustellen (vgl. dazu auch die Bemerkungen zur Notation am Ende der Einleitung). Die Themen des dritten Semesters sind weitgehend unabhängig voneinander; ihre Reihenfolge richtet sich nach den Prioritäten der involvierten Fachrichtungen. Aufgaben. Der überwiegende Teil der Aufgabensammlung des Buches besteht aus Standardaufgaben, d.h. Aufgaben, die durch unmittelbare Anwendung der in Vorlesungen behandelten Lehrsätze und Techniken gelöst werden können. Solche Aufgaben werden teilweise in fast identischer Form in vielen Varianten sowohl in Übungen als auch in Prüfungsklausuren gestellt und sind daher für Studierende besonders wichtig. Die folgende Aufgabe zur Linearen Algebra ist ein typisches Beispiel Inverse einer 3 3-Matrix Bestimmen Sie die Inverse der Matrix Verweise: Inverse Matrix, Cramersche Regel, Entwicklung von Determinanten

13 2 Einleitung Verweise. Die Verweise beziehen sich auf die Vortragsfolien zur Höheren Mathematik, die in der elektronischen Version des Buches direkt verlinkt sind. In dieser Sammlung von Beamer-Präsentationen werden relevante Begriffe bzw. Sätze beschrieben und mit Beispielen veranschaulicht. Studierende können damit zunächst die benötigten mathematischen Grundlagen anhand der entsprechenden Vortragsfolien nochmals wiederholen. Beispielsweise führt der zweite Verweis, Cramersche Regel, bei oben stehender Aufgabe auf eine pdf-datei, die mit folgender Seite beginnt. Cramersche Regel Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem Ax = b ist x i det A = det(a 1,..., a i 1, b, a i+1,..., a n ), wobei a j die Spalten der Koeffizientenmatrix A bezeichnen. Ist det A 0, so existiert eine eindeutige Lösung x = A 1 b für beliebiges b und die Inverse C = A 1 kann durch c i,j = det(a 1,..., a i 1, e j, a i+1,..., a n ) det A bestimmt werden, wobei e j der j-te Einheitsvektor ist. Cramersche Regel 1-2 Die Seite beschreibt, wie man mit Hilfe der Cramerschen Regel die Inverse einer Matrix bestimmt, also die Lösung der Aufgabe erhalten kann. Auf den darauf folgenden Seiten wird die Anwendung der Methode anhand eines Beispiels erläutert und damit auf die Aufgabenlösung hingeführt. Die über die Web-Seite verfügbare Sammlung deckt das gesamte Themenspektrum der Höheren Mathematik ab und kann auch begleitend zu Vorlesungen verwendet werden. Sternaufgaben. Die Aufgabensammlung enthält auch einige Aufgaben, deren Lösung eine Reihe von nicht naheliegenden Ideen erfordert. Solche Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet. Sie können in Vorlesungen als Beispiele verwendet werden und dienen in Übungen als Anreiz, um Faszination für Mathematik zu wecken. Auch

14 3 für Studierende, die Mathematik nur als Nebenfach hören, soll das Erlernen mathematischer Techniken Freude bereiten und nicht nur als lästiges Muss empfunden werden. Das folgende Beispiel einer etwas schwierigeren Aufgabe gehört zu unseren Favoriten. 5.8 Nahtlänge eines Fußballs Nehmen Sie entgegen Sepp Herbergers Axiom Der Ball ist rund! an, dass der abgebildete Fußball ein Polyeder ist, dessen Eckpunkte auf einer Sphäre mit einem Durchmesser von 30 cm liegen. Wie lang ist eine Kante, die (näherungsweise) einer Naht des Fußballs entspricht? Verweise: Skalarprodukt Auch bei diesen Aufgaben sind ggf. Verweise zu Themen aus den Vortragsfolien zur Höheren Mathematik vorhanden, die für die Lösung hilfreich sein können. Lösungen. Die Lösungen zu den Aufgaben des Buches sind stichwortartig formuliert, in einer Form, wie sie etwa in Klausuren verlangt wird oder zur Generierung von Folien geeignet ist. Der stichwortartige Stil beschränkt sich auf das mathematisch Wesentliche und macht die Argumentation übersichtlich und leicht verständlich. Typische Beispiele sind Formulierungen wie Vereinfachung..., Kettenregel =..., die anstelle der entsprechenden vollständigen Sätze Durch Vereinfachung erhält man..., Aus der Kettenregel folgt... treten. Die gewählte Darstellungsform der Lösungen ist ebenfalls für Beamer- Präsentationen geeignet, wie nachfolgend näher erläutert ist. Präsentationsfolien. Im Dozenten-Bereich auf der Springer-Website (derzeit DozentenPlus) sind die Aufgaben und Lösungen als Beamer-Präsentationen formatiert. Die Aufgaben können damit von Dozenten bequem als Beispiele in ihre Vorlesungen integriert oder als Grundlage für Vortragsübungen genutzt werden. Das Layout dieser Präsentationsfolien ist anhand eines Beispiels aus der Analysis illustriert.

15 4 Einleitung 34.2 Profil und Volumen einer Vase Beschreiben Sie das Profil der abgebildeten Vase durch den Graph eines kubischen Polynoms und berechnen Sie das Volumen. 4 2 y x Links: Polynom Volumen von Rotationskörpern Höllig/Hörner Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment Aufgabe Die Links entsprechen den Verweisen in der Buch-Version der Aufgaben. Durch Anklicken kann unmittelbar auf die entsprechenden Inhalte der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik zugegriffen werden. Mit Hilfe von sehr einfachen Templates lassen sich die Präsentationsfolien für Aufgaben und Lösungen im gleichen Layout ergänzen. Der Aufwand ist minimal; der L A TEX-Quellcode kommt mit nur wenigen zusätzlichen Makros aus. Eine detailliertere Beschreibung der Nutzung der Templates findet man in der Datei README in dem auf im Dozenten-Bereich zur Verfügung gestellten Material. Aufgabenvarianten. Es ist geplant, die Aufgabensammlung durch Varianten zu ergänzen, die teilweise mit Hilfe geeigneter Computer-Programme erzeugt werden. Die Aufgabe ist ein typisches Beispiel. Mit zufällig gewählten nicht allzu großen ganzen Zahlen werden Matrizen generiert, deren Determinanten und Unterdeterminanten unter einer vorgebbaren Schranke liegen. Diese Aufgabenvarianten können in Übungen und Tests verwendet werden, die Aufgaben in dem Buch sind dann als vorbereitende Beispiele geeignet. Die Erstellung von in dieser Weise auf das Buch abgestimmten Übungsblättern reduziert sich dann im Wesentlichen auf die Auswahl von Aufgaben- und Variantennummern. Notation. In den Aufgaben und Lösungen wird die Notation von Mathematik-Online verwendet (siehe Dabei wurde ein Kompromiss zwischen formaler Präzision und einfacher Verständlichkeit gewählt. Exemplarisch illustrieren das die beiden folgenden Beispiele: K : x 2 + y 2 + z 2 < R 2,

16 5 u + ω0u 2 = c cos t. Die gewählten Beschreibungen einer Kugel und einer Differentialgleichung sind leichter lesbar als die formaleren Notationen K = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 < R 2 }, u (t) + ω0u(t) 2 = c cos(t). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Bedeutung aus dem Kontext klar ersichtlich ist, etwa in Formulierungen wie Integrieren Sie die Funktion f über die Kugel..., Bestimmen Sie eine Lösung u(t) der Differentialgleichung.... Im letzteren Fall wird wiederum auf die präzisere Formulierung u : t u(t), t R zu Gunsten einer leichteren Lesbarkeit verzichtet. Die für die Vektorrechnung gewählte Notation bedarf einer detaillierteren Erläuterung. Mathematikern (die Autoren eingeschlossen) fällt es schwer, die Pfeil-Notation zu akzeptieren. Sie ist aber in der Schulausbildung gebräuchlich und auch Standard in vielen Ingenieur-Anwendungen. Dennoch möchte man sehr ungern die Pfeil-Notation in den abstrakteren Bereichen der Linearen Algebra verwenden. Der im Buch gewählte Kompromiss liegt auf der Hand: Für die Vektorrechnung in der Ebene und im Raum mit ihren Besonderheiten (Kreuzprodukt, Spatprodukt,...) wird die Pfeil-Notation benutzt; ebenso in der Vektoranalysis. Für die Lineare Algebra im R n orientiert sich die Notation an den üblichen Standards in der Mathematik. Literatur. Zur Höheren Mathematik existieren bereits zahlreiche Lehrbücher; die bekanntesten deutschsprachigen Titel sind in der Literaturliste am Ende des Buches angegeben. Einige dieser Lehrbücher enthalten ebenfalls Aufgaben, teilweise auch mit Lösungen. Naturgemäß bestehen gerade bei Standardaufgaben große Überschneidungen, bis hin zu identischen Formulierungen wie beispielsweise Bestimmen Sie die Inverse der Matrix.... Ein wesentlicher neuer Aspekt unseres Buches ist zum Einen die enge Abstimmung auf ein umfangreiches Internet-Angebot mit den damit verbundenen Vorteilen für Studierende und Dozenten. Zum Anderen haben wir die Mehrzahl der Aufgaben so konzipiert, dass sie sich für computer-generierte Varianten eignen und damit sehr effektiv im Übungsbetrieb eingesetzt werden können.

17 Teil I Mathematische Grundlagen

18 1 Elementare Logik Übersicht 1.1 Vereinfachung eines logischen Ausdrucks Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck Wahrheitswerttabellen für logische Ausdrücke Beschreibung mit Quantoren: Größter gemeinsamer Teiler Direkter Beweis: Kathetensatz Indirekter Beweis: Irrationalität einer dritten Wurzel Induktionsbeweis: Summe rationaler Ausdrücke Induktionsbeweis: Winkelsumme im n-eck Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik, DOI / _1

19 10 1 Elementare Logik 1.1 Vereinfachung eines logischen Ausdrucks Vereinfachen Sie den logischen Ausdruck (A = B) (B A), und überprüfen Sie Ihr Resultat anhand einer Wahrheitswerttabelle. Verweise: Logische Operationen Lösungsskizze (i) Vereinfachung: alternative Darstellung der Implikation (A = B) (B A) = ( A B) (B A) Distributivgesetz (für die hintere Klammer) (( A B) B) (( A B) A) Distributivgesetz (für beide vorderen Klammern) ( A B) (B B) ( A A) (B A) Vereinfachung mit B B = B, A A = f, B f = B, Kommutativgesetz ( A B) B (B A) = ( A B) (A B) B Distributivgesetz ( Ausklammern von B) angewandt auf die ersten beiden Klammern auf der rechten Seite (( A A) B) B Vereinfachung mit A A = w, w B = B d.h. (A = B) (B A) = B (ii) Wahrheitswerttabelle: (w B) B = B, A B A = B B A (A = B) (B A) w w w w w w f f w f f w w w w f f w f f

20 Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck Entscheiden Sie mit Hilfe einer Wahrheitswerttabelle, welche logische Operation durch den Ausdruck (A B) = (A B) beschrieben wird. Überprüfen Sie Ihr Resultat durch Umformung des logischen Ausdrucks. Verweise: Logische Operationen Lösungsskizze (i) Wahrheitswerttabelle: A B C = A B D = A B C = D w w w w w w f w f f f w w f f f f f f w letzte Spalte: Die Implikation C = D ist wahr genau dann, wenn C = f oder D = w. Vergleich der Wahrheitswerte der ersten zwei Spalten und der letzten Spalte L = ((A B) = (A B)) = w genau dann, wenn A und B den gleichen Wahrheitswert haben, d.h. L = A B (ii) Umformung: äquivalente Darstellung der Implikation (A B) = (A B) = (A B) (A B) de Morgansche Regel, angewandt auf (A B) L = ( A B) (A B) alternative Darstellung der Äquivalenz, denn L = w genau dann, wenn (A = w B = w) (A = f B = f)