2D-Guillotine-Zuschnitt und Wang-Algorithmus
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- Eike Schmitt
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1 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 05. Februar 2009 WS 2008/2009
2 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1 Grundlagen Packungsprobleme Guillotine-Anordnungen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 2/43
3 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1 Grundlagen Packungsprobleme Guillotine-Anordnungen 1 Beispiel Formale Beschreibung des Problems 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 2/43
4 1.1. Packungs- und Zuschnittsprobleme 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 3/43
5 Anwendungsbereiche: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 4/43
6 Anwendungsbereiche: Gegenstände in einen begrenzten Stauraum möglichst gut einordnen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 4/43
7 Anwendungsbereiche: Gegenstände in einen begrenzten Stauraum möglichst gut einordnen Aus einem Stück Material möglichst gut ein paar Nutzgegenstände herausschneiden 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 4/43
8 Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung zweidimensionaler Probleme 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 5/43
9 Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung zweidimensionaler Probleme Unsere Grundfläche ist ein Rechteck und unsere Einzelteile sind horizontal oder vertikal an diesem Rechteck ausgerichtete kleinere Rechtecke 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 5/43
10 Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung zweidimensionaler Probleme Unsere Grundfläche ist ein Rechteck und unsere Einzelteile sind horizontal oder vertikal an diesem Rechteck ausgerichtete kleinere Rechtecke Jedes Rechteck kann nur begrenzt oft aus dem großen Rechteck herausgeschnitten werden, und jedes herausgeschnittene Stück hat einen bestimmten Wert. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 5/43
11 Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung zweidimensionaler Probleme Unsere Grundfläche ist ein Rechteck und unsere Einzelteile sind horizontal oder vertikal an diesem Rechteck ausgerichtete kleinere Rechtecke Jedes Rechteck kann nur begrenzt oft aus dem großen Rechteck herausgeschnitten werden, und jedes herausgeschnittene Stück hat einen bestimmten Wert. Wir versuchen, Einzelteile mit einer möglichst großer Wert-Gesamtsumme herauszuschneiden. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 5/43
12 Packungsproblem: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 6/43
13 Packungsproblem: Auf einem gegebenen Rechteck der Länge L und der Breite B sind kleinere Rechtecke von bestimmtem Typ anzuordnen. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 6/43
14 Packungsproblem: Auf einem gegebenen Rechteck der Länge L und der Breite B sind kleinere Rechtecke von bestimmtem Typ anzuordnen. Ein Rechtecktyp R i (i 1... m) ist ein Tupel R i = (l i, b i, w i, m i ), wobei l i als dessen Länge, b i als dessen Breite und w i als dessen Wert interpretiert wird und m i angibt, wie oft der Rechtecktyp in unserer Anordnung vorkommen darf 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 6/43
15 Packungsproblem: Auf einem gegebenen Rechteck der Länge L und der Breite B sind kleinere Rechtecke von bestimmtem Typ anzuordnen. Ein Rechtecktyp R i (i 1... m) ist ein Tupel R i = (l i, b i, w i, m i ), wobei l i als dessen Länge, b i als dessen Breite und w i als dessen Wert interpretiert wird und m i angibt, wie oft der Rechtecktyp in unserer Anordnung vorkommen darf Gesucht ist eine sich nicht überschneidende Anordnung der Rechtecke mit maximalem Wert 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 6/43
16 1.2. Guillotine-Anordnungen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 7/43
17 Es gibt einen Typ von Anordnungen, der in der Praxis oft leichter realisiert werden kann: Guillotine-Anordnungen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 8/43
18 Es gibt einen Typ von Anordnungen, der in der Praxis oft leichter realisiert werden kann: Guillotine-Anordnungen Ein Guillotine-Schnitt zerlegt ein gegebenes Rechteck in zwei Einzelrechtecke: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 8/43
19 Es gibt einen Typ von Anordnungen, der in der Praxis oft leichter realisiert werden kann: Guillotine-Anordnungen Ein Guillotine-Schnitt zerlegt ein gegebenes Rechteck in zwei Einzelrechtecke: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 8/43
20 Es gibt einen Typ von Anordnungen, der in der Praxis oft leichter realisiert werden kann: Guillotine-Anordnungen Ein Guillotine-Schnitt zerlegt ein gegebenes Rechteck in zwei Einzelrechtecke: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 8/43
21 Es gibt einen Typ von Anordnungen, der in der Praxis oft leichter realisiert werden kann: Guillotine-Anordnungen Ein Guillotine-Schnitt zerlegt ein gegebenes Rechteck in zwei Einzelrechtecke: Jedes der beiden Teilrechtecke kann nun wieder guillotine-geschnitten werden: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 8/43
22 Es gibt einen Typ von Anordnungen, der in der Praxis oft leichter realisiert werden kann: Guillotine-Anordnungen Ein Guillotine-Schnitt zerlegt ein gegebenes Rechteck in zwei Einzelrechtecke: Jedes der beiden Teilrechtecke kann nun wieder guillotine-geschnitten werden: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 8/43
23 Eine Guillotine-Anordnung ist eine Anordnung von Rechtecken, die durch mehrere Guillotine-Schnitte aus dem Rechteck entstanden ist. Beispiele: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 9/43
24 Eine Guillotine-Anordnung ist eine Anordnung von Rechtecken, die durch mehrere Guillotine-Schnitte aus dem Rechteck entstanden ist. Beispiele: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 9/43
25 Eine Guillotine-Anordnung ist eine Anordnung von Rechtecken, die durch mehrere Guillotine-Schnitte aus dem Rechteck entstanden ist. Beispiele: Guillotine-Anordnung Nichtguillotine-Anordnung 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 9/43
26 2.1. Beispiel für den 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 10/43
27 2x 2x 2x 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 11/43
28 2x 2x 2x In ein Rechteck mit Maßen L = B = 4 werden 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 11/43
29 2x 2x 2x In ein Rechteck mit Maßen L = B = 4 werden R 1 = (2, 2, 4, 2) (2 2, Wert: 4, Anzahl: 2) 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 11/43
30 2x 2x 2x In ein Rechteck mit Maßen L = B = 4 werden R 1 = (2, 2, 4, 2) (2 2, Wert: 4, Anzahl: 2) R 2 = (1, 3, 3, 2) (1 3, Wert: 3, Anzahl: 2) 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 11/43
31 2x 2x 2x In ein Rechteck mit Maßen L = B = 4 werden R 1 = (2, 2, 4, 2) (2 2, Wert: 4, Anzahl: 2) R 2 = (1, 3, 3, 2) (1 3, Wert: 3, Anzahl: 2) R 3 = (3, 1, 3, 2) (3 1, Wert: 3, Anzahl: 2) eingefügt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 11/43
32 2x 2x 2x In ein Rechteck mit Maßen L = B = 4 werden R 1 = (2, 2, 4, 2) (2 2, Wert: 4, Anzahl: 2) R 2 = (1, 3, 3, 2) (1 3, Wert: 3, Anzahl: 2) R 3 = (3, 1, 3, 2) (3 1, Wert: 3, Anzahl: 2) eingefügt w = l b = Ziel: Maximale Reduktion des Abfalls 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 11/43
33 Als klassisches Packungsproblem an, erreichen wir das Optimum: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 12/43
34 Als klassisches Packungsproblem an, erreichen wir das Optimum: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 12/43
35 Als klassisches Packungsproblem an, erreichen wir das Optimum: Hierbei handelt es sich aber nicht um eine Guillotine-Anordnung! 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 12/43
36 Suche nach einer guten Guillotine-Anordnung. Ansatz: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 13/43
37 Suche nach einer guten Guillotine-Anordnung. Ansatz: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 13/43
38 Suche nach einer guten Guillotine-Anordnung. Ansatz: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 13/43
39 Suche nach einer guten Guillotine-Anordnung. Ansatz: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 13/43
40 Horizontales Anfügen: Grundlagen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 14/43
41 Horizontales Anfügen: Grundlagen Entfällt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 14/43
42 Horizontales Anfügen: Grundlagen Entfällt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 14/43
43 Horizontales Anfügen: Grundlagen Entfällt Entfällt Entfällt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 14/43
44 Horizontales Anfügen: Grundlagen Entfällt Entfällt Entfällt Vorgabe Guillotine-Anordnung = Anordnung zu Rechteck aufgefüllt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 14/43
45 Horizontales Anfügen: Grundlagen Entfällt Entfällt Entfällt Vorgabe Guillotine-Anordnung = Anordnung zu Rechteck aufgefüllt Herausragen über den Rand = Lösung ausschließen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 14/43
46 Analog vertikale Anfügen: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 15/43
47 Analog vertikale Anfügen: Entfällt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 15/43
48 Analog vertikale Anfügen: Entfällt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 15/43
49 Analog vertikale Anfügen: Entfällt Entfällt Entfällt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 15/43
50 Zweiter Iterationsschritt: Anordnungen mit bis zu 2 Teilen aneinanderfügen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 16/43
51 Zweiter Iterationsschritt: Anordnungen mit bis zu 2 Teilen aneinanderfügen Entfällt (zuviele Teile) Entfällt (zuviele Teile) 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 16/43
52 Entfallen (zuviele Teile) Entfällt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 17/43
53 Entfallen (Zuviele Teile) 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 18/43
54 Dritter Iterationsschritt: Anordnungen mit bis zu 3 Teilen aneinanderfügen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 19/43
55 Dritter Iterationsschritt: Anordnungen mit bis zu 3 Teilen aneinanderfügen 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 19/43
56 Keine weitere Anordnung möglich. Wähle eine Anordnung mit höchstem Wert: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 20/43
57 Keine weitere Anordnung möglich. Wähle eine Anordnung mit höchstem Wert: 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 20/43
58 Keine weitere Anordnung möglich. Wähle eine Anordnung mit höchstem Wert: Wert: 14, Abfall: 2 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 20/43
59 2.2. Formale Problembeschreibung 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 21/43
60 Definition Ein Rechtecktyp ist ein Tupel R = (l, b, w, m) N 3 (N ). Wir interpretieren dabei 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 22/43
61 Definition Ein Rechtecktyp ist ein Tupel R = (l, b, w, m) N 3 (N ). Wir interpretieren dabei Den Wert l als Länge von R Den Wert b als Breite von R Den Wert w als Wert von R Den Wert m als maximale Anzahl verfügbarer Rechtecke des Typs R 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 22/43
62 Definition Ein Packungsproblem ist ein Tripel P = (L, B, R), wobei L N ( Länge ), B N ( Breite ) und R eine endliche Menge von Rechtecktypen ist. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 23/43
63 Definition 1 Eine Anordnung von Rechtecken des Typs R i = (l i, b i, w i, m i ) (i = 1... n) ist ein Tupel A = (l, b, w, a), wobei l, b, w N a = (a 1... a n N n ( Anzahlvektor, Anzahl a i der Rechtecke R i ina 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 24/43
64 Definition 1 Eine Anordnung von Rechtecken des Typs R i = (l i, b i, w i, m i ) (i = 1... n) ist ein Tupel A = (l, b, w, a), wobei l, b, w N a = (a 1... a n N n ( Anzahlvektor, Anzahl a i der Rechtecke R i ina Die Menge aller Anordnungen wird mit A bezeichnet 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 24/43
65 Definition 1 Eine Anordnung von Rechtecken des Typs R i = (l i, b i, w i, m i ) (i = 1... n) ist ein Tupel A = (l, b, w, a), wobei l, b, w N a = (a 1... a n N n ( Anzahlvektor, Anzahl a i der Rechtecke R i ina Die Menge aller Anordnungen wird mit A bezeichnet 2 Die Anordnung A = (l, b, w, a) von Rechtecken der Typen R = {R i i = 1... n} heißt zulässig im Packungsproblem P = (L, B, R), wenn 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 24/43
66 Definition 1 Eine Anordnung von Rechtecken des Typs R i = (l i, b i, w i, m i ) (i = 1... n) ist ein Tupel A = (l, b, w, a), wobei l, b, w N a = (a 1... a n N n ( Anzahlvektor, Anzahl a i der Rechtecke R i ina Die Menge aller Anordnungen wird mit A bezeichnet 2 Die Anordnung A = (l, b, w, a) von Rechtecken der Typen R = {R i i = 1... n} heißt zulässig im Packungsproblem P = (L, B, R), wenn l L b B a m, d.h. i = 1... n : a i m i 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 24/43
67 Definition 1 Eine Anordnung von Rechtecken des Typs R i = (l i, b i, w i, m i ) (i = 1... n) ist ein Tupel A = (l, b, w, a), wobei l, b, w N a = (a 1... a n N n ( Anzahlvektor, Anzahl a i der Rechtecke R i ina Die Menge aller Anordnungen wird mit A bezeichnet 2 Die Anordnung A = (l, b, w, a) von Rechtecken der Typen R = {R i i = 1... n} heißt zulässig im Packungsproblem P = (L, B, R), wenn l L b B a m, d.h. i = 1... n : a i m i Die Menge der zulässigen Anordnungen in P wird mit A P bezeichnet. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 24/43
68 Definition Eine Anordnung A = (l, b, w, a) A P heißt Lösung von P, wenn A maximalen Wert w bezüglich der Menge aller zulässigen Anordnungen aus A P hat. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 25/43
69 Definition Sei P = (L, B, R) ein Packungsproblem mit R = {R i i {1,..., n}}. Für jedes R i = (l i, b i, w i, m i ) R heißt A i = (l i, b i, w i, e i ) primitive Anordnung. A prim ist die Menge aller primitiver Anordnungen. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 26/43
70 Definition Wir erklären den horizontalen Kombinationsoperator + h : A A A ((l, b, w, a), (l, b, w, a )) (maxl, l, b + b, w + w, a + a ) und den vertikalen Kombinationsoperator + v : A A A ((l, b, w, a), (l, b, w, a )) (l + l, max(b, b ), w + w, a + a ). Für B, C A schreiben wir B + h C bzw. B + v C für das elementweise Operieren. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 27/43
71 Definition Der Operator Prūf: (A) (A P ) X X A P heißt Prüfoperator und gibt aus einer Menge von Anordnungen die Menge der zulässigen Anordnungen zurück. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 28/43
72 Definition Der Operator Opt: (A P ) (A P ) X {A = (l, b, w, a) X w ist maximal} gibt aus einer Menge von Anordnungen die Menge der optimalen Anordnungen zurück. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 29/43
73 Algorithmus (1) Ω 0 := A prim (2) Ω i+1 := Prūf((Ω i + v ij=1 Ω j ) (Ω i + h ij=1 Ω j )) (3) Ω i+1 = (4) Ω i+1 = (2) (4) Ausgabe: Opt(Ω i ), w 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 30/43
74 Wir beschränken uns auf den Fall w = l b. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 31/43
75 relativer Verschnitt absoluter Verschnitt 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 32/43
76 Definition Der Operator PrūfRel βr : (A) (A P ) { X A = (l, b, w, a) X A A P, l b w } β r l b heißt relativer Prüfoperator und gibt aus einer Menge von Anordnungen die Menge der zulässigen Lösungen mit hinreichend kleinem relativem Abfall zurückgibt. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 33/43
77 Definition Der Operator PrūfAbs βa : (A) (A P ) { X A = (l, b, w, a) X A A P, l b w } L B β a heißt absoluter Prüfoperator und gibt aus einer Menge von Anordnungen die Menge der zulässigen Lösungen mit hinreichend kleinem absolutem Abfall zurückgibt. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 34/43
78 Algorithmus (1) Ω 0 := A prim (2) Ω i+1 := PrūfRel βr ((Ω i + v ij=1 Ω j ) (Ω i + h ij=1 Ω j )) (3) Ω i+1 = (4) Ω i+1 = (2) (4) Ausgabe: Opt(Ω i ), w Algorithmus (1) Ω 0 := A prim (2) Ω i+1 := PrūfAbs βa ((Ω i + v ij=1 Ω j ) (Ω i + h ij=1 Ω j )) (3) Ω i+1 = (4) Ω i+1 = (2) (4) Ausgabe: Opt(Ω i ), w 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 35/43
79 Beachte: Je kleiner β r bzw. β a, desto größer die Wahrscheinlichkeit, dass zuviele Anordnungen aussortiert werden und die optimale Anordnung nicht gefunden werden kann. Definition Das kleinstmögliche β r bzw. β a, für das das Verfahren die optimale Anordnung zurückgibt, wird mit β r bzw. β a bezeichnet. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 36/43
80 Satz Bei der Methode des absoluten Verschnitts gilt für die optimale Fehlertoleranz β a V L B und bei der Methode des relativen Verschnitts gilt β r V l 0 b 0, dabei ist V = L B (l b w) der Verschnitt einer beliebigen Anordnung (l, b, w, a) und (l 0, b 0, w 0, a 0 ) ist eine Anordnung, die als horizontale oder vertikale Kombination zweier Grundrechtecke bzw. primitver Anordnungen entsteht, mit minimaler Fläche l 0 b 0 bzw. minimalem Wert w 0. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 37/43
81 Definition Zwei Anordnungen A 1 = (l 1, b 1, w 1, m 1 ) und A 2 = (l 2, b 2, w 2, m 2 ) heißen äquivalent, wenn l 1 = l 2, b 1 = b 2, w 1 = w 2 und m 1 = m 2 gelten. Wir schreiben dafür A 1 A 2 und entsprechend ist [A] := A die Äquivalenzklasse aller Anordnungen, die zu A äquivalent sind. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 38/43
82 Weiter setzen wir die Operatoren horizontale Kombination + h und vertikale Kombination + v auf die Faktormenge A/ aller Äquivalenzklassen fort, vermöge und Analog setzen wir noch sowie [A 1 ] + h [A 2 ] := [A 1 + h A 2 ] [A 1 ] + v [A 2 ] := [A 1 + v A 2 ]. Prūf{[A i ] i I} := {[Prūf{A i }] i I} Opt{[A i ] i I} := {[Opt{A i }] i I} und entsprechend auch für PrūfRel βr und PrūfAbs βa. Dann können wir den Suchraum weiter einschränken, indem mit den Äquivalenzklassen gerechnet wird. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 39/43
83 Algorithmus (1) Ω 0 := A prim / (2) Ω i+1 := PrūfRel βr ((Ω i + v ij=1 Ω j ) (Ω i + h ij=1 Ω j )) (3) Ω i+1 = (4) Ω i+1 = (2) (4) Ausgabe: Opt(Ω i ), w Algorithmus (1) Ω 0 := A prim / (2) Ω i+1 := PrūfAbs βa ((Ω i + v ij=1 Ω j ) (Ω i + h ij=1 Ω j )) (3) Ω i+1 = (4) Ω i+1 = (2) (4) Ausgabe: Opt(Ω i ), w 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 40/43
84 Definition Eine Anordnung A 1 = (l 1, b 1, w 1, m 1 ) mit dem Verschnitt v 1 = l 1 b 1 w 1 heißt besser als eine Anordnung A 2 = (l 2, b 2, w 2, m 2 ) mit Verschnitt v 2 = l 2 b 2 w 2, falls v 1 v 2 und m 1 = m 2 gilt. Symbol: A 1 A 2. Für eine Anordnung A definieren wir A als diejenige Anordnung, für die keine Anordnung A 0 mit A 0 A existiert. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 41/43
85 Wir setzen und sowie entsprechend {A i i I} := { A i i I} [A] := [ A] {[A i ] i I} := {[ A i ] i I}. Damit lässt sich der Suchraum des Algorithmus weiter einschränken, indem nur die relativ besten Anordnungen verwendet werden. 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 42/43
86 Algorithmus (1) Ω 0 := A prim / (2) Ω i+1 := PrūfRel βr ((Ω i + v ij=1 Ω j ) (Ω i + h ij=1 Ω j )) (3) Ω i+1 = (4) Ω i+1 = (2) (4) Ausgabe: Opt(Ω i ), w Algorithmus (1) Ω 0 := A prim / (2) Ω i+1 := PrūfAbs βa ((Ω i + v ij=1 Ω j ) (Ω i + h ij=1 Ω j )) (3) Ω i+1 = (4) Ω i+1 = (2) (4) Ausgabe: Opt(Ω i ), w 2D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 43/43
87 P. Y. Wang. Two algorithms for constrained two-dimensional cutting stock problems. Operations Research, 31: , G. Scheithauer. Zuschnitt- und Packungsoptimierung: Problemstellungen, Modellierungstechniken, Lösungsmethoden. Vieweg+Teubner, D-Guillotine-Zuschnitt und Francesco Kriegel & Matthias Lange 43/43
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