Beispiel 1 Autofahrt 9 Punkte

Transkript

1 Hinweis: Die volle Punkteanzahl kann nur dann erreicht werden, wenn alle Berechnungen, ob mit oder ohne Taschenrechner durchgeführt, klar und nachvollziehbar dokumentiert wurden und richtig sind. Beispiel 1 Autofahrt 9 Punkte Es werden Autos beobachtet, die in eine Kreuzung einfahren und dann beschleunigen. Die Fahrzeit ab der Einfahrt in die Kreuzung wird in Sekunden gemessen (beginnend mit t = 0 s), der zurückgelegte Weg in Metern. a) Die Fahrt eines Autos wird durch die Wegfunktion s(t) = t² + t beschrieben. (t in s, v(t) in m/s) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto in den ersten 10 s zurücklegt. L: s (10) = 10² + 10 = 10m Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit (in m/s) das Auto in die Kreuzung eingefahren ist. L: v (t) = s'(t) = 2 t + ; v(0) = m/s (1 Punkt für den Weg, 1 Punkt für die Berechnung) b) Die Fahrt eines anderen Autos wird in den ersten 10 Sekunden seiner Fahrt durch den Geschwindigkeitsverlauf v (t) = 0,2 t² + 4 t + beschrieben. (t in s, v(t) in m/s) Berechnen Sie, nach welcher Zeit das Fahrzeug seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat L: Die Höchstgeschwindigkeit liegt vor, wenn v (t) = 0. v '(t) = 0,4 t + 4; v'(t) = 0 t = 10s; (1 Punkt für den Weg, 1 Punkt für die Berechnung) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit zurückgelegt hat. 10 L: s(t) = v(t)dt; s(10) = v(t)dt = 18, m. (Berechnung mit TR: <CALC>7: f(x)dx mit LL = 0 und UL = 10 oder über die Stammfunktion s(10) s(0). 0 (1 Punkt für den Weg, 1 Punkt für die Berechnung) c) Mit Hilfe eines Radargerätes wird die Geschwindigkeit der Fahrzeuge bei der Einfahrt in die Kreuzung gemessen (in km/h, gerundet auf Zehner). Die gemessenen Geschwindigkeiten und die entsprechende Anzahl der Fahrzeuge sind in der folgenden Tabelle dargestellt: Geschwindigkeit Anzahl der Fahrzeuge Berechnen sie die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der die Fahrzeuge in die Kreuzung eingefahren sind. L: TR: Eingabe der Daten mit <STAT><EDIT> z.b. in L1 und L2; <STAT><CALC>1: 1-Var Stats L1, L2 liefert den Wert x = 27,6km/h Stellen sie die Daten in einem Boxplot-Diagramm dar. L: TR: Die vorige Berechnung liefert auch die Daten für das Boxplot: minx = 0; Q1 = 20; Med = 0; Q = 40; maxx = 60 Mathematik Sommer 2017 Lösungen Mag. Kunnert 1/7

2 Beispiel 2 Kostenrechnung 10 Punkte Ein Unternehmen entwickelt ein neues Produkt und hat dafür Kosten und Absatzmöglichkeiten untersucht. Die Gesamtkosten (in ) werden durch die FunktionK (x) = 0,01 x³ 6 x² + 1 x angenähert. (x ist die Stückzahl). Pro Monat werden maximal 00 Stück produziert. a) Geben Sie die Fixkosten an. L: Die Fixkosten sind Stellen Sie fest, bei welcher Stückzahl die durchschnittlichen Kosten pro Stück minimal sind. (Diesen Wert nennt man Betriebsoptimum ) K(x) L: K (x) = = 0,01 x² 6 x ; Berechnung des Minimums mit TR: <CALC>:minimum ergibt x x x =, und y = 4,0. Die gesuchte Stückzahl ist also,. (Funktion der durchschnittlichen Kosten 1 Punkt, Berechnung des x-wertes für das Minimum 1 Punkt) b) Der Verkaufspreis soll, abhängig von der Stückzahl, durch eine lineare Funktion p(x) festgelegt werden. Durch Marktforschung konnte man feststellen, dass man bei einem Preis von 1000 Euro etwa Stück und bei einem Preis von 0 Euro etwa 00 Stück verkaufen kann. Stellen Sie die passende Preisfunktion p(x) auf. L: Man kennt 2 Punkte: A=( 1000) und B=(00 0). Steigungsdreieck: x = 00; y = 40 k = 1,; p(x) = 1, x + d; ein Punkt eingesetzt ergibt d = 1400; p(x) = 1, x (Für k 1 Punkt, p(x) weiterer Punkt.) p (x) 2 x + c) Die Preisfunktion wird schließlich mit = 1400 festgelegt. Stellen Sie die Gewinnfunktion auf L: E (x) = p(x) x = 2 x² x; G(x) = E(x) K(x) = 2 x² x (0,01 x³ 6 x² + 1 x ) G(x) = 0,01 x³ + 4 x² + x Berechnen Sie die Stückzahl, bei der der Gewinn maximal ist. L: TR: G(x) eingeben mit <Y=>, <CALC>4:maximum ergibt x = 289,7 Stück d) Das Unternehmen benötigt einen Kredit in der Höhe von Die Bank verlangt 7% Zinsen p.a. Die Rückzahlung soll in drei gleich hohen Raten am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres erfolgen. Berechnen Sie die Höhe dieser jährlichen Rate. L: Die drei Raten müssen mit dem Kredit K verglichen werden. Der Vergleichszeitpunkt kann der Zeitpunkt der Kreditauszahlung sein, dann müssen die drei Raten ein bzw. zwei bzw. Jahre abgezinst werden. Bei 7% Zinsen ist der jährliche Aufzinsungsfaktor a = 1,07. Für das Abzinsen muss jedes Jahr durch a dividiert werden. Somit ergibt sich die Gleichung R R R = + + R = = 810,2 (1 Punkt für a, 1 Punkt für die Gleichung, 1 Punkt für R) a a² a³ a a² a³ Beispiel Ölfabrik 7 Punkte In einer Ölfabrik wird Olivenöl in Flaschen abgefüllt. Eine Flasche soll 00 Milliliter (ml) Olivenöl enthalten. Man geht davon aus, dass die abgefüllte Menge einer Normalverteilung mit der Standardabweichung σ = ml entspricht. a) Die Genauigkeit der Abfüllanlage wird mit einer Stichprobe von 10 Flaschen überprüft. Es ergeben sich die folgenden Abfüllmengen in ml: Mathematik Sommer 2017 Lösungen Mag. Kunnert 2/7

3 Überprüfen Sie, ob die Größe der Standardabweichung dieser Stichprobe der Vorgabe entspricht. L: Angabewerte mit <STAT><EDIT> in eine Liste eingeben. <STAT><CALC>1: 1-Var Stats liefert σ = 4,196. Der Wert ist also zu hoch. b) Nach einer Inspektion der Anlage ist die durchschnittliche Abfüllmenge auf 00 ml und die Standardabweichung auf ml eingestellt. Die Firma garantiert, dass höchstens 10% der abgefüllten Flaschen weniger als 296 ml Öl enthalten. Überprüfen Sie, ob diese Garantie erfüllt wird. L: TR: P(X < 296) = normalcdf(-1e99, 296, 00, ) = 0,0912 = 9,12 % somit ist die Garantie erfüllt. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Abfüllmenge um weniger als 2 ml vom Sollwert abweicht. L: P(298 < X < 02) = normalcdf(298, 02, 00, ) = 0,490 = 49,0 % c) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Verschluss einer Flasche nicht korrekt ist und dadurch der Inhalt verdirbt, beträgt 1%. An ein Geschäft werden 0 Flaschen geliefert. Beschreiben Sie, wie man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen kann, dass in dieser Lieferung mehr als 2 Flaschen verdorben sind. L: Binomialverteilung mit n = 0, p = 0,01. P(X > 2) = 1 P(X 2) (= binomcdf(0, 0.01, 1) = 0,018) (1 Pkt.) Begründen sie, warum hier mit einer Binomialverteilung gerechnet werden kann. L: Es gibt nur zwei Möglichkeiten (verdorben oder nicht), und die Wahrscheinlichkeit dafür ist immer gleich. (1 Pkt) d) Bei dieser Abfüllanlage werden 60% aller Flaschen gefüllt und 10% davon haben einen zu geringen Inhalt. Bei einer zweiten Abfüllanlage werden die restlichen 40% aller Flaschen ebenfalls mit 00 ml Inhalt befüllt. Bei der zweiten Anlage haben 1% einen zu geringen Inhalt. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine aus der Gesamtproduktion zufällig ausgewählte Flasche einen zu geringen Inhalt hat. L: Baumdiagramm: 1. Stufe Abfüllanlage p = 0,6, 2. Anlage p = 0,4 2. Stufe bei 1. Anlage zu gering p = 0,1 in Ordnung p = 0,9; 2. Anlage zu gering p = 0,1, in Ordnung p = 0,8 2 Pfade für zu geringen Inhalt. P(zu gering) = 0,6 0,1 + 0,4 0,1 = 0, 12= 12 % (Baum 1 Pkt, Ergebnis 1 Pkt) Beispiel 4 Schlittenhügel 7 Punkte Ein kleiner Hügel, der von Kindern zum Schlittenfahren verwendet wird, hat ein Höhenprofil, das 1 durch die Funktion f(x): y = (x + 2) (x 10)² für 2 x 10 dargestellt werden kann (Maße in m). 64 Die Abfahrt ist rechts vom höchsten Punkt. a) Berechnen Sie die Koordinaten des höchsten Punktes dieses Hügels. L: TR <CALC>4:Maximum liefert H=(2 4) oder f (x) = 0 setzen. b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Abfahrt am steilsten ist. L: Steilste Stelle: Wendepunkt: f (x) = 1 ( x² 6 x + 60); f (x) = 1 (6 x 6). Aus f (x) = 0 ergibt sich für W: 64 x = 6. In f(x) eingesetzt: y = 2. Wendepunkt W=(6 2). (1 Punkt für f (x), 1 Punkt für W.) Geben Sie für diesen Punkt den Neigungswinkel an, den die Abfahrt mit der Horizontalen einschließt. 1 L: f (6) =, das ist tan(α). 4 α = tan ( ) = 6,87 (auch +6,87 ist richtig) 4 c) Als der Hügel aufgeschüttet wurde, benötigte man zur Berechnung der notwendigen Schottermenge die Größe der Querschnittsfläche, das ist im Höhenprofil die von der Kurve und der x-achse begrenzte Fläche. 64 Mathematik Sommer 2017 Lösungen Mag. Kunnert /7

4 Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. L: Die Nullstellen von f(x) berechnen (aus Produkt-Null-Satz oder mit TR <CALC>2:Zero: = 2; x 10; x1 2 = 10 Der Flächeninhalt ist f(x)dx = 27E². Berechnung mit TR: <CALC>7: f(x)dx oder über die Stammfunktion.. 2 d) Es wurde berechnet, dass man 10 m³ Schotter benötigt, um den Hügel aufzuschütten. Ein LKW kann mit 12 t Schotter beladen werden. Die Dichte von Schotter ist 1,4 kg/dm³ Berechnen Sie, wie viele Fahrten ein LKW machen müsste, um die gesamte Schottermenge anzuliefern. L: 1 m³ Schotter wiegt 1,4 t; 10 m³ wiegen 210 t. Die Anzahl der Fahrten ist 210 = 17, 12. Es sind also 18 Fahrten erforderlich. Beispiel Österreichs Bevölkerung wächst 7 Punkte (aus: Statistik Austria Bevölkerungsprognose 2016 vom ) Die österreichische Bevölkerung wächst derzeit jährlich um rund 1%, wie aktuelle Einwohnerzahlen und Prognosen von Statistik Austria zeigen. Im Jahresdurchschnitt 201 betrug die Bevölkerungszahl Österreichs 8,6 Mio. Einwohner. Wien wird infolge der Zuwanderung das mit Abstand stärkste Bevölkerungswachstum aller Bundesländer erleben. Die Bevölkerung hatte 1,81 Mio. im Jahr 201 und wird im Jahr 202 mit 2,07-Mio. Einwohnern die 2-Millionen-Grenze überschritten haben. a) Stellen Sie das Wachstum der österreichischen Bevölkerung als Funktion in der Form dar. (t in Jahren, wobei t = 0 für das Jahr 201 gesetzt wird; N(t) in Millionen Einwohnern) L: c = N(0) = 8,6 Mio. Wachstumsfaktor a für 1 % ist 1,01, t N(t) = 8,6 1,01 N(t) = c a Berechnen Sie damit, in welchem Jahr Österreich die 9-Millionen-Marke überschreiten wird. t 9 t L: 9 9 = 8,6 1,01 = 1,01 ln( ) = t ln(1,01) t = 4, 22Jahre. Überschreitung im Jahr , 6 8,6 b) Stellen Sie das Wachstum der Bevölkerung von Wien als Funktion in der Form N (t) = c e λ t (t in Jahren, wobei t = 0 für das Jahr 201 gesetzt wird; N(t) in Millionen Einwohnern) L: N (0) = 1,81;N(8) = 2,07; N (t) = 1,81 e λ t. Mit t = 8: 2,07 = 1,81 e λ 8 ( 2,07 λ = ln ) λ = 0, , 81 t dar. (1 Pkt) Berechnen Sie, um wieviel Prozent pro Jahr die Wiener Bevölkerung in diesem Zeitraum wächst. L: e λ = 1,0169 ist der Wachstumsfaktor pro Jahr, das Wachstum ist also 1,69 % pro Jahr. c) Im Jahr 1987 hatte Wien etwa 1,48 Mio. Einwohner. Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Bevölkerung Wiens von 1987 bis 201 gewachsen ist. p L: 100 % sind 1,48 Mio. 1,81 = 1,48 p = 122, 28 %; das ist ein Wachstum um 22,28 %. 100 d) Eine langfristige Prognose nimmt an, dass Wiens Bevölkerung in den Jahren von 200 bis 2090 von 2,18 Mio. Einwohner auf 2,0 Mio. Einwohner anwachsen wird. Überprüfen Sie, ob sich dieses Wachstum durch die Funktion N (t) = 0,00 t + 2, 18 beschreiben lässt. (t in Jahren; N(t) in Millionen Einwohnern) 2,0 2,18 k 40 L: y = k x + d; t = 0 im Jahr 200: N(0) = 2,18 = d; t = 40 im Jahr 2090: N(40) = 2,0; = = 0, 00 (1 Pkt) Geben Sie die Bedeutung der in dieser Formel vorkommenden Zahlen im Sachzusammenhang an. L: 0,00: Jedes Jahr wächst die Bevölkerung um 0,00 Mio. 2,18: Stand im Jahr 200. Mathematik Sommer 2017 Lösungen Mag. Kunnert 4/7

5 Beispiel 6 Teetasse 6 Punkte Die Innenseite einer Teetasse ist in nebenstehender Zeichnung im Querschnitt dargestellt. Sie hat die Form eines Kegelstumpfes mit der Höhe h. Der Radius des unteren Kreises hat die Länge r1, der des oberen Kreises die Länge r2. Für eine Tasse gelten die Maße r1 = 0 mm, r2 = 8 mm und h = 0 mm. π h 2 2 a) Das Volumen eines Kegelstumpfes lässt sich mit der Formel V ( r + r r + ) = r2 berechnen. Berechnen Sie, wie viele ml Tee in der Tasse Platz haben, wenn Sie bis zum oberen Rand gefüllt wird L: 1 ml = 1cm³, also in cm rechnen oder nachher umrechnen. (1 Pkt); V = π ( ² +,8 +,8² ) = 182, 4 ml (1 Pkt) Eine andere Tasse soll nur ein Volumen von 10 ml besitzen. Dabei sollen die Höhe und der untere Rand unverändert bleiben, nur der Radius r2 wird verkleinert. Berechnen Sie die neue Größe von r2. π L: 10 ( ² + + x² ) x² + x = 0 = π x. Lösung mit TR: <SOLVER> oder Formel (pos. Wert): r2 =,18cm = 1,8 mm. b) Berechnen Sie die Größe des Winkels α, den die Seitenwand mit dem Boden der Tasse einschließt. r L: 2 r1 8 1 α = 90 + β; tan( β ) = = = 0,16 β = tan (0,16) = 9,09 α = ,09 = 99,09 h 0 c) Gibt man in die Tasse einen Teebeutel und gießt mit kochendem Wasser auf, so wird der Wirkstoff Koffein (auch als Tein bezeichnet) aus den Teeblättern ausgelaugt und löst sich im Wasser auf. Koffein hat eine anregende Wirkung. Gleichzeitig werden auch Bitterstoffe aus den Teeblättern gelöst, die eine beruhigende Wirkung haben. Die Grafik beschreibt die Koffeinmenge und die Bitterstoffmenge (jeweils in mg), die sich nach der Zeit t (in s) in der Tasse befindet. Die Koffeinmenge lässt sich durch die Funktion K(t) = 4 (1 e 0,02 t ) beschreiben. β Lesen Sie aus der Grafik ab, wie lange der Teebeutel ziehen sollte, damit sich 20 mg Koffein im Wasser befinden L: 0 s Berechnen Sie, wie hoch die Koffeinmenge nach 90 s ist. L: K(90) = 7,6 mg Beschreiben Sie die Bitterstoffmenge durch eine passende Funktionsgleichung B(t). L: B(t) = k t; B(180) = = k 180 k = ; B( t) = t Mathematik Sommer 2017 Lösungen Mag. Kunnert /7

6 Beispiel 7 Reaktions- und Bremsweg Punkte Manchmal macht es die Verkehrssituation notwendig, dass beim Autofahren in einer Gefahrensituation eine Notbremsung durchgeführt werden muss. Der Anhalteweg, der zwischen dem Erkennen der Situation und dem Stillstand des Fahrzeuges zurückgelegt wird, setzt sich aus zwei Teilstücken zusammen: o dem Reaktionsweg r, das ist der Weg, der vom Erkennen der Situation bis zum Tritt aufs Bremspedal zurückgelegt wird. Während der Reaktionszeit fährt das Auto noch mit der vollen Geschwindigkeit v weiter. Aus Erfahrung lässt sich dieser Weg mit der Formel r(v) = 0, v angeben, wenn v in km/h und r in m angegeben wird. o dem Bremsweg b. Bei trockener Fahrbahn, guten Reifen und Vollbremsung (das Pedal wird von Anfang an vollständig gedrückt) gilt die Formel b (v) = (v in km/h und b in m). Bei ungünstigen Bedingungen (nasse oder gar eisige Fahrbahn) gilt die Formel b(v) = k, wobei k vom Straßenzustand abhängig ist: Zustand der Fahrbahn Wert für k trocken 1 nass 1,6 Schnee 4 Eis 8 a) Ein Autofahrer fährt mit 6 km/h.berechnen Sie seinen Reaktionsweg und daraus die Reaktionszeit, die in dieser Formel verwendet wird. L: r( v) = 0, 6 = 10, 8 m; 6 km/h = 6/,6 =10 m/s. Wenn man für 10 m 1 s braucht, so braucht man für 10,8 m 10,8/10 =1,08 s. Die Reaktionszeit ist also 1,08 s (gerundet 1,1 s) b) Ein Auto fährt mit 90 km/h bei nasser Fahrbahn. Berechnen Sie den Anhalteweg. L: r(90) = 0, 90 = 27 m. b(90) = 90² 1,6 = 81m. a(90) = r(90) + b(90) = 91,8 m.. c) Nach einem Unfall wird die Länge der Bremsspur eines Fahrzeuges gemessen. Sie hat eine Länge von 6 m. Zeugen geben an, dass das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist. Die Fahrbahn war trocken. Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit das Fahrzeug vor der Bremsung unterwegs war. L: r(v) + b(v) = 90 0, v + = 6 wird zu v ² + 60 v 11 = 0 Lösung (TR <SOLVER> oder kleine Formel (nur die positive Lösung) ergibt v = 80 km/h (1 Punkt aufstellen der Gleichung, 1 Punkt für die Lösung) d) Ein Fahrschüler sagt: Wenn ich doppelt so schnell fahre, so brauche ich den vierfachen Anhalteweg. Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung. 4 4 L: a( v) = 0, v + ; a(2 v) = 0,6 v + ; 4 a( v) = 1,2 v +. Die Aussage stimmt nicht, da sich der Reaktionsweg nur verdoppelt. (Der Bremsweg wird tatsächlich viermal so groß.) Mathematik Sommer 2017 Lösungen Mag. Kunnert 6/7

7 Beispiel 8 Schiefer Wurf Punkte Wird ein Gegenstand mit einer bestimmten Geschwindigkeit schräg nach oben geworfen, so beschreibt seine Flugbahn (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) eine sogenannte Wurfparabel. Die momentane Höhe h des Gegenstandes in Abhängigkeit von der Horizontalentfernung x des Gegenstandes vom Abwurfpunkt A lässt sich mit der Formel h (x) = x² + x tanβ + c (cosβ)² beschreiben. x Horizontalentfernung in m h Flughöhe in m v Abwurfgeschwindigkeit in m/s β Abwurfwinkel in Grad (der Winkel, unter dem der Gegenstand nach oben geworfen wird) c Höhe des Abwurfpunktes über dem Erdboden a) Ein Kind wirft einen Ball. Der Abwurfpunkt liegt 1, m über dem Boden, die Abwurfgeschwindigkeit beträgt 10 m/s, der Abwurfwinkel beträgt. Stellen sie die passende Funktion h(x) auf. L: h ( x) = x² + x tan( ) + 1, = 0,074 x² + 0,7 x + 1, 100 cos ²( ) Berechnen Sie, wo derball am Boden auftrifft. L: h(x) = 0 bei 11,2 m. Berechnung mittr: <CALC>2:Zero oder mit Formel (nur positive Lösung) b) Die Flugbahn eines Golfballes lautet g(x) = 0,006 x² + 0,9 x Berechnen Sie den Abwurfwinkel β L: tan(β) = 0,9 β = 41,987 Berechnen Sie die Abwurfgeschwindigkeit L: = 0,006 =. β eingesetzt ergibt = 108, v=8,87 m/s (1 Pkt) (cosβ )² 0,006 (cosβ )² c) Eine Sportlerin hat die Kugel so geworfen, dass der Abwurf im Punkt A=(0/2,2) erfolgte und die Kugel ihren höchsten Punkt in H=(2,1/,1) erreichte. Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die angegebene Flugbahn auf. L: In die Scheitelform h( x) = a ( x 2,1)² +, 1den Punkt A einsetzen ergibt 2,2 = a (-2,1)²+,1 a = 0, 2041 h ( x) = 0,2041 ( x 2,1)² +,1. Kann auch in allgemeiner Form h(x) = 0,2041 x² + 0,872 x + 2,2 angegeben werden. Beurteilung: Note Punkte Sehr gut 49 6 Gut Befriedigend 1 9 Genügend 22 0 Nicht genügend 0 21 Mathematik Sommer 2017 Lösungen Mag. Kunnert 7/7