2015/16 I GK Q1 Be 1. Klausur Name : Durchschnitt = 0.5 * ( ) = Durchschnitt = 43.5 = 14.

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Lilli Acker
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1 /6 I GK Q Be. Klausur Name :.. Nr. : Aktie auf Achterbahnfahrt Vor einigen Tagen machte eine Aktie eine Achterbahnfahrt. Vereinfacht folgte der Kurs der Aktie dem Graphen der Funktion f mit: f (x) = x - 7. x + x +. Dabei wird die Zeit x in Tagen gemessen und der Funktionswert gibt den Wert der Aktie in an. Die Funktion f beschreibt den Verlauf der Aktie für Tage. a) Preis Zeit [d] Berechnen Sie den durchschnittlichen Wert der Aktie in diesen Tagen mit Hilfe der Berechnungsformel für die Fläche unter einer Kurve. Unterteilen Sie die Fläche in 6 Teile (siehe Skizze). Können Sie begründet entscheiden, ob dieser Durchschnittswert größer oder kleiner als der exakte Durchschnittswert ist? Fläche unter der Kurve Durchschnitt = ; a = ; b = ; n = 6 ; Δx = b-a Breite des Intervalls n =. Fläche: S 6 =. (f() + f(.) + f() + f(.) + f() + f(.)) =. * ( ) =. Durchschnitt =. =. Im Schnitt der Tage kostete die Aktie.. Der Wert kann größer oder kleiner als der wahre Wert sein, da die Funktion in diesen 6 Tagen steigt und fällt. Nach der Skizze ist wohl die Fläche der roten Dreiecke über der Kurve größer als die beiden weißen unter der Kurve. Daher sollte die wahre Fläche kleiner als. sein. b) Berechnen Sie nun die exakten durchschnittlichen Wert der Aktie in diesen Tagen mit Hilfe des HDI. Fläche unter der Kurve Durchschnitt = Breite des Intervalls Fläche: x - 7. x + x + t = x -. x + 6 x + x = =.7 Durchschnitt =.7 =. Der exakte Durchschnittswert der Aktie betrug in dieser Woche.. Nr. : Graphische Integration Zeichnen Sie die Graphen einer Stammfunktion in das gleiche Koordinatensystem ein. a) Exakte Werte für x=,, verlangt b) Der Anfang ist schon vorgegeben

2 GK.6.K.nb Nr. : Bestimmen Sie eine Stammfunktion und berechnen Sie die bestimmten Integrale. 6 a) x - x + x x b) x - 6 x + a x x c) x - - x x 6 a) x - x + x x = x - x + x 6 = (-) - (-) + (-) = - (99) = b) x - 6 x + a x x = x - x + a x c) x - x x = x + x = = = Nr. : Bestimmtes Integral und Fläche (Rechnungen ohne die Integrationsfähigkeiten des GTR) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x - x -. a) Berechnen Sie das bestimmte Integral von f zwischen den Grenzen - und. x - x - x = 6 x - x 7 - x = = - -

3 b) Berechnen Sie die Fläche zwischen der x-achse und dem Graphen von f zwischen den Grenzen - und. () Nullstellen : f (x) = ; = x - x - x - x - = x, = ± 9 + x = - ; x = () Flächenberechnung: - - A = f(x) dx = x - x - x = 6 x - x 9 - x = A = f(x) dx = x - x - x = 6 x - x -7 - x = () Gesamtfläche: A = A + A = = = 7. =.8 [FE] c) Bestimmen Sie die obere Grenze b so, dass das bestimmte Integral von f zwischen den Grenzen und b null wird. Das Integral von bis b muss werden: b b f (x) dx = x - x - x = 6 x - x b - x = 6 b - b - b - () Lösung der Gleichung. Grades. 6 b - b - b =! / (6) b -. b b = (b ausklammern!) b b -. b - = b = (triviale Lösung, Strich,keine Fläche) b -. b - = b, =. ±. + =. ± 7.6 =. ±.68 b = = ; b = = Für b = , und wird das Integral. Skizzen zur Verdeutlichung: Nr. : Auto im Schnee

4 GK.6.K.nb Ein Autofahrer hat sich im Schnee festgefahren. Um wieder freizukommen, fährt er ein Stück rückwärts, um dann mit Schwung aus dem Schnee zu kommen. Dann bremst er den Wagen wieder ab. Das nebenstehende Bild zeigt das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm dieses Vorgangs. Es ist der Graph der Funktion f mit: f(x) = -. x + x - x.dabei wird die Zeit x in Sekunden und die Geschwindigkeit f(x) in m / s gemessen. v [m/s] t [s] a) () Wie schnell fährt er nach Sekunden? () Wann beträgt seine Geschwindigkeit. m / s? (Gleichung notieren, dann Lösung mit GTR) () f() =. m/s Er fährt dann mit. m/s. () f(x) =.. = -. x + x - x x =., x = -.79 (entfällt) x =.9 Seine Geschwindigkeit beträgt nach. und. Sekunden. m/ s. b) () Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit ausführlicher Rechnung. (ohne GTR) () Wann war das Rückwärtsfahren beendet? () Nach wieviel Sekunden ist er wieder frei? () Ist er weiter vorwärts oder rückwärts gefahren? (mit Begründung) () Nullstellen: f(x) = ; = -. x + x - x = x -. x + x - x = od. -. x + x - = x = ; x - 6. x + 6. = x, = 6. ± x, = 6. ±.87 x = ; x =. ; x =. N ( ) ; N (. ) ; N ( ) ; () Nach. s war das Rückwärtsfahren beendet. () Nach s ist die Geschwindigkeit wieder null, daher dauerte das Freifahren insges. s. () Die die Fläche unter der x-achse wesentlich kleiner ist, als die Fläche über der x-achse, ist er weiter vorwärts als rückwärts gefahren. c) Wieviel m ist er rückwärts, wie weit vorwärts gefahren? Wieviel Meter ist der Endpunkt vom Startpunkt der Aktion entfernt? Die Wirkung der Geschwindigkeit ist der Weg. Daher müssen die Integrale bestimmt werden. rückwärts von bis. s.. f(x) x = -. x + x - x x == -.8 x + x - x. = -.8 *. + * () = -.79 Er ist also ca 6 cm rückwärts gefahren. Von. bis s ist er vorwärts gefahren:

5 f(x) x = -.8 x + x - x = * = 8.- (-.79) = Danach ist er also ca m vorwärts gefahren. Damit hat es sich insgesamt = 8. m von seinem Startplatz vorwärts bewegt. Orientierter Weg : (Gesamtintegral: -. x + x - x x = 8. ) Viel Erfolg!!!

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