Beispiel 1 Minigolf 8 Punkte

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1 Hinweis: Die volle Punkteanzahl kann nur dann erreicht werden, wenn alle Berechnungen, ob mit oder ohne Taschenrechner durchgeführt, klar und nachvollziehbar dokumentiert wurden und richtig sind. Beispiel 1 Minigolf 8 Punkte Ein Minigolfball soll von der horizontalen Abschlagfläche auf eine höhergelegene horizontale Plattform gerollt werden. Der Verlauf der Bahn im Querschnitt kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion f mit f ( = a x³ + b + c x + d beschrieben werden. Die Bahn soll in den Punkten A und B knickfrei auf die jeweilige Ebene führen. Knickfrei bedeutet, dass die Funktionen an diesen Stellen den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben. a) Die Funktion ist durch die nachfolgende Zeichnung angegeben. Geben Sie an, welche Steigung die Funktion f in den Punkten A und B haben muss. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion f. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion f. Die Steigung der Funktion f muss in den Punkten A und B null sein. (1 Punkt) I. f (0) = 0; II. f (3) = 0; III. f(0) = 0; IV. f(3) = 1,2 (2 Punkte) Lösen des Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz: a = 4 ; b = 2 ; c = 0; d = 0; (1 Punkt) b) Eine ähnliche Rampe hat für 0 x 3die Gleichung g( = 0,1 x³ + 0,45. Sie wird rechts davon 1 m horizontal fortgesetzt. und ist der nachfolgenden Zeichnung dargestellt Mathematik Herbst 2017 Lösungen Mag. Kunnert 1/8

2 Berechnen Sie die x-koordinate jenes Punktes, in dem g( die größte Steigung hat. Die Rampe soll in einer Breite von 1,2 m betoniert werden. Berechnen Sie wie viele m³ Beton dafür erforderlich sind. Das ist im Wendepunkt, also g = 0: g '( = 0,3 + 0,9 x; g"( = 0,6 x + 0,9 x = 1, 5 (2 Punkte) 3 V = g( dx 1,35 1 1,2 = 4,05m³ + (2 Punkte) 0 Beispiel 2 Reaktions- und Bremsweg 8 Punkte Manchmal macht es die Verkehrssituation notwendig, dass beim Autofahren in einer Gefahrensituation eine Notbremsung durchgeführt werden muss. Der Anhalteweg, der zwischen dem Erkennen der Situation und dem Stillstand des Fahrzeuges zurückgelegt wird, setzt sich aus zwei Teilstücken zusammen: o Dem Reaktionsweg r, das ist der Weg, der vom Erkennen der Situation bis zum Tritt aufs Bremspedal zurückgelegt wird. Während der Reaktionszeit fährt das Auto noch mit der vollen Geschwindigkeit v weiter. In der Fahrschule lernt man dafür eine Formel: r( v) = 0, 3 v. Dabei wird v in km/h (Achtung auf die Einheit!) angegeben, r(v) ergibt sich in Metern. o Dem Bremsweg b. Bei trockener Fahrbahn, guten Reifen und Vollbremsung (das Pedal wird von Anfang an v² vollständig gedrückt) gilt die Fahrschulformel b ( v) = (v in km/h und b in m). a) Ein Auto fährt mit 90 km/h. Berechnen Sie den Anhalteweg mit Hilfe der angegebenen Formeln. 90² Lösung: r( 90) + b(90) = 0, = 70, 5 m (1 Punkt) b) Nach einem Unfall wird die Länge der Bremsspur eines Fahrzeuges gemessen. Sie hat eine Länge von 38 m. Zeugen geben an, dass das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist. Die Fahrbahn war trocken. Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) das Fahrzeug vor der Bremsung unterwegs war. Lösung: v² 38 = 61,64 km / h (1 Punkt) c) Auf normalen Straßen sollte man seine Geschwindigkeit so wählen, dass man beim Auftauchen eines unvorhergesehenen Hindernisses durch Notbremsung vor dem Hindernis anhalten kann. Die Straße ist trocken und die momentane Sichtweite beträgt gerade 70 m. Berechnen Sie die Fahrtgeschwindigkeit (in km/h), mit der der Anhalteweg die 70 m nicht überschreitet. Lösung: Gleichung Frage). (2 Punkte) v² 0,3 v + = 70 v² + 60v = 0 v = 92,07 km / h (nur die positive Lösung kommt in Mathematik Herbst 2017 Lösungen Mag. Kunnert 2/8

3 d) Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 18 m/s und leitet eine Bremsung ein. Der Fahrer steigt zunächst nur leicht auf die Bremse und dann immer stärker. Die Bremsung (=negative Beschleunigung) a(t) wird durch die lineare Funktion a( t) = t beschrieben. Stellen sie die Geschwindigkeitsfunktion v(t) auf. (t in Sekunden, v(t) in m/s) Stellen Sie fest, nach welcher Zeit das Auto zum Stillstand kommt. Berechnen Sie den zurückgelegten Weg bis zum Stillstand. Lösung: v ( t) = a( t) dt = 0,5 t² + c.wegen v(0) = 18 ist c = 18. v ( t) = 0,5 t² (2 Punkte) v(t) = 0: 0,5 t ² + 18 = 0 t² = 36 t = 6. Nach 6 s kommt das Auto zum Stillstand (1 Punkt, auch zu geben, wenn v(t) falsch, aber gleichwertig ist) 6 s = v( t) dt = 72 m (Berechnung mit TR: <CALC>7: f(d (1 Punkt, auch bei einem Folgefehler) 0 Beispiel 3 Pizzateig 10 Punkte Der Teig für Pizza wird aus Mehl, Wasser, Öl, Germ (=Hefe) und etwas Zucker zubereitet. Die Zutaten werden zuerst gut durchmischt und geknetet. Dann soll der Teig rasten, also in warmer Umgebung stehen gelassen werden. Die Germ reagiert mit dem Zucker als Triebmittel, das bedeutet, dass sich dadurch das Volumen des Teiges vergrößert. a) Der Teig für eine große Pizza hat nach dem Kneten ein Volumen von cm³. Bei der richtigen Umgebungstemperatur beträgt das Volumen nach 5 Minuten 230 cm³ Die Vergrößerung des Volumens kann näherungsweise durch eine Funktion der Form λ t V ( t) = V (0) e beschrieben werden. (t Zeit in Minuten, V(t) Volumen zur Zeit t in cm³) Berechnen Sie die Wachstumskonstante λ auf 5 Dezimalstellen genau. In den meisten Kochbüchern steht, dass man den Teig weiterverarbeiten kann, wenn sich sein Volumen verdoppelt hat. Berechnen Sie, wie lang man also den Pizzateig rasten lassen sollte. ln( 230) Gleichung λ = e λ = = 0, (2 Punkte) 5 Gleichung λ ln(2) 400 = e t t = = 24, 7974 Man sollte den Teig etwa 25 min rasten lassen. (2 Punkte) λ b) Ein anderer Pizzabäcker verwendet weniger Germ und eine geringere Umgebungstemperatur. Dadurch muss der Teig länger rasten und bleibt etwas fester. Das Volumen vergrößert sich von cm³ innerhalb von 25 min auf 320 cm³. Die Vergrößerung des Volumens kann annähernd durch eine lineare.funktion V(t) beschrieben werden. Geben sie eine Gleichung dieser Funktion V(t) an. (t Zeit in Minuten, V(t) Volumen zur Zeit t in cm³). Stellen Sie diese Funktion für 0 t 40 in einem beschrifteten Koordinatensystem grafisch dar. Mathematik Herbst 2017 Lösungen Mag. Kunnert 3/8

4 y 120 k = = = 4,8 V ( t) = 4,8 t + (2 Punkte) x 25 (1 Punkt) d) Die Vergrößerung des Volumens für einen anderen Teig wird in der folgenden Grafik abgebildet. Lesen Sie aus der Grafik ab, nach welcher Zeit sich das Volumen des Teiges verdoppelt hat. Bestimmen Sie mit Hilfe der Zeichnung das durchschnittliche Wachstum des Volumens pro Minute in den ersten 30 Minuten. Beschreiben sie, wie Sie aus der Grafik das momentane Wachstum zur Zeit t = 30 min ablesen können. nach etwa 18 min Ergebnisse zwischen 17,5 und 19 min gelten als richtig (1 Punkt) In 30 min um 300 cm³, also pro min um 10 cm³ (1 Punkt) Das ist die Steigung der Tangente im Punkt P(30 500). (Der Wert - etwa 6,5 - ist nicht gefragt) (1 Punkt) Beispiel 4 Wasserstrahl 6 Punkte Ein Wasserstrahl tritt aus einem Gartenschlauch aus. Der Verlauf des Wasserstrahls kann mit einer Funktion der Form h ( = a + b x + c beschrieben werden x. horizontale Entfernung vom Austrittsort in Metern (m) h( Höhe des Strahls über einem Punkt am Boden in x Metern Entfernung vom Austrittsort in Metern (m) Mathematik Herbst 2017 Lösungen Mag. Kunnert 4/8

5 a) Für einen bestimmten Strahl lautet die Funktion h ( = 0,1 + x + 1, 1 Berechnen Sie, in welcher horizontalen Entfernung x vom Austrittsort dieser Strahl auf dem Boden auftrifft. Berechnen Sie, in welchem Punkt H der Strahl seine größte Höhe erreicht. Gleichung 0 = 0,1 + x + 1,1 10 x 11 = 0 x = 11m (nur positive Lösung ist gültig) (1 Punkt) mittels h '= 0 oder TR: <CALC>4:maximum: H(5 3,6) (2 Punkte) b) Ein Wasserstrahl tritt in einer Höhe von 1 m aus. Nach 3 m horizontaler Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2,5 m. Ermitteln Sie jene Polynomfunktion h ( = a + b x + c, welche die Höhe h des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung x vom Austrittsort des Wassers beschreibt. Lösung: Entweder mit der Scheitelform h ( = a ( x 3)² + 2, 5; C(0 1) eingesetzt ergibt a = 1 h( = 1 + x + 1 oder die 3 Bedingungen h(0) = 1; h(3) = 2,5; h (3) = 0 und Lösung des entsprechenden Gleichungssystems. (3 Punkte) 6 6 Beispiel 5 Flachbildschirme 8 Punkte Eine Elektronikfirma wird eine neue Bauart von Flachbildschirmen erzeugen und untersucht die Marktsituation für den Verkauf dieses Produktes. Es ist geplant, maximal 500 Stück pro Monat zu produzieren. Die Kosten können durch die Funktion K ( = 0,0093 x³ 5, x + 00 abgeschätzt werden. a) Berechnen Sie die durchschnittlichen Kosten pro Stück, wenn die Produktionsmenge 400 Stück beträgt. (400) 165 Lösung: K ( 400) = K = = 413 (1 Punkt) b) Marktforschungen haben ergeben, dass bei einem Preis von 600 pro Stück etwa 300 Stück verkauft werden könnten. Wollte man 400 Stück verkaufen, dürfte der Preis nur 400 Euro betragen. Erstellen Sie aufgrund dieser Angaben eine passende lineare Preisfunktion p( Lösung: Von der linearen Funktion p( sind 2 Punkte gegeben: ( ) und ( ). Die Steigung beträgt daher y k = = = 2 p( = 2 x + d Durch Einsetzen eines der beiden Punkte erhält man d = 1. x 100 p ( = 2 x + 1 (2 Punkte) c) Die Preisfunktion wird schließlich mit p ( = 1,8 x festgelegt. Stellen Sie die Gleichungen der Erlösfunktion und der Gewinnfunktion auf. Geben Sie an, für welche Stückzahlen ein Gewinn gemacht wird. Berechnen Sie jene Stückzahl, bei der der Gewinn am größten ist. Mathematik Herbst 2017 Lösungen Mag. Kunnert 5/8

6 Lösungen E( = p( x = 1, x (1 Punkt) G ( = E( K( = 0,0093 x³ + 3, x 00 (1 Punkt) Berechnung der beiden positiven Nullstellen von G( (oder der Schnittpunkte von E( und K( mit Technologieeinsatz ergibt x1 = 85,47 und x2 = 390,28. Gewinn wird also für x Stück gemacht, wenn 86 x 390. (für Unter- und Obergrenze je 1 Punkt, wird auch gegeben bei Folgefehler (wenn G( falsch ist) Berechnung mit Technologieeinsatz oder durch Lösen der Gleichung G ( = 0. Der maximale Gewinn wird bei 270,89 (gerundet bei 271) Stück gemacht. (1 Punkt, wird auch gegeben bei einem Folgefehler) d) Die Firma hat vor vier Jahren eine Rücklage von gebildet, die mit 2,5 % Zinsen pro Jahr verzinst wird. Berechnen Sie, auf welchen Betrag diese Rücklage bis heute angewachsen ist. Lösung: E = 00 1,025 4 = 22076,26 (1 Punkt) Beispiel 6 Radfahrten 11 Punkte a) Der Radfahrer Paul fährt um 8 Uhr vom Ort A los in Richtung zum Ort B und kommt dort um 11 Uhr an. Die Entfernung von A nach B beträgt 45 km. Der Radfahrer Roland fährt ihm um 9:15 Uhr von B aus entgegen mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h. Zeichnen Sie die beiden Bewegungen als lineare Funktionen p(t) für Paul und r(t) für Roland in ein beschriftetes und skaliertes Koordinatensystem ein. (die Zeit t wird in Stunden gemessen mit t = 0 um 8 Uhr; p(t) und r(t) geben jeweils die Entfernung vom Ort A zum Zeitpunkt t in km an) Geben Sie die Funktionsgleichungen für p(t) und r(t) an. Bestimmen Sie (durch Ablesen aus der Grafik oder durch Rechnung) wann und wo die beiden einander treffen. Grafik siehe Zeichnung rechts (für r(t) und p(t) je 1 Punkt) p( t) = 15 t; r( t) = 20 t + d; R : 45 = 20 1,25 + d d = 70; r( t) = 20 t + 70 (für r(t) und p(t) je 1 Punkt) aus der Grafik: nach 2 Stunden, also um 10 Uhr, 30 km von A entfernt. Rechnung : durch Lösen von p(t) = r(t) (1 Punkt) b) Anton fährt mit dem Rad in die Schule. Für den Hinweg benötigt er 40 Minuten. Für den Rückweg benötigt er nur 30 Minuten, da es leicht bergab geht und er deshalb um 5 km/h schneller fahren kann Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Anton bei der Hinfahrt. Berechnen Sie die Länge des Schulweges: Mathematik Herbst 2017 Lösungen Mag. Kunnert 6/8

7 Weg (in km) Zeit(in h) Geschwindigkeit (in km/h) Hinfahrt 2/3 x 2/3 x Rückfahrt 1/2 (x + 5) 1/2 x + 5 Die beiden Wege sind gleich, also lösen wird die Gleichung 2 5 x = 1 ( x + 5) 1 x = x = 15 Die Geschwindigkeit bei der Hinfahrt beträgt 15 km/h. (1 Punkt für das Aufstellen der Gleichung(en), 1 Punkt für die Lösung) 2 Der Weg ist x = 10 km (1 Punkt) 3 c) Für eine längere Radtour wurde ein Höhenprofil erstellt. Daraus ist für jeden Punkt auf der Tour die Horizontalentfernung vom Ausgangspunkt A und die jeweilige Meereshöhe abzulesen Berechnen Sie die Straßensteigung der Etappe von B nach C in Prozenten. Berechnen Sie den Steigungswinkel, unter dem die Strecke von B nach C zur Horizontalen geneigt ist Berechnen Sie, um wie viele Meter die geneigte Strecke von B nach C länger ist als ihre Horizontalentfernung auf 20 km Horizontalentfernung sind es 220 m Höhenunterschied. k = 220 = 0,011 = 1,1 % 1 k = tan( α ) α = tan (0,011) = 0,63 entweder mit Pythagoras oder Winkelfunktion: um 1,2 m 00 Beispiel 7 Teppiche 5 Punkte Ein Teppichhändler bezieht seine handgeknüpften Teppiche aus zwei verschiedenen Dörfern. Die Qualität der Teppiche wird in 2 Klassen eingeteilt: Klasse A bedeutet Der Teppich ist hochwertig, Klasse B bedeutet Der Teppich hat mehrere Fehler. Das Dorf 1 liefert pro Monat 70 Teppiche, davon sind durchschnittlich 20% Klasse B. Das Dorf 2 liefert monatlich 120 Teppiche mit einem durchschnittlichen Anteil von 15% der Klasse B. Ein Qualitätsmerkmal für Teppiche der Klasse A ist die Anzahl der Knoten pro m². Durchschnittlich hat ein Teppich dieser Klasse Knoten pro m². Man kann annehmen, dass die Knotenzahl normalverteilt ist mit der Standardabweichung σ = Knoten. Mathematik Herbst 2017 Lösungen Mag. Kunnert 7/8

8 a) Alle Teppiche kommen in ein gemeinsames Lager. Ein Teppich aus dem Lager wird per Zufall gewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er von der Klasse B ist. Lösung: Erstellen eines Baumdiagrammes 70 0, ,15 P (B) = = 0,1684 = 16,84% (1 Punkt für das Baumdiagramm, 1 Punkt für die Lösung) 190 b) Es ist eine Lieferung von Dorf 1 gekommen. Um die Qualität zu prüfen, wählt der Teppichhändler zufällig 10 Teppiche aus der Lieferung aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dieser Auswahl mindestens drei Teppiche der Klasse B enthalten sind. Lösung: Binomialverteilung, n 10; p = 0,2; P(X 3) = 1 P(X < 3) = 1 P(X 2) = 1 binomcdf(10, 0.2, 2) = 0,3222 =32,22% (1 Punkt) c) Berechnen Sie, wieviel Prozent der Klasse A besonders fein geknüpft sind, das bedeutet, dass die Knotenzahl mindestens Knoten pro m² beträgt. (B) Lösung: Normalverteilung mit µ = ; σ =15 000; P(X > ) = normalcdf(100, 1E99, , 15000) = 0,0912 = 9,12% (1 Punkt) d) In der Klasse A werden jene 5% der Teppiche, die die meisten Knoten pro m² aufweisen, als superfein bezeichnet. Berechnen Sie, ab welcher Knotenzahl pro m² ein Teppich als superfein gelten kann. Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teppich nicht superfein ist, beträgt 95% =0,95. Die Grenze wird berechnet mit invnorm(0.95, , 15000) = Knoten pro m² ( ) (1Punkt) Beurteilung: Note Punkte Sehr gut Gut Befriedigend Genügend Nicht genügend 0 21 Mathematik Herbst 2017 Lösungen Mag. Kunnert 8/8