Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen

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1 Haus 7: Gute Aufgaben Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen 1 Die Aufgabe Beim Aufgabenkontext Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen geht es darum, verschiedene, unterschiedlich anspruchsvolle Probleme zu lösen, die sich im Umkreis von Summen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ergeben. Im 2. Schuljahr beispielsweise kann man die Schüler bitten, jeweils drei Reihenfolgezahlen zu addieren, z. B.: oder oder, und sich ergebende Auffälligkeiten zu erkennen, zu beschreiben und ggf. sogar zu begründen. Im 8. Schuljahr könnte die Aufgabe lauten: Finde alle Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen (also nicht nur diejenigen mit drei Summanden), deren Ergebnis 1000 ist! Versuchen Sie doch selbst einmal, alle Lösungen zu finden, bevor Sie weiterlesen! Die Aufgabenstellung für das 4. Schuljahr, von der wir im weiteren berichten werden, bestand darin, alle Summen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen zu finden, deren Resultat nicht größer ist als 25. Aus der Tabelle 1 ist ersichtlich, dass es hier 27 verschiedene Lösungen gibt. Eine solche beziehungsreiche Auflistung bildet jedoch in der Regel bei Schülern der Klasse 4 nicht den Ausgangs-, sondern bestenfalls den (vorläufigen) Endpunkt der Auseinandersetzung mit dieser Problemstellung. Wie die weiteren Kapitel zeigen werden, gehen in der Regel zunächst unsystematischere, tastende Vorgehensweisen voran, die aber zunehmend geordneter, systematischer werden bzw. dazu angeregt werden können. Tabelle 1: Alle möglichen Summen Vorgehensweisen von Viertklässlern Um mehr über die spontan sich entwickelnden Denkweisen zu erfahren, führten wir mit insgesamt 18 Viertklässlern Zweierinterviews durch, die sich in 3 Phasen gliederten: Januar 2010 by PIK AS ( 1

2 Verstehen der Aufgabenstellung: Den Schülern wurde der Begriff Reihenfolgezahlen erklärt und sie wurden gebeten, anhand einiger Beispiele falsche und richtige Summen aus Reihenfolgezahlen zu identifizieren sowie anschließend einige selbst zu bilden. Dann wurde ihnen die Aufgabe gestellt, möglichst viele Summen mit Reihenfolgezahlen mit dem Ergebnis kleiner oder gleich 25 zu finden. Produktion von Lösungen: Die Schüler fanden gemeinsam Lösungen und notierten die Summen auf einem Blatt. Innerhalb dieser Phase war häufig zu beobachten, dass die Kinder zunächst einige Aufgaben notierten, bis dieser Prozess ins Stocken kam, und sie der Meinung waren, sie hätten nun alle möglichen Lösungen gefunden. Durch Fragen wie Seid ihr euch sicher, dass ihr alle gefunden habt? oder Warum sind das alle? regte der Interviewer dann häufig die Produktion weiterer Lösungen an. Begründung der Vollständigkeit: Waren die Schüler schließlich überzeugt, dass sich keine weiteren Lösungen mehr finden ließen, wurden sie gebeten, die Vollständigkeit zu begründen. Dazu standen ihnen leere Blätter, Schere und Klebstoff zur Verfügung. Zu Beginn der Interviews schienen viele Schüler zunächst einmal auszuprobieren bzw. diejenigen Möglichkeiten zu nennen, die ihnen spontan einfielen. Nach einer gewissen Anlaufzeit jedoch ließen sich folgende, systematischere Findestrategien beobachten. 1. Hinten verlängern An eine Summe wird der folgende Summand angehängt (3+4+5 > ). 2. Vorne verlängern Einer Summe wird der vorangehende Summand vorangestellt (3+4+5 > ). 3. Hinten verkürzen Der letzte Summand einer Summe wird entfernt (3+4+5 > 3+4). 4. Vorne verkürzen Der erste Summand einer Summe wird entfernt (3+4+5 > 4+5). 5. Alle erhöhen Alle Summanden werden um 1 erhöht (3+4+5 > 4+5+6). 6. Alle vermindern Alle Summanden werden um 1 vermindert (3+4+5 > 2+3+4). 7. Mit Nachfolger beginnen Als erster Summand wird der Nachfolger des größten Summanden einer bereits gefundenen Summe notiert (3+4+5 > Summe mit 6 als erstem Summanden, z. B ). 8. Mit letzter Zahl beginnen Als erster Summand wird der letzte Summand einer bereits gefundenen Summe verwendet (3+4+5 > Summe mit 5 als erstem Summanden, z. B. 5+6). 9. Mit Ergebnis beginnen Als erster Summand wird das Ergebnis einer bereits gefundenen Summe verwendet (3+4+5 > Summe mit 12 als erstem Summanden, also 12+13). Außerdem ließen sich Kombinationen aus verschiedenen Vorgehensweisen feststellen. So haben einige Kinder beispielsweise zunächst hinten verlängert und dann vorne verkürzt (3+4+5 > > 4+5+6). Die Wirkung der Hintereinanderausführung dieser beiden Operationen unterscheidet sich zwar nicht von der Vorgehensweise alle erhöhen. Dennoch macht es u. E. Sinn, diese kombinierte Vorgehensweise gesondert aufzuzählen, da ihr eine andere Denkweise zugrundeliegt. Des öfteren führten die Schüler dieselbe Operation mehrfach hintereinander aus. Beispielsweise erzeugten sie durch zweimaliges Anwenden von vorne verlängern aus die neue Möglichkeit oder durch zweimaliges Durchführen von hinten verlängern aus die Summe Die wiederholte Nutzung einer Vorgehensweise erfolgte in der Regel so lange, bis Januar 2010 by PIK AS ( 2

3 die Schüler an eine Grenze stießen ( ), also entweder das Ergebnis 25 erzielten bzw. überschritten oder Summen mit 1 als erstem Summanden erhielten. Es ist ein Charakteristikum der bislang aufgezählten Vorgehensweisen, dass die Schüler sich jeweils auf eine der bereits notierten Summen bezogen (Referenzaufgabe). Von einem übergreifenden Motiv ist die zehnte Vorgehensweise bestimmt. 10. Durchmustern der ersten Summanden Es wird geprüft, ob sämtliche Zahlen kleiner als 13 als erster Summand vorkommen. Sollte eine dieser Zahlen noch nicht berücksichtigt worden sein, so wird eine Summe gebildet, deren erster Summand gerade diese Zahl ist. Diese Strategien wurden allerdings häufig nicht konsequent, sondern wechselhaft springend angewendet, d. h. für einen gewissen Zeitraum wurde die Strategie x verwendet, dann die Strategie y usw. Auch sollte angemerkt werden, dass sich einige Schüler zwischendurch kurzzeitig wieder vom strategischen Vorgehen lösten, sie aber dann relativ schnell dazu zurückkehrten. Im Verlauf der 2. Phase setzten sich in den meisten Zweiergruppen nach und nach die leistungsfähigeren Strategien durch, also diejenigen, mit denen prinzipiell auch die Vollständigkeit begründet werden kann. Auch in der hierfür vorgesehenen dritten Phase des Interviews gingen die Kinder unterschiedlich vor. Die meisten sortierten spontan die gefundenen Lösungen entweder durch geordnetes Abschreiben oder durch Ausschneiden und Umordnen, manche erhielten dazu einen entsprechenden Interviewer-Impuls. In der Regel wurden dann die eventuell noch fehlenden Aufgaben gefunden bzw. doppelte eliminiert. Betrachtet man die Tabelle 1, so ist klar, dass es beim Sortieren mehrere Möglichkeiten gibt. Man kann als Hauptkriterium den ersten Summanden nehmen und als Nebenkriterium die Anzahl der Summanden (diagonale Lesart) oder andersherum als Hauptkriterium die Anzahl der Summanden (spaltenweise Lesart). Prinzipiell ist auch die Sortierung nach Ergebnissen denkbar, aber eine Begründung der Vollständigkeit ist dann nur schwer möglich, wenn die Summen nicht tabellarisch angeordnet werden. 3 Konsequenzen für die Planung des Unterrichts Unsere hier in aller Kürze vorgestellte Interviewstudie (ausführlicher in Schwätzer & Selter 1998) hatte von Anfang an zwei Ziele: Sie sollte Erkenntnisse darüber liefern, wie sich Kinder mit dem Problemkontext auseinandersetzen. Es ging uns also primär um aufgabenbezogene Kenntnisse, wenngleich wir vermuten, dass manche Beobachtungen auch auf andere Aufgabenkontexte übertragbar sind. Die Interviewstudie sollte des weiteren dazu dienen, aus den durch sie zu sammelnden Erkenntnissen die Konstruktion einer Unterrichtsreihe zu ermöglichen (vgl. Schwätzer 1999). Es genügte für unseren Ansatz, Vorgehensweisen und Muster einer einzigen vierten Klasse zu erkunden, die als mögliche potentielle Denk- und Vorgehensweisen von Viertklässlern Eingang in unsere Überlegungen gefunden haben. Welche Konsequenzen ergaben sich nun u. E. für die Planung des Unterrichts? Es ist mit Blick auf Kompetenz und Motivation der Schüler u. E. kein Wagnis, die Aufgabenstellung bereits in einem vierten Schuljahr zu behandeln. Allerdings war der Zeitbedarf der einzelnen Gruppen in den Interviews recht unterschiedlich, so dass den Schülern für die Behandlung hinreichend viel Zeit eingeräumt werden sollte. Sinnvoll ist es u. E. beispielsweise, die Aufgabe ab Sequenz 2 (s. u.) zunächst einmal im Rahmen offener Unterrichtsphasen (z. B. Wochenplan) bearbeiten zu lassen. Auf den ersten Blick wirkten die Aktionen einiger Schüler zu Beginn des Interviews wie zufälliges Herumprobieren. Was wirr und konfus erscheint, erwies sich bei genauerem Hinsehen jedoch als durchaus von einer gewissen (nicht unbedingt für andere direkt erkennbaren) Systematik gelenkt. Für den Unterricht hat das u. E. die Konsequenz, die Schüler ihre eigenen Denkwege gehen zu lassen und ihr Vorgehen prinzipiell immer als vernunftgeleitet anzusehen auch wenn es nicht so zu sein scheint. Januar 2010 by PIK AS ( 3

4 In fast allen Interviews wurden verschiedene Strategien unterschiedlichen Niveaus entwickelt, um weitere Summen zu finden. Diese Vielfalt ist insbesondere vor dem Hintergrund überraschend, dass Erwachsene nach unseren Erfahrungen häufig mit einer einzigen Methode zum Ziel zu kommen versuchen. Nach einer gewissen Zeit setzte sich in den Zweiergruppen häufig jeweils eine Hauptstrategie durch. Diese muss wohl zunächst im Individuum erst reifen. Zudem muss auch in der Zweiergruppe erst ein gemeinsam geteiltes Verständnis entstehen. Mit Blick auf den Unterricht wäre es daher u. E. schädlich, eine Systematik vorzugeben oder diese den Kindern durch methodische Kniffe mehr oder weniger geschickt nahe zu legen. So würde die Strategienvielfalt der Schüler im Keim erstickt. Das betrifft insbesondere diejenigen Momente, in denen bei den Kindern noch kein Bedürfnis nach Strukturen zu bestehen scheint oder sie zwischen verschiedenen Vorgehensweisen hin- und herspringen. Es wurde des weiteren deutlich, dass die Lehrperson auch dann nicht überflüssig ist, wenn man Schülern Raum und Zeit zum Gehen eigener Wege gibt. So waren zum Ende der Produktionsphase die meisten Gruppen der Meinung, es gebe keine weiteren Summen mehr und sahen (verständlicherweise) keine Notwendigkeit zu weiteren Begründungen ( Es gibt keine mehr, weil wir keine mehr finden. ). So etwas wie ein Beweisbedürfnis muss sich anscheinend zunächst entwickeln. Genau hier war die Frage des Interviewers von zentraler Bedeutung, wie man zeigen könne, dass es sich um alle Möglichkeiten handelte, die in zwei Fällen durch den verbalen Impuls des Ordnens ergänzt wurde. In einem Unterricht, in dem die Schüler nicht einem individuellen Arbeitsblatt-Akkord verpflichtet sind, sondern auch selbst Phasen des Lernens von- und miteinander gestalten können, ist es nicht unwahrscheinlich, dass dieser Denkanstoß auch innerhalb einer Gruppe gegeben und nicht vom Lehrer eingespeist werden muss. Diese vier Haupterkenntnisse und die im 2. Kapitel beschriebenen Strategien der Schüler im Hinterkopf, haben wir in Analogie zu den Phasen der Interviews vier Unterrichtssequenzen (keine Stunden, da wir einen flexiblen Zeitrahmen andeuten möchten) entworfen: 1. Sequenz: Einführung der Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen anhand von vorgegebenen und selbst erfundenen Beispielen 2. Sequenz: Auseinandersetzung mit dem Problem, möglichst viele dieser Aufgaben mit Ergebnissen nicht größer als 25 zu finden. 3. Sequenz: Begründung der Vollständigkeit der gefundenen Lösungen durch Ordnen und Argumentieren anhand der ggf. ergänzten Aufgabenserien. 4. Sequenz: Reflexion der Erkenntnisse über Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen durch die schriftliche Darstellung einer Vollständigkeitsbegründung bzw. des eigenen Lernprozesses. 4 Erfahrungen Die Unterrichtsreihe wurde zwar in einem 4. Schuljahr erprobt; entsprechende kleinere Modifikationen vorausgesetzt, ist sie unseres Erachtens durchaus noch bis zum 6. Schuljahr einsetzbar. Die wichtigsten Erfahrungen, die wir bei der reflektierten unterrichtlichen Erprobung sammeln konnten, wollen wir im folgenden anführen. 1. Sequenz: In dieser Unterrichtssequenz sollten die Kinder das Aufgabenformat der Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen kennen lernen. Die Kinder identifizierten zunächst aus 5 Beispielen richtige und falsche Aufgaben mit Reihenfolgezahlen und demonstrierten das Verständnis der Aufgabenstellung durch Notation einiger Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen auf einem Blatt (Abb. 1). Januar 2010 by PIK AS ( 4

5 2. Sequenz: Anschließend wurden die Schüler mit dem eigentlichen Problem konfrontiert, das sie in variabel zu gestaltender Einzel-/Partnerarbeit bearbeiten sollten. Diese Herangehensweise erforderte einige organisatorische Vorarbeiten. Nach den Erfahrungen aus den Interviews war mit einer großen Streubreite der Bearbeitungseffizienz zu rechnen. Einige Kinder würden nur wenige Beispiele finden und relativ schnell reklamieren, sie fänden keine weiteren mehr. Andere Kinder würden kontinuierlich eine Aufgabe nach der anderen produzieren, dabei wie in den Interviews wechselnde Strategien entwickeln und so auch manche Aufgaben doppelt und dreifach niederschreiben. Der unterschiedliche Zeitbedarf in den Interviews fanden sich Bearbeitungszeiten der Produktionsphase von 11 bis über 50 Minuten wurde durch übergeordnete organisatorische Maßnahmen aufgefangen (Wochenplan). Zunächst sollten alle Kinder sämtliche Summen niederschreiben, die sie fanden. Am Ende dieser Phase sollten die Kinder in Rechenkonferenzen an Gruppentischen mit zur gleichen Zeit fertig werdenden anderen Zweiergruppen ihre Ergebnisse abgleichen bzw. ergänzen und dabei möglicherweise schon erste Diskussionen über Findestrategien führen. An einem Beispiel kann die große Ähnlichkeit der Vorgehensweisen im Unterricht und in den Interviews deutlich werden. Joana und Fabian (Abb. 2) produzierten zunächst 4er-Summen mit der Strategie Alle erhöhen, bis die 25 überschritten wurde (ausreizen), um dann mittels Hinten verkürzen die nächste 3er-Summe zu finden. Diese wurde wieder mittels Alle erhöhen ausgereizt. Dann knüpften sie an eine bereits gefundene Summe durch Hinten anhängen an, bis sie an die Grenze 25 stießen. Januar 2010 by PIK AS ( 5

6 Nach zwei Versuchen mit und ( hinten verkürzen ), nehmen sie wieder Dreiersummen, bei denen sie mit alle vermindern von über zu gelangen. Diese Strategie lässt sich auch bei den weiteren Zweier- und Dreiersummen beobachten. Die Ergebnisse rechts oben dürften aus denen links durch hinten verlängern, alle erhöhen (mit zu großen Resultaten), hinten verkürzen oder hinten verlängern der linken Aufgabe und vorne verkürzen entstanden sein. Insgesamt lassen sich alle in den Interviews gefundenen Vorgehensweisen in den Eigenproduktionen der Kinder finden bzw. zumindest vermuten (vgl. Abb. 3). Januar 2010 by PIK AS ( 6

7 In der sich anschließenden Rechenkonferenz sahen sich Joana und Fabian, die bis dahin immerhin 19 der 27 Möglichkeiten gefunden hatten, nun mit den ebenfalls 19 - aber divergierenden - Möglichkeiten Julias und Jennifers konfrontiert. Der zunächst scheiternde Versuch, gleiche Ergebnisse auf den einzelnen Arbeitsblättern abzuhaken, führte spontan dazu, die Ergebnisse sortiert abzuschreiben (Abb. 4), auch wenn die Sortierung noch unvollkommen blieb (einige Ergebnisse sind doppelt notiert (z. B ), so dass diese 4er-Gruppe am Ende glaubte, es gäbe 31 Möglichkeiten. Januar 2010 by PIK AS ( 7

8 Nachdem alle Gruppen ihre Rechenkonferenzen beendet hatten, hätte man eine Frontalphase zur Ergebnissammlung an der Tafel und zur Diskussion der Vollständigkeit durchführen können. Wir hatten uns bei der Konstruktion der Unterrichtsreihe dafür entschieden, die Rechenkonferenzen bereits als Reflexionsphase dieser Unterrichtssequenz anzusehen und die Eigenproduktionen einsammeln zu lassen. Januar 2010 by PIK AS ( 8

9 3. Sequenz: In dieser Sequenz ging es wiederum analog zu den Interviewphasen um die Begründung der Vollständigkeit der gefundenen Lösungen. Zunächst stellte die Lehrperson aus den teilweise auf Folie kopierten Eigenproduktionen die verschiedenen Anzahlen gefundener Möglichkeiten vor, um darauf hin zu fragen, welche Anzahl denn nun die richtige sei. Die Kinder, die sich zum Ende der vorangegangenen Sequenz zu einer Rechenkonferenzen zusammengefunden haben, sollten nun unter Berücksichtigung ihrer wieder ausgeteilten Eigenproduktionen gemeinsam ein Dokument erstellen, in dem sie durch Ordnen dieser Hinweis allein gibt noch keine Ordnungsmethode vor die Vollständigkeit ihrer gefundenen Lösungen begründen. Ordnen kann hier wiederum analog zu den Interviews sowohl das geordnete Abschreiben der gefundenen Ergebnisse bzw. deren Ausschneiden und geordnetes Aufkleben heißen. Die Gruppe um Joana (Abb. 5) beispielsweise zerschnitt dazu eine Kopie ihres gemeinsam in der Rechenkonferenz der Vorstunde erstellten Ergebnisblattes, ordnete die Ergebnisse nach Anzahl der Summanden als Hauptkriterium sortiert an, eliminierte doppelte, ergänzte noch fehlende Lösungen und gelangte so schließlich zu der Auffassung, dass es nur ihre 27 gefundenen Möglichkeiten gab. Dass auch in dieser Sequenz noch viele individuelle Lösungswege existierten, zeigt ein Vergleich der restlichen Dokumente: Rubens Gruppe ging auf die gleiche Weise wie Joana & Co vor, notierte aber die 2er-Summen rückwärts und hätte fast die 4er-Summen vergessen (Abb. 6). Januar 2010 by PIK AS ( 9

10 Auch Christophers Gruppe begann ähnlich, wechselte jedoch nach den 2er-Summen das Hauptsortierkriterium auf die Strategie Erster Summand (Abb. 7). Lediglich Hannah & Co. gelang es nicht, eine geeignete Sortierstrategie zu finden, da sie in der Spalte 3er und 4er zwischen den zwei Hauptsortierkriterien hin und her sprangen. Dadurch vergaßen sie eine Möglichkeit und fanden nur 26 (Abb. 8). Am Ende dieser Sequenz sollten die Gruppen anhand ihres gemeinsam erstellten Dokuments die anderen Kinder von der Richtigkeit ihrer Überlegungen überzeugen. Hierzu wurde ihr Gruppendokument rasch auf eine Tageslichtschreiberfolie kopiert, und die Schüler argumentierten, warum sie Januar 2010 by PIK AS ( 10

11 der Auffassung seien, dass die Anzahl ihrer gefundenen Lösungen die richtige sei. Hannah & Co. gelang es im übrigen noch während der Präsentation, ihre Sortierung - allerdings an der Tafel - umzustellen und die fehlende Aufgabe zu finden. 4. Sequenz: Für das Ende von Unterrichtsreihen sehen wir es generell als sinnvoll an gerade auch, wenn viel in Gruppen gearbeitet wurde eine individuelle Rückschau auf den Lernprozess vorzunehmen. Zu diesem Zweck sollten die Kinder einen Text zu einer der beiden folgenden Fragestellungen verfassen: Wie viele Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen mit Ergebnis nicht größer als 25 gibt es? oder Was ich über Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen gelernt habe. Bei der Betrachtung der folgenden Beispiele ist zu bedenken, dass die Kinder vermutlich über mehr Erkenntnisse verfügten, als sie zu Papier brachten. Solche schriftlichen Begründungen brachten sie in dieser Einheit erstmalig zu Papier (Abb. 9 bis 11). Januar 2010 by PIK AS ( 11

12 Literatur SCHWÄTZER, Ulrich und Christoph SELTER (1998): Summen von Reihenfolgezahlen - Vorgehensweisen von Viertkläßlern bei einer arithmetisch substantiellen Aufgabenstellung. In: Journal für Mathematikdidaktik 19, H. 2/3, S Anmerkung: Eine Vorversion dieses Beitrags von Ulrich Schwätzer und Christoph Selter ist erschienen in Mathematische Unterrichtspraxis, H. 2, 2000, S Januar 2010 by PIK AS ( 12