Spielend durch den Straßenverkehr

Transkript

1 Spielend durch den Straßenverkehr Verkehrsplanung und Spieltheorie Silvia Schwarze Georg-August-Universität Göttingen SchülerInnentag, Mathematik 2005, Klagenfurt,

2 Worum geht es? Viele Autofahrer haben, z.b. im Berufsverkehr, den gleichen Weg, z.b. von Göttingen nach Hannover Es gibt verschiedene Möglichkeiten, von GÖ nach H zu kommen, z.b. Landstraße oder Autobahn 2

3 Was passiert? Auf der Autobahn kommt man schneller voran, d.h. viele Fahrer werden sich für die Autobahn entscheiden Benutzen zu viele Fahrer die Autobahn kommt es zu Staus, der Verkehr wird langsamer Autofahrer weichen auf die Landstraße aus 3

4 Das Problem Weichen zu viele Fahrer auf die Landstraße aus, gibt es dort Stauungen Ausweichen auf die Autobahn Folge: Schwankungen der Verkehrsflüsse Frage: Pendeln sich Verkehrsflüsse zu einem Gleichgewicht ein? Analyse durch mathematisches Modell! 4

5 Mathematisches Modell Was ist ein mathematisches Modell? Abbildung der Realität Beschränkung auf wichtige Komponenten Ableitung von Ergebnissen Überprüfung der Ergebnisse anhand von Realdaten Anpassung des Modelles 5

6 Mathematisches Modell Unser Verkehrsproblem wird beeinflusst von vielen Faktoren, z.b.: Anzahl der Autos, Autotypen, Fahrstil, Wetter, Urlaubszeit, Baustellen, Unfälle,... Um Ergebnisse zu finden, muss man sich auf wichtige Einflüsse beschränken. 6

7 Mathematisches Modell Wir nehmen an: Zwei Orte: GÖ und H Alle Fahrer wollen von GÖ nach H Zwei Wege: Autobahn (AB), Landstraße (LS) Fahrzeit auf einem Weg steigt mit der Anzahl der Benutzer Feste Anzahl Autofahrer, die gemeinsam den Verkehrsfluss erzeugen 7

8 Mathematisches Modell Gesamtfluss: r Fahrzeit: v AB, v LS v AB = f AB Fluss: f AB, f LS GÖ H v LS = f LS 8

9 Mathematisches Modell Beispiel: r =100 f AB = 40, f LS =60 Fahrzeit für den Einzelnen: Autobahn: v AB =f AB =40 Landstraße: v LS =100 Fahrzeit für die Gesamtheit: 40*40+100*60=7.600 GÖ v AB =f AB v LS =100 Fahrer auf LS sind unzufrieden! Kann man die Gesamtfahrzeit verringern? 9 H

10 Mathematisches Modell Zwei Fragen: Wann sind alle Fahrer zufrieden? Wann ist die Gesamtfahrzeit minimal? 10

11 Minimale Gesamtfahrzeit Gesamtfahrzeit: C(f AB, f LS ) = v AB *f AB +v LS *f LS = f AB f LS Funktion in zwei Variablen, aber: Abhängigkeit zwischen f AB und f LS : f AB + f LS = r oder: f LS = r f AB Gesamtfahrzeit als Funktion einer Variablen: v AB =f AB C(f AB )= f AB (r - f AB ) GÖ H v LS =100 11

12 Minimale Gesamtfahrzeit Gesamtfahrzeit als Funktion einer Variablen: C(f AB )= f AB (r - f AB ) = f AB2-100 f AB +100 r Suche Minimalstelle von C(f AB ): 1. Ableitung Null setzen: C (f AB )= 2 f AB = 0 2. Ableitung: C (f AB )= 2 > 0 f AB =50 f LS = r - 50 v AB =f AB Nullstelle 1. Ableitung ist Minimum! GÖ H v LS =100 12

13 Minimale Gesamtfahrzeit Am Beispiel: r =100 : f AB =50 Fahrer nutzen die Autobahn f AB = = 50 Fahrer nutzen die Landstraße Minimale Gesamtfahrzeit: C(f AB, f LS ) = f AB f LS = *50 = Anfangsbeispiel: C(f AB, f LS ) = Verbesserung von 100! 13

14 Minimale Gesamtfahrzeit Ergebnis: Aus Sicht des Straßennetzbetreiber ist diese Situation ideal, weil Zeit der Straßennutzung minimal ist 14

15 Zufriedenheit der Fahrer Frage: Wann sind alle Fahrer zufrieden? Antwort mittels Spieltheorie: - Nicht nur klassisches Spiel (Skat, Poker, Schach,..) - Spieler verfolgen eigene Ziele - Kennen nicht die Strategie des Gegenspielers - Gewinn/Verlust durch Regeln festgelegt - Z.B. zwei Firmen führen Produkt ein, Standort Supermarkt, Auktion,... 15

16 Beispiel zur Spieltheorie Berühmtes Beispiel: Prisoner s Dilemma Zwei Angeklagte vor Gericht: Beide schweigen: 1 Jahr Gefängnis für jeden Beide gestehen: 5 Jahre Gefängnis für jeden Einer schweigt, einer gesteht: 10 Jahre für den Ersten, Freispruch für den Zweiten. schweigen gestehen schweigen gestehen ( 1, 1) ( 10, 0) ( 0, 10) ( 5, 5) 16

17 Zufriedenheit der Fahrer - Ein Spieler ist zufrieden, wenn er seine Situation aus eigener Kraft nicht verbessern kann. - Ein Zustand, in dem alle Spieler zufrieden sind, ist im Gleichgewicht, er ist stabil. Zurück zum Straßenverkehr: 17

18 Zufriedenheit der Fahrer Frage: Wann sind alle Fahrer zufrieden? Oder: Wann gibt es keinen unzufriedenen Fahrer? Ein Fahrer ist unzufrieden, wenn: es eine Route gibt, die schneller als seine aktuelle ist. Erinnerung Beispiel: v AB =f AB Beispiel: r =100, f AB = 40, f LS =60 Fahrzeit auf Autobahn: v AB =40; auf Landstraße: v LS =100 GÖ v LS =100 H 18

19 Zufriedenheit der Fahrer Regel: Fahrer wechseln solange von LS auf AB, bis sie dort nicht mehr schneller sind! Im Beispiel: Solange die AB eine Fahrzeit kleiner 100 hat, werden Fahrer von der LS zur AB wechseln. v AB =f AB GÖ H v LS =100 19

20 Zufriedenheit der Fahrer Wir suchen einen Fluss, für den gilt: Kein Fahrer auf der AB findet schnelleren Weg: v AB v LS Kein Fahrer auf der LS findet schnelleren Weg: v LS v AB v AB = v LS Im Beispiel: v LS = 100 v AB = 100 v AB =f AB f AB = 100 f LS = 0 GÖ H v LS =100 20

21 Zufriedenheit der Fahrer 2. Fall: Angenommen: r = 50 Kein Fahrer auf der AB findet schnelleren Weg: v AB v LS Kein Fahrer auf der LS findet schnelleren Weg: v LS v AB v AB v LS wenn f AB >0 v LS v AB wenn f LS >0 v AB =f AB f LS = 0, f AB = 50 GÖ H v LS = 100, v AB = 50 v LS =100 21

22 Zufriedenheit der Fahrer Alle Fahrer sind zufrieden, wenn v AB = 100, v LS = 100, f AB = 100, f LS = 0 Gesamtfahrzeit: C(f AB, f LS ) = f AB f LS = *0 = Wenn alle Fahrer zufrieden sind, sprechen wir von einem Gleichgewicht. Anfangsbeispiel mit C(f AB, f LS ) = Verschlechterung von 2.400! 22

23 Vergleich der Ergebnisse Zwei Flüsse: Minimale Fahrzeit f AB = 50, f LS = 50 v AB = 50, v LS = 100 C(f AB, f LS )= instabil Gleichgewicht f AB = 100, f LS = 0 v AB = 100, v LS = 100 C(f AB, f LS ) = stabil Ergebnis: Gleichgewicht erzeugt unnötig hohe Gesamtfahrzeit! 23

24 Verbesserung Gleichgewicht Frage: Wie kann man Fahrverhalten verbessern? 1. Möglichkeit: Netzwerkdesign Erzeuge eine Netzwerkstruktur, in der ein Gleichgewichtsfluss (nahezu) optimal ist. Schwierig, da ungünstige Konstellation bereits in sehr kleinen Netzwerken auftauchen können Braess Paradox 2. Möglichkeit: Steuern Häufig genutzte Strecken werden mit Steuer belegt. Beispiel 24

25 Einführung von Steuern Einführung von Steuern: Annahme: Fahrer ist zufrieden, wenn Summe aus Fahrzeit und Steuer nicht höher ist als auf anderer Straße. Autobahnsteuer s AB =50, Landstraßensteuer s LS =0: Wir suchen einen Fluss, für den gilt: v AB +s AB = v LS +s LS f AB +50= f AB = 50 f LS = 100- f AB =50 25

26 Einführung von Steuern Nach Einführung der Steuer: Gleichgewicht erzeugt minimale Fahrzeit Fluss f AB = 50, f LS = 50 Reisezeit und Steuer Gesamtreisezeit Zustand f AB + s AB = 100, s LS = 100 C(f AB, f LS )= Stabil Ergebnis: Steuern können dazu dienen, das Verkehrsaufkommen sinnvoll zu steuern. 26

27 Neugierig geworden? Weitere Beispiele zur angewandten und Wirtschaftsmathematik findet ihr im Internet unter: Website des Projektes: Management Mathematics for European Schools, Kooperation der Universitäten Klagenfurt, Kaiserslautern und Sevilla 27

28 Braess Paradox Hinzufügen einer Straße verschlechtert Situation für alle: r = 100 f = 50, v = 150 f 100 f f 100 f f = 50, v = 150 zurueck f = 100, v =