Ermittlung von Ganglinien für die risikoorientierte Hochwasserbemessung von Talsperren

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1 Ruhr-Universität Bochum Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Lehrstuhl für Hydrologie, Wasserwirtschaft und Umwelttechnik Prof. Dr. rer. nat. habil. A. Schumann Ermittlung von Ganglinien für die risikoorientierte Hochwasserbemessung von Talsperren Dissertation zur Erlangung des Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) Vorgelegt von: Referent: Koreferent: Dipl.-Ing. Bastian Klein Prof. Dr. rer. nat. habil. Andreas Schumann Prof. Dr.-Ing. Günter Meon Leichtweiß-Institut für Wasserbau, Technische Universität Braunschweig

2 Die vorliegende Arbeit wurde von der Fakultät für Bauingenieurwesen als Dissertation angenommen. Tag der mündlichen Prüfung:

3 Kurzfassung Durch die Anpassung der DIN (2004) "Stauanlagen" an den internationalen Bemessungsstandard geht die deutsche Normung im Talsperrensektor den Weg von einem sicherheitsorientierten zu einem risikoorientierten Nachweiskonzept, da neben einer vorschriftsmäßig durchzuführenden Bemessung und sicherheitsorientierten Nachweisführung auch die Bewertung des bestehenden Restrisikos für die Anlage jenseits der vorgeschriebenen Bemessungskriterien gefordert wird. Durch die Berücksichtigung des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums und der Retention ergibt sich die Erfordernis, die hydrologische Einwirkung realitätsnah abzubilden und somit eine Vielzahl möglicher Hochwasserereignisse mit unterschiedlichen Ganglinienformen bei der Bemessung zu verwenden. Hierbei sind auch mehrgipflige Ganglinien einzubeziehen, da diese zu einer verminderten Hochwasserschutzwirkung führen können. In dieser Arbeit wurden Verfahren entwickelt, um Ganglinien für die Bemessung der Hochwassersicherheit und des Hochwasserschutzes von Einzelanlagen und für Hochwasserschutzplanungen von Rückhaltesystemen in Flussgebieten zu ermitteln. In dem ersten entwickelten Verfahren wird die Hochwassersicherheit von Talsperren nach DIN über eine Hochwassermerkmalssimulation bemessen. In Abhängigkeit von Einzugsgebietseigenschaften wird die Hochwassersicherheit mit einer großen Zahl unterschiedlicher Ganglinienformen überprüft und somit die Ganglinie, die zu einer Stauinhaltsmaximierung führt, ermittelt. Dieses Verfahren wurde an drei Talsperren in Sachsen beispielhaft getestet. Aufgrund der Annahmen des Modells für die Hochwassermerkmalssimulation kann das Verfahren nicht für die stochastische Hochwasserbemessung nach der Zuverlässigkeitstheorie eingesetzt werden. Daher wurde aufbauend auf dem ersten Verfahren ein komplexeres Modell für die Hochwassermerkmalssimulation entwickelt, das auch für die stochastische Bemessung von Einzelanlagen nach der Zuverlässigkeitstheorie geeignet ist. Die gegenseitigen Parameterabhängigkeiten im Modell werden durch bivariate Verteilungsfunktionen, die über die Copula-Theorie ermittelt werden, berücksichtigt. Die Datengrundlage der im Allgemeinen relativ kurzen Beobachtungsreihe wird über eine stochastisch-deterministische Generierung von synthetischen Abflussdaten erweitert. Dieses wesentlich komplexere Modell wurde beispielhaft für die Risikoanalyse einer virtuellen Talsperre auf Grundlage der Wuppertalsperre angewendet. Bei größeren Einzugsgebieten ist die Hochwasserschutzwirkung einer oder mehrerer Stauanlagen stark durch die ereignisspezifischen Hochwasserabläufe, wie die räumliche Verteilung der hochwasserauslösenden Niederschlagsereignisse, bestimmt. Daher sollten die für die Hochwasserschutzplanung in Flussgebieten erforderlichen hydrologischen Belastungsszenarien über eine stochastische Generierung von räumlich verteilten Niederschlägen in Verbindung mit einem Niederschlag-Abfluss Modell erzeugt werden. Es wird ein Verfahren vorgestellt, diese hydrologischen Szenarien über eine bivariate Häufigkeitsanalyse probabilistisch zu bewerten. Am Beispiel der Einzugsgebiete der Wupper und der Unstrut wird dieses Vorgehen beispielhaft erläutet. Die Anwendungsbeispiele in dieser Arbeit haben gezeigt, dass die entwickelten Verfahren für die Ermittlung von Ganglinien gut für die Hochwasserbemessung geeignet sind.

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5 Abstract New principles for the flood design of dams and flood control reservoirs are postulated with the revised form of the German dam standard DIN (2004). In contrast to the former version the positive effects of the lake retention and empty flood control storage can be considered for the design to avoid an overdimensioning of the hydrological safety of reservoirs. Hence a large variety of different hydrograph shapes have to be considered in the design. Thereby multi-peak events have to be taken into account since those may lead to a reduced flood safety of reservoirs. Apart from the dimensioning of the hydrological safety for the recommended return periods the remaining risk of failure has to be evaluated. In this work several methods for the determination of hydrographs for the design of single structures and flood control systems were developed. In the first method the hydrologic safety of reservoirs is estimated by simulating the flood characteristics. The shape of the hydrograph is represented by an analytical function. By simulating the characteristics in a realistic range the hydrograph shape, which leads to the maximum flood storage, can be identified. This method was tested for three reservoirs in Saxony. This model is not suitable for stochastic design using the reliability analysis because of the assumptions for the simulation of the flood characteristics. Based on the first method a second model for the simulation of the flood characteristics was developed, which can also be used for stochastic design using the reliability analysis. Here the dependencies of the flood characteristics are modeled with the copula method. In general the observed discharge time series are too short for a reliable estimation of the parameter distributions of such a complex model. Therefore the database is extended by stochastic-deterministic generation of long synthetic discharge time series. This more complex model for the simulation of the flood characteristics was used for the risk analysis of a virtual reservoir similar to the Wupper dam in the Wupper watershed. In large watersheds the effectiveness of flood control measures mainly depends on the spatial distribution of the flood producing precipitation. Here a methodology is presented to generate hydrological scenarios for the design of flood control structures in watersheds. The hydrological scenarios are generated by coupling a stochastic rainfall generator with a hydrological model. For the required probabilistic analysis of the generated scenarios the copula method is used. This methodology was applied to the watersheds of the river Wupper and the river Unstrut. The applications in this work have shown that the developed methods are applicable for the estimation of hydrographs for the flood design of flood control structures and flood control systems.

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7 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Problemstellung Zielsetzung der Arbeit Aufbau der Arbeit Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren Wahl des Bemessungshochwassers Wahl des Bemessungshochwassers nach DIN (2004) Stauraumaufteilung gemäß DIN (2004) Freibordermittlung nach DIN (2004) Festlegung des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums Risikoanalyse von Talsperren Sicherheitsphilosophie Zuverlässigkeitsanalyse zur Ermittlung der Versagenswahrscheinlichkeit von Talsperren Überflutungswahrscheinlichkeit von Talsperren Hochwassersteuerung von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken Betriebsfälle Steuerregeln Modell für die Retentionsrechnung von Speicherräumen Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Einführung Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Statistische Analyse von Hochwasserabflüssen Verteilungsfunktionen Parameterschätzung i

8 Inhaltsverzeichnis Anpassungstests Informationserweiterung Konventionen zur Maximierung Maximierung der Schiefe der Verteilungsfunktionen Schweizerisches Sicherheitskonzept Skalierung von in der Vergangenheit beobachteten Hochwasserereignissen Synthetische Bemessungsganglinien und Hochwassermerkmalssimulation Synthetische Bemessungsganglinien Hochwassermerkmalssimulation Ganglinienfunktionen Ermittlung des Bemessungshochwassers über Niederschlag-Abfluss Modellierung Niederschlag-Abfluss Modelle Modellbelastung Bemessungsniederschlagshöhen für die ereignisbasierte N-A- Modellierung Niederschlagsdauer/-intensität Stochastische Generierung von synthetischen Niederschlagswerten für die kontinuierliche N-A-Modellierung Fazit Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation Beschreibung von mehrgipfligen Ganglinien Beschreibung von zweigipfligen Ganglinien durch die Überlagerung von zwei Einzelwellen Beschreibung von zweigipfligen Ganglinien durch das Verschneiden von zwei Einzelwellen Verfahren für die Generierung von mehrgipfligen Ganglinien Ermittlung von inhaltsmaximierenden Ganglinien für Talsperren in Sachsen Untersuchungsgebiet Randbedingungen der Berechnungen Gangliniengenerierung Ergebnisse der Talsperre Gottleuba...84 ii

9 Inhaltsverzeichnis Ergebnisse für alle betrachteten Talsperren Zusammenfassung Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Bivariate Statistik mit Copulas Definition Archimedische Copulas Parameterschätzung Identifizierung der geeigneten Copula Anpassungstests Bivariate Häufigkeitsanalyse Stochastisch-deterministische Generierung der Datenbasis Verfahren zur stochastischen Generierung von Hochwasserereignissen Eingipfliges Ganglinienmodell Zweigipfliges Ganglinienmodell Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre Untersuchungsgebiet Stochastisch-deterministische Generierung der Datengrundlage Ereignisseperation Parameterverteilungen für das eingipflige Ganglinienmodell Randverteilungen der Zufallsvariablen Wahl der geeigneten Copula für die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung von Direktabflussscheitel Q SD und zugehöriger Hochwasserfülle V D Wahl der geeigneten Copula für die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung von Hochwasserfülle V D und Scheitelanstiegszeit t A Parameterverteilungen für das zweigipflige Ganglinienmodell Validierung des stochastischen Gangliniengenerators Validierung der zweigipfligen Gangliniengenerierung Validierung des Gesamtgangliniengenerators Risikoanalyse für eine fiktive Talsperre auf Grundlage der Wupper-Talsperre Zusammenfassung iii

10 Inhaltsverzeichnis 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Methodik Stochastisch-deterministische Generierung der Hochwasserereignisse Probabilistische Bewertung der generierten Hochwasserereignisse Auswahl hydrologischer Szenarien für die Risikoanalyse Bewertung der Hochwasserschutzwirkung von Einzelanlagen Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für eine Einzelanlage am Beispiel der Wuppertalsperre Bivariate Häufigkeitsanalyse für die Zuflussscheitel und die zugehörigen Ereignisvolumina Ermittlung der Randverteilungen der Zufallsvariablen Wahl der geeigneten Copula Bivariate Häufigkeitsanalyse Bewertung der Hochwasserschutzwirkung der Wuppertalsperre Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Untersuchungsgebiet Hochwasserrückhaltebecken Straußfurt Talsperre Kelbra Steuerung der Talsperren Stochastisch-deterministische Simulation Bivariate Häufigkeitsanalyse für die Zuflussscheitel und die zugehörigen Ereignisvolumina der Talsperren Ermittlung der Randverteilungen der Zufallsvariablen Wahl der geeigneten Copula Bivariate Häufigkeitsanalyse Bivariate Häufigkeitsanalyse der Koinzidenz von Hochwasserereignissen an beiden Stauanlagen Ermittlung der Randverteilungen Wahl der geeigneten Copula Bivariate Häufigkeitsanalyse Bewertung der Hochwasserschutzwirkung des HRB Straußfurt Zusammenfassung Zusammenfassung und Fazit 167 iv

11 Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis 173 Abbildungsverzeichnis 184 Tabellenverzeichnis 191 Abkürzungs- und Symbolverzeichnis 193 Anhang A Verteilungsfunktionen 197 A 1 Allgemeine Extremwertverteilung (AEV) A 2 Pearson III-Verteilung (P III) A 3 Johnson S B Verteilung (S B ) Anhang B Ergänzende Darstellungen zu Kapitel Anhang C Ergänzende Darstellungen zu Kapitel v

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13 1 Einführung Die großen Hochwasserereignisse der letzten Jahrzehnte, wie z. B. das Oderhochwasser im Juli 1998 und das Elbehochwasser im August 2002 haben das Gefährdungspotential für eine Industriegesellschaft mit einer hohen Besiedlungsdichte in für Naturkatastrophen anfälligen Gebieten, d. h. in Deutschland insbesondere für Hochwasserereignisse, deutlich gemacht. Alleine beim Elbehochwasser im August 2002 waren in Deutschland 21 Todesopfer und Sachschäden von 9,2 Mrd. Euro zu beklagen, in allen vom Augusthochwasser betroffenen Ländern sogar Sachschäden von insgesamt 18,5 Mrd. Euro 1. Folgt man der International Commission of Large Dams (ICOLD, 2003), so können Maßnahmen zur Vermeidung von Hochwasserkatastrophen bzw. Verminderung der Auswirkungen in verschiedene Bereiche eingeteilt werden: - Maßnahmen, die die Hochwasserentstehung und den Hochwasserablauf beeinflussen, wie z. B. die Erhöhung des natürlichen Rückhalts im Flusseinzugsgebiet und technische Rückhaltemaßnahmen wie Talsperren, Hochwasserrückhaltebecken, Flutpolder und Deiche. - Maßnahmen, die Hochwasserschäden vermeiden oder vermindern, wie z. B. Erstellen von Risikokarten, Freihalten von Überflutungsflächen, angepasste Bauweisen und Nutzungen. - Hochwasservorhersage- und Hochwasserwarnsysteme um Hochwasserschäden, z. B. durch vorsorgliches Umsetzen von Notfallplänen zu vermindern. Während der Verbesserung des natürlichen Rückhalts im Flusseinzugsgebiet durch konkurrierende Nutzungen oft enge Grenzen gesetzt sind, kann durch die gesteuerte Speicherung von Wasser in technischen Hochwasserrückhaltesystemen, wie z. B. Talsperren, Hochwasserrückhaltesystemen und gesteuerten Flutpoldern, der Verlauf von Hochwasserereignissen maßgeblich beeinflusst und der Scheitelabfluss je nach Ereignishöhe signifikant vermindert werden. Andererseits ist die Wirkung von technischen Hochwasserrückhaltesystemen aufgrund ihrer naturgemäß endlichen Speicherkapazität immer begrenzt, wobei die auf das hochwasserauslösende Niederschlagsereignis bezogene Wirkung mit zunehmender Ereignisgröße abnimmt. Die einem Speicherraum zugemessene Bedeutung ist weiterhin im Hinblick auf 1 Quelle Münchner Rück: 1

14 1 Einführung das übergeordnete Flusssystem zu relativieren, da sie im Verhältnis des Speicherraums und der Fülle der Hochwasserwellen mit zunehmender Einzugsgebietsgröße rasch abnimmt. Aus dieser Einsicht heraus haben Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken oft nur ein lokal begrenztes Hochwasserschutzziel. Dabei kann ein Verbundbetrieb aller Hochwasserrückhaltesysteme eines Einzugsgebiets im Zusammenwirken mit einem gut funktionierenden Vorhersagesystem die wirksame Hochwasserrückhaltung deutlich verbessern. Ein Beispiel dafür sind die in dieser Arbeit behandelten Hochwasserrückhaltebecken Straußfurt und die Talsperre Kelbra im Flusseinzugsgebiet der Unstrut (siehe Kapitel 6). Neben dem Risiko, dass die Aufnahmekapazität der Hochwasserrückhaltesysteme bei einem Hochwasserereignis nicht ausreicht, besteht bei Talsperren, wie bei allen technischen Bauwerken auch, zusätzlich ein Versagensrisiko, das vor allem bei einer hohen Besiedlung unterhalb zu verheerenden Folgen führen kann. Dieses wurde in Deutschland z. B. im Jahr 1943 deutlich, als die Möhnetalsperre durch Luftangriffe zerstört wurde und die darauf folgende Hochwasserwelle 1200 Todesopfer forderte und große Schäden verursachte. Auch der Bruch des Hochwasserrückhaltebeckens Glashütte beim Augusthochwasser 2002 macht deutlich, dass bei technischen Bauwerken immer ein, wenn auch geringes, Versagensrisiko besteht. Mit dem Bewusstsein, dass absolute Sicherheit nicht erreichbar ist, findet international und inzwischen auch in Deutschland in den letzten Jahren ein Wandel bei der Beurteilung und Behandlung von solchen Risiken statt. So werden immer öfter risikobasierte Sicherheitsanalysen einschließlich einer kritischen Auseinandersetzung des zumutbaren Restrisikos durchgeführt, anstatt der bisherigen konventionellen Sicherheitsbetrachtung, bei der ein technisches Bauwerk dann als sicher gilt, wenn es nach den geltenden technischen Standards bemessen wurde. Hier ist ein gesellschaftliches Umdenken erforderlich, da in der Vergangenheit Versagensrisiken technischer Einrichtungen nicht in das Bewusstsein der Öffentlichkeit gelangt sind (Sicherheitsgesellschaft) und sie inzwischen akzeptieren muss, dass es eine absolute Sicherheit nicht gibt (Risikogesellschaft). Die Frage, welches Restrisiko unsere Gesellschaft aufzunehmen bereit ist, wird dabei allerdings kaum zu klären sein. Der erste Versuch einer öffentlichen Diskussion über Restrisiken hat in den 1970er Jahren übrigens am Beispiel der Kernenergie (Rasmussen-Report (USNRC, 1975)) die Akzeptanz für diese Technik nicht verbessern können, sondern gerade das Gegenteil bewirkt. In der neuen DIN (2004) - Stauanlagen geht inzwischen auch die deutsche Normung den Weg in Richtung einer risikobasierten Sicherheitsanalyse, da sie neben einer vorschriftsmäßig durchzuführenden Bemessung und sicherheitsorientierten Nachweisführung auch die Bewertung des Restrisikos jenseits der vorgeschriebenen Bemessungskriterien fordert. Da sie jedoch keine quantitativen Vorgaben über das öffentlich hinzunehmende Restrisiko und daraus abgeleitet, die zulässige Versagenswahrscheinlichkeit enthält, kann trotzdem nicht von einem konsequent probabilistischen Zuverlässigkeitskonzept gesprochen werden, so dass sich die Bemessung der Hochwassersicherheit auch weiterhin im Wesentlichen auf die Anwendung der Sicherheitsnormen stützt. 2

15 1.1 Problemstellung 1.1 Problemstellung In Abhängigkeit des Schutzbedürfnisses der Unterlieger bzw. des angestrebten Hochwasserschutzgrades ist eine Anlage zur Hochwasserrückhaltung hydrologisch so zu bemessen, d. h. der erforderliche Hochwasserrückhalteraums so festzulegen, dass sie unter der Berücksichtigung der vorzusehenden Hochwassersteuerung die gewünschte Hochwasserschutzwirkung auch erfüllen kann. Da, wie gesagt, ein Versagen der Anlage katastrophale Auswirkungen zur Folge haben kann, ist neben der Bemessung nach Gesichtspunkten des Hochwasserschutzes auch eine Bemessung nach Gesichtspunkten der Sicherheit in Abhängigkeit des Gefährdungspotentials einer Stauanlage unumgänglich. Neben der Bemessung der Tragsicherheit, der Gebrauchstauglichkeit und der Dauerhaftigkeit eines Absperrbauwerks gegenüber den statisch und dynamisch wirkenden Kräften ist auf jeden Fall auch ein Nachweis der Hochwassersicherheit, für die die Hochwasserentlastungsanlage bemessen und die Freibordhöhe festgelegt wird, zu erbringen. Im Rahmen der geänderten Nachweisführung für die Hochwasserbemessung für Stauanlagen fordert die neue DIN (2004) die Überprüfung der Hochwassersicherheit mit Hilfe von Ganglinien, die bei den anlagenspezifischen Retentionsbedingungen eine Stauinhaltsmaximierung bewirken. Während in der alten Fassung der DIN (1986) für die Hochwasserbemessung noch von einem gefüllten gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum auszugehen war, kann nach der neuen Fassung die Anfangsbedingung einer bis zum Stauziel gefüllten Talsperre berücksichtigt werden. Mit der damit eröffneten Möglichkeit, die Retention mit zu berücksichtigen, ergibt sich die Erfordernis, bei der Bemessung eine Vielzahl möglicher Hochwasserereignisse mit unterschiedlichen Ganglinienformen zu verwenden. Erfahrungen aus Hochwasserereignissen in der Vergangenheit zeigen, dass mehrgipflige Ganglinien zu einer verminderten Hochwasserschutzwirkung von Talsperren führen können, da der erste Scheitel den gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum auffüllt und der zweite Scheitel dann zum Anspringen der Hochwasserentlastungsanlage führt. Diesen Vorgang veranschaulicht Abb. 1.1 mit zwei Beispielen des Augusthochwassers 2002 an der Talsperre Gottleuba und am Hochwasserrückhaltebecken Buschbach. Es ist daher nur konsequent, dass in der neuen DIN explizit der Nachweis mit mehrgipfligen Ganglinien gefordert wird, falls deren Auftreten im betrachteten Einzugsgebiet wahrscheinlich ist. Die für die Bemessung von Stauanlagen erforderlichen extremen Hochwasserereignisse können mit Hilfe von statistischen oder statistisch-deterministischen Ansätzen ermittelt werden. Problematisch sind dabei allerdings die aufgrund der für die Bemessung geforderten kleinen jährlichen Überschreitungswahrscheinlichkeiten erforderliche Extrapolation über den Beobachtungszeitraum hinaus und die damit verbundenen Unsicherheiten. 3

16 1 Einführung a) Talsperre Gottleuba b) Hochwasserrückhaltebecken Buschbach Abb. 1.1: Mehrgipflige Zuflussganglinien bei dem HW-Ereignis August 2002 Bei den statistisch-deterministischen Ansätzen (Vorgabe von Niederschlägen und Berechnung des Abflusses über N(iederschlag)-A(bfluss)-Modellierung) besteht das Problem, dass die Anwendbarkeit der vorhandenen N-A-Modelle bei Hochwasserereignissen im Bereich der von der DIN empfohlenen jährlichen Überschreitungswahrscheinlichkeiten (z. B jährliches Ereignis für den Nachweis der Anlagensicherheit von großen Talsperren) nicht gesichert ist. In der Regel können die Modelle nur an die häufiger vorkommenden kleinen und mittleren Hochwasserereignisse angepasst werden. Somit sind die internen Annahmen der Modelle und die verwendeten Parametrisierungen nicht ohne weiteres auf extreme Hochwasserereignisse übertragbar. Hinzu kommt eine große Abhängigkeit der Ergebnisse von den verwendeten Modellen, wie es beispielsweise die deutlichen Unterschiede zwischen summen- und intensitätsbasierten Modellansätzen aufzeigen. Bei der Vorgabe von statistisch begründeten Bemessungsniederschlägen werden in der Bemessungspraxis häufig aufgrund der Wahl der Intensitätsverteilung des Niederschlags auch gar keine mehrgipfligen Ganglinien bei der Bemessung von Stauanlagen berücksichtigt. Bei der Ermittlung von Bemessungsabflüssen auf statistischer Grundlage liegt das größte Problem in der im Allgemeinen kurzen beobachteten Reihe. Wird eine Verteilungsfunktion an die Messwerte angepasst, wird diese im Extrapolationsbereich in der Regel durch die sehr wenigen beobachteten hohen Werte schlecht gestützt und daher die Extrapolation problematisch und nicht überprüfbar. Die Anpassung von verschiedenen Verteilungsfunktionen an beobachtete Messwerte kann zwar gleichwertig sein, trotzdem können sie sich im Extrapolationsbereich deutlich unterscheiden. Für die Ermittlung von Bemessungsganglinien auf statistischer Grundlage bietet sich die Hochwassermerkmalssimulation an, bei der über eine analytische Funktion für die Beschreibung des zeitlichen Verlaufs des Hochwasserereignisses synthetische Hochwasserereignisse stochastisch erzeugt werden. Aus der Analyse von beobachteten Hochwasserereignissen werden die erforderlichen Parameterverteilungen des Modells ermittelt. Die Ergebnisse dieser Methodik sind somit sehr stark von der verwendeten analytischen Ganglinienfunktion abhängig. Hierbei ergibt sich das Problem, dass die in der Praxis verwendeten 4

17 1.2 Zielsetzung der Arbeit analytischen Funktionen für die Beschreibung des zeitlichen Verlaufs des Hochwasserereignisses nur eine eingipflige Form haben (siehe z. B. MUNLV, 2004) und somit komplexere Ganglinienformen in der Bemessung nicht berücksichtigt werden. 1.2 Zielsetzung der Arbeit Da in der Praxis in Abhängigkeit der bei der Bemessung angesetzten Randbedingungen (z. B. Berücksichtigung der Retention 2 und des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums), des Bemessungskonzeptes (sicherheitsbasiert oder risikoorientiert), des Bemessungsziels, der Größe des Einzugsgebietes (kleines Einzugsgebiet oder Flussgebiet), der Anzahl der Anlagen (Einzelanlage oder Hochwasserrückhaltesystem) und der Datenverfügbarkeit unterschiedliche Verfahren für die Ermittlung der Bemessungszuflüsse erforderlich und sinnvoll sind, werden in dieser Arbeit entsprechend den vorangegangenen Ausführungen verschiedene Verfahren zur Ermittlung von Hochwasserganglinien entwickelt, um die Bemessung der Hochwasserschutzwirkung und Hochwassersicherheit von Einzelanlagen und Rückhaltesystemen von Flussgebieten vorzunehmen. Um bei der Hochwassermerkmalssimulation auch komplexere Ganglinienformen berücksichtigen zu können, soll eine Ganglinienfunktion entwickelt werden, die folgende Bedingungen erfüllt. Sie soll - mehrgipflige Ganglinienformen berücksichtigen - auf einer möglichst geringen Anzahl von Parametern basieren und - Parameter verwenden, die die wichtigsten Eigenschaften eines Hochwasserereignisses wie z. B. Scheitel, Scheitelanstiegszeit, etc. repräsentieren. Zudem sollen die Parameter statistisch charakterisiert werden können. Auf der Basis von Tageswerten wurde von Grünewald (1977) ein Modell für die Hochwassermerkmalssimulation entwickelt, bei dem mehrgipflige Ganglinien durch die Überlagerung von Einzelwellen abgebildet werden. Für die Hochwasserbemessung von Talsperren, insbesondere mit kleinen Einzugsgebieten und entsprechend kurzen Reaktionszeiten ist hingegen ein Modell erforderlich, das mit einer kleineren Zeitschrittweite von z. B. 1 h arbeitet. Zur Abbildung komplexerer Ganglinienformen (z. B. auch zweigipflige Ganglinien) wird eine größere Anzahl von Parametern erforderlich sein. Daher wird es aufgrund der im Allgemeinen relativ kurzen beobachteten Zeitreihe schwierig sein, die Parameterverteilungen des Modells unter Berücksichtigung der gegenseitigen Parameterabhängigkeiten vertrauenswürdig zu schätzen. Daher sollen in dieser Arbeit Verfahren entwickelt wer- 2 Als Retention oder auch Seeretention wird die dämpfende, ausgleichende Wirkung von großen Wasseroberflächen auf den Verlauf der Hochwasserwelle bezeichnet. Die Hochwasserwelle muss erst den Wasserspiegel in Abhängigkeit der hydraulischen Bedingungen des Auslasses anheben, bevor eine Zunahme des Abflusses erfolgt. 5

18 1 Einführung den, um die Parameter über eine Informationserweiterung realitätsnah und vertrauenswürdig zu schätzen. Bei größeren Einzugsgebieten ist die Hochwasserschutzwirkung einer oder mehrerer Stauanlagen stark durch die ereignisspezifischen Hochwasserabläufe, wie z. B. der räumlichen Verteilung der hochwasserauslösenden Niederschlagsereignisse, bestimmt. In großen Flussgebieten bestehen darüber hinaus die Probleme der Koinzidenz von Hochwasserereignissen in Teileinzugsgebieten sowie der gegenseitigen Beeinflussung von technischen Hochwasserrückhalteanlagen. Aufgrund der Komplexität solcher Systeme ist die Hochwassermerkmalssimulation zur Ermittlung der Hochwasserschutzwirkung bzw. Bemessung des Hochwasserrückhaltesystems über eine Risikoanalyse nicht geeignet. Stattdessen bietet sich hier eine kontinuierliche, räumlich verteilte stochastische Niederschlagsgenerierung in Verbindung mit einem deterministischen Niederschlag-Abfluss-Modell an, um die erforderlichen hydrologischen Szenarien zu ermitteln. Um eine Über- oder Unterschätzung des mit einem hydrologischen Szenario verbundenen Risiko zu vermeiden, wird in dieser Arbeit eine Methodik zur probabilistischen Bewertung von Hochwasserereignissen mit Hilfe multivariater Statistik entwickelt, um auf diesem Wege eine Risikoanalyse von Hochwasserrückhaltesystemen in Flussgebieten durchzuführen. 1.3 Aufbau der Arbeit Diese Arbeit ist folgendermaßen gegliedert: Kapitel 2 befasst sich mit den verschiedenen Konzepten zur Bemessung von Stauanlagen, den Kriterien für die Wahl des Bemessungshochwassers sowie den Grundlagen für die Hochwassersteuerung und der Retentionsberechung. In Kapitel 2 werden insbesondere auch das Konzept für die Hochwasserbemessung nach der neuen DIN (2004) und die Grundlagen der Risikoanalyse und Risikobewertung (Risk Assessment) für die risikoorientierte Bemessung von Talsperren vorgestellt. In diesem Kapitel wird ferner die Theorie der Zuverlässigkeitsanalyse und deren Anwendung bei der Bestimmung der Überflutungssicherheit als Hilfsmittel für die Risikoanalyse detaillierter beschrieben. Da gemäß den Vorgaben der DIN bei den Speicherberechnungen der gewöhnliche Hochwasserrückhalteraum und die Seeretention mit berücksichtigt werden können, wird weiterhin ein Retentionsmodell entwickelt, bei dem bei der Berechnung komplexe Steuervarianten der Betriebsauslässe und Verschlüsse der Hochwasserentlastungsanlagen der Talsperren berücksichtigt werden können. Kapitel 3 gibt eine Übersicht über bestehende Methoden zur Ermittlung von Hochwasser- Bemessungsereignissen. Es werden die Grundlagen für die statistische Analyse von Hochwasserabflüssen und der Ermittlung von Bemessungsganglinien mit Hilfe synthetischer Bemessungsganglinien und Hochwassermerkmalssimulation vorgestellt und einige Verfahren beschrieben, mit denen die zuvor beschriebenen Unsicherheiten bei der Verwendung 6

19 1.3 Aufbau der Arbeit von statistischen Methoden minimiert werden können. Des Weiteren werden Grundlagen und Verfahren für die Ermittlung von Hochwasserereignissen mit Hilfe von Niederschlag- Abfluss-Modellen beschrieben. In den Kapiteln 4, 5 und 6 werden Verfahren zur Hochwasserbemessung von Einzelanlagen entwickelt und beispielhaft angewendet. In Kapitel 6 wird zusätzlich auf die Bewertung und Bemessung der Hochwasserschutzwirkung von Hochwasserrückhaltesystemen in Flussgebieten eingegangen. In Kapitel 4 werden zwei Ganglinienfunktionen für die Hochwassermerkmalssimulation beschrieben, die die oben angeführten Voraussetzungen erfüllen. Mit einer der beiden Funktionen wird ein Verfahren für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie für die Bemessung der Hochwassersicherheit von Talsperren nach DIN (2004) entwickelt. Die Hochwassersicherheit von Einzelanlagen wird in Abhängigkeit von Einzugsgebietseigenschaften mit einer Vielzahl unterschiedlicher Ganglinienformen überprüft. Dieses Verfahren wird an drei Talsperren in Sachsen beispielhaft getestet. Darauf aufbauend wird in Kapitel 5 ein komplexeres Modell für die Hochwassermerkmalssimulation entwickelt, das auch für die stochastische Bemessung von Einzelanlagen nach der Zuverlässigkeitstheorie geeignet ist. Die gegenseitigen Parameterabhängigkeiten im Modell werden durch bivariate Verteilungsfunktionen berücksichtigt. Für die Ermittlung der bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird die Copula Theorie verwendet, die außerdem in diesem Kapitel ausführlich beschrieben wird. Die Datengrundlage einer relativen kurzen Beobachtungszeit wird über eine stochastisch-deterministische Generierung von synthetischen Abflussdaten erweitert. Dieses wesentlich komplexere Modell wird beispielhaft für die Risikoanalyse einer virtuellen Talsperre auf Grundlage der Wuppertalsperre angewendet. Für die Hochwasserschutzplanung von Einzelanlagen und von Hochwasserrückhaltesystemen in Flussgebieten wird in Kapitel 6 eine Methodik für die probabilistische Bewertung von hydrologischen Szenarien für die Risikoanalyse beschrieben. Hierbei wird wieder die aus Kapitel 5 bekannte Copula Theorie angewendet. Die Hochwasserereignisse der hydrologischen Szenarien werden mit Hilfe eines stochastischen Niederschlagsgenerators in Verbindung mit einem Niederschlag-Abfluss-Modell erzeugt. Am Beispiel der Einzugsgebiete der Wupper und der Unstrut wird diese Methodik beispielhaft erläutert. In Kapitel 7 werden die entwickelten Verfahren anhand der Anwendungsbeispiele zusammenfassend diskutiert und bewertet. 7

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21 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren Mit der neuen Fassung der DIN (2004) für die Bemessung von Stauanlagen wurden alle Teile der alten DIN (1986) überarbeitet und an den fortgeschrittenen Stand der Technik angepasst. Es wurden eine neue Sicherheitsphilosophie und neue Bemessungsansätze gegenüber Hochwasser und Erbeben eingeführt und eine Auseinandersetzung mit den Risiken, die bei Überschreitung der Bemessungsgrenzen zu erwarten sind, gefordert. Für die Bemessung der Hochwassersicherheit von Stauanlagen werden in der neuen DIN und in den einschlägigen internationalen Talsperrennormen Bemessungshochwasser mit einer sehr kleinen Überschreitungswahrscheinlichkeit, bis hin zu dem vermutlich größten Hochwasser PMF ( probable maximum flood ), gefordert. Die jährliche Überschreitungswahrscheinlichkeit Pü ( HQ ) gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Bemessungshochwasser in einem Jahr erreicht oder überschritten wird. Das mittlere statistische Wiederkehrintervall T [a], auch als Jährlichkeit und Wiederholungszeitspanne bezeichnet, ist der Reziprokwert der Überschreitungswahrscheinlichkeit und gibt darüber Auskunft, alle wie viel Jahre das Bemessungshochwasser im statistischen Mittel erreicht oder überschritten wird. Wird bei dem Nachweis der Hochwassersicherheit die Retention und der Hochwasserschutzraum, in der DIN als gewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum bezeichnet, berücksichtigt, werden wie bei der Bemessung des Hochwasserschutzraumes Hochwasserganglinien benötigt. Wird bei der Bemessung der Hochwassersicherheit, wie z. B. in der alten DIN (1986), die Retention und Speicherräume dagegen nicht berücksichtigt, werden für die Bemessung nur extreme Abflusswerte benötigt. 2.1 Wahl des Bemessungshochwassers Für die Bemessung von Wasserbauwerken werden Bemessungshochwasser benötigt. Nach DVWK-Merkblatt 209 (1989) ist die Definition: Das Bemessungshochwasser ist das Ereignis (gekennzeichnet durch Scheitelabfluss, -wasserstand, Dauer, Fülle oder Wellenhöhe), das zur Dimensionierung einer Hochwasserschutzmaßnahme oder einer baulichen Anlage dient. 9

22 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren Tab. 2.1: Maßgebende Bemessungsgrößen eines Bemessungshochwassers (DVWK, 1989) Bemessungsgrößen Hochwasserscheitelabfluss HQ b (m³/s) bzw. Hochwasserscheitelstand HW b (mnn) Abflusssumme, -volumen bzw. fülle eines Hochwassers HV b (m³) Überschreitungsdauer eines Wasserstandes HT b (h) Ganglinie des Wasserstandes bzw. Abflusses HW b (t) bzw. HQ b (t) Anwendungsbeispiele Deiche, Dämme, Entlastungskanäle, Wehre, Brücken und Durchlässe, Hochwasserentlastungsanlagen, Flussregelungen, Wildbachverbauung, Baugrubenumschließungen, Binnenentwässerung (Schöpfwerke, Siele), Überschwemmungsgebiete Hochwasserschutzraum von Hochwasserrückhaltebecken und Talsperren, Binnenentwässerung (Schöpfwerke usw.), Überschwemmungsgebiete Deiche und Dämme (Durchsickerung), Binnenentwässerung (Schöpfwerke usw.) Hochwasserrückhaltebecken und Talsperren, Steuerung von Rückhaltesystemen, Hochwasserentlastungsanlagen (mit Berücksichtigung der Retention), Binnenentwässerung (Schöpfwerke usw.) Je nach Bauwerk sind unterschiedliche Bemessungsgrößen maßgebend (siehe Tab. 2.1). Bei der Berücksichtigung der Retention und für die Bemessung des erforderlichen Hochwasserrückhalteraums werden für die Bemessung von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken vollständige Bemessungsganglinien benötigt. Bei Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken muss zwischen der Hochwasserschutzwirkung und der Hochwassersicherheit der Anlage unterschieden werden. Die Hochwasserschutzwirkung von Stauanlagen kann über die beiden Kriterien: - Rückhaltung der zufließenden Wassermenge und - Reduzierung des Hochwasserscheitels beurteilt werden, die abhängig von der Stauraumgröße, der Leistungsfähigkeit der Auslässe und der Bewirtschaftung der Talsperre sind. Dabei ist klar, dass abhängig von der Aufgabe nicht jede Talsperre eine Hochwasserschutzfunktion hat. Nach der heutigen Sicherheitsphilosophie werden bei dem Nachweis der Hochwassersicherheit im Allgemeinen zwischen zwei Lastfällen unterschieden. Für den ersten Lastfall sollte die Hochwasserentlastung der Anlage so bemessen werden, dass das Bemessungshochwasser ohne Schäden an der Anlage abgeführt werden kann. Der zweite Lastfall dient dem Nachweis der Anlagensicherheit und stellt somit die extremsten Anforderungen dar, bei dem die Stauanlage das Bemessungshochwasser, oft auch als Sicherheitshochwasser 10

23 2.1 Wahl des Bemessungshochwassers bezeichnet, ohne zu versagen bewältigen muss. Um die Hochwassersicherheit von Stauanlagen sicher zu stellen, werden für die Bemessung Hochwässer mit einem großen Wiederkehrintervall bzw. einer kleinen Überschreitungswahrscheinlichkeit berücksichtigt. So gibt es während der Lebensdauer eines Bauwerks statistisch jedes Jahr wieder die Chance, dass das Bemessungshochwasser überschritten wird. Dies wird durch das hydrologische Risiko beschrieben: F 1 R = 1 1. T (2.1) Das hydrologische Risiko beschreibt die Wahrscheinlichkeit R, dass während der Lebensdauer F eines Bauwerks ein Bemessungshochwasser mit dem Wiederkehrintervall T überschritten wird. Soll z. B. das Bemessungshochwasser mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01 während der Lebensdauer des Bauwerks von 100 Jahren nicht überschritten werden, ist für das Bemessungshochwasser ein Wiederkehrintervall von Jahren anzusetzen. Daher werden in den internationalen Talsperrennormen Bemessungshochwässer mit einem sehr großen Wiederkehrintervall gefordert. In Berga (1998a; 1998b), übernommen in ICOLD (2003), wird eine Methodik für die Wahl des Bemessungshochwassers in Abhängigkeit von dem Gefährdungspotential der Talsperre vorgeschlagen, wobei Talsperren mit einem größeren Gefährdungspotential auch eine größere Sicherheit haben sollten. In Tab. 2.2 sind diese Empfehlungen dargestellt. Tab. 2.2: Auswahl des Bemessungshochwassers in Abhängigkeit von der Gefährdungsklasse der Talsperren (ICOLD, 2003) Gefährdungspotential Verlust an Menschenleben Ökonomische, soziale, ökologische und politische Auswirkungen Bemessungshochwasser Bemessungshochwasser für Stauanlagensicherheit Hoch N Exzessiv % PMF 1 oder a PMF oder a Signifikant 0 - N Signifikant % PMF oder a oder Kosten- Nutzen-Analyse % PMF oder a oder Kosten- Nutzen-Analyse Gering 0 Minimal Die Grenze zwischen Talsperren mit einem hohen und einem signifikanten Gefährdungspotential wird durch die potenzielle Anzahl der Opfer N, die nach Berga (1998b) normalerweise zwischen N = 1 und 10 und in den meisten Fällen zu N = 1 gewählt wird, festge- 1 Mit PMF ( Probable Maximum Flood ) wird das vermutlich größte Hochwasser bezeichnet 11

24 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren legt. Bei Talsperren mit signifikanten Gefährdungspotential ist es möglich, die Höhe des Bemessungshochwasser über eine Kosten-Nutzen-Analyse (ECA - Economic Risk Analysis ) festzulegen. In Gutknecht (2007a) wird für die Hochwasserbemessung von Talsperren die Entwicklung eines Leitfadens für die Ermittlung von Bemessungshochwässern kleiner Auftretenswahrscheinlichkeit vorgestellt, um die Bemessungs- und Nachweisgrößen nach einheitlichen Grundsätzen zu bestimmen. Für den Nachweis der Hochwasserentlastungsanlage wird als Bemessungshochwasser ein Hochwasserscheitelabfluss mit einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von P Ü ( BHQ ) = entsprechend einem Wiederkehrintervall von 5000 Jahren definiert. Für den Nachweis der Anlagensicherheit wird als Sicherheitshochwasser das vermutlich größte Hochwasser PMF als Extremfall definiert. Hable (2001) gibt eine Übersicht über die internationale Bemessungspraxis in der Klassifizierung von Talsperren und der Wahl des Bemessungshochwassers. 2.2 Wahl des Bemessungshochwassers nach DIN (2004) Die Neufassung der DIN "Stauanlagen" (2004) beinhaltet gegenüber der alten Fassung (DIN 19700, 1986) einige grundlegende Änderungen bei der Hochwasserbemessung von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken. Sie unterscheidet drei Hochwasserbemessungsfälle, wobei Hochwasserbemessungsfall 1 und 2 dem Nachweis der Hochwassersicherheit der Talsperre und Hochwasserbemessungsfall 3 der Festlegung der Hochwasserschutzfunktion der Talsperre dienen: Hochwasserbemessungsfall 1: Bemessung der Hochwasserentlastungsanlage auf den Bemessungshochwasserzufluss BHQ 1, der über die Hochwasserentlastungsanlage ohne Schaden abgeleitet werden können muss. Die Tragsicherheit, Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit der Talsperre sind sicherzustellen. Die resultierende Wasserspiegelhöhe ist das Hochwasserstauziel 1 ( Z H1 ). Hochwasserbemessungsfall 2: Nachweis der Stauanlagensicherheit bei Extremhochwasser mit dem Bemessungshochwasserzufluss BHQ 2. Diesen Zufluss muss die Talsperre ohne globales Versagen, insbesondere der Tragsicherheit, überstehen. Daher ist die Größe des Bemessungshochwassers höher als beim Hochwasserbemessungsfall 1. Neben der Hochwasserentlastungsanlage dürfen aber gegebenenfalls Notentlastungen für die Hochwasserableitung berücksichtigt werden. Beschädigungen können in Kauf genommen werden, wenn sie die Tragsicherheit nicht gefährden. Die resultierende Wasserspiegelhöhe ist das Hochwasserstauziel 2 ( Z H2 ). Hochwasserbemessungsfall 3: Bemessung des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums. Der Bemessungshochwasserzufluss BHQ 3 wird in Abhängigkeit des Schutzbedürfnisses bzw. des angestrebten Hochwasserschutzgrades festgelegt. 12

25 2.2 Wahl des Bemessungshochwassers nach DIN (2004) Der Nachweis der Hochwassersicherheit der Talsperre ist mit extremen Hochwasserganglinien zu führen, deren Scheitelwerte durch Überschreitungswahrscheinlichkeiten charakterisiert werden. Im Gegensatz zur alten DIN (1986) kann die Retention der Hochwasserrückhalteräume in der Bemessung berücksichtigt werden. Daher muss die Hochwassersicherheit der Stauanlagen auch mit Ereignissen überprüft werden, deren Scheitelwerte kleiner sind, aber aufgrund der Form und unter Berücksichtigung der anlagenspezifischen Retentionsbedingungen eine Stauinhaltsmaximierung bewirken. Muss in dem betrachteten Gebiet mit mehrgipfligen Hochwasserwellen gerechnet werden, ist dies bei der Bemessung zu berücksichtigen. Liegen in dem Gebiet keine repräsentativen Abflussmessdaten vor, sind für die Ermittlung der Bemessungshochwasserzuflüsse deterministische Berechnungsverfahren anhand von Niederschlag-Abfluss-Modellen unter Einbeziehung von langjährigen Niederschlagsreihen (Kontinuumssimulation) oder der Vorgabe von statistisch oder physikalisch/klimatologisch begründeten Bemessungsregen anzuwenden. Die jahreszeitliche und räumliche Niederschlagsverteilung ist hierbei zu berücksichtigen. Bei Vorliegen von Abflussmessreihen eines repräsentativen Bezugspegels mit ausreichend langem Beobachtungszeitraum ist es auch möglich, diese Daten für die Erzeugung einer statistisch begründeten Zuflussganglinie zu verwenden. Für die Hochwasserbemessungszuflüsse BHQ 1 und BHQ 2 werden in der DIN (2004) Teil 11 in Abhängigkeit von der Anlagengröße Überschreitungswahrscheinlichkeiten gefordert. Bei Talsperren wurden zwei Talsperrenklassen eingeführt: - Klasse 1: große Talsperren, Kronenhöhe > 15 m und Gesamtstauraum > m³ - Klasse 2: kleine und mittlere Talsperren, die die Bedingungen für Klasse 1 nicht erfüllen. Hochwasserrückhaltebecken werden nach DIN Teil 12 in vier Klassen eingeteilt: - Große Becken: Höhe Absperrbauwerk > 15 m, Gesamtstauraum > m³ - Mittlere Becken: 5 m < Höhe Absperrbauwerk < 15 m, m³ < Gesamtstauraum < m³ - Kleine Becken: 3 m < Höhe Absperrbauwerk < 5 m, m³ < Gesamtstauraum < m³ - Sehr kleine Becken: Höhe Absperrbauwerk < 3 m, Gesamtstauraum < m³. Die empfohlenen jährlichen Überschreitungswahrscheinlichkeiten für die Bemessungshochwasserzuflüsse sind in Tab. 2.3 gegeben. 13

26 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren Tab. 2.3: Nach DIN (2004) geforderte Überschreitungswahrscheinlichkeiten für den Nachweis der Hochwassersicherheit von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken Klasse Bemessungsfall BHQ 1 Bemessungsfall BHQ 2 Talsperren Klasse (T = a) 10-4 (T = a) Klasse (T = 500 a) (T = a) Klasse 2* in Ausnahmefällen 10-2 (T = 100 a) 10-3 (T = a) Hochwasserrückhaltebecken Große Becken 10-3 (T = a) 10-4 (T = a) Mittlere und kleine Becken (T = 500 a) (T = a) Sehr kleine Becken (T = 200 a) 10-3 (T = a) * Klasse 2 in Ausnahmefällen: Wenn beim Versagen nur Auswirkungen untergeordneter Ordnung im Unterliegergebiet zu erwarten ist Das verbleibende Risiko für die Talsperrensicherheit in Folge Überschreitung von BHQ 2 ist erforderlichenfalls unter Beachtung des PMF zu bewerten und notwendigenfalls zu vermindern. Für den Nachweis der Hochwassersicherheit von Hochwasserrückhaltebecken und Talsperren gelten nach DIN (2004) für die beiden Hochwasserbemessungsfälle 1 und 2 unterschiedliche Randbedingungen: - Bei beiden Bemessungsfällen kann die Retentionswirkung berücksichtigt und der gewöhnliche Hochwasserrückhalteraum zu Beginn des Ereignisses als leer angesetzt werden (Stauinhalt zu Beginn des Hochwasserereignisses = Stauziel Z S ). - Vorentlastung (vor Erreichen des Vollstaus Z V ) und Parallelentlastung (ab Vollstau Z V ) über die Grundablässe und die Hochwasserentlastungsanlagen ist bei beiden Bemessungsfällen zulässig, wobei beim Bemessungsfall 1 die (n-1)- bzw. (n-a)- Regel berücksichtig werden muss (siehe DVWK, 1990). Beim Bemessungsfall 2 dürfen geeignete Betriebsauslässe mit berücksichtigt werden. Bei der Vorentlastung darf bei beiden Bemessungsfällen der nach dem Betriebsplan der Talsperre zulässige Abfluss im Unterlauf nicht überschritten werden. - Bei der Hochwasserentlastung kann die Hochwasserentlastungsanlage als wirksam angesetzt werden, wobei beim Bemessungsfall 1 wiederum die (n-1)- bzw. (n-a)- Regel berücksichtig werden muss. 14

27 2.3 Stauraumaufteilung gemäß DIN (2004) 2.3 Stauraumaufteilung gemäß DIN (2004) Der Beckenraum einer Talsperre ist gemäß der DIN (2004) (siehe Abb. 2.1) in den Dauerstauraum, bestehend aus dem Totraum I T, Reserveraum I R und Betriebsraum I BR, unterteilt. Der Gesamtstauraum der Talsperre ergibt sich aus dem Dauerstauraum, dem gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum I GHR und dem außergewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum I AHR mit den zugeordneten Stauzielen: tiefstes Absenkziel Z T, Absenkziel Z A, Stauziel Z S, Vollstau Z V und dem höchsten Stauziel Z H1 für den Hochwasserbemessungsfall 1 bzw. dem höchsten Stauziel Z H2 für den Hochwasserbemessungsfall 2. Freiraum im Hochwasserbemessungsfall 1 (I F1 ) Hochwasserstauziel im Hochwasserbemessungsfall 1 (Z H1 ) Außergewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum im Hochwasserbemessungsfall 1 (I AHR1) Hochwasserstauziel im Hochwasserbemessungsfall 2 (Z H2) Vollstau (ZV) Freiraum im Hochwasserbemessungsfall 2 (I F2) Außergewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum im Hochwasserbemessungsfall 2 (I AHR2 ) Kronenhöhe Freibord im Hochwasserbemessungsfall 2 (f 2 ) Freibord im Hochwasserbemessungsfall 1 (f 1) Gewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum (I GHR) Stauziel (ZS) 2 1 Betriebsraum (I BR) Absperrbauwerk Reserveraum (I R) Totraum (I T ) Absenkziel (ZA) Tiefstes Absenkziel (ZT) Betriebsauslass Grundablass 1 2 Gesamtstauraum im Hochwasserbemessungsfall 1 Gesamtstauraum im Hochwasserbemessungsfall 2 Abb. 2.1: Stauraumaufteilung nach DIN (2004) Die Bemessung des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraumes I GHR erfolgt auf der Grundlage des Hochwasserbemessungsfalles 3. Er muss nur dann vorgesehen werden, wenn die Talsperre auch Hochwasserschutzziele erfüllen soll. Der außergewöhnliche Hochwasserrückhalteraum befindet sich oberhalb des Vollstaus Z V, bei weiterem Einstau springt somit die Hochwasserentlastungsanlage an. Die Größe des außergewöhnlichen Hochwasserrückhalteraumes I AHR1 mit dem Hochwasserstauziel 1 ( Z H1 ) und die Größe des außergewöhnlichen Hochwasserrückhalteraumes I AHR2 mit dem zugehörigen Hochwasserstauziel 2 ( Z H2 ) ergibt sich aus der Ableitung des Bemessungshochwasserzuflusses BHQ 1 bzw. BHQ 2 entsprechend der hydraulischen Leistungsfähigkeit der Hochwasserentlastungsanlage und den jeweils berücksichtigten Anfangs- und Randbedingungen für die Bemessung. Die Überflutungssicherheit des Absperrbauwerks hängt vom Abstand der Bauwerkskrone zum Einstau infolge Extremhochwassers, also dem Freibord der Talsperre, ab. Die Höhe des Freibords wiederum ist vom Windstau, Wellenauflauf und ggf. Eisstau abhängig. 15

28 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren 2.4 Freibordermittlung nach DIN (2004) Der Freibord einer Talsperre ist der Stauraum zwischen der aus dem Bemessungshochwasser resultierenden Wasserspiegelhöhe und der Bauwerkskrone. Bei der Bemessung des Freibords nach DIN (2004) wird für beide Hochwasserbemessungsfälle 1 und 2, für die unterschiedliche Randbedingungen gelten, der Freibord f 1 und f 2 berechnet (siehe Abb. 2.2). Für die Festlegung der Bauwerkskrone ist der größere Wert von Z H1 + f 1 aus dem Hochwasserbemessungsfall 1 bzw. Z H2 + f 2 aus dem Hochwasserbemessungsfall 2 maßgebend. Für die Ermittlung von f 1 muss der Wellenauflauf h Au, der Windstau h Wi und gegebenenfalls der Eisstau h Ei angesetzt werden. Für die Bemessungswindgeschwindigkeit ist im Bemessungsfall 1 ein Ereignis mit der Jährlichkeit 25 a anzusetzen. Z K (Kronenstau) Z H2 (HWBF 2 / BHQ 2 ) fwi (<25) (+ hei) h SI Auffüllbetrag abh. von f 2 f 2 fwi (25) (+ hei) Z H1 (HWBF 1 / BHQ 1 ) Z V (Vollstau) fwi = Windstau ( hwi) + Wellenauflauf ( hau) fwi = Windstau ( hwi) + Wellenauflauf ( hau) Wi (25) = Bemessungswind mit Jährlichkeit 25 a (HWBF 1) Wi (>25) = Bemessungswind mit Jährlichkeit < 25 a (HWBF 2) hei = Eisstau (falls erforderlich) h = Sicherheitszuschlag Si Abb. 2.2: Freibordkomponenten (nach Sieber, 2006) Da die Kombination seltener Ereignisse zu einer sehr konservativen Auslegung führen würde, gelten für den Hochwasserbemessungsfall 2 (Freibord f 2 ) geringere Bemessungswindgeschwindigkeiten für die Windstau- und Wellenauflaufberechnungen als beim Hochwasserbemessungsfall 1 (Freibord f 1 ). Beim Freibord f 2 muss zusätzlich ein Sicherheitszuschlag h Si berücksichtigt werden, der abhängig von Risikobetrachtungen und Gefährdungspotential zu wählen ist. Dieser Zuschlag dient dem Hochwasserrisikomanagement der verbleibenden Gefahren und Risiken. Da bei Staudämmen beim Überströmen der Krone eine größere Versagenswahrscheinlichkeit besteht als bei Staumauern, ist zwischen dem Sicherheitszuschlag für Staudämme und Staumauern zu unterscheiden und bei Staudämmen ein höherer Sicherheitszuschlag zu wählen. In DVWK (1997a) werden Empfehlungen für die Ermittlung der Freibordkomponenten gegeben. 2.5 Festlegung des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums Die DIN (2004) Teil 11 legt die Größe des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums I GHR in Abhängigkeit des Schutzbedürfnisses bzw. des angestrebten Hochwasserschutzgrades unter Verwendung des Bemessungshochwassers BHQ 3 fest. Er muss so groß bemessen sein, dass die Fülle der Hochwasserwelle aufgenommen werden kann, vor der 16

29 2.6 Risikoanalyse von Talsperren das Unterliegergebiet entsprechend dem Hochwasserschutzziel geschützt werden soll. Das Wasservolumen, das über die Hochwassersteuerung an den Unterlauf abgegeben werden kann, darf bei der Bemessung des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums berücksichtigt werden, wobei die Steuerung der Stauanlage in der Betriebsvorschrift festgeschrieben sein muss. Schon aus wirtschaftlichen Gründen ist ein BHQ 3 zu wählen, dessen Überschreitungswahrscheinlichkeit im Bereich von 100 Jahren liegt. Nach Gl. 2.1 ergibt sich hierbei eine Wahrscheinlichkeit der mindestens einmaligen Überschreitung von BHQ 3 innerhalb einer Nutzungsdauer von 100 Jahren von 0,634. In der alten DIN Teil 12 (1986) und im DVWK Merkblatt 202 (1991a) werden Anhaltswerte für das Wiederkehrintervall T des Bemessungshochwassers unter Berücksichtigung der Unterlieger angegeben. Bei hochwertig bebauten Gebieten wird z. B. eine Wiederholungszeitspanne von 100 Jahren empfohlen. In der Neufassung der DIN (2004) wurde auf anzustrebende Hochwasserschutzziele bewusst verzichtetet, da sich solche Vorgaben dem Regelungsgehalt einer technischen Norm entziehen. Bei Talsperren ergibt sich im Gegensatz zu Hochwasserrückhaltebecken ein Konflikt zwischen den verschiedenen Nutzungen der Talsperre, da für den Hochwasserschutz der Stauraum möglichst frei sein sollte. Die Funktionen der Trink- und Brauchwasserbereitstellung, Wasserkraftnutzung, Niedrigwasseraufhöhung, Freizeit und Erholung und Ökologie verlangen hingegen nach einer möglichst hohen Speicherfüllung. Aufgrund dieser bestehenden Nutzungskonflikte wird bei den Bewirtschaftungsplänen von Talsperren häufig eine variable Stauraumaufteilung gewählt. Dabei wird für den Hochwasserschutz in Zeiten mit einem hohen Hochwasserrisiko ein größerer Teil des Stauraums bereitgehalten als in Zeiten mit einem niedrigen Hochwasserrisiko. Diese saisonale Zuordnung setzt allerdings auch eine saisonale Analyse des Hochwasserregimes voraus, die z. B. über die Ermittlung von saisonalen Verteilungsfunktionen erfolgen kann (siehe z. B. Schumann, 2005). 2.6 Risikoanalyse von Talsperren Sicherheitsphilosophie Die Auswirkungen der Hochwasserereignisse der letzten Jahre haben wieder deutlich gemacht, dass es bei technischen Bauwerken wie z. B. Talsperren ein unter Umständen nicht vernachlässigbares Versagensrisiko gibt. Andererseits kann eine Minimierung des Versagensrisikos gegen Null aufgrund des sehr großen technischen und wirtschaftlichen Aufwands nicht sinnvoll sein. In dem Bewusstsein, dass absolute Sicherheit nicht erreichbar ist, findet seit einiger Zeit ein Wandel bei der Beurteilung und Behandlung von Sicherheitsfragen statt. Es werden daher bei der Bemessung und Bewertung immer öfter risikobasierte Sicherheitsanalysen anstatt einer konventionellen Sicherheitsbetrachtung durchgeführt (siehe Abb. 2.3). 17

30 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren Konventionelle Sicherheitsbetrachtung Planung, Bau, Betrieb, Überwachung der Talsperren nach den a.a.r.d.t. (das Menschenmögliche wird getan) Risikobasierte Sicherheitsanalyse Planung, Bau, Betrieb, Überwachung der Talsperren nach den a.a.r.d.t. (das techn. und wirtschaftlich Leistbare wird getan) Talsperre nach menschlichem Ermessen sicher Absolute Sicherheit der Talsperre ist nicht erreichbar Keine Risikobetrachtung, -definition, -quantifizierung. Keine Restrisikoakzeptanz und -verminderungsstrategie Risikobetrachtung: Definition und Quantifizierung des Versagensrisikos, Festlegung des hinnehmbaren Restrisikos Versagensrisiken gelangen nicht in das Bewusstsein der Öffentlichkeit Risikomanagement: Durchsetzen von Restrisikoverminderungsstrategien in/mit der Öffentlichkeit Abb. 2.3: Sicherheitsphilosophien für Talsperren (nach Sieber, 2005) Auch mit der neuen DIN (2004) wird das zeitgemäßere Sicherheitskonzept für die Bemessung von Stauanlagen in Deutschland aufgegriffen. Neben der konventionellen, also einer auf Sicherheitsgraden basierten Bemessung und Führen des Sicherheitsnachweises, wird gefordert, einen Blick über die Bemessungs- und Nachweisgrenzen hinaus zu werfen. Die verbleibenden Risiken infolge Überschreitung des Bemessungshochwasserzuflusses BHQ 2 bzw. des Hochwasserstauziels 2 (Z H2 ) sowie des Bemessungserdbebens sind zu bewerten und in Abhängigkeit von den lokalen Bedingungen durch flankierende konstruktive, bewirtschaftungsseitige und/oder organisatorische Maßnahmen ausreichend zu vermindern (DIN Teil 10, 2004). Nach Sieber (2005) wird mit dieser Forderung zum Ausdruck gebracht, dass - absolute Sicherheit nicht möglich ist, - es nicht um Risikoausschluss sondern um Risikominderung geht, - bedarfsweise Notfallvorkehrungen zu treffen sind und letztlich - ein akzeptierbares Restrisiko von der Gesellschaft hinzunehmen ist. Quantitative Vorgaben für das akzeptierbare Restrisiko bzw. die zulässige Versagenswahrscheinlichkeit gibt die DIN (2004) nicht, womit es sich somit bei dem Sicherheitskonzept der neuen DIN nicht um ein voll probabilistisches Zuverlässigkeitskonzept handelt. Bei der Festlegung von Z H2 wird zwar ein Bemessungshochwasser BHQ 2 angesetzt, dem die Jährlichkeit T zugeordnet ist, wobei aber aufgrund der bei der Bemessung angesetzten Randbedingungen die Wahrscheinlichkeit für das Überschreiten von Z H2 unbekannt ist. Der tatsächliche Wert der Wahrscheinlichkeit kann nur durch eine Zuverlässigkeitsanalyse ermittelt werden. 18

31 2.6 Risikoanalyse von Talsperren Da, wie oben beschrieben, eine absolute Sicherheit letztlich technisch nicht gewährleistet werden kann, muss das verbleibende Versagensrisiko ermittelt, bewertet und in den gesellschaftlichen Prozess der Akzeptanz eingebunden werden. Die risikobasierte Bemessung oder Sicherheitsbeurteilung von Talsperren kann somit als Verfahren eines Risikomanagements zusammengefasst werden. In Abb. 2.4 ist z. B. der Ablauf einer risikoorientierten Bemessung nach Meon et al. (2007) für Stauanlagen dargestellt. Identifikation der Gefährdungen durch Stauanlagen Versagensarten und Versagensmechanismen (Ereignisabläufe) Auftretenswahrscheinlichkeit quantitativ Folgen quantitativ, qualitativ Mensch, Wirtschaft, Umwelt Bestimmung des Risikos (Risikokenngrößen) Risikoakzeptanz (Bewertungskriterien für Risikobevölkerung, Wirtschaft, Umwelt- und Restrisiko ja nein Risikominderung (technisch, organisatorisch) RISIKOANALYSE RISIKOSCHÄTZUNG (-BEWERTUNG) RISIKOMANAGEMENT FÜR STAUANLAGE Hochwasserrisikomanagement für Stauanlage (Unsetzung der Risikominderung, Kontrollen, Kommunikation, Katastrophenabwehr) Hochwasserrisikomanagement für Flussgebiete Abb. 2.4: Ablaufdiagramm für das Hochwasserrisikomanagement einer Stauanlage nach Meon et al. (2007), in Anlehnung an Harms et al. (2004), Rißler (1998) und Meon (1989) Auf der Stufe der Risikoanalyse werden die Gefährdungen durch die Stauanlage, die Versagensarten und Versagensmechanismen (Ereignisabläufe) identifiziert und die daraus resultierenden Auftretenswahrscheinlichkeiten für Schadensereignisse und die qualitativen und quantitativen Folgen für Mensch, Wirtschaft und Umwelt ermittelt. Aus der Kombination von Auftretenswahrscheinlichkeit und resultierenden Folgen können für die Anlage die Risikokenngrößen wie Schadenspotential und Gefährdungspotential für den Menschen ermittelt werden. Auf der Stufe der Risikobewertung (Risk Assessment) wird das Risiko berechnet und bewertet. Mit der Einschätzung der Akzeptanz von Risiken für den Menschen, die Wirtschaft und die Umwelt werden dann gegebenenfalls Konzepte zur Risikominderung aufgestellt. Hierzu stehen grundsätzlich zwei Methoden zur Verfügung: Minderung der Eintrittswahrscheinlichkeit von Schadensereignissen und/oder Minderung des Schadensausmaßes. Das dann noch verbleibende Risiko, auch als Restrisiko bezeichnet, ist abschließend zu bewer- 19

32 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren ten, so dass darauf aufbauend Notfallpläne erstellt werden können, um im Versagensfall darauf zurückzugreifen. Dieser Vorgang wird, wie auch der gesamte Prozess der Risikobehandlung, als Risikomanagement bezeichnet. Meon (1989) stellt ein Verfahren für die risikoorientierte hydrologische Sicherheitsanalyse von Talsperren vor, bei der die Versagenswahrscheinlichkeit, die quantifizierbaren Schäden der Versagensereignisse, das jährliche Versagensrisiko aus der Integration der Schäden über die Auftretenswahrscheinlichkeit, die Anzahl der gefährdeten Personen und das Gefährdungspotential aus der Kombination der Anzahl der gefährdeten Personen mit der Auftretenswahrscheinlichkeit als Risikokenngrößen berücksichtigt werden. Als Versagensarten werden die Hochwassergefährdung der Unterlieger durch hohe Abflüsse über die Hochwasserentlastungsanlage, das Überströmen des Dammes ohne Bruchfolgen und das Überströmen des Dammes mit Bruchfolgen berücksichtigt. In dem RIMAX 2 -Projekt: Risikobasierte Verfahren zur Gewährleistung angemessener Hochwassersicherheiten bei Stauanlagen (Anhalt & Meon, 2008; Meon et al., 2007) wird eine Methodik für die risikobasierte Bemessung entwickelt, bei der die gleichen Versagensarten von Talsperren wie in Meon (1989) berücksichtigt werden, wobei aber die Belastung, Belastbarkeit und Ermittlung der Versagensfolgen des Systems detaillierter betrachtet werden. Eine Methodik für die Berücksichtigung von zusätzlichen Versagensmechanismen, wie z. B. Versagen durch Erdbeben, Massenbewegungen im Stauraum durch Hangrutschungen und hydrologisches Versagen von Vorsperren beim Risk Assessment von Talsperren wird in Huber (2008) diskutiert Zuverlässigkeitsanalyse zur Ermittlung der Versagenswahrscheinlichkeit von Talsperren Das Versagensrisiko kann als eine der Risikokenngrößen in der Risikoanalyse verwendet werden. Für Talsperren setzt sich das Gesamtversagensrisiko aus der Summe der Einzelrisiken aller denkbaren Versagensarten zusammen. Das Versagensrisiko 3 (d. h. Wahrscheinlichkeit des Versagens) eines technischen Systems kann über die Zuverlässigkeits- und Unsicherheitsanalyse bestimmt werden. Hierbei ist das Versagen ( Failure ) eines technischen Systems durch das Überschreiten des Widerstands R ( Resistance ) des Systems durch die Belastung L ( Load ) definiert. Das Versagensrisiko P V ergibt sich daraus als die Wahrscheinlichkeit des Versagens: V ( ) P = P L > R. (2.2) 2 BMBF-Förderaktivität "Risikomanagement extremer Hochwasserereignisse" (RIMAX) 3 In Meon (1989) wird als Versagensrisiko das Produkt aus Versagenswahrscheinlichkeit und den ökonomischen Schäden bezeichnet 20

33 2.6 Risikoanalyse von Talsperren Die Zuverlässigkeit ( Reliability ) des Systems ergibt sich zu: 1 V ( ) RE = P = P L R. (2.3) Wird die Zufallsvariable Z, die als Z = R - L, Z = ( R / L ) 1 oder Z = ln ( R / L ) definiert werden kann, mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f Z ( z ) verwendet, ergibt sich das Versagensrisiko zu: V 0 ( 0) ( ) P = P Z < = f z dz, (2.4) bzw. die Zuverlässigkeit des Systems zu RE = 1 - P V = P ( Z 0 ). Die Belastung L = G 1 ( X 1, X 2, ) und der Widerstand R = G 2 ( Y 1, Y 2, ) sind Funktionen der unterschiedlichen beeinflussenden Faktoren X i und Y j und deren Unsicherheiten, daher wird das Verfahren der Zuverlässigkeitsanalyse auch als Unsicherheitsanalyse bezeichnet. Die Belastung und der Widerstand können mathematisch durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f L ( l ) und f R ( r ) definiert werden. Über die Integration der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f R,L ( r,l ) ergibt sich das Versagensrisiko zu: b l Z P = f, ( r, l) drdl, (2.5) V mit c der unteren Grenze von R, a der unteren und b der oberen Grenze von L. a c Für die Ermittlung der Versagenswahrscheinlichkeit in der Zuverlässigkeitsanalyse stehen mehrere Verfahren zur Verfügung. Die Wahl des Verfahrens hängt von der Art des Problems, der verfügbaren Datenbasis, der Modellkomplexität und der gewünschten Art und Genauigkeit der Lösung ab. Eine Zusammenfassung und Beschreibung der häufig in der Zuverlässigkeitsanalyse verwendeten Verfahren ist z. B. in Yen & Tung (1993b) und Melching (1995) zu finden. Eines dieser Verfahren ist die Monte-Carlo Simulation, bei der die stochastischen Eingangsparameter des Modells gemäß ihrer statistischen Verteilung generiert werden. Die Monte-Carlo-Simulation basiert dabei auf dem Gesetz der großen Zahlen, das besagt, dass bei einer ausreichend großen Zahl von Versuchen die relative Häufigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 gegen den theoretischen Erwartungswert konvergiert (Sachs & Hedderich, 2006). Die Versagenswahrscheinlichkeit ergibt sich dann aus der Monte-Carlo Simulation zu: R L ( L > R) Anzahl Simulationen PV = P( L > R) =. (2.6) Gesamtanzahl Simulationen Bei Problemen, die aufgrund von nichtlinearem Verhalten oder komplexen Zusammenhängen nicht analytisch gelöst werden können, ist in den meisten Fällen die Monte-Carlo Simulation das einzige Verfahren, das zu einem Ergebnis führt. Ein großer Nachteil ist allerdings der numerische Aufwand, da für eine annähernd genaue Lösung eine große Anzahl 21

34 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren von Simulationen erforderlich ist. Dabei gilt, je kleiner das Versagensrisiko, desto größer ist die erforderliche Anzahl von Simulationen, um seltene Ereignisse zu generieren. Aus diesem Grund wurden Spielarten der Monte-Carlo Simulation, wie z. B. das Latin Hypercube sampling (McKay et al., 1979) entwickelt, um die Anzahl der erforderlichen Simulationen zu reduzieren und das Versagensrisiko trotzdem genau zu schätzen. Weitere Verfahren und Anwendungen für die Risiko-, Zuverlässigkeits- und Unsicherheitsanalyse von Wasserbauwerken sind in den Beiträgen in Duckstein & Plate (1987) und Yen & Tung (1993a) zusammengefasst. Nach der Abschätzung der Versagenswahrscheinlichkeit als Risikokenngröße können bei der Risikoanalyse die Versagensfolgen, wie z. B. Verluste an Menschenleben sowie ökonomische und ökologische Schäden mitberücksichtigt werden. Dazu muss das Modell zur Bestimmung der Versagenswahrscheinlichkeit mit einem Schadensmodell gekoppelt werden, um die Versagensfolgen zu quantifizieren Überflutungswahrscheinlichkeit von Talsperren Eine der häufigsten Versagensursachen von Talsperren ist das Überströmen der Krone, wobei hierbei vor allem Staudämme stark gefährdet sind. Nach Berga (1998a) war in der Vergangenheit das Überströmen der Krone die Ursache bei 37% der Versagensfälle bei Talsperren, wobei 87% der Talsperren bei dieser Versagensursache Staudämme waren. Für die Hochwasserbemessung und die hydrologische Sicherheit ist diese Versagensursache also von besonderer Bedeutung. Meier (1987) entwickelte ein stochastisch-deterministisches Modell, mit dem die Versagenshäufigkeit einer Talsperre bestimmt werden kann. Durch Langzeitsimulationen kann mit dem Modell neben der Versagenshäufigkeit für das Überströmen eines Dammes und der Hochwassergefährdung der Unterlieger durch hohe Abgaben über die Hochwasserentlastungsanlage auch die Versagenshäufigkeit für das Leerlaufen der Talsperre bestimmt werden. Cheng et al. (1982) stellt ein Verfahren vor, um die Überflutungswahrscheinlichkeit von Dämmen zu bestimmen. Mit Hilfe einer Fehlerbaumanalyse wird aus den Einzelrisiken der verschiedenen denkbaren Versagensarten das Gesamtüberflutungsrisiko ermittelt. Meon & Plate (1989) entwickelten zur Ermittlung der Überflutungswahrscheinlichkeit auf Grundlage des Konzeptes von Plate (1982) ein analytisches Verfahren über die direkte Integration des Integrals in Gl In Pohl (1997) wird für die Ermittlung der Überflutungswahrscheinlichkeit anstelle einer analytischen Lösung die Monte-Carlo Simulation angewendet. Die Belastung der Talsperre setzt sich dabei aus den Komponenten Hochwasserzufluss Q Z, Anfangswasserstand und einem Windereignis und die Belastbarkeit aus den Komponenten Kronenhöhe und Öffnung der Betriebsauslässe gemäß der Steuerregel bei Hochwasser zusammen. Hable (2001) entwickelte das Verfahren von Pohl (1997) weiter, indem er für die Beschreibung der gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von Scheitel und Volumen unter Berücksichtigung der 22

35 2.6 Risikoanalyse von Talsperren gegenseitigen statistischen Abhängigkeit der zulaufenden Welle die bivariate Normalverteilung anwendet. In De Michele et al. (2005) wird ebenfalls die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von Scheitel und Volumen der Zuflussganglinien in der Generierung berücksichtigt, wobei die Copula-Methode (siehe Kapitel 5.1) verwendet wird. Windstau und Wellenauflauf werden hierbei nicht berücksichtigt. Bei dem Verfahren von Kwon & Moon (2006) wird für die Bestimmung der Überflutungswahrscheinlichkeit von Talsperren mit Monte-Carlo Simulation der Zufluss über ein Niederschlag-Abfluss-Modell erzeugt, wobei die Unsicherheiten der in das N-A-Modell eingehenden Parameter, wie z. B. Niederschlag, Konzentrationszeit 4 und Speicherkonstanten sowie der Anfangsspeicherinhalt als stochastische Variablen betrachtet werden. Zur Verringerung des numerischen Aufwands wird das Latin Hypercube sampling eingesetzt. In Kuo et al. (2007) wird in der Zuverlässigkeitsanalyse die Überflutungswahrscheinlichkeit mit mehreren unterschiedlichen Verfahren ermittelt und miteinander verglichen. Wasserspiegeländerungen durch Wind und Wellen werden in dem Modell nicht berücksichtigt. Lohr (2003) ermittelt die Hochwasserstauziele Z H1 und Z H2 nach DIN (2004) über eine Monte-Carlo Simulation der Zulaufwellen, indem er die nach der DIN geforderte Überschreitungswahrscheinlichkeit für den jeweiligen Hochwasserbemessungsfall als Versagenswahrscheinlichkeit P V in Gl. 2.6 einsetzt und aus den sich ergebenden Wasserspiegelhöhen den erforderlichen Widerstand bzw. das Hochwasserstauziel ermittelt, so dass die geforderte Überschreitungs- bzw. Versagenswahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. Bei der Ermittlung der Überflutungssicherheit mit dem Ansatz nach Pohl (1997), der in Hable (2001) weiterentwickelt wurde, wird als Versagen bzw. Überflutung der Zustand bezeichnet, in dem gilt: h0 + hr + hf > HC, (2.7) d. h. dass der aus der Belastung resultierende Wasserspiegel größer als die Kronenhöhe H C ist (siehe Abb. 2.5). Die Belastungsgrößen sind der Wasserstand zu Beginn des Hochwasserereignisses h 0, die durch die Retention des Hochwasserereignisses Q Z sich ergebende zusätzliche Wasserspiegelhöhe h r und die aus dem wellenerzeugenden Wind durch Wellenauflauf und Windstau sich ergebende erforderliche Freibordhöhe h f. Der Wasserstand h 0 zu Beginn des Hochwasserereignisses, der abhängig von der Talsperrensteuerung und den vorangegangenen Hoch- und Niedrigwasserereignissen ist, kann durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f ( h 0 ) beschrieben werden. Der aus dem Hochwasserereignis resultierende zusätzliche 4 Als Konzentrationszeit wird die Fließzeit vom entferntesten Punkt der Wasserscheide bis zum Gebietsauslass bezeichnet 23

36 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren Wasserstand h r ist von der Wasserstand-Stauinhalts-Beziehung der Anlage (siehe Kapitel 2.8) und somit vom Anfangswasserstand h 0, dem Verlauf der Hochwasserwelle, der Abflusskapazität und der Steuerung der Entlastungsanlagen abhängig. Die aus dem wellenerzeugenden Windereignis erforderliche Freibordhöhe h f ist von der Windgeschwindigkeit, Windrichtung, Streichlänge, Wassertiefe und Geometrie des Absperrbauwerks abhängig. Ansätze hierzu sind z. B. in Pohl (1997) und DVWK (1997a) beschrieben. Abb. 2.5: Ansatz für die Ermittlung der Überflutungswahrscheinlichkeit modifiziert nach Hable (2001) und vervollständigt und modifiziert nach Pohl (1997) Die theoretische Lösung für die Überflutungswahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem dreifachen Integral über den Versagensraum B, der oberhalb der Ebene H c = h 0 + h r + h f im dreidimensionalen Raum liegt (Pohl, 1997): ( ) (,, ) P = P h + h + h > H = f h h h dh dh dh. (2.8) V 0 r f C 0 r f 0 r f B Eine geschlossene Lösung ist selbst bei Vereinfachung des Integrals durch die Annahme einer stochastischen Unabhängigkeit der Größen kaum möglich. Es bietet sich daher auch hier für die Ermittlung der Überflutungswahrscheinlichkeit die Monte-Carlo Simulation an. Aufgrund der unterschiedlichen Beanspruchung der Talsperre sollten für die Überflutungswahrscheinlichkeit zwei Fälle unterschieden werden: 1. Wahrscheinlichkeit P V0 für das direkte Überströmen, also H max > H C ( ) P = P h + h = H > H (2.9) V 0 0 r max C 2. Wahrscheinlichkeit P V1 des für das Bauwerk weniger gefährlichen Überströmens durch einzelne Wellen ( ) P = P h + h + h > H. (2.10) V1 0 r f C 24

37 2.7 Hochwassersteuerung von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken Die Fläche der schraffierten Bereiche in den Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f ( H max ) und f ( H max + h f ) in Abb. 2.5 entsprechen den beiden Überflutungswahrscheinlichkeiten P V0 und P V1. Da der zweite Fall weniger gefährlich ist, wird bei vielen Anwendungen in der Literatur nur der erste Fall betrachtet. Die Schwäche der meisten hier zitierten Verfahren zur Ermittlung der Überflutungswahrscheinlichkeit liegt in der Art und Weise, wie die Belastung bzw. das Hochwasserereignis Q Z bestimmt wird. Dabei hat die Belastung neben dem Anfangswasserstand, d. h. dem verfügbaren freien Stauraum für den Rückhalt von Hochwasserereignissen, den größten Einfluss auf die Überflutungssicherheit von Talsperren. Zusätzlich beinhaltet die Ermittlung von Q Z von allen betrachteten Variablen im System die größten Unsicherheiten. Trotz dieser Unsicherheiten wird das Hochwasserereignis in der Zuverlässigkeitsanalyse häufig nur über eine Eigenschaft, wie z. B. das Volumen, stark vereinfacht beschrieben oder die synthetische Ganglinienfunktion für die Simulation der Hochwasserereignisse berücksichtigt nur eingipflige Ganglinienformen. Da, wie die Erfahrungen aus bisherigen Hochwasserereignissen zeigen, auch der zeitliche Verlauf des Hochwasserereignisses großen Einfluss auf die resultierende Stauhöhe hat, sollten deshalb in der Risikoanalyse bei der Ermittlung der Überschreitungswahrscheinlichkeit auch komplexere Ganglinienformen berücksichtigt werden. Dazu wird in Kapitel 5 ein Verfahren vorgestellt, bei dem aus einer durch einen stochastischen Niederschlagsgenerator generierten Zeitreihe, die bedeutend länger als die gemessene sein sollte, die erforderlichen Parameterverteilungen und abhängigkeiten für ein komplexes Ganglinienmodell für die Hochwassermerkmalssimulation erzeugt werden. 2.7 Hochwassersteuerung von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken Die Hochwassersteuerung von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken dient der Einhaltung des gewünschten Hochwasserschutzes für das unterhalb der Stauanlage gelegene Gebiet. Diese wird in der Betriebsvorschrift der Anlage festgelegt. Je nach Einsatzkonzept kann die Abgabe gesteuert oder ungesteuert erfolgen. Wird bei der Bemessung der Hochwassersicherheit der Hochwasserschutzraum mit berücksichtigt, ist die angesetzte Steuerung in der Betriebsvorschrift entsprechend zu berücksichtigen. Ungesteuerte Hochwasserrückhaltebecken verfügen über ein oder mehrere feste Auslassorgane. Der Ausfluss Q A aus der Anlage ist somit nur eine Funktion des Wasserspiegels h: QA ( ) = f h. (2.11) Ungesteuerte Hochwasserrückhaltebecken bestehen normalerweise aus einem Grundablass für das normale Hochwasser und einer Hochwasserentlastung für extreme Hochwasserereignisse. Der Vorteil von ungesteuerten Hochwasserrückhaltebecken ist die Unabhän- 25

38 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren gigkeit von Regulierungsverschlüssen und damit die hohe betriebliche Zuverlässigkeit. Ungesteuerte Hochwasserrückhaltebecken werden daher hauptsächlich in kleineren Einzugsgebieten eingesetzt, da hier eine gesteuerte Abgabe aufgrund der kurzen Reaktionszeit ohnehin schwierig ist. In Abb. 2.6 a) ist ein Beispiel für die Hochwasserrückhaltewirkung eines ungesteuerten Beckens dargestellt. Bei gesteuerten Becken werden die Auslässe größer bemessen und mit einem Drosselorgan versehen. Der Ausfluss ist somit eine Funktion der Wasserspiegelhöhe h und der Stellung Drosselorgans bzw. dessen Durchflussfläche a A (, ) Q = f h a. (2.12) Betriebsfälle Während eines Hochwassers können zwei Betriebsfälle auftreten: - planmäßiger Betrieb - überplanmäßiger Betrieb Beim planmäßigen Betrieb erfolgen der Rückhalt nur im gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum und die Entleerung nur über die Grundablässe. Reicht das Volumen des gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraumes nicht aus, springt die Hochwasserentlastungsanlage an und der Betrieb geht in den überplanmäßigen Betrieb über Steuerregeln Welche Regeln für die Hochwassersteuerung angewendet werden, hängt von mehreren Faktoren ab: 1. Charakteristik des Einzugsgebiets und Typologie der Hochwasserereignisse 2. Form und Charakteristik der Bemessungsganglinien für den gewünschten Schutzgrad 3. Wellenfließzeiten in dem Gebiet 4. Steuerregeln von anderen Hochwasserrückhaltebecken oder Talsperren im Einzugsgebiet 5. Qualität der Hochwasservorhersage (z.b. Vorwarnzeiten) Die Steuerung von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken muss so ausgelegt sein, dass nach einem Hochwasserereignis das zu dieser Jahreszeit festgelegte Stauziel so schnell wie möglich wieder erreicht wird und der gewöhnliche Hochwasserrückhalteraum für ein eventuelles nächstes Hochwasser wieder verfügbar ist. 26

39 2.7 Hochwassersteuerung von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken Nach ICOLD (2003) und Ihringer (2001) lassen sich die Steuerungsregeln für Hochwasserrückhaltebecken grundsätzlich nach folgenden Methoden unterscheiden (siehe Abb. 2.6): a) ungesteuert b) konstantes Abgabeverhältnis: Abgabe Q A wird proportional mit dem Proportionalitätsfaktor c zum Zufluss Q Z erhöht, bis die maximale Regelabgabe Q R erreicht wird. Danach wird die maximale Regelabgabe eingehalten: Q A c QZ = min (2.13) Q c) konstantes Volumen: Die Regelabgabe wird ereignisabhängig so festgelegt, dass der Hochwasserrückhalteraum vollständig ausgenutzt wird. Bei dieser Regel ist eine Vorhersage der Zuflussganglinie erforderlich. d) konstante Regelabgabe Abgabe ist gleich dem Zufluss bis die Regelabgabe erreicht wird, danach wird die Abgabe auf die Regelabgabe begrenzt. Diese Steuerregel kann nach Gl mit dem Proportionalitätsfaktor c = 1 beschrieben werden. e) voller Rückhalt Es wird versucht, das gesamte Volumen der Hochwasserwelle zurück zu halten. Diese Methode bietet nur bei Hochwasserwellen mit einem kleinen Wiederkehrintervall einen ausreichenden Hochwasserschutz, da bei seltenen Ereignissen das Rückhaltevolumen nicht ausreicht. f) Scheitelkappung Abgabe ist gleich dem Zufluss, vor Eintreffen des Scheitels wird die Abgabe verringert, um eine möglichst große Scheitelreduzierung im Unterlauf zu erreichen. Wie bei der Steuerregel e) kann diese Methode aufgrund des begrenzten verfügbaren Rückhaltevolumens nur bei Ereignissen mit einem niedrigen statistischen Wiederkehrintervall eingesetzt werden. g) frühzeitige Vorentlastung: Aufgrund einer Vorhersage des Hochwasserereignisses kann durch eine frühzeitige Entlastung zusätzliches Speichervolumen für den Rückhalt des Hochwasserereignisses geschaffen werden. h) adaptive Steuerung. Aufgrund von unterschiedlichen Hochwasserabläufen kann es erforderlich sein, die Steuerung dem Verlauf des jeweiligen Hochwassers anzupassen. Unter einer solchen adaptiven bzw. anpassungsfähigen Steuerung versteht man eine während des Hochwasserereignisses wiederholte, computergesteuerte Anpassung der Abgabeentscheidung für den Spei- R 27

40 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren cher... unter Berücksichtigung aller unmittelbar im Einzugsgebiet mess- und abrufbaren Informationen (Seus & Uslu, 1978). Die adaptive Steuerung erfolgt meist über den Wasserstand im Beckenraum, die Abflussverhältnisse im Unterlauf und unter Umständen über die Prognose der zufließenden Hochwasserwelle. Hierbei wird die Zuflussprognose ständig verbessert und die Steuerung angepasst. Abb. 2.6 g) und h) zeigen Beispiele für eine adaptive Steuerung. Q Q Q Q Z Q Z Q Z Q A Q A Q A a) ungesteuert t b) konstantes Abgabeverhältniss t c) konstantes Volumen t Q Q Q Q Z QA Q Z Q Z Q A d) konstanter Regelabfluss t Q A t e) voller Rückhalt f) Scheitelkappung t Q Q Q Z Q A Q Z Q A g) frühzeitige Vorentlastung t h) adaptive Steuerung t Abb. 2.6: Steuerungsvarianten für Hochwasserrückhalteräume Acanal & Haktanir (1999) und Haktanir & Kisi (2001) stellen ein Verfahren für eine möglichst optimale Hochwassersteuerung von Talsperren mit verschließbarem Überfall für Hochwasserereignisse mit einem kleinen Wiederkehrintervall bis hin zum vermutlich größten Hochwasser PMF vor. Sie definieren für die Steuerung der Verschlüsse ein 5- (Haktanir & Kisi, 2001) bzw. 10-Stufensystem (Acanal & Haktanir, 1999). Die Regeln für die Öffnung der Verschlüsse in den einzelnen Stufen sind hierbei allein vom aktuellen Wasserstand abhängig. Stehen für die adaptive Steuerung Abflussvorhersagen zur Verfügung, können Optimierungsverfahren angewendet werden, um die optimale Steuerung von Vor- und Parallelentlastung hinsichtlich der geforderten Hochwasserschutzziele zu ermitteln. Schumann & Lechthaler (2007) sowie Needham et al. (2000) verwenden z. B. die Lineare Programmie- 28

41 2.8 Modell für die Retentionsrechnung von Speicherräumen rung, Karaboga et al. (2004) und Bagis et al. (2004) die Fuzzy-Logik zur Ermittlung der optimalen Hochwassersteuerung während eines Hochwasserereignisses. Eine Literaturübersicht über Optimierungsverfahren für die Talsperrensteuerung liefern Labadie (2004) und Yeh (1985), eine allgemeine Übersicht findet sich in Loucks & van Beek (2005). In Winkler (2006) wird ein Verfahren für die optimale Verbundsteuerung von Hochwasserrückhaltebecken beschrieben. 2.8 Modell für die Retentionsrechnung von Speicherräumen Bei der Berechnung von ungesteuerten Hochwasserrückhaltebecken und der Berechnung des außergewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums von Talsperren ist die dämpfende Wirkung der Stauoberfläche über die Seeretention zu berücksichtigen. Die Speichergleichung für Stauanlagen lautet: ( ) ( ) ( ) ( ) QZ t + QZ t + t 2 QA t + QA t + t 2 = S t. (2.14) Werden für die Zeitpunkte t bzw. t + t in Gleichung 2.14 die Indizes j bzw. j+1 eingeführt, lautet die Speichergleichung: ( ) QZ, j + QZ, j+ 1 2 QA, j + QA, j+ 1 2 = S j+ 1 S j t. (2.15) Da auf der linken Seite der Gleichung die Unbekannte Q A,j+1 = f ( h ) und auf der rechten Seite die Unbekannte S j+1 = f ( h ) Funktionen des Wasserspiegels sind, ist eine direkte Lösung nicht möglich. Die Lösung kann iterativ (siehe z. B. Bollrich, 2000; Buck, 2001; Maniak, 1997), bei bekannter Wasserspiegel-Wasseroberflächen-Beziehung über die Lösung der Kontinuitätsgleichung mit der Runge-Kutta Methode (siehe z. B. Chow et al., 1988; Fenton, 1992; Lee et al., 2001) oder über die Umformung der Gleichung 2.15 (Chow et al., 1988) zu: 2S j+ 1 2S j + QA, j+ 1 = ( QZ, j + QZ, j+ 1 ) + QA, j t t (2.16) erfolgen. Da die Abgabe Q A und der Speicherinhalt S über den Wasserstand verknüpft sind, kann die Beziehung: A ( 2 ) Q = f S t + Q (2.17) aufgestellt und durch Aufsummieren der bekannten Werte der rechten Seite von Gleichung 2.16 die Abgabe über die Hilfsgrafik nach Gleichung 2.17 und Abb. 2.7 ermittelt werden. A 29

42 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren 3 Q [m /s] A Q A, j +1 ( Q z, j + Q ) + (2 S / t- Q ) z, j +1 j A, j 3 2 S / t + Q [m /s] Abb. 2.7: Hilfsdiagramm für die Lösung der Kontinuitätsgleichung Q A =f ( 2S / t + Q A ) Um bei der Berechnung von gesteuerten Talsperren auch bei Wasserspiegellagen größer als Vollstau Z V (nach dem Anspringen der Hochwasserentlastungsanlage) Abgabesteuerungen über die Betriebsauslässe zu berücksichtigen, wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Modell für die Retentionsberechnung mit variabler Abgabe über die Betriebsauslässe entwickelt, da in diesem Fall die Q A = f ( 2 S / t + Q A ) Beziehung veränderlich ist. Ist die Hochwasserentlastungsanlage (HWE) z. B. durch Klappen steuerbar, wird die Abgabe über die Hochwasserentlastungsanlage virtuell in zwei Teile aufgeteilt: der über die Steuerung regulierbare Anteil der Abgabe und der nicht beeinflussbare Anteil, der der Abgabe über die HWE bei geschlossenem Verschluss entspricht. Die Gesamtabgabe über die HWE bei jeder beliebiger Klappenstellung setzt sich aus diesen beiden virtuellen Anteilen zusammen. Bei einem gegebenen Wasserstand h entspricht die nicht beeinflussbare Abgabe über die HWE also der minimal möglichen Abgabe der HWE bei diesem Wasserstand. Der bei diesem Wasserstand maximale über die Steuerung der HWE beeinflussbare Anteil der Abgabe entspricht der Differenz aus der bei diesem Wasserstand maximal möglichen Abgabe bei voller Klappenöffnung und dem nicht beeinflussbaren Teil. Der virtuelle steuerbare Anteil der Abgabe über die HWE wird bei den Abgaben über die Betriebsauslässe Q A,Betrieb berücksichtigt und der nicht steuerbare Anteil unter Annahme eines geschlossenen Verschluss (fester Überfall) als Q A,HWE definiert. Die Gleichung 2.16 wird um die steuerbare Betriebsabgabe Q A,Betrieb,j+1 und die nicht steuerbare Abgabe über die Hochwasserentlastungsanlage Q A,HWE,j+1 erweitert: 2S j+ 1 2S j + ( QA,Betrieb, j+ 1 + QA,HWE, j+ 1 ) = ( QZ, j + QZ, j+ 1 ) + QA, j. (2.18) t t Bei Vorgabe der Betriebsabgabe Q A,Betrieb,j+1 zum Zeitpunkt j+1 ergibt sich Gleichung 2.18 zu: 2S j+ 1 2S + Q = ( Q + Q ) + Q Q t t j A,HWE, j+ 1 Z, j Z, j+ 1 A, j A,Betrieb, j+ 1 A. (2.19) 30

43 2.8 Modell für die Retentionsrechnung von Speicherräumen Der nicht steuerbare Anteil der Abgabe über die Hochwasserentlastungsanlage ergibt sich über die Beziehung: und die Gesamtabgabe aus der Talsperre zu: ( 2 A HWE ) Q = f S t + Q (2.20) A, HWE, Q = Q + Q. (2.21) A, j+ 1 A,HWE, j+ 1 A,Betrieb, j+ 1 Um die Betriebsabgabe Q A,Betrieb, j+1 die nach vorgegebenen Betriebsregeln ermittelt wird, nicht zu groß zu wählen, ist über die Kontinuitätsgleichung nach Gleichung 2.16 und die Beziehung nach Gleichung 2.17 zuerst die maximale Gesamtabgabe Q A,max,j+1 und der minimale Wasserspiegel h min,j+1 für den Zeitschritt j + 1 zu ermitteln. Über die Beziehung zwischen Wasserstand h und dem nicht steuerbaren Anteil der Abgabe über die Hochwasserentlastungsanlage Q A,HWE kann für den minimalen Wasserspiegel h min,j+1 Q A,HWE,max, j+1 und daraus dann die maximal mögliche Betriebsabgabe Q = Q Q (2.22) A,Betrieb,max, j+1 A,max, j+1 A,HWE,max, j+1 ermittelt werden. Die Betriebsabgabe zum Zeitpunkt j + 1 ergibt sich dann zu: Q A,Betrieb, j+ 1 QA,Betrieb,max, j+ 1 = min. (2.23) Q A,Betrieb, j+ 1 Durch die Erweiterung der Speichergleichung ist es möglich, komplexe Steuerungen der Betriebsauslässe im überplanmäßigen Betrieb (Wasserspiegel h > Vollstau Z V ) zu berücksichtigen. So kann z. B. das bei der Hochwassersteuerung in der Praxis häufig angewendete kontinuierliche Zurückfahren der Abgabe über die Grundablässe und das Öffnen von Klappen nach dem Anspringen der Hochwasserentlastungsanlage simuliert werden. Bei Speicherberechnungen im planmäßigen Betrieb (Wasserspiegel h < Vollstau Z V ) ergibt sich in der Speichergleichung 2.15 die Abgabe Q A,j+1 bei bekanntem Zufluss Q Z,j+1 je nach vorgegebener Steuerungsvariante. Um bei der Wahl der Betriebsabgabe nach einer vorgegebenen Steuerregel die hydraulische Kapazität der steuerbaren Auslässe nicht zu überschätzen, ist die Betriebsabgabe immer kleiner gleich der aus der Beziehung nach Gleichung 2.16 ermittelten maximal möglichen Abgabe Q A,max,j+1 zu wählen. Wird als Steuerregel z. B. das konstantes Abgabeverhältnis (Steuervariante b) in Abb. 2.6) gewählt, ergibt sich die Betriebsabgabe Q A,j+1 dann zu: Q Q = min c Q Q A, j+1 Z, j+1 R A,max, j+1 mit dem Proportionalitätsfaktor c und der Regelabgabe Q R., (2.24) In Abb. 2.8 ist das programmtechnische Ablaufschema des entwickelten Modells für die 31

44 2 Grundlagen für die Hochwasserbemessung von Talsperren Speicher- und Retentionsberechnung von Talsperren dargestellt. Die Genauigkeit des Ergebnisses der Simulation hängt vom verwendeten Zeitschritt t ab. Ergibt sich bei den Retentionsberechnungen ein großer Gradient bei der Auslassfunktion, sollte ein kleiner Zeitschritt gewählt werden. In Ostrowski et al. (1999) sind Anhaltswerte für die Wahl der Größe des Zeitschritts in Abhängigkeit von der Einzugsgebietsgröße und der daraus resultierenden kürzesten auftretenden Hochwasseranstiegszeit t A genannt. Danach sollte die kürzeste Hochwasseranstiegszeit mindestens dreimal länger als der gewählte Zeitschritt sein. Da in dieser Arbeit nur größere Anlagen betrachtet wurden, wurde bei allen durchgeführten Speichersimulationen ein konstanter Zeitschritt von t = 1 h verwendet. j+1 Zuflussganglinie Q Z ( t ) Startwasserstand h 0 Regelabfluss Q R Proportionalitätsfaktor c Q A,0 = Q Z,0 (stationär) j = 0 h j < Vollstau Z V? ja HW-Steuerungsmodul QR QA, j+1 = min c QZ, j+1 QA,max, j+1 h j+1 ; S j+1 berechnen nein Ungesteuertes Retentionsmodul Maximale Öffnung der Betriebsauslässe Gesteuertes Retentionsmodul Betriebsregeln für Betriebsauslässe QA,Betrieb,max, j + 1 QA,Betrieb, j + 1 = min QA,Betrieb, j+ 1 Q = Q + Q A, j + 1 A,HWE, j+ 1 A,Betrieb, j+ 1 h j+1 ; S j+1 berechnen Q A,max, j + 1 Q A,Betrieb,max, j+ 1 h j+1 < Vollstau Z V? ja nein nein Q Z ( t ) zu Ende ja Abgabe Q A ( t ) Wasserspiegel h ( t ) Stauinhalt S ( t ) Abb. 2.8: Ablaufschema der HW-Steuerungsberechnung 32

45 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen 3.1 Einführung Die Problematik bei der Ermittlung von extremen Abflussereignissen besteht in der notwendigen Extrapolation der Werte über den Beobachtungsbereich hinaus. In Gutknecht (2007a), ICOLD (1992), MUNLV (2004), Ostrowski et al. (1999), Reed & Field (1992) und Swain et al. (2006) werden Verfahren und Hinweise zur Ermittlung von extremen Abflussereignissen für die Hochwasserbemessung und Risikoanalyse von Talsperren beschrieben. Weitere Verfahren zur Ermittlung extremer Abflusswerte sind Barben et al. (2001), DVWK (1999a) und Gutknecht (2007b) zu entnehmen. Über folgende Verfahren können extreme Abflusswerte ermittelt werden: Berechnung über empirische und regional gültige Formeln: Es existieren eine Vielzahl empirischer Formeln, um extreme Abflusswerte zu schätzen, die sich in drei Gruppen einteilen lassen: - Formeln, in denen der extreme Abfluss in Abhängigkeit von der Größe des Einzugsgebietes A E berechnet wird: HHQ = a A E b - Formeln, in denen der extreme Abfluss eine Funktion von Einzugsgebietseigenschaften, wie z. B. Einzugsgebietsgröße A E und -gefälle und meteorologischen Eigenschaften, wie z. B. dem (abflusswirksamen) Niederschlag N eff, ist: HHQ = f ( A E, N eff, I, ). Ein Beispiel hierfür ist die häufig für die Bemessung von Regenwasserkanälen in städtischen Einzugsgebieten eingesetzte Rational Method (Linsley, 1986; Pilgrim, 1986), bei der der Scheitelabfluss dem Produkt von Regenspende, Einzugsgebietsgröße und Abflussbeiwert gleichgesetzt wird. - Formeln, in denen das statistische Wiederkehrintervall T berücksichtigt wird: HQ T = f ( A E, T, ). Aufgrund der Komplexität der Phänomene bei Entstehung und Ablauf von Hochwasserereignissen sollten empirische Formeln aber nur für eine erste Abschätzung oder eine Plausibilitätsprüfung von Ergebnissen, die mit anderen Verfahren ermittelt wurden, Anwendung finden. 33

46 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Hüllkurven: Hier werden die beobachteten maximalen Abflüsse in einer Region gegen die Größe des Einzugsgebiets, meist im doppeltlogarithmischen Maßstab, aufgetragen. Die Hüllkurve für diese Maximalwerte wird als obere Grenze der Scheitelabflüsse, die in dieser Region auftreten können, angesehen. Bei den meisten Ansätzen folgt die Hüllkurve der Gleichung: HHQ = a A E b, die sich im doppeltlogarithmischen Maßstab als Gerade darstellen lässt. Ein international weit verbreiteter Ansatz ist der Ansatz nach Francou-Rodier (ICOLD, 1992), bei dem die Hüllkurve in Abhängigkeit von der Einzugsgebietsgröße in drei Bereiche mit unterschiedlichem Verlauf aufgeteilt wird. Eine Zusammenfassung und ein Vergleich von in der Literatur verwendeten Hüllkurven ist in Klein et al. (2006) beschrieben. Hier wurden für Deutschland Hüllkurven aus den gemessenen Abflusswerten in der HOWEX 1 -Datenbank (DVWK, 1999a) (siehe Abb. 3.1) ermittelt. Cudworth (1989) und England (2005) beschreiben, wie Hüllkurven in der traditionellen Hochwasserstatistik, bei der Überprüfung des Bemessungshochwassers von neuen und existierenden Talsperren und der Überprüfung von Abschätzungen des vermutlich größten Hochwassers PMF eingesetzt werden können. In Douglas & Vogel (2006), Vogel et al. (2007), Castellarin et al. (2005) und Castellarin (2007) wird versucht die Hüllkurvenwerte probabilistisch zu bewerten. Wie bei den empirischen und regional gültigen Formeln sollten auch Hüllkurven wegen der großen Unsicherheiten nur für erste Abschätzungen und Plausibilitätsprüfungen verwendet werden. Abb. 3.1: Aus den Werten der HOWEX-Datenbank abgeleitete Hüllkurven für Deutschland (Klein et al., 2006) 1 HOWEX: Hochwasser-Informationssystem Extreme Abflüsse 34

47 3.1 Einführung Statistische Analyse von Hochwasserabflüssen: Extrapolation mit Hilfe einer an die gemessenen Hochwasserabflüsse angepassten Verteilungsfunktion. Statistische Abschätzung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Übertragung auf unbeobachtete Gebiete mit Hilfe von Regionalisierungsverfahren. Maximierung abflusswirksamer Niederschläge: Aus beobachteten und synthetisierten Hochwasserganglinien werden die abflusswirksamen Niederschläge rückgerechnet. Über deren Maximierung und Transformation können extreme Abflusswerte ermittelt werden. Kombination von Niederschlagsstatistik und Hochwasserstatistik: In der Gradex- Methode wird für ein Gebiet ab einem Hochwasser einer bestimmten festgelegten Jährlichkeit, z. B. 10 Jahre, vollständige Sättigung angenommen. Das Hochwasserverhalten mit größeren Jährlichkeiten kann damit aus der Niederschlagsstatistik abgeschätzt werden (siehe z. B. Merz et al., 1999). Die bisher beschriebenen Methoden liefern nur extreme Abflusswerte. Vollständige Bemessungsganglinien können mit folgenden Methoden ermittelt werden: Skalierung beobachteter Hochwasserereignisse: Im Allgemeinen wird das höchste gemessene Ereignis so skaliert, dass der Scheitel mit dem aus der Scheitelstatistik ermittelten Bemessungswert des festgelegten statistischen Wiederkehrintervalls übereinstimmt. Hochwassermerkmalssimulation: Auswertung der Eigenschaften gemessener Hochwasserereignisse, wie z. B. Scheitel, Volumen, Scheitelanstiegszeit und Form und Generierung von Hochwasserereignissen mit Hilfe synthetischer Ganglinienfunktionen. Synthetische Bemessungsganglinien: Ermitteln oder Ableiten der Parameter einer synthetischen Ganglinienfunktion über statistische Verteilungsfunktionen oder aus Einzugsgebietseigenschaften. Deterministische Verfahren über Niederschlag-Abfluss-Modellierung: Ermittlung von Hochwasserganglinien auf der Basis von Bemessungsniederschlägen oder stochastisch generierten Niederschlagsreihen und Niederschlag-Abfluss-Modellen. In der in Gutknecht (2007a) vorgestellten Entwicklung eines Leitfadens für die Ermittlung von Bemessungshochwässern mit kleiner Auftretenswahrscheinlichkeit zur Hochwasserbemessung von Talsperren und in dem von Swain et al. (1998) vorgestellten Framework für die Schätzung von Extremereignissen zum Risk Assessment von Talsperren wird empfohlen, bei der Ermittlung von extremen Hochwasserereignissen alle verfügbaren Informationen und Verfahren zu berücksichtigen. 35

48 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage In diesem Abschnitt werden einige statistische Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwässern vorgestellt. Auf die in der Einführung kurz beschriebenen Methoden zur Ermittlung von extremen Abflusswerten auf statistischer Grundlage mit Hilfe von: empirischen und regional gültige Formeln, Hüllkurven, Maximierung abflusswirksamer Niederschläge und der Gradex-Methode wird nicht mehr näher eingegangen Statistische Analyse von Hochwasserabflüssen Durch die Anpassung einer theoretischen Verteilungsfunktion an eine gemessene Stichprobe von Scheitelabflüssen können Werte mit einer kleineren Überschreitungswahrscheinlichkeit extrapoliert werden. Die statistische Analyse von Abflusswerten kann für eine jährliche oder partielle Serie erfolgen. Bei der jährlichen Serie werden aus jedem Beobachtungsjahr der höchste Scheitelabfluss und bei der partiellen Serie alle über einem bestimmten Grenzwert liegenden unabhängigen Hochwasserscheitelabflüsse verwendet. Die hier vorgestellten Grundlagen der statistischen Analyse von Hochwasserabflüssen gelten genauso für die statistische Analyse anderer hydrologischer Zufallsvariablen wie z. B. die Hochwasserfülle. Weitergehende Grundlagen zur statistischen Analyse von Zufallsvariablen können z. B. Hosking & Wallis (1997), Plate (1993), Salvadori et al. (2007) und Stedinger et al. (1993) entnommen werden. Empfehlungen für die statistische Analyse von Hochwasserabflüssen liefert für Deutschland das DVWK-Merkblatt 251 (1999b). Darin werden Empfehlungen für die Datengewinnung, Datenprüfung, die Wahl der Verteilungsfunktion und die Verifizierung der Ergebnisse gegeben. In den USA werden zum gleichen Thema Empfehlungen in der Bulletin 17B (IACWD, 1982) gegeben (Kommentare und Anmerkungen zur Bulletin 17B siehe Griffis & Stedinger, 2007; Stedinger & Griffis, 2008). Nach DVWK (1999b) sollten Werte mit einer Jährlichkeit von maximal der 2-3 fachen Dauer der Beobachtungsreihe extrapoliert werden. Bei der Bemessung von Wasserbauwerken müssen im Allgemeinen aber extreme Abflussereignisse betrachtet werden, die außerhalb dieses Bereiches liegen. Daher empfiehlt DVWK (1999b) die rechnerische Extrapolation über diesen Bereich hinaus nur als Hilfsmittel bei der Festlegung solcher Abflusswerte zu verwenden. Auf jeden Fall sollten diese Werte über einen Vergleich mit der Hochwasserstatistik an benachbarten Pegeln mit längerer Beobachtungsdauer, einen Vergleich mit historischen Hochwasserereignissen am betrachteten Pegel oder im betrachteten Gebiet oder dem Vergleich mit Abflüssen, die über eine Niederschlag-Abflussmodellierung aus extremen Niederschlägen ermittelt worden sind, überprüft werden. 36

49 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Für eine statistische Analyse werden an die Stichprobe folgende Anforderungen gestellt: Unabhängigkeit der Stichprobenwerte: Aufeinanderfolgende Beobachtungen beeinflussen sich nicht gegenseitig, die Reihenfolge ist also gleichgültig. Bei Hochwasserscheitelwerten kann die Unabhängigkeit aufeinander folgender Stichprobenelemente mit Hilfe von Abb. 3.2 (LAWA, 1997) überprüft werden. Beide Ereignisse gelten als unabhängig, wenn der zeitliche Abstand zwischen ihnen größer als 7 Tage oder A > B ist. t Zwei selbständige Scheitel sind anzunehmen, wenn A > B Ist t > 7 Tage, muss die Bedingung A > B nicht erfüllt sein Abfluss / Durchfluss A B MQ Tage Abb. 3.2:Kriterien für statistisch unabhängige Hochwasserscheitelwerte (LAWA, 1997) In Bacchi et al. (1992) werden zwei aufeinander folgende Gipfel dann als unabhängig betrachtet, wenn der Abstand zwischen den beiden Scheiteln mindestens das 20-fache der Scheitelanstiegszeit ist und der Abfluss zwischen den beiden Scheiteln um mehr als 80% zurückgeht. Repräsentanz der Stichprobe: Die Stichprobe sollte die Grundgesamtheit abbilden. Homogene Grundgesamtheit: Die Hochwasserabflüsse dürfen in der zugrunde liegenden Beobachtungszeit nicht durch Veränderungen im Einzugsgebiet, wie z. B. Urbanisierung, beeinflusst sein. Inhomogenitäten sind grundsätzlich durch sprunghafte oder kontinuierliche Veränderungen der Hochwasserabflüsse erkennbar. Stationäre Grundgesamtheit: Forderung nach Unabhängigkeit mit der Zeit. Die statistischen Kenngrößen wie Erwartungswert und Varianz verändern sich nicht mit der Zeit, es darf auch kein Trend, wie z. B. Klimaänderung, vorliegen Verteilungsfunktionen Eine Verteilungsfunktion beschreibt die Grundgesamtheit, also die Menge aller Realisationen einer stetigen Zufallsvariable X. Die Häufigkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen X kann durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pdf probability density function f ( x ) beschrieben werden. Das Integral der Funktion von - bis + ergibt 1. ( x) dx = 1. f (3.1) 37

50 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Die Verteilungsfunktion cdf cumulative density function F ( x ), beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X kleiner oder gleich dem Wert x ist. x ( ) ( ) ( ). F x = P X x = f x dx (3.2) Der Wert von F ( x ) wird auch als Unterschreitungswahrscheinlichkeit P u ( x ) bezeichnet. Die Überschreitungswahrscheinlichkeit P ü ( x ) ergibt sich dann zu ü ( ) 1 ( ) 1 ( ) P x = P x = F x. (3.3) u Beschreibt die Zufallsvariable X jährliche Höchstwerte, ergibt sich das statistische Wiederkehrintervall zu T = 1 1 P = P. (3.4) Ü 1 U Das Quantil der Unterschreitungswahrscheinlichkeit P u, also der Wert x, der mit einer Wahrscheinlichkeit P u von der Zufallsvariable X unterschritten wird, ergibt sich aus der inversen Verteilungsfunktion. Die Quantilfunktion lautet dann ( ) 1 xp F P u u =. (3.5) Nach DVWK-Merkblatt 251 (1999b) sind für die statistische Analyse von Hochwasserabflüssen die Verteilungen Allgemeine Extremwertverteilung, Extremwertverteilung Typ 1 (Gumbel-Verteilung), Pearson-Typ 3-Verteilung, Weibullverteilung, die logarithmische Normalverteilung und die logarithmische Pearson-Typ 3-Verteilung geeignet. Ein Problem der Extremwertstatistik ist die Wahl der richtigen Verteilungsfunktion, da sich die unterschiedlichen, an die Stichprobe angepassten Verteilungsfunktionen mit abnehmender Überschreitungswahrscheinlichkeit im Extrapolationsbereich immer stärker voneinander unterscheiden und für große Wiederkehrintervalle sehr unterschiedliche Scheitelabflüsse liefern können. Bei der Aufstellung von Hochwasserstatistiken für mehrere Pegel in einer Region ist es daher ratsam, eine regional gültige Verteilungsfunktion zu ermitteln, da hierbei eine größere Datenmenge für die Wahl der richtigen Verteilungsfunktion genutzt werden kann. In Vogel & Wilson (1996) sind Studien zu extremen Hochwasserereignissen in der ganzen Welt zusammengefasst. Dabei herrscht allgemeiner Konsens, dass insbesondere bei der Wahl von regionalen Verteilungsfunktionen die Verteilung der jährlichen maximalen Abflüsse am besten durch die Allgemeine Extremwertverteilung angenähert werden kann Parameterschätzung Ziel ist es, die Parameter der Verteilungsfunktion aus den Stichprobenwerten zu bestimmen, und somit eine möglichst gute Anpassung der Verteilungsfunktion an die Stichprobenwerte zu erreichen. Die Parameterschätzung sollte folgende Eigenschaften besitzen: 38

51 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage - Erwartungstreue: Ein Schätzer heißt erwartungstreu für einen Parameter, wenn er im Mittel den richtigen Wert liefert. - Konsistenz: Der Schätzer soll umso genauere Werte liefern, je größer die Stichprobe ist. - Effizienz: Der Schätzer sollte eine kleinere Varianz haben, als jeder andere Schätzer. - Suffizienz: Alle in der Stichprobe enthaltenen Informationen über den geschätzten Parameter sollten genutzt werden. - Robustheit: Der Schätzer sollte unempfindlich gegenüber Ausreißern sein. Für die Parameterschätzung stehen verschiedene Methoden zur Verfügung: Herkömmliche Momentenmethode Es wird ein Zusammenhang zwischen den Produktmomenten, im folgenden Momente genannt, der Verteilung und den Momenten der Stichprobe aufgestellt und daraus die Parameter der Verteilung bestimmt. Für die Ermittlung von m Parametern sind m Gleichungen erforderlich. Der Vorteil dieser Parameterschätzung ist die einfache Handhabung, der Nachteil ist die unsichere Bestimmung der Momente höherer Ordnung bei vorliegender kleiner Stichprobe. Die Ursprungsmomente 2 µ der Ordnung r einer stetigen Verteilung ergeben sich zu: r r µ r x f x dx ( ) = (3.6) Das erste Ursprungsmoment µ 1 entspricht dem Erwartungswert µ der Verteilung: ( ) 1 µ = E x = µ. (3.7) Bezieht man das Moment auf den Mittelwert, ergibt sich das zentrale Moment µ r der Ordnung r der stetigen Verteilung zu: mit µ 0 = 1, µ 1 = 0 r ( ) ( ) Das zweite Zentralmoment entspricht der Varianz σ 2 µ r = x µ f x dx, (3.8) 2 2 =. (3.9) µ σ 2 Hinweise zur Notation: die Parameter der Grundgesamtheit werden mit griechischen und großen lateinischen Buchstaben und die Schätzwerte aus der Stichprobe mit kleinen lateinischen Buchstaben beschrieben 39

52 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Die Wurzel der Varianz entspricht der Standardabweichung σ. Die Schiefe der Verteilungsfunktion C S ergibt sich über das dritte Zentralmoment zu C S µ µ = γ = = (3.10) µ 2 σ und der Exzess C w wird über das vierte Zentralmoment ermittelt: C w Die empirischen Ursprungsmomente ergeben sich zu µ µ = γ = 3 = 3. (3.11) µ 2 σ m r der Ordnung r aus der Stichprobe ( x 1, x 2, x n ) und die empirischen Zentralmomente r 1 n r xi n i = 1 m =, (3.12) mr der Ordnung r zu r 1 n r n i = 1 ( i ). (3.13) m = x x Aufgrund des Exponenten r in Gl wird die Schätzung der Momente höherer Ordnung immer unsicherer. Ist in der Stichprobe ein Extremwert, werden die Momente höherer Ordnung, insbesondere bei kleinen Stichprobenumfängen stark beeinflusst, da die Abweichung vom Mittelwert mit dem Exponenten r in die Summenbildung eingeht. L-Momentenmethode L-Momente sind eine andere Möglichkeit, die statistischen Eigenschaften von Verteilungsfunktionen zu beschreiben. Die L-Momente können als Funktion der wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente (Greenwood et al., 1979; Hosking, 1990) beschrieben werden. Die wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente M p,r,s einer Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion F ( x ) sind definiert als (Greenwood et al., 1979) r { ( )} { ( )} p s M p, r, s = E X F X 1 F X, (3.14) mit dem Sonderfall für p = 1, s = 0 für eine Verteilung mit der Quantilfunktion x ( F ): 1, r,0 1 0 ( ) r β = M = x F F df. (3.15) r Aus einer aufsteigend geordneten Stichprobe ( x 1 x 2 x n ) des Umfangs n ergibt sich der erwartungstreue Schätzer für b r nach Landwehr et al. (1979) zu n ( i 1)( i 2 )...( i r) i; mit 1, 2,... ( 1) (3.16) i= 1 ( 1)( 2 )...( ) 1 br = x r = n n n n n r 40

53 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Es ist schwierig, die wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente als Lage-, Streuungs- oder Formmaß der Verteilungsfunktion zu interpretieren. Diese Information ergibt sich viel besser aus den L-Momenten. Diese sind wie folgt definiert: mit den Polynomen mit r 1 λ = x F P F df (3.17) p 0 * ( ) ( ) r 1 r * * r ( ) = r, k k (3.18) k = 0 P F p F r r k =. (3.19) k k *, ( 1) r k + r k Die L-Momente können als Linearkombination der wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente beschrieben werden: * λ = r+ 1 pr, kβk. (3.20) Die ersten vier L-Momente ergeben sich dann zu λ = β (3.21) 1 0 λ = 2β β (3.22) λ = 6β 6β + β (3.23) λ = 20β 30β + 12β β. (3.24) Das erste L-Moment λ 1 entspricht dem Mittelwert, das zweite, λ 2, ist ein Maß für die Varianz, das dritte, λ 3, ein Maß für die Schiefe und das vierte, λ 4, ein Maß für die Kurtosis. Der Variationskoeffizient auf Grundlage der L-Momente ergibt sich zu τ λ 2 2 =, (3.25) λ1 der Schiefekoeffizient zu und der Wölbungskoeffizient zu τ τ λ 3 3 = (3.26) λ2 λ 4 4 =. (3.27) λ2 Da bei der Ermittlung der wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente nach Gl keine 41

54 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Potenzwerte auftreten, wird die Schätzung hierbei nicht so stark von Extremwerten in der Stichprobe beeinflusst wie bei der Schätzung der Produktmomente. Weitere Definitionen zu den wahrscheinlichkeitsgewichteten Momenten und L-Momenten sind in Hosking & Wallis (1997) beschrieben. In derselben Referenz sind auch Gleichungen der L-Momente für einige Verteilungsfunktionen angegeben. Mit Hilfe eines L-Momenten-Diagramms (Hosking & Wallis, 1997; Vogel & Fennessey, 1993) kann die Entscheidung über eine regionale Verteilungsfunktion getroffen werden. In diesem Diagramm werden die Relationen zwischen der L-Schiefe τ 3 =λ 3 / λ 2 und der L- Wölbung τ 4 = λ 4 / λ 2 der zu vergleichenden Verteilungsfunktionen graphisch dargestellt und die aus den Reihen der Pegel der Region geschätzten Wertepaare (t 3, t 4 ) eingetragen. Durch den grafischen Vergleich kann die Eignung einer bestimmten Verteilungsfunktion für die Gesamtheit aller betrachteten Pegel bestimmt werden. In Abb. 3.3 sind z. B. die geschätzten Wertepaare ( t 3,t 4 ) für einige Pegel im Osterzgebirge dargestellt. Die zweiparametrigen Verteilungsfunktionen, Normalverteilung (NV) und Gumbelverteilung (Gumbel), erscheinen im L-Momenten-Diagramm als Punkte, da bei diesen Verteilungen τ 3 und τ 4 Konstanten sind. Daher sind diese Verteilungen im Allgemeinen auch nicht für regionale Verteilungsfunktionen geeignet, da sie die natürliche Variabilität nicht abbilden können. Die dreiparametrigen Verteilungen, Allgemeine Extremwertverteilung (AEV) und Pearson III-Verteilung (P3), erscheinen im L-Momenten Diagramm als Kurve. Dabei bildet die Allgemeine Extremwertverteilung die gemessenen (t 3, t 4 ) Paare deutlich besser ab als die Pearson III-Verteilung und würde sich von den vier betrachteten Verteilungsfunktionen am besten als regionale Verteilungsfunktion eignen. Abb. 3.3: L-Momenten-Diagramm für Pegel im Ost-Erzgebirge mit den zweiparametrigen Verteilungsfunktionen Normalverteilung (NV), Gumbel-Verteilung (Gumbel) und den dreiparametrigen Verteilungsfunktionen Allgemeine Extremwertverteilung (AEV) und Pearson III-Verteilung (P3) 42

55 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Maximum-Likelihood-Methode Bei der Maximum-Likelihood-Methode werden die Parameter u j einer Verteilungsfunktion so bestimmt, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Beobachtungswerte x 1, x 2 x n maximal wird. Hierzu wird die Likelihood-Funktion bzw. die Log-Likelihood-Funktion n ( j ) ( 1) ( 2 )... ( n ) ( i ) L u = f x f x f x = f x (3.28) i= 1 ( j ) ( 1) ( 2 ) ( n ) ( i ) n ln L u = ln f x + ln f x... + ln f x = ln f x (3.29) als Maß für die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungswerte maximiert. Die Maximum- Likelihood-Methode ist eine robuste Schätzmethode, da sie sich nicht auf die unsichere Bestimmung höherer Momente stützt. In vielen Fällen lassen sich die Parameter mit der Maximum-Likelihood-Methode allerdings nicht analytisch bestimmen, so dass sie mit numerischen Methoden geschätzt werden müssen. Formeln und Näherungen für die Parameterschätzung nach der Momentenmethode, der L- Momentenmethode und der Maximum-Likelihood-Methode sind in DVWK (1999b), Hosking & Wallis (1997), Rao & Hamed (2000) und Stedinger et al. (1993) gegeben. Im Anhang A sind die in dieser Arbeit verwendeten Verteilungsfunktionen und Parameterschätzungsmethoden aufgeführt Anpassungstests Über Anpassungstests wird versucht, die Verteilungsfunktion zu identifizieren, die die beste Anpassung an die Stichprobe liefert. Im DVWK-Merkblatt 251 (1999b) werden drei Maße empfohlen, um die Güte der Anpassung zu charakterisieren: - Der Kolmogorov-Smirnov-Test, bei dem die betragsmäßig größte Differenz D zwischen der theoretischen und der empirischen Unterschreitungswahrscheinlichkeit an den Stellen der beobachteten Stichprobenwerte, - der nω 2 -Test, bei dem die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen der theoretischen und der empirischen Unterschreitungswahrscheinlichkeit der beobachteten Abflüsse, - der Quantil Korrelationstest, bei dem der Korrelationskoeffizient r p zwischen den geordneten Stichprobenwerten und den aus der theoretischen Quantilfunktion mit der empirischen Wahrscheinlichkeit der Stichprobenwerte ergebenden Werte als Maß für die Anpassungsgüte verwendet werden. Häufig wird als Maß für die Anpassungsgüte die Kombination aus den drei oben aufgeführten Anpassungstests ( D + nω 2 + ( 1 - r 2 p ) ) verwendet. In Raschke & Thürmer (2008) wird die Anwendung der im DVWK-Merkblatt 251 (1999b) i= 1 43

56 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen empfohlenen Anpassungstests und insbesondere das kombinierte Maß für die Anpassungsgüte sehr kritisiert (Zitat: Dies ist natürlich zu verwerfen, da plastisch formuliert mm, cm und m addiert werden. ). Stattdessen werden von Raschke & Thürmer das Akaike Informationskriterium AIC und das Bayessche Informationskriterium BIC als Kriterium für die Modellwahl empfohlen. Das von Akaike (1974) entwickelte AIC verwendet wie das BIC den Wert der Log- Likelihood-Funktion ln L( u j ) nach Gl als Maß für die Anpassungsgüte: mit der Anzahl der Parameter = k. ( j ) AIC = ( 2) ln L u + 2 k, (3.30) Das BIC geht zurück auf die Arbeiten von Schwarz (1978) und ergibt sich zu mit der Anzahl der Stichprobenwerte n. ( j ) ( ) BIC = ( 2) ln L u + k ln n, (3.31) Die beiden Kriterien führen insbesondere bei einer großen Anzahl von Beobachtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Das Modell mit dem kleinsten AIC bzw. BIC ergibt danach die beste Anpassung. Trotz der oben beschriebenen Anpassungstests und Maße für die Anpassungsgüte bleibt bei der Wahl der Verteilungsfunktion für den Bearbeiter noch ein großer subjektiver Spielraum. Um zu mehr Objektivität zu gelangen, kann z. B., wie in dieser Arbeit beschrieben, eine regional gültige Verteilungsfunktion über eine Analyse mit größerer Datenbasis aufgestellt werden. Bei der visuellen Überprüfung der Anpassungsgüte der Verteilungsfunktion werden die gemessenen Werte mit der jeweiligen empirischen Wahrscheinlichkeit mit dem Verlauf der Verteilungsfunktion verglichen. Vor allem ist hierbei die Skalierung der Wahrscheinlichkeitsachse von großer Bedeutung. Daher wird in dieser Arbeit zur Darstellung der Anpassungsgüte für die Skalierung der Wahrscheinlichkeitsachse die standardisierte Gumbel-Variable { ( ) } ( u ) yt = ln ln T T 1 = ln ln 1 P (3.32) verwendet, da hiermit im Bereich großer Unterschreitungswahrscheinlichkeiten die Anpassungsgüte der Verteilung an die Stichprobe besser überprüft werden kann Informationserweiterung Die Informationserweiterung bei der Hochwasserstatistik wird in drei Typen, zeitliche, räumliche und kausale Informationserweiterung, unterschieden. Bei der zeitlichen Informationserweiterung können z. B. zusätzlich historische Hochwasserereignisse berücksichtigt oder die Anzahl der Stichprobenelemente durch eine Schwellenwertstatistik vergrößert werden. Bei der räumlichen Informationserweiterung werden die Reihen der beobachteten Abflüsse in Nachbargebieten herangezogen und durch Regionalisierungsverfahren zum 44

57 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage betrachteten Gebiet in Bezug gesetzt, so dass ein größeres Stichprobenkollektiv entsteht. Bei der kausalen Informationsbeschreibung wird die Reihe der beobachteten Abflussscheitel mit den Prozessen der Hochwasserentstehung in Bezug gesetzt. Dies kann z. B. durch die Einbeziehung des Niederschlags, wie z. B. bei dem Gradex-Verfahren (siehe z. B. Merz et al., 1999) oder durch Berücksichtigung der Hochwassergenese, die z. B. über eine saisonale Analyse der Daten erfolgen kann, geschehen. Einen detaillierten Überblick über die Informationserweiterung zur Bestimmung von Hochwasserwahrscheinlichkeiten liefern Merz & Blöschl (2008). Zeitliche Informationserweiterung durch historische Hochwasserereignisse Historische Hochwasserereignisse, also Ereignisse, die vor Beginn der Pegelaufzeichnungen aufgetreten sind und in ihrer Größe rekonstruiert werden können, stellen für die Hochwasserstatistik eine wertvolle zeitliche Informationserweiterung dar. Sie können sowohl bei der Anpassung der empirischen Wahrscheinlichkeiten als auch bei der Parameterschätzung der Verteilungsfunktionen helfen, das Ergebnis zu verbessern. Im Bulletin 17B (IACWD, 1982) wird vorgeschlagen, historische Ereignisse bei der Ermittlung der Produktmomente mit einer Gewichtung einzubeziehen. Eine weitere Methodik zur Berücksichtigung historischer Hochwasserereignisse bei der Momentenmethode ist in England et al. (2003) beschrieben. In Wang (1990a; 1990b) und Schumann (2007) wird ein weiteres Verfahren zur Berücksichtigung historischer Ereignisse auf der Basis wahrscheinlichkeitsgewichteter Momente zur Abschätzung der Parameter der Allgemeinen Extremwertverteilung vorgestellt. Die Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode zur Parameterschätzung unter Einbeziehung von historischen Ereignissen ist Martins & Stedinger (2001) zu entnehmen. Die Literaturstelle enthält darüber hinaus weitere Referenzen. Saisonale Hochwasserstatistik Die Überschreitungswahrscheinlichkeit von Hochwasserscheitelabflüssen wird in der Regel auf Grundlage der gemessenen Jahreshöchstwerte ermittelt. Um die unterschiedliche Hochwassergenese in den verschiedenen Jahreszeiten zu berücksichtigen, ist es bei einer starken Saisonalität der Extremereignisse sinnvoll, die Daten saisonal getrennt zu analysieren. In Schumann (2005) wird z. B. eine solche Methode für die saisonale Analyse von Hochwasserabflüssen vorgestellt. Da in Mittelgebirgen die Hochwasserereignisse in Folge der Schneeschmelze im Frühjahr und in Folge von Starkregen im Sommerhalbjahr auftreten, wurde eine saisonale Differenzierung zwischen Sommer und Winter gewählt. Die beiden Hochwassertypen werden getrennt analysiert und die beiden gewonnenen Verteilungen anschließend zur Statistik der Jahreshöchstabflüsse kombiniert. Regionalisierung Wie schon ausgeführt, werden für die Extrapolation von Hochwasserabflüssen mit einem großen Wiederkehrintervall möglichst homogene und über einen langen Zeitraum erfasste Messreihen benötigt, die an einem Pegel normalerweise nicht gegeben sind. Um die Datenbasis zu erweitern und um lokale Datenfehler und Ausreißer zu bereinigen, können In- 45

58 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen formationen benachbarter Pegel mit einbezogen werden, soweit sie mit Hilfe von Regionalisierungsverfahren übertragbar gemacht werden können. Auch für die Ermittlung von Bemessungshochwasserwerten an unbeobachteten Orten und die Beurteilung regionaler Hochwasserverhältnisse werden solche Regionalisierungsverfahren benötigt. Durch die Regionalisierung wird versucht, statistische Aussagen über Zusammenhänge der Hochwasserstatistik und der Charakteristika des dazugehörigen Einzugsgebiets auf andere Gebiete übertragbar zu machen. Mehrere Methoden wurden für die regionale Analyse entwickelt. Übersichten liefern z. B. Merz (2007) und Rao & Srinivas (2008). Eine der ersten und umfassendsten Untersuchungen ist die Studie des NERC (1975), in der Regionalisierungsgleichungen in Abhängigkeit von Einzugsgebietseigenschaften bestimmt worden sind. Die am häufigsten angewendete Methode ist das Index-Flood-Verfahren, das ursprünglich von Dalrymple (1960) entwickelt wurde und insbesondere von Hosking & Wallis (1997) zu einem etablierten Gesamtansatz entwickelt worden ist. Es wird die Annahme getroffen, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der regional gültigen Verteilungsfunktion an den einzelnen Pegeln nur in einem einzigen Skalenparameter, dem so genannten "index-flood"-parameter, in der Regel dem Mittelwert MHQ der Extremwertserie, unterscheiden. Die Parameteranpassung der geeigneten regionalen Verteilung erfolgt gemeinsam für die skalierten Hochwasserserien aller Pegel innerhalb einer homogenen Region. Um die Index-Flood-Methode auf unbeobachtete Punkte anzuwenden, muss der index-flood -Parameter in Abhängigkeit der Eigenschaften des unbeobachteten Gebiets, z. B. durch Regression, regionalisiert werden. Ein Verfahren für die Hochwasserregionalisierung mittels erweiterter Index-Flood Prozedur wird in Willems (2008) beschrieben Konventionen zur Maximierung Wie in Kapitel dargelegt, ist die Ermittlung von Hochwasserabflüssen kleiner Überschreitungswahrscheinlichkeiten durch die Extrapolation der statistischen Verteilung der Jahreshöchstabflüsse problematisch, weil im Bereich von kleinen Wahrscheinlichkeiten, die nur durch wenige Messwerte gestützt sind, extrapoliert wird. Außerdem unterscheiden sich die gewählten Verteilungsfunktionen trotz gleichwertiger Anpassung im Extrapolationsbereich beträchtlich und die zur Verfügung stehenden Pegelmessreihen betreffen einen zu kurzen Zeitraum von 30 bis höchstens 100 Jahren. Nach DVWK-Merkblatt 251 (1999) ist eine statistisch gesicherte Extrapolation nur für den zwei- bis dreifachen Zeitraum der Messreihe sinnvoll. Um die Unsicherheit bei der Bemessung zu minimieren, den subjektiven Anteil an der Schätzung möglichst klein zu halten und eine möglichst einheitliche Extrapolationsmethodik anzuwenden, empfiehlt sich die Maximierung durch Konventionen Maximierung der Schiefe der Verteilungsfunktionen Um Scheitelabflüsse kleinerer Überschreitungswahrscheinlichkeit zu extrapolieren, wird in Kleeberg & Schumann (2001) eine Konvention vorgeschlagen, in der einheitlich die Pear- 46

59 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage son III-Verteilung verwendet wird. Im Extrapolationsbereich mit Überschreitungswahrscheinlichkeiten P ü < 10-2 wird für alle Bemessungsfälle die Verwendung einer maximierten Schiefe empfohlen. Aufgrund einer statistischen Untersuchung von 1169 Pegeln in Bayern, Niedersachsen, Sachsen, Sachsen-Anhalt und Thüringen wird eine maximierte Schiefe von c = 4,0 empfohlen, da diese bei 99% aller Pegel unterschritten wurde. Bei der Pearson III-Verteilung ist der Häufungsfaktor k T bei der standardisierten Form der Quantilfunktion ( ) ( ) x T = x + s k T (3.33) allein von der Schiefe abhängig, so dass eine gesicherte Abschätzung des Hochwasserabflusses über einen maximierten k T bzw. eine maximierte Schiefe erfolgen kann. Gl ergibt sich nach der in der Hochwasserstatistik gebräuchlichen Schreibweise zu X HQT = MHQ + shq kt, (3.34) mit dem mittleren jährlichen Hochwasser MHQ und der Standardabweichung s HQ der jährlichen Hochwasser HQ. Die Maximierung der Schiefe ist aber erst bei Überschreitungswahrscheinlichkeiten P ü < 10-2 (Jährlichkeit > 100 a) sinnvoll, da die tatsächliche Schiefe c HQ am Pegel und damit der Verlauf der Verteilungsfunktion bestimmten Eigenschaften des Gebietes entspricht. Aus diesem Grund werden extreme Abflüsse erst ab einer Jährlichkeit > 100 Jahre mit der maximierten Schiefe berechnet. Aus Beziehung (Seus, 1993) ( cs ) ( ) HQ k T MHQ T = HQ MHQ k c ergibt sich HQ T für die Verteilung mit einer maximierten Schiefe von c S = 4 zu s ( cs 4) ( = 4) kt = HQT = MHQ + ( HQ100 MHQ) k 100 c s (3.35). (3.36) Ersetzt man das 100-jährliche HQ 100 mit Gl. 3.34, so ergibt sich der Quantilwert der Jährlichkeit T nach Gl. 3.37: Mit f T k = k T 100 ( cs = 4) ( c = 4) s ( 100 ( ) ) ( c 4) ( = 4) kt = HQT = MHQ + MHQ + shq k chq MHQ k 100 c ergibt sich dann der Abfluss für Jährlichkeiten > 100 Jahre zu ( ) T HQ 100 HQ T. (3.37) HQ = MHQ + s k c f (3.38) In Tab. 3.1 sind einige f T -Werte der Pearson III-Verteilung mit der zur Maximierung empfohlenen Schiefe c s = 4,0 aufgeführt. 47

60 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Tab. 3.1: f T - Werte für die Pearson III Verteilung für die maximierte Schiefe c S = 4,0 P ü T f T 1,0 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 Für die Ermittlung des Bemessungshochwassers mit dem statistischen Wiederkehrintervall T > 100 a werden also die statistischen Parameter Mittelwert MHQ, Standardabweichung s HQ und Schiefe c HQ aus der Beobachtungsreihe der Jahreshöchstabflüsse HQ ermittelt. Mit Gleichung 3.38 und dem entsprechenden f T aus Tab. 3.1 kann dann der Scheitelwert des Bemessungshochwassers berechnet werden Schweizerisches Sicherheitskonzept Beim schweizerischen Sicherheitskonzept (siehe Biedermann, 2001) wird bei der Bemessung der Hochwassersicherheit von Talsperren gefordert, dass als Bemessungshochwasser das größtmögliche Hochwasser berücksichtigt wird, da aufgrund der Lage der Hochwasserrückhaltebecken Menschenleben gefährdet sein können. Es wird angenommen, dass das größtmögliche Hochwasser sowohl bezüglich des Hochwasserscheitels Q max als auch der zeitlichen Dauer D max nicht mehr als 50% größer sei als das 1000-jährliche Hochwasser (Q 1000, D 1000 ). Da D max eher bei D 1000 liegen dürfte, kann bei der Bemessung von Staumauern D max = D 1000 angesetzt werden. Da Dämme im Vergleich zu Mauern gegenüber Überflutung gefährdeter sind, sollte bei der Bemessung von Staudämmen die Dauer D max = 1,5 D 1000 angesetzt werden (siehe Abb. 3.4). Q Q* 1000 Q max =1,5 Q 1000 Staumauer Staudamm D D 1000 D max =1,5 D 1000 Abb. 3.4: Abschätzung des größtmöglichen Bemessungshochwassers nach dem schweizerischen Sicherheitskonzept Der Verlauf der an die gemessenen Jahreshöchstwerte angepassten Verteilungsfunktion wird über eine regionale Analyse von Abflussspenden korrigiert. Die statistisch ermittelten 100-jährlichen Abflussspenden q 100 an den Pegeln der Region werden in Abhängigkeit der Einzugsgebietsgröße A E aufgetragen (siehe Abb. 3.5 am Beispiel des Einzugsgebiets der 48

61 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Unstrut). Es wird angenommen, dass die Streuung der Punkte von der unterschiedlichen Untergrundretention und der unterschiedlichen Niederschlagsintensität herrührt. Diese Streuung verschwindet allerdings bei Extremwertereignissen, so dass die obere Grenzlinie maßgebend wird. Diese obere Grenzlinie wird beim schweizerischen Sicherheitskonzept durch die Gleichung beschrieben. q = α A (3.39) 0,5 * 100 E Abb. 3.5: Spezifische 100-jährliche Abflussspenden für Pegel im Einzugsgebiet der Unstrut Ausgehend von Q* 100 = q* 100 A E kann der wahrscheinliche 1000-jährliche Abfluss Q* 1000 dadurch abgeschätzt werden, dass in Abb. 3.6 die aus den Messwerten bestimmte Verteilungsfunktion (gestrichelte Linie) parallel in den Punkt Q* 100 verschoben wird. Der größtmögliche Abfluss wird dann per Definition zu Q* max = 1,5 Q* 1000 berechnet. 600 HQ [m³/s] Q* 100 Q* 1000 HQ 1000 Originale Verteilung Q* =1,5 Q* max 1000 Verschobene Verteilung HQ T [a] Abb. 3.6: Abschätzung des 1000-jährlichen und des größtmöglichen Abflusses nach dem Schweizerischen Sicherheitskonzept 49

62 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Die Ganglinienform wird über Niederschlag-Abfluss-Modellierung gewonnen. Die Niederschlagsintensität des Bemessungsniederschlages ist nicht nur von der Wiederholungszeitspanne T n sondern auch von der Regendauer abhängig. Daher muss eine Parameterstudie durchgeführt werden, um das maßgebende Niederschlagsereignis zu bestimmen. Problematisch bei dieser Modellierung ist die Umwandlung des Niederschlages in Abfluss über den Abflusskoeffizienten. Da nach Biedermann (2001) die Untergrundretention bei seltenen Abflussereignissen nahezu unwirksam ist und die Oberflächenretention eine untergeordnete Rolle spielt, ist nach dem schweizerischen Sicherheitskonzept die Annahme eines Abflussbeiwertes gleich eins bei Ereignissen mit einer Wiederholungsspanne größer 1000 Jahre zulässig. Der aus der Maximierung der Verteilungsfunktion ermittelte Wert Q* 1000 dürfte realistischer sein als der über Niederschlag-Abfluss-Modellierung aus dem maßgebenden jährlichen Niederschlagsereignis resultierende maximale Spitzenabfluss Q* NS,1000. Es empfiehlt sich somit, alle für das 1000-jährliche Niederschlagsereignis über Niederschlag- Abfluss-Modellierung ermittelten Ganglinien mit dem Faktor Q* 1000 /Q* NS,1000 affin zu transformieren und erst danach den Schritt zum größtmöglichen Hochwasser Q max zu vollziehen (siehe Abb. 3.4). Der aus der Maximierung der Verteilungsfunktion ermittelte maximale Abfluss Q* max kann hierbei durch den Einfluss der Oberflächenretention Q S abgemindert werden: Qmax = 1,5 Q* 1000 QS. (3.40) Skalierung von in der Vergangenheit beobachteten Hochwasserereignissen Eine in der Praxis häufig angewendete Methode für die Ermittlung der Bemessungsganglinie eines bestimmten statistischen Wiederkehrintervalls ist die Skalierung von beobachteten großen Hochwasserereignissen. Bei Nezhikhovski (1971) und Sokolov (1976) wird normalerweise das größte beobachtete Hochwasserereignis als Grundlage für die Form der Bemessungsganglinie verwendet. Das beobachtete Hochwasser kann hierbei ein- oder mehrgipflig sein. Es wird in eine dimensionslose Ganglinie umgerechnet, indem jeder Abflusswert Q ( t ) mit dem Scheitelabfluss Q S dividiert wird. Die Zeitachse wird ebenfalls dimensionslos als Verhältnis zwischen Zeit t und der Hochwasserdauer D oder der Scheitelanstiegszeit t A dargestellt. Zur Ermittlung der Bemessungsganglinie werden die Ordinaten der dimensionslosen Ganglinie mit dem aus der Hochwasserstatistik ermittelten Scheitelwert der Jährlichkeit T multipliziert und die Zeitachse so skaliert, dass das Abflussvolumen der Bemessungsganglinie ebenfalls der Jährlichkeit T entspricht. In Abb. 3.7 ist die Skalierung eines beobachteten Hochwasserereignisses für die Bemessungswerte des 100-jährlichen HQ 100, 200- jährlichen HQ 200 und jährlichen Hochwassers HQ 1000 dargestellt. In USBR (2003) ist ein weiteres Verfahren für die Skalierung von gemessenen Ganglinien für die Risiko-Analyse von Talsperren beschrieben. 50

63 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Abb. 3.7: Skalierung des größten gemessenen Hochwasserereignisses, um die Bemessungsganglinien für T=200 a, 500 a, 1000 a zu ermitteln Synthetische Bemessungsganglinien und Hochwassermerkmalssimulation Hochwasserwellen sind durch charakteristische Parameter wie z. B. Scheitel, Hochwasserfülle, Scheiteleintrittszeit, Formparameter, etc. gekennzeichnet (siehe Abb. 3.8). Über eine mathematische Funktion, im Folgenden als synthetische Ganglinienfunktion bezeichnet, für den zeitlichen Verlauf des Ereignisses, wird versucht, die Hochwasserwelle über ihre wesentlichen Parameter analytisch zu beschreiben. Aus gemessenen Hochwasserereignissen können die Parameter der Funktion abgeschätzt und die statistischen Eigenschaften und Abhängigkeiten der Parameter analysiert werden. Voneinander unabhängige Parameter können durch eindimensionale Verteilungsfunktionen und voneinander abhängige über Regression oder durch mehrdimensionale Verteilungsfunktionen bestimmt werden. Abfluss Q Hochwasserscheitel Q S Direktabflussscheitel Q SD Direktabfluss Q D ( t ) Hochwasserfülle V D HW-Beginn Basisabfluss QB( t ) Hochwasserdauer D HW-Ende Zeit t Anstiegszeit t A Abstiegszeit Abb. 3.8: Hochwasserwelle mit charakteristischen Parametern 51

64 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Synthetische Bemessungsganglinien Bei synthetischen Bemessungsganglinien für ein Bemessungsereignis mit einem festgelegten Wiederkehrintervall werden die Parameter einer synthetischen Ganglinienfunktion über statistische Verteilungsfunktionen ermittelt oder aus Einzugsgebietseigenschaften abgeleitet. Sackl (1994) stellt ein Verfahren zur Ermittlung von synthetischen Bemessungsganglinien vor, bei dem letztlich für jede Jährlichkeit T ein Spektrum von Bemessungsganglinien erzeugt wird. Über eine bivariate Häufigkeitsanalyse der Eigenschaften Direktabflussscheitel Q D und Hochwasserfülle V D von gemessenen Hochwasserereignissen werden dann Bemessungskennlinien (siehe Abb. 3.9) definiert, auf denen alle Punkte ( V D,i, Q D,i ) die gleiche gemeinsame Überschreitungswahrscheinlichkeit P ( V D > V D,i, Q D > Q D,i ) haben. Als Jährlichkeit des Bemessungsereignisses wird also die bivariate Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Überschreiten der beiden Zufallsvariablen Scheitel und Volumen definiert und nicht mehr nur die Überschreitungswahrscheinlichkeit des Scheitels alleine (wie in der DIN (2004) definiert) betrachtet. Aus der Bemessungskennlinie können Wertepaare V D und Q D mit der gleichen bivariaten Überschreitungswahrscheinlichkeit abgelesen und daraus die Bemessungsganglinien über eine synthetische Ganglinienfunktion ermittelt werden. Als Wahrscheinlichkeitsverteilung wird die bivariate Normalverteilung verwendet. Q Q [m³/s] D extremer Spitzenabfluss Bemessungsganglinien für T = const = 1/ P( V > V, Q > Q ) D D,i D D,i t P( VD> VD,i, QD> QD,i) = const Q extremes Abflussvolumen V D [m³] j t Abb. 3.9: Bemessungskennlinie für die Hochwassermerkmale V D und Q D und aus der Bemessungskennlinie ermittelte Bemessungsganglinien mit der gleichen bivariaten Jährlichkeit Liegen keine Messdaten vor, ist in Sackl (1994) ein Regionalisierungsansatz für die Ermittlung der Bemessungsganglinien beschrieben. In Hiemstra & Davis (1981) sowie in Aldama & Ramirez (1999) wird ein ähnlicher Ansatz für die Ermittlung von Bemessungsganglinien vorgeschlagen. Wie bei Sackl (1994) wird mit Hilfe einer bivariaten Analyse von Scheitel und Volumen und der Annahme einer synthetischen Ganglinienfunktion für jede Jährlichkeit ein Spektrum von Bemessungsganglinien ermittelt. Im Gegensatz zu Sackl wird aber bei Hiemstra & Davis (1981) die bivariate Lognormalverteilung und bei 52

65 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Aldama & Ramirez (1999) die bivariate Extremwertverteilung als Verteilungsfunktion verwendet. Maione et al. (2000; 2001) stellen ebenfalls ein Verfahren zur Ermittlung von synthetischen Bemessungsganglinien vor. Die Methode basiert auf der Auswertung von gemessenen Hochwasserereignissen und der Ermittlung von Abfluss-Dauer- Häufigkeitskurven und Abschätzung der zeitlichen Position des Hochwasserscheitels in Abhängigkeit von der Dauer D. Für unbeobachtete Gebiete wird in Maione et al. (2003) für diese Methode auch ein Regionalisierungsansatz beschrieben Hochwassermerkmalssimulation Mit der Hochwassermerkmalssimulation werden synthetische Hochwasserereignisse stochastisch erzeugt. Sie basiert auf der Auswertung von gemessenen Abflussdaten, durch die die erforderlichen Parameterverteilungen für das Modell zur Hochwassermerkmalssimulation, gegebenenfalls unter Berücksichtigung der gegenseitigen Abhängigkeiten, ermittelt werden. Der Verlauf der synthetischen Hochwasserwelle wird mit einer mathematischen Funktion beschrieben, mit der versucht wird, die wesentlichen Eigenschaften von Hochwasserwellen abzubilden. Die Generierung eines Hochwasserereignisses erfolgt dann über die Ermittlung der Parameter der mathematischen Funktion aus den jeweiligen an die Abflussdaten angepassten Verteilungen. Durch eine Generierung von einer ausreichenden Zahl von Hochwasserereignissen können somit bei der Bemessung alle denkbaren Hochwassersituationen Berücksichtigung finden. Bei der Parameterermittlung des Modells können aus den gemessenen Abflussdaten die Hochwasserereignisse für das ganze Jahr zusammen oder getrennt nach Jahreszeit oder Entstehungsursache, wie z. B. Schmelz- oder Regenhochwasser, für die statistische Analyse berücksichtigt werden. In einer der ersten Veröffentlichungen zu dem Thema stellt Weingärtner (1976; 1979) ein Modell für die Hochwassermerkmalssimulation unter Berücksichtigung von gegenseitigen Parameterabhängigkeiten vor, wobei die Hochwasserwellen durch insgesamt 10 Parameter beschrieben werden. Bei der Generierung erzeugt er als unabhängige Variable die relative zeitliche Lage des Hochwasserscheitels bezogen zur Gesamtdauer und danach aus einer zweidimensionalen Verteilungsfunktion den Scheitelabfluss und die Gesamtdauer der Hochwasserwelle unter Berücksichtigung der gegenseitigen Abhängigkeiten. Über eine mittlere, aus Beobachtungsdaten gewonnene bezogene Ganglinie ergeben sich dann die anderen Wellenparameter. Spiegel (1977) verwendet in seinem Modell zwei unterschiedliche Beschreibungen der Hochwasserwelle, je nachdem ob die Gesamtwelle (Modell 1) oder nur die Welle oberhalb eines Schwellenwertes (Modell 2) generiert wird, wobei er jeweils vier Parameter verwendet. Korrelationen zwischen den Parametern werden über einfache Regressionsbeziehungen berücksichtigt. Im Modell von Koch (1978) werden die Hochwasserwellen dadurch erzeugt, dass die Autokorrelation der Hochwasserabflüsse innerhalb einer Hochwasserwelle bei der Generierung berücksichtigt wird. Ausgehend vom Scheitelabfluss wird die Hochwasserwelle mit Hilfe eines multiplen linearen Autoregressi- 53

66 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen onsmodells erzeugt. Kiefer (1982) ermittelt hingegen aus gemessenen Ganglinien Grundformen der Wellen mit Hilfe einer Clusteranalyse. So kommt er durch die Wahl einer Grundform und die Bestimmung des Scheitelabflusses zu einer eindeutigen Beschreibung einer Hochwasserwelle. Mit unterschiedlichen zeitlichen Horizonten arbeiten die Modelle von Grünewald (1977) und Meier (1987). Bei Grünewald (1977) simuliert das Modell kontinuierlich Monatsmittelwerte und erzeugt in Hochwassermonaten das Hochwasserereignis auf Tageswertbasis. Das Hochwasserereignis kann dabei aus einer Welle bestehen oder aus mehreren überlagerten Wellen zusammengesetzt sein. Auf diese Weise können auch komplexere Formen eines Hochwassers beschrieben werden. Da mit diesem Modell nur Tageswerte erzeugt werden, ist es nur für größere Einzugsgebiete geeignet. Meier (1987) hingegen erzeugt kontinuierlich Monatswerte und modelliert in einem Hochwassermonat die Ganglinie in Stundenzeitschritten. Das in Lohr (2003) beschriebene Verfahren generiert zur Bemessung von Talsperren eine beliebige Anzahl von Ganglinien, wobei die Ganglinienparameter mit Hilfe von Zufallszahlen aus den Verteilungsfunktionen ohne die Berücksichtigung von gegenseitigen Parameterabhängigkeiten ermittelt werden. In Bertoli & Moisello (1994) ist ein Ansatz für die Hochwassermerkmalssimulation beschrieben, bei dem der Scheitelabfluss aus einer Verteilungsfunktion und die restlichen Parameter aus einer bedingten Verteilungsfunktion in Abhängigkeit vom Scheitelabfluss zufällig gezogen werden. Die bedingten Verteilungsfunktionen werden über einen Regionalisierungsansatz in Abhängigkeit vom Scheitelabfluss und den Einzugsgebietseigenschaften ermittelt. Die Copula-Methode wird in De Michele et al. (2005) verwendet, um die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung von Scheitel und Volumen zu ermitteln. Aus dieser bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung werden zufällig Wertepaare von Scheitel und Volumen generiert und daraus die Parameter der Ganglinie ermittelt Ganglinienfunktionen Zur Verwendung analytischer Funktionen bei der Beschreibung von Hochwasserwellen finden sich in der Literatur einige Ansätze. In den meisten Fällen werden zur Beschreibung des Wellenverlaufes Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von z. B. der Gammaverteilung (Ahmed, 1996; Kessler & Diskin, 1991), der Betaverteilung (Ahmed, 1996; Yue et al., 2002), der Pearson III-Verteilung (Hiemstra & Francis, 1981), der Frechet-Verteilung (Ahmed, 2001), der Weibull-Verteilung (Ahmed, 1996) oder der Lognormalverteilung (Ahmed & Life, 1996) verwendet. In Deutschland weit verbreitet ist als Ganglinienfunktion die Kozeny-Funktion (Dyck, 1980), sie entspricht in ihrer Form der Gammaverteilung. In Aldama & Ramirez (1999) sowie in Yanmaz & Gundini (2006) werden hermitische Polynome als Ganglinienfunktion verwendet. Pohl (1997) wählt in seiner Arbeit zur Überflutungssicherheit von Talsperren die in Sinniger und Hager (1984) beschriebene Ganglinienfunktion, die die Struktur der Maxwellschen Verteilungsdichtefunktion hat. 54

67 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Oft werden die synthetischen Ganglinien auch aus zwei verschiedenen Funktionen zusammengesetzt, wobei die eine den anlaufenden Ast und die andere den absteigenden Ast der Ganglinie beschreibt. In Lohr (2003) wird z. B. die Kozeny-Funktion für den ansteigenden Ast und ein hyperbolischer Ansatz für den absteigenden Ast und in Bertoli & Moisello (1994) eine Potenzfunktion für den ansteigenden Ast und eine Exponentialverteilung für den absteigenden Ast verwendet. In kleineren Einzugsgebieten und bei der Modellierung von urbanen Einzugsgebieten werden für die Beschreibung der Ganglinienform auch dreieckige (siehe z. B. Paik, 2008) oder trapezförmige (siehe z. B. Blazejewski & Murat-Blazejewska, 2003) Formen angenommen. Diese Annahme trifft allerdings in der Natur nicht zu und sollte nur für kleine Einzugsgebiete getroffen werden. Eine Zusammenstellung weiterer Ganglinienfunktionen und eine Erweiterung der Kozeny-Funktion sind in Sackl (1994) aufgeführt. Gammaverteilung / Kozeny-Funktion Bei der Beschreibung des zeitlichen Verlaufs des Direktabflusses Q D ( t ) mit der Gammaverteilung n 1 t VD t k QD ( t) = e k Γ n k ( ) (3.41) wird mit dem Parameter n die Form, dem Parameter k die Zeitskalierung und mit V D das Abflussvolumen beschrieben. In der deterministischen Hydrologie beschreibt die Gleichung die Impulsantwortfunktion der linearen Speicherkaskade nach Nash (1957). Nach Ermittlung der Scheitelanstiegszeit ta ( 1) = k n (3.42) durch Differentiation von Gleichung 3.41 ergibt sich die Beziehung zwischen dem Scheitel des Direktabflusses Q SD und dem Abflussvolumen V D wie folgt: Q SD 1 1 n VD n = ( ) k Γ n e. (3.43) Substituiert man ( n - 1 ) durch den Formfaktor m, so ergibt sich aus Gl. 3.41, 3.42 und 3.43 die z. B. bei Dyck (1980) beschriebene Kozeny-Funktion t QD ( t) = QSD e t A m t m 1 ta. (3.44) In der bezogenen Form ergibt sich die Standardganglinie der Kozeny-Funktion zu ( 1 ) y = x e x m (3.45) 55

68 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen mit dem Standardvolumen V S y t x = (3.46) t Q A ( t) D =, (3.47) Q SD V S VD = t Q A SD. (3.48) Da der abfallende Ast der Kozenyfunktion theoretisch erst im Unendlichen den Wert 0 erreicht, muss ein Abbruchpunkt definiert werden. Sackl (1994) legt bei seiner Gangliniefunktion den Abbruchpunkt y ( x max ) der Standardganglinie beim Wert 0,0025 fest, mit x max D = (3.49) t A als Verhältnis der Hochwasserdauer D zur Scheitelanstiegszeit t A. Die Eigenschaften der Standardganglinie sind in Abb dargestellt. In Abb ist der Einfluss des Formparameters m auf die Form der Ganglinie dargestellt. Je größer der Formbeiwert m, desto steiler ist der Anstieg. Durch eine Anpassung der Kozeny-Funktion an gemessene Hochwasserwellen an einem Pegel kann ein regionaler Parameter m bestimmt werden, wobei die Hochwassergenese Berücksichtigung finden sollte. Auf diese Weise können für die verschiedenen Hochwassertypen eigene Parameter m bestimmt werden. Durch diese regionalen Parameter m der bezogenen Ganglinien können über die Bestimmung des Hochwasserscheitels über eine Extremwertstatistik und der Annahme der Hochwasseranstiegszeit Bemessungsganglinien bestimmter Jährlichkeit erzeugt werden. Abb. 3.10: Eigenschaften der Standardganglinie Abb. 3.11: Einfluss des Formparameters m auf die Form der Standardganglinie der Kozeny Funktion 56

69 3.2 Ermittlung des Bemessungshochwassers auf statistischer Grundlage Die Fülle des Direktabflusses V D der Kozeny-Ganglinienfunktion nach Gleichung 3.44 kann mit Gleichung 3.50 beschrieben werden. Γ + V Q t dt Q e dt Q e t ( m 1) m t m 1 t ta m D = D ( ) = SD = SD A m+ 1 t 0 0 A m (3.50) Wird von Gleichung 3.44 das bestimmte Integral gebildet, ergibt sich die Direktabflussfülle der Kozeny-Funktion vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt t x zu tx t m t x m 1 t ta VD = QD ( t) dt = QSD e dt t 0 0 A. (3.51) m 1 m m = QSD e ta m Γ ( m + 1) Γ m + 1, tx t A Für den Zeitpunkt t x1 bis zum Zeitpunkt t x2 ergibt sich die Direktabflussfülle der Kozeny- Funktion zu tx 2 t m t x 2 m 1 t ta VD = QD ( t) dt = QSD e dt t tx1 tx1 A m 1 m m m = QSD e ta m Γ m + 1, tx 1 Γ m + 1, tx2. ta t A (3.52) Der Zeitpunkt des Schwerpunkts t S der Gammaverteilung liegt bei t S = n k, mit t A = k ( n - 1 ) und mit der Substitution von n = m + 1 ergibt sich die Schwerpunktzeit der Kozeny-Funktion zu t S m + 1 = ta. (3.53) m Modifizierte Gammaverteilung nach Sackl Der Nachteil der Kozeny-Funktion ist, dass für jeden Wert m das Standardvolumen V S nach Gl und der bezogenen Endzeitpunkt x max nach Gl. 3.49, und somit auch das Verhältnis ( V S / x max ), konstant sind. Daher kann es für ein bestimmtes m keine verschiedenen Kombinationen von V S und x max geben. Sackl (1994) führt bei der Kozeny-Funktion einen weiteren Parameter a ein, um ein größeres Spektrum an Wellenformen abbilden zu können t QD ( t) = QSD e ta a t a m m 1 ta. (3.54) Wie in Abb gezeigt, ist es mit dieser Funktion möglich, unterschiedliche Kombinationen von x max und V S darzustellen, die mit der Kozeny-Funktion nicht möglich sind. 57

70 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Ganglinienfunktion nach Lohr Abb. 3.12: 2-parametrige Ganglinienfunktion nach Sackl (1994) Lohr (2003) beschreibt die Hochwasserwelle durch zwei Funktionen, für den ansteigenden Ast die Kozeny-Funktion nach Gleichung 3.44 und für den absteigenden Ast einen hyperbolischen Verlauf nach Leichtfuss & Lohr (1999) mit einem weiteren Formparameter m ab : mit mit t t S ( ) Q t t k a k ( e ) ( e ) k a k ( e ) + ( e ) a = Q0 1 a S (3.55) ( ts + t) k = (3.56) b + m ( t + t) = 2 ab Q Q 1 S 0 ln 2 1 S m Zeit nach dem Eintreten des Scheitelabflusses [d] Startposition im ablaufenden Ast m ab Parameter zur Beschreibung des absteigenden Astes (0,05 < m ab < 0,4) a Stauchung (0,95 < a < 1) b Achsenabschnitt, in der Regel 1 Q ( t ) Gesamtabfluss zur Zeit t [m³/s] Q 0 ab (3.57) Definierter Maximalabfluss [m³/s] (wird am Beginn festgelegt), z. B. > 10 HHQ. In Abb ist die Form der Ganglinie nach Lohr im Vergleich zu der Kozeny-Funktion dargestellt. Durch den hyperbolischen Verlauf des absteigenden Astes können durch diese Ganglinienfunktion die gemessenen Ganglinien insbesondere im Rückgang besser nachge- 58

71 3.3 Ermittlung des Bemessungshochwassers über Niederschlag-Abfluss Modellierung bildet werden als durch die Beschreibung der gesamten Ganglinie mit Hilfe der Kozeny- Funktion. Der Nachteil ist der zusätzliche Formparameter m ab zur Beschreibung des absteigenden Asts. In MUNLV (2004) wird diese Ganglinien-Funktion für die Ermittlung von Bemessungsabflüssen in NRW empfohlen. Abb. 3.13: Vergleich der beiden Ganglinienfunktionen a) Ganglinienfunktion nach Lohr mit den Parametern t A, Q SD, m an, m ab und b) Kozeny-Funktion mit den Parametern t A, Q SD, m 3.3 Ermittlung des Bemessungshochwassers über Niederschlag-Abfluss Modellierung Niederschlag-Abfluss Modelle Durch Niederschlag-Abfluss Modelle werden die hydrologischen Prozesse in einem Einzugsgebiet mathematisch beschrieben und somit aus einer gegebenen Niederschlagsbelastung die resultierenden Abflussganglinien berechnet. Für die Modellierung von Niederschlag-Abfluss Prozessen wurde in der Vergangenheit eine Vielzahl von hydrologischen Modellen entwickelt. Eine Zusammenstellung des Arbeitskreises Mathematische Flussgebietsmodelle des BMU (1997) enthält alleine für Deutschland 67 verschiedene Niederschlag-Abfluss-Modelle. Diese Zahl wird bis heute weiter angestiegen sein. N-A-Modelle können unterschieden werden nach Art der Modellbelastung:ereignisbasiert - kontinuierlich nach der räumlichen Struktur: - Blockmodelle ( lumped ): keine horizontale Gliederung, ein Parametersatz für das gesamte betrachtete Einzugsgebiet. - teilweise gegliederte Modelle ( semi-distributed ): Gliederung des Einzugsgebietes in Teilgebiete entsprechend des Flusssystems. - gegliederte Modelle ( distributed ): Vollständige ortsabhängige horizontale Glie- 59

72 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen derung des Einzugsgebietes durch Rasterflächen, Dreiecke oder beliebige Polygone mit Angabe der genauen Lage und der Nachbarschaftsbeziehungen. nach dem Detaillierungsgrad der hydrologischen Prozesse: - Physikalisch basierte Modelle ( White-Box-Modell ): Physikalisch basiertes Prozessmodell, bei dem versucht wird, hydrologische Prozesse physikalisch zu beschreiben. Die Parameter des Modells sind physikalisch begründet und lassen sich im Prinzip im Gebiet messen. Aufgrund der physikalischen Prozessbeschreibungen erfordern diese Modelle eine hohe räumliche und zeitliche Auflösung. - Black-Box-Modell: Die Modelle beschreiben das System durch die Ursache- Wirkungs-Beziehung der Systemein- und -ausgaben. Die Modellparameter sind nicht physikalisch interpretierbar und daher nicht aus den Gebietseigenschaften ableitbar. Zu den Black-Box-Modellen gehören die in der Hydrologie häufig angewandten systemtheoretischen Verfahren wie z. B. das Einheitsganglinienverfahren. - Konzeptionelle Modelle ( Grey-Box-Modell ): Kompromiss zwischen Black- Box- und White-Box-Modell. Die Modellstruktur orientiert sich weitgehend an den Abflussprozessen im Einzugsgebiet. Die Parameter sind zumindest physikalisch interpretierbar und somit zumindest teilweise aus Naturbeobachtungen ableitbar. Durch die Vereinfachung der Prozessbeschreibung wird eine gröbere räumliche und zeitliche Diskretisierung möglich. Weitere Grundlagen und Referenzen zu der hydrologischen Modellierung und zu Modellansätzen können z. B. in DVWK (1999a), Gattke (2006) und Singh (1995) nachgeschlagen werden. Bei Black-Box-Modellen und konzeptionellen Modellen ist eine umfangreiche Kalibrierung und Validierung der Modellparameter anhand hydrologischer Beobachtungen erforderlich. Weitere Erläuterungen zur Modellanpassung und Verfahren zur Quantifizierung der Unsicherheit von Niederschlag-Abfluss Modellen sind Gattke (2006) zu entnehmen Modellbelastung Hinsichtlich der Modellbelastung wird zwischen kontinuierlichen und ereignisbasierten Modellen unterschieden. Kontinuierliche Modelle simulieren im Allgemeinen den Wasserhaushalt kontinuierlich, die ereignisbasierten simulieren dagegen das Niederschlag- Abfluss-Verhalten für einzelne Ereignisse oder Serien von Ereignissen in hoher zeitlicher Auflösung. Problematisch ist hierbei die Festlegung der richtigen Anfangsbedingungen, wie z. B. Bodenfeuchte, Speicherfüllung, Basisabfluss und Schneehöhe, da diese entscheidenden Einfluss auf die Reaktion des Gebietes haben. Daraus folgt, dass beim Ansatz eines Bemessungsniederschlags mit einem bestimmten Wiederkehrintervall bei unterschiedlichen Randbedingungen und somit unterschiedlicher hydrologischer Vorgeschichte Abflüsse mit unterschiedlichen Wiederkehrintervallen erzeugt werden. Die Auswirkungen unter- 60

73 3.3 Ermittlung des Bemessungshochwassers über Niederschlag-Abfluss Modellierung schiedlicher Anfangs- und Randbedingungen auf die resultierende Ganglinie müssen daher im Einzelnen untersucht werden. Die beiden Modelltypen werden häufig gekoppelt, indem ein kontinuierliches Modell den Wasserhaushalt mit einem größeren Zeitschritt (z. B. Tage) modelliert und die Modellzustände, wie z. B. Speicherfüllungen, bei Beginn des Hochwasserereignisses als Anfangsbedingungen für ein ereignisbasiertes Niederschlag-Abfluss-Model übernommen werden. Das Hochwasserereignis wird dann mit dem ereignisbasierten Modell in einer höheren zeitlichen Auflösung (z. B. Stunde) mit realistischen Anfangsbedingungen modelliert. Aufgrund der hohen Rechnerleistungen ist es heutzutage bei einigen Modellen möglich, kontinuierliche Langzeitsimulationen in hoher zeitlicher Auflösung durchzuführen. Für die Ermittlung von Bemessungsganglinien können bei kontinuierlichen Modellen gemessene oder stochastisch generierte Niederschlagsreihen und bei ereignisbasierten Modellen statistische Bemessungsniederschläge oder gemessene bzw. stochastisch generierte Niederschlagsereignisse verwendet werden. Eigenschaften der Niederschlagsbelastung wie z. B. Dauer, Intensitätsverteilung, Anteil der überregneten Fläche bzw. der ungleichmäßigen Überregnung und Zugrichtung des Niederschlagsgebiets haben einen großen Einfluss auf die Form und den Scheitelwert der resultierenden Bemessungsganglinie. Bei ereignisbasierten Modellen mit Bemessungsniederschlägen ist es daher erforderlich, diese Eigenschaften zu variieren und die Ergebnisse zu vergleichen. Insbesondere bei großen Einzugsgebieten sollte auch eine ungleichmäßige Überregnung in Betracht gezogen und eine eventuell angesetzte Zugrichtung des Niederschlagsfelds aufgrund der vorherrschenden Gegebenheiten (z. B. bevorzugte Windrichtung) realistisch gewählt werden. Um eine mögliche Bemessungsganglinie der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, ist sicherzustellen, dass die Jährlichkeit des Niederschlags, der Abflussbeiwert und der Intensitätsverlauf des Niederschlags aufeinander abgestimmt sind. Eine Untersuchung zu dieser Problematik ist in Viglione et al. (2009) beschrieben Bemessungsniederschlagshöhen für die ereignisbasierte N-A-Modellierung Für die ereignisbasierte Simulation von Hochwasserabflüssen, die aus Starkniederschlägen entstehen, wird die Niederschlagshöhe eines Bemessungsniederschlags der Dauer D und dem statistischen Wiederkehrintervall T benötigt. Diese können auf folgenden Wegen ermittelt werden: - Regionalisierte Starkregen (z. B. KOSTRA Koordinierte Starkregenregionalisierungen für Deutschland, Regenreihe nach Reinhold), - statistische Auswertung von örtlich gemessenen Niederschlägen. Für die statistische Auswertung von örtlich gemessenen Niederschlägen nach Wiederkehrzeit und Dauer sind in DVWK (1985; 1991b) Empfehlungen gegeben. 61

74 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Aus den statistischen Auswertungen können Intensitäts-Dauer-Häufigkeitskurven 3 ermittelt werden. Aus diesen kann die Niederschlagsintensität für eine bestimmte Dauer D und ein bestimmtes statistisches Wiederkehrintervall T abgelesen werden. Niederschlagshöhe und -intensität sind abhängig von der Niederschlagsdauer und der Auftretenswahrscheinlichkeit. Mit steigender Niederschlagsdauer D steigt die Niederschlagshöhe und sinkt die Intensität. Die Niederschlagsdauer, die zum höchsten Abflussvolumen und/oder zum maximalen Abfluss führt, ist abhängig von Einzugsgebietsgröße, Einzugsgebietsform, Böden, Landnutzung, etc. Um die Niederschläge für den maximalen Scheitelwert und das maximale Volumen herauszufinden, ist es erforderlich, verschiedene Niederschlagsereignisse zu simulieren. Der maximale Scheitelabfluss entsteht im Allgemeinen dann, wenn die Niederschlagsdauer mindestens im Bereich der längsten Fließzeit im Einzugsgebiet liegt. KOSTRA-DWD 2000-Atlas: Starkniederschläge für Deutschland Lange Zeit bildeten in Deutschland neben der statistischen Auswertung von örtlich gemessenen Niederschlägen die in Reinhold (1940) veröffentlichten Regenspenden die Grundlage für die Ableitung von Bemessungsniederschlagshöhen mit einer bestimmten Dauer und Jährlichkeit. Da es inzwischen ein umfangreicheres Datenmaterial gibt, sollten diese Werte in der Hydrologie nicht mehr verwendet werden. Regionalisierte Bemessungsniederschlagshöhen können inzwischen dem von DWD veröffentlichten KOSTRA-DWD Atlas (DWD, 2005a; DWD, 2005b) entnommen werden. Im KOSTRA-DWD 2000-Atlas sind regionalisierte Karten der Starkniederschlagshöhen in Abhängigkeit von der Dauer D (18 Dauerstufen von 5 min bis 72 h) und der Jährlichkeit T (8 Jährlichkeiten zwischen 2 mal pro Jahr und 100 Jahren) für Rasterflächen von 71,5 km² dargestellt. Bei dem Bezugszeitraum wird zwischen einem Jahr (Januar bis Dezember), Sommerhalbjahr (Mai bis September) und Winterhalbjahr (Oktober bis April) unterschieden. Aufgrund der unterschiedlichen Stichprobenwahl können die Ergebnisse der berechneten Starkniederschlagshöhen für die Zeitspanne Sommer bzw. Winter höher ausfallen als die Auswertung für die Zeitspanne eines ganzen Jahres. Daher müssen die Werte für das gesamte Jahr mit den Sommer- und Winterwerten verglichen und in der Bemessung gegebenenfalls der höhere Wert verwendet werden. Die Niederschlagshöhen in der Kartendarstellung sind in Klassen unterteilt, wobei die Spannweite der Klassen von Dauerstufe zu Dauerstufe wechselt. Der jeweilige Klassenmittelwert des Rasterfelds liefert nicht immer den für den Standort optimalen Eingabewert. Lokale Besonderheiten und orographische Bedingungen im Umfeld des Standorts können bei der Wahl der Niederschlagshöhe innerhalb des durch die Klassengrenzen gegebenen Wertebereiches berücksichtigt werden. Die in den Karten dargestellten räumlichen Verteilungen der Starkniederschlagshöhen enthalten keine verdeckten Sicherheitszuschläge. Die 3 Im weiteren Verlauf dieser Arbeit auch als idf-kurve ( idf - intensity-duration-frequency curve) bezeichnet 62

75 3.3 Ermittlung des Bemessungshochwassers über Niederschlag-Abfluss Modellierung Festlegung der Bemessungsniederschlagshöhe sollte sich daher in der Regel an dem Wertebereich zwischen Klassenmittelwert und der jeweiligen Obergrenze der Klasse orientieren. Für die Belange der hydrologischen Praxis werden häufig Bemessungswerte geringerer Eintrittswahrscheinlichkeit als 1% benötigt. Mit dem Projekt PEN Praxisrelevante Extremwerte des Niederschlages (Stalmann et al., 2004) wurde ein Verfahren entwickelt, mit dem auf der Basis der KOSTRA-DWD 2000-Werte die Niederschlagswerte für Wiederkehrzeiten größer T = 100 a (z. B. T = 1000 a und T = a für die Bemessung von Talsperren) ermittelt werden kann. Die Werte werden mit der KOSTRA-Gleichung (Exponentialverteilung) extrapoliert. ( ) ( ) ( ) h D, T = u D + w D ln T (3.58) N Um Sicherheitsaspekte zu berücksichtigen, wurde die Verteilungsfunktion für diese Extrapolation steiler gewählt, indem für den Ortspunkt für T = 1 a der untere und für T = 100 a der obere Wert des Klassenbereichs verwendet wird. u ( D ) und w ( D ) in Gl ergeben sich somit zu ( ) w D ( ) ( ) u D = hn, untere Grenze D,1 a (3.59) (,100 a ) (,1 a) h D h D N, obere Grenze N, untere Grenze =. (3.60) ln100 In Abb ist die Extrapolation nach PEN für das KOSTRA-DWD 2000-Rasterfeld (Zeile 57, Spalte 66) dargestellt. Im Bereich von T = 1 a bis T = 100 a ist gleichzeitig die obere und untere Grenze der Klassenbereiche für das Rasterfeld eingetragen. Abb. 3.14: Extrapolation von Starkniederschlagshöhen für das Rasterfeld (Zeile 57, Spalte 66) nach PEN 63

76 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Aus KOSTRA können nur Punktniederschläge abgelesen werden. Bei der hydrologischen Bemessung sind aber letztendlich Gebietsniederschläge von Bedeutung. Gegenüber dem extremen Punktniederschlag nimmt die räumlich gemittelte Niederschlagshöhe eines betrachteten Extremereignisses mit zunehmender Fläche ab. Um diesem Effekt Rechnung zu tragen, wurden vielfach Abminderungskurven für die Umrechnung von Punktextremwerten auf die Fläche entwickelt. In Verworn (2008) sind z. B. Abminderungskurven für Deutschland dargestellt. Probable Maximum Precipitation PMP Bei einigen hydrologischen Bemessungen ist es erforderlich, als Bemessungshochwasser das vermutlich größte Hochwasser PMF ( Probable Maximum Flood ) anzusetzen. So wird in der neuen DIN (2004) gefordert, das verbleibende Risiko infolge Überschreitung von BHQ2, erforderlichenfalls unter Beachtung des vermutlich größten Hochwassers PMF, zu bewerten. In anderen Ländern, wie z. B. den USA, wird bei Talsperren mit hohem Gefährdungspotential das PMF als Bemessungshochwasser zu Grunde gelegt. Nach Definition des U.S. Bureau of Reclamation repräsentiert das PMF maximale Abflussbedingungen, die aus einer Kombination maximal möglicher hydrologischer und meteorologischer Bedingungen in dem untersuchten Einzugsgebiet resultieren (Cudworth, 1989). Bei der Ermittlung des PMF über eine Niederschlag-Abfluss-Modellierung wird bei der Niederschlagsbelastung der maximal mögliche Niederschlag PMP ( possible maximum precipitation ) angesetzt. Der Niederschlag aus der Atmosphäre ist durch physikalische und meteorologische Randbedingungen, wie z. B. Taupunkt, Windgeschwindigkeit der einströmenden Luftmassen und Konvergenzbewegungen in der Schauerzelle (Niederschlagsmechanismus) begrenzt. Nach der American Meteorological Society ist der PMP als Theoretisch größte Niederschlagshöhe einer gegebenen Dauer, die für ein bestimmtes Einzugsgebiet in einer bestimmten geographischen Region zu einer bestimmten Jahreszeit physikalisch möglich ist definiert. Über eine Maximierung der physikalischen Randbedingungen kann der PMP ermittelt werden. Bezieht man diesen Punktwert auf ein Einzugsgebiet, ergeben sich ab einer bestimmten Größenordnung gegenüber dem Punktwert reduzierte Werte, die als maximaler Gebietsniederschlag (MGN) bezeichnet werden. Mögliche Definitionen und Berechnungsansätze zum PMP und MGN werden zum Beispiel in DVWK-Mitteilungen 29 (1997b), DVWK- Schriften 62 (1983), DVWK-Schriften 97 (1991b), DVWK-Schriften 124 (1999a), Ostrowski et al. (1999) und WMO (1986) gegeben. In DVWK-Mitteilungen 29 (1997b) werden für Deutschland maximierte Gebietsniederschläge für vier Jahreszeiten, acht Dauerstufen (0,5 bis 72 h) und vier Gebietsgrößen (25, 100, 500, 1000 km²) angegeben. Die Werte der Karten weisen allerdings große Differenzen mit lokalen Untersuchungen unter entsprechender Berücksichtigung der orographischen Verhältnisse auf. 64

77 3.3 Ermittlung des Bemessungshochwassers über Niederschlag-Abfluss Modellierung Niederschlagsdauer/-intensität Für den Verlauf der Abflussganglinie ist der zeitliche Verlauf des effektiven Niederschlags entscheidend, so dass bei der Wahl des Intensitätsverlaufes auf jeden Fall der Abflussbildungsansatz berücksichtigt werden sollte. Wird der Intensitätsverlauf und die Niederschlagsdauer variiert, kann bei der Simulation der höchste Scheitelwert bzw. das größte Volumen der Abflusskurve gefunden werden. Bei der Annahme von Modellregen ist darauf zu achten, dass die Überschreitungswahrscheinlichkeit der einzelnen verwendeten hintereinander geschalteten Blockregen die Überschreitungswahrscheinlichkeit des Gesamtregens nicht unterschreitet. Bei der zeitlichen Verteilung des Niederschlags ist keine besonders häufig auftretende Verteilung nachzuweisen. In DVWK-Schriften 124 (1999b) werden Intensitätsverläufe für Modellregen vorgeschlagen. Niederschläge können stärkere Intensitäten zu Beginn (anfangbetonter Verlauf), am Ende (endbetonter Verlauf), in der Mitte (mittenbetonter Verlauf und DVWK-Verteilung) oder nahezu gleichmäßige Intensitäten (Blockregen) über das gesamte Ereignis aufweisen. Bei der DVWK-Verteilung entfallen 50% des Niederschlags in die Zeit zwischen 30% und 50% der Niederschlagsdauer. Im Allgemeinen liefern endbetonte Intensitätsverläufe den höchsten Scheitelwert. Bei Niederschlagsereignissen mit einer größeren Dauer D kann es dazu kommen, dass die DVWK-Verteilung aufgrund des speziellen Verlaufes der Intensitätsverteilung die höchsten Scheitelwerte liefert. In Abb sind die Summenlinien möglicher Intensitätsverläufe dargestellt. Abb. 3.15: Summenlinien verschiedener Intensitätsverläufe von Bemessungsniederschlägen der Gesamtdauer D und der Gesamtniederschlagshöhe h N Weitere Ansätze für die Intensitätsverläufe von Bemessungsniederschlägen sind z. B. die Alternating Block Method, die Modellregen nach Euler Typ I und II (DWA, 2006) sowie die von Huff (1967) entwickelten Huff-Kurven. Modelle für die stochastische Modellierung des Intensitätsverlaufs von Niederschlägen durch die Auswertung von gemessenen Niederschlagsdaten sind z. B. in Acreman (1990), 65

78 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Cheng et al. (2001), Garcia-Guzman & Aranda-Oliver (1993), Koutsoyiannis & Foufoula- Georgiou (1993) und Woolhiser & Osborn (1985) beschrieben. Die meisten dieser Modelle beschreiben die stochastischen Abhängigkeiten im Intensitätsverlauf von Niederschlägen über Markov- oder Gauß-Markov-Prozesse. Alternating Block Method Mit der Alternating Block Method kann der Intensitätsverlauf eines Bemessungsniederschlags einfach aus der Intensität-Dauer-Häufigkeitskurve bestimmt werden. Bei dieser Methode werden bei einem Niederschlagsereignis der Dauer D = n t und dem statistischen Wiederkehrintervall T die Niederschlagshöhen für n aufeinander folgende Zeitintervalle der Dauer t ermittelt. Aus der idf-kurve werden die Niederschlagshöhen für Niederschläge der Dauer t, 2 t, 3 t n t und dem Wiederkehrintervall T ermittelt. Das Niederschlagsereignis der Dauer D wird so gebildet, dass es alle vorher ermittelten Bemessungsniederschläge der Dauer t bis n t und dem Wiederkehrintervall T beinhaltet. In Abb ist ein Niederschlagsereignis der Dauer D = 12 h und dem Wiederkehrintervall T = 500 a mit einer Intensitätsverteilung nach der Alternating Block Method dargestellt. Die Intensität-Dauer-Häufigkeitskurve wurde aus dem KOSTRA-Atlas entnommen. Die Niederschlagssumme des Zeitintervalls 6 entspricht der Niederschlagshöhe des Bemessungsniederschlags h N ( D = 1 h, T = 500 a ) der Dauer 1 h und dem Wiederkehrintervall 500 a, die Summe der Niederschlagshöhen der Zeitintervalle 6 und 7 entspricht h N ( 2 h, 500 a ), die Summe der Niederschlagshöhen der Zeitintervalle 5, 6 und 7 entspricht h N ( 3 h, 500 a ), und die Summe der Niederschlagshöhen der Zeitintervalle 1 bis 12 entspricht h N ( 12 h, 500 a ). Abb. 3.16: Niederschlagsereignis der Dauer D = 12 h mit dem statistischen Wiederkehrintervall T = 500 a für das KOSTRA-Rasterfeld (Zeile 57, Spalte 66). Intensitätsverlauf nach der Alternating Block Method. 66

79 3.3 Ermittlung des Bemessungshochwassers über Niederschlag-Abfluss Modellierung Huff-Kurven Huff (1967) analysierte in seiner Studie die zeitliche Verteilung von 261 Starkniederschlagsereignissen an einer Niederschlagsstation. Mit dieser Datengrundlage wurde eine Methode entwickelt, um die zeitliche Intensitätsverteilung von Niederschlagsereignissen zu charakterisieren. Die dimensionslosen Summenlinien des Anteils der kumulierten Niederschlagsmenge vom Gesamtniederschlag in Abhängigkeit vom Anteil an der Gesamtregendauer werden in vier Gruppen eingeteilt, je nachdem, in welchem Quartil der größte Niederschlagsanteil gefallen ist. Für jedes Quartil werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen berechnet. Die 90%-Wahrscheinlichkeitsverteilung der Niederschlagsereignisse mit dem größten Niederschlagsanteil im ersten Quartil kann z. B. als die zeitliche Niederschlagsverteilung interpretiert werden, die in 10% oder weniger der Intensitätsverteilungen der Niederschlagsereignisse im ersten Quartil auftritt. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden als Huff-Kurven bezeichnet. Die Huff-Kurven können für die zeitliche Verteilung von Bemessungsniederschlägen verwendet werden (siehe z.b. Muzik, 1993). In Abb sind die Huff-Kurven (ermittelt aus 971 Niederschlagsereignissen) exemplarisch für die Miriam-Niederschlagsstation Zinnwald-Georgenfeld in Sachsen ermittelt worden. Abb. 3.17: Huff-Kurven für die Niederschläge mit dem größtem Niederschlagsanteil im a) ersten Quartil, b) zweiten Quartil, c) dritten Quartil und d) vierten Quartil bezogen auf die Niederschlagsstation Zinnwald-Georgenfeld 67

80 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Stochastische Generierung von synthetischen Niederschlagswerten für die kontinuierliche N-A-Modellierung Neben Bemessungsniederschlägen können Niederschlagsreihen bzw. Niederschlagsereignisse für die deterministische Ermittlung von Hochwasserbemessungsabflüssen auch stochastisch erzeugt werden. Für einen Großteil der Bemessungsaufgaben ist es sinnvoll lange zeitlich hoch aufgelöste Niederschläge zu verwenden, da daraus lange kontinuierliche Abflusszeitreihen ermittelt werden können. Bei der Bemessung von Hochwasserschutzanlagen in großen Flussgebieten ist es zusätzlich erforderlich, räumlich verteilte Niederschläge zu erhalten, da hier die räumliche Verteilung des Niederschlags einen großen Einfluss bei der Hochwassergenese hat. Daher ist es bei der Betrachtung von Flussgebieten nicht länger ratsam, flächenhaft gleichmäßig verteilte Bemessungsniederschläge anzusetzen, sondern stochastische Niederschlagsgeneratoren zu verwenden, die räumlich verteilte Niederschläge erzeugen können. Mehrere verschiedene Modellansätze wurden entwickelt, um Niederschlagsreihen stochastisch zu modellieren. Alternating-Renewal-Modelle ARM (Grace & Eagleson, 1966; Haberlandt, 1998) modellieren den Niederschlag als eine Reihe sich abwechselnder (alternating) Nass- und Trockenzustände, wobei die Dauer der beiden Zustände voneinander unabhängig ist (renewal). Den Nasszuständen werden im Anschluss Niederschlagsmengen zugeordnet. Über eine Annahme des zeitlichen Verlaufs der Niederschlagsmenge können zeitlich hoch aufgelöste Niederschlagsreihen an einzelnen Stationen generiert werden. Diese Modelle sind normalerweise jedoch nicht in der Lage, räumlich verteilten Niederschlag zu erzeugen. Mit Punktprozessmodellen wie z. B. Neyman-Scott- oder Bartlett-Lewis Rechteckimpulsmodellen (Onof et al., 2000; Rodriguez-Iturbe et al., 1987), die den Beginn von Niederschlagsereignissen und eine zufällige Anzahl von Niederschlagszellen mit jeweils zugehörigen Dauern und Intensitäten innerhalb der Niederschlagsereignisse stochastisch modellieren, können ebenfalls zeitlich hoch aufgelöste Niederschlagsreihen erhalten werden. Der zeitliche Beginn der Niederschlagszellen innerhalb des Ereignisses wird beim Neyman- Scott-Modell relativ zum Beginn des Niederschlagsereignisses und beim Bartlett-Lewis- Prozess relativ zum Beginn der vorherigen Zelle generiert. Die Modelle können erweitert werden, um räumlich und zeitlich verteilte Niederschläge zu erhalten (Cowpertwait, 2006). Andere Modelle für die stochastische Modellierung von Niederschlagsreihen verwenden verschiedene Disaggregierungsverfahren (Koutsoyiannis et al., 2003) oder Resampling Verfahren (Bardossy, 1998; Lall & Sharma, 1996). In Haberlandt et al. (2008) wird ein hybrides Generierungsverfahren verwendet, bei dem ein Alternating-Renewal-Modell mit einem Resampling-Verfahren verknüpft wird, um zeitlich hoch aufgelöste und räumlich verteilte Niederschläge zu erzeugen. In Schumann (2008) wird ein Verfahren vorgestellt, bei dem im ersten Schritt räumlich verteilte Tagesniederschläge nach Hundecha et al. (2008) generiert werden, die im zweiten Schritt mit den Ansätzen von Koutsoyiannis (2001) und Koutsoyiannis et al. (2003) in Stundenniederschläge disaggregiert werden. 68

81 3.4 Fazit In dem Bericht des Dam Safety Office (2003) ist eine Literaturstudie zu Methoden für die stochastische Modellierung von Niederschlägen enthalten. 3.4 Fazit Bei der ausschließlich statistischen Auswertung von beobachteten Hochwasserabflüssen können sich einige Probleme ergeben. Wie bereits beschrieben, ist eine beobachtete Reihe meist nur eine kleine Stichprobe der Grundgesamtheit, so dass die Aussagekraft der an die Messdaten angepassten Verteilungsfunktion sehr stark vom Stichprobenumfang abhängt. So kann es zum Beispiel vorkommen, dass große Ereignisse in einer Stichprobe gar nicht erfasst sind oder dass in kleinen Stichproben große Ereignisse enthalten sind und deren Wahrscheinlichkeit somit unterschätzt wird. Auch die Wahl der Verteilungsfunktion ist subjektiv und die Extrapolation unterschiedlicher Verteilungsfunktionen kann zu stark unterschiedlichen Ergebnissen führen. Um Hochwasserwahrscheinlichkeiten zuverlässiger bestimmen zu können, sollte in jedem Fall die Informationsbasis möglichst breit angelegt werden. Bei der Hochwasserbemessung von Hochwasserrückhaltesystemen in größeren Flussgebieten und bei komplexen Systemen, die z. B. miteinander interagierende Stauanlagen, Flutkanäle, Überleitungen, Pumpwerke, etc. beinhalten, gibt es zur Anwendung von Niederschlag-Abfluss Modellen keine Alternative. Bei der Ermittlung von extremen Abflüssen mit N-A-Modellen ergeben sich aber besondere Probleme und Unsicherheiten: - Extrapolation der Niederschläge mit den daraus entstehenden Unsicherheiten. - Die Modelle sind anhand von kleinen und mittleren Hochwasserereignissen kalibriert, ob die ermittelten Parametersätze auch für Extremereignisse zutreffend sind, kann nicht überprüft werden. - Modellannahmen, die unter Umständen bei Extremereignissen nicht mehr korrekt sind. So können zum Beispiel lineare Annahmen im Modell wie Einheitsganglinien und Retentionskonstanten wegen der nicht-linearen Abflussverhältnisse bei extremen Hochwassern nicht mehr zutreffend sein. Aus diesen Gründen müssen Ergebnisse aus N-A-Modellierungen anschließend immer auf Plausibilität überprüft werden. Die mit dem Modell berechneten Hochwasserabflüsse einer vorgegebenen Häufigkeit sollten auf jeden Fall mit statistischen Auswertungen von Pegelbeobachtungen verglichen werden. Aufbauend auf einigen in diesem Kapitel vorgestellten existierenden Methoden werden in Kapitel 4 und 5 zwei neu entwickelte Verfahren zur Hochwassermerkmalssimulation dargestellt, bei denen über synthetische Ganglinienfunktionen Bemessungsereignisse für die Bemessung von Talsperren ermittelt werden. Bei diesen Verfahren werden mehrgipflige 69

82 3 Überblick über bestehende Verfahren zur Ermittlung von Bemessungshochwasserereignissen Ganglinienformen explizit in der Bemessung berücksichtigt. Bei dem Verfahren in Kapitel 4 liegt der Fokus auf der Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinien nach DIN 19700, bei dem Verfahren in Kapitel 5 auf der Ermittlung von Ganglinien für die stochastische Bemessung von Talsperren. In Kapitel 6 wird die stochastisch-deterministische Bemessung von Einzelanlagen und Hochwasserschutzsystemen vorgestellt. Die Bemessungsereignisse werden über eine stochastische Niederschlagsgenerierung in Verbindung mit einem Niederschlag-Abfluss- Modell ermittelt. Über die probabilistische Bewertung dieser Ereignisse kann die Hochwasserschutzwirkung von Anlagen ermittelt werden. 70

83 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation In diesem Kapitel wird ein Verfahren für die Hochwassermerkmalssimulation zur Abschätzung von inhaltsmaximierenden Ganglinien nach DIN von Talsperren vorgestellt. Wie in Kapitel 2.2 beschrieben, wird in der neuen DIN (2004) gefordert, die Hochwassersicherheit mit Ereignissen zu überprüfen, die aufgrund der Form unter Berücksichtigung der anlagenspezifischen Retentionsbedingungen eine Stauinhaltsmaximierung bewirken, auch wenn die Jährlichkeit des Scheitels kleiner ist, als der in der DIN für den entsprechenden Bemessungsfall empfohlene Wert. Des Weiteren sind nach der neuen DIN bei der Bemessung der Hochwassersicherheit mehrgipflige Ganglinien zu berücksichtigen. Bei dem hier vorgestellten Verfahren werden mehrgipflige Ganglinien über die analytische Ganglinienfunktion explizit bei der Bemessung berücksichtigt. Bei der Bemessung der Hochwassersicherheit von Talsperren ist es wichtig, alle Informationen im betreffenden Gebiet und Verfahren in der Bemessung einzubeziehen, um eine Über- oder Unterdimensionierung der Anlage zu vermeiden. Daher werden Bemessungsniederschlagshöhen und Einzugsgebietseigenschaften bei der Generierung der Ganglinien berücksichtigt. Die Anwendung des Verfahrens wird für die Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock in Sachsen beispielhaft dargestellt. 4.1 Beschreibung von mehrgipfligen Ganglinien Die neue DIN (2004) weist auf die Problematik der Betrachtung mehrgipfliger Ganglinien hin: Muss mit mehrgipfligen Hochwasserwellen gerechnet werden, ist dies bei der Ermittlung der Bemessungshochwasserabflüsse gebührend zu berücksichtigen. Erfahrungen aus Hochwasserereignissen in der Vergangenheit, wie z. B. dem Elbe- Hochwasserereignis 2002 in Sachsen haben gezeigt, dass mehrgipflige Ganglinien zu einer verminderten Hochwasserschutzwirkung von Talsperren führen können, da der erste Scheitel den gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum auffüllt und der zweite Scheitel dann zur Überlastung der Talsperre führt. Mehrgipflige Ganglinien können durch die zeitliche Intensitätsverteilung des Niederschlags oder durch die Überlagerung von Abflüssen aus verschiedenen Teileinzugsgebieten entstehen. Im Falle des Augusthochwassers 2002 an der 71

84 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation Elbe, bei dem in vielen Einzugsgebieten zwei- oder dreigipflige Ereignisse auftraten, wurden z. B. die stratiformen Niederschläge der Vb-Wetterlage mit den Niederschlägen aus eingelagerten Gewitterzellen und den durch Stau am Erzgebirge erzeugten konvektiven Niederschlägen überlagert. Aus den Erfahrungen des Augusthochwassers folgt, dass in kleinen Einzugsgebieten insbesondere bei sommerlichen Starkregen mit hohem konvektiven Niederschlagsanteil mit mehrgipfligen Ganglinien gerechnet werden muss. Um auch zweigipflige Ganglinien bei der Hochwassermerkmalssimulation berücksichtigen zu können, wurden in dieser Arbeit zwei Ansätze zur Beschreibung von zweigipfligen Ganglinien entwickelt. Da für die Beschreibung von mehrgipfligen Ganglinien durch eine einzige Funktion die Parameter nicht mehr den Hochwassereigenschaften der Ganglinie entsprechen würde, werden hier mehrgipflige Ganglinien durch die Überlagerung bzw. Verschneidung von Einzelwellen abgebildet. In Grünewald (1977) ist hierfür ein Ansatz zur Generierung von mehrgipfligen Ganglinien mit Tageswerten zu finden. Dabei wird ein komplexes Hochwasserereignis durch die Überlagerung mehrerer eingipfliger Ganglinien abgebildet (siehe Abb. 4.1). Die mehrgipflige Welle wird durch die Merkmale Basisabfluss QG und Abstand ABST(I) der Einzelwellen untereinander und durch die Merkmale der Einzelwellen Hochwasserscheitel QS(I), Scheiteleintrittszeiten TS(I) und charakteristische Formverlauf FORM beschrieben. Durchfluss Q ABST(1) ABST(2) QS(2) QS(1) QS(3) QG TS(1) TS(2) TS(3) Zeit t Abb. 4.1: Merkmale eines mehrgipfligen Hochwasserereignisses (nach Grünewald, 1977). Durch die Verknüpfung des Ansatzes nach Grünewald (1977) mit der Ganglinienfunktion nach Kozeny (Gl. 3.44) können auch für kleinere Zeitschritte mehrgipflige Ganglinien beschrieben werden. Um die Zahl der erforderlichen Parameter möglichst klein zu halten, wird in dieser Arbeit nur die Erzeugung von zweigipfligen Ganglinien vorgestellt, wobei sich die beiden Verfahren prinzipiell auch für Ganglinien mit mehr als zwei Gipfeln anwenden lassen. Werden nur zweigipflige Ganglinien betrachtet, ist neben den Parametern zur Beschreibung der Einzelwellen (Scheitelabfluss Q SD, Scheitelanstiegszeit t A, Formbeiwert m ) zusätzlich nur noch der zeitliche Abstand der beiden Scheitel der Einzelwellen erforderlich (siehe Abb. 4.2). Als Welle I wird immer die Welle bezeichnet, die bei dem Zeitpunkt t = 0 beginnt. Der Abstand d I-II zwischen den beiden Gipfeln der beiden Einzelwellen kann auch negativ 72

85 4.1 Beschreibung von mehrgipfligen Ganglinien sein, wenn der Gipfel der zweiten Welle vor dem Gipfel der ersten Welle auftritt. Der Index I steht somit für die erste Kozeny-Ganglinie und der Index II für die zweite Kozeny- Ganglinie. Der Direktabfluss Q D ( t ) der zweigipfligen Ganglinie kann dann aus diesen beiden Einzelwellen ermittelt werden, wobei zwei verschiedene Methoden zur Verfügung stehen: a) Überlagerung der beiden Wellen, der Abfluss ergibt sich aus der Summe der Einzelwellen (siehe Abb. 4.2 a)). b) Verschneidung der beiden Wellen, der Abfluss der zweigipfligen Welle entspricht dem jeweiligen Maximum der beiden Einzelwellen (siehe Abb. 4.2 b)). Der Gesamtabfluss Q Z ( t ) ergibt sich dann mit der Annahme eines Basisabflusses Q B ( t ) zu ( ) ( ) ( ) Q t = Q t + Q t. (4.1) Z D B Abb. 4.2: Beschreibung einer zweigipfligen Ganglinie durch a) das Überlagern oder b) das Verschneiden von zwei Kozeny-Funktionen. Für die globale Beschreibung der zweigipfligen Ganglinie sind die Zeitpunkte t 1 bis zum Gipfel der ersten Welle, t 2 bis zu dem Beginn der zweiten Welle und t 3 bis zum Gipfel der zweiten Welle von Bedeutung. Wird die Ereignisdauer t 4 des Hochwasserereignisses benötigt, ergeben sich mit der Kozeny-Funktion Probleme, da sie erst im Unendlichen den Wert Null erreicht. Sackl (1994) legt deshalb den Abbruchpunkt für das Hochwasserereignis bei 73

86 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation dem Wert Q D ( t max ) = 0,0025 Q SD fest. Überträgt man diesen Abbruchpunkt auf den zweigipfligen Ansatz, liegt der Endpunkt der Gesamtganglinie bei dem späteren Abbruchszeitpunkt der beiden Einzelwellen. Die Zeitpunkte t 1, t 2 und t 3 können aus den Parametern der Einzelwellen und dem Abstand der beiden Gipfel ermittelt werden: 2 I t1 t A = (4.2) t = t + d t (4.3) 3 I II A I II A t = t + d. (4.4) I A I II Der Abfluss der ersten Welle ergibt sich nach Gl zu mi I I t QD ( t) = QSD e I ta t mi 1 I t A (4.5) und der Abfluss der zweiten Welle durch den späteren Beginn t 2 zu Q II D ( t) [ t ] 0 ; t 0, 2 m I t t 2 = mi 1 II II t t. (4.6) 2 t A QSD e ; t [ t2, II ] ta Beschreibung von zweigipfligen Ganglinien durch die Überlagerung von zwei Einzelwellen Wird die Ganglinie durch das Überlagern der beiden Einzelwellen gebildet, ergibt sich der Abfluss der zweigipfligen Direktabflussganglinie zu I II ( ) ( ) ( ) Q t = Q t + Q t. (4.7) D D D Die Fülle der zweigipfligen Ganglinie entspricht der Summe aus den beiden Füllen der Einzelwellen. Durch die Überlagerung kann der resultierende Scheitelwert Q SD der zweigipfligen Ganglinie nicht einfach aus den Werten der beiden Einzelwellen abgeleitet werden, da auch die Eintrittszeit des Scheitels t A der zweigipfligen Welle durch die Überlagerung nicht mehr zwangsläufig mit der Eintrittszeit eines der Scheitel der beiden Einzelwellen übereinstimmen muss. Die Werte müssen somit über numerische Methoden ermittelt werden. Da der Scheitelwert der zweigipfligen Welle aber ungefähr an der Stelle von einem der beiden Scheitel der Einzelwellen liegt, kann der Scheitelwert Q SD näherungsweise zu ( ( 1) ( 3 )) Q = Max Q t, Q t (4.8) SD D D berechnet werden. Die zugehörige Zeit t 1 oder t 3 entspricht dann näherungsweise der Anstiegszeit der zweigipfligen Welle. 74

87 4.1 Beschreibung von mehrgipfligen Ganglinien Die aus den beiden Einzelwellen überlagerte Welle muss nicht zwangsläufig zweigipflig sein, es kann sich bei einer entsprechenden Konstellation der Parameter auch eine eingipflige Ganglinie ergeben. Das Gesamtabflussvolumen V der zweigipfligen Ganglinie kann unter Annahme der Hochwasserfülle V D von t4 I II ( ) ( ) ( ) ( ) V = Q t dt Q t dt = Q t dt + Q t dt D D D D mi t mii t m 1 I mii 1 I t t1 II t t3 t2 = Q e dt Q e dt SD + SD t 0 1 t 0 3 t2 I m Γ ( m + 1) Γ ( m + 1) I = Q e t + Q e t t SD (4.9) über Gleichung 4.10 ermittelt werden. ( ) I II mii II 1 m 1 SD 3 2 I + mii + 1 mi mii t4 t4 t4 t4 ( ) ( ) ( ) ( ). (4.10) V = Q t dt = Q t dt + Q t dt = V + Q t dt D B D B Eine weitere charakteristische Größe der Ganglinie ist die Schwerpunktzeit t S, die den zeitlichen Abstand des Schwerpunkts vom Beginn der Welle beschreibt: t S ( m 1) m ( m 1) m + 1 Γ Γ + t Q e t + t + t Q e t = I m Γ ( m 1) ( 1) I I + II m Γ m II II + Q e t1 + Q e 1 ( t3 t2 ) SD mi + SD mii + 1 mi mii I I I mi I II II II mii II II A SD 1 mi A SD A mii + 1 mi mi mii mii In Abb. 4.3 sind die Eigenschaften der zweigipfligen Ganglinie dargestellt. D. (4.11) Abb. 4.3: Eigenschaften der zweigipfligen Ganglinie 75

88 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation Beschreibung von zweigipfligen Ganglinien durch das Verschneiden von zwei Einzelwellen Wird die Ganglinie durch das Verschneiden der beiden Einzelwellen gebildet, ergibt sich der Direktabfluss der zweigipfligen Direktabflussganglinie zu ( ) I II ( ) Max ( ), ( ) Q t = Q t Q t (4.12) D D D Ist der Abfluss der kleineren Welle immer kleiner als der Abfluss der Welle mit dem größeren Scheitel, ergibt sich als resultierende Welle eine eingipflige Welle, die dem Verlauf der Welle mit dem größeren Scheitel entspricht. Der Scheitelwert Q SD der verschnittenen Ganglinie entspricht dem größeren der beiden Scheitelwerte der Einzelwellen: I II ( ) Q = Max Q, Q, (4.13) SD SD SD mit dem entsprechenden Zeitpunkt t 1 oder t 3 als Scheitelanstiegszeit der zweigipfligen Welle. Durch das Verschneiden der beiden Wellen kann die Direktabflussfülle V D und die Schwerpunktzeit t S der zweigipfligen Ganglinie nicht mehr so einfach aus den Ganglinienparametern, wie bei der Überlagerung der beiden Wellen, ermittelt werden. Für deren Ermittlung sind numerische Methoden erforderlich. 4.2 Verfahren für die Generierung von mehrgipfligen Ganglinien Die Hochwassersicherheit der Talsperre wird mit allen möglichen Ganglinienformen überprüft und die Ganglinie, die zur größten resultierenden Wasserspiegelhöhe führt, als inhaltsmaximierende Ganglinie definiert. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der inhaltsmaximierenden Ganglinie kann das Verfahren allerdings nicht liefern. Bei der Hochwasserbemessung von Talsperren mit anderen Verfahren, wie z. B. über die Niederschlag-Abfluss-Modellierung anhand von Bemessungsniederschlägen werden aber e- benso eine Vielzahl von Annahmen getroffen, ohne dass im Endeffekt eine gültige Aussage über die tatsächliche Auftretenswahrscheinlichkeit der bei der Bemessung verwendeten Bemessungsganglinie getroffen werden kann. Des Weiteren werden nur mehrgipflige Ganglinien erzeugt, die sich aus der unterschiedlichen Intensitätsverteilung des Niederschlages ergeben. Andere Ursachen, wie z. B. die Überlagerung von Hochwasserganglinien von Teileinzugsgebieten aufgrund unterschiedlicher Fließzeiten, werden nicht berücksichtigt. Die Generierung der Ganglinien erfolgt in Abhängigkeit von Bemessungsniederschlagshöhen h N ( D,T ) der Dauer D und der Jährlichkeit T. Den Ganglinien wird unabhängig von der Größe des Scheitelwertes die gleiche Jährlichkeit T wie beim angesetzten Bemessungsniederschlag zugeordnet. Für die Bemessung einer Talsperre der Talsperrenklasse 1 nach DIN (2004) für den Hochwasserbemessungsfall 1 werden also bei der Ermittlung der Ganglinien Bemessungsniederschlagshöhen der Jährlichkeit 1000 a einbezogen. 76

89 4.2 Verfahren für die Generierung von mehrgipfligen Ganglinien Bei der Dauer D der Bemessungsniederschläge werden alle Niederschlagsstufen berücksichtigt. Über die in Kapitel vorgestellte Ganglinienfunktion werden durch die Überlagerung von zwei Einzelwellen zweigipflige Ganglinien generiert. Für die, über die Wahl der Jährlichkeit des Bemessungsniederschlages festgelegte Jährlichkeit T wird die Ganglinienform der zweigipfligen Ganglinie variiert. Die Fülle der Ganglinie nach Gl. 4.9 wird mit dem abflusswirksamen Anteil des Bemessungsniederschlags der Dauer D und der Jährlichkeit T mit der Niederschlagshöhe h N ( D,T ) gleichgesetzt. Über die Annahme eines Abflussbeiwerts ψ und über die Einzugsgebietsgröße A E ergibt sich das Direktabflussvolumen der mehrgipfligen Ganglinie dann zu t4 ( ) (, ) V = Q t dt = h D T A ψ. (4.14) D D N E 0 Über die Variation der Niederschlagsdauer D für eine vorgegebene Jährlichkeit T und die Variation der Parameter der zweigipfligen Ganglinie kann auf diese Weise eine große Bandbreite von realitätsnahen Bemessungsereignissen erzeugt werden. Die Niederschlagshöhen der Bemessungsniederschläge mit der Dauer D und Jährlichkeit T können aus Intensitäts-Dauer-Häufigkeitskurven ermittelt werden. Da sich in dieser Arbeit die Generierung der mehrgipfligen Ganglinien auf den zweigipfligen Fall beschränkt, wird die effektive Niederschlagshöhe in zwei Anteile aufgeteilt, wobei der erste effektive Niederschlagsanteil dem Direktabflussvolumen der ersten Welle und der zweite dem Direktabflussvolumen der zweiten Welle entspricht. Bei der Wahl der Formparameter m I und m II der beiden Kozeny-Funktionen, aus denen die Doppelwelle zusammengesetzt wird, sind die physikalischen Zusammenhänge bei der Hochwassergenese von mehrgipfligen Ganglinien zu berücksichtigen. So fällt z. B. der Niederschlag, der zum Entstehen der zweiten Welle führt, auf einen Boden mit höherer Feuchte als der Niederschlag, der zu der ersten Welle geführt hat. Betrachtet man den Einfluss des Formparameters m auf die Form der Kozeny-Funktion nach Abb. 3.11, so sieht man, dass die Kozeny-Ganglinie mit steigendem m-wert steiler wird. Aufgrund der höheren Bodenfeuchte und den gefüllten Retentionsräumen des Einzugsgebiets bei dem zum zweiten Gipfel führenden Niederschlagsereignis ist es nahe liegend, dass die zweite Welle steiler ist und damit einen größeren Formbeiwert m hat als die erste Welle. Die Ganglinienanalyse der Hochwasserereignisse im Zufluss der Wuppertalsperre in Kapitel 5.4 haben ergeben, dass die Kozeny-Funktion für die Spanne des Formbeiwerts m zwischen 1 und 8 realistische Ganglinienformen liefert. Nach Sackl (1994) liegen die Grenzen, bei denen die Kozeny-Funktion realistische Formen annimmt, zwischen 1 und 6. Der Formparameter m I der ersten Welle wird somit im Bereich zwischen 1 und 6 variiert. Aufgrund der höheren Abflussbereitschaft des Gebietes bei der zweiten Welle wird für den Formparameter m II ein Wert zwischen m I und 8 angenommen. Mit der weiteren Annahme, dass die zweite Welle aus dem konvektiven Ereignisanteil ent- 77

90 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation steht, soll der Wert der Scheitelanstiegszeit kleiner als die Scheitelanstiegszeit der ersten Welle sein. Um die Parameter der zu generierenden Ganglinien realitätsnah zu variieren, kann (bei fehlenden Ereignisanalysen) die Konzentrationszeit t C [h] nach der empirischen Formel nach Kirpich (1940) t L I 0,77 0,385 C = 0, 0663 (4.15) mit der Länge L [km] des längsten Fließwegs vom entferntesten Punkt des Einzugsgebiets zum Gebietsauslass und dem durchschnittlichen Gefälle I [/] dieses Fließwegs als Eigenschaft des Einzugsgebiets einbezogen werden. Weitere empirische Formeln für die Bestimmung der Konzentrationszeit in Abhängigkeit von Einzugsgebietseigenschaften sind z. B. in Chow et al. (1988) und Sackl (1994) zusammengestellt. Da die Konzentrationszeit nach Kirpich im Allgemeinen die tatsächliche Konzentrationszeit des Gebietes unterschätzt (McCuen & et al., 1984) und um die Retentionswirkung des Gebiets zu berücksichtigen, wird für beide Scheitelanstiegszeiten als unterer Wert die doppelte Konzentrationszeit t c definiert. Die zwei Niederschlagsanteile des Gesamtniederschlags der Niederschlagsdauer D ges und Jährlichkeit T ges mit der Niederschlagshöhe h N ( D ges, T ges ) werden in dem Verfahren als Einzelniederschlagsereignisse mit der Niederschlagsdauer D I, Jährlichkeit T I und zugehörigen Niederschlagshöhe h N ( D I,T I ) für den Einzelniederschlag, der dem ersten Niederschlagsanteil und der Niederschlagsdauer D II, der Jährlichkeit T II und der zugehörigen Niederschlagshöhe h N ( D II,T II ) für den Einzelniederschlag, der dem zweiten Niederschlagsanteil entspricht, betrachtet. Wie schon beschrieben, entsprechen die effektiven Niederschlagshöhen der beiden Einzelniederschläge, die sich zu dem Gesamtniederschlagsereignis überlagern, dem Direktabflussvolumen der beiden Einzelwellen, die sich zu der zweigipfligen Ganglinie überlagern. Unter der vereinfachten Annahme, dass die beiden gekoppelten Einzelniederschlagsereignisse unabhängig voneinander sind, darf das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten bzw. Jährlichkeiten der Einzelereignisse nicht größer als die Jährlichkeit des Gesamtniederschlagsereignisses sein: TI TII Tges. (4.16) Des Weiteren darf die Niederschlagssumme der beiden Einzelniederschlagsereignisse der Jährlichkeit T I und T II und der Niederschlagsdauer D I und D II die Gesamtniederschlagssumme der Jährlichkeit T ges und der Dauer D ges nicht überschreiten: h ( D, T ) + h ( D, T ) h ( D, T ). (4.17) N I I N II II N ges ges Wird für die Jährlichkeit des ersten Niederschlags T I ein kleinerer Wert als die Jährlichkeit des Gesamtniederschlagsereignisses T ges gewählt, kann unter Berücksichtigung der Gl und 4.17 die Jährlichkeit des zweiten Niederschlagsereignisses und damit die Niederschlagssumme berechnet werden. 78

91 4.2 Verfahren für die Generierung von mehrgipfligen Ganglinien Über die sich aus Gl und 4.14 ergebende Beziehung Q SD = (, ) h D T A ψ m N E m e ta mi ( 1) Γ + m+ 1 (4.18) können für die Kozeny-Funktion die Scheitelwerte Q I SD und Q II SD der beiden Einzelwellen aus den effektiven Niederschlagssummen, Scheitelanstiegszeiten und Formparametern berechnet werden. Um die Jährlichkeiten der Ereignisse nicht zu unterschätzen, wird für die Niederschlagsdauer D I und D II der beiden Einzelereignisse jeweils die Scheitelanstiegszeit der beiden Einzelscheitel ( t I A und t II A ) abzüglich der Konzentrationszeit t c des Gebiets angenommen. Der programmtechnische Ablauf für die Generierung der Parameter ist in Abb. 4.4 in einem Ablaufdiagramm dargestellt. Innerhalb der oben beschriebenen Randbedingungen werden die Parameter des Modells über eine Monte-Carlo-Simulation generiert und so eine große Zahl von unterschiedlichen Ganglinienformen gewonnen. Für die Verteilung der Parameter innerhalb der oben festgelegten Definitionsgrenzen wird eine Gleichverteilung angesetzt, aus der die Zufallszahlen generiert werden. Daher können den Ganglinien keine wirklichen Auftretenswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Durch die Randbedingungen und Begrenzungen der Parameter in Abhängigkeit vom angesetzten Niederschlagsereignis wird versucht, physikalisch unrealistische und unsinnige Ganglinien bei der Generierung zu vermeiden. Aus der Überlagerung der beiden generierten Einzelwellen muss nicht zwangsläufig eine zweigipflige Welle entstehen. Bei entsprechenden Parameterkombinationen können sich die beiden Ganglinien auch so überlagern, dass eine eingipflige Ganglinie entsteht. Der daraus entstehende Scheitelwert oder der bei einer resultierenden zweigipfligen Ganglinie höhere der beiden Gipfel, auf dessen Grundlage die Scheiteljährlichkeit des jeweiligen Ereignisses bestimmt wird, kann beim ersten Gipfel oder dem zweiten Gipfel der Welle liegen. Dessen Größe (die sich aus der Überlagerung beider Einzelwellen ergibt) und die zugehörige Anstiegszeit werden im Ergebnis der Monte-Carlo-Simulationen der Ganglinienparameter numerisch ermittelt. 79

92 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation N-Jährlichkeit T ges N-Dauer D ges Abflussbeiwert ψ Generiere m I : 1 m I 6 Generiere m II : m I m II 8 Generiere t I A: 2 t c t I A ( D ges + 2 t c ) Legende: m I, m II Q I SD, Q II SD t I A, t II A D I, D II, D ges T I, T II, T ges h N ( D, T ) t C t 2 t 3 Formparameter der Einzelwellen Scheitel der Einzelwellen Scheitelanstiegszeiten der Einzelwellen Niederschlagsdauer Jährlichkeit der Niederschläge Niederschlagshöhe Konzentrationszeit Zeitpunkt zum Beginn der zweiten Welle Zeitpunkt zum Gipfel der zweiten Welle Generiere t II A: 2 t c t II A t I A Generiere t 2 : 0 t 2 ( D ges + 2 t c - t II A) t 3 = t 2 + t II A Max( t 3, t I A ) > D ges? nein ja Generiere T I : 1< T I T ges D I = t I A - t c ; D II = t II A t (, ) (, ) hn ( DII, Tges TI ) hn Dges Tges hn DI TI hn ( DII, TII ) = Min Q I SD = f ( t I A, ψ, h N ( D I, T I ) ) Q II SD = f ( t II A, ψ, h N ( D II, T II ) ) Abb. 4.4: Ablaufdiagramm für die Generierung von zweigipfligen Ereignissen 80

93 4.3 Ermittlung von inhaltsmaximierenden Ganglinien für Talsperren in Sachsen 4.3 Ermittlung von inhaltsmaximierenden Ganglinien für Talsperren in Sachsen Das vorgestellte Verfahren für die Bemessung der Hochwassersicherheit von Talsperren nach DIN (2004) wird beispielhaft bei drei Talsperren in Sachsen angewendet Untersuchungsgebiet Die in dieser Arbeit untersuchten Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock liegen im Erzgebirge im Bundesland Sachsen und werden von der Landestalsperrenverwaltung Sachsen verwaltet (siehe Abb. 4.5). Alle drei Talsperren dienen hauptsächlich der Trinkwasserversorgung und dem Hochwasserschutz. Abb. 4.5: Einzugsgebiet der Mulde und der Elbe mit den Teileinzugsgebieten der drei betrachteten Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock Die Talsperre Gottleuba im Osterzgebirge staut die Gottleuba auf, die bei Pirna linksseitig in die Elbe mündet. Ihr Einzugsgebiet A E beträgt 35,25 km² und der mittlere Zufluss MQ zur Talsperre 0,5 m³/s. Der gewöhnliche Hochwasserrückhalteraum I GHR wurde nach dem Hochwasserereignis im August 2002 von 2 Mio. m³ auf 3 Mio. m³ vergrößert. Die schadlose Abgabe an den Unterlauf beträgt Q schadlos = 35 m³/s. Die Talsperre verfügt über zwei Grundablässe, die bei Vollstau Z V jeweils eine Kapazität von ungefähr 5 m³/s haben. Die Hochwasserentlastungsanlage ist ein fester Überfall, bestehend aus vier Feldern mit einer Gesamtüberfallbreite von 40 m. Die Talsperre Lichtenberg staut die Gimmlitz, die in die Freiberger Mulde mündet, auf. Sie hat ein Einzugsgebiet A E von 38,8 km² und einen mittleren Zufluss MQ von 0,68 m³/s und 81

94 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation dient insbesondere dem Hochwasserschutz der Ortslage von Lichtenberg. Der gewöhnliche Hochwasserrückhalteraum wurde wie bei der Talsperre Gottleuba nach dem Augusthochwasser 2002 auf 3 Mio. m³ vergrößert. Der schadlose Abfluss und damit das maßgebende Steuerziel für die Hochwasserbewirtschaftung der Talsperre beträgt Q schadlos = 6,5 m³/s. Die beiden Grundablässe der Talsperre haben bei Vollstau Z V eine Kapazität von jeweils ca. 6 m³/s. Zur Hochwasserentlastung dient ein Schachtüberfall mit einem Außendurchmesser der Überlauftrompete von 13,5 m. Die Talsperre Eibenstock staut die Zwickauer Mulde auf. In ihrem Einzugsgebiet liegen die beiden Talsperren Muldenberg (Einzugsgebiet 20,13 km²) und Carlsfeld (Einzugsgebiet 5,42 km²), so dass ca. 174 km² vom gesamten Einzugsgebiet der Talsperre Eibenstock mit einer Größe von 199,8 km² nicht durch oberhalb liegende Talsperren beeinflusst werden. Aufgrund des geringen Flächenanteils am Gesamteinzugsgebiet wird bei diesem Beispiel die Wirkung der beiden oberhalb liegenden Talsperren vernachlässigt. Der mittlere Zufluss MQ zur Talsperre Eibenstock beträgt 3,56 m³/s. Wesentliches Ziel der Hochwassersteuerung ist der Schutz der Ortslage Aue. Die Talsperre beeinflusst ca. 30% des Gesamteinzugsgebiets der Zwickauer Mulde bis zur Ortslage Aue. Bei der Steuerung der Talsperre ist also nicht nur der schadlose Abfluss unterhalb der Talsperre, sondern auch der schadlose Abfluss in der Ortslage Aue nach der Einmündung des Schwarzwassers zu berücksichtigen. Der schadlose Abfluss unterhalb des Absperrbauwerks und damit das Steuerziel der Talsperre, unter Beachtung der Abflüsse am Pegel Aue 3, entspricht Q schadlos = 36 m³/s. Bei dem hier vorgestellten Verfahren werden keine Zwischengebietsabflüsse modelliert, so dass der schadlose Abfluss unterhalb der Talsperre als Steuerziel verwendet wurde. Der gewöhnliche Hochwasserrückhalteraum wurde nach dem Augusthochwasser 2002 auf 10 Mio. m³ vergrößert und soll künftig um weitere 5 Mio. m³ auf 15 Mio. m³ vergrößert werden. Die Kapazität der vier Grundablässe beträgt bei Vollstau jeweils ca. 13,5 m³/s. Zur Hochwasserentlastung ist ein fester Überfall vorhanden, der aus drei Feldern von je 13 m Breite besteht. In Tab. 4.1 sind die Hauptkennwerte der drei Talsperren zusammengefasst. Die Konzentrationszeiten t C der drei Talsperren wurden nach Kirpich (1940) (Gl. 4.15) aus dem Digitalen Geländemodell abgeleitet. Tab. 4.1: Einzugsgebietsgröße A E, mittlerer Abfluss MQ, gewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum I GHR, Stauziel Z S, Stauziel Z V und Konzentrationszeit t C (nach Kirpich, 1940) der Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock A E MQ I GHR Z S Z V t C Talsperre [km 2 ] [m 3 /s] [10 6 m 3 ] [m ü. NN] [m ü. NN] [h] Gottleuba 35,3 0, ,71 426,86 3 Lichtenberg 38,8 0, ,58 494,0 3 Eibenstock 199,8 3, ,66 539,6 7 82

95 4.3 Ermittlung von inhaltsmaximierenden Ganglinien für Talsperren in Sachsen Randbedingungen der Berechnungen Das Verfahren wird exemplarisch für den Hochwasserbemessungsfall 1 nach DIN (2004) mit einer empfohlenen Jährlichkeit von 1000 Jahren für das Bemessungshochwasser BHQ 1 angewendet. Folgende Rand- und Anfangsbedingungen wurden entsprechend DIN (2004) (siehe Kapitel 2.2) angesetzt: - Der gewöhnliche Hochwasserrückhalteraum I GHR wird als leer angenommen (Startwasserstand = Stauziel Z S ), - (n-1)-bedingung; bei allen drei Talsperren gibt es bei der Hochwasserentlastungsanlage keine beweglichen Verschlüsse, so dass die (n-1)-regel nur bei den Grundablässen Anwendung findet. Dabei wurde der leistungsfähigste Grundablass der Talsperren in der Berechnung nicht berücksichtigt. - Bei der Vorentlastung der Talsperren, also bei Wasserspiegelhöhen zwischen dem Stauziel Z S und Vollstau Z V, wird als maximale Regelabgabe der zulässige schadlose Abfluss im Unterlauf angesetzt. Bei der Wahl eines maximierten Abflussbeiwerts ψ haben Ereignisanalysen gezeigt, dass die Wahl von ψ = 1 selbst bei Niederschlägen mit einer sehr hohen Jährlichkeit nicht gerechtfertigt ist. Beim Hochwasserereignis 2002 lagen in Sachsen z. B. fast alle Abflussbeiwerte an den untersuchten Pegeln, die tatsächlich auf Messungen der Abflussfülle beruhten, unter 0,8 (Schumann & Haberlandt, 2004). Sackl (1994) sieht sogar die Annahme eines Abflussbeiwertes größer 0,7 als nicht gerechtfertigt an. Durch die Wahl des Abflussbeiwerts kann bei dem Verfahren das Sicherheitsbedürfnis des Planers berücksichtigt werden. Bei einem hohen Sicherheitsbedürfnis wäre z. B. die Verwendung eines Abflussbeiwerts von 1 angebracht. Da in 2002 bei Einzugsgebietsgrößen kleiner 100 km² Abflussbeiwerte von 0,8 erreicht wurden (Schumann & Haberlandt, 2004), wurde für die Berechnungen der Talsperren Gottleuba und Lichtenberg ein maximierter Abflussbeiwert von ψ = 0,8 angenommen. Bei der Talsperre Eibenstock mit einer Einzugsgebietsgröße von ca. 200 km² erscheint aufgrund der größeren Gebietsgröße ein so hoher Abflussbeiwert nicht gerechtfertigt, in 2002 wurde hier z. B. nur ein Abflussbeiwert von ca. 0,4 ermittelt. In den Berechnungen für die Talsperre Eibenstock wurde deshalb ein Abflussbeiwert von ψ = 0,5 gewählt. Der Basisabfluss wurde in allen Berechnungen als konstant mit dem zweifachen mittleren Abfluss MQ angenommen Gangliniengenerierung Da bei dem Verfahren die Annahme gilt, dass die Jährlichkeit der generierten Ganglinie, unabhängig von der Jährlichkeit des Scheitelwerts, der Jährlichkeit des angesetzten Niederschlags entspricht, erfolgt die Generierung der synthetischen Ganglinien mit Hilfe von Bemessungsniederschlagshöhen der Jährlichkeit T ges = 1000 a. In dieser Arbeit wurden die erforderlichen Bemessungsniederschlagshöhen h N ( D,T ) für die jeweilige Niederschlagsdauer D und Jährlichkeit T dem KOSTRA-DWD 2000-Atlas (DWD, 2005b) entnommen. 83

96 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation Bemessungsniederschläge mit einer Jährlichkeit größer 100 a wurden mit Hilfe des PEN- Verfahrens (Stalmann et al., 2004) (siehe Kapitel 3.3.2) aus den KOSTRA-DWD 2000 Werten extrapoliert. Es ist anzumerken, dass im Erzgebirge Niederschlagsstatistiken auf Stationsbasis unter Einbeziehung historischer Ereignisse und des jeweiligen Gesamtzeitraums der Beobachtungsreihe im Extrapolationsbereich geringer Überschreitungswahrscheinlichkeiten deutlich höhere Niederschlagswerte liefern als die Extrapolation der KOSTRA-Verteilung Ergebnisse der Talsperre Gottleuba Die Ergebnisse der generierten Ganglinien werden bei der Talsperre Gottleuba exemplarisch für die Niederschlagsdauerstufe D ges = 24 h mit der Niederschlagshöhe h N ( 24 h, 1000 a ) = 160 mm genauer betrachtet. Für die statistische Einordnung der Jährlichkeiten der Scheitelwerte im Zulauf der Talsperre wurde der Pegel Gottleuba 1 mit einem Einzugsgebiet der Größe 30,1 km² verwendet. Die Umrechnung der mittels der L-Momenten Methode als Parameterschätzmethode angepassten Allgemeinen Extremwertverteilung (Reihe von 1972 bis 2003) auf die Verhältnisse der Talsperre Gottleuba erfolgte aufgrund der vergleichbaren Größenordnung der Einzugsgebietsgrößen ausschließlich flächenanteilig. a) Ganglinie, die zur größten Wasserspiegelhöhe führt. Jährlichkeit Zuflussscheitel T = 129 a b) Ganglinie mit dem größten Zuflussscheitel Jährlichkeit Zuflussscheitel T = 554 a c) Ganglinie, die zur kleinsten Wasserspiegelhöhe führt. Jährlichkeit Zuflussscheitel T = 503 a Abb. 4.6: Resultierende maximale Wasserspiegel aus den generierten zweigipfligen Ganglinien ( Simulationen, schwarze Symbole) und den eingipfligen Ganglinien ( Simulationen, graue Symbole) für eine Niederschlagsdauer D ges = 24 h und N-Jährlichkeit T ges = 1000 a sowie ausgewählte generierte Ganglinien 84

97 4.3 Ermittlung von inhaltsmaximierenden Ganglinien für Talsperren in Sachsen In Abb. 4.6 ist das Hochwasserspektrum für die generierten Doppelwellen (schwarze Symbole) an der Talsperre Gottleuba für die Niederschlagsdauerstufe 24 h dargestellt. Wird bei der Generierung der Wellen nach dem Ablaufschema in Abb. 4.4 nur die erste Welle erzeugt, ergibt sich das eingipflige Wellenspektrum (graue Symbole) in Abb Am Vergleich der beiden Wellenspektren wird deutlich, dass bei der Simulation von mehrgipfligen Ganglinien in der Bemessung ein deutlich größeres Hochwasserspektrum berücksichtigt wird. Die Speichersimulation mit den generierten zweigipfligen Ganglinien führt zu größeren Stauinhalten als die Simulationen mit den eingipfligen Ganglinien. Es wird auch deutlich, dass die stauinhaltsmaximierende Ganglinie nicht der Ganglinie mit der größten Jährlichkeit des Zuflusses entspricht. Um unrealistische Kombinationen bei den zu den beiden Einzelwellen führenden Teilniederschlägen zu vermeiden, darf bei dem Verfahren das Produkt der beiden Jährlichkeiten T I und T II der beiden betrachteten Teilniederschläge nach Gl nicht größer als die Gesamtjährlichkeit T ges sein. Dies ist bei allen drei ausgewählten Ganglinien (siehe Abb. 4.6 a), b), c) und Tab. 4.2) der Fall, so dass das Produkt der beiden Einzeljährlichkeiten 1000 a ergibt, die Summe der beiden Niederschlagshöhen aber kleiner als die Niederschlagshöhe des Bemessungsniederschlages der Dauer 24 h (160 mm) ist. Somit ist auch die resultierende Jährlichkeit T ges des Gesamtniederschlagsereignisses der Dauer D ges = 24 h bei den drei Ganglinien kleiner als die angesetzte Jährlichkeit von 1000 Jahren. Tab. 4.2: Parameter der angesetzten Einzelniederschläge für die Ermittlung der Ganglinien der Niederschlagsdauerstufe D = 24 h, die zu a) der maximalen Wasserspiegelhöhe, b) dem maximalen Zuflussscheitel und c) der minimalen Wasserspiegelhöhe führt h N ( 24 h, T ges ) T ges h N ( D I,T I ) D I T I h N ( D II,T II ) D II T II [mm] [a] [mm] [h] [a] [mm] [h] [a] a) Zuflussganglinie, die zur größten Wasserspiegelhöhe führt b) Zuflussganglinie mit dem größten Scheitel , c) Zuflussganglinie, die zur kleinsten Wasserspiegelhöhe führt , Der maximale Stauinhalt bei dieser Niederschlagsdauerstufe und Niederschlagsjährlichkeit wird durch die in Abb. 4.6 a) dargestellte Ganglinie mit einer Scheitelabflussjährlichkeit von 129 a verursacht. Die für diese Niederschlagsdauerstufe inhaltsmaximierende Ganglinie setzt sich zusammen aus einer Welle, die aus dem ersten Einzelniederschlag mit einer längeren Dauer (D I = 16 h) und einer großen Jährlichkeit (T I = 560 a) und einer Welle, die aus dem zweiten Einzelniederschlag mit einer kürzeren Dauer (D II = 5 h) und einer kleinen Jährlichkeit (T II = 2 a) entsteht. Das große Volumen der ersten Welle füllt den gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum und die Überlagerung der beiden Wellen führt dann im 85

98 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation Bereich der zweiten Welle zu der maximalen Überlastung und der maximalen Wasserspiegelhöhe. Da es sich bei dem angesetzten Gesamtniederschlag um einen Niederschlag der Dauer D ges = 24 h handelt, muss der Abstand zwischen den beiden Scheiteln entsprechend groß sein, damit die Bedingung Max ( t 3, t I A ) > D ges in Abb. 4.4 erfüllt ist. Bei den generierten Zuflussscheiteln ist sehr gut zu sehen, dass bei der Generierung der zweigipfligen Ereignisse größere Scheitelwerte erreicht werden, als bei der Generierung mit den eingipfligen Wellen. Dies liegt an der zweiten Welle, die aus einem kürzeren Niederschlag entstehen und somit auch eine kürzere Scheitelanstiegszeit haben kann. In Abhängigkeit der effektiven Niederschlagshöhe h N (D II, T II ) des zweiten angesetzten Einzelniederschlags können sich bei dieser Niederschlagsstufe somit auch größere Scheitelabflüsse ergeben als bei der Simulation der eingipfligen Ganglinien. Bei der Generierung mit eingipfligen Ganglinien wird nur eine Welle betrachtet, deren Abflussvolumen durch den Bemessungsniederschlag der Dauer 24 h erzeugt wird und deren Scheitelanstiegszeit größer oder gleich der Niederschlagsdauer ist. Die Ganglinie mit dem größten Scheitelabfluss in Abb. 4.6 b) wird z. B. durch eine Überlagerung von zwei Wellen erzeugt, bei denen das Abflussvolumen der ersten Welle aus einem Bemessungsniederschlag mit der Dauer D I = 24 h und der Jährlichkeit T I = 1,05 Jahre und das Abflussvolumen aus der zweiten Welle aus einem Bemessungsniederschlag mit der Dauer D II = 3 h und der Jährlichkeit T II = 954 a erzeugt wird (siehe Tab. 4.2). Die beiden Ganglinien b) und c) haben zwar einen höheren Scheitel als die inhaltsmaximierende Ganglinie a), führen aber zu einer kleineren maximalen resultierenden Wasserspiegelhöhe. Bei den beiden Ganglinien b) und c) hat im Gegensatz zu der inhaltsmaximierenden Ganglinie das Niederschlagsereignis mit der kürzeren Dauer die größere Jährlichkeit, so dass hier das Volumen der ersten Welle fehlt und die zweite Welle mit dem großen Scheitel auf einen fast leeren gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum trifft. Durch die hohe Jährlichkeit des zweiten Einzelniederschlags haben diese beiden Ganglinien aufgrund der Bedingung in Gl ein kleineres Gesamtabflussvolumen als die inhaltsmaximierende Ganglinie. Somit führen diese beiden Ganglinien zu einem kleineren resultierenden maximalen Stauinhalt, obwohl die Scheiteljährlichkeit von 554 bzw. 503 Jahren bedeutend größer ist als die Jährlichkeit des Scheitels der inhaltsmaximierenden Ganglinie. Aufgrund der Generierung mit gleichverteilten Zufallszahlen werden bei dem Verfahren zwar bei der Überprüfung der Hochwassersicherheit der Talsperre eine Vielzahl von verschieden Ganglinienformen berücksichtigt, das Verfahren kann aber keine Aussage über die Auftretenswahrscheinlichkeit der generierten Ganglinienform liefern. Vergleicht man aber die generierte inhaltsmaximierende Ganglinienform der Niederschlagsdauerstufe 24 h mit dem Augusthochwasser 2002 (Abb. 4.7), zeigt sich, dass sich die beiden Ganglinien sehr ähneln und das Verfahren somit für diese Niederschlagsdauerstufe kein unrealistisches Ereignis identifiziert hat. 86

99 4.3 Ermittlung von inhaltsmaximierenden Ganglinien für Talsperren in Sachsen Abb. 4.7: Vergleich der ermittelten inhaltsmaximierenden Ganglinie der Niederschlagsdauerstufe D ges = 24 h mit der Ganglinie des Hochwasserereignisses August 2002 im Zufluss der Talsperre Gottleuba In Abb. 4.8 sind die Simulationsergebnisse der resultierenden maximalen Wasserspiegelhöhen für die Niederschlagsdauerstufen 3 h 72 h dargestellt. Auch in dieser Abbildung wird deutlich, dass nicht die Ganglinie mit dem maximalen Scheitelabfluss zu dem maximalen Abfluss führt. Die inhaltsmaximierende Ganglinie für die Talsperre ergibt sich bei der Dauerstufe D ges = 72 h. Auf Grund der nichtlinearen Intensitätsabhängigkeiten der Abflussbildungsprozesse sind bei der Simulation mit den kleinen Niederschlagsdauern D ges (im Bereich der Konzentrationszeit) die Scheitelwerte am größten. Durch die Aufteilung der Gesamtniederschlagshöhe in die beiden Einzelniederschläge werden bei der Niederschlagsdauer auch Zwischenstufen berücksichtigt. In der Niederschlagsdauerstufe von 72 h werden z. B. durch die Aufteilung auch Niederschlagshöhen für die Niederschlagsstufen zwischen 48 h und 72 h mit berücksichtigt. Abb. 4.8: Resultierende maximale Wasserspiegelhöhen aus generierten zweigipfligen Ganglinien aller betrachteten Niederschlagsdauerstufen der Jährlichkeit T ges = 1000 a 87

100 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation Ergebnisse für alle betrachteten Talsperren In Abb. 4.9 und Abb sind die Ergebnisse der Simulation der Niederschlagsdauerstufen D ges = 24 h, 48 h, 72 h für die drei betrachteten Talsperren dargestellt. Bei allen entsteht die inhaltsmaximierende Ganglinie bei der Niederschlagsdauer D ges = 72 h, wobei sich die resultierenden maximalen Wasserspiegelhöhen bei der Talsperre Eibenstock bei den Dauerstufen D ges = 48 h und D ges = 72 h kaum unterscheiden. a) Gottleuba D ges = 24h b) Gottleuba D ges = 48h c) Gottleuba D ges = 72h d) Lichtenberg D ges = 24h e) Lichtenberg D ges = 48h f) Lichtenberg D ges = 72h g) Eibenstock D ges = 24h h) Eibenstock D ges = 48h i) Eibenstock D ges = 72h Abb. 4.9: Resultierende maximale Wasserspiegel der Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock aus generierten zweigipfligen Ganglinien für die Bemessungsniederschläge der Dauer D ges = 24 h, 48 h, 72 h und der Jährlichkeit T ges = 1000 a Die Scheitelwerte der Ganglinien, die zu den größten Stauinhalten führen, haben alle eine kleinere Jährlichkeit als die bei der Bemessung angesetzte Jährlichkeit des BHQ 1 von 1000 Jahren. Dies zeigt die Bedeutung von unterschiedlichen Ganglinienformen bei der Bemessung der Hochwassersicherheit unter Berücksichtigung der Seeretention und der Annahme eines leeren gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraums zu Beginn des Ereignisses. Bei den Streudiagrammen in Abb. 4.9 zeigt sich auch, dass sich bei allen Niederschlagsdauerstufen ein eindeutiges Maximum ausbildet, bei dem die inhaltsmaximierenden Ganglinienformen liegen. 88

101 4.3 Ermittlung von inhaltsmaximierenden Ganglinien für Talsperren in Sachsen a) Gottleuba D ges = 24h b) Gottleuba D ges = 48h c) Gottleuba D ges = 72h a) Lichtenberg D ges = 24h b) Lichtenberg D ges = 48h c) Lichtenberg D ges = 72h a) Eibenstock D ges = 24h b) Eibenstock D ges = 48h c) Eibenstock D ges = 72h Abb. 4.10: Stauinhaltsmaximierende Ganglinien der Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock aus den generierten zweigipfligen Ganglinien für die Bemessungsniederschläge der Dauer D = 24 h, 48 h, 72 h und der Jährlichkeit T = 1000 a Bei den ermittelten inhaltsmaximierenden Ganglinien in Abb zeigt sich, dass für die beiden Talsperren Gottleuba und Lichtenberg die inhaltsmaximierenden Ganglinien jeweils eine zweigipflige Ganglinienform haben. Die Ganglinien der jeweiligen Dauerstufen ähneln sich für beide Talsperren. Aufgrund der ähnlichen Einzugsgebietsgröße, Konzentrationszeit, gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraumvolumina und Grundablasskapazität ist die Ähnlichkeit der inhaltsmaximierenden Ganglinienformen bei den beiden Talsperren auch nicht weiter verwunderlich. Im Gegensatz dazu, haben die inhaltsmaximierenden Ganglinien bei der Talsperre Eibenstock mit dem größeren Einzugsgebiet eine eingipflige Form. Bei der Analyse der jeweiligen Einzelniederschläge in Tab. 4.3, die zu den inhaltsmaximierenden Ganglinien führen, ergibt sich, dass die Ganglinien der Talsperren Gottleuba und Lichtenberg eine ganz andere Ereigniszusammensetzung haben als die der Talsperre Eibenstock. Bei der Talsperre Gottleuba und Lichtenberg entstehen die inhaltsmaximierenden Gangli- 89

102 4 Entwicklung eines Ansatzes für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinie von Talsperren durch Hochwassermerkmalssimulation nien, wie schon bei der oben beschriebenen inhaltsmaximierende Ganglinie der Dauerstufe D ges = 24 h für die Talsperre Gottleuba, durch einen längerem ersten Niederschlag mit einer große Jährlichkeit hat, dessen abflusswirksame Volumen den gewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum füllt und einen zweiten kürzeren Niederschlag aus dem eine Ganglinie mit einer kleinen Scheitelanstiegszeit und einem großen Scheitel entsteht, die dann zu der maximalen Überlastung der Talsperre führt. Bei der Talsperre Eibenstock führt aufgrund der größeren Einzugsgebietsfläche, der größeren Konzentrationszeit des Gebiets und der größeren Abflusskapazität der Grundablässe ein anderer Ereignistyp zu der inhaltsmaximierenden Ganglinie. Hierbei hat der lange erste Einzelniederschlag eine kleine Jährlichkeit und der maßgebende Niederschlag ist indessen der zweite Einzelniederschlag mit einem großen Volumen. Im Gegensatz zu den Talsperren Gottleuba und Lichtenberg hat an der Talsperre Eibenstock der zweite Einzelniederschlag eine große Niederschlagsdauer von 51 h, die nahe an der Gesamtniederschlagsdauer von 72 h liegt. Somit zeigt sich, dass in dem Verfahren auch Zwischenniederschlagsstufen berücksichtigt werden, wie der maßgebende Niederschlag der Dauer 51 h und Jährlichkeit von 978 a zeigt. Die lang gezogene flache Ganglinie, die aus dem ersten Teilniederschlag entsteht, führt zu einer zusätzlichen Ganglinienerhöhung. Tab. 4.3: Parameter der angesetzten Einzelniederschläge für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinien der Niederschlagsdauerstufe D ges = 72 h für die Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock h N ( 72 h, T ges ) T ges h N ( D I,T I ) D I T I h N ( D II,T II ) D II T II [mm] [a] [mm] [h] [a] [mm] [h] [a] Inhaltsmaximierende Ganglinie Talsperre Gottleuba Inhaltsmaximierende Ganglinie Talsperre Lichtenberg Inhaltsmaximierende Ganglinie Talsperre Eibenstock , Zusammenfassung Die Simulationen ergeben, dass durch die Betrachtung von zweigipfligen Ganglinien ein weitaus größeres Hochwasserspektrum in der Bemessung berücksichtigt wird, als dies bei eingipfligen Ganglinien der Fall ist. Dieses größere Hochwasserspektrum ist auch im Hinblick auf die Erfüllung der Forderungen der neuen DIN nach stauinhaltsmaximierenden Ganglinien und die Berücksichtigung von mehrgipfligen Ganglinien von großer Bedeutung. Bei den beiden Talsperren Gottleuba und Lichtenberg zeigen die Ergebnisse dann auch, dass die inhaltsmaximierende Ganglinie für diese Anlagen eine zweigipflige Form hat und wie wichtig es somit ist, mehrgipflige Ganglinien in der Bemessung zu be- 90

103 4.4 Zusammenfassung rücksichtigen, um nicht bei einer Bemessung mit nur eingipfligen Ganglinienformen unter Umständen die Hochwassersicherheit zu überschätzen. Bei den Ergebnissen an der Talsperre Eibenstock mit einem größeren Einzugsgebiet hat sich aber auch gezeigt, dass die inhaltsmaximierende Ganglinie nicht immer eine mehrgipflige Ganglinienform hat, sondern je nach anlagenspezifischen Retentionsbedingungen und Einzugsgebietseigenschaften auch eingipflig sein kann. Die Einbeziehung des Bemessungsniederschlags und der Einzugsgebietseigenschaften, wie z. B. der Konzentrationszeit, macht das hier vorgestellte Verfahren auch in unbeobachteten Einzugsgebieten anwendbar. Der Nachteil des Verfahrens ist allerdings, dass den ermittelten inhaltsmaximierenden Ganglinien keine tatsächliche Auftretenswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können und im Prozess u. U. unrealistische bzw. Ganglinien mit einer weitaus kleineren Überschreitungswahrscheinlichkeit generiert werden. Durch Wahl der Randbedingungen bei der Berechnung wird im Verfahren versucht, unrealistische Ganglinien zu vermeiden. Trotz aller genannten Nachteile und der vereinfachten Annahmen stellt dieses Verfahren eine nützliche Ergänzung zu anderen Verfahren dar, was die Bemessung der Hochwassersicherheit von Talsperren unter Beachtung der neuen DIN (2004) betrifft und wenn es darum geht eine Überschätzung der Hochwassersicherheit einer Anlage durch falsche Bemessungsannahmen zu vermeiden. 91

104

105 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Für die Zuverlässigkeitsanalyse von Talsperren im Rahmen der Risikoanalyse mit der Monte-Carlo Methode ist je nach Anzahl der betrachteten Zufallsvariablen des Systems eine große Anzahl von Simulationen und somit auch von Hochwasserereignissen im Zufluss erforderlich. Dies wurde in Kapitel 2.6 bereits ausführlich behandelt. Bei der Generierung von Zuflüssen mit Hilfe einer Hochwassermerkmalssimulation (siehe Kapitel 3.2.4) ergibt sich das Problem, dass in den meisten der bisher entwickelten Verfahren nur eingipflige Ganglinien berücksichtigt werden. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die beobachteten Abflussdaten meistens relativ kurz sind und daher nicht genug beobachtete Hochwasserereignisse vorliegen, um die Parameterverteilungen von komplexeren Modellen für die Hochwassermerkmalssimulation, mit denen z. B. auch mehrgipflige Ganglinienformen berücksichtigt werden können, zu bestimmen. Auch bei einer internen Informationserweiterung mit der Schwellenwertstatistik, bei der alle gemessenen Hochwasserereignisse über einem Schwellenwert und damit mehr Ereignisse bei der Parametrisierung des Modells berücksichtigt werden, reicht die Anzahl der Ereignisse für eine statistisch abgesicherte Parametrisierung, zumal im Bereich kleiner Überscheitungswahrscheinlichkeiten, nicht aus. Daher wurde im vorhergehendem Kapitel ein Verfahren für die Hochwassermerkmalssimulation vorgestellt, bei dem alle möglichen Ganglinienformen in Abhängigkeit von einer Bemessungsniederschlagshöhe und Einzugsgebietseigenschaften ermittelt werden. Den generierten Ganglinien können hierbei aber keine tatsächlichen Auftretenswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Daher ist dieses Verfahren für eine stochastische Bemessung nach der Zuverlässigkeitsanalyse nicht geeignet. Aufbauend auf dem in Kapitel 4 entwickelten Modell wird in diesem Kapitel ein komplexeres Modell für die Hochwassermerkmalssimulation vorgestellt, bei dem ebenso zweigipflige Ganglinien generiert werden. Dieses Modell bildet die statistischen Verteilungen der Hochwasserereignisse ab und ist somit auch für eine stochastische Bemessung geeignet. Das beschriebene Problem der für eine Parametrisierung des komplexen Modells zu kurzen gemessenen Abflussdaten wird dadurch umgangen, indem eine mit Hilfe eines stochastischen Niederschlagsgenerators und eines deterministischen Niederschlag-Abfluss- Modells ausreichend lange kontinuierliche synthetische Abflusszeitreihe geschaffen wird, die bedeutend länger als die tatsächlich gemessene Beobachtungsreihe ist. Über die Hochwasserereignisse in dieser synthetischen Abflusszeitreihe können die erforderlichen Para- 93

106 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation meterverteilungen und -abhängigkeiten ermittelt werden. Wird bei der Ermittlung der stochastisch-deterministischen Abflusszeitreihe die Speichersimulation der betrachteten Talsperre berücksichtigt, kann aus den dabei simulierten Stauinhalten auch die für die Zuverlässigkeitsanalyse von Talsperren erforderliche Verteilung der Anfangsspeicherinhalte zu Beginn der Hochwasserereignisse ermittelt werden. Da bei Talsperren von Natur aus kleine Versagenswahrscheinlichkeiten zu erwarten sind und für die Zuverlässigkeitsanalyse alleine mit der stochastisch-deterministisch gewonnenen synthetischen Abflusszeitreihe eine Zeitreihenlänge erforderlich wäre, die aus praktischen Gründen, wie z. B. der Rechenzeit und Datenhaltung, nicht auf dem Weg des stochastischen Niederschlagsgenerators erzeugt werden kann, bietet das Modell der Hochwassermerkmalssituation einen Weg, eine ausreichende Anzahl von Hochwasserereignissen zu generieren. Ein Hochwasserereignis ist ein multivariater Zufallsprozess von mehreren meist korrelierten Zufallsvariablen, wie z. B. Hochwasserscheitel, Volumen, Form und Dauer des Ereignisses. Daher ist es für eine realistische Simulation von Ganglinien bei der Hochwassermerkmalssimulation erforderlich, die gegenseitigen Parameterabhängigkeiten über multivariate Verteilungen zu berücksichtigen. In dieser Arbeit bleibt diese Anwendung auf den bivariaten Fall beschränkt. Für die Ermittlung von bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen von zwei Zufallsvariablen bietet sich die Copula Theorie an, die in letzter Zeit immer öfter für die Ermittlung von multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Hydrologie eingesetzt wird. 5.1 Bivariate Statistik mit Copulas Einer der Gründe, warum multivariate Modelle bisher nicht so oft in der hydrologischen Praxis angewendet worden sind, ist der, dass für ein aussagekräftiges und extrapolierfähiges Modell ein bedeutend größerer Datenumfang als für die univariate Extremwertanalyse erforderlich ist. Der erheblich größere Datenumfang ist auch einer der Gründe, warum die Anwendung von multivariaten Verteilungen in der Praxis im Allgemeinen auf den bivariaten Fall beschränkt bleibt. Wie bei der Simulation eines Zufallsprozesses mit miteinander korrelierten Zufallsvariablen ist es vorteilhaft, das statistische Wiederkehrintervall von Ereignissen über die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der für die Bemessung relevanten Hochwassereigenschaften zu bestimmen. In der hydrologischen Praxis wird im Allgemeinen das statistische Wiederkehrintervall eines Hochwasserereignisses über die univariate Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable, wie z. B. des Hochwasserscheitels definiert (siehe z. B. Hosking & Wallis, 1997; Stedinger et al., 1993). Diese Vorgehensweise kann bei der hydrologischen Bemessung von Bauwerken zu einer Über- oder auch Unterschätzung des mit dem Hochwasserereignis verbundenen Risikos führen (siehe z. B. Salvadori & De Michele, 2004), 94

107 5.1 Bivariate Statistik mit Copulas da, wie schon oben beschrieben, ein Hochwasserereignis ein multivariater Prozess mehrerer, meist korrelierter Zufallsvariablen ist. In einer frühen Arbeit verwendet Hiemstra (1976) die bivariate Log-Normal Verteilungsfunktion für die Häufigkeitsanalyse von Hochwasserwellen. In der Hydrologie wurden in letzter Zeit bivariate Verteilungen wie die bivariate Exponentialverteilung (Singh & Singh, 1991), die bivariate Normalverteilung (Bergmann & Sackl, 1989; Goel et al., 1998; Sackl, 1994; Yue, 1999), die bivariate Gammaverteilung (Yue, 2001; Yue et al., 2001) und die bivariate Extremwertverteilung (Shiau, 2003; Yue et al., 1999) für die Häufigkeitsanalyse von hydrologischen Zufallsvariablen wie z. B. Hochwasserscheitel, Hochwasservolumen und Hochwasserdauer verwendet. In Sandoval & Raynal-Villasenor (2008) wird eine trivariate Extremwertverteilung behandelt. Die Anwendung von diesen multivariaten Verteilungen, um die Abhängigkeiten zwischen korrelierten Zufallsvariablen zu modellieren, hat jedoch eine Reihe von Nachteilen. Die univariaten Randverteilungen der Zufallsvariablen sollten der gleichen Familie von Verteilungen, wie z. B. die Normalverteilung, angehören. Dies ist aber normalerweise bei abhängigen Variablen, die einen bestimmten Prozess beschreiben, nicht der Fall. Des Weiteren sind die meisten der verfügbaren Verteilungen auf den bivariaten Fall beschränkt oder können nur sehr schwer für den multivariaten Fall erweitert werden. Zusätzlich wird bei diesen Verteilungen die Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen normalerweise durch den linearen Pearsonschen Korrelationskoeffizienten beschrieben, wobei sich hingegen in der Praxis die Abhängigkeitsstruktur der hydrologischen Variablen vom Gaußschen Fall unterscheiden kann. Diese Probleme können umgangen werden, wenn eine Copula- Funktion, im Folgenden Copula genannt, angewendet wird, um die Abhängigkeit zwischen den korrelierten Zufallsvariablen, unabhängig von den Randverteilungen, zu modellieren. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich dann über die Copula als Funktion der univariaten Randverteilungen der Zufallsvariablen. Eine große Anzahl von Copulas ist vorhanden, um unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen zu modellieren. Dadurch ist es möglich, mehrdimensionale Verteilungen mit unterschiedlichen Randverteilungen zu konstruieren. In der Literatur finden sich aus letzter Zeit einige Anwendungsbeispiele, bei denen Copulas für die multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung von hydrologischen Zufallsvariablen verwendet wurden. Salvadori & De Michele (2004) präsentieren ein allgemeines theoretisches Framework, um Copulas für die bivariate Häufigkeitsanalyse von hydrologischen Ereignissen zu verwenden. In De Michele et al. (2005) wird die Abhängigkeit zwischen Scheitel und Volumen über Copulas beschrieben. In dieser Arbeit wird die hydrologische Dimensionierung der Hochwasserentlastungsanlage einer Talsperre über eine Monte-Carlo Simulation mit Hilfe von synthetischen Ganglinien, deren Parameter durch die stochastische Generierung von Scheitel-Volumen Paaren aus der Copula ermittelt werden, überprüft. De Michele & Salvadori (2003) verwenden Copulas, um die Intensitäts- Niederschlagsdauer Beziehung von Niederschlagsereignissen zu modellieren. In der Arbeit 95

108 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation von Zhang and Singh (2006) werden Copulas für die bivariate Häufigkeitsanalyse von den Hochwasservariablen wie Hochwasserscheitel-Volumen und Dauer-Volumen angewendet. Favre et al. (2004) zeigen die Anwendung von Copulas für zwei verschiedene Anwendungsfälle. Um die Eigenschaften von Niederschlagsereignissen zu modellieren, werden in einigen Anwendungen Copulas für die trivariate Analyse der Abhängigkeiten von Zufallsvariablen verwendet (Grimaldi & Serinaldi, 2006b; Zhang & Singh, 2007). In Grimaldi & Serinaldi (2006a) und Serinaldi & Grimaldi(2007) werden darüber hinaus Copulas für die trivariate Häufigkeitsanalyse der Hochwassereigenschaften Hochwasserscheitel, Volumen und Dauer angewendet Definition In dieser Arbeit wird nur ein kurzer Überblick über die Theorie von Copulas und deren Anwendung in der bivariaten Häufigkeitsanalyse gegeben. Umfassendere Beschreibungen der Theorie von Copulas geben z. B. Joe (1997), Nelsen (1999), Salvadori & De Michele (2004) sowie Salvadori et al. (2007). Eine bivariate Verteilungsfunktion für zwei korrelierte Zufallsvariablen X und Y mit den univariaten Marginal- bzw. Randverteilungsfunktionen F X ( x ) und F Y ( y ) kann über die Copula-Funktion definiert werden. Die Verbindung zwischen der Copula Funktion und der bivariaten Verteilungsfunktion wird durch das Theorem von Sklar (1959) beschrieben: ( ) ( ) ( ) FX, Y x, y = C FX x, FY y, (5.1) wobei F X,Y ( x,y ) die bivariate Verteilungsfunktion cdf der Zufallsvariablen ist. Abb. 5.1: Randverteilungen einer bivariaten Stichprobe Da Copulas unter der Bedingung von streng steigenden Transformationen von X und Y invariant sind, konzentriert sich diese Arbeit im weiteren Verlauf auf die beiden gleichver- 96

109 5.1 Bivariate Statistik mit Copulas teilten Zufallsvariablen U und V, die als U = F X ( x ) und V = F Y ( y ) definiert werden. Die Copula Funktion C: [0,1]² [0,1] ist gleich Null, wenn mindestens eines der Argumente u und v [0,1] gleich Null ist und ergibt C ( u,1 ) = u bzw. C ( 1,v ) = v, wenn eines der Argumente Eins ist. Unter der Annahme von kontinuierlichen Randverteilungen mit den Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f X ( x ) und f Y ( y ) (siehe Abb. 5.1) ergibt sich die bivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pdf zu ( ) ( ) ( ) ( ) f X, Y ( x, y) = c FX x, FY y f X x f y y, (5.2) wobei die Dichtefunktion c ( u,v ) der Copula definiert ist als (, ) c u v (, ) 2 C u v = u v Drei Sonderfälle für Copulas sind von Bedeutung: 1. Die Copula der unteren Fréchet-Hoeffding Grenze W: (, ) max{ 1, 0} 2. Die Copula der oberen Fréchet-Hoeffding Grenze M: 3. Die Unabhängigkeits-Copula Π:. (5.3) W u v = u + v (5.4) (, ) min { u, v} M u v ( u, v) = (5.5) Π = u v (5.6) Die Copulas W und M sind die allgemeinen Grenzen für jede Copula C und jedes Paar ( u,v ) [0,1]²: (, ) max ( 1, 0 ) (, ) (, ) min (, ) M u v = u + v C u v W u v = u v. (5.7) In Abb. 5.2 sind die Isolinien, auf denen die Copulas für alle Punkte den Wert t annehmen, für die drei Copula-Sonderfälle W ( u,v ) = t, M ( u,v ) = t und Π ( u,v ) = t dargestellt. Bedingte Verteilungen können mit Copulas einfach realisiert werden (siehe z. B. Salvadori & De Michele, 2004; Salvadori et al., 2007; Zhang & Singh, 2006). Folgende bedingte Verteilungen können über Copulas berechnet werden: P( U u V = v) = C ( u, v) (5.8) v (, ) C u v P( U u V v) = (5.9) v (, ) u C u v P( U u V > v) = 1 v (5.10) 97

110 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation ( ) P U u v V v (, ) C ( u, v ) C u v = v 2 v. (5.11) 1 Weiterhin ähnliche Ausdrücke mit vertauschten Variablen für die bedingten Verteilungen von V bei gegebenen U. Die aus der Stichprobe der Größe n ermittelte nichtparametrische empirische Copula ergibt sich nach Deheuvels (1979) zu n 1 Ri Si Cn ( u, v) = 1 u, v n i= 1 n + 1 n + 1, (5.12) wobei R i der Rang von X i { X 1,.,X n } der Stichprobe von der Größe n, S i der Rang von Y i { Y 1,.,Y n } und 1(A) die Indikatorfunktion (charakteristische Funktion) der Menge A ist. Nelsen (1999) definiert die empirische Copula zu C i j N n, = n n n ij, (5.13) wobei N ij, 1 i, j n die Anzahl der Paare ( x,y ) in der Stichprobe ist, bei denen x x ( i ) und y y ( j ) ist, mit Werten x ( i ) und y ( j ) aus den aufsteigend geordneten Reihen. Abb. 5.2: Isolinien für die Copula-Sonderfälle W ( u,v ) = t, M ( u,v ) = t und Π ( u,v ) = t Eine große Anzahl von Copulas steht zur Verfügung, um die Abhängigkeit der Zufallsvariablen zu modellieren (siehe z. B. Joe, 1997; Nelsen, 1999). Es gibt drei große Familien von Copulas, die in der Hydrologie angewendet werden: die Elliptischen Copulas, die Extremwert-Copulas und die Archimedischen Copulas. Die Archimedischen Copulas werden in der hydrologischen Praxis oft angewendet, da sie einfach konstruiert werden können und eine große Anzahl von Funktionen zu dieser Familie gehört. 98

111 5.1 Bivariate Statistik mit Copulas Archimedische Copulas Die Archimedischen Copulas werden durch den Copula Generator ϕ : [0,1] [0, ], der eine konvexe, streng monoton fallende Funktion mit ϕ ( 1 ) = 0 ist, erzeugt: 1 (, ) = ( ) + ( ) Cθ u v ϕ ϕ u ϕ v. (5.14) In Tab. 5.1 sind vier in der Hydrologie weit verbreitete einparametrische Archimedische Copulas mit dem jeweiligen Generator ϕ ( t ) dargestellt. Der theoretische Wert des Abhängigkeitsmaßes Kendalls τ der Copula ergibt sich in Abhängigkeit vom Parameter θ des Generators und ist für die vier Copulas ebenfalls in Tab. 5.1 dargestellt. Tab. 5.1: Zusammenfassung von 2-dimensionalen Archimedischen Copulas und deren Generatoren, Wertebereich für den Parameter und Kendalls τ Copula ϕ ( t ) θ Kendalls τ Gumbel-Hougaard: θ θ 1 θ { ( u) + ( v) } ( ) exp ln ln uv 1 θ 1 1 ( u)( v) θu θv ( e 1)( e 1) 1 ln 1 + θ θ e 1 1 θ lnt θ [1, ) 1 θ 1 ln t Ali-Mikhail-Haq: ( t) Frank: θt e 1 ln θ e 1 1 [ 1,1) Cook-Johnson: θ θ u + v 1 t θ 1 [0, ) * Erste Debyue Funktion D ( θ ) 1 1 = θ θ 0 t dt t e 1 1 θ 3θ 2 2( 1 θ ) 2 ln ( 1 θ ) 2 3θ 3θ 4 θ (, ) \ { 0} 1 1 D ( θ ) * θ θ Alle vier Copulas können für positiv korrelierte Zufallszahlen, bei negativ korrelierten Zufallszahlen können hingegen nur die Ali-Mikhail-Haq und die Frank Copula angewendet werden. Die Ali-Mikhail-Haq Copula ist für stark korrelierte (positiv wie negativ) Zufallszahlen nicht geeignet. Neben einparametrigen Archimedischen Copulas werden in Nelsen (1999) und Joe (1997) mehrere zweiparametrige Copulas vorgestellt. Diese haben den Vorteil, dass sie dazu verwendet werden können, mehr als eine Art von Abhängigkeiten zu modellieren. Z. B. kann ein Parameter die Abhängigkeit am oberen Rand ( upper tail dependence ) und der andere die Abhängigkeit am unteren Rand ( lower tail dependence ) der bivariaten Verteilung beschreiben. Als Beispiel für eine zweiparametrige Copula wird hier die in Joe (1997) beschriebene BB1-Copula genommen. 99

112 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Sie hat die Form einer Archimedischen Copula nach Gl und ergibt sich über den Generator zu θ θ1 ( t) ( t ) 2 ϕ = 1 ; θ > 0, θ 1. (5.15) θ ( ) θ ( ) ( ) 1 θ θ θ2, = , 1 > 0, 2 1 Cθ u v u v θ θ θ. (5.16) Parameterschätzung Es gibt mehrere Methoden, die Parameter der Copulas aus einer gegebenen Stichprobe zu schätzen. Die theoretischen Werte der beiden, auf Rangzahlen basierenden Abhängigkeitsmaße Spearmans ρ und Kendalls τ der Copula Funktion können als Funktion des Parameters θ beschrieben werden. Damit kann dann über eine Schätzung des empirischen Werts von Spearmans ρ oder Kendalls τ aus der Stichprobe auch der Parameter θ geschätzt werden. Das Abhängigkeitsmaß Kendalls τ der Copula Funktion 2 [0,1] ( ) ( ) τ = C u, v dc u, v 1 θ θ, (5.17) vereinfacht sich bei Archimedischen Copulas mit dem Generator ϕ zu wobei ϕ die Ableitung von ϕ nach t ist. ( t) ( t) ϕ τ = 1+ 4 dt, (5.18) ϕ Das Abhängigkeitsmaß Spearmans ρ der Copula Funktion wird beschrieben durch: ( ) ( ) [ ] 2 θ 0,1 [ 0,1] 2 θ. (5.19) ρ = 12 uvdc u, v 3 = 12 C u, v dudv 3 Ein weitere Schätzmethode für die Parameter der Copula ist die Maximum- Pseudolikelihood Methode (Genest et al., 1995), die auch dann angewendet werden kann, wenn θ mehrdimensional ist. Hierbei wird die auf Rangzahlen basierende Log-Likelihood- Funktion l ( θ ) n Ri Si = log cθ, i= 1 n + 1 n + 1 (5.20) maximiert, wobei R i der Rang von X i { X 1,.,X n } der Stichprobe der Größe n und S i der Rang von Y i { Y 1,.,Y n } ist. Die Dichteverteilung c θ ( u,v ) der Copula ergibt sich nach Gl In Joe (1997) wird für die Parameterschätzung eine parametrische Methode, die inference 100

113 5.1 Bivariate Statistik mit Copulas from margins oder IFM Methode, beschrieben. Die Schätzung von θ wird durch die Maximierung der Log-Likelihood Funktion n i= 1 { θ X i y i X i y i } l ( θ ) = log c F ( x ), F ( y ) f ( x ) f ( y ) (5.21) erhalten. Diese Methode hängt im Gegensatz zu den Parameterschätzmethoden über die Abhängigkeitsmaße und der Maximum-Pseudolikelihood Methode von der Schätzung der Randverteilungen ab. Bei der IFM Methode kann die Schätzung der Copula-Parameter durch eine unzutreffende Annahme der Randverteilungen stark beeinflusst werden (siehe z. B. Kim et al., 2007). Die anderen Verfahren betrachten nur die auf Rangzahlen basierte Abhängigkeit zwischen den beiden Zufallsvariablen und sind somit unabhängig von der Wahl der Randverteilungen Identifizierung der geeigneten Copula Da eine Vielzahl von verschiedenen Copula-Familien für die Modellierung der Abhängigkeitsstruktur der Zufallsvariablen zur Verfügung stehen, muss diejenige Copula identifiziert werden, mit der diese am besten modelliert werden kann. Genest & Rivest (1993) beschreiben ein Verfahren zur Identifizierung der passenden Copula über den Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzung von [ ] KC ( t) = P C( u, v) t, 0 < t 1, (5.22) wobei K C ( t ) die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Wert der Copula Funktion kleiner als t ist. Es sei 2 { } B ( ) (, ) [0,1] : (, ), 0 1 C t = u v C u v t < t (5.23) die Region in [0,1] 2, die auf, unterhalb und linksseitig von der Isolinie L t 2 { } L = ( u, v) [0,1] : C( u, v) = t, 0 < t 1 (5.24) t der bivariaten Verteilung liegt. Die Isolinie ist eine Funktion der beiden Variablen u and v, die die Punkte verbindet, bei denen die Copula für alle Werte ( u,v ) auf der Linie den gleichen Wert t annimmt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung K C ( t ) stellt ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß der Menge B C ( t ) dar (siehe Salvadori & De Michele, 2004). Für Archimedische Copulas kann die parametrische Schätzung von K Cθ ( t ) zu und die Isolinie L t in Abhängigkeit von u zu ( t) ( t) ϕ KC ( t) = t (5.25) θ ϕ 1 ( ) = ϕ ϕ ( ) ϕ ( ) Lt u t u (5.26) 101

114 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation berechnet werden. Die nichtparametrische Schätzung von K Cn ( t ) ergibt sich nach Genest et al. (2006) zu mit n 1 KC ( t) = 1 ( V ); [0,1] n in t t, (5.27) n i = V = x x y y = R R S S n n 1 (, ) 1 (, ). (5.28) in j i j i j i j i n j= 1 n j= 1 Eine grafische Möglichkeit, die passende Copula zu identifizieren, ist der Vergleich der Paare [ R i / ( n + 1 ), S i / ( n + 1 ) ] mit aus der Copula generierten Zufallspaaren ( u i, v i ) oder der Vergleich der bivariaten Stichprobenwerte ( x i, y i ) mit dem stochastisch generierten Datensatz, der über die Randverteilungsfunktionen F X ( x ) and F Y ( y ) in die Originaleinheiten zurücktransformiert wird. Algorithmen, um Zufallswerte aus einer Copula zu generieren, sind z. B. in Whelan (2004) beschrieben. Durch den in Genest & Favre (2007) beschriebenen einfachen Simulationsalgorithmus können zufällige Wertepaare ( u,v ) aus der Copula folgendermaßen generiert werden: 1. Generiere U aus einer Gleichverteilung im Intervall (0,1). 2. Mit dem gegebenen U = u kann V über die inverse Funktion 1 V Qu ( U ) = der bedingten Verteilungsfunktion Qu ( v) = P ( V v U = u) = C ( u, v) (5.29) u ermittelt werden, wobei U * ebenfalls zufällig aus einer Gleichverteilung im Intervall (0,1) gezogen wird Anpassungstests Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Anpassungsgüte von den verschiedenen Copulas zu vergleichen und zu bewerten. Der mehrdimensionale Kolmogorov-Smirnov Anpassungstest (siehe Saunders & Laud, 1980) verwendet, wie bei dem univariaten KS-Test, die maximale Abweichung zwischen der empirischen und der theoretischen Verteilung als Maß für die Anpassungsgüte. Kritische Werte für ein Signifikanzniveau α und die p-werte für den Anpassungstest können aus Tabellenwerten oder über Bootstrap-Resampling ermittelt werden. Im Gegensatz zum KS-Test wird bei dem Root mean square error (RMSE) nicht nur der maximale Wert, sondern die Summe der quadratischen Abweichungen der empirischen von der theoretischen Verteilung als Maß für die Anpassungsgüte verwendet. 102

115 5.1 Bivariate Statistik mit Copulas Der Wert des RMSE ergibt sich zu ( ) 2 n 1 RMSE = E x ( ) ( ) 2 c x = x i x i, (5.30) 0 c 0 n k i = 1 wobei x c ( i ) der berechnete Wert, x 0 ( i ) der beobachtete Wert, k die Anzahl der verwendeten Parameter um den berechneten Wert zu ermitteln und n die Anzahl der Beobachtungen ist. Verwendet man den RMSE als Maß für die Anpassung, entspricht der berechnete Wert x c ( i ) der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit nach Gl. 5.1 und der beobachtete Wert x 0 ( i ) der empirischen Wahrscheinlichkeit nach Gl der beiden Zufallsvariablen. Bei dem KS-Test und dem RMSE hat das Modell mit der besten Anpassung den kleinsten Wert. Die AIC und BIC Auswahlkriterien nach Gl und Gl können auch bei multivariaten Verteilungsfunktionen als Maß verwendet werden. In Genest et al. (2006, 2007 #436) und Genest & Favre (2007) werden zwei Maße für die Anpassung beschrieben, bei denen der empirische und der theoretische Wert von K C ( t ) verglichen wird. Das eine Maß basiert auf der Cramér-von-Mises Statistik und das andere auf der Kolmogorov-Smirnov Statistik. Der p-wert für den jeweiligen Anpassungstest kann über Bootstrap Resampling ermittelt werden. Ein weiteres auf der Cramér-von-Mises Statistik basierendes Bootstrap-Verfahren als Anpassungstest wird in Genest & Favre (2007) und Genest & Remillard (2008) beschrieben. Hierbei wird der Unterschied zwischen der empirischen und der theoretischen Copula als Maß für die Anpassung verwendet Bivariate Häufigkeitsanalyse Die bivariate Verteilungsfunktion in Gl. 5.1 beschreibt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit 1 P ( X x, Y y ) = F X,Y ( x,y ), dass die Zufallszahlen X und Y kleiner oder gleich als die Werte x und y sind. Bei Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen ergibt sich die gemeinsame Wahrscheinlichkeit aus dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten F X ( x ) und F Y ( y ): (, ) (, ) ( ) ( ) P X x Y y = F x y = F x F y. (5.31) X, Y X Y Sind die beiden Zufallsvariablen komplett abhängig voneinander, reduziert sich die gemeinsame Wahrscheinlichkeit F X,Y ( x,y ) zu der univariaten Wahrscheinlichkeit F X ( x ) oder F Y ( y ) (, ) (, ) ( ) oder (, ) ( ) P X x Y y = F x y = F x F x y = F y, (5.32) X, Y X X, Y Y da in diesem Fall die Zufallsvariablen X und Y über eine Funktion voneinander abhängig sind. In Abb. 5.3 ist die Isolinie mit gleicher Wahrscheinlichkeit t für die bivariate Vertei- 1 In Sackl (1994) und anderen Veröffentlichungen wird diese Wahrscheinlichkeit auch als p ll ( lower-left-probability ) bezeichnet 103

116 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation lungsfunktion F X,Y ( x,y ), die univariaten Randverteilungen F X ( x ) = t und F Y ( y ) = t und die Isolinie mit gleicher Wahrscheinlichkeit für den unabhängigen Fall F X ( x ) F Y ( y ) = t dargestellt. Es ist gut zu sehen, dass die Isolinie der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit bei abhängigen Variablen von den Isolinien für den Fall der vollkommenen Unabhängigkeit und der vollkommenen Abhängigkeit umschlossen werden. Die Werte von F X ( x ) und F Y ( y ) sind für alle Kombinationen, die F X,Y ( x,y ) = t ergeben, größer als t. Abb. 5.3: Zusammenhang zwischen der bivariaten Verteilungsfunktion F X,Y ( x,y ) und den univariaten Verteilungsfunktionen F X ( x ) und F Y ( y ) Die Wahrscheinlichkeit, bei der die Werte x bzw. y von beiden Zufallsvariablen X und Y gleichzeitig überschritten werden, ergibt sich zu 2 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( X x Y y) = 1 F x F y + F x, y X Y X Y = 1 FX x FY y + C FX x, FY y (5.33) mit dem zugehörigen statistischen Wiederkehrintervall (markiert mit dem logischen UND Operator ) T X, Y 1 1 = =. (5.34) P( X x Y y) 1 FX ( x) FY ( y) + C FX ( x), FY ( y) Dieses statistische Wiederkehrintervall ist immer größer oder gleich dem Maximum aus den beiden univariaten Wiederkehrintervallen der beiden Zufallsvariablen T T X Y = 1 1 F (5.35) X ( x) = 1 1 F. (5.36) Y ( x) 2 In Sackl (1994) und anderen Veröffentlichungen wird diese Wahrscheinlichkeit auch als p ur ( upper-right-probability ) bezeichnet 104

117 5.1 Bivariate Statistik mit Copulas Bei vollständiger Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen C [ F X ( x ), F Y ( y ) ] = F X ( x ) F Y ( y ) ergibt sich das statistische Wiederkehrintervall zu T 1 1 = = = T T. (5.37) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) X, Y X Y 1 FX x FY y + FX x FY y 1 FX x 1 FY y Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder X oder Y die Werte x bzw. y überschreiten, ist definiert als ( ) ( ) ( ) P( X x Y y) = 1 FX, Y x, y = 1 C FX x, FY y, (5.38) mit dem zugehörigen statistischen Wiederkehrintervall (markiert mit dem logischen ODER Operator ) T X, Y 1 1 = =. (5.39) P( X x Y y) 1 C FX ( x), FY ( y) Dieses statistische Wiederkehrintervall ist immer kleiner oder gleich dem Minimum der beiden univariaten Wiederkehrintervalle T X und T Y : [ ] [ ] T min T, T max T, T T. (5.40) X, Y X Y X Y X, Y Bei vollständiger Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen ergibt sich das statistische Wiederkehrintervall in diesem Fall zu T X, Y 1 TXTY = = 1 F x F y T + T 1. (5.41) ( ) ( ) X Y X Y Die Grenzen für die beiden bivariaten statistischen Wiederkehrintervalle bedeuten somit, dass bei einem statistischen Wiederkehrintervall T X,Y ( oder ) eines Wertepaares ( x,y ) von z. B. 100 Jahren (siehe Abb. 5.4) beide Werte x und y auf alle Fälle ein statistisches Wiederkehrintervall T X und T Y von mindestens 100 Jahren haben müssen (z. B. die Wertepaare 1 und 2 in Abb. 5.4). Beide Werte müssen also einen sehr hohen Wert annehmen, damit dieses Wiederkehrintervall erreicht wird. Bei einem statistischen Wiederkehrintervall T X,Y ( und ) von 100 Jahren sind beide univariaten statistischen Wiederkehrintervalle T X und T Y kleiner als 100 Jahre. Um dieses bivariate statistische Wiederkehrintervall zu erreichen, ist es also ausreichend, wenn nur einer der beiden Werte x und y (z. B. das Wertepaar 3 in Abb. 5.4) ein hohes Wiederkehrintervall (z. B. 97 Jahre) und der andere, abhängig von der bivariaten Verteilungsfunktion, ein kleines (z. B. 8 Jahre) annimmt. 105

118 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Abb. 5.4: Isolinien für die bivariaten statistischen Wiederkehrintervalle T X,Y =100 a und T X,Y =100 a und ausgewählte Wertepaare, die diese Wiederkehrintervalle annehmen Die Wahrscheinlichkeitsmengen für die beiden unterschiedlichen Fälle der Überschreitungswahrscheinlichkeiten ODER P ( X > x Y > y ) und UND P ( X > x Y > y ) in [0,1] 2 sind in Abb. 5.5 als schattierte Flächen dargestellt. a) P ( X > x v Y > y ) b) P ( X > x Y > y ) Abb. 5.5: Flächen in [0,1] 2 (schattierte Bereiche), die der Wahrscheinlichkeitsmenge von a) P ( X > x Y > y ) und b) P ( X > x Y > y ) entsprechen. Die bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariablen X und Y ergeben sich aus den Gl. 5.8 bis 5.11 mit u = F X ( x ) und v = F Y ( y ). In Salvadori & De Michele (2004) wird ein weiteres, sekundäres Wiederkehrintervall t (im Gegensatz zum primären Wiederkehrintervall T X,Y) definiert. Das sekundäre Wiederkehrintervall bedeutet, dass im Zufallsprozess im Mittel alle t Jahre ein Ereignis auftritt, bei dem der Wert der Copula C ( u, v ) größer als die Wahrscheinlichkeit t ist. B C ( t ) in Gl ist die Region, in der das Wiederkehrintervall T X,Y von allen Ereignissen in diesem Bereich kleiner oder gleich dem Grenzwert ( t) 1 ( 1 t) ϑ = (5.42) 106

119 5.2 Stochastisch-deterministische Generierung der Datenbasis ist und K C ( t ) daher die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass ein Ereignis mit dem Wiederkehrintervall T X,Y ϑ (t) = 1 / ( 1 t ) für jede Realisation des Zufallsprozesses auftritt. Dies impliziert, dass K ( t) 1 K ( t) C = die Überschreitungswahrscheinlichkeit ist, dass im C Zufallsprozess ein Ereignis auftritt, bei dem das Wiederkehrintervall T X,Y über dem Wert 1 / ( 1 - t ) liegt. Das sekundäre Wiederkehrintervall t kann dann als Kehrwert der Ü- berschreitungswahrscheinlichkeit beschrieben werden: 1 1 t = = K t K t. (5.43) C ( ) 1 ( ) Wird ein kritisches Wiederkehrintervall T X,Y für ein Bauwerk definiert, bedeutet das se- kundäre Wiederkehrintervall, dass im Mittel alle t Jahre ein Ereignis auftritt, bei dem dieser kritische Bemessungswert überschritten wird. Die Wahrscheinlichkeitsmengen für die beiden unterschiedlichen Fälle von ( ) K C ( t ) = P ( C ( u,v ) t ) und ( ) (, ) K t = P C u v > t in [0,1] 2 sind in Abb. 5.6 als schattierte Flächen dargestellt. C C a) K C ( t ) = P ( C ( u,v ) t ) b) KC ( t) = P ( C ( u, v) > t) Abb. 5.6: Flächen in [0,1] 2 (schattierte Bereiche), die der Wahrscheinlichkeitsmenge von a) K t = P C u, v > t entsprechen. K C ( t ) = P ( C ( u,v ) t ) und b) C ( ) ( ( ) ) 5.2 Stochastisch-deterministische Generierung der Datenbasis Wie schon beschrieben, wird für die statistisch abgesicherte Ermittlung von multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen von korrelierten Zufallsvariablen und für die Bestimmung der Parameterverteilungen von komplexen Modellen für die Hochwassermerkmalssimulation, mit denen z. B. auch mehrgipflige Ganglinienformen berücksichtigt werden können, eine große Datenbasis benötigt. Das beschriebene Problem der zu kurzen gemessenen Abflusszeitreihen wird dadurch umgangen, indem eine mit Hilfe eines stochastischen Niederschlagsgenerators und eines deterministischen Niederschlag-Abfluss-Modells 107

120 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation ausreichend lange kontinuierliche synthetische Abflusszeitreihe erzeugt wird, die bedeutend länger als die tatsächlich gemessene Beobachtungsreihe ist. Über die Hochwasserereignisse in dieser synthetischen Abflusszeitreihe können die erforderlichen Parameterverteilungen und -abhängigkeiten ermittelt werden. In dieser Arbeit wird das im Rahmen des BMBF-Projekts Integrative Nutzung des Technischen Hochwasserrückhalts in Poldern und Talsperren am Beispiel des Flussgebiets der Unstrut entwickelte (Schumann, 2008) entwickelte Verfahren für die stochastische Generierung des räumlich verteilten Niederschlages verwendet. Im ersten Schritt werden mit einem stochastischen Niederschlagsgenerators (Hundecha et al., 2008) Niederschlagszeitreihen auf Tagesbasis unter expliziter Berücksichtigung der räumlichen Verteilung und der saisonalen Komponente erzeugt. Die Niederschlagsmenge wird mittels einer Kombination zweier Verteilungsfunktionen in einem 2-Stufen-Prozess ermittelt. In der ersten Stufe werden sowohl die Häufigkeit, als auch die Niederschlagsmenge durch Anwendung eines multivariaten autoregressiven Modells wiedergegeben, wobei die Kovarianzstruktur der Niederschlagsstationen durch die Verwendung einer gestutzten und transformierten Normalverteilung beibehalten wird. In der zweiten Stufe wird die Niederschlagsmenge, welche zuvor durch eine transformierte Normalverteilung modelliert wurde, anhand der ausgewählten Quantile derart angepasst, dass diese mit einer Kombination aus Gamma- und Pareto- bzw. Gumbelverteilung beschrieben werden kann. Die Berücksichtigung der saisonalen Komponente sowie der zeitlichen und räumlichen Korrelation erfolgt durch eine Fourier-Repräsentation. Eine ausführliche Beschreibung des entwickelten stochastischen Niederschlagsgenerators ist in Hundecha et al. (2008) und Schumann (2008) enthalten. Die an den Stationen stochastisch generierten Tagesniederschläge werden in Stundenwertzeitreihen disaggregiert, wobei Varianz, Kovarianz und Autokorrelation erhalten bleiben sollten. Hierzu werden Ansätze von Koutsoyiannis (2001) und Koutsoyiannis et al. (2003) verwendet. Mit dem Programmpaket MuDRain (Koutsoyiannis, 2001) können Niederschlagszeitreihen an allen Stationen im Gebiet multivariat räumlich-zeitlich disaggregiert werden. Für die Disaggregierung der Tageswertzeitreihen an den einzelnen Stationen wird bei dem Modell die Kreuzkorrelation zwischen allen zu betrachtenden Stationen auf Stundenwertbasis und an mindestes zwei Stationen (Referenzstationen) Stundenwertzeitreihen des selben Zeitraums wie der zu disaggregierenden Tageswertzeitreihen benötigt. Da die Tageswertzeitreihen stochastisch generiert wurden, standen diese erforderlichen Stundenwertzeitreihen für die Referenzstationen nicht zur Verfügung. Um für diese Referenzstationen Stundenwertzeitreihen zu erhalten, wurden die generierten Tageswertzeitreihen von allen Stationen, für die Aufzeichnungen in einer zeitlich höheren Auflösung (hier Stundenwerte) verfügbar sind, mit Hilfe des Programmpakets HYETOS (Koutsoyiannis et al., 2003) rein zeitlich disaggregiert. Anschließend erfolgte die Disaggregation aller Stationen mit MuDRain, wobei die Kreuzkorrelation auf Basis aller generierten Tageswerte sowie der in HYETOS disaggregierten Stundenwertzeitreihen der Referenzstationen erfolgte. In 108

121 5.3 Verfahren zur stochastischen Generierung von Hochwasserereignissen Abb. 5.7 ist der Ablauf der räumlich-zeitlichen Disaggregierung der Tageswertzeitreihen des Niederschlags dargestellt. Über ein räumlich verteilt arbeitendes deterministisches Niederschlag-Abfluss-Modell können dann mit diesen Niederschlagszeitreihen die Abflussverhältnisse in dem Gebiet modelliert werden. Untergliederung des Einzugsgebiets in Teileinzugsgebiete Auswahl und Zuordnung von Referenzstationen für jedes Teilgebiet Zeitliche Disaggregierung der Tageswertzeitreihen des Niederschlags an den Referenzstationen (HYETOS) Räumlich-zeitliche Disaggregierung der Tageswertzeitreihen aller Stationen in den Teilgebieten (MuDRain) Abb. 5.7: Ablaufschema der räumlich-zeitlichen Disaggregierung (Schumann, 2008) 5.3 Verfahren zur stochastischen Generierung von Hochwasserereignissen In dem hier entwickelten Modell zur Hochwassermerkmalssimulation werden ein- und zweigipflige Hochwasserereignisse generiert. Die ein- und zweigipfligen Ganglinien werden mit Hilfe von zwei unterschiedlichen Ganglinienmodellen erzeugt. Beim Gesamtmodell der Hochwassermerkmalssimulation werden dann aus diesen beiden Modellen in Abhängigkeit von der Auftretenswahrscheinlichkeit eingipfliger Ganglinien Hochwasserereignisse zufällig generiert. Hochwasserereignisse mit mehr als zwei Gipfeln werden nicht berücksichtigt, da für die Parametrisierung eines solchen Ganglinienmodells mit mehr als zwei Gipfeln wiederum die Datengrundlage fehlt. Als Datenbasis für die Ermittlung der Parameterverteilungen und abhängigkeiten dienen die Hochwasserereignisse aus der synthetischen stochastisch-deterministisch erzeugten langen Abflusszeitreihe. Da bei der Hochwassermerkmalssimulation im ersten Schritt Direktabflussganglinien entstehen, aus denen dann mit der Annahme eines Basisabflusses die Hochwasserereignisse ermittelt werden, werden die erforderlichen Parameterverteilungen für die Hochwassermerkmalssimulation an die Eigenschaften der Direktabflüsse der Hochwasserereignisse der stochastisch-deterministisch generierten Datenbasis angepasst. Aufgrund der getrennten Gangliniengenerierung werden die Parameterverteilungen für das 109

122 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation eingipflige Ganglinienmodell aus den eingipfligen und für das zweigipflige Ganglinienmodell aus den zweigipfligen Hochwasserereignissen der Datenbasis ermittelt. Hierbei ist anzumerken, dass bei der Generierung von zweigipfligen Hochwasserereignissen im zweigipfligen Ganglinienmodell das eingipflige Ganglinienmodell mit allen Parameterverteilungen und abhängigkeiten berücksichtigt wird. Es ist also erforderlich, aus allen Hochwasserereignissen der Datenbasis die Ereignisse herauszusuchen, die eingipflig, zweigipflig und mehrgipflig sind. Wegen der Unstetigkeit der Abflussprozesse müssen zuvor Kriterien festgelegt werden, ab wann ein Abflussmaximum als Gipfel gewertet werden kann. Um kleine lokale Maxima von Abflussschwankungen bei der Anzahl der Gipfel zu unterdrücken, werden folgende Kriterien eingeführt, um Gipfel zu identifizieren (siehe Abb. 5.8): - Ein lokales Maximum Q ND ist dann ein Gipfel, wenn das lokale Minimum zwischen Q ND und dem Scheitelwert Q SD der Ganglinie kleiner als 70% von Q ND ist und - der Wert des lokalen Maximums mindestens 20% des Scheitelwerts beträgt. Q ND ist ein Gipfel, wenn: Q min 0,7 Q ND und Q ND 0,2 Q SD Unabhängigkeit der beiden Scheitel: t > 168 h Q min 0,2 Q SD Abb. 5.8: Definition der Mehrgipfligkeit und der Unabhängigkeit von zwei Gipfeln in Abhängigkeit von der Direktabflussganglinie Durch diesen relativ kleinen Grenzwert von 20% des Scheitelwerts und dass alle diese Maxima, die gleichzeitig die erste Bedingung erfüllen, Gipfel darstellen, ist zu erwarten, dass der Anteil an mehrgipfligen Ganglinien bei den Hochwasserereignissen groß ist. Beim Beispiel der Wuppertalsperre wird noch erläutert, warum die Festlegung eines solchen relativ niedrigen Grenzwerts für die korrekte Beschreibung der Ganglinien erforderlich ist. Insgesamt erlauben diese Kriterien aber, dass die Datenbasis aufgeteilt werden kann. Für die spätere Generierung von zweigipfligen Ganglinien ist es wichtig, zu definieren, wann zwei aufeinander folgende Gipfel zum gleichen Ereignis oder zu zwei voneinander unabhängigen Ereignissen gehören. Hierzu wurde als Abstand von zwei abhängigen Scheiteln ein maximaler Wert von 168 Stunden ( = 7 Tage) festgelegt. Ist der Abstand t zwischen den Gipfeln größer, werden die beiden Scheitel als unabhängig angenommen (dieses Kriterium wird auch bei LAWA (1997) in Abb. 3.2 angewendet). Als weiteres Kriterium für die Unabhängigkeit wurde der Rückgang zwischen den beiden Gipfeln verwendet. So werden zwei aufeinander folgende Gipfel als unabhängig betrachtet, wenn der Abfluss 110

123 5.3 Verfahren zur stochastischen Generierung von Hochwasserereignissen zwischen den beiden aufeinander folgenden Scheiteln um mehr als 80% zurückgeht (dieses Kriterium wird so auch in Bacchi et al. (1992) verwendet) Eingipfliges Ganglinienmodell Beim eingipfligen Ganglinienmodell werden die Hochwassereigenschaften Direktabflussscheitel Q SD, Hochwasserfülle V D und Scheitelanstiegszeit t A als Parameter für die Generierung verwendet (Eigenschaften eines Hochwasserereignisses siehe Abb. 3.8). Als mathematische Funktion für die Beschreibung der eingipfligen Ganglinien wird die Kozeny- Funktion nach Gl genommen, bei der die Ganglinie durch die Parameter Scheitel des Direktabflusses Q SD, Scheitelanstiegszeit t A und dem Formbeiwert m beschrieben wird. Ist neben dem Direktabfluss Q SD und der Scheitelanstiegszeit t A die Hochwasserfülle V D bekannt, kann der zugehörige Formbeiwert m aus Gl mit Hilfe von numerischen Methoden ermittelt werden. Die Hochwassereigenschaften Scheitel und Volumen sind im Allgemeinen voneinander abhängige Zufallsvariablen. Daher werden die beiden Parameter Direktabflussscheitel Q SD und Hochwasserfülle V D unter Berücksichtigung der gegenseitigen Abhängigkeiten durch eine bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung F Q,V ( q,v ) beschrieben. Bei der späteren Anwendung wird dann die in Kapitel 5.1 beschriebene Copula Methode verwendet, um die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung aufzustellen. Es ist zu erwarten und die in Kapitel 5.4 folgende Ganglinienanalyse der Hochwasserereignisse im Zufluss der Wuppertalsperre wird dies auch zeigen, dass auch die Hochwassereigenschaften Volumen und Scheitelanstiegszeit korreliert sind. Da im Gegensatz hierzu im Allgemeinen die Eigenschaften Scheitel und Scheitelanstiegszeit weniger stark korreliert sind, wird auf die gemeinsame Beschreibung aller drei Eigenschaften über eine trivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung verzichtet. In dem Modell werden somit nur die Parameter Hochwasserfülle V D und Scheitelanstiegszeit t A über eine bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben. Der Ablauf der Erzeugung von eingipfligen Ganglinien, bei der die Parameterverteilungen und abhängigkeiten berücksichtigt werden, ist in Abb. 5.9 dargestellt. Für die Ermittlung einer eingipfligen Ganglinie wird aus der bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung F Q,V ( q,v ) ein Zufallspaar von Direktabflussscheitel Q SD und Hochwasserfülle V D zufällig generiert. Mit der nun bekannten Fülle V D wird aus der, über die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung ermittelte, bedingte Verteilungsfunktion F ( t A V = v ) der Scheitelanstiegszeit unter Bedingung der gegebenen Fülle (Bestimmung der bedingten Verteilungsfunktion mit der Copula-Methode siehe Gl. 5.8) eine Zufallszahl für die Scheitelanstiegszeit t A generiert. Über die numerische Lösung von Gl wird der zugehörige Wert m der Kozeny-Funktion aus den zufällig generierten Werten Q SD, V D und t A ermittelt. Die Ganglinienanalyse der eingipfligen Hochwasserereignisse im Zufluss der Wuppertalsperre in Kapitel 5.4 hat ergeben, dass keines der ausgewerteten Ereignisse einen Formbeiwert größer als 8 hatte. Nach Sackl (1994) liegen die Grenzen, bei denen die Kozeny-Funktion realistische Formen annimmt, zwischen 1 und 6. Da bei der Ereignisana- 111

124 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation lyse an der Wupper aber auch Werte bis 8 aufgetreten sind, wird in dem hier entwickelten Modell ein maximaler Formbeiwert von m max = 8 festgelegt. Ergibt sich in den Rechnungen ein Formbeiwert größer als 8, wird also der Formbeiwert m zu 8 gesetzt und die zugehörige Scheitelanstiegszeit über die Gleichung t A m+ 1 9 VD m VD 8 = = m Q e Γ m + Q e Γ SD 8 ( 1) ( 9) SD (5.44) ermittelt. Auf diese Weise wird verhindert, dass unrealistische Ganglinienformen entstehen. Generiere: Q SD, V D aus F Q,V ( q,v ) Generiere: t A aus F ( t A V = V D ) m > 8 nein Q D ( t ) ja Berechne t A für m = 8, Q SD, V D Abb. 5.9: Ablaufschema für die Erzeugung einer eingipfligen Ganglinie Zweigipfliges Ganglinienmodell Beim zweigipfligen Ganglinienmodell werden bei der Generierung als Parameter neben den Parameterverteilungen aus dem eingipfligen Ganglinienmodell auch die Verteilung der Direktabflussscheitel Q SD der zweigipfligen Ganglinien, die Stelle des Auftretens des Direktabflussscheitels (ob an der Stelle des ersten oder zweiten Gipfels), der Abstand d I-II der beiden Gipfel und das Verhältnis ver zwischen den beiden Gipfelwerten berücksichtigt. Die Verteilung der Direktabflussscheitel Q SD der zweigipfligen Ganglinien wird berücksichtigt, da diese im Allgemeinen nicht mit der Verteilung der Direktabflussscheitel der eingipfligen Ereignisse übereinstimmt. Als mathematische Funktion für die Beschreibung des Verlaufs der zweigipfligen Ganglinien wird die in Kapitel beschriebene Ganglinienfunktion verwendet, bei der diese durch die Parameter der beiden Kozenyfunktionen Q I SD, t I A, m I, Q II SD, t II A, m II und dem Scheitelabstand d I-II beschrieben wird. Anschließend wird die Ganglinie durch das Verschneiden der beiden Kozeny-Funktionen gebildet (siehe Abb. 5.10). 112

125 5.3 Verfahren zur stochastischen Generierung von Hochwasserereignissen Abb. 5.10: Ganglinienmodell für die Generierung der zweigipfligen Ganglinie. Ermittlung der zweigipfligen Ganglinie durch das Verschneiden von zwei Kozeny-Funktionen (siehe Kapitel 4.1.2) Für die Generierung werden folgende Parameterdefinitionen eingeführt: 1. Der größere der beiden Gipfelwerte der Direktabflussganglinie wird als Direktabflussscheitel Q SD bezeichnet. Im Beispiel in Abb entspricht der erste Gipfel dem Scheitelwert Q SD = Q I SD. 2. Der kleinere der beiden Gipfel wird als Nebengipfel Q ND bezeichnet. Im Beispiel in Abb entspricht der zweite Gipfel dem Nebengipfel Q ND = Q II SD. 3. Position pos des Direktabflussscheitels Q SD, beim Wert pos = 1 liegt der Scheitelwert der Ganglinie an der Stelle des ersten Gipfels und bei pos = 2 an der Stelle des zweiten Gipfels. Im Beispiel in Abb ist pos = 1, da der Scheitelwert an der ersten Stelle auftritt. 4. Verhältnis ver der beiden Gipfelwerte ver = Q ND / Q SD 5. Direktabflussvolumina der beiden Einzelwellen V I D und V II D. Da die zweigipflige Ganglinie durch das Verschneiden der beiden Einzelwellen erzeugt wird, entspricht die Hochwasserfülle V D der resultierenden zweigipfligen Ganglinie nicht der Summe der beiden eingipfligen Ganglinien: V D V I D + V II D. Für die Bestimmung der Verteilung der Scheitelposition pos wird aus der Datenbasis der Prozentsatz der zweigipfligen Hochwasserereignisse ermittelt, bei denen der Direktabflussscheitel an der ersten bzw. zweiten Stelle auftrat. Der Wertebereich für den Parameter Scheitelverhältnis ver liegt aufgrund der Definition eines Gipfels nach Abb. 5.8 zwischen 0,2 und 1. Er muss daher nicht extrapoliert werden und kann bei einer genügend großen Anzahl von zweigipfligen Ereignissen in der Datenbasis aus der empirischen Verteilung der Scheitelverhältnisse zufällig generiert werden. Dies bedeutet, dass aus den zweigipfligen Hochwasserereignissen der Datenbasis im Generierungsprozess einer der Scheitelverhältnisse zufällig ausgewählt werden kann. Bei der Generierung einer zweigipfligen Ganglinie (Ablaufschema siehe Abb. 5.11) wird als erstes in Abhängigkeit von der Verteilung zufällig ermittelt, an welcher Stelle der bei- 113

126 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation den Gipfel der Scheitelwert auftritt. Im nächsten Schritt wird aus der Verteilung der Abstände d I-II der beiden Gipfel ein Wert zufällig generiert. Danach wird durch das Generieren von Zufallszahlen aus beiden Verteilungen von Direktabflussscheitel und Scheitelverhältnis die Höhe der beiden Gipfel festgelegt. Mit diesen Scheitelwerten werden aus den Parameterverteilungen der eingipfligen Ganglinien zufällig zwei zu den Scheitelwerten gehörende Einzelwellen generiert, die zu der zweigipfligen Ganglinie verschnitten werden. Da hierbei der Scheitelwert für die Generierung der Einzelwelle schon bekannt ist, wird die Fülle aus der, über die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung ermittelten, bedingten Verteilungsfunktion F ( v Q = q ) der Fülle unter der Bedingung eines festen Scheitelwerts von Q SD zufällig generiert. Der weitere Ablauf beim Generieren der Einzelwelle erfolgt wie bei dem eingipfligen Ganglinienmodell. Nach Verschneiden der beiden Einzelwellen wird bei der entstandenen zweigipfligen Ganglinie mit den Bedingungen in Abb. 5.8 überprüft, ob es sich um eine zweigipflige Ganglinie handelt, da es auch vorkommen kann, dass sich durch die Verschneidung keine zweigipflige Ganglinie ergibt. Handelt es sich nicht um eine zweigipflige Ganglinie, werden die beiden Einzelwellen erneut generiert. Anschließend wird überprüft, ob die beiden Gipfel der neu generierten Ganglinie abhängig voneinander sind. Im Fall der Unabhängigkeit werden ebenso die beiden Einzelwellen neu generiert. Bei einer ungünstigen Konstellation der Startparameter pos, d I-II, Q SD und ver kann es auch vorkommen, dass keine Ganglinie generiert werden kann, die alle Bedingungen erfüllt. Daher wird der Generierungsprozess nach maximal n max (in dieser Arbeit wurde n max = gewählt) Versuchen abgebrochen und mit neuen zufällig generierten Werten für Direktabflussscheitel Q SD und Verhältnis ver erneut gestartet. Durch das erneute Generieren einer Zufallszahl aus den beiden Verteilungen von Q SD und ver wird sich das Ergebnis etwas von der Verteilung der Hochwasserereignisse der Datenbasis unterscheiden. Vor Einsatz des Modells für die Hochwassermerkmalssimulation ist deshalb zu prüfen, ob sich die Verteilungen dieser beiden Parameter zu stark verändern werden. 114

127 5.3 Verfahren zur stochastischen Generierung von Hochwasserereignissen Generiere: pos Generiere: d I-II ja n = n + 1 n=1000 nein Generiere Einzelwelle mit Scheitelwert Q SD Generiere: Q SD, ver Q ND = ver Q SD n = 0 Generiere Einzelwelle mit kleinerem Gipfel Q ND Generiere: V D aus F ( v Q = Q SD ) Generiere: V D aus F ( v Q =Q ND ) Generiere: t A aus F ( t A V = V D ) Generiere: t A aus F ( t A V = V D ) Ermittle m = f ( Q SD,t A,V D ) Ermittle m = f ( Q SD,t A,V D ) m > 8 ja Berechne t A für m = 8, Q SD, V D ja m > 8 nein nein Weise die generierten Parameter der beiden Wellen in Abhängigkeit von pos und d I-II den Parametern Q I SD, Q II SD, t I A, t II A, m I, m II der zweigipfligen Gangliniefunktion zu nein Ist die generierte Ganglinie zweigipflig? ja nein Sind die beiden Gipfel abhängig? ja Q D ( t ) Abb. 5.11: Ablaufschema für die Generierung einer zweigipfligen Ganglinie 115

128 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen Bei der Generierung von Hochwasserereignissen über das Gesamtmodell zur Hochwassermerkmalssimulation wird bei jedem neuen Ereignis in Abhängigkeit von der Auftretenswahrscheinlichkeit von eingipfligen bzw. mehrgipfligen Hochwasserereignissen zufällig eine eingipflige oder zweigipflige Direktabflussganglinie Q D ( t ) aus dem jeweiligen Ganglinienmodell generiert. Unter Annahme des Verlaufes des Basisabflusses wird die Abflussganglinie Q ( t ) ermittelt. Die Verteilung der Höhe des Basisabflusses zu Beginn des Ereignisses und eventuell auch der Anstieg des Basisabflusses können aus der Analyse der Hochwasserereignisse der Datenbasis ermittelt werden. Insbesondere bei größeren Abflusswerten hat die Höhe des Basisabflusses aber einen nicht mehr ganz so großen Einfluss, so dass der Basisabfluss bei der Generierung auch als konstant, z. B. als zwei- bis dreifachen Wert des mittleren Abflusses MQ, angenommen werden kann. Im Ergebnis können mit diesem Modell zur Hochwassermerkmalssimulation beliebig viele synthetische Hochwasserereignisse erzeugt werden. 5.4 Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre Die Möglichkeiten, wie das hier beschriebene Modell für die Hochwassermerkmalsimulation von komplexen Ganglinienformen angewendet werden kann, werden am Beispiel der der Wuppertalsperre beschrieben. Dabei wurde das Modell so angepasst, dass es jährliche Hochwasserereignisse generieren kann. Je nach Anwendungsfall kann das Modell zur Hochwassermerkmalssimulation z. B. auch getrennt für Sommer- und Winterereignisse aufgestellt werden. Dies kann bei einer saisonalen Aufteilung des Hochwasserrückhalteraums erforderlich sein. In dem hier beschriebenen Anwendungsbeispiel wird auf die Möglichkeit einer saisonalen Aufteilung des Hochwasserrückhalteraums aus Gründen der Vereinfachung verzichtet. Als Informationserweiterung wurde für den Zufluss zur Wuppertalsperre mit Hilfe eines Niederschlagsgenerators eine stündliche Zuflusszeitreihe mit der Länge 2000 Jahre stochastisch-deterministisch ermittelt (siehe Kapitel 5.4.2). Die Hochwasserereignisse dieser Zeitreihe wurden als Datenbasis für die Parameteranpassung verwendet Untersuchungsgebiet Die Wuppertalsperre hat ein Einzugsgebiet von 212 km² und liegt im Einzugsgebiet der Wupper mit einer Einzugsgebietsfläche von insgesamt 813 km² (siehe Abb. 5.12). Der mittlere Zufluss zur Talsperre beträgt 4,4 m³/s. Die Aufgaben der Wuppertalsperre sind Niedrigwasseraufhöhung und Hochwasserschutz. 116

129 5.4 Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre Abb. 5.12: Wupper-Einzugsgebiet Im Einzugsgebiet der Talsperre liegen weitere Talsperren, von denen die Bevertalsperre (natürliches Einzugsgebiet A E = 25,7 km²), die Lingesetalsperre (A E = 9,35 km²) und die Bruchertalsperre (A E = 5,8 km²) Hochwasserschutzfunktion haben. Die größte Bedeutung hat hierbei die Bevertalsperre, bei der von November bis Anfang Februar ein Hochwasserschutzraum von 5 Mio. m³ freigehalten wird. Der Hochwasserschutzraum der Wuppertalsperre ist saisonal variabel. Im Sommer von Mai bis Oktober wird kein Hochwasserrückhalteraum frei gehalten, im Winter von Anfang November bis Ende Januar wird der maximale Hochwasserrückhalteraum von 9,9 Mio. m³ zur Verfügung gestellt, der dann bis Ende April langsam verringert wird. Somit variiert das Stauziel Z S der Talsperre von 246,83 m ü. NN (I GHR = 9,9 Mio. m³) im Winter bis 252,5 m ü. NN (I GHR = 0 Mio. m³) im Sommer. Die Hochwasserentlastungsanlage ist ein 3-feldriges Überlaufwehr mit einer Gesamtdurchflussbreite von 3 x 12 m = 36 m mit Fischbauchklappen. Die Höhenstellung der Fischbauchklappen liegt in der Regel bei 252,7 m ü. NN und kann bis auf 249,75 m ü. NN abgesenkt werden. Bei einem Wasserstand von 252,7 m ü. NN verfügt die Hochwasserentlastungsanlage bei abgesenkter Klappenstellung über eine Abgabekapazität von 318 m³/s. Die beiden Grundablässe der Wuppertalsperre haben bei diesem Wasserstand eine maximale Kapazität von jeweils 88 m³/s. Für die Hochwassersteuerung der Talsperre ist der Pegel Kluserbrücke in Wuppertal maßgebend, da der Wasserstand bzw. Abfluss an diesem Pegel ausdrückt, wie stark die Stadt Wuppertal und die Unterlieger durch ein aktuelles Hochwasser gefährdet sind. Das von der Talsperre unbeeinflusste Zwischeneinzugsgebiet zwischen Talsperre und Pegel Kluserbrücke beträgt 125 km². Bei Einstau des Hochwasserrückhalteraums wird die Talsperre so 117

130 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation gesteuert, dass am Pegel Kluserbrücke ein Abfluss von 80 m³/s nicht überschritten werden sollte. Dabei sollte die Abgabe der Talsperre 50 m³/s nicht überschreiten. Bei großen Hochwasserereignissen wird im Verlauf des Hochwassers das Steuerziel am Pegel Kluserbrücke schrittweise auf die Stufen 100 m³/s, 150 m³/s und 190 m³/s erhöht Stochastisch-deterministische Generierung der Datengrundlage Ziel des BMBF-Projekts Entwicklung eines risikobasierten Entscheidungshilfesystems zur Identifikation von Schutzmaßnahmen bei extremen Hochwasserereignissen REISE ist die Entwicklung einer Methodik zur ereignisbezogenen und räumlichen Optimierung von technischen und organisatorischen Hochwasserschutzmaßnahmen für extreme Hochwasserereignisse in kleinen und mittleren Einzugsgebieten. Das Versuchsgebiet ist das Einzugsgebiet der Wupper. Im Rahmen dieses Projekts wurden für das Gebiet lange synthetische kontinuierliche Abflusszeitreihen stochastisch-deterministisch erzeugt (Petry et al., 2008). Die hierbei gewonnenen Ergebnisse für den Zulauf der Wuppertalsperre wurden in dieser Arbeit verwendet. Für die stochastische Simulation der Niederschlagsverhältnisse für das Gebiet der Wupper wurde ein stochastischer Niederschlagsgenerator mit einer Zeitschrittweite von einem Tag (Hundecha et al., 2008) verwendet (siehe Kapitel 5.2). Insgesamt standen 28 Stationen mit Tageswerten des Niederschlags über Zeiträume von mindestens 30 Jahren zur Verfügung. Mit dem Niederschlagsgenerator wurde eine Zeitreihe mit Tageswerten des Niederschlages mit einer Länge von 2000 Jahren erzeugt. Da an der Wupper ein Niederschlag-Abfluss- Modell für die kontinuierliche Modellierung von Stundenzeitschritten existiert, wurden die gesamten Tageswertzeitreihen des Niederschlags mit der Länge 2000 Jahre in Stundenzeitschritte disaggregiert. Es wurden hierzu die Ansätze von Koutsoyiannis (Koutsoyiannis, 2001; Koutsoyiannis et al., 2003) verwendet (siehe Kapitel 5.2). Das für die Niederschlag- Abfluss Modellierung verwendete Modell ist das flächenverteilt arbeitende konzeptionelle hydrologisches Modell NASIM der Firma Hydrotec (Hydrotec, 2007). Die Kalibrierung des Modells erfolgte mit Abflussdaten für den Zeitraum von 6 Jahren ( ). Die Steuerung der Talsperren im Gebiet, insbesondere der Wuppertalsperre, erfolgte mittels eines Betriebsmodells in NASIM unter Berücksichtigung der Steuerrichtlinien des Wupperverbandes. Die Wirkung der Talsperren oberhalb der Wuppertalsperre ist auf diese Weise in der Zuflusszeitreihe zur Wuppertalsperre berücksichtigt. Weitere Informationen zur Generierung der kontinuierlichen Abflusszeitreihen sind in Petry et al. (2008) dargestellt Ereignisseperation Zur Ermittlung der erforderlichen Parameterverteilungen wurden aus den gewonnenen synthetischen Abflussdaten mit einem am Lehrstuhl für Hydrologie, Wasserwirtschaft und Umwelttechnik der Ruhr-Universität Bochum entwickelten automatisierten Separierungsverfahren die Hochwasserereignisse mit den Jahreshöchstabflüssen identifiziert und aus 118

131 5.4 Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre der Zeitreihe separiert. Der Anfang eines Hochwasserereignisses ist durch den steilen Anstieg der Ganglinie relativ leicht zu identifizieren, das aufgrund des flacheren Abfalls schwerer zu definierende Ende wurde über ein Abbruchkriterium für den Gradienten der Rückgangskurve festgelegt. Anschließend wurde der Direktabfluss des Hochwasserereignisses aus den Ganglinien unter der Annahme eines linear ansteigenden oder je nach Ereignis ggf. auch konstanten Basisabflusses ermittelt. Bei der Separierung wurde das Kriterium für die Unabhängigkeit von zwei aufeinander folgenden Gipfeln entsprechend Abb. 5.8 berücksichtigt, so dass die so gewonnene Datenbasis nur aus mehrgipfligen Ereignissen besteht, dessen Gipfel voneinander abhängig sind. Abb zeigt zwei konkrete Beispiele, wie die Direktabflussganglinie von Hochwasserereignissen ermittelt wurde. Abb. 5.13: Beispiel für die Separierung von Hochwasserereignissen und Ermittlung der Direktabflussganglinien Wegen der Heterogenität der Hochwasserereignisse in der Zeitreihe ist das automatische Verfahren für die Separierung von Hochwasserereignissen nicht absolut zuverlässig. Deshalb wurden alle separierten Ereignisse noch einmal visuell überprüft und ggf. manuell korrigiert. Mit Hilfe der Kriterien in Abb. 5.8 wurden die Hochwasserereignisse anhand des Verlaufs der ermittelten Direktabflussganglinien in eingipflige, zweigipflige und Ereignisse mit mehr als zwei Gipfeln eingeteilt. Danach sind 1021 Ereignisse (51,05 %) eingipflig, 780 Ereignisse zweigipflig und 199 Ereignisse haben mehr als zwei Gipfel. Das linke Hochwasserereignis in Abb ist hierbei zweigipflig und das rechte dreigipflig. Wegen des Kriteriums, dass der kleinere Gipfel mindestens 20% des Scheitelwerts der Ganglinie haben muss, damit er als eigenständiger Gipfel angesehen werden kann, werden viele Ganglinien, die man eigentlich wegen des dominierenden Scheitelwerts als eingipflige Ganglinien definieren würde, den zweigipfligen Ganglinien zugeordnet. Abb zeigt ein solches Beispiel, bei dem der Scheitelwert der Ganglinie weitaus größer als der kleinere Gipfel ist. Da diese Ganglinienform aber nicht durch eine synthetische eingipflige Ganglinienfunktion, sondern eher durch die Überlagerung von zwei eingipfligen Wellen beschrieben werden kann, wurde dieses Kriterium mit 20% relativ niedrig gewählt. An die Eigenschaften der ermittelten Hochwasserereignisse wurden dann die erforderlichen Verteilungen der Parameter für das Modell zur Hochwassermerkmalssimulation angepasst. 119

132 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Abb. 5.14: Beispiel einer als zweigipflige Ganglinie definierten Direktabflussganglinie eines Hochwasserereignisses Parameterverteilungen für das eingipflige Ganglinienmodell Bei der Generierung der eingipfligen Ganglinien werden als Parameter die Hochwassereigenschaften Direktabflussscheitel Q SD, Hochwasserfülle V D und Scheitelanstiegszeit t A einschließlich der gegenseitigen Abhängigkeiten berücksichtigt. Die statistische Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen Direktabflussscheitel Hochwasserfülle und Scheitelanstiegszeit wurde über die Abhängigkeitsmaße Pearsonscher Korrelationskoeffizient r sowie den Rangkorrelationskoeffzienten Spearmans ρ und Kendalls τ (siehe Tab. 5.2) ermittelt. Tab. 5.2: Grad der Abhängigkeit für die Parameter der eingipfligen Ganglinien Stichprobengröße Pearsons r Kendalls τ Spearmans ρ Direktabflussscheitel Q SD Hochwasserfülle V D ,78 0,62 0,81 Hochwasserfülle V D Scheitelanstiegszeit t A ,6 0,37 0,65 Direktabflussscheitel Q SD Scheitelanstiegszeit t A ,21 0,12 0,32 Der Pearsonsche Korrelationskoeffizient hat den Nachteil, dass er nur ein Maß für die lineare Abhängigkeit der beiden Variablen ist und von den Randverteilungen der beiden Zufallsvariablen abhängt. In manchen Fällen existiert auch kein theoretischer Wert für den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten. Kendalls τ und Spearmans ρ hingegen können auch nichtlineare Abhängigkeiten zwischen den Variablen beschreiben, da sie nur von den Rängen der geordneten Stichprobe abhängen. 120

133 5.4 Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre Es zeigt sich, dass zwischen Direktabflussscheitel und Fülle, sowie zwischen Fülle und Scheitelanstiegszeit eine starke positive Abhängigkeit besteht. Zwischen Scheitel und Scheitelanstiegszeit besteht zwar eine positive Abhängigkeit, die aber im Vergleich zu den beiden anderen Parameterabhängigkeiten nicht sehr groß ist. Daher wurde im eingipfligen Ganglinienmodell für die drei Parameter keine trivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung ermittelt, sondern jeweils nur die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung für Scheitel und Fülle sowie Fülle und Scheitelanstiegszeit berücksichtigt. Die bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariablen Direktabflussscheitel- Hochwasserfülle und Hochwasserfülle-Scheitelanstiegszeit wurden mit Hilfe der Copula Methode ermittelt Randverteilungen der Zufallsvariablen Der erste Schritt für die bivariate Analyse von Zufallsvariablen ist die Schätzung der Randverteilungen. Für die Analyse wurden hierbei die univariaten Verteilungen Pearson III, Log-Pearson III, Gumbel, Weibull, Gamma, Exponential, Allgemeine Pareto and Allgemeine Extremwert-Verteilung (AEV) berücksichtigt. Die Anpassungsgüte der unterschiedlichen Verteilungen wurde mit verschiedenen Anpassungstests untersucht und die Verteilungen miteinander verglichen. Bei der Anpassung der univariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Direktabflussscheitel Q SD und Hochwasserfüllen V D der eingipfligen Hochwasserereignisse lieferte die Allgemeine Extremwertverteilung die beste Anpassung. Die beiden Parameterschätzmethoden der L-Momente und der Produktmomente lieferten eine ähnlich gute Anpassung an die Stichproben. Bei der visuellen Überprüfung (siehe Abb. 5.15) zeigte sich insbesondere im Bereich von kleinen Überschreitungswahrscheinlichkeiten für die Verteilung der Direktabflussscheitel Q SD die Parameterschätzmethode der Produktmomente und bei der Verteilung der Hochwasserfülle V D die Parameterschätzmethode der L-Momente als überlegen. Abb. 5.15: Anpassung der AEV-Verteilung a) an die Direktabflussscheitel Q SD und b) an die zugehörigen Hochwasserfüllen V D der eingipfligen Hochwasserereignisse Alle Parameter der in diesem Kapitel angepassten Verteilungsfunktionen sind im Anhang B in Tab. B-1 zusammengefasst. 121

134 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Bei der Verteilung der Scheitelanstiegszeit t A der eingipfligen Ganglinien ist zu erwarten, dass sich in Abhängigkeit von den Einzugsgebietseigenschaften ein Maximalwert ergeben wird, der unabhängig vom Ereignisverlauf aufgrund physikalischer Gesetzmäßigkeiten nicht überschritten werden kann. Daher wurde für die Verteilung der Scheitelanstiegszeiten eine nach oben und unten begrenzte Verteilungsfunktion, die Johnson S B Verteilung (siehe Anhang A 3), gewählt. Diese Verteilungsfunktion besitzt vier Parameter, u. a. mit ζ als untere Grenze und λ als Spannweite (obere Grenze untere Grenze). Bei einer nach oben offenen Verteilungsfunktion würden sich ansonsten bei der Generierung unrealistisch hohe Scheitelanstiegszeiten ergeben, die sich wie schon beschreiben, aufgrund der Einzugsgebietscharakteristik gar nicht einstellen können. Die kleinste aufgetretene Scheitelanstiegszeit der betrachteten Hochwasserereignisse betrug 3 Stunden. Daher wurde als untere Grenze der Johnsonverteilung ein etwas kleinerer Wert von 2,9 angesetzt, da bei der Johnsonverteilung nur Werte über der unteren Grenze ζ definiert sind. Durch die Variation der oberen Grenze ζ + λ und der Ermittlung der beiden weiteren Parameter δ und γ mit der Maximum Likelihood Methode nach Gl. A.31 und A.32 ergab sich für die Verteilungsfunktion nach visueller Überprüfung der Anpassungsgüte (siehe Abb. 5.16) die beste Anpassung an die Scheitelanstiegszeiten der eingipfligen Ereignisse bei einer oberen Grenze von 100 h. Abb. 5.16: Anpassung der Johnson-Verteilung an die Scheitelanstiegszeit t A der eingipfligen Hochwasserereignisse Wahl der geeigneten Copula für die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung von Direktabflussscheitel Q SD und zugehöriger Hochwasserfülle V D Das bivariate Verteilungsmodell wurde mit Hilfe der einparametrischen Archimedischen Copulas Ali-Mikhail-Haq, Frank, Cook-Johnson and Gumbel-Hougaard (Gleichungen siehe Tab. 5.1) konstruiert, da diese die in der Hydrologie am meisten angewendeten Familien der Archimedischen Copulas sind. Die geschätzten Parameter der Copulas, die mit der Maximum-Pseudolikelihood Methode geschätzt wurden, sind in Tab. 5.3 dargestellt. 122

135 5.4 Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre Tab. 5.3: Parameter und Anpassungsgüte an die Stichproben der angepassten Copulas Copula Parameterschätzung RMSE l ( θ ) Direktabflussscheitel Q SD Hochwasserfülle V D Gumbel-Hougaard θ = 2,37 0, Frank θ = 8,19 0, Cook-Johnson θ = 2,3 0, Ali-Mikhail-Haq θ = 0,999 0, BB1 θ 1 = 0,927; θ 2 = 1,723 0, Hochwasserfülle V D Scheitelanstiegszeit t A Gumbel-Hougaard θ = 1,57 0, BB1 θ 1 = 0,001; θ 2 = 1,57 0, In Abb sind für die vier Archimedischen Copulas die parametrischen und nichtparametrischen Werte für K C ( t ) dargestellt. Die Anpassung der Copula ist gut, wenn die Werte der Geraden, die den Ursprung im Winkel von 45 schneidet, folgen. Als weiterer Test wurden aus den vier Copulas Zufallszahlen ( u i,v i ) generiert und über die Randverteilungen F X ( x ) und F Y ( y ) in die Originaleinheiten zurück transformiert. Diese Zufallswerte wurden mit den Stichprobenwerten ( x i,y i ) verglichen. Die Streudiagramme für die vier Copulas sind in Abb dargestellt. An Abb ist gut zu erkennen, dass von diesen vier Copulas nur die Gumbel-Hougaard Copula die Abhängigkeitsstruktur der Stichprobe, vor allem im Bereich von kleinen Überschreitungswahrscheinlichkeiten, modellieren kann. Neben diesen grafischen Kontrollen der Anpassung wurden die Log-Likelihood Funktion l ( θ ) (Gl.5.21) und der RMSE (Gl. 5.30) als Maß für die Anpassungsgüte verwendet, um die Copula mit der besten Anpassung zu ermitteln (siehe Tab. 5.3). Beim Kriterium der Log-Likelihood Funktion hat das beste Modell den höchsten Wert und bei dem RMSE den kleinsten Wert. 123

136 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Abb. 5.17: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepassten Copulas. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung. Abb. 5.18: aus den vier Copulas generierte Zufallswerte von Kombinationen der Direktabflussscheitel und zugehörigen Hochwasserfüllen (graue Symbole) und Paare (x i,y i ) aus der stochastisch-deterministisch generierten Datenbasis (schwarze Symbole) 124

137 5.4 Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre Der Vergleich zwischen den parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) in Abb und den Werten der Log-Likelihood Funktion und des RMSE in Tab. 5.3 lassen den Schluss zu, dass die Frank-Copula die beste Anpassung an die Stichprobe liefert. Sieht man sich hingegen den Vergleich zwischen der parametrischen und nichtparametrischen Schätzung von K C ( t ) im Bereich großer Wahrscheinlichkeiten von K C ( t ) für die Gumbel-Hougaard und die Frank Copula an (Abb. 5.19), zeigt sich, dass die Gumbel-Hougaard Copula in diesem Bereich eine weitaus bessere Anpassung liefert. Bei der Frank Copula haben die parametrischen Schätzungen aus der Copula einen bedeutend höheren Wert als die nichtparametrischen Schätzungen aus der Stichprobe. Beim nichtparametrischen Wert von K Cn ( t ) = 0,99 weist die parametrische Schätzung aus der Frank Copula von K Cθ ( t ) einen Wert von ca. 0,998 auf. Wird der Zufallsprozess durch die Frank-Copula modelliert, tritt also mit einer viel größeren Wahrscheinlichkeit P (C ( u,v ) t ) = K Cθ ( t ) = 0,998 ein Wertepaar mit einem Wert der Copula C ( u,v ) t auf, als bei der für die Anpassung verwendeten Stichprobe P (C ( u,v ) t ) = 0,99. Dies zeigt sich auch bei den aus der Copula generierten Zufallswerten in Abb Abb. 5.19: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzung von K C ( t ) im Bereich großer Wahrscheinlichkeiten für die Frank und Gumbel- Hougaard Copula Abb. 5.20: aus der Frank Copula generierte Zufallspaare ( x,y ) (graue Symbole) und Paare( x i,y i ) aus der stochastischdeterministisch generierten Datenbasis (schwarze Symbole) Im Zufallsprozess wurden nur sehr wenige (13) Zufallswerte erzeugt, die oberhalb der Isolinie von C ( u,v ) = t = 0,995 liegen. Die parametrische Schätzung von K Cθ (0,995) nimmt für die angepasste Frank Copula den Wert 0,9999 an. Bei Simulationen sollten bei dieser Wahrscheinlichkeit K Cθ (0,999) also Werte auf und unterhalb der Isolinie liegen und lediglich 10 Werte oberhalb. Dies wird bei der Simulation durch die Anzahl von 13 Werten auch näherungsweise erreicht. Die aus der Stichprobe ermittelte nichtparametrische Schätzung für K Cn (0,995) entspricht ungefähr 0,998, bei einer Simulation von Werten sollten also 200 Werte oberhalb der Isolinie 0,998 liegen. Dies zeigt, dass die Anpassung der Frank Copula vor allem im oberen Bereich der Verteilungsfunktion sehr schlecht ist, da die Abhängigkeitsstruktur der Daten nicht korrekt wiedergegeben wird. 125

138 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Durch die Frank Copula werden also fast keine Wertepaare generiert, bei denen die Überschreitungswahrscheinlichkeiten von beiden Zufallsvariablen sehr klein sind. Dieses Beispiel zeigt, dass für die Wahl der Copula alle zur Verfügung stehenden Mittel zur Ermittlung der Anpassungsgüte genutzt werden müssen, um eventuell nicht eine Copula auszuwählen, die die Abhängigkeiten der Werte falsch abbildet. Da keine der vier einparametrigen Archimedischen Copulas eine optimale Anpassung an die Stichprobe liefert, wurde die zweiparametrige Copula BB1 über die Parameterschätzmethode Maximum-Pseudolikelihood an die Stichprobe angepasst (Parameter siehe Tab. 5.3). Der Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Werte von K C ( t ) sind in Abb a) und das Streudiagramm mit dem Vergleich der Stichprobe mit zufällig aus der BB1 Copula generierten Werten sind in Abb b) dargestellt. Die beiden Abbildungen zeigen, dass die BB1 Copula die Abhängigkeitsstruktur der Daten sehr gut abbildet. Vergleicht man die Werte der Log-Likelihood Funktion l ( θ ) für die angepassten Copulas in Tab. 5.3, so zeigt sich, dass die BB1 Copula die eindeutig beste Anpassung an die Daten liefert. Daher wird als bivariate Verteilungsfunktion für den Direktabflussscheitel und die zugehörige Hochwasserfülle die BB1 Copula gewählt. a) Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzung von K C ( t ) für die BB1 Copula b) aus der BB1 Copula generierte Zufallspaare ( x,y ) (graue Symbole) und Paare( x i,y i ) aus der stochastisch-deterministisch generierten Datenbasis (schwarze Symbole) Abb. 5.21: Anpassung der BB1 Copula für die Eigenschaften Direktabflussscheitel Q SD und Hochwasserfülle V D der eingipfligen Hochwasserereignisse Wahl der geeigneten Copula für die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung von Hochwasserfülle V D und Scheitelanstiegszeit t A An der vorangegangenen Auswertungen hat sich gezeigt, dass von den in dieser Arbeit berücksichtigten Copulas die BB1 und Gumbel-Hougaard Copula am besten geeignet sind, die Abhängigkeitsstruktur zwischen der Hochwasserfülle V D und der Scheitelanstiegszeit t A zu modellieren. Als Parameterschätzmethode wurde auch hier die Maximum- Pseudolikelihood Methode verwendet (Parameter siehe Tab. 5.3). 126

139 5.4 Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre a): Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die Gumbel-Hougaard Copula (und die BB1-Copula) b): aus der Gumbel-Hougaard Copula generierte Zufallspaare ( x,y ) (schwarze Symbole) und Paare( x i,y i ) aus der stochastisch-deterministisch generierten Zeitreihe (graue Symbole) Abb. 5.22: Anpassung der Gumbel-Hougaard Copula für die Eigenschaften Hochwasserfülle V D und Scheitelanstiegszeit t A der eingipfligen Hochwasserereignisse Bei der Anpassung der BB1 und Gumbel-Hougaard Copula an die beiden Zufallsvariablen liefern beide Copulas nach Tab. 5.3 die exakt gleiche Anpassungsgüte, da in der BB1 Copula bei der Parameterschätzung mit der Maximum-Pseudolikelihood Methode der Parameter θ 1 0 geht und somit die BB1 Copula zur Gumbel-Hougaard Copula wird. Für die weitere Arbeit wurde daher die Gumbel-Hougaard Copula verwendet. Am Verlauf der aus der Copula generierten Zufallspaare in Abb sieht man sehr gut, dass die Scheitelanstiegszeit durch die Johnson-Verteilung nach oben (100 Stunden) begrenzt ist Parameterverteilungen für das zweigipflige Ganglinienmodell Bei der Auswertung der Position des Scheitels der zweigipfligen Hochwasserereignisse ergab sich, dass der Scheitelwert bei 46,5 % der Ereignisse an der Stelle des ersten Gipfels bzw. bei 53,5 % der Ereignisse an der Position des zweiten Gipfels aufgetreten ist. Dieses Verhältnis wurde beim Parameter pos berücksichtigt, wenn die zweigipfligen Ganglinien generiert werden. Für die Direktabflussscheitelwerte Q SD zeigte die AEV-Verteilung mit der Momentenmethode als Parameterschätzmethode die beste Anpassung (siehe Abb. 5.23). Da die Scheitelabstände per Definition (bei einem Scheitelabstand > 168 h werden zwei aufeinander folgende Scheitel als voneinander unabhängig angesehen) nach oben begrenzt sind, wurde an d I-II wieder die oben und unten begrenzte Johnson S B Verteilung angepasst. Der kleinste aufgetretene Scheitelabstand in den zweigipfligen Hochwasserereignissen war 9 h, so dass für die Johnson S B Verteilung als untere Grenze ζ ein Wert von 8,9 h und als obere Grenze ζ + λ ein Wert von 168 h definiert wurde. Die beiden anderen Parameter δ und γ der Verteilung wurden über die Maximum Likelihood Methode geschätzt. Die Anpassung der Verteilung an die Daten ist in Abb dargestellt. 127

140 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Abb. 5.23: Anpassung der AEV-Verteilung an die Direktabflussscheitel Q SD der zweigipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.24: Anpassung der Johnson-Verteilung an die Scheitelabstände d I-II der zweigipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.25: Empirische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pdf und Verteilungsfunktion cdf der Gipfelverhältnisse ver der zweigipfligen Hochwasserereignisse Da die Werte für die Scheitelverhältnisse, wie schon beschrieben, zwischen 0,2 und 1 liegen, müssen sie nicht extrapoliert werden. Daher können die Zufallszahlen aus der empirischen Verteilung generiert werden (siehe Abb. 5.25). Bei der späteren Generierung der beiden Einzelwellen für die Verschneidung wurde in Abhängigkeit der vorher erzeugten Scheitelwerte eine Zufallszahl aus der bedingten Verteilung von der Hochwasserfülle unter der Bedingung eines festen Scheitelwertes generiert. Durch die Copula-Funktion kann über die Gl sehr einfach die bedingten Verteilungsfunktionen ermittelt werden. In Abb a) ist die bedingte Verteilungsfunktion F ( V v Q = q ) und in Abb b) die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Hochwasserfülle unter der Bedingung eines Direktabflussscheitels mit einer Unterschreitungswahrscheinlichkeit von 0,99 und 0,999 dargestellt. In der Abb b) ist, wie zu erwarten, der Erwartungswert und die Variabilität der Fülle unter der Bedingung des höheren Scheitelwertes höher als unter der Bedingung des kleineren Scheitelwertes. 128

141 5.4 Stochastische Generierung von Ganglinien für die Wuppertalsperre Abb. 5.26: a) Bedingte Verteilungsfunktion ( cdf ) und b) bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ( pdf ) für die Hochwasserfülle unter der Bedingung eines Scheitelwertes mit der Unterschreitungswahrscheinlichkeit von F( q ) = 0,99 und F( q ) = 0, Validierung des stochastischen Gangliniengenerators Bevor mit dem hier entwickelten Modell Hochwasserereignisse stochastisch generiert wurden, um sie zur Hochwasserbemessung und Risiko-Analyse von Talsperren einzusetzen, mussten deren Eigenschaften validiert werden. Im ersten Schritt wurde die Datenbasis für die zweigipflige Gangliniengenerierung an Hand der zweigipfligen Datenbasis und im zweiten Schritt das Gesamtmodell für die Hochwassermerkmalssimulation von ein- und zweigipfligen Ganglinien an Hand der Eigenschaften der gesamten Datenbasis, also von allen ein-, zwei- und mehrgipfligen Ganglinien, validiert Validierung der zweigipfligen Gangliniengenerierung Für die Validierung des zweigipfligen Ganglinienmodells wurden zweigipflige Ganglinien stochastisch generiert und mit den Eigenschaften der 780 zweigipfligen Ganglinien der Datenbasis aus der stochastisch-deterministisch generierten Zeitreihe mit der Länge von Jahre verglichen. Da in dem Modell (siehe Abb. 5.11) nach einer Anzahl n max von erfolglosen Versuchen, die zweigipflige Ganglinie zu generieren, der Direktabflussscheitel Q SD und das Scheitelverhältnis ver erneut aus den Verteilungen zufällig generiert werden, ist zu erwarten, dass sich die Verteilungen dieser beiden Eigenschaften von der Verteilung der Datenbasis leicht unterscheiden. Wäre die Veränderung der Verteilung zu groß, wäre das entwickelte Modell für dieses Anwendungsbeispiel nicht brauchbar. In Abb a) und d) sieht man, dass sich die generierten Verteilungen nicht sehr stark von der Verteilung der Datenbasis unterscheiden und somit auch die generierte Verteilung der Nebengipfel Q ND gut mit der Datenbasis übereinstimmt (siehe Abb c)). Im zweigipfligen Gangliniengenerator wurde die Verteilung der Direktabflussvolumina V D und der Scheitelanstiegszeit t A nicht explizit als Parameter berücksichtigt. Natürlich muss aber anhand der Eigenschaften der generierten Ganglinien überprüft werden, ob die Werte mit der Datenbasis übereinstimmen. Abb b) und e) zeigt, dass auch hier eine sehr gute Übereinstimmung mit der Datenbasis besteht. 129

142 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation a) Direktabflussscheitel Q SD der zweigipfligen Ereignisse b) Hochwasserfülle V D der zweigipfligen Ereignisse c) Höhe des Nebengipfels Q ND der zweigipfligen Ereignisse d) Verhältnis ver = Q ND / Q SD zwischen den beiden Gipfeln der zweigipfligen Ereignisse e) Scheitelanstiegszeit t A zu dem Direktabflussscheitel Q SD der zweigipfligen Ereignisse Abb. 5.27: Vergleich der zweigipfligen Ereignisse aus der stochastisch deterministisch ermittelten Zeitreihe der Länge 2000 Jahre mit über Hochwassermerkmalssimulation generierten zweigipfligen Ereignissen Validierung des Gesamtgangliniengenerators Durch den Vergleich der wichtigsten Hochwassereigenschaften Direktabflussscheitel Q SD und Hochwasserfülle V D von allen Hochwasserereignissen der Datengrundlage, also auch den Ereignissen mit mehr als zwei Gipfeln, die bei der Parametrisierung der Ganglinienmodelle nicht berücksichtigt wurden, wurden die mit dem Gesamtmodell der Hochwassermerkmalssimulation generierten Ganglinien validiert. Obwohl im Ganglinienmodell nur ein- und zweigipflige Ganglinien berücksichtigt werden, zeigen die generierten Werte eine sehr gute Anpassung an die Werte der ein-, zwei- und mehrgipfligen Ereignisse der Datengrundlage 130

143 5.5 Risikoanalyse für eine fiktive Talsperre auf Grundlage der Wupper-Talsperre Abb. 5.28: Vergleich der Eigenschaften der Ereignisse aus der stochastisch deterministisch ermittelten Zeitreihe der Länge 2000 Jahre mit über Hochwassermerkmalssimulation generierten Ereignissen Die Ergebnisse der Validierung des zweigipfligen Ganglinienmodells mit den Eigenschaften der zweigipfligen Hochwasserereignisse und der Vergleich der Eigenschaften der generierten Ganglinien des Gesamtmodells mit denen aller Hochwasserereignisse der Datenbasis hat gezeigt, dass mit dem Modell der Hochwassermerkmalssimulation die jährlichen Hochwasserereignisse im Zulauf der Wuppertalsperre sehr gut beschrieben werden können. 5.5 Risikoanalyse für eine fiktive Talsperre auf Grundlage der Wupper- Talsperre In diesem Kapitel wird der entwickelte Gangliniengenerator am Beispiel der Risikoanalyse für eine fiktive Talsperre getestet. Als Grundlage der fiktiven Talsperre soll die Wuppertalsperre mit einer veränderten Hochwasserentlastung und einer veränderten Stauraumaufteilung dienen. Die vier Felder der tatsächlichen Hochwasserentlastungsanlage der Wuppertalsperre verfügen bei voll geöffneter Klappenstellung bei einem Wassertand von 252,7 m ü. NN über eine Abflusskapazität von 318 m³/s (212 m³/s bei der (n-1)-bedingung). Die beiden Grundablässe verfügen bei diesem Wasserstand jeweils über eine Kapazität von 88 m³/s. Somit verfügt die Wuppertalsperre über eine Gesamtabgabekapazität von 494 m³/s, wenn alle Verschlüsse berücksichtigt werden und eine Kapazität von 388 m³/s unter Berücksichtigung der (n-1)-bedingung. Wird für diese Abflusswerte mit der in Kapitel angepassten Allgemeine Extremwertverteilung der Jahreshöchstabflüsse im Zufluss der Wuppertalsperre die zugehörige Jährlichkeit ermittelt, ergibt sich in jedem Fall eine Jährlichkeit des Hochwasserscheitels von weit mehr als Jahren. Somit verfügt die Wuppertalsperre über eine außergewöhnlich hohe Hochwassersicherheit. Da wegen dieser großen Abgabekapazität der Verschlüsse der Wuppertalsperre eine Risikoanalyse nicht sehr interessant ist, wurde die Risikoanalyse mit veränderten Eigenschaften durchgeführt und für die fiktive Talsperre angenommen, dass die Hochwasserentlastungsanlage nur aus dem festen Überfall der Breite 36 m mit einer Überlaufkante auf 252,7 m ü. NN besteht. Das 131

144 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Stauziel Z S der fiktiven Talsperre wurde zu 250 m ü. NN festgelegt. Für den Basisabfluss der generierten Hochwasserereignisse wurde in der Simulation immer der dreifache mittlere Abfluss (3 MQ = 13,1 m³/s) angesetzt. Da in diesem Beispiel gezeigt werden soll, wie sich das Ganglinienmodell der Hochwassermerkmalssimulation auf die Risikoanalyse auswirkt, wurde als stochastische Belastung nur der Zufluss zur Talsperre berücksichtigt. Andere in Kapitel beschriebenen Belastungsgrößen, wie z. B. Wasserstand zu Beginn des Ereignisses (im Folgenden als Startwasserstand bezeichnet) und Wasserspiegelerhöhungen durch Windstau und Wellenauflauf, wurden somit nicht berücksichtigt. Würde der Startwasserstand als stochastische Variable betrachtet werden, könnte die entsprechende Verteilung aus der stochastischdeterministisch generierten Zeitreihe der Länge 2000 Jahre ermittelt werden. Damit bei der zufälligen Ermittlung des Startwasserstands keine unsinnig hohen Werte generiert werden (z. B. Wasserstände höher als die Krone der Talsperre), ist es nicht sinnvoll, eine nach o- ben offene Verteilungsfunktion zu verwenden. Stattdessen ist es besser, die Zufallswerte aus der empirischen Verteilung zu generieren. Für die Berücksichtigung von Wasserspiegelerhöhungen durch Wind und Wellen kann auf Ansätze in der Literatur (siehe z. B. Hable, 2001; Pohl, 1997) zurückgegriffen werden. Die Simulationen für die fiktive Talsperre wurden für die Randbedingungen nach DIN (2004) für die Hochwasserbemessungsfälle 1 und 2 durchgeführt. Der Startwasserstand wird hierbei nicht als Zufallsvariable betrachtet, sondern stattdessen bei den Berechnungen das Stauziel Z S (der gesamte Hochwasserrückhalteraum steht zur Verfügung) angesetzt. Die Retentionsberechnungen wurden mit und ohne Berücksichtigung der (n-1)- Bedingung durchgeführt. Bei beiden Fällen wurde als Steuerziel für die Hochwassersteuerung ein Regelabfluss von 50 m³/s angesetzt. Für die Parallelentlastung ab dem Vollstau Z V wurde die volle Kapazität der verfügbaren Grundablässe angesetzt. Die aus den , über die Hochwassermerkmalssimulation generierten Ereignissen ermittelten empirischen Verteilungen der sich ergebenden maximalen Wasserspiegel sind in Abb dargestellt. Bis zum Erreichen des Vollstaus Z V sind beide empirischen Verteilungen gleich, da der Regelabfluss von 50 m³/s auch bei der (n-1)-bedingung durch einen der Grundablässe abgegeben werden kann. Der horizontale Verlauf zu Beginn ist dadurch zu erklären, dass alle Ereignisse mit einem Scheitelwert kleiner 50 m³/s ohne eine Wasserspiegeländerung abgegeben werden können. Nach Erreichen des Vollstaus wird die volle Grundablasskapazität angesetzt, die bei der (n-1)-bedingung 88 m³/s und ohne (n-1)-bedingung 176 m³/s beträgt. Aufgrund dieser unterschiedlichen Abgabekapazität bei der Parallelentlastung nehmen die beiden empirischen Verteilungen einen unterschiedlichen Verlauf. Ohne die (n-1)- Bedingung ist der Verlauf aufgrund der weitaus größeren Abgabe über die Grundablässe (max. 176 m³/s anstatt 88 m³/s) nach Erreichen des Vollstaus wieder annähernd waagrecht und steigt erst bei noch größeren Ereignissen wieder an. 132

145 5.5 Risikoanalyse für eine fiktive Talsperre auf Grundlage der Wupper-Talsperre Abb. 5.29: Empirische Verteilung der resultierenden Wasserspiegelhöhen der Simulationen mit und ohne (n-1)-bedingung Bei den Simulationen mit und ohne (n-1)-bedingung wurde die Krone in beiden Fällen nur bei einem Ereignis überschritten. Dieses ist ein eingipfliges Ereignis (siehe Abb. 5.30) und die gemeinsame bivariate Wahrscheinlichkeit F Q,V ( q,v ) für den Direktabflussscheitel von 500 m³/s und der Hochwasserfülle von 222 hm³ des Ereignisses ergibt sich zu 0, Nach Gl ergibt sich die Jährlichkeit, dass im Zufallsprozess ein eingipfliges Ereignis mit einer höheren bivariaten Wahrscheinlichkeit F Q,V ( q,v ) auftritt zu ca. 14 Mio. Jahren. Auch bei dem zweithöchsten Ereignis handelt es sich um ein sehr seltenes eingipfliges Ereignis, mit einer Jährlichkeit von ca. 3 Mio. Jahren, dass in dem Zufallsprozess ein eingipfliges Ereignis mit einer höheren bivariaten Wahrscheinlichkeit F Q,V ( q,v ) auftritt. Aufgrund dieser bei einer Simulation von Jahren nicht zu erwartenden sehr hohen Jährlichkeiten der beiden höchsten Ereignisse wird die Überflutungssicherheit mit und ohne (n-1)-bedingung auf alle Fälle über einem Wert von 1/ liegen, wobei die Überflutungssicherheit bei der Berücksichtigung aller Grundablässe natürlich bedeutend höher liegt. Da die Simulationen mit den Randbedingungen für die Hochwasserbemessungsfälle 1 und 2 durchgeführt wurden, können auch die Hochwasserstauziele Z H1 und Z H2 für die fiktive Talsperre ermittelt werden. Bei der empirischen Unterschreitungswahrscheinlichkeit P U von 0,999 (T = 1000 a) ergibt sich ein Hochwasserstauziel Z H1 von 253,62 m ü. NN. Da die aus den Simulationen ohne (n-1)-bedingung resultierende Wasserspiegelhöhe für eine empirische Unterschreitungswahrscheinlichkeit von 0,9999 (T = a) kleiner als 253,62 m ü. NN ist, ergibt sich in diesem Fall das Hochwasserstauziel zu Z H2 = Z H1 = 253,62 m ü. NN. Das eine ermittelte Ereignis, das zu einer Überflutung der Talsperre geführt hat, ist ein eingipfliges Ereignis mit einem großem Scheitel und einer Scheitelanstiegszeit, die nahe bei der maximalen möglichen Anstiegszeit von 100 h (siehe Abb. 5.30) liegt. Die Ganglinien, die zu den 8 größten Wasserspiegelhöhen geführt haben, waren alle von eingipfliger 133

146 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Form. Ermittelt man von den Ereignissen, die zu einer Wasserspiegelhöhe größer Vollstau Z V geführt haben, den Anteil der zweigipfligen Ereignisse, so ergibt sich ein Anteil von 66 %. Der Gesamtanteil der mehrgipfligen Ereignisse der Hochwasserereignisse aus der über die stochastisch-deterministisch generierte Zeitreihe ermittelten Datenbasis liegt bei 49 %. Auch wenn die höchsten Ereignisse für diese fiktive Talsperre eingipflig sind, zeigt sich am höheren Prozentsatz zweigipfliger Ganglinien, wie wichtig die Berücksichtigung von mehrgipfligen Ganglinien bei der Hochwassermerkmalssimulation ist. In Abb ist ein Beispiel für eine zweigipflige Ganglinie dargestellt, die zu einer Wasserspiegelhöhe geführt hat, die über dem Hochwasserstauziel Z H1 liegt. Abb. 5.30: Ganglinie die bei der (n-1)- Bedingung zu der Überflutung der Krone führt Abb. 5.31: Zweigipflige Ganglinie und resultierende Wasserspiegelhöhe mit (n-1)- Bedingung Es ist äußerst unwahrscheinlich, dass in einer Simulation von Jahren zwei so seltene Ereignisse auf treten. Um auszuschließen, dass bei der Gangliniengenerierung überproportional viele seltene Ereignisse generiert werden, wurden die Simulationen noch einmal für Jahre durchgeführt. An der empirischen Verteilung der resultierenden Wasserspiegelhöhen in Abb zeigt sich, dass im Generierungsprozess nicht zwangsläufig so unwahrscheinlich große Ereignisse generiert werden. Da die Krone bei keinem der Ereignisse in den Jahren überflutet wird, bestätigen die Ergebnisse der neuen Simulation die oben getroffene Vermutung, dass die Überflutungssicherheit bei beiden Fällen größer als 1/ Jahren ist. Eine Ermittlung der tatsächlichen Überflutungssicherheit in diesem Anwendungsfall wäre also nur mit einer weitaus größeren Anzahl von Simulationen und somit der Generierung von noch selteneren Ereignissen und den damit verbundenen Unsicherheiten, möglich. Die Hochwasserstauziele Z H1 und Z H2 haben sich bei der neuen Simulation nicht verändert. Dies weist darauf hin, dass die Generierung von Ereignissen ausreichend ist, um bei einer stochastischen Bemessung die Hochwasserstauziele Z H1 und Z H2 vertrauenswürdig zu bestimmen, da hierbei unter den generierten Ereignissen im statistischen Mittel 100 Ereignisse mit einer Jährlichkeit größer 1000 Jahre und 10 Ereignisse mit einer Jährlichkeit größer Jahre auftreten. Wie zu erwarten, nimmt mit zunehmender Ereignisgröße der Einfluss der Abgabe über den zweiten Grundablass ab, so dass der Abstand zwischen den beiden empirischen Verteilungen mit und ohne (n-1)-bedingungen bei kleiner werdender 134

147 5.6 Zusammenfassung Überschreitungswahrscheinlichkeit abnimmt. Da die Generierung auf Pseudozufallszahlen beruht, kann die Ursache für das gleichzeitige Auftreten von zwei so unwahrscheinlichen Ereignissen im ersten Simulationslauf am verwendeten Pseudozufallszahlengenerator liegen. Abb. 5.32: Empirische Verteilung der resultierenden Wasserspiegelhöhen für Simulationen mit und ohne (n-1)-bedingung 5.6 Zusammenfassung Der Vergleich der stochastisch generierten Ganglinien mit den Hochwasserereignissen aus der stochastisch-deterministisch generierten Zeitreihe der Länge 2000 Jahre zeigt, dass mit dem in diesem Kapitel entwickelten Ganglinienmodell für die Hochwassermerkmalssimulation gute Ergebnisse für die Generierung von ein- und zweigipfligen Hochwasserereignissen erhalten werden können. Da normalerweise die Abflussbeobachtungen für eine Parametrisierung von komplexeren Ganglinienmodellen nicht ausreichen, kann dies durch die Erweiterung der erforderlichen Datenbasis über eine deterministische Simulation mit stochastisch generierten Niederschlägen möglich gemacht werden. Es muss aber einschränkend angemerkt werden, dass die so simulierte Datenbasis echte Messreihen über einen möglichst langen Zeitraum nicht ersetzen kann. Sie sind vielmehr eine wichtige Stütze um die Plausibilität der Ergebnisse zu verifizieren. Die Ergebnisse der Risikoanalyse für die fiktive Talsperre zeigen, dass das Modell zur Hochwassermerkmalssimulation auch geeignet ist, die dafür erforderlich große Anzahl von Hochwasserereignissen im Zufluss bereitzustellen. In diesem Beispiel wurde bei der Ermittlung des Versagensrisikos nur die Belastungsgröße Zufluss berücksichtigt. Durch die Kopplung des Modells mit schon entwickelten Ansätzen, die auch die Unsicherheit der anderen Belastungsgrößen, wie z. B. Startwasserstand, Wellenauflauf und Windstau berücksichtigen, ist eine sehr differenzierte und vollständige Zuverlässigkeitsanalyse für Talsperren möglich. 135

148 5 Stochastische Generierung von Hochwasserereignissen unter Anwendung der multivariaten Statistik für die Hochwassermerkmalssimulation Werden bei der Simulation, wie im Beispiel gezeigt, die Randbedingungen für die Bemessung der Hochwassersicherheit von Talsperren entsprechend DIN (2004) angesetzt, kann mit dem Modell eine stochastische Bemessung der Hochwassersicherheit einer Anlage durchgeführt werden und hierfür die zu den Hochwasserbemessungsfällen 1 und 2 gehörigen Hochwasserstauziele Z H1 und Z H2 ermittelt werden. 136

149 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Bei größeren Einzugsgebieten ist die Hochwasserschutzwirkung einer oder mehrerer Stauanlagen stark durch die ereignisspezifischen Hochwasserabläufe, wie die räumliche Verteilung der hochwasserauslösenden Niederschlagsereignisse, bestimmt. In großen Flussgebieten bestehen darüber hinaus die Probleme der Koinzidenz von Hochwasserereignissen in Teileinzugsgebieten sowie der Interaktion von Anlagen des technischen Hochwasserrückhalts. Aufgrund dieser Komplexität in Flussgebieten ist die in den vorangegangen Kapiteln verwendete Hochwassermerkmalssimulation für die Ermittlung bzw. Bemessung der Hochwasserschutzwirkung des Systems im Rahmen der Risikoanalyse nicht geeignet. 6.1 Methodik Um alle möglichen Hochwassersituationen in der Bemessung zu berücksichtigen, bietet sich für die Bemessung eine kontinuierliche räumlich verteilte stochastische Niederschlagsgenerierung in Verbindung mit einem deterministischen Niederschlag-Abfluss- Modell an, um die hydrologischen Szenarien für die Bemessung zu ermitteln. Für die Bewertung der Hochwasserschutzwirkung eines Hochwasserrückhaltesystems müssen die Auswirkungen, wie z. B. Schäden, der stochastisch-deterministisch ermittelten Hochwasserereignisse probabilistisch bewertet werden Stochastisch-deterministische Generierung der Hochwasserereignisse Bei der hier vorgestellten Methodik für die stochastisch-deterministische Generierung von Hochwasserereignissen sind grundsätzlich zwei Fälle zu unterscheiden: 1. In dem Flussgebiet ist es aufgrund der Datenlage (z. B. lange kontinuierliche Abfluss- und Niederschlagsbeobachtungen mit hoher zeitlicher Auflösung) möglich ein kontinuierliches N-A-Modell mit der Zeitschrittweite von 1 h aufzustellen. 2. Aufgrund der fehlenden langen Abfluss- bzw. Niederschlagsbeobachtungen in hoher zeitlicher Auflösung ist es nicht möglich für das Gebiet ein kontinuierliches N-A-Modell mit der Zeitschrittweite von 1 h anzupassen. In diesem Fall muss ein kontinuierliches Modell auf Tageswertbasis und für die Ereignissimulation ein er- 137

150 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten eignisbasiertes Modell mit der Zeitschrittweite von 1 h angepasst werden. Aus den Ergebnissen der Langzeitsimulation auf Tageswertbasis werden dann die Ereignisse und die jeweiligen Anfangsbedingungen für die ereignisbasierte Simulation in stündlicher Auflösung ausgewählt. In beiden Fällen wird bei der stochastischen Niederschlagsgenerierung zuerst aus gemessen Tageswerten des Niederschlages die Parameter für den in Kapitel 5.2 vorgestellten stochastische Niederschlagsgenerator mit einer Zeitschrittweite von einem Tag (Hundecha et al., 2008; Schumann, 2008) angepasst und damit lange kontinuierliche Niederschlagszeitreihen generiert. Die stochastisch-deterministisch generierten Tagesniederschläge werden anschließend mit den Ansätzen von Koutsoyiannis (Koutsoyiannis, 2001; Koutsoyiannis et al., 2003) zeitlich disaggregiert (Ablauf Disaggregierung siehe Kapitel 5.2). Liegt ein kontinuierliches N-A-Modell mit der Zeitschrittweite von 1 h vor (Fall 1), werden die gesamten generierten kontinuierlichen Tageswertzeitreihen des Niederschlages in Stundenwerte disaggregiert. Die disaggregierten kontinuierlichen Stundenwerte dienen dann als Eingangsgröße für das N-A-Modell. Liegt nur ein kontinuierliches N-A-Modell auf Tageswertbasis vor (Fall 2), dienen die generierten Tagesniederschläge des Niederschlages als Eingangsgröße für das auf Tageswertbasis arbeitende hydrologische Modell. Aus den damit modellierten Tageswerten des Abflusses werden Hochwasserereignisse ausgewählt, für die die Tagesniederschläge in Stundenwerte disaggregiert werden. Diese dienen dann als Eingangsgröße für das ereignisbasierte N-A-Modell. Die Anfangsbedingungen für die Ereignissimulation, wie z. B. Bodenfeuchte, Speicherfüllung, Basisabfluss und Schneehöhe, werden aus der Langzeitsimulation auf Tageswertbasis übernommen Probabilistische Bewertung der generierten Hochwasserereignisse Wie in Kapitel 5.1 beschrieben, kann die häufig in der Praxis angewendete Bewertung eines Hochwasserereignisses über die Auftretenswahrscheinlichkeit des Scheitels zu einer Über-, aber auch Unterschätzung des mit dem Hochwasserereignis verbundenen Risikos und somit der Auswirkungen, wie z. B. den entstehenden Schäden, führen. Mit Hilfe von den in Kapitel 5.1 vorgestellten Copula-Funktionen (kurz Copulas genannt) können Hochwasserereignisse für Hochwasserrückhaltesysteme und für einzelne Stauanlagen in Flussgebieten über bivariate Wahrscheinlichkeiten bewertet werden. Wie bereits ausgeführt, ist es bei der extremwertstatistischen Einordnung von Ereignissen für die Bemessung von technischen Hochwasserrückhaltesystemen wichtig, neben dem Hochwasserscheitel auch das Hochwasservolumen zu berücksichtigen. Bei Talsperren kann z. B. ein Ereignis mit einem hohem Scheitelwert und einem kleinen Volumen im Hochwasserrückhalteraum gespeichert werden, während ein Ereignis mit einem kleineren Scheitel aber größeren Volumen zu einer Überlastung der Talsperre führt. Dies ist auch in der neuen DIN (2004) berücksichtigt worden, denn sie fordert, eine Talsperre auch 138

151 6.1 Methodik mit Ereignissen, die eine Inhaltsmaximierung bewirken, zu überprüfen. Daher ist es bei der Betrachtung der Einzelanlagen sinnvoll die Hochwasserereignisse über die bivariate Wahrscheinlichkeit von Scheitel und Volumen zu bewerten. In großen Flussgebieten bestehen darüber hinaus die Probleme der Koinzidenz von Hochwasserereignissen in Teileinzugsgebieten sowie der gegenseitigen Beeinflussung von mehreren technischen Hochwasserrückhalteanlagen. Daher kann es bei der Bewertung des gesamten Flussgebietes von großer Bedeutung sein, auch die Koinzidenz von Hochwasserereignissen in den unterschiedlichen Teileinzugsgebieten bei der Risikoanalyse zu berücksichtigen, also wie wahrscheinlich es ist, dass z. B. in beiden Teileinzugsgebieten ein großes Hochwasserereignis mit entsprechenden Schäden zeitgleich statt findet. Da normalerweise der Umfang der gemessenen Abflussdaten für eine bivariate Häufigkeitsanalyse nicht ausreicht, werden für die Ermittlung der bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Ereignisse der kontinuierlichen stochastisch-deterministisch generierten Abflusszeitreihen als Datengrundlage verwendet. Existiert kein kontinuierliches N-A Modell auf Stundenwertbasis (Fall 2 in Kapitel 6.1.1) erfolgt die probabilistische Bewertung an Hand der Ereignisse auf Tageswertbasis Auswahl hydrologischer Szenarien für die Risikoanalyse Für die Risikoanalyse von Einzelanlagen oder Hochwasserrückhaltesystemen in Flussgebieten sollte alle möglichen Hochwassersituationen und somit eine Vielzahl unterschiedlicher hydrologischer Belastungsszenarien berücksichtigt werden. Für die Ermittlung der Folgen und Auswirkungen der hydrologischen Szenarien im Rahmen der Risikoanalyse werden durch hydraulische Berechnungen die Überflutungsflächen ermittelt. Die numerisch komplexen hydraulischen Berechnungen sind besonders in großen Flusseinzugsgebieten sehr zeit- und rechneraufwendig. Daher ist die Anzahl der hydrologischen Szenarien, die bei der Risikoanalyse berücksichtigt werden können, durch das verwendete hydraulische Modell, die Größe des Einzugsgebietes und die Wahl der räumlichen Auflösung des Einzugsgebietes begrenzt. Für die Auswahl der hydrologischen Ereignisse aus den langen stochastischdeterministisch generierten Zeitreihen bietet sich wieder die bivariate Wahrscheinlichkeitsanalyse der für die Bemessung relevanten Zufallsvariablen an. Es sollten vorher mehrere Wahrscheinlichkeitsstufen (z. B. 100 a, 200 a, 500 a und 1000 a) festgelegt werden, für die dann aus der stochastisch-deterministisch generierten Zeitreihe jeweils eine Anzahl unterschiedlicher Hochwassersituationen ausgewählt wird. Diese Auswahl für die jeweiligen Wahrscheinlichkeitsstufen sollte an Hand der bivariaten Wiederkehrintervalle T X,Y oder T X,Y der beiden relevanten Zufallsvariablen X und Y erfolgen. In Abb. 6.1 sind beispielhaft die zwei Auswahlmöglichkeiten in Abhängigkeit der beiden unterschiedlichen Wiederkehrintervalldefinitionen dargestellt. Für die Wahrscheinlichkeitsstufe von 100 a werden jeweils fünf unterschiedliche hydrologische Szenarien, die 139

152 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten dieser Wahrscheinlichkeitsstufe entsprechen, ausgewählt. Wird das bivariate Wiederkehrintervall T X,Y (Überschreiten von x und y durch die beiden Zufallsvariablen X und Y ) als Auswahlkriterium gewählt, sollten alle ausgewählten hydrologischen Szenarien auf der Isolinie mit T X,Y = 100 a liegen (schwarze Quadrate). Wird das bivariate Wiederkehrintervall T X,Y (Überschreiten von x oder y durch die beiden Zufallsvariablen X und Y ) als Auswahlkriterium gewählt, muss zuerst der Grenzwert ϑ ( t ) für das Wiederkehrintervall T X,Y nach Gl ermittelt werden, bei dem das sekundäre Wiederkehrintervall t nach Gl gleich der Wahrscheinlichkeitsstufe (in dem Beispiel t =100 a) ist, das also im statistischen Mittel alle t Jahre ein Ereignis mit einem Wiederkehrintervall T X,Y größer ϑ ( t ) auftritt. In dem Anwendungsbeispiel ist der Grenzwert ϑ ( t ) = 26 a. Somit sollten alle ausgewählten hydrologischen Szenarien auf der Isolinie mit T X,Y = 26 a liegen (graue Dreiecke). Welches Auswahlkriterium (T X,Y oder T X,Y ) für die Wahl der hydrologischen Szenarien ausgewählt wird, hängt von dem Bemessungsziel und den beiden relevanten Zufallsvariablen X und Y ab. Wird bei der Bemessung eines Hochwasserrückhaltesystems die Zufallsvariablen Scheitel und Volumen berücksichtigt, sind die kritischen Ereignisse im Allgemeinen die Ereignisse, bei denen beide Eigenschaften Scheitel und Volumen einen hohen Wert annehmen. Daher würde sich in diesem Fall das bivariate Wiederkehrintervall T X,Y als Auswahlkriterium anbieten (Eigenschaften der unterschiedlichen Wiederkehrintervalle T X,Y und T X,Y siehe Kapitel 5.1.6). Abb. 6.1: Auswahl von hydrologischen Szenarien für die Wahrscheinlichkeitsstufe von 100 a 140

153 6.2 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für eine Einzelanlage am Beispiel der Wuppertalsperre Bewertung der Hochwasserschutzwirkung von Einzelanlagen Neben der für die Risikoanalyse erforderlichen Auftretenswahrscheinlichkeiten können über die Auswertung der bivariaten Wahrscheinlichkeit von Hochwasserscheitel und -volumen der hydrologischen Szenarien und den daraus resultierenden maximalen Stauhöhen bzw. maximalen Abgaben aus einer Talsperre kritische Hochwasserereignisse identifiziert und somit deren Hochwasserschutzwirkung beurteilt werden. Die Bewertung der Hochwasserschutzwirkung von Einzelanlagen wird ausführlich in den beiden Anwendungsbeispielen in Kapitel und beschrieben. 6.2 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für eine Einzelanlage am Beispiel der Wuppertalsperre Als erstes Anwendungsbeispiel für die Bewertung von Ereignissen für eine Stauanlage in einem Flussgebiet werden die Hochwasserereignisse der stochastisch-deterministisch generierten stündlichen Zuflusszeitreihe (siehe Kapitel 5.4) zu der Wuppertalsperre extremwertstatistisch ausgewertet. Für die probabilistische Bewertung der Hochwasserereignisse der Wuppertalsperre wurde mit Hilfe der Copula-Methode eine bivariate Häufigkeitsanalyse der Scheitel-Volumen-Beziehung durchgeführt Bivariate Häufigkeitsanalyse für die Zuflussscheitel und die zugehörigen Ereignisvolumina Da der Umfang der gemessenen Abflussdaten für eine bivariate Häufigkeitsanalyse nicht ausreicht, wurden für die statistische Analyse die Ereignisse der stochastischdeterministischen stündlichen Zuflusszeitreihe zu der Wuppertalsperre mit der Länge Jahre als Datengrundlage verwendet. Abb. 6.2: Bestimmung des Volumens des Hochwasserereignisses 141

154 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Mit dem am Lehrstuhl für Hydrologie, Wasserwirtschaft und Umwelttechnik der Ruhr- Universität Bochum entwickelten automatisierten Separierungsverfahren wurden die Hochwasserereignisse mit den Jahreshöchstabflüssen identifiziert und aus der Zeitreihe separiert. Hierbei wird im Gegensatz zu der Anwendung in Kapitel 5.4 nicht die Hochwasserfülle, sondern dass gesamte Abflussvolumen des Ereignisses für die Analyse verwendet (siehe Abb. 6.2). Die Abhängigkeitsmaße für die beiden Zufallsvariablen Scheitel und Volumen sind in Tab. 6.1 angegeben. Zwischen den beiden Zufallsvariablen besteht eine positive Abhängigkeit. Tab. 6.1: Grad der Abhängigkeit zwischen Scheitel und Volumen Stichprobengröße Pearsons r Kendalls τ Spearmans ρ ,54 0,39 0, Ermittlung der Randverteilungen der Zufallsvariablen Bei der Ermittlung der Randverteilungen für die beiden Zufallsvariablen zeigte sich, dass für die Verteilung der Jahreshöchstabflüsse die Allgemeine Extremwert-Verteilung und für die Verteilung der zugehörigen Hochwasserfüllen die Pearson III-Verteilung die beste Anpassung an die Stichprobenwerte liefern. In beiden Fällen wurden die Parameter über die Parameterschätzmethode der Produktmomente ermittelt. Die Anpassung der Verteilungsfunktionen an die Stichproben ist in Abb. 6.3 dargestellt. Alle Parameter der in diesem Kapitel angepassten Verteilungsfunktionen sind im Anhang C in Tab. C-1 zusammengefasst. Abb. 6.3: Anpassung der a) AEV-Verteilung an die Jahreshöchstwerte HQ und b) Pearson III- Verteilung an die zugehörigen Hochwasserfüllen Wahl der geeigneten Copula In Kapitel hat sich gezeigt, dass von den vier in der Hydrologie häufig verwendeten einparametrigen Archimedischen Copulas Gumbel-Hougaard, Frank, Ali-Mikhail-Haq und Cook-Johnson Copula nur die Gumbel-Hougaard Copula geeignet ist, die vorhandene Abhängigkeitsstruktur der beiden Zufallszahlen abzubilden. Es hat sich weiterhin gezeigt, 142

155 6.2 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für eine Einzelanlage am Beispiel der Wuppertalsperre dass dafür auch die zweiparametrige BB1-Copula sehr gut geeignet ist. Deshalb wurden die Parameter dieser beiden Copulas aus der Stichprobe wiederum mit der Maximum- Pseudolikelihood Methode geschätzt. Die Parameter sind in Tab. 6.2 angegeben. Tab. 6.2: Parameter und Anpassungsgüte der Gumbel-Hougaard und der BB1 Copula an die Stichprobe Copula Parameterschätzung RMSE l ( θ ) Gumbel-Hougaard θ = 1,53 0, BB1 θ 1 = 0,404; θ 2 = 1,31 0, Beim Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Werte für K C ( t ) in Abb. 6.4 zeigt sich, dass die BB1 Copula vor allem im unteren Bereich der Verteilungsfunktion eine bessere Anpassung liefert als die Gumbel-Hougaard Copula. Die Anpassung der Copula ist gut, wenn die Werte der Geraden, die den Ursprung im Winkel von 45 schneidet, folgen. Dies kommt auch durch den Wert der Log-Likelihood Funktion l ( θ ) in Tab. 6.2 zum Ausdruck. Nach dem Kriterium des RMSE zeigt aber keine der beiden Copulas eine eindeutig bessere Anpassung. Beim Vergleich der Stichprobe mit generierten Zufallswerten aus den beiden Copulas zeigt sich, dass beide Copulas die Abhängigkeitsstruktur der Daten gut nachbilden. Da die BB1 Copula nach allen Kriterien die bessere Anpassung an die Daten liefert, wurde sie für die weiteren Analysen verwendet. Abb. 6.4: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepassten Gumbel-Hougaard und BB1 Copulas. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Ü- bereinstimmung. 143

156 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Abb. 6.5: aus der Gumbel-Hougaard und BB1 Copula generierten Zufallswerte von Kombinationen der Scheitelabflüsse und zugehörigen Volumen im Zufluss der Wupper-Talsperre (schwarze Symbole) und Paare ( x i, y i ) aus der stochastisch generierten Zuflusszeitreihe (graue Symbole) Bivariate Häufigkeitsanalyse Für die probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen an der Wuppertalsperre sind in Abb. 6.6 die Isolinien für die gemeinsamen statistischen Wiederkehrintervalle T X,Y, bei denen die Schwellenwerte x und y, und die Isolinien für T X,Y, bei denen x oder y von den beiden Zufallsvariablen X bzw. Y überschritten werden, dargestellt. Abb. 6.6: Gemeinsame Wiederkehrintervalle T X,Y (Überschreiten von x oder y) und T X,Y (Überschreiten von x und y) für die Jahreshöchstwerte und die zugehörigen Ereignisvolumina im Zufluss zur Wuppertalsperre Bewertung der Hochwasserschutzwirkung der Wuppertalsperre Die Auswertung der Wirksamkeit der Wuppertalsperre und somit die Beurteilung der Hochwasserschutzwirkung der Anlage erfolgte mit den Hochwasserereignissen der stochastisch-deterministisch generierten Zuflusszeitreihe. Die sich aus den Hochwasserereignissen ergebenden maximalen resultierenden Stauinhalte und maximalen Abgaben wurden 144

157 6.2 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für eine Einzelanlage am Beispiel der Wuppertalsperre mit Hilfe des im Niederschlag-Abfluss-Modell NASIM integrierten Talsperrenmoduls berechnet. Hierbei wurde die Talsperre nach den Steuerrichtlinien des Wupperverbands nach dem Pegel Kluserbrücke (siehe Abb. 5.12) gesteuert. Der Abfluss aus dem Zwischengebiet bis zum Pegel Kluserbrücke wurde bei der Steuerung berücksichtigt. Wie in diesem Kapitel bereits beschrieben, ist es sinnvoll, bei der Bewertung der Hochwassersicherheit von Stauanlagen neben dem Scheitel auch das Volumen des Ereignisses zu berücksichtigen. Daher wurden für die Analyse der Hochwasserschutzwirkung die Ergebnisse der bivariaten Häufigkeitsanalyse für die probabilistische Bewertung der Ereignisse herangezogen. Bei der Ermittlung der Hochwasserschutzwirkung wurden zwei unterschiedliche kritische Ablaufwerte aus der Talsperre untersucht. Im ersten Fall wurde als kritischer Abflusswert das erste Steuerziel von 80 m³/s und im zweiten Fall das zweite Steuerziel von 100 m³/s am Pegel Kluserbrücke angesetzt. Überschreitet die Abgabe aus der Wuppertalsperre diese Abflüsse, werden auch ohne Berücksichtigung des Zwischengebiets die Steuerziele an dem Pegel Kluserbrücke überschritten. Diese beiden kritischen Abflusswerte wurden gewählt, um die Methodik der Kennzeichnung von Bereichen mit unterschiedlichem Risiko in Abhängigkeit der gemeinsamen Wiederkehrintervalle T X,Y für das Auftreten von kritischen Ereignissen bei Stauanlagen beispielhaft zu demonstrieren. Obwohl die beiden Werte am Pegel Kluserbrücke Steuerziele für den Hochwasserfall sind, entstehen im Einzugsgebiet der Wupper bei beiden Abflusswerten keine Hochwasserverhältnisse, bei denen große Schäden im Gebiet zu befürchten sind. In Abb. 6.7 ist die Verteilung der kritischen Ereignisse für die beiden kritischen Abflusswerte in Abhängigkeit von Scheitel und Volumen dargestellt. Abb. 6.7: Maximale aus den betrachteten Hochwasserereignissen resultierende Abgaben an der Wuppertalsperre und Isolinien für die Wiederholungszeitspannen T X,Y (Überschreiten von x oder y) 145

158 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Für die Auswertung der Hochwasserschutzwirkung wurden Bereiche in Abhängigkeit von T X,Y definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Zufallsprozess ein Ereignis oberhalb der jeweiligen Bereichsgrenzen auftritt, wurde vorher festgelegt und anschließend die Anzahl der kritischen Ereignisse in dem jeweiligen Bereich ermittelt. Die Bereichsgrenzen wurden also in Abhängigkeit vom sekundären Wiederkehrintervall t festgelegt. Als Bereichsgrenzen ϑ ( t ) wurden die Isolinien von T X,Y gewählt, bei dem im Zufallsprozess im statis- tischen Mittel alle t = 25, 50, 100 und 200 Jahre ein Ereignis mit einem größeren gemeinsamen Wiederkehrintervall T X,Y auftritt. Die Anzahl der Bereiche und die Höhe der Grenzen muss natürlich je nach Anlage individuell festgelegt werden. So ergibt sich z. B. der Grenzwert ϑ ( t ) nach Gl. 5.42, bei dem im Zufallsprozess alle t = 200 Jahre ein Ereignis mit einem Wiederkehrintervall T X,Y > ϑ ( t ) auftritt, durch die inverse Funktion von Gl zu ϑ ( t ) = 50 Jahre. Die Grenzwerte ϑ ( t ) für die anderen sekundären Wieder- kehrintervalle t = 25, 50 und 100 Jahre sind in Tab. 6.3 zusammengefasst. Tab. 6.3: Grenzwerte ϑ ( t ) für T X,Y, ab dem alle t Wiederkehrintervall T X,Y > ϑ ( t ) auftritt Jahre ein Ereignis mit einem gemeinsamen t [a] ϑ ( t ) [a] Wird als kritischer Ablaufwert der Wuppertalsperre der Abgabewert 80 m³/s definiert (Dreiecke und Quadrate in Abb. 6.7), so sind 81 der Ereignisse kritische Ereignisse. Der Anteil der kritischen Ereignisse in den oben festgelegten Bereichen ist in Tab. 6.4 dargestellt. Im Bereich T X,Y > 8 a sind 60 % (45 von 76 Ereignissen) der Ereignisse kritische Ereignisse, das mittlere statistische Wiederkehrintervall, dass im Zufallsprozess ein Ereignis mit einem Wiederkehrintervall T X,Y > 8 a auftritt, ergibt sich nach Tab. 6.3 zu 25 Jahren. In diesem Bereich ist das hydrologische Risiko, dass ein Ereignis ein kritisches Ereignis ist, hoch. Wird für die Wuppertalsperre als kritischer Ablaufwert 100 m³/s (Quadrate in Abb. 6.7) definiert, zeigt sich, dass 24 der Ereignisse kritische Ereignisse sind. Bei einem Wiederkehrintervall T X,Y größer 50 Jahre sind hierbei 8 von 9 Ereignissen kritische Ereignisse. Das mittlere statistische Wiederkehrintervall, dass im Zufallsprozess ein Ereignis mit einem Wiederkehrintervall T X,Y > 50 a auftritt, ergibt sich nach Tab. 6.3 zu 200 Jahren. In diesem Bereich ist das hydrologische Risiko sehr hoch, dass ein Ereignis ein kritisches Ereignis ist. 146

159 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Tab. 6.4: Anteil der für die Wuppertalsperre kritischen Ereignisse mit den festgelegten Bereichen in Abhängigkeit des Wiederkehrintervalls T X,Y Anteil kritischer Ereignisse T X,Y Anzahl Ereignisse Kritische Abgabe > 80 m³/s Kritische Abgabe > 100 m³/s > 50 a % (9 Ereign.) 89 % (8 Ereign.) 26 a < T X,Y 50 a 7 71 % (5 Ereign.) 28 % (2 Ereign.) 14 a < T X,Y 26 a % (17 Ereign.) 24 % (6 Ereign.) 8 a < T X,Y 14 a % (14 Ereign.) 11 % (4 Ereign.) < 8 a % (36 Ereign.) 0,2 % (4 Ereign.) Der Einfluss von Maßnahmen zur Verbesserung der Hochwasserschutzwirkung, wie z. B. Optimierung der Hochwassersteuerung oder Vergrößerung des Hochwasserschutzraums, kann in Tab. 6.4 durch den direkten Vergleich der Änderungen des prozentualen Anteils von kritischen Ereignissen in den jeweiligen Bereichen beurteilt werden. Bei dem Vergleich des in Tab. 6.4 dargestellten Beispiels ergibt sich das triviale Ergebnis, dass die Hochwasserschutzwirkung der Wuppertalsperre bei einem höheren festgelegten kritischen Abfluss größer ist als bei einem niedrigeren. 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Ziel des interdisziplinären BMBF-Projekts: Integrative Nutzung des Technischen Hochwasserrückhalts in Poldern und Talsperren am Beispiel des Flussgebiets der Unstrut (Schumann, 2008) war die Untersuchung des vorhandenen technischen Hochwasserschutzsystems an der Unstrut und die Überprüfung der Möglichkeiten für eine Optimierung und Erweiterung. Für den in diesem Projekt verwendeten risikoorientierten Ansatz wurde eine Vielzahl von unterschiedlichen hydrologischen Szenarien benötigt, die stochastisch generiert wurden. Diese Szenarien müssen für die sozioökonomische Bewertung abschließend probabilistisch bewertet werden Untersuchungsgebiet Das Einzugsgebiet der Unstrut (Abb. 6.8) hat eine Einzugsgebietsfläche von km². Die Topographie des Gebiets ist sehr unterschiedlich und die mittleren Höhen variieren zwischen 104 and 982 m ü. NN. Im Norden des Gebiets liegt der Harz und im Süden der Thüringer Wald. 147

160 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Abb. 6.8: Einzugsgebiet und Hochwasserschutzanlagen der Unstrut Das technische Hochwasserrückhaltesystem (Abb. 6.8) des Unstrut / Helme Einzugsgebiets umfasst im Wesentlichen das Hochwasserrückhaltebecken Straußfurt, die Talsperre Kelbra, das Poldersystem zwischen Oldisleben und Wangen und einige kleinere Talsperren mit regionaler Bedeutung. Von den kleineren Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken im Gebiet haben das Rückhaltebecken Iberg im Einzugsgebiet der Helme, das Rückhaltebecken Luhne/Lengefeld im oberen Einzugsgebiet der Unstrut und die Talsperre Vippachedelhausen im unteren Einzugsgebiet der Unstrut eine Hochwasserschutzfunktion. Aufgrund der kleinen Einzugsgebiete und der kleinen gewöhnlichen Hochwasserschutzräume (siehe Tab. 6.5) haben diese Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken nur regionale Bedeutung und keinen bzw. sehr geringen Einfluss auf das Gesamtsystem der Unstrut. Diese kleinen Speicher können somit bei der Betrachtung des gesamten Gebietes vernachlässigt werden. Tab. 6.5: Einzugsgebietsgrößen A E und gewöhnliche Hochwasserrückhalteräume I GHR von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken mit Hochwasserschutzfunktion im Unstrut/Helme Einzugsgebiet (Thüringer Talsperrenverwaltung, 1993) Name A E [km²] I GHR [10 6 m³] Talsperre Kelbra ,3 (Sommer) 35,6 (Winter) HRB Staußfurt ,7 (Sommer) 18,6 (Winter) Rückhaltebecken Iberg 14 1,07 Rückhaltebecken Luhne/Lengefeld 36,80 1,07 Talsperre Vippachedelhausen 11,40 0,99 148

161 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Das Poldersystem unterhalb der beiden großen Speicher hat ein Speichervolumen von ungefähr 50 Mio. m³, womit das gesamte Hochwasserrückhaltesystem ein Speichervolumen von ungefähr 100 Mio. m³ hat Hochwasserrückhaltebecken Straußfurt Das Hochwasserrückhaltebecken Straußfurt (siehe Abb. 6.9) mit einem Einzugsgebiet A E von 2,044 km² und einem mittleren Zufluss MQ von 11,8 m³/s liegt im Hauptschluss der Unstrut, die Hauptzuflüsse sind die Gera und die Unstrut. HWE Dauerstauraum HW-Schutzraum AP Straußfurt Nebendamm Schütz für Füllung HW-Schutzraum Unstrut Abb. 6.9: Luftbild HRB Straußfurt (Quelle: Google Earth). Im Winter steht der gesamte Stauraum von 18,6 Mio. m³ (spez. Hochwasserrückhalteraum 1 = 10 mm) als gewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum zur Verfügung. Im Hochwasserfall wird zuerst der Dauerstauraum im vorderen Teil gefüllt und erst anschließend der sonst trockenliegende, hinter dem Nebendamm gelegene Hochwasserschutzraum geflutet, da dieser Teil nicht vollständig über Schütze geleert werden kann und nach einem Hochwasserereignis leer gepumpt werden muss. Der Nebendeich wird ab einem Stauinhalt im Dauerstauraum von 7 Mio. m³ überströmt. Im Betrieb wird der Hochwasserschutzraum aber schon ab 6 Mio. m³ gefüllt, um ein gewisses Freibord zu behalten und Schäden durch die unkontrollierte Überströmung des Deiches zu vermeiden. Im Sommerbetrieb wird der Dauerstauraum im vorderen Teil des Stauraums zwischen Haupt- und Nebendamm eingestaut. Somit stehen nur noch 12,7 Mio. m³ (spez. Hochwasserrückhalteraum = 6 mm) als Hochwasserrückhalteraum zur Verfügung. Beim Betrieb der Talsperre werden zum Schutz vor Hochwasserereignissen im Sommer tatsächlich ca. 13,64 Mio. m³ freigehalten. Durch diesen zusätzlichen Freiraum von ca. 1 Mio. m³ soll die Flu- 1 Der spezifische Hochwasserrückhalteraum in mm entspricht dem Volumen des Hochwasserrückhalteraums bezogen auf die Einzugsgebietsgröße 149

162 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten tung des Hochwasserschutzraums bei kleineren und mittleren Sommerhochwässern vermieden werden. Im Retentionsmodell der Talsperre Straußfurt wird nicht zwischen den beiden Hochwasserschutzräumen unterschieden, da dies für Rechenmodell nicht erforderlich ist. Da im Falle des Vollstaus der Nebendamm sowieso immer überströmt wird, steht auch in Realität der gesamte Stauraum für die Retentionsberechnung zur Verfügung. Zu beachten ist hierbei allerdings, dass die berechneten Stauhöhen bei Speicherinhalten kleiner 6 Mio. m³ nicht den realen Stauhöhen entsprechen. Dies muss vor allem bei den berechneten Anfangswasserständen berücksichtigt werden. Der Wasserstand bei gefülltem Dauerstauraum im Sommer wurde deshalb nicht mit 148,21 m ü. NN, sondern mit 147,51 m ü. NN angesetzt. Dies entspricht einem Gesamtspeicherinhalt von 5 Mio. m³. Folgende Werte des freien Hochwasserrückhalteraums wurden in der Berechnung also berücksichtigt: bis : HWRR von 13,6 Mio. m³ (5 Mio. m³ Dauerstau) bis : HWRR von 18,6 Mio. m³ Die Werte für die Startwasserstände in den Zwischenperioden, in denen der Dauerstauraum gefüllt bzw. entleert wird, wurden aus den linear interpolierten Speicherinhalten ermittelt. Im Falle des Überschreitens des Vollstaus Z V = 149,84 m ü. NN und des damit verbundenen Anspringens der Hochwasserentlastungsanlage werden die Betriebsauslässe vollständig geschlossen, um die Verminderung der Abflussspitze infolge der Seeretention zu verstärken. Auch bei vollständig geschlossenen Betriebsauslässen kommt es aufgrund von Undichtigkeiten zu einer Mindestabgabe von 20 m³/s. Dies wurde in dem entwickelten Retentionsmodell (siehe Kapitel 2.8) entsprechend berücksichtigt. Als Betriebsauslässe stehen vier Wehrfelder (Breite b = 3,3 m) mit Doppelhakenschützen zur Verfügung. Es sind drei Betriebszustände möglich (siehe Abb. 6.10): a) unterströmt mit voll gezogenem Unterschütz, b) überströmt bei voll abgesenkten Oberschütz und c) überströmt im vollständig geschlossenem Zustand (nur bei Wasserständen > 149,9 m ü. NN möglich). Zv=149,84 m 149,9 m 145,6 m Zv=149,84 3,14 m 146,7 m Zv=149,84 m 149,9 m 3,2 m 142,4 m 142,4 m a) unterströmt mit voll gezogenem Unterschütz b) überströmt bei voll abgesenkten Oberschütz Abb. 6.10: Randzustände der Doppelhakenschütze des HRB Straußfurt c) überströmt im vollständig geschlossenem Zustand 150

163 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Die maximale Kapazität der Betriebsauslässe bei Vollstau Z V =149,84 m ü. NN wird im Zustand a) mit 4 x 74,6 m³/s = 298 m³/s erreicht. Die Hochwasserentlastungsanlage ist als fester Überfall mit der Überfalllänge b = 270 m ausgebildet Talsperre Kelbra Die Talsperre Kelbra mit einem Einzugsgebiet A E von 664 km² und einem mittleren Zufluss MQ von 5,8 m³/s liegt im Hauptschluss der Helme, die Sperrstelle liegt direkt oberhalb der Einmündung der Thyra in die Helme (Abb. 6.11). Abb. 6.11: Talsperre Kelbra (Informationsblatt Hrsg. Talsperrenbetrieb Sachsen-Anhalt) Im Vergleich zum HRB Straußfurt verfügt die Talsperre Kelbra trotz einem kleineren Einzugsgebiet über einen größeren Hochwasserrückhalteraum von 35,6 Mio. m³ (spez. Hochwasserrückhalteraum = 54 mm) im Winter und 23,3 Mio. m³ (spez. Hochwasserrückhalteraum = 35 mm) im Sommer. Im Sommer dient der gefüllte Dauerstauraum der Freizeitnutzung und der Fischerei. Wie beim HRB Straußfurt ist auch hier der Dauerstaubereich durch einen Nebendamm vom grünen Hochwasserschutzraum getrennt. Dieser grüne Hochwasserschutzraum wird durch die Helme geteilt und von dieser durch Rückstaudeiche getrennt. Die Talsperre verfügt über keinen außergewöhnlichen Hochwasserrückhalteraum. Wie beim HRB Straußfurt wurde die Unterteilung des Stauraums in der Modellierung nicht berücksichtigt. Dies musste wiederum bei den in die Simulation eingehenden Wasserständen berücksichtigt werden. Da die Talsperre über große Auslässe verfügt und somit auch bei kleinen Wasserspiegelhöhen eine ausreichend hohe Abgabe gewährleistet, kann auch hier der Fehler bei kleinen Wasserspiegelhöhen vernachlässigt werden. Als Startwasserstand für den Sommer wurde somit 154,96 m ü. NN (Gesamtstauraum 12 Mio. m³) angesetzt und nicht das reale Stauziel von 155,25 m ü. NN, bei dem dann aber nur der Dauerstaubereich bis zum Nebendamm eingestaut ist. Die Startwasserspiegelhöhen für die Perioden zwischen der Füllung des Dauerstauraums für den Sommer und der Entleerung des Dauerstauraums für den Winter wurden über eine lineare Interpolation der Speicherfüllung ermittelt. Folgende Zeiten wurden für die Soll- 151

164 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Hochwasserrückhalteräume angesetzt: bis : HWRR von 23,3 Mio. m³ bis : HWRR von 35,6 Mio. m³ Für die Abgabe aus der Talsperre stehen drei Betriebseinrichtungen zur Verfügung: Bauwerk 1 mit zwei Rohrleitungen als Grundablass, Bauwerk 2 mit zwei unterströmten Rollschützen und zwei überströmten Fischbauchklappen sowie Bauwerk 3, mit dem mittels eines Tafelschützes die Abgabe aus dem Hochwasserschutzraum hinter dem Nebendamm reguliert werden kann.. Die maximale Leistung von Bauwerk 1 bei Vollstau Z V = 157 m ü. NN beträgt 10 m³/s (pro Rohrleitung 5 m³/s). Beim Bauwerk 2 haben beide Überfälle bei Vollstau und vollständig geöffneter Klappe jeweils eine Leistungsfähigkeit von ca. 41 m³/s und die beiden Schütze bei vollständiger Öffnung jeweils eine Leistungsfähigkeit von 50 m³/s. Somit ist die maximale Gesamtkapazität von Bauwerk 2 ca. 182 m³/s. Bauwerk 3 hat bei Vollstau und vollständig gezogenem Schütz eine maximale Leistungsfähigkeit von ca. 52 m³/s. Die Gesamtabgabeleistung der Talsperre Kelbra bei Vollstau beträgt somit ca. 244 m³/s Steuerung der Talsperren Die Steuerung der beiden Talsperren beeinflusst die Hochwasserstatistik an den unterhalb liegenden Pegeln. Der Einfluss der Talsperre Kelbra (Inbetriebnahme 1969) auf die Hochwasserstatistik am Pegel Bennungen und der Einfluss des HRB Straußfurt (Inbetriebnahme 1961) auf den Pegel Oldisleben sind in Abb dargestellt. An die Stichproben wurde jeweils die Allgemeine Extremwertverteilung mit der Parameterschätzmethode der L- Momente angepasst. In Abb a) ist gut zu sehen, dass durch die Talsperre Kelbra kleine bis mittlere Hochwasserereignisse beeinflusst und versucht wird, deren Scheitel auf das Steuerziel am Pegel Bennungen zu verringern. Eine solche Verringerung ist am Pegel Oldisleben, Abb b), nicht zu erkennen, da die Hochwasserstatistik an diesem Pegel durch umfangreiche Flussbegradigungsmaßnahmen bis zum Jahr 1972 anderweitig beeinflusst wurde. Abb. 6.12:Veränderung der Hochwasserstatistik am a) Pegel Bennungen und b) Pegel Oldisleben durch die HW-Steuerung der beiden Stauanlagen 152

165 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Im Hochwasserfall wird das System von den beiden angrenzenden Bundesländern gesteuert. Grundlage hierfür ist die gemeinsam entwickelte Steuerrichtlinie Richtlinie zur Steuerung von Hochwasserschutzanlagen im Unstrut-Helme-Gebiet (Steuerordnung Unstrut- Helme), Entwurf 12/2006. Verantwortlich für die Steuerung im Hochwasserfall sind der Landesbetrieb für Hochwasserschutz und Wasserwirtschaft (LHW) von Sachsen-Anhalt und die SUÄ Sondershausen und Erfurt des Landes Thüringen. Die maßgebenden Steuerpegel für die beiden Talsperren sind Bennungen an der Helme, Oldisleben und Wangen an der Unstrut. Die Steuerung der Polder ist in der Steuerrichtlinie nicht berücksichtigt. Um regional spezifische Hochwassersituationen zu berücksichtigen, werden in der Hochwasser- (HW-) Steuerung drei Fälle unterschieden: - HW-Situation vornehmlich im Teileinzugsgebiet Gera-Unstrut (ohne Helme) - HW-Situation vornehmlich im Teileinzugsgebiet der Helme - HW-Situation im Gesamteinzugsgebiet der Unstrut Bis auf die Hochwassersituation vornehmlich im Einzugsgebiet der Helme hat das HRB Straußfurt aufgrund des kleineren spezifischen Hochwasserrückhalteraums Vorrang vor der Talsperre Kelbra. Vorentlastung Die Vorentlastung am HRB Straußfurt soll bei deutlich steigender Tendenz der Zuläufe mit Abgaben von 40 m³/s beginnen. Alle Abgaben aus der Talsperre, die 40 m³/s überschreiten, werden dem Betreiber des Hochwasserrückhaltebeckens durch die TLUG Jena (ehemals durch SUA Erfurt) oder durch die HW-Nachrichtenzentrale Unstrut-Ilm vorgegeben. Die Vorentlastung der TS Kelbra darf am Pegel Bennungen maximal zu einem Wasserstand von 110 cm, der einem Abfluss von 20 m³/s entspricht, führen. Die gemeinsame Vorentlastung mit dem HRB Straußfurt darf am Pegel Wangen maximal zu einem Wasserstand von 340 cm (entsprechend 81 m³/s) führen. Anfangssteuerziele: Das Steuerziel in der Anlaufphase des Hochwasserereignisses des HRB Straußfurt beträgt am Pegel Oldisleben 360 cm (94 m³/s). Unter der Bedingung der Einhaltung der Steuerziele ergibt sich die Abgabe aus Straußfurt wie folgt: - für Zufluss kleiner gleich 60 m³/s: Abgabe = Zufluss - für Zufluss größer 60 m³/s: Abgabe = 60 m³/s. Werden damit die Steuerziele überschritten, sind die Abgaben zu verringern. Bei Hochwasser im Helme-Gebiet sollte durch die Abgabe der Talsperre Kelbra ein Wasserstand von 140 cm (entsprechend 30 m³/s) nicht überschritten werden. Durch die Abgabe beider Talsperren sollte am Pegel Wangen der Wasserstand von 430 cm (entsprechend 121 m³/s) nicht überschritten werden. Um dieses Ziel einzuhalten, ist als erstes die Abgabe aus 153

166 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten der Talsperre Kelbra zu reduzieren. Steuerziele im Verlauf des HW Die Anfangssteuerziele werden von Steuerzielen abgelöst, die unter Würdigung der beobachteten Entwicklung des Hochwassers, der meteorologischen Vorhersage und unter Berücksichtigung des vollständig geöffneten Flutkanals (Leistung 90 m³/s) geeignet sind, auf einer möglichst geringen Alarmstufe zu verharren. Die Steuerziele betragen hierbei am Pegel Oldisleben 430 cm (entsprechend 131 m³/s) und am Pegel Wangen 470 cm (entsprechend 152 m³/s). Bei Hochwasserentwicklungen, die mit den o. g. Steuerzielen ein Überlaufen des HRB Straußfurt und/oder Kelbra erwarten lassen, erfolgt eine Abstimmung zwischen der Hochwasser-Nachrichtenzentrale (HNZ) Unstrut-Ilm und der Hochwasservorhersagezentrale (HVZ) des Landes Sachsen-Anhalt Steuerziele bei Entlastung des HRB Straußfurt und der TS Kelbra Beide Talsperren sollen im Hinblick einer möglichen Lageverschärfung des Hochwassers durch mehrgipflige Ganglinien zügig entleert werden, um den Soll- Hochwasserrückhalteraum wieder herzustellen. Diese Entlastungen sind so durchzuführen, dass unterhalb keine Hochwasserverschärfung entsteht. Das HRB Straußfurt ist hierbei vorrangig zu entlasten Stochastisch-deterministische Simulation Die Hochwasserverhältnisse in Flussgebieten werden durch die räumliche Verteilung von hochwasserauslösenden Niederschlägen geprägt. Auch im Unstrutgebiet (Abb. 6.8) bestimmt die Topographie die räumliche Niederschlagsverteilung. Im Norden sind es die Ausläufer des Harzes, im Süden der Thüringer Wald, die wesentlich zum Hochwassergeschehen beitragen. Um diese Niederschlagsverhältnisse zu beschreiben, wurde in dem BMBF-Verbundprojekt zunächst der in Kapitel 5.2 beschriebene stochastische Niederschlagsgenerator mit einer Zeitschrittweite von einem Tag entwickelt (Hundecha et al., 2008; Schumann, 2008). Für die Parameterermittlung des Niederschlagsgenerators standen Niederschlagszeitreihen an insgesamt 122 Stationen mit Tageswerten des Niederschlags von 1961 bis 2003 zur Verfügung. Es wurden jeweils 10 Reihen mit je 1000 Jahren Umfang (Tageswerte) generiert. Diese Niederschlagsfelder wurden als Eingangsgröße für ein auf Tageswertbasis flächenverteilt arbeitendes hydrologisches Modell verwendet. Dieses, auf dem HBV-Konzept basierende, konzeptionelle Modell wurde aus einem Modellkomponentensystem (Gattke, 2006) entwickelt. Das Einzugsgebiet der Unstrut wurde für das hydrologische Modell in 94 Teilgebiete eingeteilt. Die Kalibrierung des hydrologischen Modells auf Tagesschrittzeitweite erfolgte mit Abflussdaten für die Jahre 1991 bis Um den Simulationsansatz zu überprüfen, wurden die Verteilungen der Jahreshöchstwerte der Tagesmittel der Abflüsse und die Füllen der Ereignisse, in denen diese Tagesmittelwerte auftraten, analysiert und mit den entsprechenden Informationen aus den Pegeldaten verglichen. In Abb ist der Vergleich für den 154

167 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Pegel Möbisburg dargestellt. Es ergibt sich eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den simulierten und gemessenen Werten, so dass das Modell als extrapolationsfähig angesehen werden kann. Abb. 6.13: Vergleich der gemessenen und simulierten maximalen jährlichen Abflusstagesmittelwerte und der Vergleich der zugehörigen Füllen dieser Hochwasserereignisse am Pegel Möbisburg. Für die Modellierung von Hochwasserereignissen wurde ein auf dem gleichen Modellkonzept beruhendes Hochwassermodell angepasst, das die Anfangs- und Randbedingungen aus der kontinuierlichen Tageswertsimulation übernimmt. Für die Kalibrierung standen nur zwei Hochwasserereignisse (April 1994 und Dezember/Januar 2002/03) zur Verfügung. Die stochastisch generierten Tagesniederschläge wurden zeitlich disaggregiert. Hierzu wurden Ansätze von Koutsoyiannis (Koutsoyiannis, 2001; Koutsoyiannis et al., 2003) verwendet (siehe Kapitel 5.2). Aus der Reihe der Tageswertsimulationen wurden Hochwasserereignisse ausgewählt, für die dann eine Berechnung in Stundenzeitschritten erfolgte. Im deterministischen Modell wurden die beiden Talsperren Straußfurt (Unstrut) und Kelbra (Helme) mittels eines Betriebsmodells unter Berücksichtigung der Steuerrichtlinien simuliert. Nach Vorgabe des Projektes wurden aus den simulierten Hochwasserereignissen für 6 Jährlichkeitsstufen (T = 25, 50, 100, 200, 500 und Jahre, bezogen auf die Scheitelwerte des Zuflusses zum Rückhaltebecken Straußfurt) jeweils 5 Ereignisse mit unterschiedlichen Ganglinienformen und Füllen ausgewählt. Zusätzlich wurde ein Ereignis der Jährlichkeitsstufe T > Jahre betrachtet. Bei der Auswahl der hydrologischen Szenarien wurden Ereignisse mit unterschiedlicher Form, Fülle und Dauer berücksichtigt, die hinsichtlich der räumlichen und temporalen Struktur auch Ähnlichkeiten mit den aufgetretenen Hochwasserereignissen haben. Darüber hinaus wurden aber auch Ereignisse ausgewählt, die dem Muster der bisher aufgetretenen Hochwasser nicht entsprechen, jedoch grundsätzlich nicht auszuschließen sind. Eine ausführliche Beschreibung über die Ereignisgenerierung und auswahl kann Schumann (2008) entnommen werden. 155

168 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Bivariate Häufigkeitsanalyse für die Zuflussscheitel und die zugehörigen Ereignisvolumina der Talsperren Wie in dieser Arbeit bereits ausgeführt wurde, ist es bei der extremwertstatistischen Einordnung von Ereignissen für die Bemessung von technischen Hochwasserrückhaltesystemen wichtig, neben dem Hochwasserscheitel auch das Hochwasservolumen zu berücksichtigen. Am Beispiel der beiden stochastisch generierten hydrologischen Szenarien am HRB Straußfurt in Abb wird es noch einmal deutlich, warum es sinnvoll ist, bei der probabilistischen Bewertung der Hochwasserereignisse die bivariate Wahrscheinlichkeit von Scheitel und Volumen zu berücksichtigen. Beide Zuflussscheitel zu dem Hochwasserrückhaltebecken haben eine Jährlichkeit von 100 Jahren, doch aufgrund des unterschiedlichen Ereignisvolumens unterscheidet sich die maximal resultierende Abgabe in den beiden Szenarien sehr deutlich. Abb. 6.14: Stochastisch generierte Hochwasserereignisse am HRB Straußfurt, die Werte der beiden Zuflussscheitel haben eine Jährlichkeit von T = 100 a Da der Umfang der gemessenen Abflussdaten für eine bivariate Häufigkeitsanalyse nicht ausreicht, wurden für die statistische Analyse die stochastisch-deterministisch generierten Tageswertzeitreihen des Zuflusses zu den beiden Talsperren mit der Länge Jahre als Datengrundlage verwendet. Aus den Zeitreihen wurden die Ereignisse mit den maximalen jährlichen Scheiteln ausgewählt und das zugehörige Ereignisvolumen ermittelt. Die Abhängigkeitsmaße für die beiden Zufallsvariablen Scheitel und Volumen an beiden Stauanlagen sind in Tab. 6.6 angegeben. Zwischen den beiden Zufallsvariablen besteht, wie bei den anderen in dieser Arbeit untersuchten Scheitel-Volumen Beziehungen, eine starke positive Abhängigkeit. Tab. 6.6: Grad der Abhängigkeit für die beiden Datensätze Stichprobengröße Pearsons r Kendalls τ Spearmans ρ Jahreshöchstwerte und zugehörige Ereignisvolumina am HRB Straussfurt ,81 0,66 0,85 Jahreshöchstwerte und zugehörige Ereignisvolumina an der Talsperre Kelbra ,74 0,57 0,76 156

169 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Ermittlung der Randverteilungen der Zufallsvariablen Die Verteilung der Jahreshöchstwerte des Abflusses an den beiden Stauanlagen konnte am besten durch die AEV-Verteilung beschrieben werden. Die beiden Parameterschätzmethoden der L-Momente und der Produktmomente lieferten eine ähnlich gute Anpassung an die Stichproben. Bei der visuellen Überprüfung zeigte sich insbesondere im Bereich von kleinen Überschreitungswahrscheinlichkeiten beim HRB Straußfurt die Parameterschätzmethode der L-Momente und bei der Talsperre Kelbra die Parameterschätzmethode der Produktmomente als überlegen. Die Anpassung der AEV an die beiden Stichproben ist in Abb dargestellt. Abb. 6.15: Anpassung der AEV-Verteilung an die maximalen jährlichen Scheitelwerte für a) das HRB Straußfurt und b) die Talsperre Kelbra Für die Randverteilung der zu den Jahreshöchstwerten zugehörigen Ereignisvolumina lieferte die AEV mit der Parameterschätzung über die Momentenmethode an beiden Talsperren die beste Anpassung (siehe Abb. 6.16). Abb. 6.16: Anpassung der AEV-Verteilung an die zugehörigen Ereignisvolumina für a) das HRB Straußfurt und b) die Talsperre Kelbra Wahl der geeigneten Copula Da die Abhängigkeitsstruktur der Zufallsvariablen an den beiden Talsperren ähnlich ist, werden im Folgenden nur die Ergebnisse am HRB Straußfurt beschrieben. Die Ergebnisse für die Talsperre Kelbra sind im Anhang C dargestellt. In den Auswertungen in Kapitel zeigte sich bereits, dass von den in dieser Arbeit 157

170 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten berücksichtigten Copulas die BB1 und Gumbel-Hougaard Copula am besten geeignet sind, die Abhängigkeitsstruktur der Daten zu modellieren. Als Parameterschätzmethode wurde auch hier die Maximum-Pseudolikelihood Methode verwendet (Parameter siehe Tab. 6.7). Tab. 6.7: Parameter und Anpassungsgüte an die Stichproben der angepassten Copulas Copula Parameterschätzung RMSE l ( θ ) HRB Straußfurt Gumbel-Hougaard θ = 2, BB1 θ 1 = 1,13; θ 2 = 1, Talsperre Kelbra Gumbel-Hougaard θ = 2, BB1 θ 1 = 0,986; θ 2 = 1, Beim Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Werte für K C ( t ) in Abb zeigt sich, dass die BB1 Copula eine bessere Anpassung liefert als die Gumbel-Hougaard Copula. Dies kommt auch durch die Werte der Log-Likelihood Funktion l ( θ ) und des RMSE in Tab. 6.7 zum Ausdruck. Beim Vergleich der Stichprobe mit generierten Zufallspaaren aus den beiden Copulas in Abb mit den Stichprobenwerten zeigt sich, dass beide Copulas die Abhängigkeitsstruktur der Daten gut nachbilden. Bei der Gumbel-Hougaard Copula liegen aber einige Werte der Stichprobe außerhalb der Bandbreite der zufällig generierten Werte. Da die BB1 Copula die bessere Anpassung an die Daten liefert, wird sie für die weiteren Analysen verwendet. Abb. 6.17: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepassten BB1 und Gumbel-Hougaard Copula für die Scheitel-Volumen Beziehung an dem HRB Straußfurt. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung. 158

171 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Abb. 6.18: aus der BB1 und Gumbel-Hougaard Copula generierten Zufallswerte von Kombinationen der Scheitelabflüsse und zugehörigen Volumina im Zufluss des HRB Straußfurt (graue Symbole) und Paare ( x i, y i ) aus der stochastisch generierten Zuflusszeitreihe (schwarze Symbole). Auch für die Scheitel-Volumen-Beziehung an der Talsperre Kelbra zeigt sich an den Werten in Tab. 6.7, dass die BB1 Copula eindeutig die beste Anpassung an die Daten liefert. Der Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Werte von K C ( t ) für die Talsperre Kelbra ist in Abb. C-2, das Streudiagramm mit dem Vergleich der Stichprobe mit zufällig aus der BB1 und Gumbel-Hougaard Copula generierten Werten für die Talsperre Kelbra ist in Abb. C-3 dargestellt Bivariate Häufigkeitsanalyse In Abb sind die Isolinien für die gemeinsamen statistischen Wiederkehrintervalle T X,Y, bei denen die Schwellenwerte x und y, sowie die Isolinien für T X,Y, bei denen x oder y von den beiden Zufallsvariablen X bzw. Y überschritten werden, dargestellt. Abb. 6.19: Gemeinsame Wiederkehrintervalle T X,Y (Überschreiten von x oder y) und T ^X,Y (Überschreiten von x und y) für die Jahreshöchstwerte und die zugehörigen Ereignisvolumina im Zufluss zum HRB Straußfurt 159

172 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Bei der Analyse der 31 ausgewählten Ereignisse zeigt sich, dass für die Bemessung eine ausreichend große Bandbreite unterschiedlicher hydrologischer Szenarien verwendet wird. Werden die Ereignisse mit einem Wiederkehrintervall der Jahreshöchstabflüsse von ungefähr 100 Jahren betrachtet, sieht man, dass die Wiederkehrintervalle für das zugehörige Volumen zwischen 25 Jahren und 2000 Jahren variieren. An dieser Variabilität zeigt sich, dass es für die Risikoanalyse besser ist, die Ereignisse über die bivariate Wahrscheinlichkeit probabilistisch zu bewerten, als nur über die univariate Wahrscheinlichkeit des Scheitels. Die Isolinien für die gemeinsamen statistischen Wiederkehrintervalle für die probabilistische Bewertung der Ereignisse an der Talsperre Kelbra sind in Abb. C-4 im Anhang C dargestellt Bivariate Häufigkeitsanalyse der Koinzidenz von Hochwasserereignissen an beiden Stauanlagen Für die Risikoanalyse und bewertung zur Hochwasserschutzplanung in größeren Flussgebieten, die aus mehreren großen Teileinzugsgebieten bestehen, ist es wichtig, die Koinzidenz von Hochwasserereignissen in den Teileinzugsgebieten zu bewerten. Im Einzugsgebiet der Unstrut ist dies von besonderer Bedeutung, da die Talsperre Kelbra und das Hochwasserrückhaltebecken Straußfurt unterhalb der beiden großen Teileinzugsgebiete Helme und Unstrut liegen (siehe Abb. 6.8). Die Koinzidenz von Hochwasserereignissen an beiden Talsperren wurde über die bivariate Wahrscheinlichkeit der bei dem gleichen Hochwasserereignis auftretenden Jahreshöchstwerte im Zufluss bewertet. Aus den stochastisch ermittelten Tageswertzeitreihen des Zuflusses zu den beiden Stauanlagen der Länge Jahre wurden die Jahreshöchstwerte der Zuflüsse ausgewählt und der jeweils zeitgleich aufgetretene Höchstwert des Zuflusses zur anderen Anlage betrachtet. In Jahren der generierten Zeitreihen mit der Länge von Jahren traten die Jahreshöchstwerte an beiden Talsperrenzuflüssen nicht zeitgleich auf. Aus diesem Grund erhöht sich die bivariate Stichprobengröße auf Ereignisse. Dies ist bei der Ermittlung der gemeinsamen Wiederkehrintervalle zu berücksichtigen (siehe Kapitel ). Wie bei der Analyse der Scheitel-Volumen Beziehung zeigen die Abhängigkeitsmaße Kendalls τ, Spearmans ρ und Pearsons r in Tab. 6.8 eine deutliche positive statistische Abhängigkeit zwischen den beiden Zufallsvariablen. Tab. 6.8: Grad der Abhängigkeit für die Jahreshöchstwerte am HRB Straußfurt und der Talsperre Kelbra Stichprobengröße Pearsons r Kendalls τ Spearmans ρ ,72 0,48 0,67 160

173 Ermittlung der Randverteilungen 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut Da sich die Stichprobe gegenüber den Jahreshöchstwerten der Zuflussscheitel der beiden Talsperren nur geringfügig verändert hat (vgl. Abb. C-1 mit Abb. 6.15), lieferte bei der Wahl der Randverteilung die Allgemeine Extremwertverteilung, für das HRB Straußfurt nach der Parameterschätzmethode der L-Momente und für die Talsperre Kelbra nach der Momentenmethode, wie schon bei der Analyse der jährlichen Scheitelwerte an beiden Talsperren in Kapitel , die beste Anpassung an die beiden Stichproben Wahl der geeigneten Copula Bei der bivariaten Analyse wurden auch hier wieder die BB1 und Gumbel-Hougaard Copula berücksichtigt. Die mit der Maximum-Pseudolikelihood Methode aus der bivariate Stichprobe geschätzten Parameter der beiden Copulas sind in Tab. 6.9 gegeben. Tab. 6.9: Parameter und Anpassungsgüte an die Stichproben der angepassten Copulas Copula Parameterschätzung RMSE l ( θ ) Gumbel-Hougaard θ = 1,88 0, BB1 θ 1 = 0,114; θ 2 = 1,79 0, Der Vergleich zwischen der parametrischen und nichtparametrischen Schätzung von K C ( t ) in Abb. 6.20, den zufällig aus den beiden Copulas gezogenen Zufallswerte mit der Stichprobe in Abb und den RMSE und l ( θ ) Werten in Tab. 6.9 zeigt, dass keine der beiden Copulas eine eindeutig bessere Anpassung an die Daten liefert. Beide Copulas bilden die Abhängigkeitsstruktur der Stichprobe gut nach. Daher wurde für die weitere Analyse zur Vereinfachung das Modell mit der geringeren Anzahl an Parametern, die Gumbel-Hougaard Copula, gewählt. Abb. 6.20: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepasste BB1 und Gumbel-Hougaard Copula. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung. 161

174 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Abb. 6.21: aus der BB1 und Gumbel-Hougaard Copula generierte Zufallswerte von Kombinationen der Scheitelzuflüsse zum HRB Straußfurt und der Talsperre Kelbra (schwarze Symbole) und Paare ( x i, y i ) aus der stochastisch-deterministisch generierten Zuflusszeitreihe (graue Symbole) Bivariate Häufigkeitsanalyse In Abb sind die Isolinien für die gemeinsamen statistischen Wiederkehrintervalle T X,Y und T X,Y dargestellt. Abb. 6.22: Gemeinsame Wiederkehrintervalle T X,Y (Überschreiten von x oder y) und T ^X,Y (Überschreiten von x und y) für die zeitgleichen Jahreshöchstwerte der Zuflüsse zu den beiden Stauanlagen Da nicht in allen Fällen die Jahreshöchstwerte der beiden Zuflüsse zu den beiden Stauanlagen zur gleichen Zeit aufgetreten sind, handelt es sich bei den Stichprobenwerten nicht um jährliche Werte ( Stichprobenwerte für Jahre). Die gemeinsamen Wiederkehrintervalle ergeben sich daher auch nicht mehr als Kehrwert der Überschreitungswahrscheinlichkeit nach Gl und 5.39 sondern zu T X, Y = µ T P( X x Y y) (6.1) 162

175 6.3 Probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen in einer Flussgebietsbezogenen Betrachtung am Beispiel der Unstrut T X, Y = µ T, (6.2) P( X x Y y) mit dem mittleren Abstand µ Τ der Stichprobenelemente in Jahren. In diesem Fall entspricht der mittlere Abstand von zwei Beobachtungen µ Τ = a / = 0,783 a. Die 31 Ereignisse (graue Dreiecke) repräsentieren die Vielfalt der ausgewählten hydrologischen Szenarien. Werden, wie bei der Auswertung von Scheitel und Volumen am HRB Straußfurt, wieder die hydrologischen Szenarien betrachtet, die am HRB Straußfurt ein Wiederkehrintervall von ungefähr 100 Jahren haben, liegen die zugehörigen Wiederkehrintervalle an der Talsperre Kelbra zwischen 10 Jahren und 500 Jahren. Dies zeigt, wie wichtig die multivariate probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen ist, anstatt diese allein über das Wiederkehrintervall des Scheitels einzuordnen. Insbesondere bei großen Einzugsgebieten, wie der Unstrut, zeigt sich wie sinnvoll es ist, auch die Koinzidenz von Hochwasserereignissen in den unterschiedlichen Einzugsgebieten bei der Risikoanalyse und bewertung zu berücksichtigen Bewertung der Hochwasserschutzwirkung des HRB Straußfurt Die Auswertung der Wirksamkeit des HRB Straußfurt und somit die Beurteilung der Hochwasserschutzwirkung der Anlage erfolgte auf Grundlage der 31 ausgewählten Ereignisse mit den Hochwasserwellen, die über die ereignisbasierte N-A-Simulation aus den disaggregierten Tagesniederschlägen berechnet wurden. Die bivariate probabilistische Bewertung hingegen erfolgte an Hand der Ereignisse auf Tageswertbasis. Für diese 31 Ereignisse wurde bei der Ereignissimulation die Speichersimulation der Talsperren durchgeführt, bei der natürlich die Steuerrichtlinie der beiden Bundesländer Thüringen und Sachsen-Anhalt mit berücksichtigt wurde. Es standen bei der Unstrut also im Gegensatz zu der Auswertung der Hochwasserschutzwirkung der Wuppertalsperre in Kapitel nicht für jedes Jahr ein Hochwasserereignis zur Verfügung, anhand dessen kritische Ereignisse für die Talsperre identifiziert und somit die Hochwasserschutzwirkung bewertet werden kann. Der Grund hierfür ist das Fehlen eines Modells für die kontinuierliche Niederschlag-Abfluss-Modellierung auf Stundenwertbasis. Für die Anpassung eines solchen Modells fehlten bei der Unstrut zeitlich hochaufgelöste gemessene Eingangswerte. In Abb sind die sich ergebenden maximalen Wasserspiegelhöhen am HRB Straußfurt in Abhängigkeit vom Scheitelwert und Ereignisvolumen für die 31 Ereignisse dargestellt, um die unterschiedlichen Auswirkungen der hydrologischen Szenarien auf das Hochwasserrückhaltebecken zu demonstrieren. 163

176 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Abb. 6.23: Maximale aus den hydrologischen Szenarien resultierende Wasserspiegel am HRB Straußfurt und Isolinien für die Wiederholungszeitspannen T X,Y (überschreiten von x oder y) Ereignisse, die einen Wasserspiegel über 150,3 m ü. NN verursachen (in der Abbildung als Punkte dargestellt), werden als kritische Ereignisse definiert, da der zu diesem Wasserspiegel gehörige Abfluss von 200 m³/s flussabwärts wahrscheinlich große Schäden verursachen würde. Bezüglich der Auswirkungen der Ereignisse lassen sich in Abhängigkeit des gemeinsamen Wiederkehrintervalls T X,Y von Scheitel und Volumen Bereiche mit unterschiedlichem Risiko definieren. Die Abgrenzung zwischen diesen Bereichen kann somit über die Isolinien T X,Y erfolgen. In dem Bereich mit einem gemeinsamen Wiederkehrintervall T X,Y (überschreiten von x oder y) größer als 50 Jahre (graue Fläche in Abb. 6.23) sind alle betrachteten Ereignisse kritische Ereignisse. Daraus folgt, dass das hydrologische Risiko in diesem Bereich sehr hoch ist. Das mittlere sekundäre Wiederkehrintervall, bei dem ein Ereignis in dem Bereich mit sehr hohem Risiko liegt, wurde nach Gl zu 110 Jahren berechnet. In dem Bereich mit einem gemeinsames Wiederkehrintervall T X,Y zwischen 25 und 50 Jahren (schraffierte Fläche in Abb. 6.23) sind 5 von 7 Ereignissen (70% der Ereignisse) kritische Ereignisse. In diesem Bereich ist das Risiko also hoch. Das mittlere statistische Wiederkehrintervall λ t1t 2 dem Bereich mit 25 Jahre < T X,Y < 50 Jahre liegt, ergibt sich zu:, dass im Zufallsprozess ein Ereignis in 1 1 λ t1t = = 2 P t C u v t ( 1 < (, ) 2 ) KC ( t2 ) KC ( t1 ) (6.3) mit: 1 t = 1. (6.4) T X, Y 164

177 6.4 Zusammenfassung Nach Gl. 6.3 ist das mittlere Wiederkehrintervall, dass ein Ereignis im Bereich mit einem hohen Risiko liegt, bei 105 Jahren. Von den Ereignisse in dem Bereich mit einem gemeinsamen Wiederkehrintervall T X,Y kleiner als 25 Jahre (weiße Fläche in Abb. 6.23) sind nur 2 von 12 Ereignissen kritische Ereignisse. Die Ursache, dass zwei Ereignisse mit einem Wiederkehrintervall T X,Y < 25 a kritische Ereignisse sind, liegt darin, dass in diesen Fällen ein Teil des Hochwasserrückhalteraums durch ein Vorereignis schon gefüllt war. Wäre zu Beginn der Ereignisse, der Hochwasserschutzraum leer gewesen, wären diese Ereignisse keine kritischen Ereignisse gewesen. Bei der Bewertung der Hochwasserschutzwirkung des HRB Straußfurt zeigt sich, dass nach Gl im statistischen Mittel alle 54 Jahre ein Ereignis im Bereich mit hohem und sehr hohem Risiko, d, h, ein Ereignis mit einem gemeinsamen Wiederkehrintervall T X,Y größer als 25 Jahre auftritt. Somit ist damit zu rechnen, dass etwa alle 50 Jahre ein Ereignis mit einer Kombination aus Scheitel und Volumen auftritt, das bei den anlagenspezifischen Retentionsbedingungen zu einer kritischen Abgabe (größer 200 m³/s), mit entsprechenden Schäden im Gebiet unterhalb, führt. 6.4 Zusammenfassung Die Beispiele zeigen, dass mit Hilfe der Niederschlag-Abfluss-Modellierung mit stochastisch generierten räumlich verteilten Niederschlägen eine große Bandbreite unterschiedlicher hydrologischer Szenarien erzeugt werden kann. Dies ist für die Risikoanalyse von Hochwasserschutzanlagen auch erforderlich, wie z. B. von Talsperren oder im Fall der Unstrut von komplexeren, Talsperren, Hochwasserrückhaltebecken und Poldersysteme beinhaltenden Hochwasserschutzsystemen in größeren Einzugsgebieten. Die Bandbreite wäre noch größer, wenn die Modellunsicherheit berücksichtigt werden würde. Es hat sich auch gezeigt, dass sich das bei den BMBF-Projekten an Unstrut und Wupper angewendete Verfahren zur Generierung von Ereignissen zur Risikobewertung von Stauanlagen und Hochwasserschutzsystemen in Flussgebieten sehr bewährt hat. Insbesondere bei größeren Einzugsgebieten mit unterschiedlicher Hochwassergenese wurde deutlich, dass nur über die räumlich differenzierte Verteilung der Niederschläge alle möglichen Hochwassersituationen berücksichtigt werden können. Für die Risikobewertung der aus den hydrologischen Szenarien zu erwartenden Folgen ist eine probabilistische Bewertung unverzichtbar. Aufgrund der Vielfalt hydrologischer Ereignisse ist es notwendig, die Ereigniswahrscheinlichkeiten nicht nur alleine über die Jährlichkeit des Hochwasserscheitels zu definieren, sondern zusätzliche Hochwassereigenschaften zu berücksichtigen. So spielt bei der Bemessung von Stauanlagen neben dem Scheitel auch das Volumen eine sehr große Rolle, wobei sich dann zur probabilistischen Bewertung eine bivariate Häufigkeitsanalyse dieser beiden Zufallsvariablen anbietet. Die Beispiele Unstrut und Wuppertalsperre zeigen, dass die Copula Theorie dafür besonders gut geeignet ist. 165

178 6 Stochastisch-deterministische Generierung und probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen für die Risikoanalyse in Flussgebieten Bei der Hochwasserschutzplanung von größeren Flusseinzugsgebieten ist es insbesondere bei einer unterschiedlichen Hochwassergenese von Teileinzugsgebieten sinnvoll, die räumliche Heterogenität der Hochwasserereignisse durch eine bivariate Häufigkeitsanalyse der Koinzidenz der Hochwasserscheitel in den verschiedenen Teileinzugsgebieten zu berücksichtigen. Dies ist z. B. bei der Unstrut der Fall, wenn man sich die Topographie des Gebiets mit dem Harz im Norden und dem Thüringer Wald im Süden und die unterschiedlichen Hochwasserverhältnisse mit Hochwassersituationen nur in der Helme oder nur in der Unstrut oder in beiden Teileinzugsgebieten vergegenwärtigt. Dabei ist es vor allem wichtig, diese Hochwassergenese nach dem Zusammenfluss der beiden Teileinzugsgebiete bei der Risikoanalyse zu betrachten. In der Regel reicht allerdings die hydrologische Datenbasis für eine multivariate Häufigkeitsanalyse von Hochwassereigenschaften nicht aus. Hier kann durch die deterministische Simulation von Abflüssen in Verbindung mit stochastisch erzeugten Niederschlagsfeldern die Abflussdatenbasis grundlegend erweitert werden. Einschränkend muss allerdings angemerkt werden, dass eine simulierte Datenbasis lange Messreihen nicht ersetzen kann, sondern diese im Hinblick auf den Plausibilitätsnachweis der Ergebnisse voraussetzt. Wird von den Ereignissen die resultierenden Wasserspiegelhöhen bzw. maximalen Abgaben in Abhängigkeit von Scheitel und das Volumen in ein Diagramm aufgetragen, legt die Lage und Anordnung der kritischer Ereignisse nahe, dass die kritischen Bereiche in dem die Talsperre eine geringe Hochwasserschutzwirkung hat, am besten durch die Isolinien der gemeinsamen Wiederkehrintervalle T X,Y (Überschreiten von x oder y) abgegrenzt werden können. Diese Einordnung über T X,Y ergibt, dass ein Ereignis dann ein kritisches Ereignis ist, wenn Scheitel und Volumen einen hohen Wert annehmen. Bei einem Ereignis mit einem Wiederkehrintervall T X,Y von z. B. 50 Jahren haben Scheitel und Volumen unabhängig voneinander betrachtet auf alle Fälle eine Jährlichkeit von größer 50 Jahren. Für eine Stauanlage können deshalb vorrangig Ereignisse kritisch werden, bei denen beide Eigenschaften einen hohen Wert annehmen. Hier zeigt sich wieder die Bedeutung der bivariaten Betrachtung von Scheitel und Volumen für die probabilistische Bewertung von Hochwasserereignissen im Rahmen der Risikoanalyse. Durch die Festlegung von Bereichen in Abhängigkeit von dem gemeinsamen Wiederkehrintervalle T X,Y von Scheitel und Volumen kann über den Anteil an kritischen Ereignissen in dem jeweiligen Bereich die Hochwasserschutzwirkung von Stauanlagen beurteilt werden. Der Nutzen von Verbesserungsmaßnahmen, wie z. B. Änderung und Optimierung der Hochwassersteuerung oder Vergrößerung des Hochwasserschutzraums kann auf diese Weise überprüft werden, inwieweit sich der Anteil der kritischen Ereignisse im Vergleich zum IST-Zustand geändert hat. 166

179 7 Zusammenfassung und Fazit In der vorliegenden Arbeit wurden Hochwasserereignisse ermittelt, die sich für die Hochwasserbemessung von Talsperren und Hochwasserrückhaltesystemen in Flussgebieten eignen. Des Weiteren wurde eine Methode für die probabilistische Bewertung von hydrologischen Szenarien für die Risikoanalyse von Hochwasserrückhaltesystemen in Flussgebieten vorgestellt. Die Hochwasserschutzwirkung einer oder mehrerer Stauanlagen ist stark davon abhängig, welche ereignisspezifischen Hochwasserabläufe angenommen bzw. erwartet werden. Die Hochwasserbemessung sollte deshalb die Vielfalt hydrologischer Belastungsszenarien berücksichtigen. Die Erkenntnis spiegelt sich auch in der neuen DIN (2004) wieder, in der z. B. der Nachweis der Hochwassersicherheit einer Talsperre mit Hilfe extremer Hochwasserganglinien, deren Scheitelwerte durch Überschreitungswahrscheinlichkeiten charakterisiert werden, gefordert wird. Weil bei der Bemessung einer Anlage die Retention berücksichtigt und der gewöhnliche Hochwasserrückhalteraum als leer angesetzt werden darf, wird eine Überprüfung der Hochwassersicherheit mit Ganglinien gefordert, die bei den anlagenspezifischen Retentionsbedingungen aufgrund ihrer Form eine Stauinhaltsmaximierung bewirken, auch wenn sie in ihrem Scheitelabfluss geringere Jährlichkeiten als von der DIN gefordert, aufweisen. Dabei sind auch mehrgipflige Ganglinien zu berücksichtigen. Extreme Abflussereignisse für die Hochwasserbemessung von Stauanlagen wurden in dieser Arbeit auf verschiedene Weise erzeugt. Für die Bemessung von Einzelanlagen wurden zwei Modelle für die Hochwassermerkmalssimulation entwickelt. Bei der Hochwassermerkmalssimulation werden synthetische Hochwasserereignisse mit Hilfe einer analytischen Funktion für deren zeitlichen Verlauf stochastisch erzeugt. Diese Funktion und deren Parameterverteilungen ist das Ergebnis aus der Auswertung von gemessenen Abflussdaten. Um auch komplexere Ganglinienformen zu berücksichtigen, wurden zwei Ganglinienfunktionen entwickelt, mit denen auch mehrgipflige Ganglinien in der Bemessung berücksichtigt werden können. Um die Anzahl der erforderlichen Parameter möglichst klein zu halten, wurden nur zweigipflige Ganglinien berücksichtigt. Ganglinien mit mehr als zwei Gipfeln treten außerdem in der Realität selten auf und führen aufgrund ihrer Form nicht zwangsläufig zu einer verminderten Hochwasserschutzwirkung wie dies bei zweigipfligen Ganglinien der Fall ist. Somit kann die Genauigkeit der Aussage zur Hochwassersicherheit bei der Berücksichtigung von Ganglinien mit mehr als zwei Gipfeln ohnehin nicht verbessert werden. 167

180 7 Zusammenfassung und Fazit Zweigipflige Ganglinien werden durch die Superposition (1. Typ von Ganglinienfunktion) bzw. die Verschneidung (2. Typ von Ganglinienfunktion) von zwei Einzelwellen, die jeweils analytisch mit der Kozeny-Funktion beschrieben werden, beschrieben. Beim ersten entwickelten Modell zur Hochwassermerkmalssimulation wird die Hochwassersicherheit einer Anlage für ein vorgegebenes Wiederkehrintervall (z. B jährliches Ereignis als üblicher Wert für die Bemessung der Hochwasserentlastungsanlage von großen Talsperren) mit vielen verschiedenen Ganglinienformen überprüft. Auf der Basis von Bemessungsniederschlagshöhen und Einzugsgebietseigenschaften, wie z. B. der Konzentrationszeit, werden die Ganglinienformen in einem für realistisch gehaltenen Bereich variiert, um auf diese Weise eine Überdimensionierung der Talsperren durch Annahme unrealistischer Ganglinienformen zu vermeiden. Die Ganglinie, die zur maximalen resultierenden Wasserspiegelhöhe führt, wird als inhaltsmaximierende Ganglinie definiert. Werden für die unterschiedlichen Bemessungsfälle die Randbedingungen nach DIN (2004) angesetzt, kann mit diesem Verfahren die Hochwassersicherheit von Talsperren unter der Berücksichtigung von mehrgipfligen Ganglinien bemessen werden. Da die Ganglinien unabhängig von gemessenen Abflussdaten gewonnen werden, ist es möglich unter der Annahme von Gebietseigenschaften, dieses Modell auch für Gebiete einzusetzen, für die keine Messungen vorliegen. Somit zeigt die vorliegende Arbeit für den Teilaspekt der hydrologischen Auslegung Lösungen auf, auch bei schmaler oder gänzlich fehlender Datenbasis Bemessungsereignisse mit möglichst realitätsnahen ein- und zweigipfligen Ganglinien zu erhalten. Entscheidend dabei ist, dass das Modell durch die zusätzliche Berücksichtigung der Einzugsgebietseigenschaften Ergebnisse mit einer möglichst hohen Vertrauenswürdigkeit erzeugt. Aufgrund der getroffenen vereinfachten Annahmen ist dieses Modell am besten in Verbindung mit anderen Bemessungsverfahren zur Plausibilitätsüberprüfung von Bemessungsergebnissen geeignet. Das Verfahren liefert allerdings keine Aussage über die tatsächliche Auftretenswahrscheinlichkeit der ermittelten Ganglinien und kann daher nicht für die stochastische Hochwasserbemessung nach der Zuverlässigkeitstheorie eingesetzt werden. Am Beispiel der drei Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock hat sich gezeigt, dass das Verfahren sehr gut für die Bemessung eingesetzt werden kann und bei dem Verfahren durch die Randbedingungen bei der Generierung eine Überdimensionierung durch unrealistische Ganglinienformen vermieden werden kann. Es hat sich auch gezeigt, dass es, wie in der DIN (2004) gefordert, wichtig ist, auch mehrgipflige Ganglinien zu berücksichtigen. Dies kann insbesondere bei Talsperren mit kleineren Einzugsgebieten maßgebend sein, wie sich bei den beiden Talsperren Gottleuba und Lichtenberg mit einem Einzugsgebiet zwischen 30 und 40 km² gezeigt hat. Dagegen hat sich am Beispiel der Talsperre Eibenstock mit einem Einzugsgebiet von ca. 200 km² ergeben, dass bei größeren Einzugsgebieten aufgrund des weitaus größeren möglichen Abflussvolumens eher eingipflige Ganglinienformen inhaltsmaximierend wirken. 168

181 7 Zusammenfassung und Fazit Aufbauend auf dem ersten vereinfachten Modell wurde ein zweites, komplexeres Modell für die Hochwassermerkmalssimulation entwickelt, das die statistischen Verteilungen der Hochwassereigenschaften an der betrachteten Stelle im Gewässer nachbildet. Somit kann dieses Modell nicht nur für eine stochastische Bemessung der Hochwassersicherheit nach DIN (2004), wie in dem Anwendungsbeispiel geschehen, sondern auch für eine voll probabilistische Bemessung nach dem Zuverlässigkeitskonzept angewendet werden. Bei diesem Modell werden unabhängig voneinander ein- und zweigipflige Ganglinien generiert. Es wird dabei in Abhängigkeit von der Auftretenswahrscheinlichkeit ein- bzw. zweigipfliger Ganglinien jeweils ein eingipfliges oder zweigipfliges Ereignis erzeugt. Bei den eingipfligen Ganglinien werden jeweils über eine bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung die Abhängigkeiten zwischen den Hochwassereigenschaften Scheitel und Volumen sowie Volumen und Scheitelanstiegszeit berücksichtigt. Für die Ermittlung der bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung wurde die Copula-Methode verwendet. Bei der Generierung der zweigipfligen Ganglinien werden neben den Parameterverteilungen aus dem eingipfligen Ganglinienmodell die Hochwassereigenschaften zeitlicher Abstand der beiden Gipfel, Höhe des Direktabflussscheitelwerts, Verhältnis zwischen der Höhe des Direktabflussscheitels und des zweiten Gipfels und Position des Scheitelwerts mit den entsprechenden Verteilungen berücksichtigt. Da nicht alle Hochwassereigenschaften bei der Generierung berücksichtigt werden können, werden die Eigenschaften der generierten Ganglinien sicherheitshalber mit denen der Datenbasis verglichen. Da im Allgemeinen die gemessenen Abflussdaten für eine statistisch abgesicherte Schätzung der Parameterverteilungen eines so komplexen Modells einen zu kurzen Zeitraum umfassen, wurde ein Verfahren vorgestellt, bei dem für die Ermittlung der Parameterverteilungen des Modells Hochwasserereignisse aus einer stochastisch-deterministisch generierten Abflussreihe verwendet werden. Durch diese Informationserweiterung war es möglich das komplexe Modell zu parametrisieren. Die stochastisch-deterministische Simulation kann aber keinesfalls lange gemessene Abflussdaten ersetzen, da diese für die Kalibrierung des deterministischen Niederschlag-Abfluss-Modells und für die Verifizierung der stochastisch-deterministisch ermittelten Zeitreihen erforderlich sind. Die Validierung der mit dem komplexen Modell gewonnenen synthetischen Zuflussereignisse zu der Wuppertalsperre hat gezeigt, wie gut das in dieser Arbeit entwickelte Modell alle maßgebenden Hochwassereigenschaften der Datenbasis sowohl von ein- als auch zweigipfligen Ereignissen nachbildet. Somit konnten mit den generierten Ereignissen für eine fiktive Talsperre (orientiert an der Wuppertalsperre) über eine stochastische Bemessung die Hochwasserstauziele Z H1 und Z H2 für den Nachweis der Hochwassersicherheit nach DIN festgelegt werden. Bei beiden in dieser Arbeit entwickelten Modellen zur Hochwassermerkmalssimulation zeigen die Ergebnisse, dass mit der Einführung der zweigipfligen Ganglinienfunktion bei der Bemessung von Hochwasserrückhalteanlagen ein weitaus größeres Hochwasserspekt- 169

182 7 Zusammenfassung und Fazit rum berücksichtigt werden kann und dies für eine adäquate Hochwasserbemessung auch erforderlich ist. Bei größeren Einzugsgebieten ist die Hochwasserschutzwirkung einer oder mehrerer Stauanlagen stark durch die ereignisspezifischen Hochwasserabläufe, wie z. B. der räumlichen Verteilung der hochwasserauslösenden Niederschlagsereignisse, bestimmt. Bei der Bemessung der Hochwasserschutzwirkung mit Hilfe der Risikoanalyse und bewertung (Risk Assessment) ist es daher von großer Bedeutung, alle möglichen Hochwassersituationen zu berücksichtigen. Daher ist es bei größeren Flussgebieten sinnvoll, die Hochwasserereignisse über flächenhaft verteilte stochastisch generierte Niederschlagsfelder in Kombination mit einem deterministischen Niederschlag-Abfluss-Modell zu gewinnen. Die für die Bemessung verwendeten hydrologischen Szenarien und damit auch deren Auswirkungen, wie z. B. Schäden, müssen probabilistisch bewertet werden. Hochwasserereignisse sind ein multivariater Zufallsprozess in Abhängigkeit von mehreren, meist korrelierten Zufallsvariablen. Die in den Anwendungsbeispielen in dieser Arbeit ermittelten hydrologischen Szenarien wurden daher mit Hilfe von bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen probabilistisch bewertet. Hierzu wurde wiederum die Copula-Methode angewendet. Die probabilistische Bewertung von stochastisch-deterministisch ermittelten hydrologischen Szenarien mit Hilfe von multivariaten Methoden wurde am Beispiel der beiden Einzugsgebiete der Wupper und der Unstrut durchgeführt. Dabei war es wichtig, neben dem Hochwasserscheitel auch das Hochwasservolumen zu berücksichtigen. Zu diesem Zweck wurden bei beiden Einzugsgebieten für die Ereignisse im Zufluss der Talsperren (bei der Wupper die Wuppertalsperre und bei der Unstrut das HRB Straußfurt und die Talsperre Kelbra) eine bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Hochwassereigenschaften Scheitel und Volumen ermittelt. Bei größeren Einzugsgebieten wie z. B. der Unstrut kann es für die Risikoanalyse von großer Bedeutung sein, auch die Koinzidenz von Hochwasserereignissen in den verschiedenen Teileinzugsgebieten zu berücksichtigen - also wie wahrscheinlich es z. B. ist, dass in beiden Teileinzugsgebieten ein großes Hochwasserereignis zeitgleich stattfindet. Hierzu wurde an der Unstrut für die zeitgleich auftretenden Scheitelwerte im Zufluss der beiden Stauanlagen eine bivariate Häufigkeitsanalyse durchgeführt. Beim BMBF-Projekt an der Unstrut wurde speziell mit dieser differenzierten probabilistischen Bewertung der verwendeten hydrologischen Szenarien mit Hilfe eines Entscheidungsunterstützungssystems (EUS) die Risikoanalyse und anschließende Risikobewertung der verschiedenen Ausbauzustände des Hochwasserrückhaltessystems an der Unstrut durchgeführt (Schumann, 2008). Anhand der Anwendungsbeispiele konnte gezeigt werden, dass die Generierung stochastisch-deterministischer Ereignisse unter Berücksichtigung räumlich verteilter Niederschläge, insbesondere für große Einzugsgebiete mit unterschiedlicher Hochwassergenese, 170

183 7 Zusammenfassung und Fazit sehr gut funktioniert, um in die Risikoanalyse von Talsperren und anderen technischen Hochwasserrückhaltesystemen eingehende hydrologische Szenarien zu beschreiben. Dabei hat sich bei der Ermittlung von bivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Copula- Methode besonders gut bewährt. Die Ergebnisse zeigen, dass je nach Bemessungskonzept und -ziel, angesetzten Randbedingungen, Größe des Einzugsgebietes, Datenverfügbarkeit und Anzahl der Hochwasserrückhalteeinrichtungen unterschiedliche Verfahren für Ermittlung der Bemessungszuflüsse erforderlich und sinnvoll sind. Für die Bewertung der Hochwasserschutzwirkung von Hochwasserrückhaltesystemen in großen Flussgebieten ist z. B. eine Anwendung der Hochwassermerkmalssimulation nicht sehr gut geeignet, da dabei die räumliche Verteilung der Ereignisses im Gebiet nicht berücksichtigt wird. Des Weiteren kann es aufgrund der Datenverfügbarkeit in dem betrachteten Einzugsgebiet nicht möglich sein, die Parameter für komplexe Verfahren zu schätzen. Zusammenfassend ist zu resümieren, dass jede Ermittlung von Bemessungsereignissen, ob auf statistischer oder statistisch-deterministischer Grundlage, mit Annahmen verbunden ist. Problematisch ist bei allen Verfahren die aufgrund der kleinen geforderten Überschreitungswahrscheinlichkeiten für die Bemessung erforderliche Extrapolation über den Beobachtungszeitraum hinaus und die damit verbundenen Unsicherheiten. Daher sollten alle in dem Einzugsgebiet verfügbaren Informationen und alle Möglichkeiten für die Informationserweiterung (zeitliche, räumliche und kausale) für die Ermittlung bzw. Plausibilitätsüberprüfung der Bemessungsereignisse genutzt werden. Generell sollten immer möglichst mehrere unterschiedliche Verfahren für die Ermittlung der Bemessungsereignisse angewendet und die Ergebnisse dieser Verfahren zur Plausibilitätsüberprüfung verglichen werden um eine Über- oder Unterbemessung der Anlage zu vermeiden. 171

184

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196 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Abb. 1.1: Mehrgipflige Zuflussganglinien bei dem HW-Ereignis August Abb. 2.1: Stauraumaufteilung nach DIN (2004) Abb. 2.2: Freibordkomponenten (nach Sieber, 2006) Abb. 2.3: Sicherheitsphilosophien für Talsperren (nach Sieber, 2005) Abb. 2.4: Ablaufdiagramm für das Hochwasserrisikomanagement einer Stauanlage nach Meon et al. (2007), in Anlehnung an Harms et al. (2004), Rißler (1998) und Meon (1989) Abb. 2.5: Ansatz für die Ermittlung der Überflutungswahrscheinlichkeit modifiziert nach Hable (2001) und vervollständigt und modifiziert nach Pohl (1997) Abb. 2.6: Steuerungsvarianten für Hochwasserrückhalteräume Abb. 2.7: Hilfsdiagramm für die Lösung der Kontinuitätsgleichung Q A =f ( 2S / t + Q A ) 30 Abb. 2.8: Ablaufschema der HW-Steuerungsberechnung Abb. 3.1: Aus den Werten der HOWEX-Datenbank abgeleitete Hüllkurven für Deutschland (Klein et al., 2006) Abb. 3.2:Kriterien für statistisch unabhängige Hochwasserscheitelwerte (LAWA, 1997) 37 Abb. 3.3: L-Momenten-Diagramm für Pegel im Ost-Erzgebirge mit den zweiparametrigen Verteilungsfunktionen Normalverteilung (NV), Gumbel-Verteilung (Gumbel) und den dreiparametrigen Verteilungsfunktionen Allgemeine Extremwertverteilung (AEV) und Pearson III-Verteilung (P3) Abb. 3.4: Abschätzung des größtmöglichen Bemessungshochwassers nach dem schweizerischen Sicherheitskonzept Abb. 3.5: Spezifische 100-jährliche Abflussspenden für Pegel im Einzugsgebiet der Unstrut Abb. 3.6: Abschätzung des 1000-jährlichen und des größtmöglichen Abflusses nach dem Schweizerischen Sicherheitskonzept Abb. 3.7: Skalierung des größten gemessenen Hochwasserereignisses, um die Bemessungsganglinien für T=200 a, 500 a, 1000 a zu ermitteln Abb. 3.8: Hochwasserwelle mit charakteristischen Parametern

197 Abbildungsverzeichnis Abb. 3.9: Bemessungskennlinie für die Hochwassermerkmale V D und Q D und aus der Bemessungskennlinie ermittelte Bemessungsganglinien mit der gleichen bivariaten Jährlichkeit Abb. 3.10: Eigenschaften der Standardganglinie Abb. 3.11: Einfluss des Formparameters m auf die Form der Standardganglinie der Kozeny Funktion Abb. 3.12: 2-parametrige Ganglinienfunktion nach Sackl (1994) Abb. 3.13: Vergleich der beiden Ganglinienfunktionen a) Ganglinienfunktion nach Lohr mit den Parametern t A, Q SD, m an, m ab und b) Kozeny-Funktion mit den Parametern t A, Q SD, m Abb. 3.14: Extrapolation von Starkniederschlagshöhen für das Rasterfeld (Zeile 57, Spalte 66) nach PEN Abb. 3.15: Summenlinien verschiedener Intensitätsverläufe von Bemessungsniederschlägen der Gesamtdauer D und der Gesamtniederschlagshöhe h N Abb. 3.16: Niederschlagsereignis der Dauer D = 12 h mit dem statistischen Wiederkehrintervall T = 500 a für das KOSTRA-Rasterfeld (Zeile 57, Spalte 66). Intensitätsverlauf nach der Alternating Block Method Abb. 3.17: Huff-Kurven für die Niederschläge mit dem größtem Niederschlagsanteil im a) ersten Quartil, b) zweiten Quartil, c) dritten Quartil und d) vierten Quartil bezogen auf die Niederschlagsstation Zinnwald-Georgenfeld Abb. 4.1: Merkmale eines mehrgipfligen Hochwasserereignisses (nach Grünewald, 1977) Abb. 4.2: Beschreibung einer zweigipfligen Ganglinie durch a) das Überlagern oder b) das Verschneiden von zwei Kozeny-Funktionen Abb. 4.3: Eigenschaften der zweigipfligen Ganglinie Abb. 4.4: Ablaufdiagramm für die Generierung von zweigipfligen Ereignissen Abb. 4.5: Einzugsgebiet der Mulde und der Elbe mit den Teileinzugsgebieten der drei betrachteten Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock Abb. 4.6: Resultierende maximale Wasserspiegel aus den generierten zweigipfligen Ganglinien ( Simulationen, schwarze Symbole) und den eingipfligen Ganglinien ( Simulationen, graue Symbole) für eine Niederschlagsdauer D ges = 24 h und N-Jährlichkeit T ges = 1000 a sowie ausgewählte generierte Ganglinien Abb. 4.7: Vergleich der ermittelten inhaltsmaximierenden Ganglinie der Niederschlagsdauerstufe D ges = 24 h mit der Ganglinie des Hochwasserereignisses August 2002 im Zufluss der Talsperre Gottleuba

198 Abbildungsverzeichnis Abb. 4.8: Resultierende maximale Wasserspiegelhöhen aus generierten zweigipfligen Ganglinien aller betrachteten Niederschlagsdauerstufen der Jährlichkeit T ges = 1000 a Abb. 4.9: Resultierende maximale Wasserspiegel der Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock aus generierten zweigipfligen Ganglinien für die Bemessungsniederschläge der Dauer D ges = 24 h, 48 h, 72 h und der Jährlichkeit T ges = 1000 a Abb. 4.10: Stauinhaltsmaximierende Ganglinien der Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock aus den generierten zweigipfligen Ganglinien für die Bemessungsniederschläge der Dauer D = 24 h, 48 h, 72 h und der Jährlichkeit T = 1000 a Abb. 5.1: Randverteilungen einer bivariaten Stichprobe Abb. 5.2: Isolinien für die Copula-Sonderfälle W ( u,v ) = t, M ( u,v ) = t und Π ( u,v ) = t. 98 Abb. 5.3: Zusammenhang zwischen der bivariaten Verteilungsfunktion F X,Y ( x,y ) und den univariaten Verteilungsfunktionen F X ( x ) und F Y ( y ) Abb. 5.4: Isolinien für die bivariaten statistischen Wiederkehrintervalle T X,Y =100 a und T X,Y =100 a und ausgewählte Wertepaare, die diese Wiederkehrintervalle annehmen Abb. 5.5: Flächen in [0,1] 2 (schattierte Bereiche), die der Wahrscheinlichkeitsmenge von a) P ( X > x Y > y ) und b) P ( X > x Y > y ) entsprechen Abb. 5.6: Flächen in [0,1] 2 (schattierte Bereiche), die der Wahrscheinlichkeitsmenge von a) K C ( t ) = P ( C ( u,v ) t ) und b) KC ( t) P( C ( u, v) t) = > entsprechen Abb. 5.7: Ablaufschema der räumlich-zeitlichen Disaggregierung (Schumann, 2008) Abb. 5.8: Definition der Mehrgipfligkeit und der Unabhängigkeit von zwei Gipfeln in Abhängigkeit von der Direktabflussganglinie Abb. 5.9: Ablaufschema für die Erzeugung einer eingipfligen Ganglinie Abb. 5.10: Ganglinienmodell für die Generierung der zweigipfligen Ganglinie. Ermittlung der zweigipfligen Ganglinie durch das Verschneiden von zwei Kozeny-Funktionen (siehe Kapitel 4.1.2) Abb. 5.11: Ablaufschema für die Generierung einer zweigipfligen Ganglinie Abb. 5.12: Wupper-Einzugsgebiet Abb. 5.13: Beispiel für die Separierung von Hochwasserereignissen und Ermittlung der Direktabflussganglinien Abb. 5.14: Beispiel einer als zweigipflige Ganglinie definierten Direktabflussganglinie eines Hochwasserereignisses

199 Abbildungsverzeichnis Abb. 5.15: Anpassung der AEV-Verteilung a) an die Direktabflussscheitel Q SD und b) an die zugehörigen Hochwasserfüllen V D der eingipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.16: Anpassung der Johnson-Verteilung an die Scheitelanstiegszeit t A der eingipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.17: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepassten Copulas. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung Abb. 5.18: aus den vier Copulas generierte Zufallswerte von Kombinationen der Direktabflussscheitel und zugehörigen Hochwasserfüllen (graue Symbole) und Paare (x i,y i ) aus der stochastisch-deterministisch generierten Datenbasis (schwarze Symbole) Abb. 5.19: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzung von K C ( t ) im Bereich großer Wahrscheinlichkeiten für die Frank und Gumbel-Hougaard Copula Abb. 5.20: aus der Frank Copula generierte Zufallspaare ( x,y ) (graue Symbole) und Paare( x i,y i ) aus der stochastisch-deterministisch generierten Datenbasis (schwarze Symbole) Abb. 5.21: Anpassung der BB1 Copula für die Eigenschaften Direktabflussscheitel Q SD und Hochwasserfülle V D der eingipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.22: Anpassung der Gumbel-Hougaard Copula für die Eigenschaften Hochwasserfülle V D und Scheitelanstiegszeit t A der eingipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.23: Anpassung der AEV-Verteilung an die Direktabflussscheitel Q SD der zweigipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.24: Anpassung der Johnson-Verteilung an die Scheitelabstände d I-II der zweigipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.25: Empirische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pdf und Verteilungsfunktion cdf der Gipfelverhältnisse ver der zweigipfligen Hochwasserereignisse Abb. 5.26: a) Bedingte Verteilungsfunktion ( cdf ) und b) bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ( pdf ) für die Hochwasserfülle unter der Bedingung eines Scheitelwertes mit der Unterschreitungswahrscheinlichkeit von F( q ) = 0,99 und F( q ) = 0, Abb. 5.27: Vergleich der zweigipfligen Ereignisse aus der stochastisch deterministisch ermittelten Zeitreihe der Länge 2000 Jahre mit über Hochwassermerkmalssimulation generierten zweigipfligen Ereignissen

200 Abbildungsverzeichnis Abb. 5.28: Vergleich der Eigenschaften der Ereignisse aus der stochastisch deterministisch ermittelten Zeitreihe der Länge 2000 Jahre mit über Hochwassermerkmalssimulation generierten Ereignissen Abb. 5.29: Empirische Verteilung der resultierenden Wasserspiegelhöhen der Simulationen mit und ohne (n-1)-bedingung Abb. 5.30: Ganglinie die bei der (n-1)-bedingung zu der Überflutung der Krone führt Abb. 5.31: Zweigipflige Ganglinie und resultierende Wasserspiegelhöhe mit (n-1)- Bedingung Abb. 5.32: Empirische Verteilung der resultierenden Wasserspiegelhöhen für Simulationen mit und ohne (n-1)-bedingung Abb. 6.1: Auswahl von hydrologischen Szenarien für die Wahrscheinlichkeitsstufe von 100 a Abb. 6.2: Bestimmung des Volumens des Hochwasserereignisses Abb. 6.3: Anpassung der a) AEV-Verteilung an die Jahreshöchstwerte HQ und b) Pearson III-Verteilung an die zugehörigen Hochwasserfüllen Abb. 6.4: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepassten Gumbel-Hougaard und BB1 Copulas. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung Abb. 6.5: aus der Gumbel-Hougaard und BB1 Copula generierten Zufallswerte von Kombinationen der Scheitelabflüsse und zugehörigen Volumen im Zufluss der Wupper-Talsperre (schwarze Symbole) und Paare ( x i, y i ) aus der stochastisch generierten Zuflusszeitreihe (graue Symbole) Abb. 6.6: Gemeinsame Wiederkehrintervalle T X,Y (Überschreiten von x oder y) und T X,Y (Überschreiten von x und y) für die Jahreshöchstwerte und die zugehörigen Ereignisvolumina im Zufluss zur Wuppertalsperre Abb. 6.7: Maximale aus den betrachteten Hochwasserereignissen resultierende Abgaben an der Wuppertalsperre und Isolinien für die Wiederholungszeitspannen T X,Y (Überschreiten von x oder y) Abb. 6.8: Einzugsgebiet und Hochwasserschutzanlagen der Unstrut Abb. 6.9: Luftbild HRB Straußfurt (Quelle: Google Earth) Abb. 6.10: Randzustände der Doppelhakenschütze des HRB Straußfurt Abb. 6.11: Talsperre Kelbra (Informationsblatt Hrsg. Talsperrenbetrieb Sachsen-Anhalt) Abb. 6.12:Veränderung der Hochwasserstatistik am a) Pegel Bennungen und b) Pegel Oldisleben durch die HW-Steuerung der beiden Stauanlagen

201 Abbildungsverzeichnis Abb. 6.13: Vergleich der gemessenen und simulierten maximalen jährlichen Abflusstagesmittelwerte und der Vergleich der zugehörigen Füllen dieser Hochwasserereignisse am Pegel Möbisburg Abb. 6.14: Stochastisch generierte Hochwasserereignisse am HRB Straußfurt, die Werte der beiden Zuflussscheitel haben eine Jährlichkeit von T = 100 a Abb. 6.15: Anpassung der AEV-Verteilung an die maximalen jährlichen Scheitelwerte für a) das HRB Straußfurt und b) die Talsperre Kelbra Abb. 6.16: Anpassung der AEV-Verteilung an die zugehörigen Ereignisvolumina für a) das HRB Straußfurt und b) die Talsperre Kelbra Abb. 6.17: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepassten BB1 und Gumbel-Hougaard Copula für die Scheitel-Volumen Beziehung an dem HRB Straußfurt. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung Abb. 6.18: aus der BB1 und Gumbel-Hougaard Copula generierten Zufallswerte von Kombinationen der Scheitelabflüsse und zugehörigen Volumina im Zufluss des HRB Straußfurt (graue Symbole) und Paare ( x i, y i ) aus der stochastisch generierten Zuflusszeitreihe (schwarze Symbole) Abb. 6.19: Gemeinsame Wiederkehrintervalle T X,Y (Überschreiten von x oder y) und T ^X,Y (Überschreiten von x und y) für die Jahreshöchstwerte und die zugehörigen Ereignisvolumina im Zufluss zum HRB Straußfurt Abb. 6.20: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepasste BB1 und Gumbel-Hougaard Copula. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung Abb. 6.21: aus der BB1 und Gumbel-Hougaard Copula generierte Zufallswerte von Kombinationen der Scheitelzuflüsse zum HRB Straußfurt und der Talsperre Kelbra (schwarze Symbole) und Paare ( x i, y i ) aus der stochastisch-deterministisch generierten Zuflusszeitreihe (graue Symbole) Abb. 6.22: Gemeinsame Wiederkehrintervalle T X,Y (Überschreiten von x oder y) und T ^X,Y (Überschreiten von x und y) für die zeitgleichen Jahreshöchstwerte der Zuflüsse zu den beiden Stauanlagen Abb. 6.23: Maximale aus den hydrologischen Szenarien resultierende Wasserspiegel am HRB Straußfurt und Isolinien für die Wiederholungszeitspannen T X,Y (überschreiten von x oder y) Abb. C-1: Anpassung der AEV-Verteilung an die Scheitelwerte für das a) HRB Straußfurt und b) die Talsperre Kelbra für die Analyse der Koinzidenz der beiden Scheitel

202 Abbildungsverzeichnis Abb. C-2: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepassten BB1 und Gumbel-Hougaard Copula für die Scheitel-Volumen Beziehung an der Talsperre Kelbra. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung Abb. C-3: aus der BB1 und Gumbel-Hougaard Copula generierten Zufallswerte von Kombinationen der Scheitelabflüsse und zugehörigen Volumen im Zufluss der Stauanlage Kelbra (schwarze Symbole) und Paare(x i,y i ) aus der stochastischdeterministisch generierten Zeitreihe (graue Symbole) Abb. C-4: Gemeinsame Wiederkehrintervalle T v X,Y (Überschreiten von x oder y) und T^X,Y (Überschreiten von x und y) für die Jahreshöchstwerte und die zugehörigen Füllen im Zufluss zu der Talsperre Kelbra

203 Tabellenverzeichnis Tab. 2.1: Maßgebende Bemessungsgrößen eines Bemessungshochwassers (DVWK, 1989) Tab. 2.2: Auswahl des Bemessungshochwassers in Abhängigkeit von der Gefährdungsklasse der Talsperren (ICOLD, 2003) Tab. 2.3: Nach DIN (2004) geforderte Überschreitungswahrscheinlichkeiten für den Nachweis der Hochwassersicherheit von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken Tab. 3.1: f T - Werte für die Pearson III Verteilung für die maximierte Schiefe c S = 4, Tab. 4.1: Einzugsgebietsgröße A E, mittlerer Abfluss MQ, gewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum I GHR, Stauziel Z S, Stauziel Z V und Konzentrationszeit t C (nach Kirpich, 1940) der Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock Tab. 4.2: Parameter der angesetzten Einzelniederschläge für die Ermittlung der Ganglinien der Niederschlagsdauerstufe D = 24 h, die zu a) der maximalen Wasserspiegelhöhe, b) dem maximalen Zuflussscheitel und c) der minimalen Wasserspiegelhöhe führt Tab. 4.3: Parameter der angesetzten Einzelniederschläge für die Ermittlung der inhaltsmaximierenden Ganglinien der Niederschlagsdauerstufe D ges = 72 h für die Talsperren Gottleuba, Lichtenberg und Eibenstock Tab. 5.1: Zusammenfassung von 2-dimensionalen Archimedischen Copulas und deren Generatoren, Wertebereich für den Parameter und Kendalls τ Tab. 5.2: Grad der Abhängigkeit für die Parameter der eingipfligen Ganglinien Tab. 5.3: Parameter und Anpassungsgüte an die Stichproben der angepassten Copulas Tab. 6.1: Grad der Abhängigkeit zwischen Scheitel und Volumen Tab. 6.2: Parameter und Anpassungsgüte der Gumbel-Hougaard und der BB1 Copula an die Stichprobe Tab. 6.3: Grenzwerte ϑ ( t ) für T X,Y, ab dem alle t Jahre ein Ereignis mit einem gemeinsamen Wiederkehrintervall T X,Y > ϑ ( t ) auftritt Tab. 6.4: Anteil der für die Wuppertalsperre kritischen Ereignisse mit den festgelegten Bereichen in Abhängigkeit des Wiederkehrintervalls T X,Y

204 Tabellenverzeichnis Tab. 6.5: Einzugsgebietsgrößen A E und gewöhnliche Hochwasserrückhalteräume I GHR von Talsperren und Hochwasserrückhaltebecken mit Hochwasserschutzfunktion im Unstrut/Helme Einzugsgebiet (Thüringer Talsperrenverwaltung, 1993) Tab. 6.6: Grad der Abhängigkeit für die beiden Datensätze Tab. 6.7: Parameter und Anpassungsgüte an die Stichproben der angepassten Copulas Tab. 6.8: Grad der Abhängigkeit für die Jahreshöchstwerte am HRB Straußfurt und der Talsperre Kelbra Tab. 6.9: Parameter und Anpassungsgüte an die Stichproben der angepassten Copulas Tab. B-1: Parameter der in dem Kapitel 6 angepassten Verteilungsfunktionen Tab. C-1: Parameter der in dem Kapitel 7 angepassten Verteilungsfunktionen

205 Abkürzungs- und Symbolverzeichnis Falls Abkürzungen oder Symbole doppelt belegt sind, geht deren Bedeutung aus dem Kontext eindeutig hervor. Abk. AEV cdf idf HWE KOSTRA MGN pdf PEN PMF PMP RMSE Bedeutung Allgemeine Extremwertverteilung cumulative density function: Verteilungsfunktion intensity-duration-frequency: Intensitäts-Dauer-Häufigkeitskurven Hochwasserentlastungsanlage Koordinierte Starkregenregionalisierungen maximaler Gebietsniederschlag probability density function: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Praxisrelevante Extremwerte des Niederschlages probable maximum flood: vermutlich größtes Hochwasser probable maximum precipitation: vermutlich größter Niederschlag Root mean square error Symbol Einheit Bedeutung A E [L²] Einzugsgebietsfläche AIC [ / ] Akaike Informationskriterium BIC [ / ] Bayessche Informationskriterium BHQ [L 3 / T] Bemessungshochwasser BHQ 1 [L 3 / T] Bemessungshochwasserzufluss im Bemessungshochwasserfall 1 BHQ 2 [L 3 / T] Bemessungshochwasserzufluss im Bemessungshochwasserfall 2 BHQ 3 [L 3 / T] Bemessungshochwasserzufluss im Bemessungshochwasserfall 3 C ( u,v ) [ / ] Copula Funktion D [T] Niederschlagsdauer F [a] Lebensdauer eines Bauwerks f 1 [m] Freibord im Hochwasserbemessungsfall 1 f 2 [m] Freibord im Hochwasserbemessungsfall 2 f ( x ) [ / ] Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f X ( x ) [ / ] Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariable X f Y ( y ) [ / ] Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariable Y f X,Y ( x,y ) [ / ] bivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 193

206 Abkürzungs- und Symbolverzeichnis F ( x ) [ / ] Verteilungsfunktion F X ( x ) [ / ] Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X F Y ( y ) [ / ] Verteilungsfunktion der Zufallsvariable Y F X,Y ( x,y ) [ / ] bivariate Verteilungsfunktion h Au [m] Wellenauflauf h Ei [m] Eisstau h Wi [m] Windstau h N ( D,T ) [L] Bemessungsniederschlagshöhe in Abhängigkeit von Nieder schlagsdauer D und der Jährlichkeit T h Si [m] Sicherheitszuschlag I [/] Gefälle I T [L 3 ] Totraum I R [L 3 ] Reserveraum I BR [L 3 ] Betriebsraum I GHR [L 3 ] Gewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum I AHR1 [L 3 ] Außergewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum im Hochwasserbemessungsfall 1 I AHR2 [L 3 ] Außergewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum im Hochwasserbemessungsfall 2 I F1 [L 3 ] Freiraum im Hochwasserbemessungsfall 1 I F2 [L 3 ] Freiraum im Hochwasserbemessungsfall 2 I AHR2 [L 3 ] Außergewöhnlicher Hochwasserrückhalteraum im Hochwasserbemessungsfall 2 K C ( t ) [ / ] Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Copula kleiner als t ist L [L] längster Fließweg bis zum Gebietsauslass m, m I, m II [ / ] Formbeiwert der Kozeny-Funktion MHQ [L 3 / T] Mittelwert der Hochwasserabflüsse MQ [L 3 / T] Mittlerer Abfluss n [ / ] Formbeiwert der Gammaverteilung n [ / ] Stichprobengröße, Anzahl der Stichprobenelemente N [L] Niederschlagssumme N eff [L] effektive Niederschlagssumme pos [/] Position des Scheitelwertes bei einer zweigipfligen Ganglinie P u [ / ] Unterschreitungswahrscheinlichkeit P ü [ / ] Überschreitungswahrscheinlichkeit Q [L 3 / T] Abfluss Q A [L 3 / T] Abgabe aus der Talsperre Q D [L 3 / T] Direktabfluss Q ND [L 3 / T] Wert des kleineren Gipfels einer zweigipfligen Ganglinie Q S [L 3 / T] Scheitelabfluss Q SD [L 3 / T] Direktabflussscheitel 194

207 Abkürzungs- und Symbolverzeichnis Q schadlos [L 3 / T] schadloser Abfluss unterhalb der Talsperre Q Z [L 3 / T] Zufluss zu der Talsperre r [ / ] Pearsonscher Korrelationskoeffizient S [ / ] hydrologisches Risiko t [/] Wahrscheinlichkeit T [a] Jährlichkeit, Wiederkehrintervall, Wiederholungsspanne T X,Y [a] Statistisches Wiederkehrintervall, das die Zufallsvariablen X oder Y die Werte x bzw. y überschreiten T X,Y [a] Statistisches Wiederkehrintervall, das die Zufallsvariablen X und Y die Werte x bzw. y überschreiten t A [T] Scheitelanstiegszeit t c [T] Konzentrationszeit t S [T] Schwerpunktzeit U Zufallsvariable U u Wert der Zufallsvariable U V Zufallsvariable V v Wert der Zufallsvariable V V [L 3 ] Gesamtabflussvolumen des Hochwasserereignisses V D [L 3 ] Direktabflussvolumen des Hochwasserereignisses ver [/] Verhältnis der beiden Gipfelwerte einer zweigipfligen Ganglinie X Zufallsvariable X x Wert der Zufallsvariable X Y Zufallsvariable Y y Wert der Zufallsvariable Y Y Zufallsvariable Y Z T [m ü. NN] tiefstes Absenkziel Z A [m ü. NN] Absenkziel Z S [m ü. NN] Stauziel Z V [m ü. NN] Vollstau Z H1 [m ü. NN] Hochwasserstauziel im Hochwasserbemessungsfall 1 Z H2 [m ü. NN] Hochwasserstauziel im Hochwasserbemessungsfall 2 [m ü. NN] Kronenhöhe Z K ψ [ / ] Abflussbeiwert θ [ / ] Parmameter der Copula t [ a ] sekundäres Wiederkehrintervall, dass im Zufallsprozess ein Wertepaar auftritt, bei dem der Wert der Copula C(u,v) > t ist. τ [ / ] Kendalls Rangkorrelationskoeffzient ρ [ / ] Spearmans Rangkorrelationskoeffzient 195

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209 Anhang A Verteilungsfunktionen In diesem Abschnitt werden nur die in dieser Arbeit verwendeten Verteilungsfunktionen und Parameterschätzmethoden für die einzelnen Verteilungsfunktionen beschrieben. Weitere Verteilungsfunktionen sowie Gleichungen und Näherungen für die Parameterschätzung sind in Rao und Hamed (2000), Hosking und Wallis (1997), Stedinger et al. (1993) und DVWK (1999b) zu entnehmen. A 1 Allgemeine Extremwertverteilung (AEV) Verteilungsfunktion: ( ) F x 1 x ξ κ = exp 1 κ ; κ 0 α (A.1) für k = 0 wird die AEV zu der 2-parametrigen Gumbelverteilung: 1 F ( x) = exp exp ( x ξ ) ; κ = 0 α (A.2) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: 1 1 κ 1 1 x x κ ξ ξ f ( x) = 1 κ e xp 1 κ ; κ 0 α α α (A.3) für κ = 0: f ( x) 1 x ξ x ξ = exp exp ; κ = 0 α α α (A.4) Quantile: = + α 1 ln F κ ; κ 0 κ ( ) ξ ( ) x F (A.5) für κ = 0: ( ) ( F ) x F = ξ α ln ln ; κ 0 (A.6) 197

210 Anhang A Verteilungsfunktionen Parameterschätzung Momenten-Methode: Die Parameter der Verteilungsfunktion in Abhängigkeit der Momente ergeben sich zu: C s 3 ( Γ ( 1+ 3κ ) + 3Γ ( 1+ κ ) Γ ( 1+ 2κ ) 2Γ ( 1+ κ )) Γ ( 1+ 2 ) Γ ( 1+ ) κ = κ κ κ (A.7) Die Gl. (A.7) wird numerisch gelöst, um κ zu ermitteln. Nährungslösung für die Ermittlung von κ sind z. B. in Rao und Hamed (2000) beschrieben. Parameterschätzung L-Momenten-Methode: κ σ α = (A.8) Γ + Γ + 2 ( 1 2κ ) ( 1 κ ) α ξ = µ 1 Γ ( 1+ κ ) κ (A.9) Die Parameter der Verteilungsfunktion in Abhängigkeit der L-Momente ergeben sich zu: 3 2 +τ 3 κ κ ( 1 3 ) ( 1 2 ) = (A.10) Entweder wird Gl. (A.10) numerisch gelöst, um κ zu ermitteln oder die Nährungslösung nach Hosking und Wallis (1997) verwendet: mit 2 κ c c (A.11) α = 2 ln 2 c = 3 + τ ln 3 3 λ κ 2 κ ( 1 2 ) Γ ( 1+ κ ) (A.12) (A.13) α ξ = λ1 1 Γ ( 1+ κ ) κ (A.14) A 2 Pearson III-Verteilung (P III) Verteilungsfunktion: x ξ β 1 α 1 t 1 x ξ F ( x) t e dt γ α CS Γ( α ) Γ 0 ( α ) β = =, ; > 0 (A.15) 198

211 Anhang A Verteilungsfunktionen ( ) ξ x β 1 α 1 t 1 ξ x 1 1 γ α, ; Γ( α ) Γ 0 ( α ) β S 0 F x = t e dt = C < (A.16) mit der unvollständigen Gammafunktion der oberen Grenze: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: γ x t a x t e dt = (A.17) a 1 (, ) 0 ( x ξ ) α 1 ( x ξ ) β e f ( x) = ; CS > 0 α β Γ ( ξ x) ( α ) α 1 ( ξ x) β e f ( x) = ; CS < 0 α β Γ ( α ) (A.18) (A.19) Quantile: ( ) µ σ k ( T ) x T = + (A.20) Näherungslösungen für k ( T ) sind z. B. in Rao und Hamed (2000) beschrieben. Parameterschätzung Momenten-Methode: Die Parameter der Verteilungsfunktion in Abhängigkeit der Momente ergeben sich zu: Parameterschätzung L-Momenten-Methode: 4 α = (A.21) 2 C S 1 β = σ C S (A.22) 2 σ ξ = µ 2 (A.23) Die Parameter der Verteilungsfunktion in Abhängigkeit der L-Momente ergeben sich zu: mit der relativen unvollständigen Betafunktion: C S ( ) τ = 6 I α,2α 3, (A.24) ( p q) ( p) ( q) x Γ + p 1 q I (, ) ( 1 ) 1 x p q = t t dt Γ Γ. (A.25) Entweder wird Gl. (A.24) numerisch gelöst, um α zu ermitteln oder die Nährungslösung nach Hosking und Wallis (1997) verwendet

212 Anhang A Verteilungsfunktionen β λ 0,5 Γ( α ) π ( α 0,5) 2 = (A.26) Γ + ξ = λ1 αβ (A.27) A 3 Johnson S B Verteilung (S B ) Verteilungsfunktion: Über die Transformation von x zu: x ζ y = (A.28) λ ergibt sich die Verteilungsfunktion der Johnson S B Verteilung zu y ( ) = Φ γ + δ ln 1 F x mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:, (A.29) y f ( x) 2 δ 1 y = exp γ + δ ln λ 2π y ( 1 y) 2 1 y (A.30) Parameterschätzung Maximum Likelihood Methode: Bei bekannter unterer Grenze ζ und oberer Grenze ζ + λ ergeben sich die Parameter δ und γ der Verteilung über die Maximum Likelihood Methode zu: mit dem Mittelwert f und der Standardabweichung s f von: f γ = (A.31) s f 1 δ = (A.32) s f f y = ln 1 y (A.33) 200

213 Anhang B Ergänzende Darstellungen zu Kapitel 5 Tab. B-1: Parameter der in dem Kapitel 6 angepassten Verteilungsfunktionen Zufallsvariable Verteilungsfunktion Lageparameter Maßstabsparameter Formparameter 1 Formparameter 2 Eingipflige Hochwasserereignisse Q SD [m 3 /s] AEV (MM) 42,6 14,3-0, V D [10 6 m 3 ] AEV (LM) 4,03 1,89-0,218 - t A [h] Johnson S B (ML) 2,9 97,1 1,16 2,34 Zweigipflige Hochwasserereignisse Q SD [m 3 /s] AEV (LM) 44,4 15,4-0,046 - d I-II Johnson S B (ML) 8,9 159,1 1,23 2,03 201

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215 Anhang C Ergänzende Darstellungen zu Kapitel 6 Abb. C-1: Anpassung der AEV-Verteilung an die Scheitelwerte für das a) HRB Straußfurt und b) die Talsperre Kelbra für die Analyse der Koinzidenz der beiden Scheitel Abb. C-2: Vergleich der parametrischen und nichtparametrischen Schätzungen von K C ( t ) für die angepassten BB1 und Gumbel-Hougaard Copula für die Scheitel-Volumen Beziehung an der Talsperre Kelbra. Die gestrichelte Linie zeigt die perfekte Übereinstimmung. 203

216 Anhang C Ergänzende Darstellungen zu Kapitel 6 Abb. C-3: aus der BB1 und Gumbel-Hougaard Copula generierten Zufallswerte von Kombinationen der Scheitelabflüsse und zugehörigen Volumen im Zufluss der Stauanlage Kelbra (schwarze Symbole) und Paare(x i,y i ) aus der stochastisch-deterministisch generierten Zeitreihe (graue Symbole) Abb. C-4: Gemeinsame Wiederkehrintervalle T v X,Y (Überschreiten von x oder y) und T^X,Y (Überschreiten von x und y) für die Jahreshöchstwerte und die zugehörigen Füllen im Zufluss zu der Talsperre Kelbra 204