Energy Landscape of a Random Heteropolymer

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1 Energy Landscape of a Random Heteropolymer Many aspects of the folding process can be understood from studying the energetic properties of a random heteropolymer (RHP). Helpful tool: lattice models of protein conformations Simplest model uses two kinds of residues (i.e. hydrophobic and hydrophilic amino acids) that are randomly distributed. Simulations show (1) small modest structural changes give rise to large changes in energy () low energy states exist that are very different in structure but close in energy.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 1

2 Foldable sequences Within the space of random heteropolymers based on the 0 naturally occurring amino acids there would be 0 N possible sequences of length N. Only a small subset of these sequences are thermodynamically and kinetically foldable on the appropriate biological timescale seen in nature. The kinetically allowed set is shown to lie within the thermodynamic core. Onuchic, Luthey-Schulten, Wolynes, Annu Rev Phys Chem 48, 545 (1997). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding

3 Random energy model (REM) The random energy model was originally developed by Derrida to describe spin glasses, and was first applied to biopolymers by Bryngelson and Wolynes (1987) as a 0-th order approximation. The low-energy structures of a RHP, represented by a lattice with two kinds of residues, are unrelated and the conformational changes are associated with a fluctuation in the energy. Onuchic, Luthey-Schulten, Wolynes, Annu Rev Phys Chem 48, 545 (1997). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 3

4 Energy landscape of a random heteropolymer For a random sequence, the sum of interactions is expected to produce a Gaussian probability distribution for the energy P ( E) 1 exp ( E µ ) = where µ and are the mean and standard deviation of the distribution, respectively. Onuchic, Luthey-Schulten, Wolynes, Annu Rev Phys Chem 48, 545 (1997). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 4

5 Energy landscape of a random heteropolymer entropy If is the total number of configurational states the the entropy can be written as S ( E) = k ln P( E) The system runs out of entropy when the average energy falls below E 0, and this entropy crisis is characterized by a glass transition temperature T G, which depends on the corresponding conformational entropy and fluctuations. Onuchic, Luthey-Schulten, Wolynes, Annu Rev Phys Chem 48, 545 (1997). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 5

6 Properties of Random Heteropolymers The system runs out of entropy when the average energy falls below a critical value E E 0 such that S(E) = 0, or P(E) = 1/. This entropy crisis occurs at a glass-transition temperature T G where Two solutions, lower energy corresponds to entropy crisis... (without derivation assuming a microcanonical distribution) T g = k ln ln 1 exp exp ( E µ ) ( E µ ) ( E µ ) ( E µ ) ( E µ ) 1 = = = ln = ln = ln E µ = ± ln. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 6

7 Folding energy funnel Onuchic, Luthey-Schulten, Wolynes, Annu Rev Phys Chem 48, 545 (1997). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 7

8 Foldable sequences Phase diagram and folding scenarios according to the minimally frustrated REM analysis. (Top) The phase diagram along a line of some average sequence hydrophobicity shows the possible thermodynamic states of a protein modeled as a minimally frustrated heteropolymer. Varying the hydrophobicity by changes in solvent and temperature can modify the number of phases observed in the folding process. (Bottom) The free-energy curves consistent with the above phase diagram exhibit various folding scenarios: Type 0 and 1 are examples of fast folding, downhill with no barrier and a small barrier in the latter. These are typical scenarios for well-designed proteins at temperatures below the folding temperatures and conditions such that the glass transition is not encountered. The Type II scenarios occur at the right-hand side of the phase diagram under conditions that favor the formation of the glassy state either after or before the thermodynamic transition barrier. Onuchic, Luthey-Schulten, Wolynes, Annu Rev Phys Chem 48, 545 (1997). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 8

9 Simulationsmodell Das Modell ist ein dreidimensionales Kopolymer. Polymere werden als self-avoiding walks auf einem kubischen Gitter dargestellt. Das Wechselwirkungspotential soll kompakte Zustände bevorzugen. Die Polymerkette soll kollabieren und sich falten. Das heisst, man braucht ein Potential, das den hydrophoben Effekt nachahmt, der die dominierenden Kraft für die Proteinfaltung ist. Das Potential besteht aus Kontakt-Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn. Das Potential soll einen eindeutigen Grundzustand besitzen.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 9

10 A random configuration for a 7-mer sequence encountered en route to the native structure. The maximally compacted conformationl for this sequence, not shown here, has the shape of a cube. Foldable sequences Onuchic, Luthey-Schulten, Wolynes, Annu Rev Phys Chem 48, 545 (1997). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 10

11 Monte Carlo moves (1) A rotation by angle in the xy-plane can be achieved by application of the rotation matrix cos sin 0 sin cos (det() = cos +sin = 1 rotation preserves distances) while a rotation by angle in the xz-plane can be achieved by the rotation matrix cos 0 sin sin 0 cos note that cos(-) = cos and sin(-) = -sin. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 11

12 () A corner move. Monte Carlo moves (3) A crankshaft move.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 1

13 7-mer Proteinmodell [nach A.R. Dinner, M. Karplus, J. Phys. Chem. B, 103, 7976 (1999)] * In früheren Monte Carlo-Simulationen mit 7-meren auf einem kubischen Gitter (Anfang Mitte der 90er Jahre) war die einzige Bedingung (notwendig und hinreichend) für die Fähigkeit einer Sequenz, eindeutig zu einem nativen Zustand zu falten, daß dieser ein globales Minimum der freien Energie sein mußte und zugleich durch einen ausreichend großen Energieabstand zu den übrigen Zuständen getrennt sein mußte. * Es gab keine Korrelation zwischen der Faltungsrate und anderen Eigenschaften der Sequenz, wie z.b. dem Anteil an Sekundärstruktur.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 13

14 7-mer HP-Proteinmodell Kette H-H-H-P-P-H-P-H. attraktive WW zwischen H-H und P-P, neutrale WW zwischen H-P Die Faltung solch eines 7-mers geschieht durch: - einen schnellen Kollaps (ca. 104 MC-Schritte) - gefolgt von einer langsamen, nicht-gerichteten Suche (ca. 107 MC-Schritte) durch die ca semi-kompakten Strukturen nach einem der ca. 103 Übergangszustände. - Der anschließende Übergang in den nativen Zustand ist wiederum rasch (ca. 105 MC-Schritte) Diese Einschränkung der Suche auf kompakten Unterraum des Konfigurationsraums löste gewissermaßen das Levinthal-Paradoxon für solch ein 7-mer. Jedoch scheint dieser Mechanismus nur für kleine Proteine gültig zu sein, da die Faltungszeit exponentiell mit der Länge der Aminosäurekette ansteigt und unrealistisch hoch wird für mehr als 80 Residuen.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 14

15 Faltung auf Oberfläche der freien Enthalpie geringe Temperatur hohe Temperatur Dobson, Karplus, Angew. Chemie Int. Ed. 37, 868 (1998). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 15

16 15-mer Proteinmodell * konstruiere also Modell, das Proteinfaltung für größere (und realistischere) Proteine beschreibt * 15-mere mit einem maximal kompakten 5 x 5 x 5 nativen Zustand haben eine ähnliche Länge und Oberfläche-zu-Volumen-Verhältnis (%) wie globuläre Proteine. Polymerkette soll sich gemäß self-avoiding-walk falten. neue Energiefunktion für eine Konformation (modifiziertes Go-Modell) B 0 ist eine mittlere attraktive WW, entsprechend einer allgemeinen hydrophoben WW B ij ist die sequenzspezifische WW: native Kontakte (B ij ) mittlere WW e= -1.67, Standardabweichung 1.0 nicht-native Kontakte (B ij0 ) mittlere WW e= 0, Standardabweichung 1.0. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 16

17 Proteinfaltung Dobson, Karplus, Angew. Chemie Int. Ed. 37, 868 (1998) Energie des Systems Gesamtzahl der nativen Kontakte N Prozentsatz Q an gesamter Zahl nativer Kontakte.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 17

18 15-mer Proteinmodell. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 18

19 Analogie zu exp. Daten für richtige Proteine: NMR-Daten für Faltung von Lysozym Man findet zwei Faltungspfade. Der gelbe ist schnell, der grüne langsam. Dobson, Karplus, Angew. Chemie Int. Ed. 37, 868 (1998). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 19

20 neue Sicht der Proteinfaltung: Proteinfaltungstrichter, energy landscape model Proteinfaltung ist durch verschiedene Grade an Ordnung bestimmt! Die meisten dynamischen Experimente untersuchen nur eine Sorte von Ordnung, z.b. die Kompaktheit, Anteil der Sekundärstruktur, spezifische tertiäre Kontakte.. Generell kann man den Faltungsprozess mit der Theorie von Energielandschaften und dem Konzept eines Faltungstrichters beschreiben. Um eine Anzahl von Faltungsexperimenten vollständig zu verstehen muss man die Eigenschaften dieses Trichters durch eine multidimensionale Sicht seiner Form und statistischen Eigenschaften verstehen. Verschiedene Faltungsszenarien entstehen durch die Balance zwischen dem Kollaps-Ordnungs-Parameter Z und einem Ordnungsparameter, der für bestimmte tertiäre Kontakt empfindlich ist, Q.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 0

21 wichtige Temperaturen T f : die Faltungstemperatur, unter der sich das Protein spontan in den nativen Zustand faltet. T g : die Temperatur des Glas-Übergangs. Analogie zwischen Proteinen und Spingläsern. Der Grad an Nicht-Exponentialität hängt mit der Struktur der Energielandschaft zusammen.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 1

22 E = NlEl + NuEu Wechselwirkungspotential N l ist die Anzahl an Kontakten zwischen Monomeren desselben Typs (like contacts), N u ist die Anzahl der nicht-ähnlichen Kontakte. Verwende entweder oder 3 verschiedene Monomere. Mit diesen beiden Parametern kann man die Eigenschaften des Modells gut diskutieren: 1 E = El + E E = E E ( ) ( ) het u l Dimensionsloser Kollaps-Parameter bezeichnet Stärke der Kollabierungskraft: u = E E het = 1 ist das Limit grosser Hydrophobizität, = 0 is das Limit geringer Hydrophobizität.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding

23 Faltungsszenarien unterschiedlicher Hydrophobizität Z misst die Kompaktheit der Kette: Z = total number of contacts maximum number of contacts Q misst die Ähnlichkeit zum nativen Zustand: Q = Anzahl der ausgebildeten nativen Kontakte. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 3

24 schematische Faltungsszenarien Faltungstrichter Fall grosser Hydrophobizität Prozess in zwei Schritten:: 1 schneller Kollaps (durch Z getrieben) + Umordnung in native Struktur (getrieben durch Q) Freie Enthalpie Barriere. Fall geringer Hydrophobizität Kollaps und Faltung geschehen gleichzeitig. Downhill Faltung, keine Freie Enthalpie Barriere. Socci, Onuchic, Wolynes Proteins, 3, 136 (1998). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 4

25 Faltungskinetik Proteindynamik kann durch Hopping zwischen verschiedenen Konformationen geringer Energie dominiert sein (Bryngelson & Wolynes, 1987; Kidera & Go, 1998). Falls die Energielandschaft nicht rauh ist, kann die Bewegung als Diffusion eines Teilchens auf einer Oberfläche der Freien Enthalpie als Funktion des Faltungsordnungs-Parameters beschrieben werden. Dies ist eine gute Beschreibung sollange die Rauhheit der Energieoberfläche klein gegenüber der Temperatur ist = solange Faltung durch eine Anzahl verschiedener Pfade geschieht.. Dies ist der Fall für T > T g, der Temperatur des Glas-Übergangs.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 5

26 Quantifiziere den Glasübergang Es ist schwierig einen Phasenübergang für ein kleines, endliches System genau zu definieren. Grobes Kriterium: Faltungszeit. Benutze Gittermodell um die Beziehung zwischen dynamischem slowing down und nicht-exponentieller Kinetik zu testen. Messe den Bruchteil der Population, der ungefaltet bleibt als Funktion der Zeit, plotte als log-log Plot. Einfach exponentieller Prozess besitzt charakteristische Signatur Eine Power-law Abhängigkeit drückt sich durch eine breite Verteilung der Lebensdauern aus und bewirkt lineare Kurven.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 6

27 Proteinfaltung: gute Sequenz, hohe Hydrophobizität Socci, Onuchic, Wolynes Proteins, 3, 136 (1998). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 7

28 Proteinfaltung: gute Sequenz, geringe Hydrophobizität Socci, Onuchic, Wolynes, Proteins, 3, 136 (1998). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 8

29 Kollaps vs. Faltung Geschieht Kollaps vor Faltung oder geschehen beide gleichzeitig? Es gibt exp. Hinweise auf beide Szenarios in unterschiedlichen Systemen. Freie-Enthalpie-Oberfläche für eine gute Sequenz bei grosser Hydrophobizität: Oben (T f ): zwei Minima, kinetisch -Zustandsverhalten Faltung = Diffusion über Barriere exp. System: Protein G (all-atom MD) Unten (geringe Temperatur): beide Minima kollabieren, down-hill Faltung Faltungszeit durch Diffusionskonstante bestimmt. Socci, Onuchic, Wolynes Proteins, 3, 136 (1998). Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 9

30 Gute Sequenz, geringer Hydrophobizität hohe Temperatur (A): nicht-gefaltetes Minimum ist nicht kollabiert. Kollaps und Faltung geschehen gleichzeitig. Faltung entlang von Linie Q = Z. Socci, Onuchic, Wolynes Proteins, 3, 136 (1998) exp. System: Faltung eines 3-Helix- Bündels liegt in intermediärem Regine zwischen den Bedingungen grosser und geringer Hydrophobizität.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 30

31 Zusammenfassung Die Darstellung als multidimensionaler Faltungstrichter (funnel) zeigt, dass man die Faltung kleiner Proteine abhängig von den Eigenschaften der Energie- Landschaft entweder als (a) einen direkt aktivierten -Zustands-Prozess oder (b) mit Intermediaten ansehen kann. Die Art der Zwischenzustände hängt vom Zusammenwirken zwischen der Rauhheit der Energielandschaft (durch Lage des Glas-Übergangs bestimmt) und der allgemeinen Form des Faltungstrichters ab, die die thermodynamischen Barrieren bestimmt. Zusätzliche Dimensionen: In richtigen Proteinen kann der Grad an lokaler Sekundärstruktur ein nahezu unabhängige Rolle von Q and Z bei der Charakterisierung der Landschaft spielen. Die Ordnung von Seitenketten kann ebenfalls eine bedeutsame und möglicherweise separierbare Rolle spielen.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 31

32 Zusammenfassung II Das energy landscape Modell für die Proteinfaltung zeigt, daß es Protein geben kann, sogenannte fast folding proteins, bei denen die Faltung gewissermaßen down-hill stattfindet. Nun mag man sich fragen: * Wie schnell kann sich ein Protein überhaupt falten? * Ist Proteinfaltung schlußendlich ein diffusiver Vorgang? Dies wird bisher von Experimentalisten kontrovers diskutiert... Es ist schwierig, die Bedeutung der Diffusion experimentell zu belegen. Die Zugabe eines Ko-Solvens (Glykol,...), der die Viskosität verändert, beeinflußt (erhöht) oft auch die Stabilität des Proteins gegenüber thermischer Denaturierung (Entfaltung). Um zu beweisen, daß eine Erhöhung der Viskosität zu einer verlangsamten Faltung des Proteins führt, und damit Proteinfaltung ein diffusiver Prozeß ist, benötigt man Systeme, bei denen Zugabe von Ko-Solvens die Stabilität des Proteins NICHT verändert. Ein Beispiel dafür ist: Jacob, Geeves, Holtermann, Schmid, Nature Struct.Biol., 6, 93 (1999) Diffusional barrier crossing in a two-state protein folding reaction.. Lecture SS 005 Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 3