Discovering Frequent Substructures in Large Unordered Trees Unot

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Hedwig Bretz
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1 Discovering Frequent Substructures in Large Unordered Trees Unot WS08/09 Prof. J. Fürnkranz 1

2 Inhalt Motivation asic Definitions Canonical Representation lgorithm Unot Overview Enumerating Pattern Compute Occurrence Conclusions 2

3 Motivation Graphische Daten sind sehr üblich in vielen ereichen: Chemie, iologie, Militär Mit Graphen lassen sich wesentlich komplexere Strukturen darstellen Sind aber auch komplizierter zu handhaben als einfache Mengen Graph mining: discovering patterns in large collections of graph or tree structures nwendung: In der Pharmaforschung werden gemeinsame Fragmente einer Menge von Molekülen gesucht => ein lgorithumus für gelabelt ungeordnerte Struktur 3

4 Motivation Wie sieht es aus, wenn lgorithmus z.. wie Freqt für ungeordnete äume angewandet? T1 Problem: Es kommt Isomorphie vor T2 Lösung: Unot, ufreq, Wie? durch Canonical Form 4

5 Definition(1): asics Semi-strukturierte Daten: Hier gelabelt ungeordnet äume als ein Modell von semi-strukturierte Daten und Pattern. Labeled unordered Tree: T=(V,E, r,label) Labeled ordered Tree: T=(V,E,, r,label) : Menge of Geschwester Relation von links zu rechts Z.: (v1, v2), v1 is the linke Geschwester von v2 RM(Right most ranch): Pfad von Wurzel zu dem meisten rechten aumblatt (right most leaf) Unordered database : is endliche Menge Ɗ=(D 1 D m ) von (geordnete) äume Wobei Di is data tree RM={,,} Rightmost leaf 5

6 Canonical Form (1) gelabelten geordnete äume als Representation von ungeordneten äume T1 zwei geordnete äum T1, T2 äquivaltent, T1 T2, wenn sie representieren gleiche ungeordnete äume=> Isomorphie Depth-label sequence C(T) C(T)=((dep(v1),label(v2),,(dep (vk,label(vk))), wobei jeder Komponent (d,l) als depthlabel Paar C(T1) = ( (0,), (1,), (1,) ) T2 C(T2) = ( (0,), (1,), (1,) ) 6

7 Canonical Form(2) Vergleichen von zwei depth-label Paaren, (d1,l1) > (d2,l2) - wenn d1 > d2 oder - d1 = d2 and l1 > l2 eispiel: (1,) > (0,), wegen d1 = 1 > 0 = d2 (1,) > (1,), wegen l1 = > = l2 und d1 = d2 Heavy than : C(T1) lex C(T2), wenn i ) oder ii ) i) Vergleich mit depth-label Paar T1 le x T2 C(T1) = ( (0,), (1,), (1,) ) C(T2) = ( (0,), (1,), (1,) ) 7

8 Canonical Form(3) ii) durch Länger der C(T): T2 ist Prefix von T1 T1 le x T2 C(T1) = ( (0,), (1,), (1,), (2,)) C(T2) = ( (0,), (1,), (1,) ) Ein aum T ist in Canonical Form, wenn C(T) ist heaviest von allen zu T äquivalenten äumen 8

9 Canonical Form(4) Jeder kanonische aum T muss left-heavy halten. C(T) = ( (0,), (1,), (1,) ) v1 v2 left heavy: für beliebige Geschwister Knoten v1,v2 impliziert C( T(v1) ) lex C( T(v2) ) => Kriterien für Rightmost Expansion C( T(v1) ) = ( (0,), (1) ) lex C( T(v2) ) = ( (0,) ) T 9

10 eispiel: Left-heavy condition T1, T2, T3 sind äquivalten nnahme: >>C T1 ist left heavy und kanonisch 10

11 Rightmost expansion Wie listen wir alle Subtrees, wenn ein gelabelter geordneter Data Tree vorgegeben? => Rightmost expansion Reverse Search als allgemeine Idee T ist Rightmost expansion of S: durch Hinzufügen eines rightmost Knoten v mit (d,l) T is (d, l)-exentsion of S: S (d, l) 11

12 Unot Übersicht: Unot: findet alle kanonische Representation für frequent ungeordneten Trees in a vorgegebenem Datenbank Ɗ von Data Trees 2 steps: i) Enumeration von allen Subtree als Canonical Representation => FindllChildren Ii) Computation von ihre Occurrences => UpdateOcc 12

13 Unot 13

14 Unot Input Datenbank von Data Trees Menge von Labels Minimum support threshold σ Output Frequent Subtrees die support threshold erreichen Initialisierung 14

15 Rightmost Expansion: Expand 1) FindllChildren abrufen um alle Subtrees zu finden 2) UpdateOcc abrufen für jeden Subtree, um jeweilige Occurence zu rechnen 3) test, ob der gefundene Subtree frequent ist 4) neue frequente Subtree in Output Mengen hinzufügen 15

16 Copy Depth Interne Knoten am RM ri ist aktiv, wenn C(Ri) = C(Li) Copy depth aktiv Copy Depth: höchste aktive Knoten Rml als spezielle Copy Depth, wenn es keine andere gibt. 16

17 Enumeration: Findllchildren 17

18 eispiel k =1 Case 1? Initialisierung mit (0, ), k=0? Case 1 k = 2? ?? Case 1 K = 3??? Case 1 Next prefix node Copy depth bei i 1 => k=0 Case 2??? WS08/09 Prof. Fühnkranz 18

19 Copy depth bleibt bei (0, ), wenn rechte Subtree kopiert weiter C Kopiert nicht mehr weiter, copy depth ändert WS08/09 Prof. Fühnkranz 19

20 eispiel: 20

21 Definition(2): Occurrences Occurrence: T occurs in D Es existert mapping φ: V D --> V T die Eltern Relation beibehalten Und Labels beibehalten Variant: total, embedding, root, document. Total occurrence: is the k Tupple Toc(φ) = < φ(1), φ(k) > ϵ (V Ɗ ) k Embedding occurrence: is the set Eoc(φ) = {φ(1), φ(k) } gehört zu V Ɗ Root occurrence: Roc(φ) = φ (1) ϵ V Ɗ 21

22 eispiel: Occurrences 22

23 Updateocc (1) edingung 3) edingung 1), 2) edingung 4) 23

24 Updateocc (2) Ein Mapping ɸ = φ w ist ein kanonische total Occurrence von Subtree T in Ɗ, wobei φ ist Occurrence Liste der Vorfahren von Subtree T, wenn es folgende edingungen erfüllt: 1) Label T ( v ) = Label Ɗ ( w ) 2) w trat noch nicht in der Occurrence Liste der Vorfahren von Subtree T 3) wenn v ist ein Kinder von r i, muss w auch ein Kinder von φ (r i ) 4) wenn C(Li) = R(i), impliziert ɸ(root(Li)) = ɸ(root(Ri)) Nachbildung von Li sowie Ri in Ɗ haben auch gleichen Elternknoten. 24

25 eispiel Subtree T Data Tree v C w Subtree T Data Tree v w 25

26 eispiel Subtree T v w Subtree T ɸ(root(Li)) C(Li) C(Ri) ɸ(root(Ri) 26

27 Zeitkomlexität Konstante Zeitkomplexität O(1) für die Enumeration jedes Subtree Enumeration für jedes frequent pattern T in O(kb 2 m), wobei k und b jeweils Größe und ranching Fator von T, sowie m ist total occurrences of T in Data Trees 27

28 Fazit Depth-first Traverse Enumeration based on Canonical Representation => Isomophie Problem vermeiden (effizienter, schneller) Nutzen von Rightmost Expansion Nutzen von Occurrence Liste zum Rechnen von Menge von frequent canonical Subtrees 28

29 Literature [1] sai, T., be, K., Kawasoe, S., rimura,h.: Efficient Substructure Discovery from Large Semi-Structured Data, [2] K. be, S. Kawasoe, T. sai, H. rimura, and S. rikawa. Optimized Substructure Discovery for Semi-structured Data,2002. [3] sai, T., be, K., Kawasoe, S., rimura,h.: Efficient Substructure Discovery from Large Semi-structured Data [4] S. Nakano, T. Uno, Efficient Generation of Rooted Trees, NII Techn ical Report,

30 Thank you! 30

31 Comparison ufreq and Unot same: Rightmost expansion Use occrence list Difference: Freq: rekord occrence list of every pattern (more memory cost, more complex occurrence list) Unot: rekord occrence list of every canonical pattern 31

32 asic definition Pre-order-string: same to depth label sequece 32 32

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