2. TEILCHEN WELLEN 2.1 MATERIEWELLEN

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1 2. TEILCHEN WELLEN 2.1 MA ATERIEWELLEN Erste Atommodelle erklärten jeweils nur einzelne Beobachtungen und mussten schnell wieder verworfen werden. Auch das Bohrsche Atommodell kam schnell an seine Grenzen, trotz großer Fortschritte durch Sommerfeld. Die Erkenntnis, dass Materie Welleneigenschaften hat, war daher von immenser Bedeutung fürr die Entstehung der Quantenmechanik mit den Arbeiten von Schrödinger und Heisenberg. Walker versuchte in einem Interferenzexperiment (1908) Einsteins Dualismus zu bestätigen. Er konnte aber keinen Unterschied im Interferenzmuster für helle h Lichtintensität und stark abgeschwächte Lichtintensität ( im Mittel nur ein Photon imm Aufbau ) ) beobachten. [Die Quantenoptik (Glauber 1959) zeigt, dass Messung von Intensitäten (oder später Teilchenzahlen) im Interferenzexperiment keine Teilcheneigenschaften erkennbar macht. m Erst die Korrelation von Intensitäten oder Detektionsereignissen zeigt Unterschiede auf.] De Broglies Ansatz ist so einfach wie revolutionär. Wichtig ist vor v allem die Verknüpfung von Teilchen und Wellenimpuls (an Stelle der Energien!).

2 Experiment: Elektronenbeugung (Vergleich mit Lichtbeugung an rotierendem r Gitter) am Graphit Polykristall muenchen.de/versuche_atomphysik/elektronenbeugung/index.html Es werden die Durchmesser der Beugungsringe für 2 Beschleunigungsenergien gemessen. Das Ergebnis stimmt (im Rahmen derr Messgenauigkeit) sehr gut mit der Theorie T überein. Erstes Experiment durch Davison & Germer (1927): Elektronenbeugung an Ni Kristall: der Elektronen. Maxima in derr Winkelabhängigkeit entspricht Bragg Beugung Beweis des Wellencharakters Weitere Experimente durch Estermann, Frisch und Stern (1931) (He, bzw. H 2, bereits als Werkzeug zur Monochromatisierung von Molekülstrah hlen eingesetzt. Fig.4 Beugung von He am ersten Kristall (LiF), Fig.5 an beiden, für fixe Position des ersten Kristalls.)

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4 2.2 INTERFEROMETRIE: KOHÄRENZ DEKOHÄRENZ Standardexperiment: Doppelspalt: Unterschied zwischen Teilchenverteilungen und Interferenzmuster für Materiewellen: Es gibt Punkte, an denen die Detektionswahrscheinlichkeit geringer ist, als die Wahrscheinlichkeiten für Transmission durch nur einenn Spalt. Materiewellen Interferometer: Formale Beschreibung von Materiewellen im 2 dim Ortsraum aufwändiger > besser Mach Zehnder Interferometer als Beispiel > 2 dim Quantensystem (analog zu Spin ½ etc.) Allgemeiner Zustand Anfangszustand: Teilchen in Arm Evolution durch optische Komponenten durch unitäre Transformat ionen beschreibbar. D.h. Lösung der Schrödingergleichung wird durch abschnittsweise Transformationen ersetzt. (Formalismus siehe Anhang)

5 U BS berücksichtigt Phasensprung bei Reflexion (es gibt auch andere, äquivalente Möglichkeiten, unitäre Transformationen zu definieren) Phase nur in arm a 1. Messung entspricht Detektion/Absorption inn arm a Projektion auf / sin / /2,cos / sin n /2 coss /2 sin / /2 / sin 2 Phasenschub in Optik z.b. Brechungsindexes ( kx) durch Weglängenänderung (k x) bzw. durch Änderung des Analog für Materiewellen: Brechungsindexx entspricht geänderter Ausbreitungsgeschwindigkeit in Potentialmulde oder stufe (siehe Ausbreitung von Teilchen (Anhang))

6 Im Experiment wird nie perfekte sin 2 Modulation beobachtet, sondern geringere Amplitude > Rauschen Für reine Zustände immer perfekte Interferenz Modell für nicht n perfekte Interferenz über gemischte Zustände. Beschreibung mittels Dichtematrix. Modelliere Rauschen durch weißes Rauschen (hier: Gemisch aller Eigenzustände mit gleicherr Wahrscheinlichkeit, [analog zu älterer Bezeichnung aus Elektronik: weißes Rauschen hat Spektrumm mit gleicher Amplitude für alle Frequenzen)

7 p N Wahrscheinlichkeit für f Rauschbeitrag Sichtbarkeit ist direktes Maß für den Anteil des reinen Zustands

8 2.3. WE ELCHER WEG INFORMATION UND QUANTENRADIERER Wie können inkohärente Vorgänge beschrieben werden? Wodurch werden sie verursacht? Wenn Quantenphänomenee Kohärenz bedingt, was folgt aus Dekohärenz? Bei Messung hinter 2. Strahlteiler kann nichtt mehr auf Weg im Interferometer geschlossen werden.

9 Bestimme Weg durch Interferometer durch Messung im Interferometer (Messgeräte in den beiden Armen) oder durch Manipulation des Teilchens anderer Freiheitsgrad M. Um die N Wege eindeutig zu unterscheiden muss dieser Freiheitsgrad mindestens N dimensional sein Im Experiment: in Mach Zehnder Interferometer wird in den Armenn die Polarisation des Lichts, bzw. des Photons unterschiedlich verändert. Ohne Transformation der Polarisation im Interferomete bleibt Zustand des Systems A unverändert. Gesamtzustand ist Produkt aus Zuständen der Systeme A und M

10 Nur die Hinzunahme des 2. Freiheitsgrades hat keinen Einfluss.

11 Daraus können Detektionswahrscheinlichkeiten abgelesen werden, zuerst Wahrscheinlichkeiten Teilchen im Zustand m 1 (bzw. m2) 2 im Ausgang a 1 des Interferometers zu finden: Zur Erinnerung: (bzw. d2 unterscheidbar) gibt an, wie Wenn ich keine Kontrolle über System M habe, so kann ich diesee Unterscheidung nicht machen. Vielmehr beobachtee ich im Ausgang die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten (da m 1 orthogonal zu m 2 ist).

12 Man erkennt bereits: die Amplitude des Interferenzmusters ist nicht mehr maximal, sondern hängt von d 1 ab (auch wenn wir den zu d 1 gehörigen Freiheitsgrad nicht beobachten!).

13 Dieser Ausdruck spiegelt direkt das Komplementaritätsprinzip o. auch die Unschärferelation wieder, allerdings kommt hier erstmals direkt eine Information, die wir über einen Quantenzustand haben können, in Spiel. Heisenberg: Unschärfe von Messungen ist gekoppelt Bohr: Der Massaparat (Operator) für eine bestimmte physikalische Eigenschaft erlaubt es nicht, bestimmte anderee physikalische Eigenschaften zu bestimmen. Mann kann entweder Welleneigenschaftenn (Interferenz) oder Teilcheneigenschaften (Position) beobachten, nicht beides gleichzeitig. (Achtung: bei Interferometer beobachten wir zwar Intensitäten in beiden Ausgängen, bzw. Werte von beiden Freiheitsgraden, aber nur, da wir dieses Experiment gleichzeitig für sehr viele Quantenteilchen gleichzeitig durchführen und daher gleich den Erwartungswert sehen. Bohrs Argument wird deutlicher, wennn wir uns jedes Quantenteilchen einzeln im Interferometer vorstellen, selbst wenn wir noch keine vollständige Welcher Weg Analyse versuchen, dh. d 2 <1: entweder registrieren wir das Teilchen mit dem Welcher Weg Detektor (in den Ausgängen für m 1, m 2 ), dann werden wir keine Interferenzen gemittelt über viele dieser Teilchen beobachten. Oder wir analysieren Teilchen derart, dass wir keine Welcher Weg Information, aber dafür Interferenz beobachten (siehe Quantenradierer)) Dieser Ausdruck macht aber auch klar, was wir von Messungen an Quantenzuständen erwarten können: Unsere Information über ein Quantensystem steigtt in dem Maß in dem die Quanteneigenschaften verschwinden. Die Wellenfunktion des Quantenzustands beschreibtt also die gesamte, mögliche Information,, die wir über diesen Zustand erhalten können. Welche Information wir tatsächlich erhalten, hängt dann aber vom jeweiligen Operator, bzw. Messapparat ab. [In diesem Sinn gibt es in den letzten Jahrenn eine Reihe von Versuchen, die ursprünglichen Postulate der QM zu ersetzen durch einen neuen Satz, der sich nur auf die Information konzentriert, die wir brauchen um ein physikalisches System zu beschreiben. Es zeigt sich, dass aus diesem allgemeinen Ansatz wieder die Quantenmechanik entsteht]

14 Die Teilchen sind in den beiden Wegen in unterschiedlichen Zuständen: Um Welcher Weg Information auszulöschen n, muss einee Messung ( Projektion) derart erfolgen, dass von den neuen Zuständen (Eigenzust. dess Projektionsoperators) keine Welcher Weg Information erhalten werden kann: Definieree dazu die neuen Eigenzustände: (hier mit +, der orthogonalee Zustand mit Superposition)

15 Nach dieser Projektion (in unserem Experiment mit Polarisatoren in den Ausgängen) beobachtet man wieder Interferenz an den derartt selektiertenn Teilchen. Beschreibung eines mehrdimensionalen, bzw. Mehrkomponenten Zustands: Bzw. in Dichtematrixnotation: (siehe auch Übungen) Wenn nur eines der beiden Systeme A oder M zugänglich ist, wird Zustand dieses Systems durch Dichtematrix beschrieben. Diesee ergibt sich durch Bildung der partiellen Spur vonn

16 Was kann aus Dichtematrix direkt abgelesen werden? Diagonalelemente: 11, 22 geben Detektionswahrscheinlichkeitenn für den jeweiligen Zustand an (für A z.b. in welchem Ausgang des Interferometers das Teilchen detektiert werden kann. Nichtdiagonalelemente: 12, 12 geben Kohärenz zwischen Basiszuständen (für A:, ) an. Wenn diese gleich null sind, ist das System einem klassischen Systemm äquivalent,, z.b. einer Münze. Für den obigen Zustand erhält man zb.: Die Reinheit eines Zustands r ist definiert du 2 cos, etc. rch Spur der Dichtematrix zum Quadrat: es gilt: Mit der Größen 1, ist Dimension des Hilbertraums Analogie von Spin 1/2 (SU(2)) Systemen und O(3) könnenn wir unterschiedliche klassische mit dieser Reinheit identifizieren: Polarisationsgrad in 2 Zustands System: Polarisation von Licht, Magnetisierung eins Ensembles magn. Momente etc., folgt direkt aus der Reinheit des Quantenzustands. Welcher Weg Messung im Experiment: Markierung (z.b. im Mach Zehnder Interferomete in Wechselwirkung (mit Messsystem) unterschiedlich für die Wechselwirkung mit unterschiedlichen Messsystemen (Streuung von Molekülinterferometer, Streuung von Photonen [Heisenberg Mikroskop] etc.) der Vorlesung) beiden Wege Restgasatomen in

17 2.4 VERSCHRÄNKUNG Bisher Superposition von Einzelteilchen Zuständen. Wir können aber a unser System aus Weg im Interferometer und Polarisation des Photons auch als ein 2 Komponenten System sehen. Allgemein können wir natürlich immer den Zustand eines Mehrteilchen systems in einem Hilbertraum entsprechender Größe angeben: : H=H 1 HH 2.. Wie unterscheidet sich Zustand des kombinierten Systems von Zuständen der Einzelsyteme? Betrachte System aus 2 Zwei Zustands Systemen: System A und B, H= =H A H B Wenn das kombinierte System das Produkt der Einzelkomponenten ist, ergeben sich für die Zustände des 2 Teilchensystems folgende Möglichkeiten:

18 Dieser Produktzustand schließt NICHT alle möglichen Zustände ein! Für maximal gemischten Zustand gilt: bzw. umgekehrt: Auch wenn jedes Teilsystem in max. gemischtem Zustand ist, ist der Ausgangszustand ein reiner Zustand. Für reine Zustände gibt es immer Messungen, die mit Wahrscheinlichkeit 1 vorhersagbar sind (das gilt, wenn Zustand Eigenzustand des Operators ist). Für verschränktev e Zustände: Produkte der Spinoperatoren:,,

19 oder: d.h., perfekte Korrelation alleine ist noch erhalten wir für verschränktee Zustände Richtungen! Zum Beispiel: keine spezielle, nichtklassische Eigenschaft. Allerdings perfekte Korrelationen n für Spinoperatoren in allen

20 Und, zum selber Probieren, leicht zu zeigen, auch für alle anderen Richtungen. Mit verschränkten Zuständen kann auch Basis für den kombinierten Hilbertraum H definiert werden: Diese Zustände werden Bell Zustände genannt und sind besonders in der Quanteninformation von großer Bedeutung. Wir werden die verschränkten Zustände aber auch später in der Atom und Molekülphysik finden (Elektronen im He (und allen anderen) Atomen, Molekülorbitale etc.), im wesentlichen fast immer, wenn 2 Systeme kombiniert werden.

21 Symmetrie der Zustände: Wird fortgesetzt