Hausaufgaben Logische Programmierung

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1 Hausaufgaben Logische Programmierung Elmar Eder 25. pril 2018 Die ufgaben sind auf dem bgabesystem unter der Internetadresse bis zu dem dort angegebenen Termin abzugeben. itte alle Programme/Texte mit Return- oder Entertaste beenden! lle ufgaben sind selbständig zu lösen. Wenn bei einer ufgabe ein Prolog-Programm und dazu ein oder mehr nfragen an Prolog zu erstellen sind, dann schreiben Sie bitte die nfragen in einem Kommentar ans Ende der Datei, etwa so: %?- vater(x,hans). %?- tochter(x,anna), tochter(y,anna), aelter(x,y). lle Programme sind vorher zu testen. Sie müssen unter Prolog lauffähig sein. ls Dateinamen für Prolog-Programme wählen Sie soweit nicht anders angegeben hnn.pl, wobei NN die zweistellige Nummer der ufgabe ist (z.. h07.pl bei ufgabe 7); entsprechend hn N.txt für reine Text-Dateien! Zeichnungen erstellen Sie bitte als pdf-datei hn N.pdf oder (in einem Editor mit Monospace/fixed-width Font) als SCII- Grafik! ls lternative akzeptiere ich auch JPEG-Dateien (hn N.jpg). Pdf-Dateien, die Grafiken enthalten, können Sie z.. mit (pdf)l TEX und dem Paket pgf/tikz oder pstricks erstellen. uch die gängigen Zeichenprogramme können nach pdf exportieren. Wenn Sie eine klare Handschrift haben, können Sie anstattdessen Ihre Lösung händisch auf Papier erstellen und dann einscannen oder bei guten Lichtverhältnissen fotografieren. Stellen Sie in diesem Fall aber sicher, dass das Resultat gut lesbar ist und z.. deutlich erkennbar ist, ob ein uchstabe ein Groß- oder Kleinbuchstabe ist (z.. x oder X)! Vorab etwas Terminologie und Syntax zu Prolog: Unter einer Klausel eines Programms versteht man ein Fakt oder eine Regel dieses Programms. Jede Klausel muss mit einem Punkt enden. Eine Regel hat die Form Kopf :-Rumpf., wobei der Rumpf die Form Ziel 1,...,Ziel n hat. Eine Regel hat also die Form Kopf :-Ziel 1,...,Ziel n.. nstatt vom 2-stelligen Prädikat kind zu sprechen, sagt man im Prolog-Jargon kurz kind/2, d.h. man hängt an den Namen des Prädikats einen Schrägstrich und dann die Stelligkeit an. 1

2 ufgabe 1 Laden Sie die Datei verwandtschaft.pl und fragen Sie Prolog: (a) Wessen Kind ist Max? (b) Wer ist Kind von nna? (c) Wer ist Kind von wem? (d) Wer ist Kind von sich selbst? (e) Welche zwei Personen sind die Eltern (Vater bzw. Mutter) von welcher dritten Person? (f) Wer ist Großmutter von Eva? bzugeben: Datei h01.txt mit 6 nfragen. Jede Zeile soll dabei mit?- anfangen und mit einem Punkt enden. ufgabe 2 Drücken Sie die folgenden ussagen über verschiedene Tiergruppen und ihre bevorzugten Fortbewegungsmethoden in Form eines Prologprogramms aus: (a) Löwe, Rind, Wal und Fledermaus sind Säugetiere. (b) Star, Strauß und Wasseramsel sind Vögel. (c) Löwe, Rind und Strauß gehen gerne. (d) Forelle, Wasseramsel und Wal schwimmen gerne. (e) Fledermaus, Star und Wasseramsel fliegen gerne. Fragen Sie Prolog (a) nach einem Säugetier, das gerne schwimmt (b) nach einem Vogel, der gerne fliegt (c) nach einem Vogel, der gerne fliegt und gerne schwimmt Schreiben Sie diese nfragen als Kommentare in das Programm hinein unter das eigentliche Programm! Die letzten drei Zeilen sollten also jeweils mit %?- beginnen und mit einem Punkt enden. h02.pl mit nfragen als Kommentare ufgabe 3 Definieren Sie drei Prädikate planet/1, rund/1 und eckig/1 durch Fakten, die die folgenden ussagen in Prolog-Syntax ausdrücken! Die Erde ist ein Planet. Der Mars ist ein Planet. Die Erde ist rund. Der Mars ist rund. Der Würfel ist eckig. Definieren Sie weiter zwei nullstellige Prädikate es_gibt_einen_eckigen_planeten/0 und es_gibt_einen_runden_planeten/0 jeweils durch eine Regel unter ezugnahme auf die oben definierten Prädikate! Damit sollte Prolog auf folgende nfragen mit folgenden ntworten reagieren:?- es_gibt_einen_runden_planeten. true.?- es_gibt_einen_eckigen_planeten. false. 2

3 In Prolog lässt man bei nullstelligen Prädikaten die Klammern weg. h03.pl ufgabe 4 Im Programm verwandtschaft.pl ist unter anderem ein zweistelliges Prädikat kind/2 definiert. Dieses Prädikat lässt sich durch einen Graphen darstellen, z.. die ersten beiden Fakten des Prädikats durch Franz Max Christine Vervollständigen Sie diesen Graphen! bzugeben: Grafik h04.pdf oder h04.jpg oder h04.jpeg oder h04.png ufgabe 5 Laden Sie das Programm verwandtschaft.pl in Prolog! (a) Fragen Sie Prolog, wer Nachkomme von wem ist! ei wiederholter Eingabe eines Strichpunkts sollten Sie insgesamt 11 ntworten bekommen. (b) Fragen Sie Prolog, wer Nachkomme von Franz ist! Prolog sollte 4 ntworten liefern. bzugeben: Datei h05.txt mit 2 nfragen. Jede Zeile soll dabei mit?- anfangen und mit einem Punkt enden. ufgabe 6 Kopieren Sie die Datei verwandtschaft.pl und ändern Sie die letzte Klausel der Kopie ab zu nachkomme(n,x) :- nachkomme(n,k), kind(k,x). Laden Sie diese Datei in Prolog und fragen Sie Prolog wieder, wer Nachkomme von Franz ist! Erklären Sie, was dabei passiert! bzugeben: Text h06.txt ufgabe 7 Was passiert, wenn Sie die letzten fünf Zeilen abändern zu nachkomme(n,x) :- nachkomme(n,k), kind(k,x). nachkomme(n,x) :- kind(n,x). und wieder dieselbe nfrage stellen? Wenn Prolog einen Fehler signalisiert und nicht das Prompt?-, sondern z.. nur ein Fragezeichen ohne Minuszeichen ausgibt, versuchen Sie mit a (= abort) abzubrechen! bzugeben: Text h07.txt 3

4 ufgabe 8 lle diese drei Programme unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Klauseln oder in der Reihenfolge der Teilziele innerhalb des Rumpfes einer Klausel. Logisch sind sie zueinander äquvialent, aber im Verhalten beim ufruf einer nfrage unterscheiden sie sich voneinander. Schauen Sie sich das Verhalten bei den letzten drei ufgaben noch einmal an und formulieren Sie eine Faustregel, wie man die Reihenfolge der Teilziele bei einer rekursiven Klausel wählen sollte! bzugeben: Text h08.txt ufgabe 9 Ein Gatter (englisch: gate) ist eine einfache elektronische Schaltung mit ein oder mehr Eingängen und einem usgang. n jedem der Eingänge kann ein Signal angelegt werden und das Gatter verarbeitet die Eingangssignale zu einem Signal am usgang. Für jedes Signal gibt es zwei mögliche Werte, die als Wahrheitswerte w (für wahr ) und f (für falsch ) interpretiert werden. Ein eispiel für ein Gatter ist das oder- Gatter. ezeichnen wir die Eingangssignale mit und und das usgangssignal mit C. Dann ist C=w genau dann, wenn =w oder =w ist. Hier ist eine graphische Darstellung des oder-gatters als Kasten mit zwei Eingängen und oben und einem usgang C unten, daneben die Wahrheits(wert)tabelle (englisch truth table), in der jede Zeile eine Möglichkeit für die Wahrheitswerte von und und den dazugehörigen Wahrheitswert von C angibt. Daneben ist eine Darstellung der Wahrheitstabelle als Prolog-Programm: C oder C w w w w f w f w w f f f % oder(,,c) C = ( oder ) oder(w,w,w). oder(w,f,w). oder(f,w,w). oder(f,f,f). Schreiben Sie das Programm in eine Datei h09.pl und stellen Sie die nfrage?- oder(,,c). und lassen Sie sich durch wiederholte Eingabe eines Strichpunkts nacheinander alle ntworten von Prolog ausgeben! Es sollten nacheinander die folgenden ntworten kommen: =w, =w, C=w ; =w, =f, C=w ; =f, =w, C=w ; =f, =f, C=f Die genaue Form, in der Prolog diese ntworten präsentiert, unterscheiden sich von Prolog-System zu Prolog-System. Überzeugen Sie sich, dass die ntworten, die Ihr Prolog-System liefert, äquivalent sind zu den oben angeführten ntworten! Weitere eispiele für Gatter sind das und-gatter und das nicht-gatter, hier graphisch als Kästen dargestellt und rechts daneben jeweils die Wahrheitstabelle: C und C w w w w f f f w f f f f nicht w f f w 4

5 Ergänzen Sie Ihr Programm h09.pl um Prädikate und/3 und nicht/2 gemäß dieser beiden Wahrheitstabellen! ufgabe 10 Gatter können zu komplexeren Schaltungen kombiniert werden. Hier ist ein Halbaddierer graphisch als Kasten dargestellt und im Detailaufbau aus Gattern gezeigt, daneben die Definition der Relation zwischen Ein- und usgaben als Prolog- Prädikat halbaddierer/4. und oder Halbaddierer C S C nicht D und S E halbaddierer(,,c,s) :- und(,,c), nicht(c,d), oder(,,e), und(d,e,s). Fügen Sie diese Definition Ihrem Programm hinzu und lassen Sie es mit der nfrage?- halbaddierer(,,c,s). laufen! Erstellen Sie aus den ntworten, die Ihnen Prolog liefert, die Wahrheitstabelle für den Halbaddierer! bzugeben: Wahrheitstabelle für Halbaddierer. Das nun erweiterte Programm ist nicht abzugeben, aber speichern Sie es für sich ab, damit Sie es später verwenden können! ufgabe 11 Hier sind zwei Schaltungen mit Rückkoppelungen: oder E nicht oder F nicht nicht C D Die linke Schaltung ist instabil. Stellen Sie an Prolog die nfrage?- nicht(,). Dann sehen Sie, dass es keine stabile Lösung gibt. Die rechte Schaltung ist ein Flipflop und ist bistabil. Wenn die Eingangssignale =f und =f sind, gibt es zwei verschiedene Lösungen für die usgangssignale C und D. Um das mit Prolog zu testen, definieren Sie ein Prolog-Prädikat flipflop/4 durch eine Definition 5

6 flipflop(,,c,d) :-... für die stabilen Zustände des Flipflop und stellen Sie dann die nfrage?- flipflop(,,c,d). Prolog gibt Ihnen alle ntworten für stabile Zustände des Flipflop. ufgabe 12 Erstellen Sie daraus eine Wahrheitstabelle für die stabilen Zustände des Flipflop der vorigen ufgabe! Zu den Einbagesignalen =f und =f wird Ihre Tabelle zwei Zeilen haben. bzugeben: Wahrheitstabelle für stabile Zustände des Flipflop ufgabe 13 In den obigen ufgaben haben wir uns mit Logikschaltungen beschäftigt. ber die Signale, mit denen wir es dort zu tun hatten, kann man auch als Ziffern 1 für w (wahr) und 0 für f (falsch) im Zweiersystem (=Dualsystem=inärsystem) deuten. Meist wählt man dann die Reihenfolge der ufschreibung so, dass zuerst 0, dann 1 drankommt. Schreiben Sie das Programm für den Halbaddierer wie oben angedeutet um, wobei Sie 0 statt f und 1 statt w schreiben! Der Halbaddierer kann jetzt verwendet werden, um zwei einstellige Zahlen im Zweiersystem (=Dualsystem=inärsystem) zu addieren. Dabei kann es einen Übertrag (englisch carry C) geben. Die Summe + kann also zweistellig werden: = = = = 10 2 Der untere Index 2 bedeutet, dass die Zahl im Zweiersystem gemeint ist bedeutet also eins null im Zweiersystem (das ist 2 im Zehnersystem). Die erste Stelle der Summe (Zweierstelle) ist der Übertrag C und die zweite Stelle (Einerstelle) das S (für Summe). Probieren Sie das mit Ihrem Programm aus! ufgabe 14 eim ddieren mehrstelliger Zahlen, z = addiert man zunächst die rechten Stellen (Einerstellen) der Summanden. Das ergibt hier Summe 0 (als Einerstelle des Ergebnisses) und Übertrag 1. Dann addiert man die zweitletzten Stellen der Summanden (Zweierstellen) und muss noch den Übertrag, hier 6

7 1 dazuaddieren: ergibt hier 2, also 10 2, d.h. wieder Summe 0 (als Zweierstelle des Ergebnisses) und Übertrag 1 auf die drittletzte Stelle (Viererstelle), u.s.w. Es müssen also für die erechnung einer jeden Stelle des Ergebnisses im Zweiersystem bis zu drei einstellige Zahlen addiert werden. Dies tut der Volladdierer Halbaddierer Cout Volladdierer S Cin Cout C1 S1 Halbaddierer C2 oder S Cin Ergänzen Sie das Programm der vorigen ufgabe um die Definition des Prädikats volladdierer/5: volladdierer(,,cin,cout,s) :-... Verwenden Sie dabei das Prädikat halbaddierer/4! Stellen Sie nun die nfrage?- volladdierer(,,cin,cout,s). und lassen Sie sich von Prolog mit Strichpunkt alle ntworten ausgeben! Überzeugen Sie sich, dass tatsächlich die Summe ++Cin im Zweiersystem ausgerechnet wird, wobei das Ergebnis aus den zwei Ziffern Cout und S besteht. ufgabe 15 us vier Volladdierern kann man nun einen Vier-it-ddierer bauen: C4 Volladdierer C3 Volladdierer C2 Volladdierer C1 Volladdierer C0 S3 S2 S1 S0 Ergänzen Sie Ihr Programm für den Volladdierer dementsprechend um ein Prädikat vierbitaddierer/14: vierbitaddierer(3,3,2,2,1,1,0,0,c0,c4,s3,s2,s1,s0) :-... Normalerweise wird man C0=0 wählen. Um die Verwendung des Prädikats etwas übersichtlicher zu machen, kann man die its jedes Summanden und der Summe jeweils in eine Liste zusammenfassen: 7

8 vierbitaddierer1([3,2,1,0],[3,2,1,0],[c4,s3,s2,s1,s0]) :- vierbitaddierer(3,3,2,2,1,1,0,0,0,c4,s3,s2,s1,s0). Stellen Sie für obiges eispiel = die nfragen?- vierbitaddierer1([1,0,0,1],[1,0,1,1],summe).?- vierbitaddierer1(summand1,summand2,[1,0,1,0,0]). und vergewissern Sie sich, dass Prolog die richtigen ntworten liefert! ufgabe 16 (Unifikation) Unifizieren Sie die beiden Terme f(x,h(y,z),a) und f(g(u),u,y) mit dem Unifikationsalgorithmus der Vorlesung! Kennzeichnen Sie dabei für jeden Schritt die Nichtübereinstimmungsmenge durch Hervorhebung in Farbe oder Unterstreichung und geben Sie für jeden Schritt die Substitution σ i an sowie den resultierenden allgemeinsten Unifikator! ufgabe 17 Wir wollen einen Vektor (X, Y, Z) im dreidimensionalen euklidischen Raum darstellen als Prologterm vektor(x,y,z). Definieren Sie ein Prolog-Prädikat vektorsumme/3 zur ddition zweier solcher Vektoren, wobei vektorsumme(v1,v2,v) bedeuten soll, dass V 1 + V 2 = V gilt! Dann kann man z.. die Summe der beiden Vektoren (2, 5, 4) und ( 3, 2, 1) folgendermaßen berechnen:?- vektorsumme(vektor(2,5,4),vektor(-3,2,1),summe). Summe = vektor(-1, 7, 5). ufgabe 18 Definieren Sie ein Prolog-Prädikat betrag/2 zur erechnung des etrages (also der Länge) X 2 + Y 2 + Z 2 eines Vektors (X, Y, Z), wobei wieder der Vektor als Prologterm vektor(x,y,z) dargestellt sei! Stellen Sie dazu eine nfrage zur erechnung des etrages des Vektors (2, 5, 4)! Schreiben Sie die nfrage als Kommentar mit % ans Ende Ihres Programms! Hinweis: Die Quadratwurzelfunktion heißt in Prolog sqrt. mit nfrage ufgabe 19 (Listensumme) Schreiben Sie ein Prologprädikat listensumme/2 zur estimmung der Summe einer Liste von Zahlen! eispiel:?- listensumme([3,5,9],summe). Summe = 17. In vielen Prologs ist ein solches Prädikat bereits eingebaut. Implementieren Sie das Prädikat aber bitte selber, wobei Sie keine eingebauten Prädikate außer dem Prädikat is/2 verwenden sollen! Verwenden Sie die Listen-Notation [X Xs]! 8

9 ufgabe 20 Eine komplexe Zahl hat die Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i = 1 ist. Wir wollen eine solche komplexe Zahl a + bi darstellen als Prologterm komplex(a,b). Definieren Sie Prologprädikate kompl_add/3, kompl_sub/3, kompl_mul/3 und kompl_div/3 zur ddition, Subtraktion, Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen und stellen Sie dazu nfragen zur erechnung von (1 + i)(1 i) und von 3 4 5i!, nfragen ufgabe 21 Zeichnen Sie den Strukturbaum der Liste [a,[b,c]]! bzugeben: Grafik ufgabe 22 Unter dem Herbrand-Universum einer Menge von Funktoren versteht man die Menge aller Terme, die man aus diesen Funktoren bilden kann. etrachten wir zum eispiel einen zweistelligen Funktor f, in Prolog geschrieben als f/2, und eine Konstante a, in Prolog geschrieben a/0. Dann enthält das Herbrand-Universum der Menge {f/2, a/0} den Term f(f(a,a),f(a,f(a,a))): in_herbrand_universum_fa(a). in_herbrand_universum_fa(f(t1,t2)) :- in_herbrand_universum_fa(t1), in_herbrand_universum_fa(t2).?- in_herbrand_universum_fa(f(f(a,a),f(a,f(a,a)))). yes Schreiben Sie ein Prolog-Programm zur Ermittlung der nzahl der Vorkommen der Konstanten a in einem Term aus dem Herbrand-Universum der Menge {f/2, a/0}! eispiel für eine nfrage und Prologs ntwort:?- anzahl_a(f(f(a,a),f(a,f(a,a))),nzahl). nzahl = 5 ufgabe 23 (bleitung) In der Differentialrechnung gibt es einfache Regeln, um die bleitung einer Funktion nach einer Variablen x zu bestimmen, zum eispiel (a) bleitung einer konstanten Funktion ergibt 0. (b) bleitung von x nach x ergibt 1. (c) Summenregel (d) Produktregel Wir wollen hier annehmen, dass die Funktion gegeben ist durch einen einfachen arithmetischen usdruck, der aus den Zahlen 0 und 1 und aus den uchstaben a und x mit ddition und Multiplikation aufgebaut ist. Im Sinne der Differentialrechnung soll dabei nach x differenziert werden, während 0, 1 und a als Konstanten behandelt werden. In Prolog wollen wir einen solchen usdruck darstellen durch einen Term, der aufgebaut ist aus den Prolog-Konstanten 0, 1, a und x mit den Funktoren +/2 und */2, also 9

10 durch einen Term aus dem Herbrand-Universum zur Menge {0/0, 1/0, a/0, x/0, +/2, */2}. eispiel: Der Prologterm a*x+(1+a)*x*(1+x) steht für die Funktion f, die definiert ist durch f(x) = ax + (1 + a)x(1 + x). eachten Sie, dass wir die Variable x, nach der differenziert wird (ebenso wie den uchstaben a) in Prolog als Konstante darstellen. Unseren egriff des einfachen usdrucks kann man in Prolog definieren durch das folgende Prädikat. einfacher_usdruck(0). einfacher_usdruck(1). einfacher_usdruck(a). einfacher_usdruck(x). einfacher_usdruck(+) :- einfacher_usdruck(), einfacher_usdruck(). einfacher_usdruck(*) :- einfacher_usdruck(), einfacher_usdruck(). Die nfrage?- einfacher_usdruck(a*x+(1+a)*x*(1+x)). gelingt dann. Definieren Sie ein Prädikat abl_x/2 zur estimmung der bleitung eines einfachen usdrucks nach x! Übersetzen Sie dazu die obigen Regeln (a) (d) in Prologklauseln! eispiel einer nfrage und einer möglichen ntwort von Prolog:?- abl_x(a*x+(1+a)*x*(1+x),bleitung). bleitung = 0*x+a*1+(((0+0)*x+(1+a)*1)*(1+x)+(1+a)*x*(0+1)) Den usdruck, den Prolog hier geliefert hat, könnte man noch deutlich vereinfachen, was aber für diese ufgabe nicht verlangt ist. ufgabe 24 Unter den Zahlen spielen die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... eine besondere Rolle. Man kann sie induktiv charakterisieren durch die folgenden beiden Regeln: Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl. Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist auch n + 1 eine natürliche Zahl. Übersetzen Sie diese beiden Regeln in zwei Prolog-Programm-Klauseln, die durch Rekursion ein Prolog-Prädikat natuerliche_zahl/1 mit folgendem Verhalten definieren!?- natuerliche_zahl(n). N = 0 ; N = 1 ; N = 2 ; N = 3 ;... Das Prädikat natuerliche_zahl/1 zählt also bei ufruf mit einer Variablen N als rgument genau die Menge der natürlichen Zahlen auf. Verwenden Sie in Ihrem Programm keine eingebauten Prädikate von Prolog außer is/2! 10

11 Wenn M eine Menge ist und man durch Rekursion ein Prädikat definieren kann, das die Menge M aufzählt, sagen wir auch, die Menge M sei rekursiv aufzählbar (englisch recursively enumerable oder einfach r.e.). Die Menge der natürlichen Zahlen ist also rekursiv aufzählbar. Erweitern Sie nun Ihr Programm um ein weiteres Prädikat quadratzahl/1, das die Menge der Quadratzahlen aufzählt:?- quadratzahl(q). Q = 0 ; Q = 1 ; Q = 4 ; Q = 9 ;... Sie sehen, dass auch die Menge der Quadratzahlen rekursiv aufzählbar ist. ufgabe 25 Schreiben Sie ein Prolog-Programm, das zu jeder gegebenen Liste von a s und b s die entsprechende Liste berechnet, bei der jedes a durch ein b und jedes b durch ein a ersetzt ist! So wird z.. aus der Liste [a,b,b,a,a] die Liste [b,a,a,b,b]. Verwenden Sie in Ihrem Programm keine eingebauten Prädikate von Prolog! 11