Modellierung von Straßenverkehr. 1 Schwerpunkte der Vorlesung. 2 Übung: Implementierung von Modell 2

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1 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Modellierung und Simulation WS 2008/9 Prof. Dr. Sebastian Noelle Dipl. Math. Vitaliy Pasyuga Dipl. Math. Roland Schäfer Übung 3 Modellierung von Straßenverkehr 1 Schwerpunkte der Vorlesung In der Vorlesung wurden verschiedene Verkehrssituationen vorgestellt: Modell 1 behandelte eine Baustelle, in der die Fahrzeuge langsamer fahren mussten, dabei gab es nur zwei Geschwindigkeiten und die Fahrer nahmen keine Rücksicht auf den Abstand zum nächsten Auto bei der Wahl Geschwindigkeit. Ab dem Modell 2 wurde dies verbessert, die Geschwindigkeit wurde abhängig vom Abstand zum nächsten Auto angepasst. In dem Modell 2 wurde ein Stau simuliert, der durch die Anfangsdaten gegeben war. Weiter wurde ein drittes Modell vorgestellt, das eine Ampelschaltung simuliert. Schließlich wurde noch der Effekt Stau aus dem Nichts vorgestellt. In dieser Übung soll Modell 2 implementiert werden. 2 Übung: Implementierung von Modell 2 In der Datei Header Aufgabe3.txt 1 sind die benötigten Variablen und Anfangsdaten bereits gegeben. Die Datei kann man als Maple-Text importieren. 2.1 Beschreibung der Situation Im Intervall [xmin=0,xa) stehen die Autos mit Abstand dfree, im Staubereich [xa,xb) stehen die Autos mit Abstand dmin und im Intervall [xb,xmax) wieder mit Abstand dfree. Dies ist in Abbildung 1 gezeigt: xa xmin = 0 xmax xb Abbildung 1: Straße mit Stau zur Zeit t0. Alle Autos fahren gegen den Uhrzeigersinn. 1 Aufgabe3.txt

2 Die Geschwindigkeit eines Autos ist abhängig vom Abstand d zum nächsten Auto. Wir betrachten zuerst zwei Geschwindigkeitsmodelle, wie in den Abbildungen 2 und 3 dargestellt: 0, wenn d < dmin, v convex = vmax, wenn d > df ree vmax (d dmin)2 (dfree dmin) wenn dmin d dfree 2 (1) 0, wenn d < dmin, v concav = vmax, wenn d > df ree (d dmin)(2 dfree d dmin) vmax (dfree dmin) wenn dmin d dfree 2 (2) Abbildung 2: Geschwindigkeit v convex (d) Abbildung 3: Geschwindigkeit v concav (d) 2.2 Numerische Simulation Grundsätzliches Vorgehen Zeitschrittwahl Der Zeitschritt dt:=dt0 der numerischen Simulation wird durch die Stabilitätszahl (szl) definiert. Dies ist in Header Aufgabe3.txt bereits implementiert. Implementiere zuerst eine einfache Routine1 (mit austauschbarer Geschwindigkeitsfunktion): Berechne in einer Schleife die Werte für den Abstand und der zugehörigen Geschwindigkeit. Berechne damit dann die neue Position der Autos. Wiederhole dies so oft, bis die Zeit tmax erreicht ist. Hinweis: Die Position der Autos über den Zeitraum [t0,tmax] sollen nach der Rechnung geplottet werden. Deshalb soll die Position in einer zwei-dimensional indexierten Variablen y[i][j] (i für Autos, j für Zeitschritt) gespeichert werden. Für die Geschwindigkeit und den Abstand ist dies nicht nötig. Die einzelne Zeitpunkte der Simulation sollen in der indexierten Variablen t[j] gespeichert werden. Implementieren Sie eine Zeit-Schleife, die den Zähler j in jedem Durchlauf erhöht und abbricht, wenn die Bedingung t[j]<tmax nicht mehr erfüllt ist. Implementieren Sie in dieser Zeit-Schleife eine Orts-Schleife mit dem Zähler i, die alle Autos bis i=imax durchläuft. In dieser Schleife soll der Abstand d[i], die zugehörige Geschwindigkeit v[i] und daraus die neuen Position des Autos berechnet werden. 2

3 2.2.2 Die wesentlichen Punkte der Implementierung 1. Der Zeitschritt dt sollte in der Zeit-Schleife fest sein (immer dt:=dt0). 2. Beachte, dass die Autos auf der Straße im Kreis fahren. Deshalb gibt es bei der Berechnung der Abstände in der Orts-Schleife einen Sonderfall: i=imax, der speziell behandelt werden muss: d[imax]:=xmax + y[1][j]-y[imax][j]. d[imax] ist dann der Abstand zwischen dem imax-ten Auto und dem ihm vorausfahrenden ersten Auto. Dies kann man z.b. mit dem folgenden Maple-code machen: > d[i] := y[(i mod imax)+1][j]-y[i][j]; > if (i=imax) then > d[i] := xmax+d[i]; > end if; 3. Bei jedem Durchlaufen der Orts-Schleife soll die Position des i-te Autos um dt * v[i] verschoben werden (dabei nehmen wir an, dass während des Zeitschrittes dt die Geschwindigkeit v[i] konstant bleibt). 4. Es sollen dabei den Positionen der Autos nach der ersten Durchfahrt der Straße Werte größer als xmax zugewiesen werden, damit man die Darstellung der Trajektorien der Autos später mit Linien ohne Überschneidungen darstellen kann Vorlage von Routine1 # Startwert des Zählers > j:=1; t[j]:=t0; # Zeit-Schleife: # Orts-Schleife:... # hier muss ergänzt werden: Berechnung von Abstand und # entsprechender Geschwindigkeit, Verschieben des Autos # (y[i][j+1] wird berechnet - neue Position des Autos)... # Ende der Orts-Schleife: # nächster Zeitpunkt der Simulation > t[j+1]:=t[j]+dt: # Zähler wird erhöht > j:=j+1: # Ende der Zeit-Schleife Hinweis Bei der Simulationen wird die obige Routine1 mehrmals aufgerufen, jeweils mit verschiedenen Geschwindigkeitsfunktionen und Stabilitätszahlen (szl). Deshalb ist es nützlich, diese Routine als eine Maple- Prozedur zu implementieren, mit der Geschwindigkeitsfunktion und szl als Argumenten. 3

4 Vorlage von Routine1 als Maple-Prozedur: > ROUTINE1:=proc(v_funktion,szl) > local i, dt; > global dt0, imax, xmax, dfree, dmin, vmax, t0, t, y, d, v, j; > description Ohne Unfallverhinderung > dt0:=szl*(dfree-dmin)/vmax; dt:=dt0; > j:=1; t[j]:=t0;... > t[j+1]:=t[j]+dt: > j:=j+1: > end proc: Ausgabe der Berechnung Schließlich sollen die Trajektorien der Autos geplottet werden. Dies kann mit dem folgenden Maple-Code geschehen, der die Trajektorien jedes fünften Autos darstellt. > with(plots): > p:=array(1..imax): > i:=1: k:=1: > while (i<=imax) do > p[k]:= pointplot([seq([y[i][l],t[l]],l=1..j)],connect=true,style=line, labels=["position des i-ten Autos: y_i(t_j)","zeit: t_j"], title=sprintf("unfaelle sind zugelassen, szl=%f",szl), labeldirections=[horizontal,vertical]); > k:=k+1; > i:=i+5; > display(seq(p[l],l=1..k-1)); Testrechnung 1 Führe Routine1 für angegebene szl, ein mal für die Geschwindigkeitsfunktion v convex und einmal für die Geschwindigkeitsfunktion v concav aus. Plotte dabei die Trajektorien (getrennt) für v convex und v concav. 2.3 Unfälle Für große szl ist der Zeitschritt dt:=dt0 auch groß. Deshalb können Autounfälle als Artefakte in der numerischen Simulation auftauchen: Für einige Autos kann nach der Verschiebung v[i]*dt der Abstand zum Vordermann zu klein werden, sogar negativ (Unfall!). Dies tritt auf, wenn der Zeitschritt dt zu groß gewählt ist. Wird der Zeitschritt kleiner gewählt, so passt der Fahrer rechtzeitig seine Geschwindigkeit an und ein Unfall wird vermieden. 2 Da die Zeitschrittweite über die Stabilitätszahl szl berechnet wird, müssen wir diese richtig wählen. In Header Aufgabe3.txt sind kritische Stabilitätszahlen angegeben, für v convex die Zahl ist szl_convex1 und für v concav die Zahl ist szl_concav1. Unfälle treten in der Simulation erst dann auf, wenn szl>szl_convex1 für v convex bzw. szl>szl_concav1 für v concav ist. 2 Wir hatten ja angenommen, das die Geschwindigkeit v[i] während eines Zeitschritts konstant bleibt. In der Realität überprüft ein Fahrer jedoch kontinuierlich den Abstand zum Vordermann und passt seine Geschwindigkeit an. 4

5 2.3.1 Modifikation der Berechnung zur Unfallvermeidung Modifiziere Routine1 zu Routine2 mit der adaptiven Zeitschrittanpassung, so dass keine Unfälle auch für große szl mehr in der Simulation auftauchen. Dazu muss die Orts-Schleife angepasst werden: Beginne mit dt:=dt0. Berechne in einer Orts-Schleife alle Werte für Abstand und Geschwindigkeit. Überprüfe in einer weiteren Orts-Schleife (Kollision-Verhindern-Schleife), ob der neue Abstand kleiner als dmin ist. Wenn ja, so tritt an dieser Stelle eine Kollision auf. Verkleinere den Zeitschritt dt so, dass diese Kollision verhindert wird. Erst dann werden die neuen Position der Autos in einer neuen Orts-Schleife berechnet. Dies ergibt den folgenden Maple-Code für die Kollision-Verhindern-Schleife: #Kollision verhindern > if (v[i]>v[i mod imax + 1]+(d[i]-dmin)/dt) then > dt:=min(dt,(d[i]-dmin)/(v[i]-v[i mod imax + 1])); > end if; > end do; Vorlage von Routine2 >j:=1; t[j]:=t0; # Zeit-Schleife > dt:=dt0; # erste Orts-Schleife # hier Abstände d[i] und ensprechende Geschwindigkeiten v[i] berechnen # hier die Kollisionen-Verhindern-Schleife einfügen > end if; # dritte Orts-Schleife # Autos verschieben (y[i][j+1] wird berechnet) > t[j+1]:=t[j]+dt: > j:=j+1: Implementieren Sie auch Routine2 als Maple-Prozedur. 5

6 Vorlage von Routine2 als Maple-Prozedur > ROUTINE2:=proc(v_funktion,szl) > local i, dt; > global dt0, imax, xmax, dfree, dmin, vmax, t0, t, y, d, v, j; > description Kollisionen verhindern > dt0:=szl*(dfree-dmin)/vmax; dt:=dt0; > j:=1; t[j]:=t0;... > end proc: Testrechnung 2 Führe Routine2 für angegebene szl, ein mal für die Geschwindigkeitsfunktion v convex und einmal für die Geschwindigkeitsfunktion v concav aus. Plotte dabei die Trajektorien (getrennt) für v convex und v concav. 2.4 Experimente zur Stabilität Simulation mit verschiedenen Stabilitätszahlen Wähle die Stabilitätszahl szl aus den Intervallen (0.2,0.5], (0.8,1]und (1,3] (wähle je eine Zahl szl pro Intervall). Führe Routine1 für v convex und v concav mit diesen Stabilitätszählen aus und plotte entsprechende Trajektorien. Was passiert und warum? Weitere Geschwindigkeitsfunktionen Implementiere verschiedene Geschwindigkeitsfunktionen v test mit v test (dmin) = 0 und v test (d) = vmax für alle d dfree; z.b. ( d dmin v test (d) := dfree dmin mit α > 0, dmin < d < dfree. Typische Werte von α sind 1 und 0.5. Führe die Routine2 für diese Geschwindigkeitsfunktionen und verschiedene Werte szl aus, und plotte entsprechende Trajektorien. 3 Freiwillige Übungen Konvergenzanalyse Wähle zwei verschiedene szl Zahlen (8 und 4) und führe die Routine1 für v convex und diese Stabilitätszahlen aus. Plotte Trajektorien für szl:=8 und szl:=4 zusammen, mit verschiedenen Farben, übereinander. Was passiert und warum? Mache dies für v concav und zwei verschiedene Stabilitätszahlen (z.b. 7 und 3) auch. ) α 6