Übung 04 Mehrkörper Keplerproblem

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1 Übung 04 Mehrkörper Keplerproblem 1

2 1 Lösung 1.1 Skizzieren des Algorithmus Aufgabe 1 1. Erstellen Sie skizzenhaft eine Möglichkeit der Berechnung aller Kräfte einer beliebigen Anzahl von Himmelskörpern. Die genaue Anzahl soll in der Konstanten n gespeichert sein. Lösung Diagramm des logischen Aufbaus der Schleife zum Berechnen der vorherigen Position aus der Geschwindigkeit: DO berechne die vorherige Position für jeden Planeten (i = 1...n) - setze A = 0 DO berechne dazu den Einfluss jedes Planeten (j = 1...n) mit Ausnahme der Kraft auf sich selbst (i j) - berechne Abstandsvektor r ij - berechne und addiere Kraftkomponente auf bisherige Kraftkomponenten A - setze vorherige Position r m 2

3 Diagramm des logischen Aufbaus der Schleife zum Berechnen der neuen Position und der Energien: DO führe den Algorithmus n-mal durch n = 1...(niter) - setze E kin = 0 - setze E pot = 0 DO berechne die neue Position für jeden Planeten (i = 1...n) - setze A = 0 DO berechne dazu den Einfluss jedes Planeten (j = 1...n) mit Ausnahme der Kraft auf sich selbst (i j) - berechne Abstandsvektor r ij - berechne und addiere E pot - berechne und addiere die Kraftkomponente A - setze r p - berechne v - berechne und addiere E kin - E tot = E kin + E pot - Ausgabe dieses Frames 1.2 Programm zum Mehrkörper-Keplerproblem Aufgabe 2 1. Schreiben Sie das Programm aus Übung 3 mit dem skizzierten Code um, dass es für ein Mehrkörper-Keplerproblem genutzt werden kann. 2. Lesen Sie die Anfangsbedingungen durch eine Datei ein. 3. Schreiben Sie die Ortsvektoren in die Datei daten.xyz. 4. Schreiben Sie die Energien in die Datei energies.dat. Lösung Die folgende Beschreibung bezieht sich direkt auf die Syntax, die zum Programmieren unter Fortran verwendet wird. Zunächst wird hier das komplette Programm dargestellt und anschließend neue Programmteile erklärt. 3

4 1 program main 2 i m p l i c i t none 3 4!== D e f i n i t i o n d e r V a r i a b l e n ============================ 5 6 i n t e g e r ( 4 ), parameter : : n=10! Anzahl d e r Himmelskoerper 7 i n t e g e r ( 4 ) : : i, j! Z a e h l v a r i a b l e n 8 c h a r a c t e r ( 8 ) : : namen ( n )! L i s t e mit Namen d e r H. 9 r e a l ( 8 ) : : r 0 ( 3, n )! a k t u e l l e P o s i t i o n 10 r e a l ( 8 ) : : rm ( 3, n )! v o r h e r i g e P o s i t i o n 11 r e a l ( 8 ) : : rp ( 3, n )! n a e c h s t e P o s i t i o n 12 r e a l ( 8 ) : : r i j ( 3 )! D i f f e r e n z v e k t o r 13 r e a l ( 8 ) : : v ( 3, n )! G e s c h w i n d i g k e i t 14 r e a l ( 8 ) : : f ( 3 )! K r a f t 15 r e a l ( 8 ) : : G! a l l. GravKonstante 16 r e a l ( 8 ) : : m( n )! Massen d e r H. 17 r e a l ( 8 ) : : r a d i u s ( n )! Radien d e r H. 18 r e a l ( 8 ) : : dt! Z e i t s c h r i t t 19 i n t e g e r ( 4 ) : : n i t e r! Anzahl d e r Z e i t s c h r i t t e 20 i n t e g e r ( 4 ) : : i t e r! I n d e x des Z e i t s c h r i t t s 21 r e a l ( 8 ) : : A( 3 )! H i l f s v a r i a b l e 22 r e a l ( 8 ) : : Etot! G e s a m t e n e r g i e 23 r e a l ( 8 ) : : Ekin! k i n e t i s c h e E n e r g i e 24 r e a l ( 8 ) : : Epot! p o t e n t i e l l e E n e r g i e 25 r e a l ( 8 ) : : E h i l f! H i l f s v a r i a b l e pot E n e r g i e 26 27! 28!== o e f f n e D a t e i e n f u e r Ein und Ausgabe ================ open ( u n i t =1000, f i l e = i n. dat, form = f o r m a t t e d ) 31 open ( u n i t =1001, f i l e = daten. xyz, form = f o r m a t t e d ) 32 open ( u n i t =1002, f i l e = e n e r g i e s. dat, form = f o r m a t t e d ) 33 34!== l e s e E i n g a b e d a t e n =================================== read ( , ) dt, n i t e r 37 read ( , )G do i =1,n 40 read ( , ) namen ( i ) 41 read ( , )m( i ), r a d i u s ( i ) 42 read ( , ) r 0 ( :, i ) 43 read ( , ) v ( :, i ) 44 end do 45 46!== b e r e i t e Anfangsbedingungen v o r ====================== do i =1,n 49 A ( : ) =(0. d0 ) 50 do j =1,n 51 i f ( i /= j ) then 52 r i j ( : )=r 0 ( :, j ) r 0 ( :, i ) 53 A ( : )=A ( : ) + m( j ) ( r i j ( : ) ) / ( ( s q r t ( d o t p r o d u c t ( r i j ( : ), r i j ( : ) ) ) ) 3) 54 end i f 55 end do 56 rm ( :, i )=r 0 ( :, i ) dt v ( :, i ) ( 1 / 2 ) G ( dt 2) A 57 end do 58!== Das i s t d i e S c h l e i f e u e b e r d i e Z e i t s c h r i t t e ========= do i t e r =1, n i t e r 61 62!== p r o p a g i e r e ======================================== Epot =0. d0 65 Ekin =0. d0 66 4

5 67 do i =1,n 68 A ( : ) =(0. d0 ) 69 do j =1,n 70 i f ( i /= j ) then 71 r i j ( : )=r 0 ( :, j ) r 0 ( :, i ) 72 c a l l c a l c e p o t (G,m( i ),m( j ), r i j ( : ), E h i l f ) 73 Epot=Epot+E h i l f 74 A=A ( : ) + m( j ) ( r i j ( : ) ) / ( ( s q r t ( d o t p r o d u c t ( r i j ( : ), r i j ( : ) ) ) ) 3) 75 end i f 76 end do 77 rp ( :, i )=r 0 ( :, i ) 2. d0 rm ( :, i ) + G ( dt 2) A 78 v ( :, i )=( rp ( :, i ) rm ( :, i ) ) /(2 dt ) 79 Ekin=Ekin +(0.5 d0 m( i ) d o t p r o d u c t ( v ( :, i ), v ( :, i ) ) ) 80 end do 81 Etot=Epot+Ekin 82 83!== s c h r e i b e E n e r g i e und K o o r d i n a t e n ================== i f (mod( i t e r, ) ==0) then 86 w r i t e (, fmt = ( i t e r, i10, von, i10, b e r e c h n e t! ) ) i t e r, n i t e r 87 end i f w r i t e ( , ( I 1 5 ) ) n 90 w r i t e ( , ( I8, A11, I 8 ) ) i t e r,. Frame von, n i t e r do i =1,n 93 w r i t e ( , ( A8, 3 ES ) ) namen ( i ), r 0 ( :, i ) 94 end do w r i t e ( , ( I8, 3 ES ) ) i t e r, Ekin, Epot, Etot 97 98!== V e r t a u s c h e K o o r d i n a t e n f u e r n a e c h s t e n Z e i t s c h r i t t = rm ( :, : )=r 0 ( :, : ) 101 r 0 ( :, : )=rp ( :, : ) 102 end do !== nun s c h l i e s s e d i e D a t e i e n =========================== c l o s e (1000) 107 c l o s e (1001) 108 c l o s e (1002) 109 stop 110 end program main ! s u b r o u t i n e c a l c e p o t (G, m1, m2, r i j, e h i l f ) 115 i m p l i c i t none 116 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( i n ) : : G 117 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( i n ) : : m1 118 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( i n ) : : m2 119 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( i n ) : : r i j ( 3 ) 120 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( out ) : : e h i l f ! e h i l f = 0.5d0 G m1 m2 ( 1. 0 d0/ s q r t ( d o t p r o d u c t ( r i j, r i j ) ) ) 125 r e t u r n 126 end s u b r o u t i n e c a l c e p o t 5

6 Erklärung der einzelnen Programmabschnitte Es war gefordert, bestimmte Programmabschnitte in Schleifen ablaufen zu lassen. Die erste Schleife zum Einlesen der Parameter ist noch recht übersichtlich: 39 do i =1,n 40 read ( , ) namen ( i ) 41 read ( , )m( i ), r a d i u s ( i ) 42 read ( , ) r 0 ( :, i ) 43 read ( , ) v ( :, i ) 44 end do Es wurde eine neue Variable eingeführt, welche die Namen der Himmelskörper in einer Liste enthält. Diese Namen werden ebenfalls neben den Startkoordinaten und Geschwindigkeiten an dieser Stelle eingelesen. Die zugehörige Variablendeklaration sieht folgendermaßen aus: 8 c h a r a c t e r ( 8 ) : : namen ( n )! L i s t e mit Namen d e r H. Die Schleife zum Berechnen der vorherigen Position unterscheidet sich kaum von der zum Berechnen der nächsten Position, nur das dort noch die Energie berechnet wird. Im Folgenden wird die Schleife zum Berechnen der Position Zeile für Zeile erklärt: 48 do i =1,n 49 A ( : ) =(0. d0 ) 56 rm ( :, i )=r 0 ( :, i ) dt v ( :, i ) ( 1 / 2 ) G ( dt 2) A 57 end do r mi = r 0i v i 1 2 G 2 A Die äußere DO-Anweisung(i) durchläuft alle Himmelskörper und berechnet nach der bekannten Formel die nächste Position. Dabei ist A eine Hilfsvariable, die den Kraftvektor beinhaltet. Dieser Vektor hat zunächst den Betrag Null und wird in der Schleife durch Summation der Kräfte aller anderen Himmelkörper auf diesen Himmelskörper gebildet. 50 do j =1,n 51 i f ( i /= j ) then 54 end i f 55 end do Innerhalb der ersten DO-Anweisung(i) befindet sich eine zweite DO-Anweisung(j). Sie durchläuft ebenfalls alle Himmelskörper. Bei jedem Durchlauf der ersten Schleife(i) wird die zweite Schleife(j) n-mal durchlaufen. In dieser zweiten Schleife wird die Summe der Kräfte aller Planeten auf den i-ten gebildet. Jedoch wirkt keine Kraft des i-ten Planeten auf sich selbst. Deshalb wird dieser Fall durch die IF-THEN-Anweisung ausgeschlossen. 6

7 52 r i j ( : )=r 0 ( :, j ) r 0 ( :, i ) 53 A ( : )=A ( : ) + m( j ) ( r i j ( : ) ) / ( ( s q r t ( d o t p r o d u c t ( r i j ( : ), r i j ( : ) ) ) ) 3) r ij = r 0j r 0i A neu = A bisher + m j r ij ( rij 2) 3 In der inneren Schleife(j) wird zunächst der Differenzvektor zwischen i-ten und j-ten Planeten gebildet, und anschließend die Kraft des j-ten Planeten auf den i-ten auf den Kraftvektor addiert. In der Schleife zur Berechnung der neuen Ortskoordinaten werden ebenfalls die Energien berechnet. Ansonsten ist die Berechnung analog. Gesondert betrachtet sieht die Berechnung der Energien folgendermaßen aus: 64 Epot =0. d0 65 Ekin =0. d do i =1,n 69 do j =1,n 70 i f ( i /= j ) then 71 r i j ( : )=r 0 ( :, j ) r 0 ( :, i ) 72 c a l l c a l c e p o t (G,m( i ),m( j ), r i j ( : ), E h i l f ) 73 Epot=Epot+E h i l f 75 end i f 76 end do 78 v ( :, i )=( rp ( :, i ) rm ( :, i ) ) /(2 dt ) 79 Ekin=Ekin +(0.5 d0 m( i ) d o t p r o d u c t ( v ( :, i ), v ( :, i ) ) ) 80 end do 81 Etot=Epot+Ekin Zunächst wird die potentielle und kinetische Energie auf Null gesetzt. Die potentielle Energie wird durch Summation aus den potentiellen Energien der einzelnen Himmelskörper gebildet. Dazu wird die Subroutine calcepot aufgerufen. Die potentiellen Energien der einzelnen Himmelskörper werden dabei in die Variable E hilf geschrieben und anschließend zu E pot addiert. 114 s u b r o u t i n e c a l c e p o t (G, m1, m2, r i j, e h i l f ) 115 i m p l i c i t none 116 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( i n ) : : G 117 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( i n ) : : m1 118 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( i n ) : : m2 119 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( i n ) : : r i j ( 3 ) 120 r e a l ( 8 ), i n t e n t ( out ) : : e h i l f ! e h i l f = 0.5d0 G m1 m2 ( 1. 0 d0/ s q r t ( d o t p r o d u c t ( r i j, r i j ) ) ) 125 r e t u r n 126 end s u b r o u t i n e c a l c e p o t 7

8 E hilf = 1 2 Gm im j 1 rij 2 Um die kinetische Energie berechnen zu können, muss zunächst die Geschwindigkeit aus der vorherigen und der neuen Position eines Himmelskörpers berechnet werden. Anschließend wird die kinetische Energie des aktuellen Himmelskörpers auf die Summe der kinetischen Energien der bereits berechneten Himmelskörper addiert. E kin,neu = E kin,bisher m i v 2 i Die Ausgabe ist wieder relativ einfach: 89 w r i t e ( , ( I 1 5 ) ) n 90 w r i t e ( , ( I8, A11, I 8 ) ) i t e r,. Frame von, n i t e r do i =1,n 93 w r i t e ( , ( A8, 3 ES ) ) namen ( i ), r 0 ( :, i ) 94 end do In der ersten Zeile sollte die Anzahl der berechneten Objekte stehen. Die zweite Zeile ist für beliebigen Text reserviert. In diesem Fall wird die Framenummer geschrieben. Anschließend werden über eine einfache DO-Anweisung die Namen und Koordinaten aller Himmelskörper in die Datei geschrieben. Darstellung Bild 1.1 zeigt die Energien in [ ] m AE2 d. Bild 1.2 und 1.3 zeigen das Sonnensystem mit 2 den Planetenbahnen. Die Zeitspannne bei Bild 1.3 beträgt 10 Erdenjahre. Die Planeten sind willkürlich vergrößert dargestellt. Der Faktor beträgt ungefähr 1:

9 5e e+22-1e+23-1,5e+23-2e Abbildung 1.1: Darstellung der Energien. Durchgezogenen Linie: Gesamtenergie, gestrichelte Linie: kinetische Energie, gepunktete Linie: potentielle Energie Abbildung 1.2: Darstellung des inneren Sonnensystems 9

10 Abbildung 1.3: Darstellung des gesamten Sonnensystems 10