Simulation. Lineare Regression Methode der kleinsten Quadrate (Excel-Matrix-Formel) Verknüpfung des Euler- und Newton-Verfahrens. Das Euler-Verfahren

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1 Simulation Lineare Regression Methode der kleinsten Quadrate (Excel-Matrix-Formel) Verknüpfung des Euler- und Newton-Verfahrens Dynamische Prozesse: Prozesse, bei denen sich das zeitliche und örtliche Verhalten ändert. Sie werden mit Differentialgleichungen beschrieben. Simulation: Verfahren zur Analyse und Planung dynamischer Prozesse. Mit Hilfe eines Modells wird ein hypothetischer Verlauf von Prozessgrößen berechnet. Zur Simulation werden typischerweise Algorithmen genutzt. Ein Algorithmus ist eine Handlungsanweisung (ähnlich einem Kochrezept), mit der ein Problem gelöst werden kann. Ein Algorithmus besteht aus einer Folge von Anweisungen, die nacheinander ausgeführt und oft in festgelegter Weise in Form von Schleifen wiederholt werden. Nach Durchlaufen von Schleifen wird typischerweise ein Abbruchkriterium geprüft. Ist es erfüllt, so endet der Algorithmus. Eigenschaften von Algorithmen: o Ein Algorithmus besteht aus einer Folge von Schritten (Anweisungen) o Bei gleichen Startbedingungen erzeugt er stets dasselbe Endergebnis o Nach jedem Schritt lässt er sich auf höchstens eine Art fortsetzen o Er endet nach endlich vielen Schritten Beispiele: -Newton-Verfahren - Euler-Verfahren Gegeben: Aufgabe: Der Algorithmus: Das Euler-Verfahren dc = f ( c, t) mit c( t = 0) = C dt Simulation des Prozesses von t=0 bis t=t n 1. Initialisierung: Anfangsbedingung nutzen t 0 =0 und c 0 =C 2. Wende Euler-Formel an: t i+1 =t i + t und c i+1 =c i +f(c i,t i ) t 3. Überprüfen der Abbruchbedingung (t i+1 =t n?) 4. Nicht erfüllt => gehe zu 2. sonst gehe zu Fertig Messwerte sind in einer Datei gegeben. An die Messwerte soll eine Gerade angepasst werden. Lineare Regression y = b + 0 b1 x Abhängige Größe Unabhängige Variable Methode der kleinsten Fehlerquadrate 1

2 Soll in Excel eingelesen werden! Mit einem Text-Programm (Notepad, Word, Editor) öffnen! Problem: Dezimaltrennzeichen=PUNKT Trennzeichen = KOMMA Lösung: Funktion ERSETZEN Komma Semikolon Punkt Komma Abspeichern und Excel starten! 2

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4 Markieren und verschieben! Diagramm erstellen Trendlinie einzeichnen: Kurve (Punkte) im Diagramm mit rechter Maustaste anklicken! 4

5 cov( x, y) r = R = Korrelationskoeffizient(m,M) = std( x)* std( y) 2 cov( x, y) R = std( x)* std( y) 2 R = N i= 1 N ( xi x)( yi y) i= 1 N ( xi x) ( yi y) i= 1 Berechnung der Regressionsparameter mit der Methode der kleinsten Quadrate N Summe= [b 0 +b 1 x i -m i ]² Σi=1 =Abweichungsquadrate minimieren! Berechnung der Regressionsparameter mit der Methode der kleinsten Quadrate Verwendung der Excel-Matrixformel: RGP(y-Werte;x-Werte;Konstante;Konstante) b 0 ungleich Null! Statistische Auswertung anzeigen! Matrixformel: Markieren und F2 klicken! 5

6 Matrixformel verwendet! {=RGP(E6:E15;D6:D15;WAHR;WAHR) } Strg + Umschalt + Eingabe Excel-Matrixformel RGP lineare Regression y=b 0 +b 1 x Steigung b 1 Standardfehler von b 1 Bestimmtheitsmaß F-Wert Bedeutung der Größen im nächsten Jahr!!!!! Achsenabschnitt b 0 Standardfehler von b 0 Standardfehler von y 0 Freiheitsgrad Regressions Quadratsumme Summe Abweichungsquadrate 6

7 Fertig! Berechnung der Kinetik der Dioxanzersetzung! Excel-Arbeitsblatt ist vorgegeben! Euler-Verfahren zum Lösen der DGL c i+1 =c i +f(t i,c i ) t t muss klein sein! Parameter Euler-Integration t i+1 =t i + t c i+1 =c i +f(t i,c i ) t t der Werte ist zu groß, um es für das Euler-Verfahren zu verwenden. Parameter Euler-Integration Excel-Funktion: SVerweis =SVERWEIS(B6; Suchkriterium Matrix $D$14:$E$2503; 2) Datenbankfeld Die simulierten Werte müssen zu den Messwerten passen! 7

8 Kopieren Fehlerquadrate berechnen! N Summe= [m Simi -m Mesi ]² Σi=1 Mit dem Solver (Extras) die Fehlerquadratsumme minimieren, dabei die Reaktionsordnung und Geschwindigkeitskonstante variieren (veränderbare Zellen)! 8

9 Und nun mit Excel weiter! 9