Theoretische Informatik SS 03 Übung 4

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1 Fakten aus Übung 3 Theoretische Informatik SS 03 Übung 4 In Übung 3 wurden einigen Fakten bewiesen, die für diese Übung benötigt werden. Folgende Konstrukte können mit LOOP-Programmen simuliert werden: 1. x : k, k const. LOOP-Programm: x : x l + k, wobei x l eine ungenutzte Variable ist, also nach Definition von LOOP mit 0 belegt.. IF x 0 THEN A END ELSE B END LOOP-Programm: y : 1; z : 1; LOOP x DO y : 0 END; LOOP y DO A; z:0 END; LOOP z DO B END; 3. x + y LOOP-Programm: LOOP y DO x : x + 1 END; 4. x y LOOP-Programm: z : 0; LOOP y DO LOOP x DO z : z + 1 END; END; 1

2 Aufgabe 1 Simulieren Sie eine WHILE-Schleife durch eine GOTO-Konstruktion. WHILE x i 0 DO P END M 1 : IF x i 0 THEN GOTO M ; P; GOTO M 1 ; M :... Aufgabe Simulieren Sie einen GOTO-Befehl durch eine WHILE-Schleife. Wir simulieren das folgende GOTO-Programm durch eine WHILE-Schleife: M 1 : A 1 ; M : A ;... ; M k : A k ; count : 1; WHILE count 0 DO IF count 1 THEN A 1 END; IF count THEN A END; IF count k THEN A k END; END; Hierbei ist A i folgendermaßen definiert: x j : x l ± c; count : count + 1 A i x j : x l ± c count : n A i GOTO M n A i IF x j c THEN count : n IF x j c ELSE count : count + 1 END A i THEN GOTO Mn count : 0 A i HALT

3 Aufgabe 3 Wie lässt sich eine Mehrband-Turing-Maschine durch eine Einband-Turing-Maschine simulieren? Geg.: k-band Turingmaschine M Wir benutzen eine Turingmaschine M mit k + 1 Spuren, die folgende Bedeutung haben: ungerade Spuren 1, 3,..., k 1 enthalten das, was die k Bänder von M enthalten gerade Spuren, 4,..., k enthalten jeweils genau eine Markierung # an der Position, wo der entsprechende Kopf von M steht letzte Spur trägt zwei Markierungen # und ## # gibt erste (am weitesten links) von einem Rechenkopf von M erreichte Position an ## gibt entsprechende letzte (am weitesten rechts) Position an Ablauf der Simulation eines Rechenschritts 1) Kopf von M steht auf der Zelle, die in letzter Spur # enthält Zustand von M entspricht dem, der zu Beginn des aktuellen Rechenschritts von M erreicht wurde ) Rechnerkopf läuft nach rechts bis Markierung ## auf der letzten Spur erreicht Merkt sich in endlichem Speicher, was die k Köpfe von M lesen würden kennt die Information, die M hat, und weiß, was M tun würde 3) Kopf von M läuft nach links Bei Markierungen werden Bandinschriften so verändert, wie es M machen würde Markierungen für die Kopfpositionen werden ggf. nach links oder rechts verschoben Falls nötig, werden auch # und ## um eine Position nach links bzw. rechts verschoben M merkt sich Zustand, in den M wechselt 4) Am Ende steht Kopf von M auf Position, die in letzter Spur # enthält Ausgangssituation für Simulation des nächsten Rechenschrittes gegeben 3

4 Aufgabe 4 a) Zeigen Sie, dass die Funktion c(x, y) ( x+y+1 Idee 1 (unvoreingenommener Ansatz): ) + x ist LOOP-berechenbar ist. c(x, y) ( ) x + y x (x + y + 1)! (x + y 1)! + x (x + y + 1) (x + y) + x Wie zeigen die LOOP-Berechenbarkeit durch Angabe eines LOOP-Programms, was c(x, y) berechnet. 1) z 1 : x + y ) z : z ) z 3 : z 1 z 4) z 4 : z 3 ; 5) c : z 4 + x Für alle Schritte außer für Schritt 4 können die entsprechenden LOOP-Programme den Eingangs genannten Fakten aus Übung 3 entnommen werden. Bleibt lediglich die Angabe eines LOOP-Programms zur Berechnung von Schritt 4. u : 0; z 4 : 0; LOOP z 3 DO IF u 0 THEN u : 1 END; ELSE u : 0 END; z 4 : z 4 + u; END; z 4 wird nur dann inkrementiert, wenn eine gerade Zahl dekrementiert wird. Dies erfolgt unter der Voraussetzung, dass z 3 gerade ist (was aus obiger Argumentation hervorgeht), genau z 3 oft, so dass gilt z 4 z 3. Die im Programm verwendeten Konstruktionen können ausnahmslos durch LOOP-Programme ersetzt werden (vgl. Fakten aus Übung 3). 4

5 Idee : Es gilt ( n+1 ) ( n ) + n, denn ( ) n + n n (n 1) + n n (n 1 + ) n (n + 1) ( ) n + 1 Damit ist c(x, y) primitiv rekursiv, da diese Funktion durch das Schema der primitiven Rekursion, basierend auf der Addition, definiert werden kann. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Klasse der primitiv rekursiven Funktionen genau mit der Klasse der LOOP-berechenbaren Funktionen übereinstimmt. Mit diesen Kenntnissen ergibt sich übrigens ein wesentlich einfacheres LOOP-Programm als das obige: a : x + y; b : a + 1; c : 0; LOOP a DO b : b 1; c : c + b END c : c + x b) Warum kann man die Funktion c benutzen, um Paare von natürlichen Zahlen in eine einzelne Zahl zu codieren? Zunächst untersuchen wir das Verhalten der Funktion c(x, y) bei kleinen Werten x und y. x 0, y 0 c(x, y) 0 x 0, y 1 c(x, y) 1 x 1, y 0 c(x, y) x 0, y c(x, y) 3 x 1, y 1 c(x, y) 4 x, y 0 c(x, y) 5 Die Funktion c(x, y) stellt offenbar eine Bijektion zwischen und dar. Betrachtet man (x, y) als Punkte in der Ebene, so wird klar, dass c(x, y) den ersten Quadrant systematisch, Diagonale für Diagonale von links oben nach rechts unten, durchläuft. 5

6 (x, y) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (0, ) (1, 1) (, 0)... c(x, y) Aus diesem Grunde wird diese Funktion auch als Cauchysche Paarungsfunktion bezeichnet. Dass es sich tatsächlich um eine Bijektion handelt, kann man sich wie folgt klar machen: Db(c), da c(x, y) für alle Paare (x, y) existiert. W b(c) und Eineindeutigkeit überlegt man sich bspw.so: In c(x, y) ( ) x+y+1 + x kann der Term x + y jeden beliebigen Wert z entsprechen, angenommen durch x 0 und y z. Für z 0 ist dann c(x, y) c(0, 0) 0. Bei x + y 0 ist für x und y nur die Belegung (0, 0) möglich. Betrachten wir also den Fall z 1. x + y 1, was neben (0, 1) auch noch für das Paar (1, 0) möglich ist. In diesem Falle nimmt jedoch c(x, y) c(1, 0) den Wert an. Allgemein kann man so vorgehen, dass man für x + y fest, y suzessive dekrementiert, während x inkrementiert wird. Dies hat keine Auswirkung auf ( x+y+1), der Wert von c(x, y) wird jedoch systematisch inkrementiert. Wir lassen unser z von 0 bis laufen, und für jedes z führen wir eben genannte Prozedur (Dekrementierung/ Inkrementierung) durch. Dann liegen für die Teilfolge eines bestimmten z-wertes alle Elemente in der Form (a, a + 1, a +,..., a + z) vor. Es bleibt zu zeigen, dass diese Teilfolgen direkt aneinander anschließen. Wir betrachten dazu die Folge mit x+y z und die mit x+y z +1. Das größte Element der ersten Folge müsste gleich dem kleinsten Element der zweiten Folge minus 1 sein; dies gilt offenbar: z (z + 1) + z z (z + 1) + z z + 3z (z + 1) (z + ) 1 z + z + z + z + 3z Die inversen Funktionen e(n) und f(n), die zu einem gegebenen n wieder die Werte e(n) x und f(n) y ermitteln, so dass c(e(n), f(n)) c(x, y) n gilt, sind übrigens: e(n) max{x n y n : c(x, y) n} f(n) max{y n x n : c(x, y) n} 6