Darstellende Geometrie I MU Leoben

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1 Darstellende Geometrie I MU Leoben Sommersemester 2011 Lehrveranstaltungsbetreuer: Anton Gfrerrer, Sigrid Prabitz-Hallama, Josef Radlingmayer Darstellung von Kurven und Flächen mit MAPLE Rechnen mit Vektoren Vektoren definieren und damit rechnen a := <0.0, 3.0, 4.0>; b := Vector([-1.0, 0.0, 2.0]); #(alternative Definition eines Vektors) c := 2*a + 3*b; Vektoralgebra; Packages Ein "package" ist eine Ansammlung von Prozeduren, die nach Laden des package zur Verfügung stehen. Ein Beispiel ist das package "LinearAlgebra". Neben vielen anderen Prozeduren enthält es solche für die Norm eines Vektors und das In- und Exprodukt zweier Vektoren. Nach Laden des packages: with(linearalgebra); können wir die entsprechenden Vektoroperationen aufrufen: an := VectorNorm(a, Euclidean); a0 := Normalize(a, Euclidean);

2 d := DotProduct(a, b, conjugate=false); e := CrossProduct(a, b); Man kann einzelne Routinen eines packages auch verwenden, ohne vorher das ganze package zu laden. Dann muss man MAPLE natürlich mitteilen, in welchem package die aufgerufenen Routinen stehen: a := <1.0, 3.0, 4.0>; b := <-1.0, 0.0, 2.0>; c := LinearAlgebra[CrossProduct](a, b); ANMERKUNG: Durch den Befehl "" wird das memory des MAPLE kernels gelöscht. Dadurch werden alle Variablenbelegungen gelöscht und MAPLE "vergisst" vorher geladene packages. Einige Plot-Befehle Plotten ebener Kurven plot([sin(t), cos(t), t=-pi..pi]); Aufgabe 1 Plotten von Flächen Flächen in Gleichungsform plot3d(sin(x+y),x=-1..1,y=-1..1); Flächen in Parameterdarstellung plot3d([u*sin(u)*cos(v),u*cos(u)*cos(v),u*sin(v)],u=0..2*pi,v=0.. Pi); Aufgabe 2 Plotten Sie die Fläche mit der Gleichung z = x*y! Aufgabe 3 Plotten Sie eine Halbkugel mit dem Radius 5 (Parameterdarstellung!)

3 Plotten von Raumkurven Hierzu benötigen wir die Routine "spacecurve" des MAPLE-packages "plots": with(plots): spacecurve([5.0*cos(t), 5.0*sin(t), 2*t],t=0..4*Pi, scaling=constrained); Man kann eine Raumkurve mit Hilfe der Routine "tubeplot" des MAPLE-packages "plots" aber auch als "Schlauch" darstellen: with(plots): tubeplot([5.0*cos(t), 5.0*sin(t), 2*t], t=0..4*pi, radius=0.4, color=blue, numpoints=100, scaling= constrained); Mehrere Objekte in einer Grafik darstellen screwline := plots[tubeplot]([5.0*cos(t), 5.0*sin(t), 2* t], t=-pi..pi, radius=0.4, color=blue, numpoints=100): surf := plot3d([u*sin(u)*cos(v),u*cos(u)*cos(v),u*sin(v) ],u=0..2*pi,v=0..pi): plots[display]({surf, screwline}, scaling=constrained); Ein paar nützliche selbstgeschriebene Prozeduren Werden gewisse Rechenschritte öfter benötigt, empfiehlt es sich diese zu einer "procedure" zusammenzufassen. Eine solche MAPLE-Prozedur hat die folgende Architektur: procname := proc(par1, par2,... ) description "Beschreibung der Prozedur"; local locvar1, locvar2,... ; Body

4 return (MAPLE-expression); end proc; Die Prozedur besitzt den Namen procname, die Größen par1, par2,... sind Übergabeparameter. Über den Befehl description (optional) kann eine kurze Beschreibung der Prozedur für den Anwender angegeben werden. die Variablen locvar1, locvar2,... sind lokal, also nur innerhalb der Prozedur bekannt. Der Hauptteil einer Prozedur ist der Body, der eine beliebige Folge von MAPLE-Anweisungen beinhalten kann. Die Anweisung return (MAPLE-expression) legt den Rückgabewert der Prozedur fest. Enthält eine Prozedur keinen Return-Anweisung, dann wird der zuletzt im Body der Prozedur berechnete Wert zurückgegeben. Beispiel: Parameterdarstellung einer allgemeinen Zylinderfläche Die Prozedur: Cylinder := proc(x, e, v) description "Liefert die Parameterdarstellung einer Zylinderflaeche, wobei die Leitkurve x = x(u), der Richtungsvektor e der Erzeugenden und der zweite Parameter v eingegeben werden."; local y; y := x + v*e: return y; end proc; Wir testen die Prozedur "Cylinder": r := 5.0; x := <r*cos(u), r*sin(u), 0.0>; e := <0.0, 1.0, 1.0>; y := Cylinder(x, e, v); plot3d(y, u=0..2*pi,v=0..10, scaling=constrained); Aufgabe 4 Schreiben Sie eine Prozedur, die zur Erzeugung der Parameterdarstellung einer Kegelfläche verwendet werden kann. INPUT: Der Scheitel S (Ortsvektor s), die Leitkurve x = x(u), der zweite Parameter v zur Festlegung der Position auf der Erzeugenden

5 OUTPUT: Der Punkt am Drehkegel Ortsvektor y(u,v) Testen Sie Ihre Prozedur! Aufgabe 5 Schreiben Sie eine Prozedur, die den Fußpunkt F des Lotes aus einem Punkt P auf eine Gerade g des 3-Raumes berechnet. INPUT: Der Punkt P (Ortsvektor p) und die Gerade g (Ortsvektor a eines ihrer Punkte, Richtungsvektor d). OUTPUT: Der Punkt F (Ortsvektor f) HINWEIS: Verwenden Sie für die Vektoralgebra Prozeduren des MAPLE-packages "LinearAlgebra" (siehe oben), ohne das package jedoch explizit zu laden. Testen Sie Ihre Prozedur! Aufgabe 6 Schreiben Sie eine Prozedur "Rotate": INPUT: Drehachse g (Ortsvektor a eines ihrer Punkte, Richtungsvektor d); Drehwinkel t; zu drehender Punkt X (Ortsvektor x ); OUTPUT: Gedrehte Lage Y von X (Ortsvektor y). HINWEISE: 1.) Der Mittelpunkt m des Drehkreises ist der Fußpunkt des Lotes aus X auf g: Zu seiner Ermittlung können Sie die Prozedur "Fusspunkt" aus Aufgabe 5 verwenden! 2.) Verwenden Sie für die Vektoralgebra Prozeduren des MAPLE-packages "LinearAlgebra" (siehe oben), ohne das package jedoch explizit zu laden. Testen Sie anschließend Ihre neue Prozedur! Drehflächen Aufgabe 7 Verwenden Sie die Prozedur "Rotate" (Aufgabe 6) um Drehflächen zu erzeugen. Erzeugen Sie so -- einen Drehzylinder,

6 -- einen Drehkegel, -- ein einschaliges Drehyperboloid und -- einen Torus. Erzeugen Sie jeweils plots von den Flächen!