1. Eliminierung von nicht erreichbaren Zuständen 2. berechne A min aus A durch Verschmelzen

Transkript

1 Minimierung von dea Sei L=L() dea Sprache ufgabe: inde den kleinsten dea min mit L=L( min ) (rösse eines dea := nzahl der Zustände von ) Idee:. liminierung von nicht erreichbaren Zuständen 2. berechne min aus durch Verschmelzen äquivalenter Zustände liminierung unerreichbarer Zustände ef.: Sei =(Q,Σ,δ,q,) dea. qєq heisst unerreichbar, wenn wєσ* : δ*(q,w) q Satz: ie Menge der unerreichbaren Zustände eines dea =(Q,Σ,δ,q,) kann in O( Q Σ ) Zeit bestimmt werden ew.: betrachte Zustandsdiagramm von als gerichteten raphen mit Q Σ Kanten wenn es in von q keinen gerichteten Weg nach qєq gibt, so kann q gestrichen werden reitensuche auf bestimmt von q erreichbare Knoten 2

2 Äquivalente Zustände ef.: Sei =(Q,Σ,δ,q,) dea. Zwei Zustände q,q єq heissen äquivalent q q, wenn wєσ* : δ*(q,w)є gdw. δ*(q,w)є alle von q,q ausgehenden erechnungen liefern dasselbe rgebnis (bzgl. kzeptanz) 3 igenschaften der Relation Satz: ist Äquivalenzrelation reflexiv x x symmetrisch x y y x transitiv x y y z x z 4

3 Äquivalente Zustände ef.: Sei =(Q,Σ,δ,q,) dea. ür qєq heisst [q] := {q єq q q } Äquivalenzklasse von q und Q := Q/ = {[q] qєq} bezeichnet die Menge der Äquivalenzklassen von 5 sp.: Äquivalenzklassen, q q q 2 [q ] = {q, q 2 } [q ] = {q, q 3 } [q 4 ] = {q 4 } q 4 q 3 q q q 2 q 3 q 4 6

4 sp.: Äquivalenzklassenautomat, q q q 4 q 2 q 3 7 Äquivalenzklassen und δ Satz: Sei =(Q,Σ,δ,q,) dea. alls q q, so ist aєσ δ(q, a) δ(q, a) aєσ δ(q, a) δ(q, a) aєσ wєσ* : δ*(δ(q, a),w)є gdw. δ*(δ(q, a),w)є aєσ wєσ* : δ*(q,aw)є gdw. δ*(q,aw)є w єσ* : δ*(q,w )є gdw. δ*(q,w )є q q 8

5 Äquivalenzklassenautomat ef.: Sei =(Q,Σ,δ,q,) dea. er dea := (Q/, Σ, δ, [q ], {[q] qє}) mit δ ([q], a) := [δ(q, a)] heisst Äquivalenzklassenautomat von em.: ist wohldefiniert!! 9 sp.: Äquivalenzklassenautomat, q q q 4 q 2 q 3, [q ] [q ] [q 4 ]

6 Äquivalenzklassenautomat Satz: Sei =(Q,Σ,δ,q,) dea. ann ist L( ) = L() ew.: sei w=w w n єl() es gibt olge von Zuständen q,,q n mit q n є und q i+ = δ(q i, w i+ ) für i < n z.z.: [q ],,[q n ] ist olge von Zuständen mit [q n ] є {[q] qє} und [q i+ ]= δ ([q i ], w i+ ) für i < n wєl( ) Äquivalenzklassenautomat z.z.: [q ],,[q n ] ist olge von Zuständen mit [q n ] є {[q] qє} und [q i+ ]= δ ([q i ], w i+ ) für i < n q n є [q n ] є {[q] qє} und δ(q i, w i+ ) = q i+ δ ([q i ], w i+ ) := [δ(q i, w i+ )] = [q i+ ] (all wєl c () analog) 2

7 erechnung des Äquivalenzautomaten Problem: Wie berechnet man für einen dea den Äquivalenzautomaten effizient? 3 Zeugen für Nichtäquivalenz ef.: q,q єq sind nicht äquivalent q c q, wenn wєσ* : (δ*(q,w)є c und δ*(q,w)є) oder (δ*(q,w)є und δ*(q,w)є c ) w heisst Zeuge für die Nichtäquivalenz von q,q 4

8 igenschaften von kürzesten Zeugen ist w=aw kürzester Zeuge für q c q, so ist w kürzester Zeuge für δ(q,a) c δ(q,a) ist w kürzester Zeuge für δ(q,a) c δ(q,a), so ist aw Zeuge für q c q Q 2 ist obere Schranke für die Länge eines Zeugen für q c q von (q,q )єqxq aus landet man nach + Q 2 Schritten in einem Zustandspaar das man schon besucht hat 5 Idee zur erechnung von alle Paare nicht äquivalenter Zustände, die Zeugen der Länge k haben, seien bekannt (p,q) hat Zeugen der Länge k+ falls aєσ : (δ(p,a), δ(q,a)) hat Zeugen der Länge k 6

9 erechnung von erstelle Tabelle aller ungeordneten Zustandspaare {p,p } markiere alle {p,p } mit (pє c und p є) oder (p є c und pє) solange es ein unmarkiertes {p,p } und ein aєσ gibt, so dass {δ(p,a), δ(p,a)} bereits markiert ist, markiere {p,p } bilde maximale Mengen (bzgl. Inklusion) von paarweise unmarkierten (d.h. äquivalenten) Zuständen 7 sp.: erechnung von 8

10 9 sp.: erechnung von einziger akzeptierender Zustand markiere Zeile/Spalte 2 sp.: erechnung von {,} {,} und {,} markiert markiere {,}

11 2 sp.: erechnung von {,} {,} und {,} markiert markiere {,} 22 sp.: erechnung von {,} {,} und {,} markiert markiere {,}

12 23 sp.: erechnung von {,} {,} und {,} markiert markiere {,} 24 sp.: erechnung von

13 25 sp.: erechnung von 26 sp.: erechnung von

14 Zur erechnung von Korrektheit Übung kann in O( Q 2 Σ ) Laufzeit implementiert werden 27