Statistik für Naturwissenschaftler

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1 Hans Walser Statistik für Naturwissenschaftler KVG-Leistungen pro versicherte Person Durchschnitt Schweiz JU TI NE VD GE BS BL 2000 FR SO ZH TG AG BE VS SH SZGL SG 500 OW LU ZG GR UR AR Anzahl Ärzte AI NW pro 0000 Einwohner Regressionsgerade und Korrelation Lernumgebung

2 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation ii Inhalt Messwertpaare... 2 Vertauschte Koordinaten Vertauschte Koordinaten Korrelationskoeffizient Indirekte Proportionalität Messwertpaare Messwertpaare... 8 Messwertpaare Abkühlung Die Fibonacci-Folge... 4 Erdbebenschäden Korrelieren Deutsch und Mathe? Eliteschule Großvaters Lexikon Random und Spearman... 2 last modified: 25. Juli 20

3 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation Messwertpaare Wir bearbeiten die Messwertpaare: i x i y i Gegenüber dem vorangehenden Beispiel ist nur die Reihenfolge der Zahlen y i verändert worden. Ergebnis y x Messwertpaare als Punkte. Regressionsgerade Die Punkte sind nicht mehr die Ecken eines Quadrates. Mittelwerte: x = 5, y = 2 (dieselben Werte wie oben) Empirische Kovarianz: c x,y = Empirische Varianzen: s x 2 = 0 3, s y 2 = 0 3

4 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 2 Steigung der Regressionsgeraden: a = 0.3 Regressionsgerade: y = 0.3x Korrelationskoeffizient: r x,y = 3 = 0.3. Negative Korrelation Vertauschte Koordinaten a) Wir zeichnen die Datenpunkte und die Regressionsgerade zum folgenden Datensatz in das Koordinatensystem. Welche Gleichung hat die Regressionsgerade? Wie groß ist der Korrelationskoeffizient? i x i y i y x Koordinatensystem b) Im folgenden Datensatz sind die Rollen von x und y gegenüber dem Datensatz von a) vertauscht. Wir zeichnen nun die Datenpunkte und die Regressionsgerade zu diesem

5 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 3 Datensatz in das Koordinatensystem. Wie liegen die Datenpunkte im Vergleich zu a)? Was ist für die Regressionsgerade zu erwarten? Welche Gleichung hat die Regressionsgerade tatsächlich? Kommentar? Wie groß ins in b) der Korrelationskoeffizient? i x i y i y Koordinatensystem x

6 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 4 Ergebnis a) Gleichung der Regressionsgeraden: y = 0.25x Korrelationskoeffizient: r xy = 0.5 y x Datenpunkte und Regressionsgerade b) Die Datenpunkte von b) liegen spiegelbildlich (bei Spiegelung an der Geraden y = x ) zu den Datenpunkten von a). Die beiden Regressionsgeraden sind aber nicht spiegelbildlich. Lediglich die Schwerpunkte sind spiegelbildlich. Die Regressionsgerade von b) hat die Gleichung: y = x + 8. Der Korrelationskoeffizient ist auch hier: r xy = 0.5

7 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 5 y Beispiel b) Beispiel a) Beide Beispiele im selben Koordinatensystem Kommentar: Die Regressionsgerade ist asymmetrisch bezüglich x und y definiert. Der Korrelationskoeffizient ist aber symmetrisch definiert. 3 Vertauschte Koordinaten a) Wir zeichnen die Datenpunkte und die Regressionsgerade zum folgenden Datensatz in das Koordinatensystem. Welche Gleichung hat die Regressionsgerade? Wie groß ist der Korrelationskoeffizient? i x i y i x

8 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 6 y x Koordinatensystem b) Im folgenden Datensatz sind die Rollen von x und y gegenüber dem Datensatz von a) vertauscht. Wir zeichnen nun die Datenpunkte und die Regressionsgerade zu diesem Datensatz in das Koordinatensystem. Wie liegen die Datenpunkte im Vergleich zu a)? Was ist für die Regressionsgerade zu erwarten? Welche Gleichung hat die Regressionsgerade tatsächlich? Kommentar? Wie groß ins in b) der Korrelationskoeffizient? i x i y i

9 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 7 y x Koordinatensystem Ergebnis a) Gleichung der Regressionsgeraden: y = 0.5x Korrelationskoeffizient: r xy = 0.5 x Datenpunkte und Regressionsgerade

10 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 8 b) Die Datenpunkte von b) liegen spiegelbildlich (bei Spiegelung an der Geraden y = x ) zu den Datenpunkten von a). Die beiden Regressionsgeraden sind aber nicht spiegelbildlich. Lediglich die Schwerpunkte sind spiegelbildlich. Die Regressionsgerade von b) hat die Gleichung: y = 0.5x Der Korrelationskoeffizient ist auch hier: r xy = 0.5 Beispiel b) Beispiel a) x Beide Beispiele im selben Koordinatensystem Kommentar: Die Regressionsgerade ist asymmetrisch bezüglich x und y definiert. Der Korrelationskoeffizient ist aber symmetrisch definiert. 4 Korrelationskoeffizient Wählen Sie einige Werte für x i und berechnen Sie y i mit einer selbst gewählten linearen Funktion y i = ax i + b. Berechnen Sie anschließend den Korrelationskoeffizienten r x,y. Ergebnis + falls a > 0 r x,y = falls a < 0 Der Wert von b spielt keine Rolle.

11 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 9 Beispiele Beispiel: y i =.2x i x[i] y[i] Korrelationskoeffizient Beispiel: y i =.2x i x[i] y[i] Korrelationskoeffizient - 5 Indirekte Proportionalität Wählen Sie einige Werte für x i und berechnen Sie y i mit einer selbst gewählten gebrochen linearen Funktion von der Form y i = a. Berechnen Sie anschließend den Korrela- x i tionskoeffizienten r x,y. Ergebnis r x,y, ] [ Die Extremwerte ± werden nicht angenommen. Beispiel y i =.2 x i x[i] y[i] Korrelationskoeffizient Wir erhalten nicht den Korrelationskoeffizienten.

12 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 0 6 Messwertpaare Wir bearbeiten die Messwertpaare: i 2 x i 5 y i 3 Wir haben nur noch zwei Punkte. Was heißt das? Ergebnis y Messwertpaare als Punkte. Regressionsgerade Die Regressionsgerade geht exakt durch die beiden Punkte. Der Schwerpunkt ist der Mittelpunkt. Mittelwerte: x = 3, y = 2 Empirische Kovarianz: c x,y = 4 Empirische Varianzen: s x 2 = 8, sy 2 = 2 x

13 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation Steigung der Regressionsgeraden: a = 2 Regressionsgerade: y = 2 x + 2 Korrelationskoeffizient: r x,y = 4 =+. Maximale positive Korrelation Messwertpaare Wir bearbeiten die Messwertpaare: i 2 x i a c y i b d Wir haben nur noch zwei Punkte. Was heißt das? Ergebnis Die Regressionsgerade geht exakt durch die beiden Punkte. Der Schwerpunkt ist der Mittelpunkt. Mittelwerte: x = a+c 2, y = b+d 2 Empirische Kovarianz: c x,y = ab ad bc + cd 2 2 a c) 2 Empirische Varianzen: s x = 2 ( a c ) 2 2, s y = 2 ( b d ) 2. Damit ist: s x = 2 a c, s y = b d. Warum die Betragsstriche? 2 Steigung der Regressionsgeraden: a = b d a c Regressionsgerade: y = b d a c x + ad bc a c 2 a c) ( )( b d ) Korrelationskoeffizient: r x,y = 2 a c 2 b d = a c Maximale positive oder maximale negative Korrelation. a c b d = sgn Vorzeichen (( a c) ( b d) ) =±.

14 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 2 8 Messwertpaare Wir bearbeiten die Messwertpaare: Zeichnung? Regressionsgerade? x[i] y[i] Ergebnis Reihe Schwerpunkt Linear (Reihe) 2 y = x Regressionsgerade Auffallend ist folgendes: Die Punktwolke ist schön symmetrisch, die Symmetrieachse hat die Gleichung y = x. Die Regressionsgerade mit der Gleichung y = 2 x + ist nicht 3 die Symmetrieachse. Dies hängt damit zusammen, dass bei der Berechnung der Regressionsgeraden die beiden Werte x und y unterschiedlich behandelt werden.

15 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 3 9 Abkühlung Bei einem Abkühlungsprozess zeigt das Thermometer zur Zeit x [in sec] die Temperatur y [in C] an: Zeit x Temperatur y Zwischen x und y wird ein Zusammenhang der Form y = ae bx vermutet. Angenommen, wir haben lediglich ein Programm für die lineare Regression vom Typ y = mx + q zur Verfügung. Wie kann das Problem trotzdem gelöst werden? Bearbeitung Aus y = a e bx folgt ln( y)= ln( a)+ bx ; dies ist eine Geradengleichung. Wir können also die y-werte durch ln y ( ) ersetzen und dann mit der linearen Regression arbeiten. Zeit x Temperatur y ln(y) Das gibt dann folgende Situation (die Punkte liegen fast zu genau auf einer Geraden): Lineare Regression

16 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 4 Somit ist b = und ln( a)= , also a = Wir erhalten die Funktion: y = e x Mit Excel kann man das auch direkt machen (Option: exponentielle Trendlinie): Exponentielle Trendlinie 0 Die Fibonacci-Folge Die Fibonacci-Folge ist durch die Startwerte f =, f 2 = und die Rekursion f i +2 = f i + + f i definiert. a) Welches sind die ersten zehn Glieder der Fibonacci-Folge? b) Diagramm i und f i für die ersten zehn Glieder c) Wie korrelieren i und f i für die ersten zehn Glieder? d) Diagramm i und ln( f i ) für die ersten zehn Glieder e) Wie korrelieren i und ln( f i ) für die ersten zehn Glieder f) Wie groß ist der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient für i und f i?

17 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 5 Bearbeitung a) i f i ln( f i ) b) Fibonaccizahl f i Nummer i c) r i, fi = Die ersten zehn Fibonacci-Zahlen

18 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 6 d) ln(f i ) Nummer i Die Logarithmen der ersten zehn Fibonacci-Zahlen e) r i,ln ( fi ) = f) Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient für i und f i ist, da i und f i dieselbe Rangreihenfolge haben. Die Rechnung nach Rezept gibt allerdings etwas weniger, weil wegen f = und f 2 = hier die Ränge gemittelt werden müssen. Es ergibt sich dann: r Spearman = 6 n 2 d n 3 i n i= =

19 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 7 Erdbebenschäden Fiktives Beispiel In einem stark erdbebengefährdeten Gebiet fanden im vergangenen Jahr 8 Erdbeben statt: Nr Stärke (Richterskala) Schäden in Mio $ Korrelieren Stärke und Schadensumme? Bearbeitung Da die Richterskala eine Ordinalskala ist, müssen wir den Rangkorrelationskoeffizienten gemäß Spearman anwenden. Erdbeben Nr Stärke Rang Schäden Rang Rang- (Richterskalaskala Richter- in Mio $ Schaden differenz Differenz^ Summe 0.5 Korrelationskoeffizient nach Spearman 0.825

20 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 8 2 Korrelieren Deutsch und Mathe? Verbale Leistungsbewertung einer Schulklasse in den Fächern Deutsch und Mathematik. Korrelieren die beiden Schulfächer? Nr Deutsch Mathe gut sehr gut 2 sehr gut genügend 3 genügend sehr gut 4 gut genügend 5 gut gut 6 sehr gut gut 7 ungenügend genügend 8 gut sehr gut 9 ungenügend genügend 0 gut genügend gut gut 2 gut gut 3 ungenügend gut 4 ungenügend ungenügend 5 sehr gut sehr gut 6 ungenügend genügend 7 gut sehr gut 8 ungenügend genügend 9 ungenügend ungenügend 20 sehr gut genügend

21 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 9 Ergebnis Die Bewertung erfolgt auf einer Ordinalskala. Wir müssen den Rangkorrelationskoeffizienten gemäß Spearman anwenden. Nr Deutsch Mathe Rang Rang Deutsch Mathe Diff Diff^2 gut sehr gut sehr gut genügend genügend sehr gut gut genügend gut gut sehr gut gut ungenügend genügend gut sehr gut ungenügend genügend gut genügend gut gut gut gut ungenügend gut ungenügend ungenügend sehr gut sehr gut ungenügend genügend gut sehr gut ungenügend genügend ungenügend ungenügend sehr gut genügend Summe Korrelationskoeffizient nach Spearman Die offenbar einseitig begabten SchülerInnen Nr 2 und Nr 20 tragen sehr viel zur Summe der Quadrate der Rangdifferenzen bei und drücken damit den Korrelationskoeffizienten.

22 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 20 3 Eliteschule An einem englischen Elite-College werden für eine Gruppe von 7 Zöglingen die Leistungen in Sport und Musik auf einer Ordinalskala von A bis E wie folgt bewertet: Nr Sport Musik A A 2 E D 3 B D 4 A B 5 B C 6 D A 7 C B Wie korrelieren die Daten? Bearbeitung Die Bewertung erfolgt auf einer Ordinalskala. Wir müssen den Rangkorrelationskoeffizienten gemäß Spearman anwenden. Für den Korrelationskoeffizienten ist es unwesentlich, ob A die beste und E die schlechteste Zensur ist oder umgekehrt. Nr Sport Musik Rang Rang Sport Musik Differenz Differenz^2 A A E D B D A B B C D A C B Summe Korrelationskoeffizient nach Spearman

23 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 2 4 Großvaters Lexikon Großvater hat ein Lexikon in drei Bänden. Leider stehen sie nicht immer in der richtigen Reihenfolge auf dem Buchgestell. Was ist die richtige Reihenfolge? Was ist die falscheste Reihenfolge? Wie groß ist bei einer falschen Reihenfolge der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient, verglichen mit der Reihenfolge, 2, 3? Bearbeitung Für zum Beispiel die Reihenfolge 3,, 2 erhalten wir: Richtige Reihenfolge Falsche Reihenfolge Rangdifferenz Quadrat davon Summe 6 Korrelationskoeffizient nach Spearman -0.5 Für die totale Übersicht ergibt sich: Es gibt 3! = 6 Rangreihenfolgen. Die Korrelationskoeffizienten variieren zwischen + ( richtige Reihenfolge) und - (total verkehrte Reihenfolge). Reihenfolge Rangkorrelationskoeffizient Random und Spearman Generieren sie mit dem Zufallsgenerator zwei Zahlenreihen und berechen den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman. Exemplarische Bearbeitung Wir arbeiten mit Excel und generieren 20 Zufallszahlen: Nummer Zufallszahl

24 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation Dann ordnen wir die Zahlen mitsamt ihrer Nummerierung der Größe nach und nummerieren neu: Nun berechnen wir den Spearman schen Korrelationskoeffizienten zwischen der alten und der neuen Nummerierung. Neue Nummer Alte Nummer Differenz Quadrat Summe 0 6 Für den Spearman schen Korrelationskoeffizienten erhalten wir: 20 r Spearman = 6 2 d n 3 j = n j=

25 Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 23 Die Punktwolke ist wild verteilt: Punktwolke