MATLAB Optimization Toolbox Inhaltsverzeichnis
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- Christoph Baumann
- vor 5 Jahren
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1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 0 Deckblatt: Optimization Toolbox 1 Was ist Optimierung? 2 Behandelte Themen der Optimization TB 3 Darstellung der Funktionen in Matlab 4 Inline Objects 5 Algorithmensteuerung 6 Algorithmensteuerung 7 Nullstellenbestimmung 8 Nullstellenbestimmung Skalare Funktionen 9 Nullstellenbestimmung Skalare Funktionen 10 Nullstellenbestimmung Skalare Funktionen 11 Nullstellenbestimmung Skalare Funktionen 12 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen 13 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen 14 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen 15 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen 16 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen 17 Minimierung ohne Nebenbedingungen 18 Minimierung ohne Nebenbedingungen 19 Minimierung ohne Nebenbedingungen 20 Minimierung ohne Nebenbedingungen 21 Minimierung ohne Nebenbedingungen 22 Minimierung unter Nebenbedingungen 23 Minimierung unter Nebenbedingungen Simulation mit Matlab/Simulink
2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis (Fortsetzung) 24 Minimierung unter Nebenbedingungen 25 Minimierung unter Nebenbedingungen 26 Minimierung unter Nebenbedingungen 27 Minimierung vektorwertiger Funktionen 28 Methode der kleinsten Quadrate Least Squares 29 Least Squares Lineare Verfahren 30 Least Squares Lineare Verfahren 31 Least Squares Lineare Verfahren 32 Least Squares Lineare Verfahren 33 Least Squares Lineare Verfahren 34 Least Squares Nichtlineare Verfahren 35 Least Squares Nichtlineare Verfahren 36 Least Squares Nichtlineare Verfahren 37 Least Squares Nichtlineare Verfahren 38 Optimierung eines Simulink Modells 39 Optimierung eines Simulink Modells 40 Optimierung eines Simulink Modells 41 Optimierung eines Simulink Modells 42 Optimierung eines Simulink Modells Simulation mit Matlab/Simulink
3 MATLAB Optimization Toolbox Simulation mit Matlab/Simulink
4 Was ist Optimierung? Minimierung oder Maximierung von Funktionen Zielfunktionen, die wiederum einzelne Funktionen enthalten können ohne oder mit Nebenbedingungen durch numerische Verfahren Simulation mit Matlab/Simulink 1
5 Behandelte Themen der Optimization TB Algorithmensteuerung Nullstellenbestimmung Lösen von Gleichungssystemen Minimierung ohne Nebenbedingungen Minimierung unter Nebenbedingungen Least Squares (lineare und nichtlineare Verfahren) Optimierung eines Simulink Modells Simulation mit Matlab/Simulink 2
6 Darstellung der Funktionen in Matlab Die zu minimierenden Funktionen werden dargestellt als Matlab Funktionen (m files) function F = funktion1(x) F = x.^2-exp(-x).*cos(3.*x); inline objects (Funktion im Workspace abgelegt) funktion1 = inline( x.^2-exp(-x).*cos(3.*x), x ); Simulation mit Matlab/Simulink 3
7 Inline Objects Inline Objects können wie Funktionen benutzt werden werden nicht auf Festplatte gespeichert, sondern im Workspace abgelegt erhalten Eingabewerte und liefern Funktionswerte zurück Definition durch funktion = inline( ausdruck, var1, var2 ) Simulation mit Matlab/Simulink 4
8 Algorithmensteuerung Beeinflussung der Algorithmen der Optimization TB durch eine Structure Variable mit gleichen Feldern für alle Algorithmen Nicht alle Felder sind für alle Algorithmen relevant Hilfe konsultieren Leere Struktur erzeugen: optimset bzw. options=optimset Simulation mit Matlab/Simulink 5
9 Algorithmensteuerung Einzelne Felder verändern: options=optimset(oldopts, TolX,1e-6, MaxIter,30) options=optimset(options, TolX,1e-6, MaxIter,30) Einzelne Felder abfragen: tol=optimget(options, TolX ) oder tol=options.tolx Variable mit Standardwerten vorbelegen: options = optimset(@befehlsname) Simulation mit Matlab/Simulink 6
10 Nullstellenbestimmung Unterprobleme der Optimierung führen oft auf Nullstellensuche (Nullsetzen von Gradienten) Lösen von nichtlinearen Gleichungen läßt sich immer auf eine Nullstellensuche zurückführen tan x = 0.5x tan x 0.5x = 0 Lösen von Gleichungssystemen Simulation mit Matlab/Simulink 7
11 Nullstellenbestimmung Skalare Funktionen Begriff der Nullstelle ist physikalisch motiviert, d.h. nur reellwertige Nullstellen werden berechnet an der Nullstelle muß ein Vorzeichenwechsel auftreten Berechnung in Matlab: nullst = fzero(@funktion,x0,options) oder [nullst fwert] = fzero(@funktion,x0,options) Simulation mit Matlab/Simulink 8
12 Nullstellenbestimmung Skalare Funktionen funktion: skalarwertige m Funktion oder inline object x0: Anfangswert (skalar) oder Suchintervall (Vektor) options: Struktur zur Algorithmensteuerung [nullst fwert]: Nullstelle und zugehöriger Funktionswert Simulation mit Matlab/Simulink 9
13 Nullstellenbestimmung Skalare Funktionen Beispiel f(x) = x 6 + x 5 3x 4 x 2 6x funktion1.m 10 f(x) x Simulation mit Matlab/Simulink 10
14 Nullstellenbestimmung Skalare Funktionen Berechnungsgenauigkeit verändern: options = optimset(@fzero) options = optimset(options, TolX,1e-3) Vereinfachung bei Polynomen: poly=[ ] nullst = roots(poly) Bei roots werden auch komplexe Nullstellen berechnet. Simulation mit Matlab/Simulink 11
15 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen Lineare Gleichungssysteme die eindeutig bestimmt sind sie besitzen genau eine oder keine Lösung Ax = b Lösung durch: x = A\b Simulation mit Matlab/Simulink 12
16 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen Nichtlineare Gleichungssysteme können keine, eine oder mehrere Lösungen besitzen Darstellung durch eine vektorwertige Funktion F(x) = 0 Lösung durch: [x fval exitflag]=fsolve(@funktion,x0,options) Simulation mit Matlab/Simulink 13
17 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen Bezeichnungen: x0: Startwert für Optimierungsalgorithmus x: Lösungsvektor fval: zugehöriger Funktionswert exitflag: > 0: es wurde eine Lösung gefunden = 0: maximale Anzahl an Iterationen erreicht < 0: es wurde keine Lösung gefunden Simulation mit Matlab/Simulink 14
18 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen Einstellungen mittels options Algorithmenauswahl Auswahl des Suchverfahrens Toleranzen für maximale und minimale Änderungen maximale Anzahl an Iterationen Verwendung der Jacobi Matrix u.v.m. Simulation mit Matlab/Simulink 15
19 Nullstellenbestimmung Vektorwertige Funktionen Effizienzsteigerung durch Verwendung der Jacobi Matrix Verringerung der Zahl der Funktionsauswertungen J ij = F i x j options.jacobian auf on setzen funktion muß zusätzlich zum Funktionswert die Jacobi Matrix zurückliefern function [F, J] = funktion4(x) F = [x(1)^2-3*x(2) + exp(-x(1)), sin(x(1)) + x(2) - exp(-x(2))]; J = [ 2*x(1)-exp(-x(1)), -3; cos(x(1)), 1+exp(-x(2)) ]; Simulation mit Matlab/Simulink 16
20 Minimierung ohne Nebenbedingungen Minimierung einer Funktion einer Variablen fminbnd liefert lokales Minimum im Bereich x 1 < x < x 2 Langsame Konvergenz bei einem Minimum an den Intervallgrenzen fminsearch auch für unstetige Funktionen anwendbar Simulation mit Matlab/Simulink 17
21 Minimierung ohne Nebenbedingungen Beispiel: f(x) = 0.5x 3 x 2 x + exp(0.1x) funktion5.m 2 f(x) x Simulation mit Matlab/Simulink 18
22 Minimierung ohne Nebenbedingungen Minimierung einer Funktion mehrerer Variablen Large Scale (mit Gradientenangabe) oder Medium Scale (numerische Gradientenberechnung) möglich hier nur Medium Scale x0 ist der Anfangswert der Optimierungsroutine (Vektor) für die lokale Minimumsuche Simulation mit Matlab/Simulink 19
23 Minimierung ohne Nebenbedingungen Angabe einer Output-Funktion möglich (bei den meisten Algorithmen der Optimization TB) Wird bei jedem Iterationsschritt aufgerufen Parameterübergaben finden auch an diese Funktion statt Aktivierung durch Setzen der Option OutputFcn auf die gewünschte Funktion Simulation mit Matlab/Simulink 20
24 Minimierung ohne Nebenbedingungen Beispiel: f(x 1, x 2 ) = 2x x4 2 2x2 1 2x sin(x 1x 2 ) 10 Zielfunktion f(x 1,x 2 ) x x 1 Simulation mit Matlab/Simulink 21
25 Minimierung unter Nebenbedingungen Minimierung skalarer Funktionen mehrerer Variablen unter Nebenbedingungen Unterscheidung zwischen linearen Gleichungs und Ungleichungsnebenbedingungen: A,b,Aeq,beq und nichtlinearen Gleichungs und Ungleichungsnebenbedingungen: nonlcon Simulation mit Matlab/Simulink 22
26 Minimierung unter Nebenbedingungen Problemformulierung min x f(x) unter den Nebenbedingungen c(x) 0 nichtlineare UNB c eq (x) = 0 nichtlineare GNB A x b lineare UNB A eq x = b eq lineare GNB lb x ub Unter und Obergrenze Simulation mit Matlab/Simulink 23
27 Minimierung unter Nebenbedingungen lineare NB werden durch Angabe der Matrizen spezifiziert nichtlineare NB werden als m File spezifiziert (Reihenfolge beachten!) % Nichtlineare Nebenbedingungen function [c, ceq] = nonlcon(x) c =... % nichtlineare Ungleichungs NB ceq =... % nichtlineare Gleichungs NB Simulation mit Matlab/Simulink 24
28 Minimierung unter Nebenbedingungen Beispiel 1 f(x 1, x 2 ) = 2x x4 2 2x2 1 2x sin(x 1x 2 ) nichtlineare GNB: (x 1 0.5) 2 + x 2 2 = 1 f(x 1,x 2 ) Zielfunktion f(x 1,x 2 ) 5 0 Gleichungs NB 5 1 x x x x 1 Simulation mit Matlab/Simulink 25
29 Minimierung unter Nebenbedingungen Beispiel 2 f(x 1, x 2 ) = 2x x4 2 2x2 1 2x sin(x 1x 2 ) lineare UNB: x 1 x 2 und x 2 1 Ungleichungs NB A = x B b = x 1 Simulation mit Matlab/Simulink 26
30 Minimierung vektorwertiger Funktionen Goal Attainment Problem Minimax Problem Methode der kleinsten Quadrate (Least Squares) Simulation mit Matlab/Simulink 27
31 Methode der kleinsten Quadrate Least Squares Ziel: Minimierung einer quadratischen Fehlersumme Lineare und nichtlineare Varianten Mit und ohne Nebenbedingungen Curve Fitting als spezielle Anwendung Simulation mit Matlab/Simulink 28
32 Least Squares Lineare Verfahren Überbestimmte lineare Gleichungssysteme C x = d C x d = 0 C IR n m mit n > m keine Lösung Auffassung als Minimierungsproblem: min x C x d 2 2 Mit F(x) = (C x d) folgt: min x n i=1 F i (x) 2 Berechnung in Matlab: x = C \ d Simulation mit Matlab/Simulink 29
33 Least Squares Lineare Verfahren Beispiel: Ausgleichspolynom Eingangsdaten u = [u 1... u n ], Messdaten y = [y 1... y n ] Ausgleichspolynom y i = a 0 + a 1 u i + a 2 u 2 i +...+a mu m i Gleichungssystem: C = 1 u 1 u 2 1 um 1 1 u 2 u 2 2 um u n u 2 n u m n x = a 0 a 1. a m d = y 1 y 2. y n Alternative Lösung mittels polyfit Simulation mit Matlab/Simulink 30
34 Least Squares Lineare Verfahren Nonnegative Least Squares min x C x d 2 2 für x 0 Least Squares Verfahren mit UNB Existenz mehrerer Minima möglich Berechnung in Matlab: [x,resnorm] = lsqnonneg(c,d,x0,options) Simulation mit Matlab/Simulink 31
35 Least Squares Lineare Verfahren Least Squares mit Nebenbedingungen Problemstellung: min x C x d 2 2 Unter den Nebenbedingungen A x b lb x ub A eq x = b eq Berechnung in Matlab: [x,resnorm] = lsqlin(c,d,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options) Simulation mit Matlab/Simulink 32
36 Least Squares Lineare Verfahren Beispiel Eingangsdaten u = [u 1... u n ], Meßdaten y = [y 1... y n ] Ausgleichspolynom y i = a 0 + a 1 u i + a 2 u 2 i +...+a mu m i Gleichungsnebenbedingung: x 1 + x 2 = 3 A eq = [ ] b eq = 3 Simulation mit Matlab/Simulink 33
37 Least Squares Nichtlineare Verfahren Beliebige Ausgleichsfunktion Nichtlineares Curve Fitting Problemstellung: min x F(x,x data ) y data 2 2 = = min x n i=1 ( F(x,xdata,i ) y data,i ) 2 x data und y data sind Meßwertepaare x enthält die Parameter der nichtlinearen Ausgleichsfunktion Simulation mit Matlab/Simulink 34
38 Least Squares Nichtlineare Verfahren Matlab Befehl: lb,ub,options) Funktionsdefinition, z.b. abklingende exp Funktion: F = K exp( x/t) % Funktionsdefinition fuer lsqcurvefit function F = funktion(x, xdata) F = x(1).* exp(-xdata./ x(2)) ; Simulation mit Matlab/Simulink 35
39 Least Squares Nichtlineare Verfahren Beispiel zu lsqcurvefit Annäherung einer abklingenden Sinusschwingung an eine Meßdatenreihe: 2 y(t) Näherungsfunktion: y(t) = K e t/t sin(ωt) Zeit [s] Simulation mit Matlab/Simulink 36
40 Least Squares Nichtlineare Verfahren Allgemeine nichtlineare MKQ Problemstellung: Minimierung einer vektorwertigen Funktion F(x) Matlab Befehl: min F(x) 2 x 2 = min x n i=1 F i (x) 2 [x,resnorm] = lsqnonlin(@funktion,x0,lb,ub,options) funktion: vektorwertige Funktion Simulation mit Matlab/Simulink 37
41 Optimierung eines Simulink Modells Anwendung der nichtlinearen MKQ Optimierung der Reglerparameter des Simulink Modells Anregung durch Sprungfunktion Minimierung der quadratischen Abweichung zwischen Soll und Istwert Jeder Iterationsschritt von Simulink ist eine Komponente einer nichtlinearen vektorwertigen Funktion Simulation mit Matlab/Simulink 38
42 Optimierung eines Simulink Modells Simulink Modell 1 reference PID PID Controller u Plant y 1 yout 1 u Saturation Rate Limiter 4 s 3+2.5s 2+3s+4.6 Plant 1 y Simulation mit Matlab/Simulink 39
43 Optimierung eines Simulink Modells Vektorwertige Funktion Konstanter Sollwert: y ref = 1 Anzahl der Abtastschritte = Dimension der Funktion: y i = y(t i ) Funktion: F(x) = y 1 (x) y ref y 2 (x) y ref. y n (x) y ref Simulation mit Matlab/Simulink 40
44 Optimierung eines Simulink Modells Funktionsdefinition in Matlab Argumente sind die Reglerparameter K p, K I und K d Optionen des Simulink Modells setzen Simulation von der Matlab Funktion aus starten Berechnung der Abweichungen vom Sollwert Simulation mit Matlab/Simulink 41
45 Optimierung eines Simulink Modells Optimierungsergebnis ungeregelt mit optimiertem Regler yout yout t [s] t [s] Simulation mit Matlab/Simulink 42
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