Schätzung von Überlebensraten

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1 107 Wegener BM/2/UebermA/q Dienstag :10:24 Deskriptive Statistik Eine der wichtigsten Größen zur Beschreibung des Verlaufs lebensbedrohlicher Erkrankungen ist die Überlebenszeit bzw. die nach erfolgreicher Behandlung erreichte krankheitsfreie (Überlebens)Zeit. Für alle Individuen einer Patientengruppe, für die eine Überlebenszeitschätzung vorgenommen werden soll, muss ein definierter Anfangszeitpunkt (z.b. Datum der Diagnosestellung, der ersten Operation, etc.) bekannt und ein bestimmtes Zielereignis (z.b. Tod, Rezidiv, Metastase, etc.) definiert und prinzipiell erreichbar sein. Fälle, bei denen das Zielereignis (noch) nicht eingetreten ist, werden als zensiert bezeichnet. Für diese ist zwar die tatsächliche Zeitdauer (noch) nicht bekannt, aber es ist natürlich klar, dass sie mindestens gleich der entsprechenden Beobachtungsdauer ist. Da zumeist nicht abgewartet werden kann, bis bei allen Individuen das Zielereignis eingetreten ist, muss eine Schätzung auf der Basis der zum Zeitpunkt der Auswertung bekannten Zeiten erfolgen, wobei auch die in den zensierten Fällen enthaltene Information genutzt werden sollte. 1

2 Alfons Abel Berta Bebel Clemens Cibel Dora Dobel Emil Eubel Frieda Fröbel Gustav Gabel Henriette Hebel Ingo Ibel Julia Jubel

3 Alfons Abel 2.50 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Emil Eubel 0.92 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 3

4 Verfahren Es werden normalerweise zwei Verfahren zur Schätzung von Überlebensbzw. Ausfallzeiten angewendet. Die von Cutler und Ederer angegebene Methode errechnet die Ausfallrate auf der Basis fester Zeitintervalle, während der von Kaplan und Meier beschriebene Algorithmus die Berechnung der Überlebenskurve zu jedem Zeitpunkt eines Zielereignisses vornimmt. Das führt im Vergleich insbesondere dann zu einer genaueren Schätzung, wenn im erstgenannten Verfahren die Intervalle relativ groß gewählt werden. Sind jedoch insbesondere Ausfallraten für feste Zeitintervalle (z.b. für die Schätzung des Rezidivrisikos im 1., 2., 3., etc. Jahr nach erfolgreicher Behandlung) gefragt, so zeichnet sich erstere Methode durch sehr einfache Berechenbarkeit aus. 4

5 Verfahren nach Cutler und Ederer Dieses Verfahren teilt zunächst die zu betrachtende Zeitspanne in (gleichlange) Intervalle auf. Für jedes Intervall i werden nun die folgenden Größen berechnet: m i Mittelpunkt des Intervalls i. r i Anzahl der Individuen, die zu Beginn des Intervalls i unter dem Risiko standen, das Zielereignis zu erleben (bzw. zu erleiden). d i Anzahl der Zielereignisse im Intervall i. c i Anzahl der zensierten Fälle, d.h. derjenigen Individuen, deren Beobachtung im Intervall i endet, ohne dass das Zielereignis erreicht wurde. n i Mittlere Anzahl der Fälle, die über das gesamte Intervall i unter dem Risiko standen, das Zielereignis zu erleben (bzw. zu erleiden), wobei vorausgesetzt wird, dass die Zeiten der zensierten Fälle im Intervall i gleichverteilt sind. n i = r i - c i 2 5 n i = r i - c i

6 Verfahren nach Cutler und Ederer p i q i Wahrscheinlichkeit, im Intervall i das Zielereignis zu erleben (bzw. zu erleiden), unter der Voraussetzung, den Beginn dieses Intervalls erlebt zu haben. p i = d i n i (Bedingte) Wahrscheinlichkeit, im Intervall i das Zielereignis nicht zu erleben (bzw. zu erleiden). q i = 1 - p i s i (Kumulative) Wahrscheinlichkeit, das Zielereignis bis zur Mitte des Intervalls i nicht erlebt (bzw. erlitten) zu haben. s i = s i-1 q i e i Standardfehler von s i. 6 p i = d i

7 Alfons Abel 2.50 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Emil Eubel 0.92 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 7

8 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i n i = r i - c i 2 n 1 = r 1 - c 1 2 = = n 1 = r 1 - c 1 = 10-1 = 9.5

9 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i p i = d i n i p 1 = d 1 n 1 = = p 1 = d 1 = 1 = 0.105

10 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i q i = 1 - p i q 1 = 1 - p 1 = =

11 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i s i = s i-1 q i (s 0 = 1) s 1 = s 0 q 1 = =

12 Alfons Abel 2.50 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Emil Eubel 0.92 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 12

13 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i n i = r i - c i 2 n 2 = r 2 - c 2 2 = = n 2 = r 2 - c 2 = 8-0 = 8.0

14 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i p i = d i n i p 2 = d 2 n 2 = = p 2 = d 2 = 0 = 0.000

15 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i q i = 1 - p i q 2 = 1 - p 2 = =

16 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i s i = s i-1 q i (s 0 = 1) s 2 = s 1 q 2 = =

17 Alfons Abel 2.50 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Emil Eubel 0.92 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 17

18 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i n i = r i - c i 2 n 3 = r 3 - c 3 2 = = n 3 = r 3 - c 3 = 8-2 = 7.0

19 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i p i = d i n i p 3 = d 3 n 3 = = p 3 = d 3 = 3 = 0.429

20 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i q i = 1 - p i q 3 = 1 - p 3 = =

21 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i s i = s i-1 q i (s 0 = 1) s 3 = s 2 q 3 = =

22 Alfons Abel 2.50 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Emil Eubel 0.92 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 22

23 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i n i = r i - c i 2 n 4 = r 4 - c 4 2 = = n 4 = r 4 - c 4 = 3-3 = 1.5

24 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i p i = d i n i p 4 = d 4 n 4 = = p 4 = d 4 = 0 = 0.000

25 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i q i = 1 - p i q 4 = 1 - p 4 = =

26 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i s i = s i-1 q i (s 0 = 1) s 4 = s 3 q 4 = =

27 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i

28 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr 100 Anteil Überlebende in % 50 ABC-Patienten (10/4) Überlebenszeit in Jahren 28

29 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr 100 Anteil Überlebende in % 50 ABC-Patienten (10/4) Überlebenszeit in Jahren 29

30 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein Jahr 100 Anteil Überlebende in % 50 ABC-Patienten (10/4) Überlebenszeit in Jahren 30

31 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein halbes Jahr i m i r i d i c i n i p i q i s i

32 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein halbes Jahr 100 Anteil Überlebende in % 50 ABC-Patienten (10/4) Überlebenszeit in Jahren 32

33 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein halbes Jahr 100 Anteil Überlebende in % 50 ABC-Patienten (10/4) Überlebenszeit in Jahren 33

34 Verfahren nach Cutler und Ederer Intervallbreite: Ein halbes Jahr 100 Anteil Überlebende in % 50 ABC-Patienten (10/4) Überlebenszeit in Jahren 34

35 Verfahren nach Kaplan und Meier Die zu betrachtenden n Fälle sind zunächst nach den angegebenen Zeitdauern zu ordnen, so dass 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < t k für die k Zeitpunkte gilt, zu denen jeweils terminale Ereignisse eingetreten sind. Für jedes so festgelegte Intervall j werden nun folgende Größen berechnet: n j Anzahl der im Intervall von t j-1 bis t j unter Risiko stehenden Fälle. c j Anzahl der von t j-1 bis t j zensierten Fälle. d j Anzahl der Fälle, für die zum Zeitpunkt t j das Zielereignis eingetreten ist. h j Die Ausfallwahrscheinlichkeit im Intervall j. p j = d j n j 35 p j = d j

36 Verfahren nach Kaplan und Meier u j Die Überlebensrate im Intervall j. u j = 1 - h j f j Wert der Schätzfunktion für die kumulative Überlebensrate. f j = f j-1 u j e j Standardfehler von f j. 36

37 Emil Eubel 0.92 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Alfons Abel 2.50 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 37

38 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j h j = d j n j h 1 = d 1 n 1 = 1 10 = h 1 = d 1 = 1 = 0.100

39 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j u j = 1 - h j u 1 = 1 - h 1 = =

40 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j f j = f j-1 u j (f 0 = 1) f 1 = f 0 u 1 = =

41 Emil Eubel 0.92 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Alfons Abel 2.50 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 41

42 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j h j = d j n j h 2 = d 2 n 2 = 1 9 = h 2 = d 2 = 1 = 0.111

43 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j u j = 1 - h j u 2 = 1 - h 2 = =

44 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j f j = f j-1 u j (f 0 = 1) f 2 = f 1 u 2 = =

45 Emil Eubel 0.92 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Alfons Abel 2.50 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 45

46 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j h j = d j n j h 3 = d 3 n 3 = 1 7 = h 3 = d 3 = 1 = 0.143

47 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j u j = 1 - h j u 3 = 1 - h 3 = =

48 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j f j = f j-1 u j (f 0 = 1) f 3 = f 2 u 3 = =

49 Emil Eubel 0.92 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Alfons Abel 2.50 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 49

50 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j h j = d j n j h 4 = d 4 n 4 = 1 5 = h 4 = d 4 = 1 = 0.200

51 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j u j = 1 - h j u 4 = 1 - h 4 = =

52 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j f j = f j-1 u j (f 0 = 1) f 4 = f 3 u 4 = =

53 Emil Eubel 0.92 Jahre Berta Bebel 0.93 Jahre Henriette Hebel 2.13 Jahre Clemens Cibel 2.26 Jahre Alfons Abel 2.50 Jahre Ingo Ibel 2.71 Jahre Julia Jubel 2.89 Jahre Dora Dobel 3.31 Jahre Frieda Fröbel 3.47 Jahre Gustav Gabel 3.67 Jahre Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 53

54 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j h j = d j n j h 5 = d 5 n 5 = 0 3 = h 5 = d 5 = 0 = 0.000

55 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j u j = 1 - h j u 5 = 1 - h 5 = =

56 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j f j = f j-1 u j (f 0 = 1) f 5 = f 4 u 5 = =

57 Verfahren nach Kaplan und Meier j t j n j d j c j h j u j f j

58 Verfahren nach Kaplan und Meier 100 Anteil Überlebende in % 50 ABC-Patienten (10/4) Überlebenszeit in Jahren 58

59 Vergleich der beiden Verfahren 100 Anteil Überlebende in % 50 ABC-Patienten (10/4) ABC-Patienten (10/4) ABC-Patienten (10/4) Überlebenszeit in Jahren 59

60 Verfahren nach Kaplan und Meier 100 Beispiel: Omas und Opas Anteil Überlebende in % 50 0 Omas und Opas (38/26) Lebenszeit in Jahren 60

61 Verfahren nach Kaplan und Meier 100 Beispiel: Omas und Opas Anteil Überlebende in % 50 0 Omas und Opas (38/26) Lebenszeit in Jahren 61

62 Verfahren nach Kaplan und Meier 100 Beispiel: Omas und Opas Anteil Überlebende in % 50 Omas und Opas (38/26) Lebenszeit in Jahren 62

63 Verfahren nach Kaplan und Meier 100 Beispiel: Omas und Opas Anteil Überlebende in % 50 Opas (19/13) 0 Omas (19/13) Lebenszeit in Jahren 63

64 Verfahren nach Kaplan und Meier 100 Beispiel: Luftanhalten bis zum Rotwerden Anteil nicht Rotgewordene in % 50 Luftanhalter (66/32) Luftanhaltezeit in Sekunden 64

65 Verfahren nach Kaplan und Meier 100 Beispiel: Luftanhalten bis zum Rotwerden Anteil nicht Rotgewordene in % 50 Luftanhalterinnen (33/19) Luftanhalter (33/13) Luftanhaltezeit in Sekunden 65

66 Literatur Originalartikel [1] Cutler, S.J. ; Ederer, F.: Maximum Utilization of the Life Table Method in Analyzing Survival. J.Chron.Dis., Vol. 8 (12/1958), No. 6, [2] Kaplan, E.L. ; Meier, P.: Nonparametric Estimation from Incomplete Observations. J.Amer.Statist.Assoc., 53 (1958), p

67 Literatur Lehrbücher [3] Bland, Martin: An Introduction to Medical Statistics. Second Edition. Oxford : Oxford University Press, ISBN [4] Cox, D.R. ; Oakes, D.: Analysis of Survival Data. London : Chapman and Hall, (Monographs on Statistics and Applied Probability). - ISBN X [5] Harris, Eugene K. ; Albert, Adelin: Survivorship Analysis for Clinical Studies. New York : Dekker, (Statistics: Textbooks and Monographs ; Vol. 114). - ISBN [6] Kalbfleisch, J.D. ; Prentice, R.L.: The Statistical Analysis of Survival Time Data. New York : Wiley, ISBN