Differentialgeometrie: Grundlagen Miniskript Sommer Tim Hoffmann

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1 Differentialgeometrie: Grundlagen Miniskript Sommer 2011 Tim Hoffmann

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Name of the game Einige Anwendungen Kurven in R Definitionen Bogenlänge und Umparametrisierung Umparametrisierung Parametrisierung nach Bogenlänge Krümmung Hauptsatz Neue Kurven aus alten I: Evolvente und Evolute Neue Kurven aus alten II: Traktrix und Darboux-Transformation Vier-Scheitel-Satz Raumkurven Spezielle Rahmen im R Frenetrahmen Normalenbündel, Paralleltransport und parallele Rahmen Flächen im R Etwas Topologie Flächen Tangentialraum Die 1. Fundamentalform Flächeninhalt Krümmung: Gaußkrümmung I Normalkrümmung und Weingartenoperator Theorema Egregium: Gaußkrümmung II

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5 Preface Dieses Skript umfasst im wesentlichen die handschriftlichen Vorlesungsvorbereitungen von mir in getexter Form. Zu einem nicht unwesentlichen Teil ist es auch eine angepasste Version des Miniskripts zu dieser Vorlesung aus den letzten beiden Jahren (welche wiederum auf einem entsprechenden Miniskript einer vierstündigen Differentialgeometrievorlesung beruht, die ich im Winter 2006 hier an der Technischen Universität München gehalten habe). Das Skript dient nach wie vor in erster Linie meiner Vorlesungsvorbereitung. Für mit Sicherheit vorhandene inhaltliche und formale Fehler wird keinerlei Haftung übernommen. Mein Dank an alle, die mit Hinweisen und Korrekturen geholfen haben (und helfen), diesen Text zu verbessern. Literatur Antonio Ros, Sebastian Montiel (Übersetzer), Curves And Surfaces (Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society (2006) ISBN: M. P. do Carmo Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg Studium W. Kühnel, Differentialgeometrie Vieweg 1999 b.z.w. Differential geometry Curves Surfaces Manifolds AMS 2002 Differentialgeometrie Skript von D. Ferus 5

6 6 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 1 1 Einleitung 1.1 Motivation Name of the game Geometer bezeichnet klassisch einen Landvermesser (heute ist eher Geodät gebräuchlich 1 ). Die klassische Differentialgeometrie war zunächst die Beschreibung geometrischer Objekte mit Methoden der Analysis. Punkte, Kurven und Flächen kann man im euklidischen Raum (R n ) durch kartesische Koordinaten beschreiben. Zur Koodinatisierung von komplizierteren Mengen benutzt man Abblidungen (Karten) die die Mengen lokal auf ein Stück R n abbilden. Abstrahiert man dieses Konzept, kommt man zum Studium der Mannigfaltigkeiten. Wir werden uns zunächst mit Kurven in R 2 und R 3 und danach mit Fächentheorie beschäftigen. Wie so oft in der Mathematik ist es auch in der Differentialgeometrie ein Hauptanliegen, Invarianten der untersuchten Objekte innerhalb des betrachteten Rahmens zu finden. Eine gewichtige Rolle wird hier der Krümmungsbegriff einnehmen. In seiner als Erlanger Programm bekannt gewordenen Antrittsvorlesung (1872) hat Felix Klein gezeigt, wie man euklidische und die diversen nichteuklidischen Geometrien vereinheitlicht behandeln kann, wenn man sie als Invariantentheorie verschiedener (Transformations)Gruppenoperationen versteht. Bemerkung. Eine der größeren Schwächen der Differentialgeometrie ist der Mangel an konsistenter Notation. Es gibt mehr verschiedene Notationen als Bücher und die allermeisten sind in einer Weise nicht konsistent, die die Lesbarkeit für Eingeweihte erhöht, für Anfänger jedoch deutlich reduziert Einige Anwendungen Einige Beispiele, die den Nutzen differentialgeometrischer Methoden veranschaulichen können, seien hier vorangestellt. Einige werden im Laufe der Vorlesung präziser gefasst, mögen aber schon jetzt einen Eindruck vermitteln, wohin die Reise geht. Kurven: Klothoide im Strassenbau: Wie plant man eine Straße mit Kurve? Eine intuitive Vorstellung von 1 In der Differentialgeometrie werden mit Geodäten bisweilen aber auch Geodätische bezeichnet: lokal kürzeste Kurven auf einer Mannigfaltigkeit 6

7 Vorlesung 1 Differentialgeometrie: Grundlagen 7 Krümmung hat man mit dem Einschlag des Lenkers beim Fahrradfahren. Hält man den Lenker konstant (und nicht zentriert) fährt man im Kreis. Wie baut man nun eine Straße die um die Kurve gehen soll? die naheliegende Idee auf das gerade Stücke ein Stück Kreisbogen folgen zu lassen ist nicht praktisch und sogar gefährlich: Wollte man so einer Linie folgen, muss man den Lenker ruckartig bewegen. Idealerweise sollte die Lenkbewegung stetig sein. Zum Einsatz kommen hier Klothoiden Kurven, deren Krümmung linear ist. Wie man sie erzeugt, werden wir in Beispiel 2.5 sehen. Flächen: Minimalflächen, Flächen im Industriedesign. Differenzierbare Flächen sind in vielen Bereichen wichtig. Neben klassischen Beispielen wie Minimalflächen (Flächen mit minimaler Oberfläche bei gegebenem Rand), die Anwendungen in der Biologie und Physik genauso wie in der Architektur haben (das Dach des Münchener Opympiastadions möge als Beispiel herhalten), spielen sie auch in der Modellierung für Design und Computergraphik eine Rolle. 7

8 8 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 1 So ist die Differenzierbarkeitsordnung bis zu einer gewissen Ordnung eine sichtbar Eigenschaft von Oberflächen, was sich zum Beispiel in den Reflektionslinien von Karosserien zeigt (Früher wurden Modelle in der Automobilentwicklung mit Leuchtstoffröhren abgeleuchtet um Designschwächen aufzudecken, heute simuliert man das mit Raytracern im Computer). Oberflächen werden in der Computergraphik meist als Spline oder Subdivisionflächen realisiert. Mannigfaltigkeiten: Eines der großen klassischen Anwendungsgebiete der Differentialgeometrie in der Physik ist sicherlich die Allgemeine Relativitätstheorie, die die Gravitation in einer Raumzeit durch die Krümmung des Raumes modelliert. Symplektische Geometrie bildet die Grundlage moderner Beschreibungen der Klassischen Mechanik und dynamischer Systeme. 2 Kurven in R 2 Man kann den Begriff einer Kurve auf verschiedene Weise einführen: Als Menge von Punkten, die eine gewisse Eigenschaft teilen (eine Ellipse kann man als Menge der Punkte definieren, deren Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten einen festen Wert hat) E = {p R 2 p c 1 + p c 2 = c} mit c 1, c 2 R 2, c > 0 oder als Spur eines Punktes unter einer Bewegung (eine Ellipse kann man als geschlossenen Orbit eines Himmelskörpers um ein Zentralgestirn erhalten) E(t) = 1 (cos t, sin t). 2 + cos t Die zweite Art hat Vorteile nicht nur wenn die Kurve sich z. B. selbst schneidet sondern auch im Hinblick auf unsere weiteren Untersuchungen. 8

9 Vorlesung 1 Differentialgeometrie: Grundlagen 9 Trotzdem ist man zunächst an geometrischen Eigenschaften der Punktmenge interessiert. Genauer an Eigenschaften die invariant sind unter (eigentlichen) euklidischen Bewegungen: Die Isometrien des R n sind die affinen Abbildungen des R n, deren linearer Teil orthogonal ist: E : R n R n, E(v) = Av + w für alle v R n mit w R n und AA T = Id (also A O(n)). Ist die Isometrie orientierungserhaltend (d.h. ist A SO(n)) so heißt sie (eigentliche) euklidische Bewegung, sonst uneigentlich. Wir werden falls nicht anders angemerkt unter differenzierbar bzw. glatt immer C differenzierbar verstehen. 2.1 Definitionen Definition Sei I ein offenes (evtl unbeschränktes) Intervall. Eine differenzierbare Abbildung γ : I R n heißt Kurve. 2. Der Vektor γ(t) = ( d dt γ 1(t),..., d dt γ n(t) ) heißt Tangentialvektor von γ in t. Die Menge γ(i) wird auch als Spur von γ bezeichnet. Einige Bemerkungen zu dieser Defnintion: Bemerkenswert ist, das die Differenzierbarkeit der Vektorfunktion γ nicht bedeutet, dass die Spur von γ glatt ist. Die Kurve γ(t) = (t 3, t 2 ) hat beispielsweise einen Knick in t = 0: Man beachte hier, das γ an der fraglichen Stelle offenbar verschwindet. Es ist für eine Kurve durchaus erlaubt, sich selbst zu schneiden: Betrachte γ : I R 2, γ(t) = (t 3 4t, t 2 4): 9

10 10 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung Die Spur einer injektiven Kurve muß nicht notwendig die Topologie eines Intervalls haben, wie das Folium Descartes γ : ( 1, ) R 2, γ(t) = 1 1+t 3 (3t, 3t 2 ) zeigt: Was wir hier Kurve nennen wird bisweilen auch als parametrisierte Kurve bezeichet, um zu betonen, das die Abbildung und nicht ihre Spur betrachtet wird: zwei verschiedene Kurven können ja durchaus dieselbe Spur besitzen. Was eine geschlossene Kurve ist ist anschaulich sicher klar. Man kann sie sich als eine glatte Abbildung vom Einheitskreis in die Ebene (oder den R n ) beschreiben. Da wir aber Kurven als Abbildungen von einem Intervall betrachten, behelfen wir uns mit dem Begriff der periodischen Kurve: Definition 2.2 Eine Kurve γ : I R n heißt periodisch mit Periode p R +, falls I = R und γ(t + p) = γ(t) für alle t R gilt. Beispiel 2.1 (Lissajous Kurven) Die Kurven γ : R R 2 mit γ(t) = (a cos(ω 1 t δ 1 ), b sin(ω 2 t δ 2 )) heißen Lissajous Kurven. Sie sind genau dann periodisch, wenn ω 1 /ω 2 rational ist. Man kann sie als die Kurven eines idealen Harmonographen (bei dem die beiden Pendel keiner Dämpfung unterliegen) auffassen. 10

11 Vorlesung 1 Differentialgeometrie: Grundlagen 11 Definition 2.3 Eine Kurve γ : I R 2 heißt regulär, falls ihr Tangentialvektor nirgends verschwindet. Punkte t I mit γ(t) = 0 heißen singulär, solche mit γ(t) 0 regulär. γ heißt stückweise regulär, falls γ nur endlich viele singuläre Punkte hat. Beispiel 2.2 Ein Kreis mit Radius 1 rolle (schlupffrei) auf der x-achse. Gesucht ist die Kurve γ, die ein Punkt auf dem Kreis beschreibt und ein maximales Intervall, auf dem γ regulär ist. Man kann γ über den Rotationswinkel parametrisieren: Dann gilt γ(t) = (t, 1) (sin t, cos t) γ(t) = (1, 0) (cos t, sin t) und die singulären Punkte von γ sind bei k2π, k Z. Also ist γ auf jedem Intervall (k2π, (k + 1)2π) regulär. Die Kurve γ heißt Zykloide. 11

12 12 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung Bogenlänge und Umparametrisierung Als erste Invariante einer Kurve betrachten wir ihre Bogenlänge. Anschaulich sollte das die Länge eines Fadens sein mit dem man die Kurve nachlegen kann. Definition 2.4 Sei γ : I R 2 eine (stückweise) reguläre Kurve und [a, b] I. Dann heißt L a,b (γ) = b a γ(t) dt die Länge (oder Bogenlänge) von γ auf [a, b]. Falls I unbeschränkt ist und die entsprechenden Integrale existieren, erklärt man sinngemäß auch L, (γ) etc. Beispiel 2.3 (Logarithmische Spirale) Die Kurve γ : R R 2 = C, γ(t) = ae (i b)t, a, b > 0 heißt logarithmische Spirale. Für ihre Bogenlänge auf [0, x] gilt L 0,x (γ) = x 0 a(i b)e (i b)t dt = a i b Insbesondere ist L o, (γ) = a i b b. x 0 e bt dt = a i b (1 e bx ). b Die Länge einer Kurve L(γ) hat also erstmal nichts mit der Länge des Parameterbereichs I zu tun. Bemerkung. [nicht rektifizierbare Kurven] Um die Länge einer Kurve zu erklären braucht man i. a. mindestens C 1. Als Gegenbeispiel für eine nur stetige Kurve, für die man keine Bogenlänge erklären kann, kann die Koch Kurve 12

13 Vorlesung 2 Differentialgeometrie: Grundlagen 13 herhalten. Im Falle differenzierbarer (aber nicht stetig differenzierbarer) Kurven kann man { (t, t γ(t) = 2 sin( 1)), t 0 t 0, t = 0 auf einem Intervall, das 0 enthält, betrachten 2 : Das folgende Lemma zeigt, dass die Definition der Bogenlänge als Grenzfall der Länge von der Kurve einbeschriebenen Polygonen verstanden werden kann. Lemma 2.5 Sei γ : I R n eine reguläre Kurve und [a, b] I. Dann existiert für jedes ɛ > 0 ein δ > 0 so dass für jede Zerlegung Σ = {a = t 0, t 1,..., t m+1 = b} von [a, b] mit max i t i+1 t i < δ gilt: m L a,b(γ) γ(t i+1 ) γ(t i ) < ɛ i=0 Beweis. Sei ɛ > 0. Mit γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t),..., γ n (t)), setze f : I n R, f(x 1,..., x n ) = k γ k(x k ) 2 (insbesondere ist also f(t,..., t) = γ(t) ). Offenbar ist f auf [a, b] n gleichmäßig stetig. Also gibt es ein δ > 0 so das für alle x k, x k [a, b] mit x k x k < δ und k {1,..., n} f(x 1,..., x n ) f( x 1,..., x n ) < ɛ b a folgt. Sei nun Σ eine Zerlegung mit max i t i+1 t i < δ. Dann existiert nach Mittelwertsatz für γ k auf [t i, t i+1 ] ein ξ k,i [t i, t i+1 ] mit γ k (t i+1 ) γ k (t i ) = γ k (ξ k,i )(t i+1 t i ) 2 Für die Ableitung einer differenzierbaren Funktion gilt ein Zwischenwertsatz. Ist sie nicht stetig, kann sie also nicht einfach eine Sprungstelle haben. Eine Funktion, die in 0 nicht stetig ist, aber nicht, weil links- und rechtsseitige Grenzwerte nicht übereinstimmen ist f 0 (x) = sin(1/x) für x 0 und f 0 (0) = 0. Skaliert man sie mit x zu f 1 (x) = xf 0 (x) erhält man eine Funktion, die zwar in 0 stetig, aber nicht differenzierbar ist. Skaliert man noch einmal mit x zu f 2 (x) = xf 1 (x) = x 2 f 0 (x), so hat man eine Funktion, die in 0 zwar differenzierbar, aber deren Ableitung nicht stetig ist (die Ableitung, weg von der 0 enthält cos(1/x)). Der Graph dieser Funktion ist unser Gegenbeispiel. 13

14 14 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 2 Andererseits gilt nach Mittelwertsatz der Integralrechnung ti+1 t i γ(t) dt = γ(η i ) (t i+1 t i ) = f(η i,..., η i )(t i+1 t i ) für ein η i [t i, t i+1 ]. Da nach Wahl von Σ t i+1 t i < δ ist gilt ξ k,i η i < δ und also f(η i,..., η i ) f(ξ 1,i,..., ξ n,i ) < ɛ b a Zusammen gilt somit b γ(t) dt γ(t i+1 ) γ(t i ) a = ti+1 γ(t) dt γ(t i+1 ) γ(t i ) i i t i = = (f(η i,..., η i ) f(ξ 1,i,..., ξ n,i ))(t i+1 t i ) < ɛ t i+1 t i = ɛ b a i Bemerkung. Die Bogenlänge einer Kurve ist invariant unter euklidischen Bewegungen: Sei γ : I R n reguläre Kurve, [a, b] I und T : R n R n euklidische Bewegung. Dann gilt für γ = T γ, T (v) = Av + b, A SO(n), b R n. L a,b ( γ) = b a γ(t) dt = b Umparametrisierung a b A γ(t), A γ(t) dt = γ(t) dt = L a,b (γ) Definition 2.6 Seien I, J Intervalle in R, φ : J I Diffeomorphismus 3 und γ : I R 2 Kurve. Dann ist δ : J R 2, δ = γ φ eine neue Kurve mit gleicher Spur wie γ (γ(i) = δ(j)). δ heißt Umparametrisierung von γ. Ist γ regulär, so auch δ. Eine Umparametrisierung heißt orientierungserhaltend, falls φ > 0 ist. Lemma 2.7 Ist δ eine Umparametrisierung von γ wie oben und ist [a, b] J, so ist L a,b (δ) = L φ(a),φ(b) (γ). Beweis. Unter den Voraussetzungen des Lemmas gilt: b L a,b (δ) = γ φ(t) φ(t) φ(b) dt = γ(u) du = L φ(a),φ(b)(γ). a Man beachte, dass φ > 0 oder φ < 0 gelten muss, da φ Diffeomorphismus ist. 3 Ein Diffeomorphismus ist eine glatte invertierbare Abbildung mit glatter Umkehrabbildung. 14 φ(a) a i

15 Vorlesung 2 Differentialgeometrie: Grundlagen Parametrisierung nach Bogenlänge Sei γ : I R 2 reguläre Kurve, t 0 I. Dann ist s : I R, s(t) = L t0,t(γ) die Bogenlängenfunktion von γ. s ist monoton und stetig differenzierbar, also invertierbar und ein Diffeomorphismus von I J = s(i). Setze φ : J I, φ = s 1. Dann gilt für δ = γ φ: δ = ( γ φ) φ 1 = ( γ φ) ṡ φ = 1 Definition 2.8 Eine Kurve γ : I R 2 heißt nach Bogenlänge parametrisiert, falls γ 1. Offenbar gilt für eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve γ Wir haben bereits gezeigt: L a,b (γ) = b a. Satz 2.9 Jede reguläre Kurve kann nach Bogenlänge umparametrisiert werden. Man beachte jedoch, das die Parametrisierung nach der Bogenlänge nicht eindeutig ist: Zu zwei Kurven γ und δ, die beide nach der Bogenlänge parametrisiert sind und orientierungserhaltende Umparametrisierungen von einander sind, gibt es ein t R so das γ(s) = δ(s + t) ist. Wir werden im folgenden die Notationen d ds = 1 d ds dt dt und γ (s) = d γ(s) für die Ableitung nach der Bogenlänge von parametrisierten Kurven ds benutzen. 15

16 16 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung Krümmung Wir wollen nun den Begriff der Krümmung für eine reguläre Kurve einführen. Die meisten Menschen haben wohl eine anschauliche Vorstellung von Krümmung. Eins Straße krümmt sich, wenn man den Lenker oder das Lenkrad einschlagen muss, eine Gerade ist nicht gekrümmt, ein Kreis hat überall die gleiche Krümmung. Anschaulich sollte also ein Kreis vom Radius r überall konstante Krümmung haben und eine kleinere Krümmung je größer der Radius r ist. Wir könnten also also die Krümmung eines Kreises mir Radius r als κ = 1/r definieren. In der Tat werden wir das tuen. Damit hätten wir schon mal einen Krümmungsbegriff für zwei der einfachsten Kurven, die man finden kann: Geraden und Kreise. Wie verallgemeinert man das aber auf allgemeine (ebene) Kurven? Die Idee wird sein, neues auf bekanntes zurück zu führen und die Krümmung einer Kurve in einem Punkt, als die Krümmung des in diesem Punkt bestapproximierenden Kreises zu erklären. Um das analytisch ordentlich zu fassen, benötigen wir noch zwei Begriffe: Definition 2.10 Sei γ : I R 2 reguläre Kurve. Dann heißt T = γ = Einheitstangentialvektor, die Gerade ( r γ(t) ) + rt (t) Tangente von γ in t 0 1 und N(t) = it (t) = JT (t) mit J = die Normale von γ in t. 1 0 γ γ γ N T Beispiel 2.4 Betrachte den (positiv orientierten) Kreis mit Mittelpunkt c R 2 und Radius r. δ : R R 2, δ(t) = c + r(cos(t), sin(t)). Es gilt δ(t) = r( sin(t), cos(t)). D. h. δ ist nach Bogenlänge parametrisiert, genau dann, wenn r = 1 ist und die Normale von δ in t N(t) = ( cos(t), sin(t)) zeigt immer in Richtung von c δ(t). Bemerkung. Offenbar gilt T N ( T, N = 0) und N = 1. Ferner ist die Tangente von γ in t 0 die bestapproximierende Gerade durch γ(t 0 ) an γ: γ(t) (γ(t 0 ) + (t t 0 )α) lim t t 0 t t 0 16 = γ(t 0 ) α

17 Vorlesung 3 Differentialgeometrie: Grundlagen 17 Also verschwindet die Differenz von γ zu einer Geraden durch t 0 genau dann von 1. Ordnung, wenn die Richtung der Geraden α ein Vielfaches von T (t 0 ) ist. Betrachtet man jetzt Kreise durch γ(t 0 ), so approximieren alle von ihnen, die in γ(t 0 ) die gleiche Tangente, wie γ haben, die Kurve γ ebenfalls 1. Ordnung. Der bestapproximierende Kreis sollte also von 2. Ordnung approximieren. Seinen Radius wollen wir jetzt bestimmen. Sei γ : I R 2 eine allgemeine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Es gelte γ (s 0 ) 0. Wir suchen den bestapproximierenden Kreis durch γ(s o ). Man betrachtet dazu Kreise durch γ(s 0 ) und γ(s) mit gleichem Einheitstangentialvektor wie γ in s 0. Das stellt sicher, das die Kreise γ in γ(s 0 ) zumindest von 1. Ordnung approximieren. Nun gilt für den Winkel φ zwischen der Normalen N(s 0 ) und γ(s) γ(s 0 ) und für den Radius r des Kreises (sofern wir den Radius negativ messen, falls der Kreis in negativem Drehsinn durchlaufen wird): cos φ = N(s 0 ), γ(s) γ(s 0 ) = γ(s) γ(s 0) γ(s) γ(s 0 ) 2r Mit der Taylorentwicklung von γ(s) in s 0 γ(s) = γ(s 0 ) + γ (s 0 )(s s 0 ) + γ (s 0 ) (s s 2 0 ) 2 + o(s s 0 ) 3 ergibt sich γ(s) γ(s 0 ) 2 = N(s 0 ), γ (s 0 ) (s s 0 ) 2 + o(s s 0 ) 3 2r 2 17

18 18 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 3 Teilt man beide Seiten durch (s s 0 ) 2 und nimmt den Limes s s 0 erhält man schließlich für den Radius des bestapproximierenden Kreises: N(s 0 ), γ (s 0 ) = 1 r γ (s 0 ) 2 = 1 r Man beachte, das der Radius hier vorzeichenbehaftet ist. Definition 2.11 Sei γ : I R 2 eine bogenlängenparametrisierte Kurve und sei s I. Dann heißt κ(s) = N(s), γ (s) = N(s), T (s) die Krümmung von γ in s. Ist κ(s) 0, so heißt der Kreis mit Radius r = 1/κ(s) mit Mittelpunkt γ(s) + rn(s) Schmiegkreis oder Krümmungskreis von γ in s. Er berührt γ in γ(s). Sein Mittelpunkt wird auch Krümmungsmittelpunkt genannt. Bemerkung. Die Krümmung einer Kurve ist invariant unter orientierungserhaltenden Umparametrisierungen und euklidischen Bewegungen. Ersteres ist offensichtlich, da die Definition der Krümmung über die Bogenlängenparametrisierung gegeben ist, zweiteres folgt aus der Tatsache, das gegeben eine euklidische Bewegung E(v) = Av + b für eine Kurve γ und ihre Transformierte δ = E γ gilt T δ = AT γ, T δ = AT γ und N δ = AN γ (einfach ein- bzw. zweimal ableiten). Also ist κ δ = N δ, T δ = AN γ, AT γ = Nγ, T γ = κγ (man beachte das A othogonal ist). Bemerkung. [kinematische Interpretation] Sei γ : I R 2 Kurve, t I. γ(t) heißt Geschwindigkeitsvektor, γ(t) Geschwindigkeit, γ(t) Beschleunigung und γ (t) Krümmungsvektor von γ in t. Ist γ nach der Bogenlänge parametrisiert, so ist die Beschleunigung gleich dem Krümmungsvektor und γ hat nur Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung. Bemerkung. Wenn κ 0, so ist γ(i) in einer Geraden enthalten (Übung). Ist κ konstant aber ungleich Null, so ist γ(i) in einem Kreis enthalten: Betrachte die Mittelpunkte der Krümmungskreise c(s) = γ(s) + rn(s) und ihre Ableitung c (s) = γ (s)+rn (s). Da für die Normale N(s), N(s) = 1 gilt folgt N(s), N (s) = 0. Also ist N parallel zu T. Andererseits ist N(s), T (s) = 0 also N (s), T (s) = N(s), T (s) = κ(s). Da in unserem Fall κ(s) = 1/r gilt folgt c (s) = T (s) T (s) = 0. Also fallen alle Krümmungskreise zusammen und da für jedes t der Punkt γ(t) in dem Krümmungskreis bei t liegt, ist γ(i) in diesem Kreis enthalten. Bemerkung. Für eine Kurve γ in allgemeiner Parametrisierung kann man die Krümmung wie folgt berechnen (Beweis in der Übung): κ(t) = det( γ, γ) γ 3 18

19 Vorlesung 4 Differentialgeometrie: Grundlagen 19 Bemerkung. Generisch schneidet eine Kurve ihre Krümmungskreise im Berührpunkt, d. h. sie liegt lokal auf einer Seite im Inneren des Kreises und auf der anderen außerhalb. Das die Kurve lokal ganz auf einer Seite des Krümmungskreises liegt, passiert nur, wenn die Krümmung dort ein lokales Extremum hat. Definition 2.12 Stellen lokaler Extrema der Krümmung einer Kurve heißen Scheitel der Kurve. 2.4 Hauptsatz Satz 2.13 (Hauptsatz) Sei I R ein offenes Intervall und κ : I R eine differenzierbare Funktion. Dann existierte eine bis auf euklidische Bewegungen eindeutige bogenlängenparametrisierte Kurve γ : I R 2, die κ als Krümmung besitzt. Beweis. Sei κ : I R gegeben, s 0 I. Existenz: Definiere θ : I R durch θ(s) = s s 0 κ(t) dt und setze T (s) = e iθ(s). Offenbat hat T (s) Länge 1 und es gilt T (s) = κ(s)it (s) also ist it (s), T (s) = κ(s). Nun kann man γ(s) als Integral über T (s) erklären: s ( s s ) γ(s) = T (t) dt = cos(θ(t)) dt, sin(θ(t)) dt. s 0 s 0 s 0 Eindeutigkeit: Sei nun δ : I R 2 eine weitere bogenlängenparametrisierte Kurve, deren Krümmung ebenfalls κ sei. Wir zeigen, das sich δ von γ nur um eine euklidische Bewegung unterscheidet. Sei A = SO(2) die orthogonale Abbildung, die die (positiv orientierte) ON Basis (δ, Jδ ) auf (γ, Jγ ) abbildet und sei d = γ(s 0 ) Aδ(s 0 ). Setze M(x) = Ax + d und γ = Mδ. 19

20 20 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 4 Betrachte nun f(s) = 1 2 ( γ (s) γ (s) 2 + J γ (s) Jγ (s) 2 ). Dann ist d f(s) = κj γ(s) κjγ(s), ds γ (s) γ (s) κ γ(s) κγ(s), J γ (s) Jγ (s) = 0 und f(s 0 ) = 0. Also f = 0 und γ γ = 0. Weiter ist aber γ(s 0 ) γ(s 0 ) = 0 und wegen d γ(s) ds γ(s) 2 = 2 γ (s) γ (s), γ(s) γ(s) = 0 folgt γ = γ. Bemerkung. Es genügt Integrierbarkeit für die Krümmungsfunktion zu fordern. Die Kurve ist dann mindestens 2 mal differenzierbar. Das folgende Beispiel zeigt, das auch einfache Vorgaben zu Ergebnissen führen können, die nicht mehr durch elementare Funktionen darstellbar sind. Beispiel 2.5 (Klothoide) Gesucht ist eine bogenlängenparametrisierte Kurve γ : R R 2 mit linearer Krümmung κ(s) = as, a 0. Dem Hauptsatz folgend setzt man an: γ(s) = s s 0 e aiσ2 /2 dσ und erhält im wesentlichen die imaginäre Errorfunktion: 1 i ( 2 π Erfi 1+i ) 2 a s γ(s) = a 2.5 Neue Kurven aus alten I: Evolvente und Evolute Definition 2.14 Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve und s 0 I. δ : I R 2, δ(s) = γ(s) + (s o s)γ (s) heißt Evolvente von γ. 20

21 Vorlesung 4 Differentialgeometrie: Grundlagen 21 Bemerkung. δ entsteht durch Abwickeln von γ. δ ist nicht eindeutig. Die Wahl von s 0 gibt eine ein-parameter-familie von Evolventen. Es gilt δ, γ = γ γ + (s 0 s)γ, γ = 0. δ schneidet also die Tangen von γ senkrecht. Beispiel 2.6 Kreisevolvente (Übung). Definition 2.15 Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve mit Krümmung κ 0. Die Spur der Krümmungskreismittelpunkte η : I R 2, heißt Evolute von γ. η(t) = γ(t) + 1 κ(t) Jγ (t) Bemerkung. η ist tangential an die Normalen von γ. 21

22 22 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 4 Beispiel 2.7 Die Evolute der Zykloide. Die Zykloide ist gegeben durch: γ(t) = (t sin(t), 1 cos(t)) (vergl. Beispiel 2.2). Für die Ableitungen gilt: γ(t) = (1 cos(t), sin(t)) γ(t) = (sin(t), cos(t)) det( γ(t), γ(t)) = cos(t) 1. Benutzt man die Formel für die Krümmung in allgemeiner Parametrisierung erhält man für η: γ(t) 2 η(t) = γ(t) + i γ(t) = (t sin(t + π), 1 cos(t + π)) det( γ(t), γ(t)) Die Evolute der Zykloide ist also wieder eine (translatierte) Zykloide. Man beachte jedoch, das wir hier eine stetige Fortsetzung der Kurve genommen haben, da die Zykloide ja nicht regulär, ihre Evolute also nicht überall erklärt ist. Satz 2.16 Die Evolute einer Evolvente einer Kurve γ ist wieder die ursprüngliche Kurve γ. 22

23 Vorlesung 4 Differentialgeometrie: Grundlagen 23 Beweis. Sei γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve, s 0 I. Setze δ(t) = γ(t) + (s 0 s)γ (t) und η(t) = δ(t) + 1 κ δ (t) Jδ (t). Für δ gilt: δ = γ γ + (s 0 s)jκγ und δ = (s 0 s)κ 2 γ + ((s 0 s) κ κ) Jγ Weiter ist det( δ, δ) = κ 3 (s 0 s) 2, also κ δ = sign κ/ s 0 s. Damit folgt η = γ(s) + (s 0 s)γ + s 0 s (s sign κ i2 0 s)κγ s 0 s κ = γ 23

24 24 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung Neue Kurven aus alten II: Traktrix und Darboux- Transformation Definition 2.17 Sei γ : I R 2 reguläre Kurve, t 0 I, p R 2. Die Kurve τ : I R 2, die gegeben ist durch 1. τ(t 0 ) = p 2. τ γ = const 3. τ (τ γ) heißt (allgemeine) Traktrix zur Leitkurve γ. Man kann sich die Traktrix wie folgt vorstellen: Bewegt man das Vorderrad eines Fahrrades auf der Kurve γ, so bewegt sich das Hinterrad auf einer Traktrix von γ. Bemerkung. Die Parallelität bedeutet τ = λ(τ γ). Wir berechnen λ. Es gilt d dt τ γ 2 = 0 τ γ, τ γ = 0. Damit erhält man λ(τ γ) γ, τ γ = 0 λ τ γ, τ γ = γ, τ γ. Das ergibt für λ γ, τ γ λ = τ γ 2 und man erhält als Differentialgleichung für τ τ = γ, τ γ (τ γ). τ γ 2 Als die Traktrix bezeichnet man meist die Traktrix einer Geraden (siehe Übung). Bemerkung. Die Traktrix einer Kurve ist i. a. nicht regulär. Definition 2.18 Sei γ : I R 2 reguläre Kurve τ : I R 2 Traktrix von γ. Dann heißt γ : U R 2 mit Darboux-Transformierte von γ. γ := γ + 2(τ γ) = 2τ γ Lemma 2.19 Ist γ nach Bogenlänge parametrisiert, so ist jede Darboux- Transformierte γ wieder nach Bogenlänge parametrisiert (also insbesondere regulär). 24

25 Vorlesung 5 Differentialgeometrie: Grundlagen 25 Beweis. Sie γ : I R 2 bogenlängenparametrisierte Kurve und γ : I R 2 Darboux-Transformierte von γ. Es gilt dann für v = 1/2( γ γ), v = const, v d (γ + v) und v v. Nun ist dt γ 2 = γ, γ = γ + 2v, γ + 2v = = γ, γ + 4 γ, v + 4 v, v = γ + v, v = 1 Bemerkung. Wir betrachten für einen Moment Deformationen einer bogenlängenparametrisierten Kurve γ. Ist s der Kurvenparameter, so haben wir jetzt einen zweiten t für die Deformation γ(s, t) (und γ(s) = γ(s, t)). Die Deformation möge glatt sein, dann können wir in Deformationsrichtung ableiten. Die Ableitung beschreiben wir als eine Linearkombination von γ und iγ : γ = d γ = dt (α+iβ)γ. Verlangt man, dass die Bogenlänge der Kurve unter den Deformationen erhalten bleibt, so übersetzt sich das in eine Bedingung an die reellen Funktionen α und β: 0 = d dt γ, γ = 2 (α + iβ )γ + (α + iβ)κiγ, γ = (α iβ). Im Prinzip kann man also β frei wählen und erhält α durch Integration von α = κβ. Das Ergebnis wird aber in aller Regel nicht lokal von γ abhängen. Wir können aber z.b. β = 0 und damit α = const wählen. Dann ist γ = αγ. Die Deformation ist also eine Umparametrisierung γ(s, t) = γ(s + αt). Die nächste lokal bescreibbare Lösung ist β = κ und damit α = 1 2 κ2. Jetzt ist γ = ( 1 2 κ + iκ)γ. Hier ist besonders interessant, wie sich die Krümmung ändert. Man kann ausrechnen, das κ = κ κ2 κ ist. Diese Gleichung heißt modifizierte Korteweg-DeVries-Gleichung (kurz mkdv-gleichung). Das ist eine bekannte Solitonengleichung. 25

26 26 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 5 Die oben betrachtete Darbouxtransformation hat die Eigenschaft mit unsere Bogenlängenerhaltenden Deformationen zu vertauschen (erst deformieren und dann transformieren ist das gleiche, wie erst transformieren und dann deformieren.) Man kann also mit der Darbouxtransformation aus bekannten Lösungen der mkdv Gleichung neue erzeugen. 2.7 Vier-Scheitel-Satz Mit Ausnahme des Hauptsatzes, waren alle unsere bisherigen Betrachtungen ebener Kurven lokaler Natur. Jetzt wollen wir wenigstens einen prominenten Satz aus der globalen Kurventheorie betrachten. Es geht jetzt also nicht mehr um Eigenschaften einer Kurve in der Umgebung eines Punktes, sondern um Aussagen, die wir über die Kurve als ganzes treffen können. Zunächst benötigen wir aber noch zwei Begriffe. Definition 2.20 Eine periodische Kurve γ mit Periode p > 0 heißt einfach geschlossen, falls γ(t) γ(t + x) für alle x ]0, p[ und t R. Definition 2.21 Eine einfach geschlossene reguläre Kurve γ mit Periode p heißt konvex, wenn für alle t 1, t 2 [0, p], t 1 t 2 gilt: T (t 1 ) = T (t 2 ) impliziert T ist konstant auf [t 1, t 2 ] oder auf [t 2, p + t 1 ]. Bemerkung. Normalerweise würde man die Konvexität definieren, in dem Man sagt, dass für alle t 0 und t 1 die Verbindungsstrecke zwischen γ(t 0 ) und γ(t 1 ) ganz im Inneren von γ liegt. Da wir jedoch nicht das Innere einer einfach geschlossenen Kurve definiert haben ist die obige äquivalente Definition praktischer. Satz 2.22 (Vier-Scheitel-Satz) Eine einfach geschlossene reguläre Kurve (mit Periode p) in der Ebene hat mindestens vier Scheitel (auf ihrem Periodizitätsbereich ]0, p]). Wir werden diesen Satz hier nur unter der Zusatzannahme der Konvexität der Kurve beweisen: Beweis. (konvexer Fall) Wir schreiben γ(s) = (x(s), y(s)). Ist κ konstant, so verschwindet seine Ableitung dort und wir haben unendlich viele Scheitel. Wir nehmen also an κ sei nicht konstant. Als stetige Funktion nimmt es auf [0, p] Maximum und Minimum an. κ habe also ein Minimum in s 0 und ein Maximum in s 1. Ohne Einschränkung können wir zusätzlich s 0 = 0 annehmen. κ nimmt jetzt auf [0, s 1 ] positive und auf [s 1, p] negative Werte an. Wechselt das Vorzeichen in einem der beiden Intervalle ein weiteres Mal, so muss es das sogar zwei mal tun und κ hat vier Nullstellen, κ also vier 26

27 Vorlesung 5 Differentialgeometrie: Grundlagen 27 Scheitel. Wir nehmen also an, das κ das Vorzeichen auf den beiden Intervallen nicht ändert, also κ [0,s1 ] 0 und κ [s1,p] 0 gilt. Wir können weiter annehmen, das γ(0) = 0 und y(s 1 ) = 0 ist. Wechselt nun y auf [0, s 1 ] (bzw. auf [s 1, p]) das Vorzeichen, so ist y an mindestens 3 Stellen 0 und nach Satz von Rolle gibt es 3 Stellen, an denen y verschwindet. Dort hat γ einen zur x-achse parallelen Einheitstangentialvektor T. Zwei von den drei parallelen Vektoren müssen dann aber gleich sein und da γ konvex ist, ist T dann auf einem ganzen Intervall konstant; also auch κ und wir haben wieder unendlich viele Scheitel. Wir nehmen also an, das y auf beiden Intervallen das Vorzeichen nicht wechselt. Ist es gleich, so hat y in 0 und p lokale Extrema (also verschwindende Ableitung) und zusammen mit dem Satz von Rolle erhalten wir wieder vier Punkte an denen die Tangente von γ parallel zur x-achse ist. Wieder liefert die Konvexität von γ unendlich viele Scheitel. Wir nehmen also an, das y genau wie κ nur genau in 0 und p das Vorzeichen wechselt. Dann wechselt aber y(s)κ (s) nirgends das Vorzeichen. Es gilt aber (x(s), y(s) ) = γ (s) = κ(s)jγ (s) = κ( y (s), x (s)) und also x (s) = κ(s)y (s). Damit ist p 0 y(s)κ (s) ds = (y(s)κ(s)) p 0 p 0 y (s)κ(s) ds = p 0 x (s) ds = x (s) p 0 = 0. Da der Integrand links das Vorzeichen nicht wechselt muss er identisch verschwinden. Also gilt κ 0. Widerspruch. Bemerkung. Da die Krümmung eine stetige Funktion ist, kann eine ebene Kurve nicht weniger als zwei Scheitel haben. 27

28 28 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 6 3 Raumkurven Die folgenden Begriffe kann man direkt aus der Theorie der ebenen Kurven übernehmen: Kurve: γ : I R n Regularität ( γ 0) Länge L a,b (γ), Bogenlängenparametrisierung Tangente und Einheitstangentialvektor T. Beispiel 3.1 Die Kurve γ : R R 3, γ(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) heißt Helix Für ebene Kurven hatten wir die Normale als N = JT = Jγ eingeführt und Krümmung durch γ = κjγ erklärt. Das geht im R n, n > 2 nicht mehr. Was man aber verallgemeinern kann ist die Tatsache, das (T, N) (positiv orientierte) Orthonormalbasis vom R 2 ist. Im folgenden werden wir die kanonischen Basisvektoren des R n mit e k, k = 1,..., n bezeichnen. Definition 3.1 Sei γ : I R n reguläre Kurve mit Einheitstangentialvektor T = d ds γ. 28

29 Vorlesung 6 Differentialgeometrie: Grundlagen 29 Ein (orthonormaler) Rahmen ist eine C -Abbildung F : I SO(n) mit F e 1 = T. Das Paar (γ, F ) heißt gerahmte Kurve. Die Matrix A gegeben durch d ds F = F = F A heißt Ableitungsmatrix von F. Wir werden jetzt einige Eigenschaften von A herleiten. Sei F = (F 1,..., F n ) Rahmen von γ : I R n. d ds F i = F Ae i = a ji F j. Die Einträge von A sind also die Koeffizienten der Darstellung von F i bezüglich der F j. Wir betrachten jetzt zu s o I Γ(s) = F 1 (s 0 )F (s). Γ ist Kurve in R n2 durch Id bei s 0. Nun folgt aus det(γ(s)) 1 0 = d ds det(γ) s 0 = det(e 1,..., d ds Γ i,..., e n ) = Spur A(s 0 ) und genauso impliziert ΓΓ T = Id 0 = d ds ΓΓT + Γ d ds ΓT = A + A T. Also ist A schiefsymmetrisch. Allgemeiner hat man Lemma 3.2 Gilt F = F A so folgt (det F ) = det F Spur A. Beweis. (det F ) = det(f 1,..., F i,..., F n ) = det(f 1,..., k a kif i,..., F n ) = det(f1,..., a ii F i,..., F n ) = det F Spur A. Definition 3.3 Wir definieren die Matrixalgebren so(n) := {A Mat(n, R) A T = A} und sl(n) = {A Mat(n, R) Spur A = 0}. Beispiel 3.2 Im Fall von R 2 gibt es keine Wahl: Sei γ : I R 2 regulär. Dann ist F = (T, N) Rahmen und es gilt A = ( 0 κ κ 0 ). 29

30 30 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 6 Beispiel 3.3 Für die Helix γ : I R 3, γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), a, b 0 ist das folgende F ein Rahmen: a sin t cos t b sin t c c F = a cos t sin t b cos t c c b a 0 c c mit c = γ(t). Die Ableitungsmatrix ist gegeben durch: 0 a 0 c A = 2 a 0 b c 2 c 2 b 0 0 c 2 denn cf = F = a cos t sin t b cos t c c a sin t cos t b sin t c c Satz 3.4 (Hauptsatz) Sei I R offenes Intervall und A : I so(n) glatt. Dann existiert eine bis auf euklidische Bewegungen eindeutige bogenlängenparametrisierte gerahmte Kurve (γ, F ) : I R n SO(n) mit F = F A. Zum Beweis benötigen wir noch einige Lemmata: Satz 3.5 (Spezialfall von Picard-Lindelöf) Sei A : [a, b] gl(n) = R n2 differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 gl(n). Dann existiert eine eindeutig bestimmte glatte Abbildung F : [a, b] gl(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A. Was wir noch zeigen müssen ist, das falls A : [a, b] so(n) so ist F : [a, b] SO(n). Lemma 3.6 Ist A : [a, b] sl(n) differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 SL(n) und F : [a, b] gl(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A, so ist F : [a, b] SL(n). Beweis. Für F wie in den Voraussetzungen gilt (det F ) = det F Spur A = 0. Also ist det F = const = det F 0 = 1. Lemma 3.7 Ist A : [a, b] so(n) differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 O(n) und F : [a, b] gl(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A, so ist F : [a, b] O(n). Beweis. (F F T ) = F F T + F F T = F AF T + F A T F T = F (A + A T )F T = 0. Also ist F F T = const = F 0 F0 T = Id. Zusammen folgt 30

31 Vorlesung 6 Differentialgeometrie: Grundlagen 31 Lemma 3.8 Ist A : [a, b] so(n) differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 SO(n) und F : [a, b] gl(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A, so ist F : [a, b] SO(n). Beweis. [vom Hauptsatz] Sei A : [a, b] so(n) differenzierbar, t 0 [a, b], F 0 SO(n) dann existiert für jedes [a, b] I mit t 0 [a, b] ein eindeutiges F : [a, b] SO(n) mit F (t 0 ) = F 0 und F = F A. Ausschöpfen von I liefert dann F : I SO(n). Setzt man weiter γ : I R n durch γ(s) = s t 0 F 1 (t) dt dann ist (γ, F ) die gesuchte gerahmte Kurve. Sei nun ( γ, F ) eine weitere Lösung. Dann folgt aus (F F 1 ) = F (A F 1 F A) F 1 = 0 das F F 1 = B SO(n) konstant ist. Weiter ist nun (γ B γ) = γ F F 1 γ = F 1 F e 1 = 0. Also ist γ = B γ c für ein c R n. 31

32 32 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 7 Bemerkung. Sind F und F zwei Rahmen ein und derselben Kurve γ, so unterscheiden sie sich um eine Drehung B = F 1 F, die γ fix lässt. 3.1 Spezielle Rahmen im R 3 Die Ableitungsmatrix für einen Rahmen F im R 3 hat die allgemeine Form 0 κ 1 κ 2 A = κ 1 0 τ κ 2 τ 0 und τ heißt die Torsion des Rahmens Frenetrahmen Sei γ : I R 3 bogenlangenparametrisierte Kurve. Ein ( Rahmen mit κ 2 ) = 0 heißt Frenetrahmen. Ist γ(s) 0 für alle s I, so ist γ, γ γ γ γ γ = (T, N, B) ein Frenetrahmen von γ. Beispiel 3.4 Der vorher gegebene Rahmen der Helix ist ein Frenetrahmen. Bemerkung. Nicht jede Kurve hat einen Frenetrahmen: (t, 0, e 1 t ), t > 0 γ(t) = (0, 0, 0), t = 0. (t, e 1 t, 0), t < 0 Bemerkung. Sind alle Komponenten von γ reell analytisch (d. h. man kann γ als Potenzreihe entwickeln), so besitzt γ einen Frenetrahmen. Bemerkung. Ist γ nicht bogenlängenparametrisiert, so kann man die Krümmung κ = κ 1 und Torsion wie folgt berechnen: κ = τ = γ γ γ 3 det( γ, γ,... γ) γ γ 2. Man beachte, das die Krümmung, anders als im eben Fall, nicht mehr vorzeichenbehaftet, sondern immer nicht-negativ ist. Die Torsion kann das Vorzeichen wechseln. Definition 3.9 Sei γ Kurve mit Frenetrahmen (T, N, B). B wird auch Binormale genannt und 32

33 Vorlesung 7 Differentialgeometrie: Grundlagen 33 γ(s) + RT (s) + RN(s) heißt Schmiegebene von γ γ(s) + RN(s) + RB(s) heißt Normalebene von γ γ(s) + RT (s) + RB(s) heißt rektifizierende Ebene von γ Wir betrachten jetzt das lokale verhalten der Projektionen von γ auf die drei obigen Ebenen. Dazu entwickeln wir γ als Potenzreihe (ohne Einschränkung in der Stelle s 0 = 0): γ(s) = γ(0) + st (0) + s2 κ(0)n(0) + s3 2 6 (κ (0)N(0) κ 2 (0)T (0) +κ(0)τ(0)b(0)) ( + )... ( ) = γ(0) + s s3 κ(0) T (0) + s 2 κ(0) + s3 κ (0) N(0) s3 κ(0)τ(0) B(0) Trägt man die Terme niedrigster Ordnung in s in den Faktoren vor T, N und B gegeneinander ab erhält man generisch N B B T N T Normalenbündel, Paralleltransport und parallele Rahmen Definition 3.10 Sei γ : I R n reguläre Kurve. Nγ = {(p, v) p I, v γ (p)} heißt Normalenbündel von γ. Ein Vektorfeld V : I R n heißt Normalenvektorfeld, falls (s, V (s)) Nγ. Ein Normalenvektorfeld V heißt parallel (im Normalenbündel) falls V (s) γ (s) für alle s I (d. h. die Projektion von V auf das Normalenbündel verschwindet). Bemerkung. Die Idee hier ist die folgende: verschiebt man einen Vektor parallel im R n, so verschwindet seine Ableitung. Verschiebt man einen Vektor parallel im Normalenbündel, so verschwindet seine Ableitung im Normalenbündel (also der Anteil der Ableitung, der im Normalenbündel liegt). 33

34 34 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 7 Lemma 3.11 Seien V, W parallele Normalenvektorfelder. Dann ist V, W konstant. Beweis. d V, W = V, W + V, W = 0. ds Korollar 3.12 Parallele Normalenvektorfelder haben konstante Länge. Lemma 3.13 Sei γ : I R n regulär, t 0 I, V 0 R n mit V 0, γ (t 0 ) = 0. Dann existiert genau ein paralleles Normalenvektorfeld V : I R n mit V (t 0 ) = V 0. Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Lemma davor. Für die Existenz setzt man W (s) = λ(s)γ (s) an. Ableiten der Bedingung W (s), γ (s) = 0 liefert dann λ(s) = W (s), γ (s). Die globale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung dieser Differentialgleichung folgt wieder aus dem Satz 3.5. Definition 3.14 Sei γ : I R n regulär. Der Rahmen F : I SO(n) F = (γ, N 1,..., N n 1 ) heißt parallel, falls alle N i parallele Normalenvektorfelder sind. Beispiel 3.5 Jeder Rahmen in R 2 ist parallel. Die Ableitungsmatrix eines parallelen Rahmens ist gegeben durch 0 κ 1... κ n 1 κ A = κ n

35 Vorlesung 8 Differentialgeometrie: Grundlagen 35 Im Falle R 3 ist die Torsion τ 0 und man definiert die komplexe Krümmung einer Kurve bezüglich eines parallelen Rahmens durch Ψ = κ 1 + iκ 2. Ψ ist damit nur bis auf einen unitären Faktor bestimmt. Man kann beispielsweise zeigen, das eine Kurve genau dann in einer Sphäre enthalten ist, wenn ihre komplexe Krümmung in einer (reellen) Graden liegt. Der Zusammenhang zwischen komplexer Krümmung und Krümmung und Torsion des Frenetrahmens wir in der Übung behandelt. Beispiel 3.6 Ein paralleler Rahmen für die Helix. Sei (T, N, B) der bereits berechnete Frenetrahmen für die Helix γ(t) = (a cos t, a sin t, bt) (siehe Beispiel 3.3). Da N und B ON-Basis der Normalebene sind kann man für N 1 eines parallelen Rahmens N 1 = cos(α)n + sin(α)b ansetzen. Das liefert Ṅ 1 = a cos(α) T ( α sin(α) bc ) ( ) b c sin(α) N + cos(α) + α cos(α) B 2 2 c2 die Bedingung das (T, N 1, N 2 ) mit Ṅ 1 nur T Anteile hat bedeutet α = α 0 b c 2 t. Damit ist ein paralleler Rahmen. N 1 = cos(α 0 b t)n + sin(α c 2 0 b t)b c 2 N 2 = sin(α 0 b t)n + cos(α c 2 0 b t)b c 2 Satz 3.15 Sei γ : I R n regulär, t 0 I, F 0 SO(n), F 0 e 1 = T gegeben. Dann existiert genau ein paralleler Rahmen F : I SO(n) von γ mit F (t 0 ) = F 0. 4 Flächen im R 3 Als kleiner Einschub werden wir zunächst ein klein wenig Topologie machen. Wärend topologische Fragen bei Kurven noch eine untergeordnete Rolle gespielt haben (im wesentlichen bei der Frage nach Doppelpunktsfreiheit und Periodizität), werden sie bei der untersuchung von Flächen wichtiger. 35

36 36 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung Etwas Topologie Wir beginnen mit einigen wenigen topologischen Grundlagen. Eine Topologie auf einer Menge M ist ein System von Teilmengen (also selbst eine Teilmenge der Potenzmenge P(M) von M (der Menge aller Teilmengen von M)), die sich verhalten wie die offenen Mengen im R n : Definition 4.1 Sei M eine Menge. T P(M) heißt eine Topologie auf M, falls gilt:, M T, A i T, i I i I A i T (beliebige Vereinigungen von Elementen von T sind in T ), A i T, i I, #I < i I A i T (endliche Schnitte von Elementen von T sind in T ). Ist dann A T, so heißt A offene Teilmenge von M, ist M \ A T, so heißt abgeschlossene Teilmenge von M. Das Paar (M, T ) wird auch topologischer Raum genannt (oft schreibt man auch M sei topologischer Raum und meint man hat eine Topologie auf M gewählt). Ist (M, T ) ein topologischer Raum und ist U M mit U, so wird U mit T U = {A U A T } selbst zu einem topologischen Raum T u heißt dann die von M induzierte Topologie auf U. Bemerkung. und M sind also immer offen und abgeschlossen in M. Beispiel 4.1 T = P(M): Jede Teilmenge ist offen (und abgeschlossen). T = {, M}: nur und M sind offen und abgeschlossen. Sei M = R n und T = {A M p A ɛ > 0 : B ɛ (p) A}, wo B ɛ (p) = {x M x p < ɛ} die offene Kugel um p vom Radius ɛ bezeichne. Hier sind die offenen Mengen genau die aus der Analysis bekannten. Im letzten Beispiel kann man also jede offene Menge als Vereinigung passender offener Bälle schreiben. Es reichen sogar Bälle mit rationalem Radius und Mittelpunkten mit rationalen Koordinaten. 36

37 Vorlesung 8 Differentialgeometrie: Grundlagen 37 Definition 4.2 Man sagt das eine topologischer Raum (M, T ) eine abzählbare Basis besitzt, falls es eine abzählbare Teilmenge B T gibt mit A T A = i I B i und B i B für alle i I. Jede offene Menge lässt sich also als (abzählbare) Vereinigung von Elementen der Basis schreiben. Offene Mengen spielen eine zentrale Rolle in der Beschreibung von Nachbarschaft und Separation von Punkten. Das zweite wird in der Topologie durch sog. Trennungsaxiome beschreiben. Für uns ist hier nur das Hausdorff sche Trennungsaxiom von Bedeutung: Es beschreibt den aus dem R n wohlbekannten Sachverhalt, das man um zwei verschiedene Punkte immer zwei disjunkte offene Umgebungen finden kann. Definition 4.3 Ein topologischer Raum (M, T ) heißt Hausdorff sch, falls für alle a, b M gilt a b U, V T : a U b V U V =. Für die Beschreibung von Nachbarschaft wiederum sind stetige Funktionen nützlich. Definition 4.4 Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt stetig, falls Urbilder offener Mengen offen sind. Bemerkung. Die bekannten Definitionen für Stetige Funktionen über Folgenstetigkeit oder das δ-ɛ-kriterium sind im R n äquivalent 4 zu dieser Definition von Stetigkeit, können aber in einem so allgemeinen Rahmen nicht funktionieren, da wir bisher keine Möglichkeit haben über Abstand oder Konvergenz in unseren topologischen Räumen zu reden. Beispiel 4.2 Betrachtet man Abbildungen f : R R und wählt auf dem Definitionsbereich T = {, R} als Topologie, so sind nur die konstanten Abbildungen stetig. Wählt man andererseits T = P(R), so ist jedes solche f stetig. Definition 4.5 Ein Homöomorphismus ist eine stetige Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung. Definition 4.6 Ein topologischer Raum (M, T ) heißt zusammenhängend, falls es keine A, B T \{ } mit A B M und A B = gibt. (M, T ) heißt wegzusammenhängend, falls es zu allen a, b M ein stetiges γ : [0, 1] M mit γ(0) = a und γ(1) = b gibt 4 Genauer geht das in Banachräumen: vollständigen normierten Räumen. 37

38 38 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 9 Bemerkung. Wegzusammenhang ist die stärkere Bedingung: Sei M = {0} (0, 1] (0, 1] {0} 1 n N (0, 1] { n+1 }. Wählt man auf M die durch den normalen R 2 induzierte Topologie, so ist M zusammenhängend. M ist aber nicht wegzusammenhängend, da es keinen stetigen Weg von (0, 1) zu (1, 0) gibt (man beachte das (0, 0) nicht in M enthalten ist). Andererseits gilt aber folgendes Lemma Lemma 4.7 Ist (M, T ) wegzusammenhängend, so auch zusammenhängend. Beweis. Sei (M, T ) wegzusammenhängend. Angenommen M ist nicht zusammenhängend. Dann existieren zwei nichtleere Teilmengen A, B T mit A B = M und A B =. Sei jetzt a A und b B. Dann existiert ein stetiger Weg γ : [0, 1] M mit γ(0) = a und γ(1) = b. Da γ stetig ist müssen à = γ 1 (A) und B = γ 1 (B) offen in [0, 1] sein (und nichtleer) und da [0, 1] zusammenhängend ist, ist [0, 1] à B. Andererseits ist aber à B = γ 1 (A) γ 1 (B) = γ 1 (A B) = γ 1 (M) = [0, 1]. Widerspruch. Die Annahme war also falsch und M muss zusammenhängend sein. Bemerkung. Achtung: zusammenhängend ist nicht dasselbe wie einfach zusammenhängend. Der zweite Begriff besagt anschaulich, dass die Menge kein Loch hat. R 2 ist einfach zusammenhängend, R 2 \ {0} ist es nicht. 5 5 Allerdings ist R 3 \{0} jedoch wieder einfach zusammenhängend - R 3 \{(x, 0, 0) x R} wiederum nicht. Etwas präziser ist ein topologischer Raum einfach zusammenhängend, falls sich jeder geschlossene stetige Weg stetig zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Wir werden vermutlich später genauer darauf eingehen. 38

39 Vorlesung Differentialgeometrie: Grundlagen 39 Fla chen Naiv kann man sich als Fla che im Raum das Bild einer glatten Abbildung von einem Teil von 2 in den 3 vorstellen. A hnlich den Kurven, wollen wir bei den Fla chen aber auch sicherstellen, das sie keine Knicke haben und hier reicht Nichtverschwinden der Ableitung nicht mehr aus. Vielmehr muss man Nichtverschwinden der partiellen Ableitungen und daru ber hinaus deren lineare Unabha ngigkeit fordern. R R R R R R Definition 4.8 f : 2 3 heißt regula r, falls d(x,y) f : 2 3 maxi f (x, y) und fy = y f (x, y) verschwinden nicht malen Rang hat (d. h. fx = x und sind linear unabha ngig, bzw. f ist Immersion.) R Definition 4.9 Sei U 2 offen. Ein parametrisiertes Fla chenstu ck ist eine regula re C -Abbildung f : U 3. Die Kurven x 7 f (x, y0 ) und y 7 f (x0, y) heißen Parameterlinien von f. Ein unparametrisiertes Fla chenstu ck ist eine A quivalenzklasse von parametrisierten Fla chenstu cken, wobei zwei parametrisierte Fla chenstu cke f : U 3 und f : U 3 a quivalent heißen, falls es einen Diffeomorphismus φ : U U gibt, so daß f = f φ gilt. R R R Beispiel 4.3 R2, f: R3 R ( π2, π2 ) R3 cos x cos y f (x, y) = sin x cos y sin y ist ein parametrisiertes Fla chenstu ck. Das Bild von f ist die Einheitsspha re ohne Nord- und Su dpol. 39

40 40 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 9 f : R 2 R 3, f(x, y) = 1 x 2 + y x 2y x 2 + y 2 1 ist auch ein parametrisiertes Flächenstück. Hier ist das Bild von f die Einheitssphäre ohne den Nordpol. Diese Abbildung heißt stereographische Projektion. Definition 4.10 Eine eingebettete Fläche im R 3 ist eine Teilmenge S R 3, S für die gilt: Zu jedem p S gibt es eine Umgebung V R 3 und ein parametrisiertes Flächenstück f : U R 3 (U R 2 offen) so daß f(u) = S V, f injektiv und f 1 : S V U stetig ist. Bemerkung. f : U S V ist Homöomorphismus. Das die Forderung der stetigen Umkehrabbildung wichtig ist, zeigt folgendes Beispiel (Ferus): S = {(x, y, z) R 3 z ist rational} ist keine eingebettete Fläche. Man kann auch einfach fordern, das die f Diffeomorphismen sind. Ersetzt man in der Definition R 2 durch R n und R 3 durch R m erhält man eine Definiton für n-dimensionale (reguläre) Untermannigfaltigkeiten im R m. Beispiel 4.4 f : R 2 R 3, f(x, y) = (xa cos y, xa sin y, by). ist eine eingebettete Fläche. Sie heißt Helikoid. 40

41 Vorlesung 9 Differentialgeometrie: Grundlagen 41 Graphen von glatten Funktionen sind eingebettete Flächen. Die Einheitssphäre ist eingebettete Fläche. Als Parametrisierungen kann man beispielsweise die stereographische Projektion aus Beispiel 4.3 und eine entsprechende zweite Abbildung nehmen, die den Südpol auslässt (wie sieht sie aus?). Satz 4.11 Sei W R 3 offen, h : W R glatt und d p h 0 für alle p W : Sei weiter x R mit h 1 ({x}). Dann ist h 1 ({x}) eine eingebettete Fläche. Beweis. Die Existenz lokaler Parametrisierungen folgt direkt aus dem Satz über implizite Funktionen. Satz 4.12 (aus Analysis) Sei W R 3 offen, p = (x, y, z) W, h : W R glatt. Ist nun h(p) = a und h z (p) = f(p) 0, so gilt: Es z existieren offenen Umgebungen U R 2 von (x, y), V R von z und ein differenzierbares g : U V, so daß U V W, g(x, y) = z und {p U V h(p) = a} = {(x, y, g(x, y)) (x, y) U}. ( ) 2 Beispiel 4.5 T = {(x, y, z) R 3 x2 + y 2 a + z 2 = r 2 } mit a > r > 0 ist eingebettete Fläche. Sie heißt Rotationstorus. 41

42 42 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 10 Definition 4.13 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. γ : I R 3 heißt Kurve auf dem Flächenstück f falls es eine ebene Kurve γ : I U mit γ = f γ gibt. Beispiel 4.6 Die Parameterlinien von f sind Kurven auf f. 4.3 Tangentialraum Definition 4.14 Sei M R n offen. Dann heißt T M = M R n das Tangentialbündel von M. Für p M heißt T p M = {p} R n der Tangentialraum von M in p. v T p M heißt Tangentialvektor und eine Abbildung F : M T M mit p (p, v(p)) T p M heißt Tangentialvektorfeld. Bemerkung. Ist jetzt f : M R n R m glatt, so betrachten wir das Differential von f als Abbildung df : T M T R m, und d p f : T p M T f(p) R m. Genauso werden wir die Ableitungen von Kurven ab jetzt mit einem Fußpunkt versehen betrachten: γ = (γ, d γ). ds Bemerkung. Man kann sich den Tangentialraum in p als die Menge aller Tangentialvektoren von regulären Kurven durch p vorstellen. Definition 4.15 Ist S R 3 eingebettete Fläche, p S mit Parametrisierung f : U R 3, f(q) = p. Man definiert den Tangentialraum von S in p als T p S = d q f(t q U) und das Tangentialbündel T S T R 3 von S als T S = p S T ps. Bemerkung. Der Tangentialraum T p S von S in p ist die Menge aller Tangentialvektoren von regulären Kurven in S durch p. Bemerkung. Spätestens jetzt ist der Begriff vom Tangentialbündel nicht mehr trivial wie der folgende Satz zeigt: Lemma 4.16 (Satz vom Igel) Jedes stetige Tangentialvektorfeld F : S 2 T S 2 hat mindestens eine Nullstelle. Etwas salopper: Jeder stetig gekämmte Igel hat mindestens einen Glatzpunkt. 42

43 Vorlesung 10 Differentialgeometrie: Grundlagen Die 1. Fundamentalform Sei M R 3 offen, p M. Für v, w T p M mit v = (p, ṽ) und v = (p, w) ist v, w := ṽ, w R 3 ein euklidisches Skalarprodukt auf T p M definiert. Definition 4.17 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. Die Abbildung g, die jedem Punkt p U die symmetrische positiv definite Bilinearform g p : T p U T p U R, g p (v, w) = d p f(v), d p f(w) zuordnet heißt erste Fundamentalform von f oder auch die von f auf U induzierte Riemannsche Metrik. Bemerkung. In der klassischen Literatur werden die Koeffizienten der Darstellungsmatrix von g bezüglich der Standardbasis von R 2 meist mit E, F und G bezeichnet: ( ) E F g(v, w) = v T w F G E = g 1,1 = g(e 1, e 1 ) = f x, f x F = g 1,2 = g(e 1, e 2 ) = f x, f y G = g 2,2 = g(e 2, e 2 ) = f y, f y Mit g kann man jetzt Winkel und Längen auf der Fläche messen: Die Länge von γ ist L a,b (γ) = b a γ = b d γf( γ ) = b g( γ, γ a a ). Sind γ und δ Kurven auf f mit γ(t 0 ) = δ(t 1 ) so ist der Schnittwinkel zwischen ihnen cos α = γ (t 0 ), δ (t 1 ) γ (t 0 ) δ (t 1 ) = g( γ (t 0 ), δ(t 1 )) g( γ (t 0 ), γ (t 0 ))g( δ (t 1 ), δ (t 1 )) Definition 4.18 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. f heißt orthogonal parametrisiert falls f x, f y = 0 = g((1, 0), (0, 1)) (also F 0) gilt. f heißt konform parametrisiert falls darüberhinaus f x, f x = f y, f y (also E = G) gilt. ist sogar f x, f x = f y, f y = 1, so heißt f isometrisch parametrisiert (und g ist gleich dem Standardskalarprodukt auf R 2 ). Bemerkung. Ist f konform parametrisiert, so sind die Schnittwinkel von Kurven auf f gleich denen ihrer Urbilder. Ist f isometrisch, so gilt das auch für Längen. 43

44 44 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 10 Beispiel 4.7 Der Zylinder f : R 2 R 3, f(x, y) = (cos x, sin x, y) ist isometrisch parametrisiert. Das Helikoid aus Beispiel 4.4 ist orthogonal parametrisiert. Beispiel 4.8 (Rotationsflächen) Sei γ = (γ 1, γ 2 ) : I R 2 reguläre Kurve mit γ 1 (s) 0. f. a. s I. Dann heißt das parametrisierte Flächenstück f : I R R 3, f(x, y) = (γ 1 (x) cos y, γ 1 (x) sin y, γ 2 (x)) Rotationsfläche zur Meridiankurve γ. Rotationsflächen sind orthogonal parametrisiert und man kann durch Umparametrisierung der Meridiankurve sogar konforme Parametrisierung erreichen. 44

45 Vorlesung 11 Differentialgeometrie: Grundlagen 45 Beispiel 4.9 Als Beispiel für eine Rotationsfläche wollen wir die (um 90 gedrehte) Kettenlinie γ(t) = (cosh t, t) (vergl Übung) rotieren: f(x, y) = (cosh(x) cos(y), cosh(x) sin(y), x). Diese Fläche heißt Katenoid. Definition 4.19 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. Dann existiert eine eindeutige Abbildung N : U S 2 in die Einheitssphäre, so das für jedes p U f x (p), f y (p) (f(p), N(p)) und (f x (p), f y (p), (f(p), N(p))) eine positiv orientierte Basis von T f(p) R 3 sind. N heißt die Gaußabbildung von f. Wir werden aber auch N(p) für den Normalenvektor (f(p), N(p)) von f in p schreiben. Offenbar ist N = f x f y f x f y. 4.5 Flächeninhalt Definition 4.20 Sei f : U R 3 parametrisiertes Flächenstück. Der Flächeninhalt von f ist definiert als: A(f) = det(f x, f y, N) dxdy = f x f y. U Für Kurven hatten wir die Länge als Grenzwert einer polygonalen Approximation interpretiert. Man könnte hoffen, das man etwas Vergleichbares für Flächen durch Approximation mit Triangulierungen erreichen kann. Das ist leider nicht mehr so einfach möglich. Ein einfaches Gegenbeispiel hat H. A. Schwarz 1880 gegeben (Die Schwarz sche Laterne): 45 U