Proseminar zu Differentialgeometrie I

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1 Proseminar zu Differentialgeometrie I Andreas Čap Sommersemester 2011 Kapitel 1. Kurven (1) Seien a, b R 2 Punkte und v, w R 2 Einheitsvektoren. Zeige: Es gibt eine eindeutige orientierungserhaltende Bewegung f : R 2 R 2 mit zugehöriger orthogonaler Abbildung A, die f(a) = b und A(v) = w erfüllt. (2) Sei I R ein Intervall, a 1, a 2, a 3 I und c : I R 2 eine stetige Kurve. Zeige aus der Definition der Bogenlänge, dass L a 3 a 1 (c) = L a 2 a 1 (c) + L a 3 a 2 (c) gilt. (3) Berechne die Bogenlängenfunktion der Neil schen Parabel c(t) = (t 2, t 3 ). (4) Die logarithmische Spirale ist in Polarkoordinaten gegeben durch r = e θ. Finde eine Parametrisierung dieser Kurve nach der Bogenlänge. Überprüfe die Richtigkeit durch Berechnen von c (t). (5) Sei c : [a, b] R 2 eine glatte Kurve. Zeige, dass die totale Bogenlänge L b a(c) von c eine geometrische Größe, also invariant unter orientierungserhaltenden Reparametrisierungen und Bewegungen ist. (6) Betrachte R 4 als den Raum der reellen 2 2 Matrizen und die Determinantenfunktion det : R 4 R. Für zwei Matrizen A, B berechne die Richtungsableitung D det(a)(b). Wie könnte das analoge Resultat für n n Matrizen aussehen? Anleitung: Fasse det als bilineare Funktion R 2 R 2 R auf und benutze die Resultate aus Punkt 1.5 der Vorlesung. (7) Seien I, J R Intervalle und sei ϕ : J I ein C Diffeomorphismus. Für eine parametrisierte C Kurve c : I R n sei c = c ϕ : J R n die entsprechende Reparametrisierung. Mit Hilfe der Kettenregel und Punkt 1.5 der Vorlesung berechne die ersten vier Ableitungen von c. (8) Sei c : [0, 2π] R 2, c(t) = (sin(t), sin(2t)). Zeige, dass dies eine regulär parametrisierte Kurve ist, skizziere ihr Bild und berechne ihre Krümmung. Finde Scheitel, Flachpunkte, etc. (9) Zeige, dass es eine eindeutige nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve c : [0, ) R 2, c(t) = (x(t), y(t)) gibt, sodass c(0) = (1, 0) und y(t) 0 und sodass c(t) + c (t) immer auf der y Achse liegt. Diese Kurve heißt die Schleppkurve oder die Traktrix. Finde eine Bogenlängenparametrisierung der Traktrix und berechne ihre Krümmung. Anleitung: Die Definition der Kurve liefert eine Differentialgleichung für x(t), die einfach zu lösen ist. Die Forderung, dass c nach der Bogenlänge parametrisiert ist, liefert dann eine Differentialgleichung für y(t). Löse diese entweder in Form eines Integrales oder mittels Computer oder Integraltafel. 1

2 (10) Die Pascal sche Schneckenkurve hat eine Parametrisierung c : [0, 2π] R 2 der Form c(t) = (2 cos(t) + 1)(cos(t), sin(t)). Skizziere die Kurve, berechne ihre Krümmung und finde Flachpunkte, Scheitel, etc. (11) Die Lemniskate von Bernoulli ist definiert als die Menge aller Punkte in R 2, sodass das Produkt der Abstände zu den Punkten (1, 0) und ( 1, 0) gleich 1 ist. (i) Zeige: Die Lemniskate besteht genau aus allen Lösungen der Gleichung x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 = 2(x 2 y 2 ). (ii) Finde eine Parametrisierung der Lemniskate und skizziere die Kurve. Anleitung: In der Gleichung aus (i) mache den Ansatz y = x sin(t). (Warum macht dieser Ansatz Sinn?) (iii) Berechne die Krümmung der Lemniskate. (12) Sei p : R + R R 2 definiert durch p(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)). Zeige: Für jeden Wert θ 0 R ist die Einschränkung von p auf R + (θ 0 π, θ 0 + π) ein Diffeomorphismus auf R 2 \ {λ(cos(θ 0 ), sin(θ 0 )) : λ 0}. ( ) cos(θ0 ) sin(θ Anleitung: Zeige, dass p(r, θ + θ 0 ) = 0 ) p(r, θ) gilt und benutze sin(θ 0 ) cos(θ 0 ) das Resultat für θ 0 = 0 aus der Vorlesung. (13) Sei U R n eine offene Teilmenge. Eine glatte 1 Form ω = ω 1 dx ω n dx n heißt geschlossen falls die Gleichung ω i = ω j für alle i j gilt, und sie heißt exakt falls x j x i es eine glatte Funktion f : U R gibt, sodass ω = df ist. Zeige: (i) Jede exakte 1 Form ist geschlossen. (ii) Die 1 Form η auf R 2 \ {0} aus Punkt 1.10 der Vorlesung ist geschlossen. Ist diese 1 Form exakt? (14) Eine Teilmenge U R n heißt sternförmig, falls es einen Punkt x 0 U gibt, sodass für jeden Punkt x U die Verbindungsstrecke (1 t)x 0 + tx : 0 t 1 ganz in U liegt. Zeige: Ist U R n offen und sternförmig, dann ist jede geschlossene glatte 1 Form auf U exakt. Anleitung: Definiere f : U R als Kurvenintegral über die Verbindungsstrecke. (15) Berechne die Umlaufzahl der Pascal schen Schneckenkurve aus Beispiel 10 mittels eines Kurvenintegrals. (16) Zeige: Es gibt eine glatte Funktion ϕ : R R mit Werten in [0, 1], sodass ϕ(t) = 0 für alle t 1/4 und ϕ(t) = 1 für all t 3/4 gilt. Anleitung: Definiere α, β : R R wie folgt: α(t) = 0 für t 0 und α(t) = e 1/t2 für t > 0, sowie β(t) := α(t 1/4)α(3/4 t). Dann setze ϕ(t) = R t β(s)ds R β(s)ds. (17) Zeige, dass Isotopie von regulär parametrisierten glatten Kurven eine Äquivalenzrelation ist. Anleitung: Für die Transitivität wähle eine Funktion { ϕ wie im letzten Beispiel und H 1 (t, ϕ(2s)) s 1/2 für zwei Isotopien H 1, H 2 betrachte H(t, s) = H 2 (t, ϕ(2s 1)) s 1/2

3 (18) Sei D := {x R 2 : x 1} die Einheitsscheibe und S 1 := {x : x = 1} der Einheitskreis in R 2. Zeige, dass es keine stetige Funktion f : D S 1 gibt, die f(x) = x für alle x S 1 erfüllt. Anleitung: Angenommen es gibt so ein f, dann definiere H : [0, 2π] [0, 1] S 1 R \ {0} durch H(t, s) := f(s cos(t), s sin(t)). Dann betrachte die Windungszahlen von t H(t, 0) und von t H(t, 1). (19) Leite aus dem letzten Beispiel den Brouwer schen Fixpunktsatz ab: Ist f : D D stetig, dann gibt es einen Punkt x 0 D mit f(x 0 ) = x 0. Anleitung: Wäre f : D D stetig, sodass f(x) x für alle x D gilt, dann definiere ϕ : D S 1 durch Abbilden von x auf den Schnittpunkt des Strahls von f(x) durch x mit S 1. Zeige, dass ϕ : D S 1 stetig ist und ϕ(x) = x für alle x S 1 erfüllt. Kapitel 2. Teilmannigfaltigkeiten von R n. (20) Der Torus T 2 : Fixiere reelle Zahlen 0 < r < R, betrachte den Kreis vom Radius R in der x y Ebene und lasse den Kreis vom Radius r um den Punkt (0, R, 0) um den ersten Kreis rotieren. Skizziere T 2, und zeige T 2 = {((R + r cos(θ)) cos(ϕ), (R + r cos(θ)) sin(ϕ), r sin(θ)) : ϕ, θ R}. Benutze diese Beschreibung um lokale Parametrisierungen für T 2 zu konstruieren und diese um zu zeigen, dass T 2 diffeomorph zu S 1 S 1 ist. (21) Definiere f : R 3 R durch f(x, y, z) := ( x 2 + y 2 R) 2 + z 2 r 2. Zeige, dass T 2 = f 1 (0) gilt und f in allen Punkten von T 2 regulär ist. (22) Verifiziere, dass in Beispiel (3) von Punkt 2.3 der Vorlesung tatsächlich eine lokale Parametrisierung des Möbiusbands konstruiert wurde. (23) Zeige (mehr anschaulich als formal), dass es keine auf einer offenen Umgebung des Möbiusbands definierte reguläre glatte Funktion gibt, deren Nullstellenmenge genau das Möbiusband ist. Anleitung: Wäre f so eine Funktion, dann betrachte im Punkt (x, y, z) des Möbiusbands den Vektor ( f, f, f ) (also den Gradienten von f). Nun betrachte, wie sich x y z dieser Vektor verhält, wenn man einmal um den Zentralkreis des Möbiusbands herum geht. (24) Betrachte die Sphäre S n. Für einen Punkt a S n definiere die stereographische Projektion S n \ {a} R n wie folgt: Betrachte R n als die Menge aller y R n+1, die y, a = 0 erfüllen. Dann bilde jeden Punkt in x S n \ {a} auf den Schnitt der Geraden durch x und a mit dieser Hyperebene ab. Finde eine explizite Formel für diese Abbildung und zeige, daß sie eine Karte auf S n definiert. (25) Betrachte den Raum M der orthonormalen k Beine in R n, d.h. M := {(v 1,..., v k ) : v i R n, v i = 1, v i, v j = 0 für i j}. Zeige, dass M eine Teilmannigfaltigkeit von R nk ist. Anleitung: Betrachte R nk als Raum M n,k (R) der n k Matrizen. Zeige, daß M = {A M n,k (R) : A t A = I k }. Dann betrachte f : M n,k (R) M symm k (R), f(a) := A t A I, und zeige, dass f regulär ist.

4 (26) Zeige, dass der Tangentialraum T I SL(n, R) der Raum {B M n (R) : tr(b) = 0} der spurfreien n n Matrizen ist. (27) Seien M und N glatte Mannigfaltigkeiten und sei p C (M, N) surjektiv und so dass alle Tangentialabbildungen T x p surjektiv sind (eine surjektive Submersion). Sei x M ein Punkt und (V, v) ein Karte für N mit p(x) V. Benutze den inversen Funktionensatz um eine beliebige Karte für M um x zu einer Karte (U, u) zu modifizieren, für die die lokale Koordinatendarstellung v p u 1 die Form (u 1,..., u k ) (u 1,..., u l ) hat. Schließe daraus, dass es für jedes y N eine offenen Umgebung W von y in N und eine Funktion σ C (W, M) gibt, sodass p σ = id W gilt. Folgere daraus, dass eine Funktion f : N P in eine beliebige Mannigfaltigkeit P genau dann glatt ist, wenn f p : M P glatt ist. (28) Berechne den Fluß des Vektorfeldes ξ = y x + x y auf R2. (29) Berechne die Flüsse der Vektorfelder ξ = y x und η = x2 2 auf y R2 und zeige insbesondere, dass sie für alle Zeiten definiert sind. Berechne die Lie Klammer [ξ, η] von ξ und η und zeige, dass ihr Fluß nicht für alle Zeiten definiert sein kann. Zeige weiters, dass auch der Fluß von ξ + η nicht für alle Zeiten definiert sein kann. (30) Sei f : M N ein lokaler Diffeomorphismus zwischen zwei Mannigfaltigkeiten und ξ X(N) ein Vektorfeld. Zeige, dass der Pullback f ξ X(M) von ξ dadurch charakterisiert ist, dass (f ξ) (g f) = (ξ g) f für alle g C (N, R) gilt. Benutze das um zu zeigen, dass für ein weiteres Vektorfeld η X(N) die Gleichung f ([ξ, η]) = [f ξ, f η] gilt. (31) Sei f : R 2 R eine glatte Funktion. Betrachte die Vektorfelder ξ := und z η := + f. Zeige, dass [ξ, η] = 0 gilt, und interpretiere den von den Werten der y y z beiden Vektorfelder in einem Punkt aufgespannten Teilraum als Tangentialraum eines geeignet verschobenen Graphen von f. + f x x (32) Betrachte R 3 mit Koordinaten x, y, z und die beiden Vektorfelder ξ := y und x 2 z η := + x. Berechne die Lie Klammer [ξ, η] und zeige, dass die Vektorfelder ξ, η y 2 z und [ξ, η] in jedem Punkt linear unabhängig sind. (33) Betrachte die Vektorfelder ξ und η aus dem letzten Beispiel. Eine Kurve c : I R 3 heißt zulässig, wenn es für jedes t I Elemente a, b R gibt, sodass c (t) = aξ(c(t))+ bη(c(t)) gilt. Zeige, dass es für jeden Punkt auf der Form (0, 0, z) eine zulässige Kurve c gibt, die im Nullpunkt beginnt und in (0, 0, z) endet. Anleitung: Betrachte Kurven der Form c(t) = (r(cos t 1), rsin(t), z(t)) und zeige, dass es nur eine Wahl für z(t) gibt, fur die c zulässig ist. Dann bestimme z(2π). Kapitel 3. Hyperflächen (34) Betrachte die Sattelfläche M R 3, die definiert ist durch die Gleichung z = xy. Finde eine globale Parametrisierung für M und eine globales Einheitsnormalenfeld n. Berechne die Weingartenabbildung, die Hauptkrümmungen, sowie Gauß und mittlere Krümmung.

5 (35) Sei c : I R 2 eine glatt parametrisierte Kurve ohne Doppelpunkte, sodass c 1 (t) > 0 für alle t I gilt. Betrachte c als Kurve in der x z Ebene und definiere M als die Fläche, die durch Rotieren von c um die z Achse entsteht. Finde eine lokale Parametrisierung von M und die entsprechenden Koordinatenvektorfelder und gib ein lokales Einheitsnormalenfeld n für M an. (36) In der Situation des letzten Beispiels nimm zusätzlich an, dass c nach der Bogenlänge parametrisiert ist. Berechne die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung von M. (37) Betrachte das einschalige Rotationshyperboloid M, das durch die Gleichung x 2 + y 2 z 2 = 1 gegeben ist. Zeige, dass man M als {(cos(ϕ) t sin(ϕ), sin(ϕ) + t cos(ϕ), t) : ϕ [0, 2π), t R} beschreiben kann. Überlege, dass dies gerade bedeutet, dass M durch Rotation der Gerade {(1, t, t) : t R} um die z Achse entsteht. Berechne die diversen Krümmungen von M. (38) Betrachte eine Schale M des zweischaligen Rotationshyperboloids. M ist gegeben durch x 2 y 2 + z 2 = 1 und z > 0. Finde eine globale Parametrisierung und ein globales Einheitsnormalenfeld für M und berechne die diversen Krümmungen. (39) Sei D R 2 die offene Einheitsscheibe und M die Hyperboloidschale aus dem letzten Beispiel. Zeige, daß man einen Diffeomorphismus f : D M erhält, indem man für (x, y) D den Bildpunkt f(x, y) als den Schnitt der Geraden von 0 durch (x, y, 1) mit M definiert. Berechne die Riemann Metrik g auf D die man erhält, indem man f zur Isometrie erklärt.