Grundlagen. Beschreibende Statistik

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1 Grundlagen 1. BEISPIEL Beschreibende Statistik 2. BEISPIEL Um welchen Skalentyp handelt es sich bei folgenden Merkmalen: Körpergröße Grad Celsius Mann = 0, Frau = 1 Anzahl Mitbewohner WG Kleidergröße M IQ-Wert Monatseinkommen Eiergewichtsklassen Wie kann man eine Skalentransformation des metrischen Wert Alter zu einem ordinalen Wert durchführen?

2 3. BEISPIEL Warum sind folgende Merkmale stetig/diskret? Postleitzahl, Körpergröße, Monatseinkommen 4. BEISPIEL Welche Lageparameter gibt es? Was ist der Zusammenhang zwischen Lageparametern und Skalenniveaus? Gegeben ist folgende Datenreihe: Bestimmen Sie Modalwert, Median, arithmetisches Mittel 5. BEISPIEL EXCEL Arbeitsweg: Was ist der Unterschied zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten? Beispiel am Excelblatt 6. BEISPIEL EXCEL In Graz wurde an 50 aufeinanderfolgenden Tagen die Feinstaubbelastung gemessen. Die Häufigkeit der Messwerte war folgende: BELASTUNG [0;10] ]10,25] ]25;40] ]40;50] ]50;70] ]70;100] ]100;150] HÄUFIGKEIT a) Bestimmen Sie den genäherten Mittelwert der Feinstaubbelastung. b) Bestimmen Sie die Varianz der Feinstaubbelastung. c) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die Quartile und den Median in der Grafik. d) Bestimmen Sie den Median auch rechnerisch. e) Zeichnen Sie ein Histogramm. f) Nach Einführung der IG-L 100 Beschränkung auf der Autobahn wurden erneut an 30 Tagen Messungen durchgeführt. Diese ergaben einen Mittelwert von 48,2. Führte das neue Gesetz dazu, dass im Schnitt (alle Messungen) der EU-Grenzwert von 50 nicht überschritten wurde?

3 7. BEISPIEL EXCEL Bei einunddreißig Läufern, die in zwei aufeinanderfolgenden Jahren am Welschlauf im Halbmarathon teilgenommen haben, wurden einige Merkmale erhoben: Alter, Herkunft, Beruf, Gewicht, Laufzeit 2009, Laufzeit 2010, Einkommen. Man beachte: das Merkmal Herkunft besitzt drei Ausprägungen: Steiermark (ST), restliches Osterreich (AUT), Ausland (GAST); das Merkmal Beruf ist in drei Kategorien geteilt: Angestellt (A), Selbständig (S), Auszubildender (AZUBI); das Merkmal Einkommen ist ebenfalls in drei Kategorien unterteilt: gering (g), mittel (m), hoch (h). Die Daten zu dieser Aufgabe finden Sie als EXCEL-Tabellenblatt auf der Webseite des Instituts unter Sonstiges. Beantworten Sie die folgenden Fragen: a) Wie viel Prozent der Läufer gaben Mittleres Einkommen an? b) Erstellen Sie eine (Kontingenz-)Tabelle, aus der man entnehmen kann, wie viele Teilnehmer je nach Herkunft in die drei Einkommensklassen fallen! c) Welcher Anteil (welcher Prozentsatz) der Selbständigen kam aus dem Ausland? d) Welcher Anteil (welcher Prozentsatz) der Ausländer ist selbständig? e) Vergleichen Sie das Durchschnittsgewicht der Steirer mit jenem der anderen Teilnehmer. f) Berechnen Sie die Varianz für das Merkmal Körpergewicht. 8. BEISPIEL EXCEL Quecksilber: Der gesetzliche Grenzwert für Quecksilber in Klärschlamm von Abwasseranlagen liegt bei max. 10 [mg/kg] Trockensubstanz. Für 150 Messungen ergaben sich klassierte Werte für den Quecksilbergehalt: Quecksilbergehalt in mg/kg [0,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10] Summe Klassenhäuf a) Geben Sie die kumulierten relativen Häufigkeiten an. Was bedeuten und wie groß sind die kumulierten relativen Häufigkeiten an den Stellen 1.9 und 5? b) Bestimmen Sie die Medianklasse. Berechnen Sie den Median auch genau und interpretieren Sie diesen. c) Berechnen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung. d) Eine zweite Stichprobe aus 30 Messungen ergab einen Mittelwert von 12,76 mg. Berechnen Sie den Gesamtmittelwert.

4 9. BEISPIEL Zu den Daten 17, 18, 19, 12, 12 ist der Modalwert kleiner als der Median? Zu den Daten 18, 13, 16, 12, 19, 12, 12 ist der Mittelwert größer als der Modalwert? Zu den Daten 18, 13, 16, 12, 19, 19, ist der Median kleiner als der Modalwert? Lorenzkurve & Gini 10. BEISPIEL EXCEL Die Größe von Familien, die in einem Dorf leben, sind in folgender Häufigkeitstabelle zusammengefasst: Familiengröße Anzahl Zeichnen Sie die Lorenzkurve und bestimmen Sie den Gini-Koeffizienten! Zusammenhangsmaße 11. BEISPIEL EXCEL Für acht Unternehmen desselben Wirtschaftszweiges soll untersucht werden, welcher Zusammenhang zwischen Umsatz und Beschäftigtenzahl besteht. Im Jahr 2015 wurden folgende Zahlen festgestellt: Beschäftigte (in Tsd.) Umsatz (in Mio. Euro) 0,5 0,7 1,3 1,8 1,6 1,4 1,8 2, a) Welche Variable ist die abhängige, welche die Unabhängige? b) Bestimmen Sie den Pearson-Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie ihn. c) Bestimmen und zeichnen Sie die Regressionsgerade zur Beschreibung der Abhängigkeit des Umsatzes von der Anzahl der Beschäftigten.

5 12. BEISPIEL EXCEL Bildungsabschluss Um eine möglicherweise vorhandene Abhängigkeit zwischen höchstem Bildungsabschluss und regionaler Herkunft aufzudecken, wurden dreißigjährige Personen befragt, und man erhielt folgende Ergebnisse in Form einer Tabelle: Herkunft Bildungsabschluss Uni/FH Matura Hauptschule Summe Wien, Graz, Salzb Andere Städte Summe Wie sind die Merkmale skaliert? Welches Zusammenhangsmaß kann man hier verwenden? Gibt es einen Zusammenhang zwischen höchstem Schulabschluss und regionaler Herkunft? Indizes 13. BEISPIEL EXCEL Bevölkerung Indiens Jahr Bev.(in Mio) a) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Trendgerade und prognostizieren Sie die Werte für 2011 und 2021! b) Um wieviel Prozent ist die Bevölkerung Indiens jeweils in den Zehnjahresabständen gewachsen? c) Um wieviel Prozent ist die Bevölkerung in den Jahren 1951 bis 2001 insgesamt gewachsen, um wieviel Prozent im Jahresdurchschnitt? Geeignete Mittelwertbildung! d) Prognostizieren Sie mit Hilfe der jährlichen Wachstumsrate die Bevölkerungszahlen für die Jahre 2011 und 2021!

6 14. BEISPIEL EXCEL Studentenbudget Ein Student bekommt im Jahr 2009 monatlich 800,- Euro von seinen Eltern. Seine monatlichen Ausgaben lassen sich wie folgt aufschlüsseln: Wohnen 40% Essen 30% Konzerte 5% Fortgehen 10% Uni 15% Im Jahr 2010 stiegen die Ausgaben für Wohnen um 5%, Fortgehen wurde um ein Zehntel teurer und für die Uni musste er um 3% mehr ausgeben. a) Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres b) Um wie viel mehr Geld benötigte der Student im Jahr 2010? c) Um wie viel Prozent war das Jahr 2009 für den Studenten billiger als das Jahr 2010? d) Angenommen, dieser Warenkorb wird im Schnitt jedes Jahr um 3% teurer. Wie viel teurer wäre er dann 2010 als 1980? Wahrscheinlichkeitsrechnung Würfel 15. BEISPIEL Sie werfen einen Würfel sechsmal. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der sechste Wurf eine Sechs? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie bei diesen sechs Würfen genau eine Sechs? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie beim ersten und beim sechsten Wurf jeweils eine Sechs? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie beim sechsten Wurf zum ersten Mal eine Sechs? e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie nur beim ersten und beim letzten Wurf jeweils eine Sechs? f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie beim sechsten Wurf schon das sechste Mal die Sechs? g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine Sechs dabei? h) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme aller Würfe größer als sechs? i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Produkt aller erzielten Zahlen kleiner als 6?

7 16. BEISPIEL Steuerhinterziehung Eine Studentin untersucht Möglichkeiten von Firmen, nicht der Steuerhinterziehung überführt zu werden, wenn diese regelmäßig eine falsche Steuererklärung abgeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Steuerhinterzieher bei seiner ersten Steuererklärung erwischt wird, beträgt 5%. Wurde man der Steuerhinterziehung überführt, verdoppelt sich die Aufdeckwahrscheinlichkeit im Folgejahr und sinkt in den Jahren darauf auch nicht mehr, da man als Überprüfungsfall gilt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit über einen Zeitraum von drei Jahren jedes Jahr erwischt zu werden? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit über einen Zeitraum von drei Jahren mindestens einmal erwischt zu werden? c) Wenn jemand im zweiten Jahr erwischt wurde, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bereits im Jahr davor die Steuern hinterzogen hat? 17. BEISPIEL Würfel 2: Erwartungswert Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Kugeln a) b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz für die Augenzahl. c) Bestimmen Sie den Erwartungswert, wenn Sie wissen, dass die geworfene Augenzahl a. Gerade b. Ungerade ist. 18. BEISPIEL In einer Schachtel befinden sich 12 Kugeln, 4 davon sind rot, 8 sind schwarz. Es werden zufällig 3 Kugeln entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig genau 0,1,2, oder 3 rote Kugeln zu ziehen, wenn jede gezogene Kugel a) Zurückgelegt und sofort wieder untergemischt wird? b) Nicht mehr zurückgelegt wird? Lotto 19. BEISPIEL EXCEL Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Lotto 6 aus 45 a) Einen Sechser (Fünfer) b) Mindestens eine richtige Zahl c) Einen Fünfer mit Zusatzzahl zu tippen.

8 20. BEISPIEL EXCEL Dichtefunktion Gegeben ist folgender Graf einer Dichtefunktion: a) Bestimmen Sie aus dem Diagramm den Wert c b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion c) Bestimmen Sie die Medianklasse und berechnen Sie den Median. 21. BEISPIEL EXCEL Brandschutzprüfung Die Prüfung Brandschutz wird als Multiple-Choice-Test abgehalten. Es werden 4 Fragen mit jeweils 6 Antwortmöglichkeiten vorgelegt, von denen jeweils eine Antwort richtig ist. Sie brauchen noch dringend billige ECTS für die Kinderbeihilfe und treten an. Sie haben keine Ahnung vom abgefragten Stoff und kreuzen bei jeder Frage jeweils eine Antwort zufällig an: a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben Sie danach 0 oder 4 Fragen richtig beantwortet? b) Um durchzukommen, müssen 2 der 4 Fragen richtig beantwortet werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantworten Sie mit dieser Strategie mindestens zwei Fragen richtig? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantworten Sie mit dieser Strategie mindestens zwei Fragen richtig, wenn Sie ganz sicher bei jeder Frage 4 Antwortmöglichkeiten ausschließen können, weil sie so unlogisch sind und zwischen den verbleibenden Antwortmöglichkeiten zufällig wählen? 22. BEISPIEL EXCEL Bestimmen Sie für eine standardnormalverteilte Zufallsgröße a.) P (X ϵ ]- ; 1]) b.) P (X > 0,4) c.) P (X ϵ ]-1 ; 1,6]) d.) Das z 0,9 und z 0,01 e.) Die Werte Ф(1,5) und Ф(-1,1) f.) Einen Wert c, für den gilt: P(X<c) = 0,8

9 23. BEISPIEL EXCEL Bestimmen Sie für eine normalverteilte N(5,4) Zufallsgröße mit Excel UND mithilfe von Tabellen: a.) Die Wahrscheinlichkeit des Intervalls ]2; 6] b.) Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallsgröße einen Wert unter 4 annimmt? c.) Bestimmen Sie eine Zahl c derart, dass P ( X ϵ ] 5 - c ; 5 + c] = 0,9 24. BEISPIEL EXCEL Die Wahrscheinlichkeit, dass X (normalverteilte Zufallsgröße) größer als 40 ist, beträgt 20 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit P(30 < X < 40)= 0,3. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. 25. BEISPIEL EXCEL Die in Minuten gemessene Wartezeit an einer Theaterkasse kann als eine exponentialverteilte Zufallsgröße aufgefasst werden. Es wird angenommen, dass die durschschnittliche Wartezeit 15 Minuten beträgt. a.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wartet ein Theaterbesucher länger als zehn, aber höchstens zwanzig Minuten? b.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wartet ein Theaterbesucher genau 10 Minuten? 26. BEISPIEL EXCEL Kennzeichnen Sie in der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsgröße und bestimmen Sie: a.) P ( X ϵ ]-1,5 ; 1,5]) a.) Einen Wert c, für den gilt: P( X < c)= 0,75 b.) Das z 0, BEISPIEL EXCEL Winzerei In einer Winzerei werden Weinflaschen mit einem Sollinhalt von 0,75 l bei einer Standardabweichung von 0,02 l abgefüllt. Wie groß ist unter Annahme der Normalverteilung und Unabhängigkeit der Flascheninhalte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde, der acht Flaschen kauft, mehr als 6,05 l erhält?

10 28. BEISPIEL EXCEL Flugzeug Das Gewicht von Flugzeugpassagieren setzt sich aus dem Körpergewicht und dem Gewicht des Gepäcks zusammen. Das Körpergewicht eines Passagiers besitzt einen Erwartungswert von 65 kg, das Gewicht eines Gepäcksstücks einen Erwartungswert von 15 kg. Die beiden Standardabweichungen betragen 8 kg für das KG und 3,2kg für das Gewicht des Gepäckstücks. Es wird die Unabhängigkeit aller Zufallsgrößen vorausgesetzt! a.) Wie ist das Gesamtgewicht (Körpergewicht und Gepäck) von 180 Passagieren eines Airbus A320 verteilt? Bestimmen Sie die Parameter dieser Verteilung!