Nachhilfe: Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgaben. Aufgaben deren Lösungsansatz zu einer Vierfelder-Tafel oder einem Baumdiagramm führt.

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1 deren Lösungsansatz zu einer Vierfelder-Tafel oder einem Baumdiagramm führt In einer Klasse mit 30 LT haben 19 LT ein Notebook und 40% der LT sind männlich. Genau fünf männliche LT haben kein Notebook. Bestimmen Sie wie viele weibliche LT kein Notebook haben? Geben Sie auch die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis A an. Teilergebnis: P(A) = 0, In einer Klasse mit 32 LT haben 13 LT blonde Haare und 8 LT blaue Augen. Genau 16 LT haben weder blonde Haare noch blaue Augen. Wie viele LT mit blonden Haaren haben blaue Augen? Teilergebnis: In einer Berufsschule befinden sich 330 LT im 2. Lehrgang, wobei 5/11 dieser LT sind männlich. Im 1.Jahrgang befinden sich 370 männliche LT, und die Anzahl der weiblichen LT im 1. Lehrgang ist um 200 größer als die im 2. Lehrgang. Wie viele LT besuchen die Berufsschule? Teilergebnis: Ein Medikament wird an 50 Personen getestet davon sind 35 tatsächlich krank. Es wird eine Wirkung bei 30 Personen festgestellt davon sind aber 4 nicht krank. Bei wie viel Prozent der Kranken hat das Medikament gewirkt? Die Wahrscheinlichkeit beim Schwarzfahren mit Straßenbahn erwischt zu werden beträgt 20%, und mit der U-Bahn beträgt 30%. Ein notorischer Schwarzfahrer muss an einem Tag zweimal mit der U-Bahn und einmal mit der Straßenbahn fahren Geben Sie alle Elementarereignisse an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A = nicht erwischt zu werden und B = zweimal beim Schwarzfahren erwischt zu werden Max und Moritz haben 5 Lose gekauft, von denen eines ein Gewinnlos und die übrigen 4 Nieten sind. Sie öffnen sie abwechslungsweise, Max beginnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Max das Gewinnlos öffnet? In einem Multiple Choice Test gibt es 2 Fragen mit je 3 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, den Test fehlerfrei zu bestehen, wenn die Antworten geraten werden. Seite 1

2 3.8.0 Ein Lügendetektor wird zur Aufklärung eines schweren Verbrechens eingesetzt. Mit einer Zuverlässigkeit von 90% wird ein effektiv Schuldiger durch den Detektor als schuldig erkannt, und mit einer Zuverlässigkeit von 99% wird ein Unschuldiger durch den Detektor als unschuldig erkannt. Die Polizei verdächtigt insgesamt 20 Personen, wobei nur eine der Person der Täter sein kann Es wird nun zufällig einer der Verdächtigen ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er unschuldig, obwohl er vom Lügendetektor als schuldig ausgewiesen worden ist? Hinweis: Bedingte Wahrscheinlichkeit. zur Binomial- und Normalverteilung In einer Urne befinden sich 9 blaue und 6 weiße Kugeln. Vier Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. X sei die Anzahl der weißen Kugeln Geben Sie die Dichtefunktion ϕ (X) und auch die Verteilungsfunktion Φ (x) für die Zufallsvariable X an, und berechnen Sie den Erwartungswert ε (X). Teilergebnis: ϕ (X = k)= { 0,092; 0,369; 0,396 ;0,132; 0,011 } Ein Internet-Provider verspricht, dass jede zweite Kundenanfrage befriedigend beantwortet werden könnte. Angenommen, dieses hochgesteckte Ziel könnte erreicht werden. Wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Anfragen genau 5 korrekt beantwortet werden. Ergebnis: 0, Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 20 Anfragen mindestens drei korrekt beantwortet werden. Ergebnis: 0, Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 20 Anfragen höchstens 2 korrekt beantwortet werden Nach Angaben der Telekom kommen 65 % der Telefongespräche beim ersten Wählen zustande. Jemand muss 5 Telefongespräche führen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau einmal beim ersten Wählen nicht durchkommt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er jedes Mal direkt durchkommt? Seite 2

3 Eine Maschine stellt Transistoren her, von denen durchschnittlich 5 % fehlerhaft sind. Pro Tag werden 200 Transistoren geprüft Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind weniger als 5 defekt? Ergebnis: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als 15 defekt? Ergebnis: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nicht weniger als 5 und nicht mehr als 15 geprüfte Transistoren defekt? Die Lebensdauer eines Ersatzteils ist normalverteilt, mit μ = 180 Tage und σ = 40 Tage Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer weniger als 90 Tage beträgt? Ergebnis: 0, Bei wie viel Prozent aller Teile weicht die Lebensdauer um weniger als 1 Monat (30 Tage) vom Ewartungswert ab? Ergebnis: 54,67% Das Gewicht von neugeborenen Kindern ist normalverteilt, wobei mit μ = 3200 g und σ = 800 g ist Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes mehr als 3000 g wiegt? Ergebnis: 0, Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes weniger als 2500 g wiegt? Ergebnis: 0, Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes zwischen 4000g und 5000 g wiegt? Ergebnis: 0, In welchem Intervall Bereich [μ-a, μ+a] liegen die Gewichte von 90% aller Neugeborenen? Ergebnis: [1890 ; 4510] Eine Maschine stellt Nägel her. Die Länge der Nägel ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 8,00 cm und der Standardabweichung σ = 0,15 cm. Seite 3

4 Bei wie viel Prozent der Nägel weicht die Länge höchstens um a = 0,20 cm vom Erwartungswert μ ab? Ergebnis: 81,8 % Wie müssen die Toleranzgrenzen festgelegt werden, wenn 90% der Produktion zum Verkauf freigegeben werden soll? Ergebnis: 8,00 ± 0,25 cm Der Intelligenzquotient (IQ) ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit μ = 100 und σ = Welchen IQ muss man haben, um zu den intelligentesten 2% der Bevölkerung zu gehören? Ergebnis: Ein Ort hat 1800 Einwohner. Bei wie vielen kann man einen IQ über 120 erwarten? Ergebnis: Wie viele Einwohner haben einen IQ zwischen 80 und 120? Ergebnis: Nach einer allgemein gängigen Definition gilt ein Haushalt als arm, wenn er über weniger als 50% des Durchschnittseinkommens verfügt. In einem Bundesland beträgt das Durchschnittseinkommen μ = 2200 und die Standardabweichung σ = Wie hoch ist der Anteil armer Haushalte? Über welche Nettoeinkommen verfügen die 10% wohlhabendsten Haushalte mindestens? Beim Transport werden in der Regel 7% aller Eier beschädigt. Ein Geschäft bekommt eine Lieferung von 1500 Eiern Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 120 oder mehr Eier beschädigt sind? Ergebnis: 0, In welchem Intervall [μ-a, μ+a] liegt mit 95% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der beschädigten Eier? Ergebnis: [85 ; 125] Eine Fertigungsmaschine produziert 10 % Ausschuss Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Charge von 1000 Stück nicht mehr als 100 Stück Ausschuss? Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Ausschussrate einer Charge von 1000 Stück um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab? Seite 4

5 Eine Grippeepidemie wird nach Einschätzung der Statistiker bei 8 % der Bevölkerung eine ärztliche Behandlung notwendig werden lassen. Ein Großhandel möchte für die Apotheken einer Kreisstadt mit Einwohnern Behandlungsmaterialien im vor aus bestellen Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden maximal 1700 Patienten anfallen? Ergebnis: Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 1500 Patienten anfallen? Ergebnis: Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Zahl der Patienten um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab? Eine Firma nimmt an, dass 45% der Bevölkerung ihr Produkt kennen. Bei einer Umfrage wurden 500 Personen befragt Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 200 Personen angeben, das Produkt zu kennen? Ergebnis: 0, Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Anzahl der Befragten, die das Produkt kennen, um mehr als 20 vom Erwartungswert ab? Ergebnis: 0, Eine Fluggesellschaft bietet Linienflüge mit einem Airbus (300 Sitzplätze) an. Erfahrungsgemäß erscheinen nur 80% der Passagiere, die einen Platz gebucht haben, auch tatsächlich zum Abflug In welchem Interval um den Erwartungswert liegt mit 95% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der tatsächlich belegten Plätze bei einem ausgebuchten Flug? Ergebnis: [226 ; 254] Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem ausgebuchten Flug mindestens 250 Plätze belegt werden? Ergebnis: 8,5 % Aus Sparsamkeitsgründen ist die Fluggesellschaft dazu übergegangen, die Flüge überbuchen zu lassen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer 20% Überbuchung (d.h. 360 Plätze verkauft) nicht alle erscheinenden Fluggäste transportiert werden können (d.h. dass mindestens 301 Passagiere kommen)? Ergebnis: 4,9% Seite 5

6 Eine Herstellerfirma liefert Alarmanlagen, welche im Mittel zu 3% defekt sind Die Prüfungsabteilung einer Autowerkstätte entnimmt zur Kontrolle aus einer Lieferung n Geräte. Wie groß muss n mindestens sein, damit in der Stichprobe mit wenigstens 95% Wahrscheinlichkeit mindestens ein defektes Gerät vorkommt? Ergebnis: n Die Herstellerfirma liefert an einem Großhändler 500 Geräte. Berechnen Sie in welchem Intervall [ μ a ; μ + a] symmetrisch um den Erwartungswert μ liegt mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der fehlerhaften Geräte? Hinweis: Für die Standardnormalverteilung ist die Intervallformel: Ergebnis: a Der Anteil der Wähler, die für die Partei A gestimmt haben, beträgt 20% Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auszählung der 650 Briefwahlstimmen die Partei A weniger als 120 Stimmen erhält. Ergebnis: 15,2% a + 0,5 2 Φ ( ) 1 σ zum Wahrscheinlichkeits-Test und t-test (Student-Test) Ein Produzent will eine Fortsetzung eine Fernsehshow nur dann finanzieren, wenn mehr als 75 % der Zuschauer dies befürworten. Die Entscheidung für oder gegen eine Fortsetzung soll mit Hilfe einer Umfrage unter 200 zufällig ausgewählten Zuschauern dieser Sendung gefällt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Sendung irrtümlich fortgesetzt wird, d. h. das Signifikanzniveau soll höchstens 5 % betragen Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. Ergebnis: Bis zu einschließlich 160 Befürwortern wird die Sendung abgesetzt Der Stadionsprecher behauptet, dass seit der Fußball-WM im eigenen Land die Fußballbegeisterung in der Stadt gestiegen sei und mindestens 80 % der Einwohner dieser Stadt für einen Ausbau des Stadions seien. Um diese Behauptung zu testen, werden in der Halbzeitpause 100 zufällig ausgewählte Zuschauer befragt Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn die Tester die Behauptung des Stadionsprechers mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10 % irrtümlich ablehnen wollen? Ergebnis: Bei weniger als 74 Befürworter wird die Behauptung abgelehnt Seite 6

7 Ein Hauseigentümerverband behauptet, dass für Zweizimmerwohnungen in einer bestimmten Stadt die Durchschnittsmiete μ 0 höchstens 850 ist. Eine Stichprobe mit n = 100 Zweizimmerwohnungen liefert den Mittelwert x = 910 und die empirische Standardabweichung s = Ist die Hypothese des Hauseigentümerverbandes H aufgrund der Stichprobe bei einem Signifikanzniveau von α = 1% abzulehnen? Teilergebnis: T = 3, Ein Versandhaus hat eine Produktpalette für Besteller im mindest Alter von 55 Jahre konzipiert. Die Marketingabteilung möchte diese Produktpalette aber an den zahlreicheren Kunden deren mittleres Alter 50 Jahre beträgt anbieten. Aus diesem Grund wird ein Statistiker bemüht einen Test an n = 100 Besteller durchzuführen. Es ergibt sich ein Altermittelwert x = 50 Jahre und eine empirische Standardabweichung des Alters der Besteller von s = 12,5 Jahre Ergibt der Test, dass die H 0 Hypothese x 55 bei einem α von 5% abgelehnt werden muss? Teilergebnis: T = 3, Ein Autohersteller behauptet, dass der Benzinverbrauch in Liter pro 100 km seines neuen PKW-Typs höchstens 5.5 Liter beträgt. In einem Testversuch eines Automobilclubs wird der Benzinverbrauch in Liter pro 100 km bei 10 PKWs gemessen. Es ergaben sich folgende Werte x i : i x i 5,6 5,2 5,3 5,5 5,8 5,4 5,7 5,5 5,9 5, Berechnen Sie den Mittelwert, die Standardabweichung, formulieren Sie die H 0 Hypothese und berechnen Sie die Testgröße. Wird die H 0 Hypothese abgelehnt? Teilergebnis: T = 0, Eine Herstellerfirma umweltfreundlicher Energiesparlampen behauptet, dass die Haltbarkeit ihrer Lampen μ 0 = Stunden beträgt. In einem Langzeitversuch werden von n = 25 Energiesparlampen die Stundenzahlen x i gemessen, wie lange es dauert, bis die Lampe durchbrennt. Die Messungen lieferten den Mittelwert x = 9780 und eine empirische Standardabweichung von s = Formulieren und berechnen Sie den geeigneten t-test. Seite 7

8 Von n = 20 Patienten wird der Blutdruck vor x i und nach y i der Einnahme eines blutdrucksenkenden Medikamentes gemessen. Es soll untersucht werden ob sich der Blutdruck gesenkt hat. i x i y i d i i x i y i d i Formulieren Sie die H 0 Hypothese und überprüfen Sie, ob diese abgelehnt werden muss für die statistische Variable d i = x i y i Der Politbarometer behauptet, dass die Partei A weniger als 25% der Stimmen erreichen kann. Die Partei testet diese Behauptung als Nullhypothese indem sie eine Umfrage bei 200 Wahlberechtigten durchführt Wie viele der Testpersonen müssen sich mindestens für die Partei A entscheiden, damit die Nullhypothese auf dem 2% Signifikanzniveau verworfen werden kann? Ergebnis: Mindestens Die Werbung behauptet, dass mindestens 70% der Geschäftsreisen mit dem Zug zurückgelegt werden Diese Behauptung soll durch eine Umfrage an 600 Geschäftsleuten getestet werden. Ermitteln Sie die Entscheidungsregel, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit 5% ist. Ergebnis: Wenn mindestens 402 Geschäftsleute den Zug benutzen, dann kann die Behauptung nicht verworfen werden Folgende Tabelle liefert die gemessenen Blutzuckerwerte bei 10 Personen im nüchternen Zustand x i und nach Einnahme einer kleinen Mahlzeit y i : xi yi Formulieren Sie die H 0 Hypothese und überprüfen Sie, ob diese abgelehnt werden muss für die statistische Variable d i = x i y i. Seite 8