Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

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1 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Apl. Prof. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 4. Häufungspunkte, Konvergenz von Folgen und Reihen Untersuchen Sie die Folge a n n N auf Häufungspunkte. Geben Sie jeweils eine Teilfolge an, welche gegen den Häufungspunkt konvergiert. Konvergiert die Folge a n n N? Konvergiert die Reihe a n? nπ a a n = n tan 3 n= b a n = n cos n +n n+4 π a Es gilt falls n = 3k mit k N a n = 3 falls n = 6k 5 oder 6k 4 mit k N 3 falls n = 6k oder 6k mit k N. Bemerkung: Anstatt 6k 5, 6k 4, 6k und 6k sind auch 6k+, 6k+, 6k+4, und 6k+5 möglich. Hier wurde obige Notation verwendet, um die Elemente a, a, a 4 und a 5 ebenfalls aufzuführen. Die Häufungspunkte sind, 3 und 3. DieTeilfolge a 3k k N konvergiertgegendenhäufungspunkt.dieteilfolgen a 6k 5 k N und a 6k 4 k N konvergierengegendenhäufungspunkt 3.DieTeilfolgen a 6k k N und a 6k k N konvergieren gegen den Häufungspunkt 3. Die Folge konvergiert nicht, da sie drei Häufungspunkte besitzt. Die Folge a n n N ist keine Nullfolge darum konvergiert die Reihe a n nicht. b Es gilt a n = n cos nπ = { falls n ungerade k k n= falls n gerade mit n = k und k N Wegen a n n ist der einzige Häufungspunkt und die Folge a n n N ist eine Nullfolge. Die Reihe n= a n kann man wie folgt schreiben: a n = a k + a k+ = k k n= k= k= k= Die Folge k k ist eine monoton fallend Nullfolge. Daraus folgt nach Lemma.9.5, dass die Reihe a n konvergiert. n= Aufgabe H 4. Konvergenzkriterien für Reihen Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz im Teil b in Abhängigkeit vom Parameter a R +. Seite

2 4. Gruppenübung Höhere Mathematik a c n= n + n 7 n b n n n n= d n= n= a+ n n e n coshn a Sei u n = n. Es ist n u n = 4 und daher lim n Nach.9.6 konvergiert folglich die Reihe n un = 4 <. n. Sei v n = n 7. Es ist u n+ = + und daraus folgt lim n u n 7 n n n Nach.9.3 konvergiert folglich die Reihe 7. n n= n= u n+ u n = 7 <. Die Reihe n + n ist also konvergent als Summe von zwei konvergenten Reihen 7n n= Satz.9.3. b Sei u n = a+ n. Es ist n u n = a+ und daher n n n un = a. lim n Nach.9.6 konvergiert die Reihe für a < und divergiert sie für a >. Für a =, erhält man die Folge u n = + n n, die gegen e konvergiert und somit keine Nullfolge ist. Darum divergiert die Reihe auch in diesem Fall. c Sei u n = n n n. Wegen n n n+ n u n = n+ n = n+ n ist die Folge u n monoton fallend mit lim u n = lim = n n n+ n folgt nach Lemma.9.5, dass die Reihe konvergiert. e n d Es ist coshn = e n e n +e = n e n +e < 4n en. Die geometrische Reihe n konvergiert wegen e e <. Nach.9. konvergiert die Reihe e n coshn n= n= ebenfalls. Aufgabe H 4. Geometrische Reihen Konvergiert die Reihe? Berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert. Seite

3 4. Gruppenübung Höhere Mathematik a k=3 3 k+ k b k= e k e k a Sei a k = 3k+ k für k N. Es ist a k = 3 k 3. Wir haben 4 a k = k=3 a k k= a k = 3 k= k= k k= k 3. 4 Die Reihe k= k 3 ist eine geometrische Reihe mit q = 3. Nach.8.4 haben wir 4 4 n k= q k = q qn+ q. < gilt lim n qn+ = nach.5.8. Daraus folgt dass die Reihe konvergiert Für q = 3 4 mit 3 k+ = 3 k k= = k b Sei a k = e e k k für k N. Es ist a k =. Die Reihe k e k= e geometrische Reihe mit q =. Nach.8.4 haben wir e ist eine n k= q k = q qn+ q. Für q = e konvergiert mit < gilt lim n qn+ = nach.5.8. Daraus folgt dass die Reihe k= k = e. e Aufgabe H 43. Teleskopreihen Konvergiert die Reihe? Berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert. a k b ln k! k= k= k k +k. Seite 3

4 4. Gruppenübung Höhere Mathematik a Sei S n = n k = n k= k! k= S n =! +!! 3! }{{}}{{} k= k=3 k!. Wir erhalten k! + + n! n! }{{} k=n n! = n! n!. }{{} k=n + Es ist k = lim S n =. Insbesondere konvergiert die Reihe. k= k! n b Sei S n = n k ln = n k k ln ln. Wir erhalten k= k +k k= k + k 3 S n = ln ln + ln ln }{{}}{{} k= k=3 n n n n ln ln n n }{{} Es ist k=n + ln ln n+ n }{{} k=n k ln = lim S n = ln ln k +k n k= Insbesondere konvergiert die Reihe. Online-Aufgabe. Sie finden Ihre Online-Aufgabe auf folgender Webseite. = ln Bitte geben Sie dort zunächst Ihre Matrikelnummer ein. n = ln ln n+ = ln. Die Lösungen sind als ganze Zahlen oder als Dezimalzahlen mit einem Dezimalpunkt einzugeben. Sonstige Zeichen wie zum Beispiel Klammern oder Operatoren wie / und dürfen nicht benutzt werden. Anschließend müssen Sie das per an Ihre studentische adresse erhaltene Passwort für die Onlineübungen eintragen. Innerhalb des Bearbeitungszeitraums können Sie Ihre Eingaben beliebig oft wiederholen, wobei die letzten Eingaben gewertet werden. Der Bearbeitungszeitraum endet mittwochs, nach der Abgabe der schriftlichen Übungen in den Übungsgruppen, um 4: Uhr. Sie erhalten für die Bearbeitung der Online-Aufgabe bis Punkte.. Seite 4

5 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 44. Stetigkeit Gegeben sei die Funktion f: [,3] R durch fx = { sigx x für x für x > x für x < mit sigx := für x = für x > Apl. Prof. M. Stroppel a Fertigen Sie eine Skizze des Graphen von f an. Beachten Sie den Definitionsbereich. b Zeigen Sie mittels der ε-δ-definition, dass f im Punkt stetig ist. c Zeigen Sie, dass f im Punkt unstetig ist.. a Es ist x für x [, fx = x für x [,] für x,3] x Damit lässt sich f skizzieren:. b Da die Funktion stückweise definiert ist, machen wir eine Fallunterscheidung. Der erste Fall betrachtet < ε, sodass der Funktionswert der Sprungstelle f = ; siehe Skizze nicht in unserem ε-bereich liegt. Wir geben zwei Lösungsvarianten an: Variante Mittels Äquivalenzumformungen aus der gewünschten Ungleichung: fx f < ε ±x < ε x < ε x < ε x δ,δ mit δ = ε Seite 5

6 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Hinweis: Hier bei können wir auch aus der Rechnung ε folgern: Damit fx = ±x gilt, muss x [,] erfüllen, also δ gelten. Aus ε = δ folgt nun ε Variante Man rät ein geschicktes δ aus der Skizze, z.b. wähle δ = ε. Dann gilt für alle x δ,δ fx f = x < δ = ε ε. Auch hier sehen wir wieder aus der Rechnung, dass δ,ε gelten muss. Nun betrachten wir den zweiten Fall ε >, sodass der Funktionswert der Sprungstelle in unserem ε-bereich liegt. Wähle hier δ =. Dann gilt für alle x δ,δ fx f = x < = < ε. Somit existiert für alle ε > ein δ > mit fx f < ε für alle x δ,δ. Nach der ε-δ-definition ist f folglich stetig in x =. c Sei die Folge a n n N definiert durch a n = +. Dann konvergiert a n n gegen und die Folge fa n = + = n konvergiert gegen f =. Somit ist f n+ n unstetig in x =. Aufgabe H 45. Stetigkeit Seien a,b R Parameter. Wir betrachten die Funktionen f,g: R R mit sinx+ für x < b e x x für x < b b x fx = und gx = ax 3 + für x coslnx + für x b x + a Berechnen Sie lim fx, lim fx, lim gx, lim gx x x + x x + für die Funktion g in Abhängigkeit vom Parameter b. b Für welche Werte des Parameters a ist f an der Stelle stetig? c Für welche Werte des Parameters b ist g an der Stelle stetig? a Es gilt lim x lim x + sinx+ sinx+ fx = lim = lim x x x x+ x sint = lim lim = t t x x ax 3 + fx = lim x + x + = a, lim x coslnx + = für b < lim gx = x =, b e lim x x b x = lim x = für b =, b e lim x x b x = für b > Seite 6

7 5. Gruppenübung Höhere Mathematik lim gx = x + lim x + coslnx + = für b < lim x + coslnx + = für b = b e lim x x + b x = für b >. b f ist genau dann stetig in, wenn lim fx = f = lim fx gilt. Nach x x + Aufgabenteil a und mit f = a gilt dies genau dann, wenn = a, also genau für a =. c g ist genau dann stetig in, wenn lim gx = g = lim gx gilt. Nach Aufgabenteil a und mit x x + { für b g = für b > gilt dies genau für alle b. Aufgabe H 46. Grenzwerte von Funktionen Untersuchen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte. tan3x+x a lim x x e cosx+ c lim x + lnx 3x 4 +5x +x 7 b lim +x sin x x 4 7x 7 +x d lim x + x +x x +3x. x a tan3x+x lim = lim x x = b x lim t sin3x 3 3x cos3x + x sint lim t x = 3 + = 3. 3x 4 +5x +x 7 lim x x 4 7x 7 +x = lim x = lim x x 3 x 5 x 7 7+ x 3 x 6 = 7 + = 6 7. c Für x > gilt < ecosx+ lnx 3 x x 5 + x 7 x 3 7+ x 6 e3 lnx e cosx+ +x sin + sin x x + 3 cos3x lim t x + sint t e 3. Zudem gilt lim x + lnx lim x x =. Mit dem Sandwich-Kriterium folgt somit lim = x + lnx Seite 7

8 5. Gruppenübung Höhere Mathematik d lim x + x +x x +3x = lim x +x+ x +3x x + x +x x +3x x x++ x+3 = lim x + = lim x + x x++ x+3 =. x Aufgabe H 47. Intervallhalbierungsmethode Gegeben sei die Funktion f: [,π] R: x e x/3 +sinx. a Skizzieren Sie den Graphen von f. Beachten Sie den Definitionsbereich. b Zeigen Sie, dass f im Intervall [ π, ] 3π genau eine Nullstelle besitzt. c Finden Sie mittels der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall I = [a, b], das diese Nullstelle enthält und b a <,4 erfüllt. Hinweis: Funktionswerte dürfen mit einem Taschenrechner näherungsweise bestimmt werden. a Man kann f mittels einer Wertetabelle oder als Summe der bekannten Funktionen x e x/3 und x sinx einzeichnen: b Die Funktion f ist als Verknüpfung stetiger Funktionen ebenfalls stetig und es gilt π π f = e }{{} π/6 +sin > und f 3π = e π/ }{{} e +sin 3π e <. π Nach dem Nullstellensatz von Bolzano existiert somit eine Nullstelle im Intervall, 3π π Weiterhin ist die Funktion x sinx im Intervall, 3π streng monoton fallend. Seite 8.

9 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Ebenso die Funktion x e x/3, da x e x streng monoton wächst. Folglich ist f ebenfalls streng monoton fallend und es folgt die Eindeutigkeit der Nullstelle. c Wir setzen a = π und b = 3π. Dann gilt a +b f = fπ = e π/3 +sinπ = e π/3 >. Somit setzen wir a = a +b = π und b = b = 3π. Es gilt jetzt a +b 5π 5π f = f = e 5π/ 4 }{{} +sin < 4 e <e }{{}}{{} < = </ / <. Daher setzen wir a 3 = a = π und b 3 = a +b = 5π. Nun gilt 4 a3 +b 3 9π f = f,75 <. 8 Folglich setzen wir a 4 = a 3 = π und b 4 = a 3 +b 3 = 9π 8. Es gilt nun b 4 a 4 = π 8 < 3, =,4. Das gesuchte Intervall ist daher 8 Online-Aufgabe. [ π, 9π 8 Sie finden Ihre Online-Aufgabe Bearbeitungszeit auf folgender Webseite. ]. Seite 9

10 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel 6. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Apl. Prof. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 48. Konvergenz von Potenzreihen Schreiben Sie fz = a n z z n mit geeigneten a n C und z C. n= Bestimmen Sie den Entwicklungspunkt und den Konvergenzradius von fz. Untersuchen Sie die Potenzreihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz in z = i. a fz = 5z i k b fz = k= n= i n +i+n nniz a Es ist fz = 5z i k = k= 5 k z i 5 k = a n z z n k= n= mit Entwicklungspunkt z = i 5 a n = und Koeffizienten { 5 n für n gerade für n ungerade. Es ist n an = { 5 für n gerade für n ungerade. n Somit ist lim an = 5 und der Konvergenzradius ist ρ =. n + 5 Wegen i i 5 = 4 > ρ ist die Reihe f im Punkt i divergent. 5 b Es ist fz = = i n n niz +i+n = a n z z n n= n= n= i n n nz + in = mit Entwicklungspunkt z = +i und Koeffizienten { für n = a n = n für n. n n Es ist { n für n = an = n für n. n n= n z + in nn Seite

11 6. Gruppenübung Höhere Mathematik n Somit ist lim an = lim n + n + n n = und der Konvergenzradius ist ρ =. Wegen i +i = = ρ lässt sich mittels des Konvergenzradius keine Aussage über die Konvergenz treffen. Daher betrachten wir fi = n= i n n nin = n n= n. Diese Reihe ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, da die harmonische Reihe n divergiert. n= Aufgabe H49. Formel von Euler und de Moivre Schreiben Sie fx jeweils als Linearkombination von Funktionen der Form e inx mit n Z. Schreiben Sie sodann fx als Linearkombination von Funktionen der Form sinnx und cosmx mit n N und m N. a fx = cos3x 4 sin6x b fx = cosxsinx +cos5x 3 +cosx cosx a Es gilt b Es gilt fx = cos3x 4 sin6x e i3x +e i3x 4 = ei6x e i6x i = e ix +4e i6x +6+4e i6x +e ix ei6x e i6x 3i = 3i ei8x + 4 3i eix + 5 3i ei6x 5 3i e i6x 4 3i e ix = e i8x e i8x + e ix e ix + 5 e i6x e i6x 3i 8i 3i = 6 sin8x+ 4 sinx+ 5 6 sin6x. fx = cosxsinx +cos5x 3 +cosx cosx = cosx sinx +cosx +cos5x 3 = cosx+cos5x 3 = eix +e ix e i5x +e i5x + = eix + e ix + 8 ei5x ei5x e i5x + 8 e i5x = e ix +e ix e i5x +e i5x = cosx+ 4 cos5x+ 3 4 cos5x. e i5x +e i5x 3i e i8x Seite

12 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 5. Ableitungen a Sei a,+. Bestimmen Sie die Ableitung von f:,+ R: x x alnx an der Stelle x = a mittels des Differenzenquotienten. b Bestimmen Sie für die folgenden reellwertigen Funktionen jeweils ein maximales Intervall auf dem sie durch die gegebenen Terme definiert sind. Berechnen Sie die Ableitungen mittels der Regeln aus..,..3 und..5: x i gx = cos sin x x ii hx = x+5 x iii jx = sinxcosx+ a Es ist f fx fa x alnx a = lim = lim = limlnx = lna. x a x a x a x a x a x b i Die Funktion g ist definiert auf ganz R; g : R R : x cos sin x. Die Ableitung erhält man mittels Anwendung der Produkt- und der Kettenregel: x g x = sin sin x x +cos cos x x x = xcos cos x x sin sin x. ii DieFunktion h istdefiniert auf 5,+ ; h : 5,+ R : x x+5 x = e xlnx+5. Die Ableitung erhält man mittels Anwendung der Produkt- und der Kettenregel: h x = d dx exlnx+5 = e xlnx+5 lnx+5+ x x+5 x = x+5 x x+5 +lnx+5. x iii Die Funktion j ist definiert auf [,+ ; j : R R : x sinxcosx+. Die Ableitung erhält man mittels Anwendung der Produkt- und der Quotientenregel: Hierfür gibt es folgende Varianten:. Variante Man bestimmt die Ableitung von j direkt über die angegebene Form. j x = sinxcosx++ x cosxcosx+sinxsinx x sinxcosx+ = sinxcosx+ xcosx +xsinx xsinxcosx+.. Variante Man verwendet zunächst das Additionstheorem sinxcosx = sinx x und erhält somit die Darstellung jx = für j. Diese leitet man sinx+ nun ab: j x = x sinx+ xcosx sinx+ = sinx 4xcosx+ xsinx+ Seite

13 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 5. Kettenregel a Differenzieren Sie cosx +sinx expsinx 3 7x +cos9x. b Es bezeichnen g,h: R R die Polynomfunktionen gx = x 4 4x 3 x +x+ und hx = x 5 +x 3 +x. Bestimmen Sie die Nullstellen der Ableitung von h g: R R: x hgx. a Man erhält die Ableitung durch mehrfache Anwendung der Kettenregel: d cosx +sinx exp sin x 3 7x +cos9x dx }{{} = = d dx esinx3 7x +cos9x = e sinx3 7x +cos9x cos x 3 7x +cos9x 3x 34x sin9x 9 = 3x 34x 9sin9x cos x 3 7x +cos9x e sinx3 7x +cos9x. b Es gilt h g x = h gx g x. Somit sind die Nullstellen von h g genau die Nullstellen von h g und g x. g x = 4x 3 x 4x+ = 4 x 3 3x x+3, h x = 5x 4 +6x +. Somit gilt h x > für alle x R. Insbesondere folgt h gx = h gx > für alle x R,alsobesitzt h g keinenullstellen.fürdienullstellenvon g sehenwir,dass = und erhalten mittels Polynomdivision und der Mitternachtsformel 4x 3 x 4x+ = 4 x 3 3x x+3 = 4x x x 3 = 4x x+x 3. Also besitzt g die Nullstellen, und 3 und nach Obigem besitzt die Ableitung von h g genau die gleichen Nullstellen. Online-Aufgabe. Sie finden Ihre Online-Aufgabe Bearbeitungszeit auf folgender Webseite. Seite 3

14 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Apl. Prof. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 5. Ableitungen Sei die Funktion fx = x 4+arctanxlnx. a Bestimmen Sie die maximale Teilmenge D R, auf der f durch diesen Funktionsterm definiert werden kann. b Wo ist f differenzierbar? c Berechnen Sie f und f. a Die Wurzelfunktion ist auf [,+ definiert, darum muss x 4 sein. Diese letzte Funktion ist gleich null für x = und x = und ist, wenn x oder x. Darum ist die Verkettung x 4 auf, ] [,+ definiert. Die Logarithmusfunktion ist auf,+ definiert, darum muss x > sein. Der Definitionsbereich von arctan ist R. Deswegen ist D = [,+ die maximale Teilmenge, auf der f durch fx = x 4+arctanxlnx definiert werden kann. b Die Verkettung x 4 ist auf, ] [,+ definiert. Aber, da die Wurzelfunktion an der Stelle nicht differenzierbar ist, müssen wir die Punkte herausnehmen, an denen x 4 null ist. Das heißt, die Verkettung x 4 ist nur auf,, + differenzierbar. Tatsächlich sind die Logarithmusfunktion und arctan Funktionen auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar. Darum ist die Funktion f auf dem Bereich, + differenzierbar. c Die Ableitung von f ist: f x = x x 4 + +x lnx+arctanx x = xx 4 + lnx +x + arctanx. x Die zweite Ableitung von f ist: f x = x 4 x xx 4 3 x + +x lnx x + +x = x 4 x x x arctanx +x x x+x lnx x +x + x+x arctanx x = 4x x+x lnx x +x arctanx x. Seite 4

15 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 53. Ableitungen einer Funktionsschar Sei h : R R : x x +x mit d >. x +d a Bestimmen Sie die Ableitung h : R R von h. b Bestimmen Sie das Verhalten von h und h für x gegen ±. c Bestimmen Sie für h die Bereiche mit positiven bzw. negativen Funktionswerten. a Die Ableitung von f ergibt sich mittels der Quotientenregel: b Es ist h x = 4x+ x +d x +x x x +d = x +4dx+d x +d. + x lim hx = lim = x ± x ± + d x 4d + lim x ± h x = lim + d x x x ± x + d =. x c Zunächst bestimmen wir die Nullstellen von h mit der Mitternachtsformel: h x = x +4dx+d x / = 4d± 4d +4d = d 4d +d. Wegen d > ist die Diskriminante positiv4d +d > und somit besitzt h immer zwei verschiedene Nullstellen. Zudem ist der Nenner von h immer positiv x +d >, also x +d >. Da x +d > für alle x R und lim x ± x +4dx+d =, gilt, besitzt h auf den Intervallen,d 4d +d und d+ 4d +d,+ negativefunktionswerteundaufdemintervall d 4d +d,d+ 4d +d positive Funktionswerte. Bemerkung: Als alternative Begründung zur Grenzwertbetrachtung kann hierfür auch verwendet werden, dass der Zähler von h eine nach unten geöffnete Parabel ist. Aufgabe H 54. Differenzierbarkeit und Tangente Sei m,p R ein Parameterpaar mit p,. Wir betrachten die Funktion f: R R mit x +m für x fx = für x > x +px+ a Skizzieren Sie den Graphen von f für m,p {,,, }. b Für welche Parameterpaare m, p ist f an der Stelle stetig? c Für welche Parameterpaare m, p ist f an der Stelle differenzierbar? d Bestimmen Sie für den in c bestimmten Wert von m, p die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle. Skizzieren Sie diese Tangente an den Graphen. Seite 5

16 7. Gruppenübung Höhere Mathematik a Hier sind die Skizze. b Auf, und, + ist f durch die Verknüpfung von Funktionen definiert, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich auch stetig sind. Deswegen ist die Funktion f auf R\{} stetig. Wir berechnen dann die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von f an der Stelle : lim fx = lim +m = +m = f x x x und lim fx = lim x + x + x +px+ = =. Die Funktion f ist an der Stelle stetig nur wenn beide Grenzwerte den gleichen Wert f haben, das heißt, nur für m = ist f auch an der Stelle stetig. c Die erste Bedingung an die Funktion f um an der Stelle differenzierbar zu sein ist, dass sie an der Stelle stetig ist. Folglich muss m = gelten. Dann ist die Funktion f an der Stelle differenzierbar wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an der Stelle existieren und dieselben sind. So berechnen wir und fx f lim x x fx f lim x + x = lim x x + x x = lim x x x+ x x = lim x x x = lim = x x+ x = lim x + x +px+ x = lim x + x px xx +px+ = lim x + x p x +px+ = p. Das heißt, f ist an der Stelle differenzierbar, falls m = und p = 4 gilt. d Die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle ist dann y = f x +f, das heißt y = x +. Seite 6

17 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 55. Ableitung der Umkehrfunktion Sei f : R R : x coshx sinx. a Bestimmen Sie die Ableitung von f. [ b Zeigen Sie, dass f auf dem Intervall, π ] streng monoton wächst und bestimmen [ Sie damit ein Intervall I R so, dass f :, π ] I bijektiv ist. [ c Nach Aufgabenteil b gibt es eine Umkehrfunktion f : I, π ] zu f. Bestimmen Sie die Geradengleichung der Tangenten an den Graphen von f im Punkt π cosh, π. Gibt es eine Tangente an den Graphen von f im Punkt,? a Zur Bestimmung der Ableitung schreiben wir f als natrürliche Exponentialfunktion und wenden die Ketten und die Produktregel an: f x = d dx esinxlncoshx = e sinxlncoshx cosx lncoshx+sinx sinhx coshx = cosxlncoshx+ sinxsinhx coshx sinx. coshx b Zum Nachweis der Monotonie gibt es zwei Lösungsvarianten:. Variante Wir verwenden die Ableitung f und zeigen, dass diese immer positiv ist außer eventuell in den Randpunkten und π : Sei x, π ]. Dann gilt cosx >, coshx >, sinx >, sinhx > und es folgt f x = } cosx lncoshx {{}}{{} > > Somit ist f streng monoton wachsend. + sinxsinhx coshx } {{ } > } coshxsinx > {{} >. Variante Wir verwenden die Definition von streng monoton wachsend: Seien a,b [, π mit a < b. Dann gilt cosha < coshb und sina < sinb, da cosh =, sin = und cosh und sin auf [, ] π streng monoton wachsen. Damit folgt sina sina cosha coshb < coshb sinb. Dabeigiltin Gleichheitgenaudann,wenn a = ist.in istkeinegleichheit möglich, da coshb > gilt. Somit haben wir die strenge Monotonie von f nachgewiesen. π Nun gilt f = und f gesuchte Intervall. π = cosh. Somit ist I = [ π, cosh ] ] das Seite 7

18 7. Gruppenübung Höhere Mathematik c Es ist f cosh π die Steigung der Tangenten. Diese berechnen wir mittels Satz.3.. Weiter ist f cosh π = π und π f = + sinh π π π cosh cosh = sinh π und damit π f cosh = Damit erhalten wir die Tangente t : R R : x sinh π f f cosh = π π x cosh + π = sinh π sinh. π x+ π cosh π sinh. π Es ist f = und f =. Somit lässt sich die Ableitung von f an der Stelle nicht mit Satz.3. bestimmen. Genauer ist f in nicht differenzierbar und hat eine senkrechte Tangente es gilt lim f x = +. Diese senkrechte Tangente wird durch x die Gleichung x = beschrieben. Online-Aufgabe. Sie finden Ihre Online-Aufgabe Bearbeitungszeit auf folgender Webseite. Seite 8

19 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Apl. Prof. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 56. Die Regel von l Hospital Sei a R ein Parameter. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. a lim x x sinxcosx x 3 e x x b lim x + ax +lnx a Es gilt limx sinxcosx = lim x x x3 e x =, also können wir die Regel von l Hospital anwenden. Es folgt x sinxcosx lim x x 3 e x = lim x cosx 3x x 3 e x falls der rechte Limes existiert. Wir benützen hier sinxcosx = sinx für die Ableitung. Im Folgenden benützen wir noch zweimal die Regel von l Hospital in beiden Schritten haben wir ein Problem der Form und erhalten lim x cosx = lim 3x e x x 3 e x x sinx 6x 6x +x 3 e x 4cosx = lim x 6 8x+9x x 3 e = x 3. Beobachtung: man kann auch bemerken, dass lim =. Dann kann man dasselben e x Gedankengang wie oben machen aber nur für x sinxcosx und die Ableitungen werden einfacher. b Man beobachtet zuerst, dass, für x, gilt x x 3 x ax +lnx =. a+ lnx x MankanndanndieRegelvonl HospitalfürdenTerm lnx x benutzen,da lim x + lnx = lim x + x = +. Man erhält lnx lim x + x = lim x + x x = lim x + x = x und daraus folgt, dass lim x + = wenn a. ax +lnx a x Für a = sieht man sofort, dass lim x x + = lim ax +lnx x + lim x + lnx x = und lnx x > für x >. Aufgabe H 57. Mehr Grenzwerte Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. lnx = + da Seite 9

20 8. Gruppenübung Höhere Mathematik a lim x sin x x e x x sinx b lim x + x+sinx a Man benutzt hier zweimal nacheinander die Regel von l Hospital in beiden Schritten haben wir ein Problem der Form. Wir erhalten lim x sin x x e x = lim x sinx e x xe x = lim x cosx +xe x =. sinx Beobachtung: man kann auch bemerken, dass lim =. Dann braucht man nur x x sinx einmal die Regel von l Hospital um lim zu erklären. x ex b Es gilt x sinx x+sinx Aus dem Sandwichsatz folgt lim x + sinx x sinx x = + sinx x. =. Wir erhalten dann x sinx lim x + x+sinx = =. Beachten Sie, dass die Regel von l Hospital hier nicht gilt, da lim x + sinx und lim x + +sinx nicht existieren. Aufgabe H 58. Taylorpolynome Wir betrachten die durch fx = x 5 5x 4 +3 gegebene Funktion f: R R. Skizzieren Sie alle im Folgenden verlangten Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem. a Berechnen Sie die Ableitungen f j x für j {,,,3,4} und skizzieren Sie den Graphen von f auf dem Intervall [, 5 ]. b Berechnen Sie das Taylorpolynom T 4 f,x, und skizzieren Sie den Graphen von T 4 f,x, auf dem Intervall [, ]. c Berechnen Sie das Taylorpolynom T f,x, und skizzieren Sie den Graphen von T f,x, auf dem Intervall [, 3 ]. d Berechnen Sie das Taylorpolynom T f,x, und skizzieren Sie den Graphen von T f,x, auf dem Intervall [ 3, 5 ]. Seite

21 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Hier sind die Skizzen. a Die vier ersten Ableitungen von f sind b T 4 f,x, = 3 4! x4 = 3 5x 4. c T f,x, = x. fx = x 5 5x 4 +3, f x = x 4 x 3, f x = 4x 3 6x, f 3 x = x x, f 4 x = 4x. d T f,x, = 3+ 8 x = 3+4x. Aufgabe H 59. Taylorreihen Gegeben seien die folgenden Funktionen: f:,+ R: x x x+ und g: R R: x sinxcosx a Bestimmen Sie für beliebiges n N die n-te Ableitung von f und g. b Berechnen Sie die Taylorreihen Tf,x, und Tg,x,. c Weisen Sie mit Hilfe des Restglieds nach Lagrange die Übereinstimmung von Tg, x, und gx für x R nach. a Die ersten Ableitungen von f sind fx = x x+, f x = x+, f x = x Seite

22 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Die n-te Ableitung, für n, ist f n x = n+ n!x+ n. Das gilt für n =, und der allgemeine Fall folgt durch Induktion da f n+ x = f n x = n+ n! n x+ n = n+ n+!x+ n. Die ersten Ableitungen von gx = sinxcosx = sinx sind gx = sinx, g x = cosx, g x = sinx, und wir berechnen, wieder durch Induktion, dass die n-te Ableitung gegeben ist durch { n g n n cosx, n ungerade, x = n n sinx, n gerade. Tatsächlich, falls n ungerade ist, ist n+ gerade und es gilt g n+ x = g n x = n n sinx = n+ n sinx und, falls n gerade ist, ist n+ ungerade und es gilt g n+ x = g n x = n n cosx = n n cosx. b Wir haben f = und für n. Es folgt Tf,x, = f n = n+ n! = n+ n! n+ n n= n+ n! x n = n n! n+ x n. n Für n gerade gilt g n =, und für n = k + ungerade erhalten wir Es folgt c Das Restglied lautet n= g k+ = k k. Tg,x, = k= k k k +! xk+. R n g,x, = gn+ ξ n+! xn+ mit ξ R. Da cosξ und sinξ erhalten wir R n g,x, n x n+ n+! = x n+ n+! für n siehe Beispiel.5.9 für alle x R. Daraus folgt für alle x R. lim T ng,x, = gx n + Seite

23 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Apl. Prof. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Unbestimmte Integrale Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale. a x cosx dx b 6x 8 e x3 dx a Mit Hilfe partieller Integration erhalten wir: [ ] xcosxdx = xsinx sinxdx [ = xsinx+ ] 4 cosx. b Wir substituieren u = x 3, also ist du = 3x dx und 6x 8 e x3 dx = u e u du. Partielle Integration ergibt u e u du = [ u e u] 4ue u du = [ u e u 4ue u] + 4e u du = [ u 4u+4e u]. Es folgt 6x 8 e x3 dx = [ x 6 4x 3 +4e x3]. Aufgabe H 6. Partielle Integration Sei I n = π/ cosx n dx. Drücken Sie I n durch I n aus und berechnen Sie I 6 und I 7. Seite 3

24 9. Gruppenübung Höhere Mathematik a Wir schreiben cosx n = cosxcosx n. Durch partielle Integration erhält man: I n = [ sinxcosx n ] π/ = n = n π/ π/ = n I n n I n. Es folgt I n = n n I n. b Wir berechnen und Es folgt Ähnlich ist und Es folgt π/ cos xcosx n dx cosx n dx n I = n sinx sinxcosx n dx π/ I 6 = 5 6 I 4 = I = I, π/ I = Aufgabe H 6. Extrema und Wendepunkte π/ I 6 = 5π 3. dx = π. I 7 = I, cosx n dx cosxdx = [sinx] π/ =. I 7 = Wie betrachten die Funktion f: R R: x 5x x 4. a Bestimmen Sie eine Stammfunktion F von f, die an der Stelle gleich 7 ist. Bestimmen Sie die Nullstellen von F. b Bestimmen Sie die lokalen Extrema von F. Bestimmen Sie die Wendepunkte von F. c Für jeden der in b bestimmten Extremal- und Wendepunkte, bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von F an diesem Punkt. d Skizzieren Sie den Graph von F und die in c bestimmten Tangenten. Seite 4

25 9. Gruppenübung Höhere Mathematik a Die Stammfunktionen von f sind durch das Integral 5x x 4dx = 3x 5 x 3 +c, c R gegeben. Dann ist 7 = F = 7+c, also ist c =. Die gesuchte Stammfunktion ist dann Fx = 3x 5 x 3. Die Nullstellen von Fx = x 3 3x sind, 5 3 und 5 3. b Die Nullstellen von F = f sind, und. An der Stelle x = ist F = f negativ, also ist diese Stelle keine Extremstelle. Das Vorzeichen von F ändert sich an den Stellen und, also sind diese Stellen die Extremstellen von F. Die lokalen Extrema sind dann, 64 und,64. Die Wendepunkte von F sind die Nullstellen von F x = f x = 6x 3 x, also, und. c Die Tangente an den Graphen von F an der Stelle x = a ist durch y = Fa + F ax a gegeben. Also haben wir d Hier die Skizze: an : y =, an : y = 64, an : y = 64, an : y = 8 6x = 3 6x, an : y = 8 6x+ = 3 6x. Seite 5

26 9. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 63. Partielle Integration, Substitution Wie betrachten die folgende Funktion. f: R R: x cosxsinx a Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Substitution eine Stammfunktion von f. b Bestimmen Sie mit Hilfe partieller Integration eine Stammfunktion von f. c Überprüfen Sie, ob g: R R: x sin3x+ 6 cosx+ 4 sinx+ 3 sinx +5 auch eine Stammfunktion von f ist. d Sei F die Stammfunktion von f, die an der Stelle gleich ist. Finden Sie eine lokale Extremstelle von F. a Wir substituieren u = sinx, also ist du = cosxdx. Es folgt [ ] cosxsinx dx = u du = 3 u3 = also ist 3 sinx3 eine Stammfunktion von f. [ 3 sinx3 b Partielle Integration ergibt cosxsinx dx = [ sinx 3] sinx cosxsinxdx = [ sinx 3] cosxsinx dx. ], Es folgt 3 cosxsinx dx = [ sinx 3], also ist 3 sinx3 eine Stammfunktion von f. c Beachten Sie, dass cosx = sinx ist. Also gilt gx = sin3x+ 6 3 sinx + 4 sinx+ 3 sinx +5 = sin3x+ 3 sinx Wir berechnen g x = 4 cos3x+ 4 cosx. Mit Hilfe der Formeln von de Moivre und Euler erhalten wir e fx = cosxsinx ix +e ix e ix e ix = i = eix +e ix e ix +e ix 8 = e3ix +e 3ix e ix e ix 8 = 4 cos3x+ 4 cosx = g x. Seite 6

27 9. Gruppenübung Höhere Mathematik Also ist g eine Stammfunktion von f. d Eine allgemeine Stammfunktion von f hat die Form Fx = 3 sinx3 +c, c R. Weil unsere gesuchte Stammfunktion = 3 sin3 +c = c erfüllt, gilt Fx = 3 sinx3. Die Extremstellen von F sind die Nullstellen von F = f, an denen sich das Vorzeichen von F ändert. Wir berechnen { nπ } = fx = cosxsinx x n Z, d.h. die Nullstellen von f sind die von cosx bzw. sinx. An den Nullstellen von sinx ändert sich das Vorzeichen von F nicht, aber das Vorzeichen von F ändert sich an den Nullstellen von cosx. Darum sind die Extremstelle von F { } n+π n Z. Online-Aufgabe. Sie finden Ihre Online-Aufgabe auf folgender Webseite. Seite 7

28 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Apl. Prof. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 64. Partialbruchzerlegung und Integration Sei fx = x5 +x 3 +x +7x. x 3 x +9x 9 a Führen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von f aus notfalls nach Polynomdivision mit Rest. b Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. a Erst führt man die Polynomdivision durch: x 5 +x 3 +x +7x = x x 3 x +9x 9+x 4 +x 3 +x +7x Daraus folgt = x +xx 3 x +9x 9+3x 3 +x +6x = x +x+3x 3 x +9x 9+5x x+6. fx = x +x+3+ 5x x+6 x 3 x +9x 9. Da x 3 x +9x 9 = x x +9 sieht die reelle Partialbruchzerlegung wie folgt aus 5x x+6 x 3 x +9x 9 = a x + bx+c x +9 mit a,b,c R. Also gilt 5x x+6 = ax +9+bx+cx. Für x = erhalten wir d.h. a =. Für x = erhalten wir = a, 6 = 9a c = 9 c, d.h. c = 3. Schließlich setzen wir x = zum Beispiel und erhalten Daraus folgt b = 4 und = a+b c = 4+b. fx = x +x+3+ x + 4x+3 x +9. Beachten Sie, dass man auch das Gleichungssystem a+b = 5 b+c = 9a c = 6 lösen kann, um die Konstanten a,b und c zu bestimmen. Seite 8

29 . Gruppenübung Höhere Mathematik b Wir berechnen fx dx = x +x+3+ x + 4x+3 x +9 dx = 3 x3 + 4x x +3x+ln x + x x +9 dx = 3 x3 + x x +3x+ln x + x x dx 3 + = 3 x3 + x x +3x+ln x +ln x +9 +arctan +c, 3 mit c R. Also ist Fx = 3 x3 + x x +3x+ln x +lnx +9+arctan 3 eine Stammfunktion von f. Merken Sie, dass x +9 immer positiv ist. Aufgabe H 65. Partialbruchzerlegung und Integration Berechnen Sie die folgenden Integrale. x a x dx 3 b x x +x dx. a Wir führen erst die reelle Partialbruchzerlegung durch: Also gilt x x 3 = a x + b x + x = ax +bx +c. Für x = erhalten wir 4 = c. Damit ergibt sich c x 3. x = ax +b 4ax+4a b+4. Es folgt a = und 4a b+4 =, also b = 4 und wir erhalten Das Integral ist dann x x dx = 3 x x = 3 x + 4 x + 4 x 3. = x + 4 x + 4 x dx 3 ]. [ ln x 4 x x Seite 9

30 . Gruppenübung Höhere Mathematik b Wir führen erst die reelle Partialbruchzerlegung durch. Da x +x = x+4x 3 gilt, verwenden wir den folgenden Ansatz: Also gilt Für x = 4 erhalten wir d.h. a =, und für x = 3 erhalten wir x x +x = a x+4 + b x 3. x = ax 3+bx+4. 4 = 7a, 7 = 7b, d.h. b =. Das Integral ist dann x x +x dx = x+4 x 3 dx = [ln x+4 ln x 3 ]. Aufgabe H 66. Obersumme und Untersumme Sei f: [,] R: x 8 x3 +x. a Bestimmen Sie die Vorzeichenverteilung der Ableitung f und finden Sie das Maximum von f. Skizzieren Sie den Graphen von f. b Berechnen Sie fxdx. c Wir betrachten die Partition Q = {,,,} des Intervalls [,]. Stellen Sie die Obersumme Sf, Q graphisch als Flächeninhalt dar. Berechnen Sie Sf,Q und Sf,Q. d Schließen Sie daraus eine obere und eine untere Schranke für den Wert von π. a Wir berechnen f x = 3x +x 8 x 3 x +x = x4 3x 6x +x = xx3 +3x+6 +x. Auf [,] ist + x > und x 3 + 3x = >. Also ist die Vorzeichenverteilung von f gleich wie die von x, d.h. f x > für x <, f =, und f x < für x >. Daraus folgt, dass das Maximum von f ist f = 8. Hier die Skizze: Seite 3

31 . Gruppenübung Höhere Mathematik b Polynomdivision gibt also ist x 3 +8 = xx ++x+8, 8 x 3 +x dx = = x+ x+8 x + dx x+ x x + +8 x + dx [ = x + ] ln x + +8arctanx = + ln+8arctan + ln+8arctan = 8arctan 8arctan = 8 π 4 8 π 4 = 4π. c Sf, Q ist die folgende Flächeninhalt Seite 3

32 . Gruppenübung Höhere Mathematik Wir berechnen und d Wir haben also ist Sf,Q = Sf,Q = + f + + f = = 3 + f + f + + f+ f = = 7 5. Sf,Q = 3 fxdx = 4π 7 5 = Sf,Q,,575 = 3 4 π 8 5 = 3,6. Aufgabe H 67. Integrale und Flächeninhalte Die Funktionen f,g,h: [,5] R seien gegeben durch fx =, gx = 3 x und hx = x. a Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen dieser Funktionen. b Skizzieren Sie die Graphen. c Skizzieren Sie die Fläche, die von den Graphen von f und g, von der Geraden x = und von der Geraden x = 4 eingeschlossen wird. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. Begründen Sie das Resultat durch eine geometrische Überlegung. d Bestimmen Sie den Flächeninhalt des krummlinig berandeten Vielecks, das von den Graphen von g und h und von der y-achse eingeschlossen wird. a Beachten Sie, dass { 3 x, x [,3], gx = x 3, x [3,5], und hx = { x, x [,], x, x [,5]. Wir vergleichen f und g. Auf [,3] ist fx = und gx = 3 x, und 3 x = x =. Auf [3,5] ist fx = und gx = x 3, und x 3 = x = 5. Seite 3

33 . Gruppenübung Höhere Mathematik Also finden wir die Schnittpunkte, und 5, zwischen Γf und Γg. Jetzt vergleichen wir f und h. Auf [,] ist fx = und hx = x, und x = x = 4 x = 3, was unmöglich ist 3 / [,]. Auf [,5] ist fx = und hx = x, und x = x = 4 x = 5. Also finden wir nur den Schnittpunkt 5, zwischen Γf und Γh. Schließlich vergleichen wir g und h. Auf [,] ist gx = 3 x und hx = x, und x = 3 x x = 9 6x+x x 5x+8 =. Die Diskriminante dieses Polynoms ist 7, also gibt es keine reelle Lösung. Auf [, 5] ist gx = 3 x und hx = x, und x = 3 x x = 9 6x+x x 7x+ =, also erhalten wir die Lösungen x = und x = 5. Wir erhalten dann die Schnittpunkte, und 5, zwischen Γg und Γh. Alle zusammen sind die Schnittpunkte,, 5, und,. b Hier die Skizze: c Die Skizze von der Fläche ist die folgende. Seite 33

34 . Gruppenübung Höhere Mathematik Der Inhalt ist der des Vierecks mit Ecken,, 4,,, und 4,, zusammen mit der des Dreiecks mit Ecken,, 4, und 3,. Also ist dieser Inhalt + = + = 3. d Beachten Sie, dass gx hx auf [,], und gx hx auf [,4]. Also bestimmen wir den gesuchten Inhalt durch I = gx hxdx+ 5 hx gxdx. Mit Beachtung der Definitionen von g und h, berechnen wir das Integral durch I = 3 x xdx x x dx 5 x 3 xdx+ x x 3dx ] = [3x x + 3 x3 + [3x x 3 x 3 [ ] x x 3 3x+ + 5 = = 9 6. Online-Aufgabe. Sie finden Ihre Online-Aufgabe auf folgender Webseite. 3 ] [ 3 x 3 x ] 5 +3x Seite 34

35 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Apl. Prof. M. Stroppel Aufgabe H 68. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren, und berechnen Sie gegebenenfalls den Wert. a arctanx 4x + dx b + x+ dx a Die Funktion arctanx ist auf dem Intervall,] stetig, das Problem ist also die 4x + untere Grenze. Es gilt, mit der Substitution u = arctanx, du = dx x +, dass [ ] [ ] arctanx u u arctanx 4x + dx = du = = 4 4 sodass arctanx 4x + [ arctanx dx = lim β 4 = arctan4 4 ] β 4 lim β arctanβ = arctan4 π 4 6. }{{} π b Erst beobachten wir, dass mit der Substitution u = x+, du + x+ dx = + u du. dx = Folgendes gilt: Der Integrand ist auf dem Intervall, stetig, aber an der Stelle nicht definiert. Die Problemstellen sind also die beiden Grenzen und +, darum teilen wir das Integral + u du = + u du+ u du. Aus den Beispielen und der Vorlesung wissen wir, da >, dass das erste Integral nicht existiert und dass das zweite existiert und positiv ist. Dann lim β + + somit ist lim β β nicht. β dx = lim x+ β + β du lim u β dx = + und das Integral x+ β + du = + u dx existiert x+ Aufgabe H 69. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren, und berechnen Sie gegebenenfalls den Wert. Seite 35

36 . Gruppenübung Höhere Mathematik a + x e x dx b + 4 x dx a Die Funktion x ist auf dem Intervall [,+ stetig, das Problem ist also die obere ex Grenze +. Mit Hilfe partieller Integration erhält man: + x β dx = lim xe x dx ex β + [ = lim ] xe x β + lim β + = lim β + β + [ xe x ] β + lim β + β e x dx [ e x ] β = lim β + βe β +e }{{} }{{} e β +e = e. Hierbei wurde die Regel von l Hospital angewendet: lim β + βe β = lim β + β e β = lim β + e β =. b Erst führen wir die Partialbruchzerlegung des Integrands aus: 4 x = 4 x x+ = a x + b x+ = a+bx+a b x mit a,b R. Wir kriegen dann das Gleichungssystem a+b = a b = 4 4 das heißt a = und b =. Die Funktion x = x ist auf dem x+ Intervall [,+ stetig, das Problem ist also die obere Grenze +. Es gilt + 4 dx = lim x = lim β + β + [ ln β x x+ x dx = lim x+ β + [ln x ln x+ ]β ] β β = lim ln ln = ln3. β + β + 3 }{{} Aufgabe H 7. Majoranten, Grenzwert und Vergleichskriterien Untersuchen Sie, ob die folgenden Integrale konvergieren. a x +3 x 5 dx b + cosπx+ x ln + x x dx Seite 36

37 . Gruppenübung Höhere Mathematik c + dx und +x d Untersuchen Sie die Reihe a Es gilt + k= sin sin +k dx +x auf Konvergenz. x +3 x dx x 5 x dx = 5 x dx 3 wobei beide Integranden stetig und positiv auf dem Intervall,] sind. Da nach Beispiel das Integral Integral b Da für x [, x +3 x 5 dx ebenfalls Satz dx eine divergente Minorante ist, divergiert unser x3 cosπx und + x erhält man cosπx+ und ln + ln. x Der Integrand ist dann stetig und positiv auf dem Intervall [,+ und es gilt + cosπx+ x ln + + x ln x + ln dx dx = dx x x x 3/ das nach Beispiel eine konvergente Majorante ist. Mittels des Majoranten-Kriteriums + cosπx+ x ln + x können wir dann schließen, dass dx konvergent ist. c Es gilt + + +x dx x dx das nach Beispiel eine konvergente Majorante ist. Mittels des Majoranten-Kriteriums konvergiert auch + Auf dem Intervall [,+ sind +x dx. und sin +x x = +x π x beide stetig und positiv da +x = sin. +x Wir können hierfür das Grenzwert-Kriterium verwenden. Man kann die Substitution y = da lim = machen und dann gilt nach..5 +x x + +x siny lim x + = lim =. y y +x Seite 37 sin +x

38 . Gruppenübung Höhere Mathematik d Da + + Nach 3.7. folgt, dass sin dx und dx das gleiche +x +x + Konvergenzverhalten haben und wir haben schon gesehen dass dx konvergiert. +x monoton fallend auf dem Intervall [,+ ist und sinx monoton stei- +x +x gend auf dem Intervall,/] ist, ist sin monoton fallend und positiv auf [, +. Dank Satz 3.8. konvergiert dann auch die Reihe sin. +k Aufgabe H 7. Potenzreihen: geschlossene Darstellung Wir betrachten die durch Potenzreihen gegebenen Funktionen f: ρ,ρ R: x k= nx n und g: ρ,ρ R: x n= n x n. a Berechnen Sie die Konvergenzradien ρ und ρ und Reihendarstellungen für die Stammfunktionen F von f bzw. G von g, die F = = G erfüllen. b Finden Sie eine geschlossene Darstellung für F. c Finden Sie eine geschlossene Darstellung für f. d Ermitteln Sie daraus eine geschlossene Darstellung für G und dann für g. Hinweis: x n = x x n n= a Es gilt lim n+ n n = lim n + n =, also ist der Konvergenzradius ρ = =. Es gilt lim n+ = lim + n + =, n n n n also ist der Konvergenzradius ρ = =. Summandenweises Integrieren für f ergibt Fx = x n +c n= mit c R. Man bestimmt c aus der Gleichheit = F = n +c = c, deswegen erhält man Fx = x n. n= n= Seite 38

39 . Gruppenübung Höhere Mathematik Summandenweises Integrieren für g ergibt Gx = nx n +c n= mit c R. Man bestimmt c aus der Gleichheit = G = n n + c = c, deswegen erhält man Gx = nx n. b Innerhalb des Konvergenzbereichs gilt x <, daher handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe und es gilt c Direkt Ableiten ergibt Fx = n= n= x n = x x = x. fx = F x = x. d Man bemerkt, dass sich G auf die Reihendarstellung von f zurückführen lässt: Daraus folgt Online-Aufgabe. Gx = nx n = x nx n = xfx = n= n= n= x x. gx = G x = x x x x 4 = +x x 3. Sie finden Ihre Online-Aufgabe auf folgender Webseite. Seite 39

40 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 7. Potenzreihen: geschlossene Darstellung Wir betrachten die durch eine Potenzreihe gegebene Funktion k f: 3 ρ,3+ρ R: x x 6 k. k a Berechnen Sie den Konvergenzradius ρ. b Finden Sie eine Reihendarstellung für die Ableitung f von f. k= c Finden Sie eine geschlossene Darstellung für f. d Finden Sie eine geschlossene Darstellung für f. a Wir schreiben also ist fx = also ist ρ =. b Wir berechnen c Die Reihe fx = k k x 3 k, k k= a k x 3 k mit a k = k. Dann haben wir k lim a k+ k a k = lim k k k + =, k= f k x = kx 6 k k k= = k x 6 k. k= k= f x = k x 6 k = l x 6 l ist eine geometrische Reihe, sodass f x = l= x 6 = 5 x. Apl. Prof. M. Stroppel d DieAbbildung f istdieeindeutigestammfunktionvon f mitdereigenschaft f3 =. Eine allgemeine Stammfunktion ist in der Klasse f x dx = dx = [ ln 5 x ]. 5 x Wegen ln 5 3 = ln = ist fx = ln 5 x.mankannnochbemerken, 5 dass 5 x < für x 3 ρ,3+ρ =, 7 gilt. Also ist fx = lnx 5. Seite 4

41 . Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 73. Funktion in mehreren Veränderlichen Gegeben ist die Funktion f: { x,y R x y } R: x,y x +y x+y a Zeichnen Sie in ein gemeinsames Koordinatensystem die Niveaulinien N t von f zum Niveau t für t { 4,,,4}. b BestimmenSiedenachsenparallelenSchnitt { x,,fx, x R,x } von f. c Skizzieren Sie diesen Schnitt. a Für die Niveaulinien N führen wir folgende Rechnung für x y durch. fx,y = x x y +y = x x++ y +y = x +y = Für die Niveaulinien N 4 führen wir folgende Rechnung für x y durch. fx,y = 4 x 4x 4y +y = Analog rechnen wir für N und N 4 : x 4x+4+4 4y +y 8 = x +y = 8 fx,y = x+ +y + = fx,y = 4 x+ +y + = 8 Damit erhalten wir folgende Skizze für die Niveaulinien. Der Punkt, ist nicht im Definitionsbereich enthalten und daher auch kein Element der Niveaulinien. Seite 4

42 . Gruppenübung Höhere Mathematik b Für den achsenparallelen Schnitt führen wir folgende Rechnung für x mittels Polynomdivision durch. x + 4 x+ = 4x + 4x+ = x + 4x+ = x + x+ Damit ist der achsenparallelen Schnitt gegeben durch { x,,x + } x+ x R, x. c Nach Teil b müssen wir die Menge S = { x,y R y = x +, x } x+ zeichnen. Mit rot ist außerdem die Menge { x,y R y = x } eingezeichnet. Aufgabe H 74. Modell: Unstetigkeit Wir betrachten die Funktion f von Aufgabe P 69., für x,y =,, f: R R: x,y xy x +y4, für x,y,. Das in der Präsenzübung benutzte Modell des Graphen von f finden Sie auch unter: a Für welche λ R ist die Funktion g: R R: x fx,λx stetig? b Sei a n = n,. Berechnen Sie lim n a n und lim fa n. Ist f bei, stetig? n + n + a Wir berechnen, für x =, gx = fx,λx = λ x 3 x +λ 4 x4, für x. Seite 4

43 . Gruppenübung Höhere Mathematik Also ist für x gx = λ x +λ 4 x stetig, als ein Quotient von stetigen Abbildungen ungleich Null. Da lim x λ x = und lim x +λ4 x 4 =, ist g auch im Punkt stetig. limgx = = g. x Wir fassen zusammen, dass g für alle λ R stetig ist. b Wegen lim = und lim =, ist lim n n n n a n =,. Wir berechnen n fa n = + =, n 4 n 4 also ist lim fa n =. Das ist nicht gleich f n nicht stetig in,. n n lim n a n = f, =, also ist f Aufgabe H 75. Modell: Funktion in mehreren Veränderlichen Wir betrachten die Funktion f von Aufgabe P 69 und Aufgabe H 74 und dazu die Funktionenschar g r : R R: x fx,r mit r R {}. Den Graphen von g r kann man jeweils sehen als den Schnitt der Ebene E: y = r mit dem Graphen von f. a Skizzieren Sie den Graphen von g. b Bestimmen Sie alle kritischen Stellen von g r und deren Funktionswerte in Abhängigkeit von r. c Berechnen Sie lim x + g rx und lim x g rx. d Bestimmen Sie jeweils den größten und kleinsten Wert, den f auf R annimmt. a Wir skizzieren g x = fx, = 8x x +6. b Wir bestimmen die Ableitung von g r x in Abhängigkeit von r. g rx = r x +r 4 4x r = r6 x r x +r 4 x +r 4 Die kritischen Stellen von g r sind dann die Lösungen der Gleichung g rx =. Wegen r gilt g rx = r 6 x r = x = r 4 Seite 43

44 . Gruppenübung Höhere Mathematik Damit sind die kritischen Stellen von g r gegeben durch x = r und x = r und wir erhalten c Wir erhalten mit Satz..8. g r r = r4 r 4 +r 4 = g r r = r4 r 4 +r 4 =. lim g rx = lim x + x + lim g rx = lim x x xr x +r = 4 xr x +r =. 4 d Sei zuerst y =. Dann ist fx,y = fx, = für alle x R. Wir betrachten den Fall y mit Hilfe der Funktionenschar g r für r = y. Wegen r ist g r x stetig. Nach Teil b ist g rx = r6 x r x +r 4. Wegen r ist r > und x +r 4 > für alle x R. Damit erhalten wir die folgende Vorzeichenverteilung der Ableitung von g r. g rx <, x < r g rx >, r < x < r g rx <, r < x Also besitzt g r an der Stelle x = r ein lokales Minimum und an der Stelle x = r ein lokales Maximum. Wegen der Stetigkeit von g r und da g r r < lim x + g rx = lim x g rx < g r r. ist daher g r r = der kleinste Wert und g r r = der größte Wert den g r auf R annimmt. Wegen g r x = fx,y für y und wegen fx, = ist damit auch der kleinste Wert und der größte Wert den f auf R annimmt. Online-Aufgabe. Sie finden Ihre Online-Aufgabe auf folgender Webseite. Seite 44

45 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 76. Partielle Ableitungen Bestimmen Sie für die Abbildung f: R 3 R: x = x,x,x 3 x sinx +x x 3 Apl. Prof. M. Stroppel die folgenden partiellen Ableitungen. f a x b f x3 x x x c D,, fx d D,, D,, fx Wir verwenden überall, dass f und alle seine partiellen Ableitungenstetigsind,dasiePolynomein x, x, x 3 undsinusodercosinusvonsolchenpolynomen sind. Es folgt, dass der Satz von Schwarz für f und alle seine partiellen Ableitungen gilt. f a x = x x x 3 cosx +x x 3. b Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass also haben wir f x3 x x = f x x 3 x = x 3 f x x, f x3 x x = x cosx +x x 3 x x x 3 sinx +x x 3. c Mit dem Satz von Schwarz können wir D,, fx = x x f x3 x x schreiben, und berechnen: x f x3 x x = x x 3 sinx +x x 3 x x 3 sinx +x x 3 x x x 3cosx +x x 3 = x x 3 sinx +x x 3 x x x 3cosx +x x 3 x x f x3 x x = 4x x 3 sinx +x x 3 4x 3 x 3 cosx +x x 3 x x x 3cosx +x x 3 +x 3 x x 3sinx +x x 3 = x x 3 x x x 3 sinx +x x 3 x +x x 3 cosx +x x 3. d Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass D,, D,, fx = D,, fx Aufgabe H 77. Topologische Eigenschaften Betrachten Sie die folgenden Teilmengen von R : = x x 3 x x x 3 sinx +x x 3 x +x x 3 cosx +x x 3. M = [,] [,, M = { x,y R x +y + < 4 }, M 3 = { x,y R y x }, M 4 = M M 3, M 5 = M M 3. a SkizzierensiedieTeilmengen M, M und M 3 ineingemeinsameskoordinatensystem. b Bestimmen Sie für M, M und M 3 die inneren Punkte und die Randpunkte. c Welche der Mengen M, M 3, M 4 und M 5 ist i abgeschlossen? ii beschränkt? iii kompakt? iv konvex? Seite 45

46 3. Gruppenübung Höhere Mathematik a Die gestrichelten Linien sind jeweils nicht Teil der Menge. b Es beschreibt M die Fläche des Rechtecks mit Eckpunkten,,,,, und, in R, wobei die Kante zwischen den Punkten, und, fehlt. SomitsinddieinnerenPunktevon M gegebendurchdieinnerenpunktedesrechteks, also M = { x,y R < x <, < y < }. Ebenso sind die Randpunkte von M gegeben durch die Randpunkte des Rechtecks. M = { x,y R x =, y } { x,y R x, y = oder y = } Die Menge M beschreibt das Innere eines Kreises mit Radius und Mittelpunkt,. Daher ist M = M und M = { x,y R x +y + = 4 }. Die Menge M 3 beschreibt ein nach links geöffnetes und ein nach rechts geöffnetes Dreieck. Die inneren Punkte und Randpunkte sind somit M 3 = { x,y R < y < x } M 3 = { x,y R y = } { x,y R y = x }. c Wir betrachten zuerst die Menge M. Es ist M U 3, daher ist M beschränkt. Nach Teil b ist M M, daher ist M nicht abgeschlossen und kann somit auch nicht kompakt sein. Als Rechteck ist M konvex. Die Menge M ist ebenfalls enthalten in U 3, daher ist auch M beschränkt. Nach Teilbist M M,daherist M nichtabgeschlossenundalsoauchnichtkompakt. Als Kreis ist M konvex. Die Menge M 3 ist nicht beschränkt. Die Folge n, n N liegt in M 3 mit lim n, = lim n = +. n > n > Egal wie groß S R gewählt wird, können daher nie alle Punkte dieser Folge in U S liegen, also auch nicht M 3 U S. Nach Teil b ist M 3 M 3, daher ist M 3 = M 3 = M 3 M 3 abgeschlossen. Da M 3 unbeschränkt ist, kann M 3 nicht kompakt sein. Weiterhin ist M 3 nicht konvex. Die beiden Punkte, und, liegen in M 3, jedoch deren Mittelpunkt, nicht. Seite 46

47 3. Gruppenübung Höhere Mathematik Die Menge M 4 = M M 3 = {,,,} besteht nur aus zwei verschiedenen Punkten. Daher ist M 4 beschränkt und abgeschlossen, also auch kompakt. Jedoch ist M 4 nicht konvex, da z.b. der Mittelpunkt, der beiden Punkte nicht in M 4 liegt. Die Menge M 5 ist beschränkt, da M 5 = M M 3 M U 3 wie oben. Aber M 5 ist nicht abgeschlossen, da { x,y R x +y + = 4, < y < x } M 5, aber { x,y R x +y + = 4, < y < x } M M 3 = M 5. Damit ist M 5 auch nicht kompakt. Schließlich ist M 5 nicht konvex. Die Punkte, und, liegen in M 5, jedoch deren Mittelpunkt, nicht. Aufgabe H 78. Modell: Schmiegquadriken Sei f: R R: x,y cosxcosy. Das in der Präsenzübung benutzte Modell eines Ausschnitts des Graphen von f finden Sie auch unter: In den Präsenzübungen haben Sie Gradient und Hesse-Matrix von f berechnet. a Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Stufe zu f im Punkt P =,. b Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Stufe zu f im Punkt P 3 = π,. c Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung für die Schmiegquadrik an f an der Stelle P und P 3 sowie die Gestalt dieser Quadriken. d Ist die Schmiegquadrik an f an der Stelle P beschränkt? Ist sie konvex? Aus den Präsenzübungen kennen wir den Gradienten und die Hesse-Matrix von f. sinxcosy cosxcosy sinxsiny gradfx,y = Hfx,y = cosx siny sinx siny cosx cosy a Es gilt f, = gradf, = Hf, = und damit ist x T f,x,y,, = f,+ gradf,+ y x x Hf, y y = x +y b Es gilt f π, = gradfπ, = Hf π, = und damit ist T f,x,y, π x, = f π,+ π gradf y π,+ = π x x π y x Hf π, π y Seite 47

48 3. Gruppenübung Höhere Mathematik c Nach Teil a ist die Schmiegquadrik an f an der Stelle P gegeben durch { Q = x,y,z R 3 z = } x +y = { x,y,z R 3 x +y +z = }. Mit der Substitution z := z kommen wir auf die euklidische Normalform von Q: x +y +z = Mit Hilfe der Liste der affinen Normalformen vgl. HM kann man nun die Gestalt der Schmiegquadrik bestimmen: Q ist ein elliptisches Paraboloid. Nach Teil b ist die Schmiegquadrik an f an der Stelle P 3 gegeben durch Q 3 = { x,y,z R 3 z = π x } = { x,y,z R 3 π } x+z =. In diesem Fall ist die Schmiegquadrik zu einer Ebene ausgeartet. d Die Schmiegquadrik Q an f an der Stelle P ist unbeschränkt: Die Folge n,n, n n N liegt in Q und es gilt lim n > n,n, n = lim n +n + n = lim +n4 = +. n > n > Egal wie groß S R gewählt wird, können daher nie alle Punkte dieser Folge in U S liegen, also auch nicht Q U S. Die Schmiegquadrik Q an f an der Stelle P ist nicht konvex: Die beiden Punkte,, und,, liegen in Q 3, jedoch deren Mittelpunkt,, nicht. Aufgabe H 79. Richtungsableitung, Ableitung längs eines Vektors Bestimmen Sie jeweils den Gradienten fp und die Ableitung v fp längs v. a fx,y = sinxcosy+cosxsiny, P = π, π, v =,. b fx,y,z = xye yz3, P =,,, v =,,. c fx,y,z = xye yz3, P =,,, v =,,. d fx,y,z = ln+x +y cosx +z, P = π,,, v = 3,,. a Wir berechnen cosxcosy sinxsiny fx,y = cosx cosy sinx siny fp = v fp = = Seite 48

49 3. Gruppenübung Höhere Mathematik b Wir berechnen ye yz3 fx,y,z = xe yz3 xyz 3 e yz3 3xy z e yz3 fp = v fp = = 3 c Mit der Berechnung in Teil b erhalten wir v f =,, f = 3. d Wir berechnen x y sinx +z +x +y cosx fx,y,z = y cosx +z +x +y cosx zln+x +y cosx +z Online-Aufgabe. π 5+π fp = 5+π 4ln+π 5 π 5+π 3 v fp = = 3π 4+π ln+π 5+π 5+π 4ln+π 5 Sie finden Ihre Online-Aufgabe auf folgender Webseite. Seite 49

50 A. Geyer S. Nitsche M. Pressland A.L. Thiel 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 8 Apl. Prof. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 8. Kritische Stellen und ihr Typ Sei f: R R: x,y y x x +y 4. a Bestimmen Sie die Nullstellenmenge N von f sowie die Vorzeichenverteilung und skizzieren Sie diese im Rechteck [ 3,3] [,4]. b Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von f. c Bestimmen Sie die kritischen Stellen von f und tragen Sie diese in Ihre Skizze ein. d Bestimmen Sie für jede kritische Stelle ihren Typ. a fx,y = gilt genau denn, wenn y = x + oder x + y = 4 gilt. Die Gleichung y = x + beschreibt eine Hyperbel und die Gleichung x +y = 4 einen Kreis mit Radius und Mittelpunkt,. Für Punkte oberhalb des oberen oder unterhalb des unteres Hyperbelastes ist der Term y x positiv, zwischen den Hyperbelästen negativ. Der Term x +y 4 ist innerhalb des Kreises negativ und außerhalb positiv. Damit ergibt sich die Vorzeichenverteilung entsprechend der nachfolgenden Skizze: b Es gilt 4xx gradfx,y = y 4y 3 +x 6y, 8y + x Hfx,y = +4y +4 4x 4x y y 8. Seite 5

51 4. Gruppenübung Höhere Mathematik c Aus der ersten Koordinate des Gleichungssystems grad fx, y = erhält man die Bedingung x = oder x y =. Daher unterscheiden wir folgende Fälle: x = : Aus der zweiten Koordinate erhält man dann 4y 3 6y 8y + =. Mittels Einsetzen erhält man die Nullstelle y = und durch Polynomdivision y + y 5y + =. Die weiteren Nullstellen y = 5± 7 erhalten 4 wir mit der Mitternachtsformel. x : Danngilt x = y+.durcheinsetzenindiezweitekoordinatedesgleichungssystemserhältman 4y 3 6y 6y+4 =.ManerhältwiedermittelsEinsetzendie Nullstelle y = und durch Polynomdivision y +y 5y + =. Die weiteren Nullstellen y = 5±3 erhalten wir ebenso mit der Mitternachtsformel. 4 Damit ergeben sich die zugehörigen x-werte x = zu y = Widerspruch 3 zur Annahme x, x = ± zu y = und x = ± 3 zu y =. Damit liegen folgende kritischen Punkte der Funktion f vor: P =,, P =, 5 7, P 3 = 4 3 P 4 =, 3, P 5 =,, P 6 =, ,,, P 7 = 3,. d P ist ein Sattelpunkt. Dies ist aus der Vorzeichenverteilung ersichtlich, da es sowohl positive als auch negative an P angrenzende Bereiche gibt. Das gleiche gilt für P 6 und P 7. P 3 ist ein lokales Minimum. Dies ist wieder aus der Vorzeichenverteilung mit Hilfe des Satzes vom Minimum und Maximum ersichtlich: Der in der Vorzeichenverteilung negativ gekennzeichnete Bereich, in dem P 3 liegt, zusammen mit seinem Rand ist eine kompakte Menge. Nach dem Satz vom Minimum und Maximum nimmt die Funktion Seite 5

52 4. Gruppenübung Höhere Mathematik f daher auf dieser Menge ihr Minimum und Maximum an. Das Maximum ist und wird auf dem Rand angenommen. Das Minimum wird daher an einer kritischen Stelle im Inneren angenommen. Als einzige Möglichkeit hierfür kommt P 3 in Betracht. Das Argument für P 3 lässt sich nicht auf P übertragen, da hier im selben Bereich ebenfalls die kritischen Punkte P 4 und P 5 liegen. Für diese Punkte verwenden wir die Hesse-Matrix zur Typbestimmung: 9 7 Hf P = Hf P 5 = , Hf P 4 = 6 6 Wegen dethf P = < ist Hf P indefinit und daher P ein Sattelpunkt. Wegen dethf P 4 = dethf P 5 = 8 > und SpHf P 4 = SpHf P 5 = 3 < sind P 4 und P 5 lokale Maxima. Aufgabe H 8. Extremwerte unter Nebenbedingungen Sei f: R 3 R: x,y,z x y 3y +z +z und M := { x,y,z R 3 gx,y,z = } mit g: R 3 R: x,y,z x +y +4z 4. a Stellen Sie das Gleichungssystem gemäß der Multiplikatormethode nach Lagrange auf. b Bestimmen Sie damit die Kandidaten für die Extremstellen von f auf M. c Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von f in M. d Sei N := { x,y,z R 3 gx,y,z = = hx,y,z } M mit hx,y,z = y. Bestimmen Sie den maximalen Wert, den f auf N annimmt. a DasGleichunssystemergibtsichmit gradfx,y,z = x y 8z xy x y 6y z + aus gradfx,y,z+λgradgx,y,z = und gx,y,z = :, und gradgx,y,z = x y +λ = y x +λ 3 = 4λ+z + = 3 x +y +4z = 4 4 b Aus folgt x = oder λ = y. Aus folgt y = oder λ = 3 x. Daraus ergeben sich folgende Fälle: x = und y = : Dann folgt z = ± aus 4 und mit 3 folgt dann λ =. 8 x = und y : Dann gilt λ = 3 x = 3. Aus 3 folgt z = und mit 4 6 gilt y = ± 6 = ± x und y = : Dann gilt λ = y =. Aus 3 folgt z = x = ± = ± 3. und mit 4 gilt Seite 5

53 4. Gruppenübung Höhere Mathematik x und y : Dann gilt x = 3 λ und y = λ. Aus 3 folgt dann 8λ+ und damit z =. Durch Einsetzen dieser Relationen in 4 erhält man nach 8λ+ Multiplikation mit 8λ + die Gleichung λ6λ +6λ+5 =. Wegen λ = y gilt 6λ +6λ+5 = und man erhält mit der Mitternachtsformel λ = 6± 64 / R. Also führt dieser Fall zu keinen reellen Lösungen. 3 Somit sind die Kandidaten für die Extremstellen P =,,, P =,,, P 3 =, 5 3 3,, 6 P 4 =, 5 3 3, 3,, 3,,, P 5 =, P 6 =. 6 c Es gilt fp =, fp =, fp 3 = fp 4 = 65 und fp 5 5 = fp 6 =. 4 Somit ist max fx,y,z = dasmaximumvon f auf M und min fx,y,z = x,y,z M x,y,z M 65 das Minimum von f auf M, da M eine kompakte Menge ist vgl. Satz vom 5 Minimum und Maximum. d Es gilt y = y =, das heißt es gilt y = für x,y,z N. Somit hat x x g J y = nie vollen Rang für x,y,z N und die Multiplikatormethode nach Lagrange für mehrere Nebenbedingungen ist nicht anwendbar. h z 8z Da N M eine Teilmenge ist, ist der maximale Wert von f auf N kleiner oder gleich dem Maximum von f auf M. Es gilt aber,, N. Damit folgt = f,, max fx,y,z max fx,y,z =. x,y,z N x,y,z M Daher ist max fx,y,z = das Maximum von f auf N. x,y,z N Aufgabe H 8. Extremwertesuche auf einem Kompaktum Sei f: R R: x,y cosx +y und g: R R: x,y 3x +y. a Bestimmen Sie die Nullstellenmenge N von f sowie die Vorzeichenverteilung und skizzieren Sie diese im Bereich U 3. b Bestimmen Sie die kritischen Stellen von f und tragen Sie diese in Ihre Skizze ein. Bestimmen Sie jeweils den Typ. c Bestimmen Sie mittels Lagrange-Multiplikatoren das Maximum und das Minimum von f auf B := { x,y R } gx,y = 3π. d BestimmenSiedieExtremwerte,die f aufdermenge M = { x,y R gx,y 3π annimmt und geben Sie jeweils eine zugehörige Stelle x,y M an. } a Es gilt cosx +y = x +y = π+kπ mit k Z. Dadurch werden konzentrische Kreise um den Ursprung mit Radius π +kπ beschrieben. Die Vorzeichenverteilung ergibt sich im Wechsel positiv und negativ entsprechend der Cosinus-Funktion mit positiven Werten im innersten konzentrischen Kreis: Seite 53

54 4. Gruppenübung Höhere Mathematik b Es ist gradfx,y = xsinx +y ysinx +y =. Wir machen die Fallunterscheidung sinx +y = : Dann gilt x +y = kπ mit k Z. sinx +y : Dann muss x = y = gelten, was im Widerspruch zu sinx + y steht. Die kritischen Stellen sind also alle x,y R mit x + y = kπ für k Z. Dadurch werden konzentrische Kreise um den Ursprung mit Radius kπ beschrieben. Zur Bestimmung des Typs hilft weder die Vorzeichenverteilungmehrere kritische Punkte in jedem Kreisring, daher hilft der Satz vom Minimum und Maximum nicht direkt Seite 54

55 4. Gruppenübung Höhere Mathematik weiter noch die Hesse-Matrix dethf = Es gilt jedoch { cosx +y falls k gerade = coskπ = falls k ungerade. Wegen max +y = und min +y = sind die Punkte auf x,y R cosx x,y R cosx Kreisen mit Radius kπ Maxima, wenn k gerade ist, und Minima, wenn k ungerade ist. c WirverwendendieNebenbedingung g x,y = 3x +y 3π =.Damitergibtsichdas folgende Gleichungssystem aus gradfx,y+λgradg x,y = und g x,y = : x 3λ sinx +y = 5 y λ sinx +y = 6 3x +y 3π = 7 Aus 5 folgt x = oder 3λ sinx +y =. Aus 6 folgt y = oder λ sinx + y =. Daraus ergeben sich folgende Fälle: 3π x = : Dann gilt y = ± mit 7 und aus 6 folgt λ = sinx +y =. x y = : Danngilt x = ± π mit7undaus5folgt λ = 3 sinx +y =. 3 x y : Dann gilt 3λ = sinx + y = λ mit 5 und 6, also λ = und x + y = kπ mit k Z. Damit folgt aus 7 x = 3π kπ und wir erhalten k {,}. Für k = folgt x = y = aus x + y = kπ =, was im Widerspruch zur Annahme steht. Also folgt k = und man erhält x = 3π π = π, also x = ± π und damit y = ± 3π aus 7. Somit sind die Kandidaten für die Extremstellen 3π 3π π P =,, P =,, P 3 =,, π π 3π π 3π P 4 =,, P 5 =,, P 6 =,, π π 3π 3π P 7 =,, P 8 =,. Es gilt fp = fp = fp 3 = fp 4 = und fp 5 = fp 6 = fp 7 = fp 8 =. Somit ist = max fx,y das Maximum von f auf B und = min fx,y x,y B x,y B das Minimum von f auf B d Die Extremwerte von f auf M lassen sich über die Extremwerte im Inneren M von M vgl. Aufgabenteil a und die Extremwerte auf dem Rand M = B von M vgl. Aufgabenteil b ermitteln. Das Maximum von f auf M ist in Punkt, M und das Minimum ist beispielsweise in, π M. Nach Aufgabenteil b ist das Maximum auf M und das Minimum. Somit wird das Maximum = max x,y M min x,y M fx,y von f auf M im Punkt, angenommen. Das Minimum = fx,y wird beispielsweise in den Punkten,± π, P 5, P 6, P 7 oder P 8. Zur Veranschaulichung wir hier in obige Skizze noch die Menge M eingezeichnet. Dies ist nicht für die Lösung dieser Aufgabe gefordert: Seite 55

56 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 83. Modell: Extrema unter Nebenbedingungen Seien f: R R: x,y xy, sowie M := { x,y R x y = } { } und N := x,y R x +y + = 4. Das in der Präsenzübung benutzte Modell von f finden Sie auch unter: a Skizzieren sie die Nullstellenmenge N und die Vorzeichenverteilung von f sowie die Mengen M und N im Bereich [,] [,]. b Bestimmen Sie mit der Multiplikatormethode von Lagrange alle Kandidaten für Extremstellen von f auf M und ermitteln sie jeweils deren Typ. c Parametrisieren Sie M durch eine Funktion c: R M. Prüfen Sie die Existenz von Extremwerten von f auf M, indem Sie die Funktion f c untersuchen. d Bestimmen Sie mit der Multiplikatormethode von Lagrange alle Kandidaten für Extremstellen von f auf N und ermitteln sie jeweils deren Typ. a Es gilt fx,y = x = y =, also beschreibt N genau die beiden Koordinatenachsen. Für x > und y gilt fx,y > und für x < und y gilt fx,y <. Weiter beschreibt M eine Normalparabel, bei der x als Funktion von y beschrieben wird also in Richtung der positiven x-achse geöffnet ist. N beschreibt einen Kreis mit Radius und Mittelpunkt,. Damit ergibt sich die folgende Skizze: Seite 56