8 Zufallsvariablen und Verteilungen. Themen: Zufallsvariablen Verteilungen Gesetz der großen Zahlen

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1 8 Zufallsvariablen und Verteilungen Themen: Zufallsvariablen Verteilungen Gesetz der großen Zahlen

2 8.1 Zufallsvariablen (Ω, P) = Wahrscheinlichkeitsraum. X : Ω Ê heißt Zufallsvariable.

3 8.1 Zufallsvariablen (Ω, P) = Wahrscheinlichkeitsraum. X : Ω Ê heißt Zufallsvariable. Schreibe X = x für {ω Ω : X(ω) = x}.

4 8.1 Zufallsvariablen (Ω, P) = Wahrscheinlichkeitsraum. X : Ω Ê heißt Zufallsvariable. Schreibe X = x für {ω Ω : X(ω) = x}. Der Wertebereich von X ist eine höchstens abzählbare Menge V X Ê, V X = {v 1, v 2...}.

5 8.1 Zufallsvariablen (Ω, P) = Wahrscheinlichkeitsraum. X : Ω Ê heißt Zufallsvariable. Schreibe X = x für {ω Ω : X(ω) = x}. Der Wertebereich von X ist eine höchstens abzählbare Menge V X Ê, V X = {v 1, v 2...}. Setze p n = P X (v n ) = P(X = v n )

6 Verteilung p n = P X (v n ) = P(X = v n ) Es gilt damit p n 0 und n p n = 1.

7 Verteilung p n = P X (v n ) = P(X = v n ) Es gilt damit p n 0 und n p n = 1. Damit ist (V X, P X ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, der Verteilung der Zufallsvariablen X genannt wird.

8 Beispiel Würfle zweimal, X ist die Summe der dabei erzielten Augen.

9 Beispiel Würfle zweimal, X ist die Summe der dabei erzielten Augen. Grundraum sind hier die geordneten Paare Ω = {(m, n) : 1 m, n 6}, p(m, n) = 1 36.

10 Beispiel Würfle zweimal, X ist die Summe der dabei erzielten Augen. Grundraum sind hier die geordneten Paare Ω = {(m, n) : 1 m, n 6}, p(m, n) = X(m, n) = m+n V X = {2,...,12}. Die Bestimmung der p n ist eine einfache Abzählaufgabe: v n p n

11 Unabhängige Zufallsvariablen Zwei Zufallsvariablen über Ω heißen unabhängig, wenn für alle x und y P(X = y und Y = y) = P(X = x) P(Y = y).

12 Unabhängige Zufallsvariablen Zwei Zufallsvariablen über Ω heißen unabhängig, wenn für alle x und y P(X = y und Y = y) = P(X = x) P(Y = y). Im obigen Beispiel sind unabhängig voneinander. X(m, n) = m, Y(m, n) = n

13 Unabhängige Zufallsvariablen Zwei Zufallsvariablen über Ω heißen unabhängig, wenn für alle x und y P(X = y und Y = y) = P(X = x) P(Y = y). Im obigen Beispiel sind unabhängig voneinander. X(m, n) = m, Y(m, n) = n Dagegen gilt für X(m, n) = m+n und Y(m, n) = mn P(X = 2) = 1 36, P(Y = 1) = 1 36, P(X = 2 und Y = 1) = 1 36.

14 Erwartungswert Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist EX = ω Ω X(ω)P(ω).

15 Erwartungswert Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist EX = ω Ω X(ω)P(ω). Ist Ω abzählbar unendlich, so ist der Erwartungswert nur dann definiert, wenn die Summe absolut konvergiert, X(ω) P(ω) <. ω Ω

16 Erwartungswert Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist EX = ω Ω X(ω)P(ω). Ist Ω abzählbar unendlich, so ist der Erwartungswert nur dann definiert, wenn die Summe absolut konvergiert, X(ω) P(ω) <. ω Ω Nur in diesem Fall ist der Erwartungswert unabhängig von der Reihenfolge der Summanden.

17 Beispiel Werfe eine Münze mit gleichverteilten Ausgängen K und Z und erhalte bei K = 1 Einheit bei Z = 0 Einheiten.

18 Beispiel Werfe eine Münze mit gleichverteilten Ausgängen K und Z und erhalte bei K = 1 Einheit bei Z = 0 Einheiten. Modelliere dies durch die Zufallsvariable X mit X(K) = 1 und X(Z) = 0

19 Beispiel Werfe eine Münze mit gleichverteilten Ausgängen K und Z und erhalte bei K = 1 Einheit bei Z = 0 Einheiten. Modelliere dies durch die Zufallsvariable X mit X(K) = 1 und X(Z) = 0 EX = 1 2.

20 Beispiel Werfe eine Münze mit gleichverteilten Ausgängen K und Z und erhalte bei K = 1 Einheit bei Z = 0 Einheiten. Modelliere dies durch die Zufallsvariable X mit X(K) = 1 und X(Z) = 0 EX = 1 2. Der Erwartungswert wird daher auch Mittelwert genannt.

21 Erwartungswert und Verteilung Für den Erwartungswert gilt EX = ω Ω X(ω)P(ω) = x V X x P(X = x).

22 Erwartungswert und Verteilung Für den Erwartungswert gilt EX = ω Ω X(ω)P(ω) = x V X x P(X = x). Der Erwartungswert ist bereits durch die Verteilung bestimmt.

23 Regeln für den Erwartungswert Für Zufallsvariablen X und Y sind die normalen Operationen wie bei Funktionen sonst auch definiert.

24 Regeln für den Erwartungswert Für Zufallsvariablen X und Y sind die normalen Operationen wie bei Funktionen sonst auch definiert. Satz Sind X, Y Zufallsvariablen und α Ê, so gilt: (a) E(X + Y) = EX + EY. (b) E(αX) = αex.

25 Regeln für den Erwartungswert Für Zufallsvariablen X und Y sind die normalen Operationen wie bei Funktionen sonst auch definiert. Satz Sind X, Y Zufallsvariablen und α Ê, so gilt: (a) E(X + Y) = EX + EY. (b) E(αX) = αex. (c) E(XY) = EX EY falls X, Y unabhängig sind.

26 Beweis (a),(b) Es gilt E(X + Y) = ω Ω( X(ω)+Y(ω) ) P(ω) = EX + EY. Ganz analog erhalten wir (b).

27 Beweis (b) Verwende EX = ω Ω X(ω)P(ω) = x V X x P(X = x).

28 Beweis (b) Verwende EX = ω Ω X(ω)P(ω) = x V X x P(X = x). Damit E(XY) = X(ω)Y(ω) P(ω) ω Ω = x V X, y V Y xy P(X = x und Y = y)

29 Beweis (b) Verwende EX = ω Ω X(ω)P(ω) = x V X x P(X = x). Damit E(XY) = X(ω)Y(ω) P(ω) ω Ω = xy P(X = x und Y = y) x V X, y V Y = xy P(X = x)p(y = y) x V X, y V Y = x P(X = x) y P(Y = y) = E(X)E(Y). x V X y V Y

30 8.2 Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen und Verteilungen von Produktexperimenten Beim mehrmaligen Werfen einer Münze oder eines Würfels entsteht in natürlicher Weise ein kartesisches Produkt von Wahrscheinlichkeitsräumen.

31 8.2 Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen und Verteilungen von Produktexperimenten Beim mehrmaligen Werfen einer Münze oder eines Würfels entsteht in natürlicher Weise ein kartesisches Produkt von Wahrscheinlichkeitsräumen. Wir können dies präzisieren, indem wir annehmen, dass Wahrscheinlichkeitsräume bereits vorgegeben sind. (Ω 1, P 1 ),...,(Ω n, P n )

32 Produktexperimente Auf Ω = Ω 1... Ω n = { ω Ω : ω = (ω 1,...,ω n ), ω i Ω i }

33 Produktexperimente Auf Ω = Ω 1... Ω n = { ω Ω : ω = (ω 1,...,ω n ), ω i Ω i } definieren wir n P(ω) = P i (ω i ). i=1

34 Produktexperimente Auf Ω = Ω 1... Ω n = { ω Ω : ω = (ω 1,...,ω n ), ω i Ω i } definieren wir P(ω) = n P i (ω i ). P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω, das Produktmaß genannt wird. i=1

35 Produktexperimente Auf Ω = Ω 1... Ω n = { ω Ω : ω = (ω 1,...,ω n ), ω i Ω i } definieren wir P(ω) = n P i (ω i ). P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω, das Produktmaß genannt wird. Ist so gilt i=1 A = n i=1a i, A i Ω i, P(A) = n P i (A i ). i=1

36 Abhängigkeit von Indexmengen Sei I = {1,...,n }. Wir sagen, ein Ereignis A Ω hängt nur von I ab, wenn A = A n i=n +1 Ω i, A n i=1ω i.

37 Abhängigkeit von Indexmengen Sei I = {1,...,n }. Wir sagen, ein Ereignis A Ω hängt nur von I ab, wenn A = A n i=n +1 Ω i, A n i=1ω i. Analog sind von I abhängige Mengen für I I definiert.

38 Ein Unabhängigkeitssatz Satz I 1,...I m sei eine disjunkte Zerlegung von I = {1,...,n}, A i sind Ereignisse in Ω, die nur von I i abhängen. Dann sind die Ereignisse A 1,...,A m unabhängig in Ω.

39 Bernoulli-Experiment Führe ein Einzelexperiment mit den beiden Ausgängen Ω i = {0, 1} n-mal durch.

40 Bernoulli-Experiment Führe ein Einzelexperiment mit den beiden Ausgängen Ω i = {0, 1} n-mal durch. P i (1) = p, P i (0) = 1 p, seien unabhängig von n.

41 Bernoulli-Experiment Führe ein Einzelexperiment mit den beiden Ausgängen Ω i = {0, 1} n-mal durch. P i (1) = p, P i (0) = 1 p, seien unabhängig von n. Der zugrunde liegende Produktraum ist dann Ω = {0, 1} n = { (ω 1,...,ω n ) : ω i {0, 1}, 1 i n }.

42 Bernoulli-Experiment Führe ein Einzelexperiment mit den beiden Ausgängen Ω i = {0, 1} n-mal durch. P i (1) = p, P i (0) = 1 p, seien unabhängig von n. Der zugrunde liegende Produktraum ist dann Ω = {0, 1} n = { (ω 1,...,ω n ) : ω i {0, 1}, 1 i n }. Man bezeichnet jede erscheinende 1 in ω als Erfolg.

43 Bernoulli-Experiment Führe ein Einzelexperiment mit den beiden Ausgängen Ω i = {0, 1} n-mal durch. P i (1) = p, P i (0) = 1 p, seien unabhängig von n. Der zugrunde liegende Produktraum ist dann Ω = {0, 1} n = { (ω 1,...,ω n ) : ω i {0, 1}, 1 i n }. Man bezeichnet jede erscheinende 1 in ω als Erfolg. Gibt es k Einsen in ω = (ω 1,...,ω n ), so P(ω) = p k (1 p) n k.

44 Bernoulli-Experiment Führe ein Einzelexperiment mit den beiden Ausgängen Ω i = {0, 1} n-mal durch. P i (1) = p, P i (0) = 1 p, seien unabhängig von n. Der zugrunde liegende Produktraum ist dann Ω = {0, 1} n = { (ω 1,...,ω n ) : ω i {0, 1}, 1 i n }. Man bezeichnet jede erscheinende 1 in ω als Erfolg. Gibt es k Einsen in ω = (ω 1,...,ω n ), so P(ω) = p k (1 p) n k. Man nennt dieses Experiment Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

45 Die Binomialverteilung E k = In n Versuchen erscheinen insgesamt k Einsen.

46 Die Binomialverteilung E k = In n Versuchen erscheinen insgesamt k Einsen. E k = { ω Ω : n ω i = k }. i=1

47 Die Binomialverteilung E k = In n Versuchen erscheinen insgesamt k Einsen. E k = { ω Ω : n ω i = k }. E k ist die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge, also ( n ) E k =. k i=1

48 Die Binomialverteilung E k = In n Versuchen erscheinen insgesamt k Einsen. E k = { ω Ω : n ω i = k }. E k ist die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge, also ( n ) E k =. k i=1 ( n P(E k ) = b n,p (k) = k ) p k (1 p) n k, 0 k n.

49 Die Binomialverteilung ( n P(E k ) = b n,p (k) = k ) p k (1 p) n k, 0 k n. Die E k bilden eine disjunkte Zerlegung von Ω, b n,p (k) = 1. k

50 Die Binomialverteilung ( n P(E k ) = b n,p (k) = k ) p k (1 p) n k, 0 k n. Die E k bilden eine disjunkte Zerlegung von Ω, b n,p (k) = 1. k Die b n,p (k) liefern daher eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {0, 1,...,n}, die Binomialverteilung oder b n,p -Verteilung genannt wird.

51 Die Binomialverteilung ( n P(E k ) = b n,p (k) = k ) p k (1 p) n k, 0 k n. Die E k bilden eine disjunkte Zerlegung von Ω, b n,p (k) = 1. k Die b n,p (k) liefern daher eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {0, 1,...,n}, die Binomialverteilung oder b n,p -Verteilung genannt wird. Binomialverteilung, weil es die Verteilung der Zufallsvariablen S : {0, 1} n Ê, S(ω) = n i=1 ω i ist.

52 Beispiel p = 0, 515 = Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen.

53 Beispiel p = 0, 515 = Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen. Die Geburten sind voneinander unabhängig. Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Familie mit vier Kindern zwei Jungen und zwei Mädchen gibt, ist ( 4 2 ) p 2 (1 p)

54 Die Multinomialverteilung Führe ein Einzelexperiment mit den r Ausgängen Ω i = {1,...,r} n-mal durch.

55 Die Multinomialverteilung Führe ein Einzelexperiment mit den r Ausgängen Ω i = {1,...,r} n-mal durch. P i (i) = p i, seien unabhängig von n, r i=1 p i = 1.

56 Die Multinomialverteilung Führe ein Einzelexperiment mit den r Ausgängen Ω i = {1,...,r} n-mal durch. P i (i) = p i, seien unabhängig von n, r i=1 p i = 1. Der zugrunde liegende Produktraum ist dann Ω = {1,...,r} n

57 Die Multinomialverteilung Führe ein Einzelexperiment mit den r Ausgängen Ω i = {1,...,r} n-mal durch. P i (i) = p i, seien unabhängig von n, r i=1 p i = 1. Der zugrunde liegende Produktraum ist dann Ω = {1,...,r} n Die Wahrscheinlichkeit, in den n Teilversuchen k 1 mal das Ergebnis 1, k 2 mal das Ergebnis 2,..., k r mal das Ergebnis r zu bekommen, ist dann ( n ) p k 1 1 k 1,...,k...pkr r r mit dem Multinomialkoeffizienten ( n ) n! = k 1,...,k r k 1! k r!.

58 Die geometrische Verteilung Betrachten ein Zufallsexperimment mit Ausgängen {0, 1} und P(1) = p (wie bei der Binomialverteilung).

59 Die geometrische Verteilung Betrachten ein Zufallsexperimment mit Ausgängen {0, 1} und P(1) = p (wie bei der Binomialverteilung). Die Wahrscheinlichkeit, im k-ten Experiment zum ersten Mal eine 1 zu bekommen, ist dann p (1 p) k 1 = pq k 1.

60 Die geometrische Verteilung Betrachten ein Zufallsexperimment mit Ausgängen {0, 1} und P(1) = p (wie bei der Binomialverteilung). Die Wahrscheinlichkeit, im k-ten Experiment zum ersten Mal eine 1 zu bekommen, ist dann p (1 p) k 1 = pq k 1. k=1 pq k 1 = p 1 q = 1

61 Die geometrische Verteilung Betrachten ein Zufallsexperimment mit Ausgängen {0, 1} und P(1) = p (wie bei der Binomialverteilung). Die Wahrscheinlichkeit, im k-ten Experiment zum ersten Mal eine 1 zu bekommen, ist dann p (1 p) k 1 = pq k 1. k=1 pq k 1 = p 1 q = 1 Erhalte Wahrscheinlichkeitsverteilung P(k) = pq k 1 auf Ω = {1, 2,...}.

62 Die geometrische Verteilung Betrachten ein Zufallsexperimment mit Ausgängen {0, 1} und P(1) = p (wie bei der Binomialverteilung). Die Wahrscheinlichkeit, im k-ten Experiment zum ersten Mal eine 1 zu bekommen, ist dann p (1 p) k 1 = pq k 1. k=1 pq k 1 = p 1 q = 1 Erhalte Wahrscheinlichkeitsverteilung P(k) = pq k 1 auf Ω = {1, 2,...}. Dies ist die geometrische Verteilung. Dies ist gleichzeitig ein Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum mit abzählbar unendlicher Grundmenge Ω.

63 8.3 Momente von Zufallsvariablen Schreibe für A V X P(X A) statt P({ω : X(ω) A}).

64 8.3 Momente von Zufallsvariablen Schreibe für A V X P(X A) statt P({ω : X(ω) A}). Dann P(X A) = x A P X (x).

65 8.3 Momente von Zufallsvariablen Schreibe für A V X P(X A) statt P({ω : X(ω) A}). Dann P(X A) = x A P X (x). Um Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in V X zu bestimmen, reicht demnach die Verteilung von X aus.

66 8.3 Momente von Zufallsvariablen Habe nun mehrere Zufallsvariablen X 1,...,X n, und bestimme P(X 1 A 1,...,X n A n ) = P({ω : X 1 (ω) A 1,...,X n (ω) A n }).

67 8.3 Momente von Zufallsvariablen Habe nun mehrere Zufallsvariablen X 1,...,X n, und bestimme P(X 1 A 1,...,X n A n ) = P({ω : X 1 (ω) A 1,...,X n (ω) A n }). Die Kenntnis der einzelnen Verteilungen der X i genügt nicht.

68 8.3 Momente von Zufallsvariablen Habe nun mehrere Zufallsvariablen X 1,...,X n, und bestimme P(X 1 A 1,...,X n A n ) = P({ω : X 1 (ω) A 1,...,X n (ω) A n }). Die Kenntnis der einzelnen Verteilungen der X i genügt nicht. Wir fassen die Wertebereiche V Xi durch zusammen und setzen V X = V X1... V Xn X = (X 1,...,X n ).

69 8.3 Momente von Zufallsvariablen Habe nun mehrere Zufallsvariablen X 1,...,X n, und bestimme P(X 1 A 1,...,X n A n ) = P({ω : X 1 (ω) A 1,...,X n (ω) A n }). Die Kenntnis der einzelnen Verteilungen der X i genügt nicht. Wir fassen die Wertebereiche V Xi durch zusammen und setzen V X = V X1... V Xn X = (X 1,...,X n ). P(X 1 = x 1,...,X n = x n ) heißt gemeinsame Verteilung der X i.

70 Beispiel Drei Schützen treffen eine Scheibe mit Wahrscheinlichkeit 1/2, 2/3, 3/4.

71 Beispiel Drei Schützen treffen eine Scheibe mit Wahrscheinlichkeit 1/2, 2/3, 3/4. Nachdem jeder einmal geschossen hat, werden zwei Treffer gezählt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten p i dafür, dass der i-te Schütze nicht getroffen hat.

72 Beispiel Drei Schützen treffen eine Scheibe mit Wahrscheinlichkeit 1/2, 2/3, 3/4. Nachdem jeder einmal geschossen hat, werden zwei Treffer gezählt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten p i dafür, dass der i-te Schütze nicht getroffen hat. Ω = {0, 1} 3, X i (ω) = ω i, wobei 1 für einen Treffer gesetzt wird.

73 Beispiel Drei Schützen treffen eine Scheibe mit Wahrscheinlichkeit 1/2, 2/3, 3/4. Nachdem jeder einmal geschossen hat, werden zwei Treffer gezählt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten p i dafür, dass der i-te Schütze nicht getroffen hat. Ω = {0, 1} 3, X i (ω) = ω i, wobei 1 für einen Treffer gesetzt wird. Es ist p i = P(X 1 + X 2 + X 3 = 2, X i = 0) zu bestimmen.

74 Beispiel P(X 1 = 1) = 1 2, P(X 2 = 1) = 2 3, P(X 3 = 1) = 3 4 p i = P(X 1 + X 2 + X 3 = 2, X i = 0)

75 Beispiel P(X 1 = 1) = 1 2, P(X 2 = 1) = 2 3, P(X 3 = 1) = 3 4 p i = P(X 1 + X 2 + X 3 = 2, X i = 0) Benötige einen Teil der gemeinsamen Verteilung der drei Zufallsvariablen: P(X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 1) = = 1 4 P(X 1 = 1, X 2 = 0, X 3 = 1) = = 1 8 P(X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 0) = = 1 12.

76 Beispiel P(X 1 = 1) = 1 2, P(X 2 = 1) = 2 3, P(X 3 = 1) = 3 4 p i = P(X 1 + X 2 + X 3 = 2, X i = 0) Benötige einen Teil der gemeinsamen Verteilung der drei Zufallsvariablen: P(X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 1) = = 1 4 P(X 1 = 1, X 2 = 0, X 3 = 1) = = 1 8 P(X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 0) = = Die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten beträgt 11/24, daher p 1 = 6 11, p 2 = 3 11, p 3 = 2 11.

77 Unabhängige Zufallsvariablen Wir hatten zwei Zufallsvariablen X und Y unabhängig genannt, wenn P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y) für alle x V X und y V Y.

78 Unabhängige Zufallsvariablen Wir hatten zwei Zufallsvariablen X und Y unabhängig genannt, wenn P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y) für alle x V X und y V Y. Entsprechend heißen die Zufallsvariablen X 1,...,X n unabhängig, wenn P(X 1 = x 1,...,X n = x n ) = n P(X i = x i ) x i V xi. i=1

79 Unabhängige Zufallsvariablen Wir hatten zwei Zufallsvariablen X und Y unabhängig genannt, wenn P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y) für alle x V X und y V Y. Entsprechend heißen die Zufallsvariablen X 1,...,X n unabhängig, wenn P(X 1 = x 1,...,X n = x n ) = Äquivalent hierzu ist die Bedingung i=1 für alle Ereignisse A i. n P(X i = x i ) x i V xi. i=1 ( n ) P {X i A i } = n P(X i A i ) i=1

80 Erwartungswert Der Erwartungswert EX von X war definiert durch EX = X(ω)P(ω) = xp X (x). ω Ω x V X

81 Erwartungswert Der Erwartungswert EX von X war definiert durch EX = X(ω)P(ω) = xp X (x). ω Ω x V X Während die Zufallsvariable i.a. nicht aus der Verteilung rekonstruiert werden kann, genügt ihre Kenntnis, um den Erwartungswert zu bestimmen.

82 Beispiel (i) - binomialverteilte Zufallsvariablen Im Bernoulli-Experiment hatten wir n Experimente mit Ausgängen {0, 1} und Wahrscheinlichkeit P(1) = p durchgeführt.

83 Beispiel (i) - binomialverteilte Zufallsvariablen Im Bernoulli-Experiment hatten wir n Experimente mit Ausgängen {0, 1} und Wahrscheinlichkeit P(1) = p durchgeführt. Die Zufallsvariable S(ω) = ω ω n ist binomialverteilt, ( n P S (k) = b n,p (k) = k ) p k (1 p) n k.

84 Beispiel (i) - binomialverteilte Zufallsvariablen ( n ) P S (k) = b n,p (k) = p k (1 p) n k. k

85 Beispiel (i) - binomialverteilte Zufallsvariablen ( n ) P S (k) = b n,p (k) = p k (1 p) n k. k Für jede binomialverteilte Zufallsvariable X berechnet sich der Erwartungswert zu EX = = n k=0 ( n ) k p k (1 p) n k k n (n 1)! np (k 1)!((n 1)) (k 1))! pk 1 (1 p) (n 1) (k 1) k=1

86 Beispiel (i) - binomialverteilte Zufallsvariablen ( n ) P S (k) = b n,p (k) = p k (1 p) n k. k Für jede binomialverteilte Zufallsvariable X berechnet sich der Erwartungswert zu EX = = n k=0 ( n ) k p k (1 p) n k k n (n 1)! np (k 1)!((n 1)) (k 1))! pk 1 (1 p) (n 1) (k 1) k=1 n 1 = np b n 1,p (k) = np. k=0

87 Beispiel (i) - binomialverteilte Zufallsvariablen n 1 EX = np b n 1,p (k) = np. k=0

88 Beispiel (i) - binomialverteilte Zufallsvariablen Anderer Zugang: Wir setzen n 1 EX = np b n 1,p (k) = np. k=0 X = X X n mit X i (ω) = ω i.

89 Beispiel (i) - binomialverteilte Zufallsvariablen Anderer Zugang: Wir setzen n 1 EX = np b n 1,p (k) = np. k=0 X = X X n mit X i (ω) = ω i. Für diese Zufallsvariable gilt EX i = p, daher EX = np.

90 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen Sei X hypergeometrisch verteilt, also ( S P X (s) = s )( N s n s ) ( N / n ).

91 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen Sei X hypergeometrisch verteilt, also ( S P X (s) = s )( N s n s ) ( N / n P X (s) gibt die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit S schwarzen und N S weißen Kugeln in n Versuchen ohne Rücklegen genau s schwarze Kugeln zu bekommen. ).

92 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen Sei X hypergeometrisch verteilt, also ( S P X (s) = s )( N s n s ) ( N / n P X (s) gibt die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit S schwarzen und N S weißen Kugeln in n Versuchen ohne Rücklegen genau s schwarze Kugeln zu bekommen. Auch hier können wir X = X X n setzen mit X i (ω) = 1, falls die i-te Kugel schwarz ist. ).

93 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen Sei X hypergeometrisch verteilt, also ( S P X (s) = s )( N s n s ) ( N / n P X (s) gibt die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit S schwarzen und N S weißen Kugeln in n Versuchen ohne Rücklegen genau s schwarze Kugeln zu bekommen. Auch hier können wir X = X X n setzen mit X i (ω) = 1, falls die i-te Kugel schwarz ist. Es gilt (Überraschung!) P(X i = 1) = S N, obwohl in jeder einzelnen Stichprobe das Ergebnis im i-ten Schritt von den zuvor gezogenen Kugeln abhängt. ).

94 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen P(X i = 1) = S N Man kann dies durch vollständige Induktion über i beweisen. Wir zeigen es für i = 2: P(X 2 = 1) = N S S 1 N 1 +N S N S N 1 = S(S 1)+(N S)S N(N 1) = S N.

95 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen P(X i = 1) = S N Man kann dies durch vollständige Induktion über i beweisen. Wir zeigen es für i = 2: P(X 2 = 1) = N S S 1 N 1 +N S N S N 1 = S(S 1)+(N S)S N(N 1) = S N. Damit gilt EX i = S/N und EX = ns/n.

96 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen Für den großen Mathematiker Poisson war das Resultat P(X i = 1) = S N trivial und eines Beweises unwürdig.

97 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen Für den großen Mathematiker Poisson war das Resultat P(X i = 1) = S N trivial und eines Beweises unwürdig. Wir können uns die schwarzen Kugeln als Gewinne und die weißen als Nieten in einer Lotterie vorstellen.

98 Beispiel (ii) - hypergeometrisch verteilte Zufallsvariablen Für den großen Mathematiker Poisson war das Resultat P(X i = 1) = S N trivial und eines Beweises unwürdig. Wir können uns die schwarzen Kugeln als Gewinne und die weißen als Nieten in einer Lotterie vorstellen. Dann ist der Erwartungswert für den Gewinn mit einem Los S/N und niemand würde sich daran stören, dass schon vorher Lose verkauft wurden.

99 Beispiel (iii) - geometrisch verteilte Zufallsvariablen Ist X geometrisch verteilt, so ist V X = Æ, P X (k) = p(1 p) k 1.

100 Beispiel (iii) - geometrisch verteilte Zufallsvariablen Ist X geometrisch verteilt, so ist V X = Æ, P X (k) = p(1 p) k 1. Damit ist EX = kp(1 p) k 1. k=1

101 Beispiel (iii) - geometrisch verteilte Zufallsvariablen Ist X geometrisch verteilt, so ist Damit ist V X = Æ, P X (k) = p(1 p) k 1. EX = kp(1 p) k 1. k=1 Wir differenzieren die geometrische Reihe auf beiden Seiten nach x: kx k 1 = k=1 1 (1 x) 2, x < 1.

102 Beispiel (iii) - geometrisch verteilte Zufallsvariablen Ist X geometrisch verteilt, so ist Damit ist V X = Æ, P X (k) = p(1 p) k 1. EX = kp(1 p) k 1. k=1 Wir differenzieren die geometrische Reihe auf beiden Seiten nach x: kx k 1 = k=1 Für x = 1 p folgt dann 1 (1 x) 2, x < 1. EX = p p 2 = 1 p.

103 Varianz Existiert E(X 2 ), so heißt Var(X) = E((X EX) 2 ) = P X (x) x EX 2, x V X die Varianz der Zufallsvariablen X.

104 Varianz Existiert E(X 2 ), so heißt Var(X) = E((X EX) 2 ) = die Varianz der Zufallsvariablen X. x V X P X (x) x EX 2, Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert der Zufallsvariablen.

105 Varianz Existiert E(X 2 ), so heißt Var(X) = E((X EX) 2 ) = die Varianz der Zufallsvariablen X. x V X P X (x) x EX 2, Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert der Zufallsvariablen. Es gilt Var(X) = E(X 2 2X EX +(EX) 2 ) = E(X 2 ) 2(EX)(EX)+(EX) 2 = E(X 2 ) (EX) 2.

106 Varianz Existiert E(X 2 ), so heißt Var(X) = E((X EX) 2 ) = die Varianz der Zufallsvariablen X. x V X P X (x) x EX 2, Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert der Zufallsvariablen. Es gilt Var(X) = E(X 2 2X EX +(EX) 2 ) = E(X 2 ) 2(EX)(EX)+(EX) 2 = E(X 2 ) (EX) 2. Die Varianz ist also das Mittel des Quadrats minus dem Quadrat des Mittels.

107 Beispiel Nach dieser Formel können wir die Varianz für das Werfen eines Würfels, also X(m) = m, leicht bestimmen, Var(X) = 1 6 ( ) ( 7) 2 35 = 2 12.

108 Standardabweichung Var(X) = 1 6 ( ) ( 7 2 ) 2 = Aus diesem Beispiel sieht man, dass man besser die Wurzel aus der Varianz zieht, um die mittlere Abweichung vom Mittelwert zu bekommen.

109 Standardabweichung Var(X) = 1 6 ( ) ( 7) 2 35 = Aus diesem Beispiel sieht man, dass man besser die Wurzel aus der Varianz zieht, um die mittlere Abweichung vom Mittelwert zu bekommen. σ(x) = Var(X) 1/2 heißt Streuung oder Standardabweichung der Zufallsvariablen X.

110 Youngsche Ungleichung Für reelle Zahlen a, b gilt die Youngsche Ungleichung ab 1 2 a b2.

111 Youngsche Ungleichung Für reelle Zahlen a, b gilt die Youngsche Ungleichung ab 1 2 a b2. Wird bewiesen durch 0 (a±b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2.

112 Notation X ist die Zufallsvariable ω X(ω).

113 Notation X ist die Zufallsvariable ω X(ω). Ungleichungen zwischen Zufallsvariablen: X Y X(ω) Y(ω) für alle ω Ω.

114 k-tes Moment Für k Æ heißt E(X k ) das k-te Moment der Zufallsvariablen X.

115 k-tes Moment Für k Æ heißt E(X k ) das k-te Moment der Zufallsvariablen X. Wenn das zweite Moment existiert, so auch der Erwartungswert wegen X X 2.

116 k-tes Moment Für k Æ heißt E(X k ) das k-te Moment der Zufallsvariablen X. Wenn das zweite Moment existiert, so auch der Erwartungswert wegen X X 2. Damit existiert auch Var(X) = E(X 2 ) EX 2.

117 Kovarianz Existieren E(X 2 ), E(Y 2 ) für Zufallsvariablen X, Y, so ist die Kovarianz von X und Y definiert durch Cov(X, Y) = E ( (X EX)(Y EY) ).

118 Kovarianz Existieren E(X 2 ), E(Y 2 ) für Zufallsvariablen X, Y, so ist die Kovarianz von X und Y definiert durch Cov(X, Y) = E ( (X EX)(Y EY) ). Die zweiten Momente von X und Y reichen für die Existenz der Kovarianz aus wegen X Y 1 2 X Y 2.

119 Analogie zur Mechanik Viele Begriffe der Stochastik lassen sich auch mechanisch deuten. Ist ρ(x) die Massendichte eines Stabes, der in einem Intervall I liegt, so ist M = ρ(x) dx die Masse des Stabes. I

120 Analogie zur Mechanik Viele Begriffe der Stochastik lassen sich auch mechanisch deuten. Ist ρ(x) die Massendichte eines Stabes, der in einem Intervall I liegt, so ist M = ρ(x) dx die Masse des Stabes. Der Schwerpunkt des Stabes errechnet sich zu S = 1 xρ(x) dx, M was äquivalent ist zu (x S)ρ(x) dx = 0. I I I

121 Analogie zur Mechanik Viele Begriffe der Stochastik lassen sich auch mechanisch deuten. Ist ρ(x) die Massendichte eines Stabes, der in einem Intervall I liegt, so ist M = ρ(x) dx die Masse des Stabes. Der Schwerpunkt des Stabes errechnet sich zu S = 1 xρ(x) dx, M was äquivalent ist zu I I (x S)ρ(x) dx = 0. I Ein Hebel mit Stütze im Schwerpunkt befindet sich im Gleichgewicht.

122 Zentrieren Mit X EX verschiebt man den Schwerpunkt in den Nullpunkt, man bezeichnet dies auch als Zentrieren der Zufallsvariablen X.

123 Zentrieren Mit X EX verschiebt man den Schwerpunkt in den Nullpunkt, man bezeichnet dies auch als Zentrieren der Zufallsvariablen X. Daher wird die Varianz auch als zweites zentrales Moment von X bezeichnet.

124 Zusammenfassung Satz Seien X, Y,X i Zufallsvariablen, für die die zweiten Momente existieren, und seien a, b, c, d reelle Zahlen. Dann gilt Var(X) = E(X 2 ) (EX) 2, Var(aX + b) = a 2 Var(X), Cov(X, Y) = E(XY) EX EY,

125 Zusammenfassung Satz Seien X, Y,X i Zufallsvariablen, für die die zweiten Momente existieren, und seien a, b, c, d reelle Zahlen. Dann gilt Var(X) = E(X 2 ) (EX) 2, Var(aX + b) = a 2 Var(X), Cov(X, Y) = E(XY) EX EY, Cov(aX + b, cy + d) = ac Cov(X, Y), Var(X X n ) = n i=1 Var(X i )+ i j Cov(X i, X j ).

126 Zusammenfassung Satz Seien X, Y,X i Zufallsvariablen, für die die zweiten Momente existieren, und seien a, b, c, d reelle Zahlen. Dann gilt Var(X) = E(X 2 ) (EX) 2, Var(aX + b) = a 2 Var(X), Cov(X, Y) = E(XY) EX EY, Cov(aX + b, cy + d) = ac Cov(X, Y), Var(X X n ) = n i=1 Var(X i )+ i j Für unabhängige X, Y gilt, Cov(X, Y) = 0. Für unabhängige X 1,...,X n gilt Var(X X n ) = n Var(X i ). i=1 Cov(X i, X j ).

127 Beweis Cov(X, Y) = E(XY) EX EY,

128 Beweis Cov(X, Y) = E(XY) EX EY, Dies erhalten wir mit Cov(X, Y) = E ( (X EX)(Y EY) ) = E(XY) E(X EY) E(EX Y)+E((EX)(EY))

129 Beweis Cov(X, Y) = E(XY) EX EY, Dies erhalten wir mit Cov(X, Y) = E ( (X EX)(Y EY) ) = E(XY) E(X EY) E(EX Y)+E((EX)(EY)) = E(XY) 2(EX)(EY)+(EX)(EY) = E(XY) (EX)(EY).

130 Beweis Cov(aX + b, cy + d) = ac Cov(X, Y),

131 Beweis Cov(aX + b, cy + d) = ac Cov(X, Y), b, d verschwinden, weil jeweils der Erwartungswert abgezogen wurde.

132 Beweis Var(X X n ) = Wir setzen X i = X i EX i, n i=1 Var(X i )+ i j Cov(X i, X j ),

133 Beweis Var(X X n ) = Wir setzen X i = X i EX i, n i=1 Var(X i )+ i j Cov(X i, X j ), Var(X X n ) = E(( X X n )( X X n ))

134 Beweis Var(X X n ) = n i=1 Var(X i )+ i j Cov(X i, X j ), Wir setzen X i = X i EX i, Var(X X n ) = E(( X X n )( X X n )) = = n E( X i X i )+ E( X i X j ) i=1 i j n Var(X i )+ Cov(X i, X j ) i=1 i j

135 Beweis Sind X, Y unabhängig, so Cov(X, Y) = 0,

136 Beweis Sind X, Y unabhängig, so Cov(X, Y) = 0, Mit X, Y sind auch X EX, Y EY unabhängig. Es gilt E((X EX)(Y EY)) = E(X EX) E(Y EY) = 0.

137 Beispiel zu einem Missverständnis Die Kovarianz verschwindet für unabhängige X, Y, aber sie ist kein Maß für die Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen.

138 Beispiel zu einem Missverständnis Die Kovarianz verschwindet für unabhängige X, Y, aber sie ist kein Maß für die Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen. Unabhängigkeit ist eine Aussage über die tiefere Struktur der Zufallsvariablen, die Kovarianz ist nur eine einzige Zahl.

139 Beispiel zu einem Missverständnis Die Kovarianz verschwindet für unabhängige X, Y, aber sie ist kein Maß für die Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen. Unabhängigkeit ist eine Aussage über die tiefere Struktur der Zufallsvariablen, die Kovarianz ist nur eine einzige Zahl. Als Beispiel wähle den Raum Ω = {1, 2, 3, 4} mit P(1) = P(2) = 2 5, P(3) = P(4) = 1 10.

140 Beispiel zu einem Missverständnis Die Kovarianz verschwindet für unabhängige X, Y, aber sie ist kein Maß für die Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen. Unabhängigkeit ist eine Aussage über die tiefere Struktur der Zufallsvariablen, die Kovarianz ist nur eine einzige Zahl. Als Beispiel wähle den Raum Ω = {1, 2, 3, 4} mit P(1) = P(2) = 2 5, P(3) = P(4) = Definiere die Zufallsvariablen X(1) = 1, Y(1) = 1, X(2) = 1, Y(2) = 1, X(3) = Y(3) = 2, X(4) = Y(4) = 2.

141 Beispiel zu einem Missverständnis P(1) = P(2) = 2 5, P(3) = P(4) = X(1) = 1, Y(1) = 1, X(2) = 1, Y(2) = 1, X(3) = Y(3) = 2, X(4) = Y(4) = 2.

142 Beispiel zu einem Missverständnis P(1) = P(2) = 2 5, P(3) = P(4) = X(1) = 1, Y(1) = 1, X(2) = 1, Y(2) = 1, X(3) = Y(3) = 2, X(4) = Y(4) = 2. Die Werte von X bestimmen die zugehörigen ω und damit auch Y eindeutig.

143 Beispiel zu einem Missverständnis P(1) = P(2) = 2 5, P(3) = P(4) = X(1) = 1, Y(1) = 1, X(2) = 1, Y(2) = 1, X(3) = Y(3) = 2, X(4) = Y(4) = 2. Die Werte von X bestimmen die zugehörigen ω und damit auch Y eindeutig. X, Y sind daher extrem voneinander abhängig, aber Cov(X, Y) = E(XY) = ( 1) 2 5 +( 1) = 0.

144 Beispiel Sei X binomialverteilt mit Parametern n und p.

145 Beispiel Sei X binomialverteilt mit Parametern n und p. Ist X i (ω) = ω i, so ist EX i = p, Var(X i ) = E(X 2 i ) (EX i ) 2 = p p 2.

146 Beispiel Sei X binomialverteilt mit Parametern n und p. Ist X i (ω) = ω i, so ist EX i = p, Var(X i ) = E(X 2 i ) (EX i ) 2 = p p 2. Da die Zufallsvariablen unabhängig sind, folgt Var(X) = Var(X i ) = nvar(x 1 ) = np(1 p).

147 Tschebyscheff-Ungleichung Satz Für jedes ε > 0 gilt P( X EX ε) Var(X) ε 2.

148 Beweis P( X EX ε) Var(X) ε 2.

149 Beweis P( X EX ε) Var(X) ε 2. Sei Z = X EX. Wir setzen { 0 falls Z(ω) < ε Y(ω) = ε 2 falls Z(ω) ε.

150 Beweis P( X EX ε) Var(X) ε 2. Sei Z = X EX. Wir setzen { 0 falls Z(ω) < ε Y(ω) = ε 2 falls Z(ω) ε. Dann ist Y Z 2 und Var(X) = E( Z 2 ) E(Y) = ε 2 P(Y = ε 2 ) = ε 2 P( X EX ε).

151 Schwaches Gesetz der großen Zahlen Satz Seien X 1,...,X n unabhängige Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert und Var(X i ) M <.

152 Schwaches Gesetz der großen Zahlen Satz Seien X 1,...,X n unabhängige Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert und Var(X i ) M <. Dann gilt für alle ε > 0 P ( 1 n (X X n ) EX 1 ε ) M ε 2 n 0.

153 Beweis Sei X = (X X n )/n. Dann ist EX = EX 1 und Var(X) = n 2 Var(X X n )

154 Beweis Sei X = (X X n )/n. Dann ist EX = EX 1 und Var(X) = n 2 Var(X X n ) = n 2 (Var(X 1 )+...+Var(X n )) M n.

155 Beweis Sei X = (X X n )/n. Dann ist EX = EX 1 und Var(X) = n 2 Var(X X n ) = n 2 (Var(X 1 )+...+Var(X n )) M n. Die Tschebyscheff-Ungleichung angewendet auf X liefert die Behauptung.

156 8.4 Die Poisson-Verteilung Für α > 0 setzen wir g α (k) = e α k! αk.

157 8.4 Die Poisson-Verteilung Für α > 0 setzen wir g α (k) = e α k! αk. g α (k) bilden eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Æ 0 wegen g α (k) = e α k=0 k=0 α k k! = e α e α = 1.

158 8.4 Die Poisson-Verteilung Für α > 0 setzen wir g α (k) = e α k! αk. g α (k) bilden eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Æ 0 wegen g α (k) = e α k=0 k=0 α k k! = e α e α = 1. Dies ist die Poisson-Verteilung mit Parameter α.

159 Die Poisson-Verteilung g α (k) = e α k! αk. Für Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen X mit dieser Verteilung erhalten wir EX = e α k=0 kα k k! = e α k=0 α k+1 k! = α,

160 Die Poisson-Verteilung g α (k) = e α k! αk. Für Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen X mit dieser Verteilung erhalten wir EX = e α k=0 kα k k! = e α k=0 α k+1 k! = α, E(X 2 ) = e α (k 1)kα k k! k=0 + e α k=0 kα k k! = α 2 +α Var(X) = E(X 2 ) (EX) 2 = α.

161 Approximation der Binomialverteilung Die Poisson-Verteilung kann manchmal zur Approximation der Binomialverteilung, ( n b n,p (k) = k ) p k (1 p) n k, verwendet werden.

162 Approximation der Binomialverteilung Die Poisson-Verteilung kann manchmal zur Approximation der Binomialverteilung, ( n b n,p (k) = k ) p k (1 p) n k, verwendet werden. Wir setzen α = np n und betrachten bei konstantem α n p n 0.

163 Approximation der Binomialverteilung Die Poisson-Verteilung kann manchmal zur Approximation der Binomialverteilung, ( n b n,p (k) = k ) p k (1 p) n k, verwendet werden. Wir setzen α = np n und betrachten bei konstantem α n p n 0. Wir schreiben dazu b n (k) = b n,pn (k). Es gilt ( n b n (k) = k ) ( α n ) k ( α) n k. 1 n

164 Approximation der Binomialverteilung ( n b n (k) = k ) ( α n ) k ( α) n k. 1 n

165 Approximation der Binomialverteilung ( n b n (k) = k Wegen (1+x/n) n e x ) ( α n ) k ( α) n k. 1 n lim b n(0) = ( 1 α ) n e α. n n

166 Approximation der Binomialverteilung ( n b n (k) = k Wegen (1+x/n) n e x Mit ) ( α n ) k ( α) n k. 1 n lim b n(0) = ( 1 α ) n e α. n n b n (k + 1) b n (k) = n k k + 1 (α n )( α) 1 1 n

167 Approximation der Binomialverteilung ( n b n (k) = k Wegen (1+x/n) n e x Mit ) ( α n ) k ( α) n k. 1 n lim b n(0) = ( 1 α ) n e α. n n b n (k + 1) b n (k) = n k k + 1 (α n )( α) 1 α 1 = n k + 1 n k n ( α) 1 α 1 n k + 1 folgt dann induktiv lim n b n(k) = α k lim n b n(k 1) = g α (k).

168 Approximation der Binomialverteilung ( n b n (k) = k Wegen (1+x/n) n e x Mit ) ( α n ) k ( α) n k. 1 n lim b n(0) = ( 1 α ) n e α. n n b n (k + 1) b n (k) = n k k + 1 (α n )( α) 1 α 1 = n k + 1 n k n ( α) 1 α 1 n k + 1 folgt dann induktiv lim n b n(k) = α k lim n b n(k 1) = g α (k). Aus der Herleitung geht hervor, dass die Konvergenz für kleine k schneller ist als für große.

169 Approximation der Binomialverteilung lim n b n(k) = α k lim n b n(k 1) = g α (k).

170 Approximation der Binomialverteilung lim n b n(k) = α k lim n b n(k 1) = g α (k). Wenn also n groß gegenüber np ist, können wir für kleine k die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung mit α = np ersetzen.

171 Approximation der Binomialverteilung lim n b n(k) = α k lim n b n(k 1) = g α (k). Wenn also n groß gegenüber np ist, können wir für kleine k die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung mit α = np ersetzen. Der Erwartungswert für die Binomialverteilung mit np = α stimmt mit dem Erwartungswert für die Poissonverteilung überein.

172 Approximation der Binomialverteilung lim n b n(k) = α k lim n b n(k 1) = g α (k). Wenn also n groß gegenüber np ist, können wir für kleine k die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung mit α = np ersetzen. Der Erwartungswert für die Binomialverteilung mit np = α stimmt mit dem Erwartungswert für die Poissonverteilung überein. Für die Varianz der Binomialverteilung gilt npq = α(1 α n ) α.

173 Approximation der Binomialverteilung lim n b n(k) = α k lim n b n(k 1) = g α (k). Wenn also n groß gegenüber np ist, können wir für kleine k die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung mit α = np ersetzen. Der Erwartungswert für die Binomialverteilung mit np = α stimmt mit dem Erwartungswert für die Poissonverteilung überein. Für die Varianz der Binomialverteilung gilt npq = α(1 α n ) α. Das ist die Varianz der Poissonverteilung.

174 Beispiel - seltenes Ereignis Als Beispiel für ein seltenes Ereignis betrachten wir eine richtig gesetzte Zahl beim Roulette.

175 Beispiel - seltenes Ereignis Als Beispiel für ein seltenes Ereignis betrachten wir eine richtig gesetzte Zahl beim Roulette. Die Wahrscheinlichkeit, nach 37 Spielen 0-, 1- oder 2-mal zu gewinnen, wird gegeben durch b 37,p (k) mit p = 1/37, also b 37,p (0) = ( ) 37 = 0,

176 Beispiel - seltenes Ereignis Als Beispiel für ein seltenes Ereignis betrachten wir eine richtig gesetzte Zahl beim Roulette. Die Wahrscheinlichkeit, nach 37 Spielen 0-, 1- oder 2-mal zu gewinnen, wird gegeben durch b 37,p (k) mit p = 1/37, also b 37,p (0) = ( ) 37 = 0, b 37,p (1) = b 37,p (2) = ( 37 1 ( 37 2 ) (1 1 ) 36 ( 1 ) ( 1 ) 36 = 1 = 0, ) (1 1 ) 35 ( 1 ) 2 36 ( 1 ) 35 = 1 = 0,

177 Beispiel - seltenes Ereignis Als Beispiel für ein seltenes Ereignis betrachten wir eine richtig gesetzte Zahl beim Roulette. Die Wahrscheinlichkeit, nach 37 Spielen 0-, 1- oder 2-mal zu gewinnen, wird gegeben durch b 37,p (k) mit p = 1/37, also b 37,p (0) = ( ) 37 = 0, b 37,p (1) = b 37,p (2) = ( 37 1 ( 37 2 ) (1 1 ) 36 ( 1 ) ( 1 ) 36 = 1 = 0, ) (1 1 ) 35 ( 1 ) 2 36 ( 1 ) 35 = 1 = 0, Wegen np = 1 können wir diese Zahlen durch die Poissonverteilung g 1 (k) approximieren mit g 1 (0) = e 1 = 0, , g 1 (1) = e 1, g 1 (2) = 1 2 e 1 = 0,

178 Beispiel - Zufällig erscheinendes Teilchen Wir messen die Ankunft eines zufällig erscheinenden Teilchens, der Erwartungswert für die Zahl der im Zeitintervall 1 erscheinenden Teilchen sei α.

179 Beispiel - Zufällig erscheinendes Teilchen Wir messen die Ankunft eines zufällig erscheinenden Teilchens, der Erwartungswert für die Zahl der im Zeitintervall 1 erscheinenden Teilchen sei α. Wir möchten ein Modell konstruieren, das uns die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von k Teilchen im Zeitraum t angibt.

180 Beispiel - Zufällig erscheinendes Teilchen Wir messen die Ankunft eines zufällig erscheinenden Teilchens, der Erwartungswert für die Zahl der im Zeitintervall 1 erscheinenden Teilchen sei α. Wir möchten ein Modell konstruieren, das uns die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von k Teilchen im Zeitraum t angibt. Wir wählen N so groß, dass wir in erster Näherung davon ausgehen können, dass im Zeitintervall t/n ein Teilchen mit Wahrscheinlichkeit p = αt/n erscheint oder mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p nicht erscheint.

181 Beispiel - Zufällig erscheinendes Teilchen Wir messen die Ankunft eines zufällig erscheinenden Teilchens, der Erwartungswert für die Zahl der im Zeitintervall 1 erscheinenden Teilchen sei α. Wir möchten ein Modell konstruieren, das uns die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von k Teilchen im Zeitraum t angibt. Wir wählen N so groß, dass wir in erster Näherung davon ausgehen können, dass im Zeitintervall t/n ein Teilchen mit Wahrscheinlichkeit p = αt/n erscheint oder mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p nicht erscheint. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass k Teilchen im Zeitraum t erscheinen gerade b N,p (k). In diesem Fall kann N beliebig groß gewählt werden, so dass hier die Poissonverteilung g αt (k) das geeignete Modell ist.

182 8.5 Erzeugende Funktionen Ist X eine Zufallsvariable mit Werten in Æ 0, so können wir ihr die erzeugende Funktion zuordnen. g(z) = P(X = k)z k k=0

183 8.5 Erzeugende Funktionen Ist X eine Zufallsvariable mit Werten in Æ 0, so können wir ihr die erzeugende Funktion zuordnen. g(z) = P(X = k)z k k=0 In dieser Definition reicht offenbar die Kenntnis der Verteilung von X zur Bestimmung von g aus.

184 8.5 Erzeugende Funktionen Ist X eine Zufallsvariable mit Werten in Æ 0, so können wir ihr die erzeugende Funktion zuordnen. g(z) = P(X = k)z k k=0 In dieser Definition reicht offenbar die Kenntnis der Verteilung von X zur Bestimmung von g aus. Kennen wir X, so ist g(z) = ω Ω P(ω)z X(ω) zur obigen Definition äquivalent.

185 Existenz und Differenzierbarkeit g(z) = ω Ω P(ω)z X(ω) P(X = k) = 1 Reihe konvergiert mindestens für z < 1, k

186 Existenz und Differenzierbarkeit g(z) = ω Ω P(ω)z X(ω) P(X = k) = 1 Reihe konvergiert mindestens für z < 1, k g(1) = 1. g ist für z < 1 unendlich oft differenzierbar mit g (k) (0)/k! = P(X = k),

187 Existenz und Differenzierbarkeit g(z) = ω Ω P(ω)z X(ω) P(X = k) = 1 Reihe konvergiert mindestens für z < 1, k g(1) = 1. g ist für z < 1 unendlich oft differenzierbar mit g (k) (0)/k! = P(X = k), die Verteilung von X lässt sich aus g rekonstruieren,

188 Existenz und Differenzierbarkeit g(z) = ω Ω P(ω)z X(ω) P(X = k) = 1 Reihe konvergiert mindestens für z < 1, k g(1) = 1. g ist für z < 1 unendlich oft differenzierbar mit g (k) (0)/k! = P(X = k), die Verteilung von X lässt sich aus g rekonstruieren, g ist auf dem Intervall [0, 1] nichtnegativ und monoton steigend.

189 Bestimmung der Kenngrößen g (m) (1 ) = linksseitiger Grenzwert von g (m) in z = 1.

190 Bestimmung der Kenngrößen g (m) (1 ) = linksseitiger Grenzwert von g (m) in z = 1. Satz Es gilt E(X(X 1)...(X m+1)) = g (m) (1 ),

191 Bestimmung der Kenngrößen g (m) (1 ) = linksseitiger Grenzwert von g (m) in z = 1. Satz Es gilt E(X(X 1)...(X m+1)) = g (m) (1 ), insbesondere EX = g (1 ), Var(X) = g (1 )+g (1 ) g (1 ) 2.

192 Bestimmung der Kenngrößen g (m) (1 ) = linksseitiger Grenzwert von g (m) in z = 1. Satz Es gilt insbesondere E(X(X 1)...(X m+1)) = g (m) (1 ), EX = g (1 ), Var(X) = g (1 )+g (1 ) g (1 ) 2. In allen Fällen existiert der Grenzwert auf der rechten Seite genau dann, wenn die Summe auf der linken Seite konvergiert.

193 Beweis Für 0 z < 1 gilt ( ) g (m) (z) = k(k 1)...(k m+1)p(x = k)z k m. k=0

194 Beweis Für 0 z < 1 gilt ( ) g (m) (z) = Es gilt k(k 1)...(k m+1)p(x = k)z k m. k=0 k m 2 m k(k 1)...(k m+1) km für k 2m

195 Beweis Für 0 z < 1 gilt ( ) g (m) (z) = Es gilt k(k 1)...(k m+1)p(x = k)z k m. k=0 k m 2 m k(k 1)...(k m+1) km für k 2m Daher ist die Reihe an der Stelle z = 1 genau dann konvergent, wenn E(X m ) = k m P(X = k) existiert.

196 Beweis Für 0 z < 1 gilt ( ) g (m) (z) = Es gilt k(k 1)...(k m+1)p(x = k)z k m. k=0 k m 2 m k(k 1)...(k m+1) km für k 2m Daher ist die Reihe an der Stelle z = 1 genau dann konvergent, wenn E(X m ) = k m P(X = k) existiert. Im Falle der Konvergenz ist die Reihe für g (m) im Intervall [0, 1] gleichmäßig konvergent und wir können in ( ) den Grenzwert z 1 bilden.

197 Beispiel - Poisson-Verteilung Ist X poissonverteilt mit Parameter α, so gilt P(X = k) = e α α, k! daher g(z) = e α k=0 α k k! zk = e α(z 1).

198 Beispiel - Poisson-Verteilung Ist X poissonverteilt mit Parameter α, so gilt daher P(X = k) = e α α, k! g(z) = e α k=0 Für Erwartungswert und Varianz gilt dann α k k! zk = e α(z 1). EX = g (1) = α, Var(X) = g (1)+g (1) (g (1)) 2 = α 2 +α α 2 = α.

199 Beispiel - geometrische Verteilung Für geometrisch verteiltes X gilt P(X = k) = p(1 p) k 1 für k 1, also g(z) = p(1 p) k 1 z k = k=1 pz 1 (1 p)z.

200 Beispiel - geometrische Verteilung Für geometrisch verteiltes X gilt P(X = k) = p(1 p) k 1 für k 1, also Daher g(z) = p(1 p) k 1 z k = k=1 pz 1 (1 p)z. EX = g (1) = 1 p, Var(X) = g (1)+g (1) (g (1)) 2 = 1 p p 2.

201 Summe von Zufallszahlen Satz Sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in Æ 0, so gilt g X+Y (z) = g X (z)g Y (z).

202 Beweis Das folgt sofort aus der Unabhängigkeit von z X und z Y, nämlich g X+Y (z) = E(z X+Y ) = E(z X z Y ) = E(z X )E(z Y ).

203 Beweis Das folgt sofort aus der Unabhängigkeit von z X und z Y, nämlich g X+Y (z) = E(z X+Y ) = E(z X z Y ) = E(z X )E(z Y ). Oder mit direkter Rechnung g X+Y (z) = P(X + Y = k)z k ( k = P(X = l, Y = k l) ) z k k=0 k=0 l=0

204 Beweis Das folgt sofort aus der Unabhängigkeit von z X und z Y, nämlich g X+Y (z) = E(z X+Y ) = E(z X z Y ) = E(z X )E(z Y ). Oder mit direkter Rechnung g X+Y (z) = = P(X + Y = k)z k ( k = P(X = l, Y = k l) ) z k k=0 k=0 l=0 ( k P(X = l)p(y = k l) ) z k = g X (z)g Y (z). k=0 l=0

205 Beispiel Führen n Bernoulli-Experimente durch mit Erfolgswahrscheinlichkeit P(X i = 1) = p.

206 Beispiel Führen n Bernoulli-Experimente durch mit Erfolgswahrscheinlichkeit P(X i = 1) = p. Dann g Xi (z) = P(X i = 0)z 0 + P(X i = 1)z 1 = (1 p)+pz.

207 Beispiel Führen n Bernoulli-Experimente durch mit Erfolgswahrscheinlichkeit P(X i = 1) = p. Dann g Xi (z) = P(X i = 0)z 0 + P(X i = 1)z 1 = (1 p)+pz. Nach dem letzten Satz gilt für X = X X N, dass g X (z) = ((1 p)+pz) n.

208 Beispiel Führen n Bernoulli-Experimente durch mit Erfolgswahrscheinlichkeit P(X i = 1) = p. Dann g Xi (z) = P(X i = 0)z 0 + P(X i = 1)z 1 = (1 p)+pz. Nach dem letzten Satz gilt für X = X X N, dass g X (z) = ((1 p)+pz) n. Das ist die erzeugende Funktion der Binomialverteilung.

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