Analytische Lösungen der Transportgleichung Transportmodellierung

Transkript

1 Analytische Lösungen der Transportgleichung

2 1D-Transportgleichung Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung ( nc) t + x x x ( v c) nd c = 0 x Frage: Was fehlt hier, bevor wir Lösungen konstruieren können?

3 Mathematisches Modell Randbedingungen Transport-Gleichung & Anfangsbedingung Randbedingungen

4 Vollständiges Modell = + x c nd c v c n 0 Ω = = = + x x t x c x c t x c x nd x v t n ), ( ) ( 0), ( 0 0

5 Randbedingungen - Beispiel spezifizierte Konzentration kein Massenfluß spezifizierter Massenfluß Zheng & Bennett

6 Randbedingungen

7 1-D (konservativer) Transport Konzentration nimmt im Zentrum der Verteilung ab Kein Verlust an der Gesamtmasse 1.0 C/C t 1 t t Time

8 1-D Transportgleichung: Lösung Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) c( x, t) = M A πdt exp ( x vt / 4Dt n) A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung

9 Aufgabe Welches sind Parameter, welches die Variablen der Lösungsfunktion?. Bitte kontrollieren Sie, daß die Lösung auf Folie 8 tatsächlich die Transportgleichung löst! 3. Wie gehen Sie vor, wenn Sie diese Funktion skizzieren wollen?

10 Pecletzahl Die Transportgleichung enthält gleichzeitig einen diffusiven Term und einen advektiven Term. Welcher Term dominant ist, entscheidet die Pecletzahl: ( nc ) nc t + x x x ( v c ) nd c = 0 x Pe = vl nd Pe>> 1: Advektion überwiegt hyperbolischer Charakter Pe<< 1: Dispersion überwiegt parabolischer Charakter

11 Ideale Tracer Ideale Tracer unterliegen keiner Retardation oder einer reaktiven Veränderung. Ideale Tracer unterliegen nur der Advektion und der hydrodynamischen Dispersion. Aus idealen Tracern lassen sich die Parameter des advektiv-dispersiven Transports bestimmen. Wie lassen sich die Parameter bestimmen?

12 1-D Transport Schwerpunkt: x s = vt/n Breite der Verteilung: σ = Dt = DxS n / v D = 1 dσ dt

13 Transportverhalten

14 Aufgabe 3. Nennen Sie eine analytische Funktion, die die Transportgleichung mit Sorption und/oder Abbau löst!

15 1-D Transportgleichung mit Abbau: Lösung Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) c( x, t) = M A πdt exp ( x vt / 4Dt n) exp( λt) A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung

16 Aufgabe Welches sind Parameter, welches die Variablen der Lösungsfunktion?. Bitte kontrollieren Sie, daß die Lösung auf Folie 15 tatsächlich die Transportgleichung löst! 3. Wie gehen Sie vor, wenn Sie diese Funktion skizzieren wollen?

17 1-D Transportgleichung: Lösung Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) c( x, t) = A M πdt / R exp ( x ( nr) vt / 4Dt / R ) exp( λt / R) A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung

18 Aufgabe Welches sind Parameter, welches die Variablen der Lösungsfunktion?. Bitte kontrollieren Sie, daß die Lösung auf Folie 17 tatsächlich die Transportgleichung löst! 3. Wie gehen Sie vor, wenn Sie diese Funktion skizzieren wollen?

19 Zeitskalen/dimensionslose Größen Typische Zeitskalen Advektion T A = Ln/v Diffusion T D = L /D Chemie (Reaktion 1. Ordnung) T C = 1/λ Dimensionslose Verhältnisse Peclet Zahl Pe = T D /T A = vl/d Damköhlerzahl Da = T C /T D = D/(λL )

20 1D Transportgleichung: Lösung nach kontinuierlicher Zugabe n c t + v x c x nd c x Uniforme Strömung; longitudinale Dispersion; keine externen Quellen; keine chemische Reaktion = 0 Ogata & Banks: Lösung der ADE für eine kontinuierliche Linienquelle als Randbedingung

21 Prinzip der Superposition Hat eine lineare Differentialgleichungen mehrere Elementarlösungen, so stellen auch deren Summe oder Superposition wiederum eine Lösung dar.

22 Lösung nach kontinuierlicher Zugabe t1 t t 3

23 Lösung nach kontinuierlicher Zugabe t 1 t 1 t t c( x, t) c( x, t ) c( x, t' ) i dt' 1 t t 3 n i= 1 t 0

24 Lösung 1D Transport nach kontinuierlicher Zugabe Näherungslösung: für kleine D

25 1D Lösung nach kontinuierlicher Zugabe

26 Punktzugabe und kontinuierliche Zugabe 1-D ( ) = t D vt x t D M C xx xx i 4 exp 1 π + = t D vt x erfc D v x t D vt x erfc D v x v D xv M C xx xx xx xx xx c exp exp exp 1 θ

27 Durchbruchskurven

28 Tracerversuche mit künstlich zugegebenen Tracern werden durchgeführt, um Fließpfade und Fließ- bzw. Aufenthaltszeiten zu bestimmen hydraulische Verbindungen nachzuweisen hydraulische / hydromechanische Parameter (Kf, Dispersivität, Porosität) abzuschätzen Systemverständnis zu verbessern.

29 Tracerversuche Prinzip: Zugabe eines bekannten künstlichen Tracers (Markierungsstoffes) an bekannten Stellen Messung und Auswertung des zeitlichen Konzentrationsverlaufes des Tracers an geeigneten abstromigen Messpunkten (Bohrlöcher, Quellen, etc.).

30 Tracerversuche Bauer, 008

31 Zur Durchführung von Tracerversuchen unter natürlichen Fliessbedingungen ist zunächst eine Abschätzung von v notwendig zur Dimensionierung und Planung der Feldarbeiten. Dies kann anhand eines Verdünnungsversuches in einer Messstelle durchgeführt werden. Dazu wird Tracer in einer Messstelle zugegeben und gleichmässig über ein definiertes Intervall (Packer) vermischt. Dabei wird die Konzentrationsverringerung durch Ausspülung des Tracers durch die Grundwasserströmung gemessen.

32 Verdünnungsversuch Massenbilanz: ( j ( x) j ( x + x) ) A t = m( t + t) m( t) total,x total, x V dc/dt = -v A C mit der Lösung: v= -V/(A*t) ln(c/c(t=0)) Übergang auf das Grundwasser mit Fudge-Faktor α: α berücksichtigt den Brunnenausbau

33 Tracerversuche

34 Tracerversuche

35 Durchbruchskurven

36 Durchburchskurven

37 Analyse von Durchbruchskurven = x / t 4πDt ( x vt) exp( 4Dt

38 Analyse von Durchbruchskurven µ ( x) = τ ( x) = t σ ( x) = t 1 D v 11 3 x x v 1 Wie lauten sie?