Ökonometrische Prognose: U.S.-GDP Wachstumsraten. Sigrid Stix, Klaus Prettner, Robert Hierländer,

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1 Ökonometrische Prognose: U.S.-GDP Wachstumsraten Sigrid Stix, Klaus Prettner, Robert Hierländer, Im Rahmen der LV Ökonometrische Prognose o. Univ.-Prof. Dr. Robert Kunst WS 2006/2007

2 Einleitung Die Motivation für unser empirisches Projekt bestand darin die Wachstumsraten des U.S. GDP zu prognostizieren. Unser Ansatz beschränkt sich dabei auf modell-basierte zeitreihenanalytische Verfahren wie sie von Box & Jenkins (Box und Jenkins, 1970) beschrieben wurden, insbesondere auf die in der Ökonometrie verbreiteten linearen ARMAbzw. ARIMA -Modelle. Der der Modellierung zugrundeliegende Datensatz stammt vom U.S. department of commerce, bureau of economics. Die gewählte Zeitreihe beginnt mit dem ersten Quartal 1929 und endet mit dem dritten Quartal 2006, wobei das GPD mittels eines Kettenindex basierend auf den Dollarpreisen im Jahr 2000 bereinigt wurde. Von Interesse scheint der Punkt zu sein, daß jeder von uns die Verwertung der Daten und die anschließende Modellierung betreffend einen eigenen Weg eingeschlagen hat. Daraus ergeben sich drei unterschiedliche Prognosen für den zukünftigen Verlauf der Wachstumsraten des U.S. GDP. In der Folge präsentieren wir unsere drei unterschiedlichen Ansätze, wobei die ersten beiden der Verwendung von Jahreswachstumsraten den Vorzug gaben, der dritte Ansatz verfolgt das Vorhaben der Prognose anhand von Quartalswachstumsraten. Der Vorteil bei der Verwendung von Jahresdaten könnte die resultierende Saisonbereinigung sein, andererseits könnte wertvolle Information die Dynamik betreffend genau dadurch verloren gehen.

3 Prognose mit Jahresdaten Für die ersten beiden Ansätze ist es unserer Meinung nach sinnvoll, sich die Jahreswachstumsraten des amerikanischen GDP vorerst graphisch vor Augen zu führen: Abbildung 1: Jahreswachstumsraten des U.S. GDP Die Zeitreihe scheint nach dem Ende des 2. Weltkriegs eine veränderte Struktur aufzuweisen als in den Jahren davor, woraus sich zwei weitere Unterscheidungen in unseren Ansätzen der Modellschätzung ergaben. Im ersten Ansatz verwendeten wir die gesamte Stichprobe, ein sub-set Modell sollte in diesem Fall den datengenerierenden Prozeß beschreiben. Die Modellwahl ging wie folgt von statten: Zuerst wurden Modelle mit einzelnen autoregressiven termen von AR(1) bis AR(20) nacheinander geschätzt. Die vier Modelle mit den niedrigsten Akaike Informationskriterium wurden herangezogen, wobei bestimmte Kombinationen unter diesen vieren das AIC weiter verringerten. Insbesondere die beiden Modelle: AR(1_4_10) und AR(1_4_11) ergaben den besten Wert im Sinne von Akaike wie in folgender Tabelle ersichtlich ist:

4 Tabelle 1: Vergleich der besten sub-set Modelle Auf die genaue Spezifizierung des root mean squared error der insample Prognose wird in der Folge noch eingegangen, jedenfalls würde nach diesem Kriterium ein 'schlichtes' Modell mit einem autoregressiven Term der Ordnung vier gewählt. Die out of sample Prognosen der zwei besten sub-set Modelle nach Akaike für die Jahre 2006 bis 2009 sind graphisch in Abbildung 2 zusammengefasst. Als nächsten Schritt haben wir versucht, die jährliche Wachstumsrate des US-GDPs erst ab dem Jahr 1947 einem statistischen Prozess zu zuordnen. Vorerst, nachdem wir die Residuen der Nachkriegsperiode untersucht haben, schätzten wir mehrere ARMA-Modelle um mit diesen dann, durch die Informationskriterien von Akaike und Schwarz, die besten auszuwählen. Die nachfolgende Tabelle bildet einige der untersuchten Modelle und deren Informationskriterien ab.

5 AIC BIC RMSE ARMA(1,1) ARMA(1,2) ARMA(1,3) ARMA(1,4) ARMA(1,5) ARMA(2,1) ARMA(2,2) ARMA(2,3) ARMA(2,4) ARMA(3,3) ARMA(4,4) ARMA(3,4) Tabelle 2: Die Werte die in der Spalte RMSE stehen, stellen die geschätzten root mean squared errors dar, diese sind durch eine insample Prognose der besten geschätzten Modelle über den Zeitraum entstanden. Die Annahme, die dieser Überlegung zugrunde liegt war, dass die letzten Jahre ( ) auf die kommenden Jahre (Forecastperiode) das gesuchte Modell beeinflussen. Wie auch aus obiger Tabelle ersichtlich, wird das Modell ARMA(3,4) als bestes von den Informationskriterien gewählt. Das Modell ARMA(4,4) wird durch den root mean squared error gewählt. Als nächsten Schritt wurden mit diesen zwei Modellen out of sample Prognosen durchgeführt für die Jahre Die Ergebnisse der Prognosen werden in der folgenden Abbildung dargestellt. Hier finden sich auch die Ergebnisse der sub-set Modelle aus dem vorherigen Abschnitt.

6 Robert, Sigrid vs. Welt 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% ARMA(4,4) ARMA(3,4) economist consensuseconomics Robert AR(1_4_10) Robert AR(4) -2,00% ,00% Abbildung 2: Deutlich erkennbar ist hier der Niveauunterschied der sub-set Modelle zu den herkömmlichen ARMA Modellen, welche sich um den Mittelwert bewegen. Die sub-set Modelle schlagen eine deutlich positivere Wachstumsrate vor als beispielsweise die Ergebnisse des Economist und von Consensus Economics. Prognose mit den Quartalsdaten Als nächstes betrachteten wir die Quartalsdaten von 1947 (Q2) bis 2006 (Q3) und schätzten ein großes ARMA Modell, um eine from general to specific Modellselektion durchzuführen. Es wurden also immer die Prozesse der höchsten Ordnung mit dem größten p- Wert in der nächsten Schätzung weggelassen. Auch wenn die beiden Prozesse der höchsten Ordnung signifikant waren, wurde die Prozedur fortgesetzt, da manchmal wieder neue Insignifikanzen zum Vorschein kamen. Die resultierenden Modelle verglichen wir mittels der bekannten Modellselektionskriterien AIC und BIC. Darüber hinaus führten wir eine in sample

7 Prognose von 2004 (Q1) bis 2006 (Q3) durch, um den root mean squared error (RMSE, die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung der prognostizierten Werte mit den realisierten Werten) für diese Periode zu berechnen. Anschließend führten wir mit den drei für uns am besten geeignet scheinenden Modellen eine out of sample Prognose für die Periode 2006 (Q4) bis 2007 (Q4) durch. Die nächste Tabelle vergleicht die Modelle, in denen die Prozesse höchster Ordnung jeweils signifikant waren miteinander: Arma(2,2) Arma(2,4) Arma(4,5) Arma(4,6) Arma(7,7) AIC 5,5826 5,6319 5,5580 5,5712 5,6697 BIC 5,5093 5,5292 5,4103 5,4088 5,4461 RMSE 1,1152 1,2022 1,2256 1,1657 1,2511 Tabelle 3: Vergleich der Arma Modelle mit signifikanten Prozessen höchster Ordnung Aus dieser Tabelle geht ein sehr uneinheitliches Bild hervor. Das ARMA (2,2) Modell ist vom RMSE her das beste Modell, scheint also für die Prognose sehr gut geeignet zu sein. Das AIC ist beim ARMA (4,5) am niedrigsten, jedoch ist der RMSE dieses Modells sehr schlecht. ARMA (4,6) ist wiederum vom BIC her das beste Modell, auch der RMSE ist sehr niedrig. Das ARMA (2,4) Modell wiederum liegt mit dem RMSE in der Mitte und die Parameter der Prozesse waren jeweils recht hoch signifikant. Insgesamt kann man aufgrund dieser Werte nur das ARMA (7,7) Modell von vornherein weglassen, da es im Vergleich zu den anderen Modelle recht schlecht zu sein scheint. Wir entschieden uns, die out of sample Prognosen mit den Modellen ARMA (2,2), ARMA (2,4) und ARMA (4,6) durchzuführen, da diese Modelle vom RMSE her die drei besten sind. Die Ergebnisse dieser Prognosen sind in der nächsten Tabelle zusammengefasst:

8 Arma(2,2) Arma(2,4) Arma(4,6) 2006 (4) 3,0653 2,1653 2, (1) 2,9596 3,7247 3, (2) 3,0900 4,4643 2, (3) 3,3706 3,5365 3, (4) 3,6633 2,5347 3,6953 Tabelle 4: out of sample Prognosen für 2006 (Q4) bis 2007 (Q4) Aus dieser Tabelle gehen vor allem für die Modelle ARMA (3,4) und ARMA (4,6) recht hohe Prognosewerte hervor, die uns eher unrealistisch erschienen, da eine Abkühlung der Konjunktur in den USA momentan in den Medien propagiert wird. Es scheinen also andere dämpfende Einflüsse ebenfalls eine Rolle zu spielen. Verbesserungsversuche Um die Prognosegüte zu verbessern führten wir eine kombinierte Prognose durch, wie sie Ramanathan (Ramanathan, 2002) vorschlägt. Es wird vorgeschlagen eine Prognose zu erstellen, welche die gewichtete Summe der besten bereits vorhandenen Prognosen ist. Die benötigten Gewichte errechnen sich aus der Regression: Y = ß + ß Y ß Yˆ + u 0 1 ˆ1 k k t wobei Y die Daten und Yˆ i die zum jeweiligen Modell gehörenden in sample Prognosen für 1947 (Q2) bis 2006 (Q3) sind. Die resultierenden Koeffizienten ß i sind die benötigten Gewichte und u t die Fehlerterme. Als weiteren Versuch bessere Ergebnisse zu erzielen, führten wir eine Prognose mit dem Holt-Winters Verfahren (additive Version) durch, da dieses Verfahren zu einem sehr kleinen

9 RMSE geführt hatte. Die Ergebnisse der kombinierten Prognose und der Holt-Winters Prognose sind in der nächsten Tabelle dargestellt: Kombinierte Prognose Holt Winters Algorithmus RMSE 1,2310 0, (4) 1,7960 3, (1) 4,0843 4, (2) 3,6739 3, (3) 4,3277 3, (4) 3,8988 3,1581 Tabelle 5: Resultate der kombinierten Prognose und des Holt-Winters Algorithmus Aus dieser Tabelle geht hervor, dass die kombinierte Prognose eher die schlechten Elemente der einzelnen Prognosen miteinander verbindet, anstatt zu einer besseren Prognose zu führen, der RMSE ist höher als der höchste in den separaten Prognosen. Auch der Holt-Winters Algorithmus lieferte keine zufrieden stellenden Ergebnisse, obwohl der RMSE verglichen mit den anderen Modellen sehr klein ist.

10 Schlussfolgerungen Aufgrund dieser Ergebnisse kommen wir zu dem Schluss, dass das ARMA (2,2) Modell noch immer jenes ist, mit dem man die Quartalsdaten am besten prognostizieren kann. Insgesamt prognostiziert aber auch dieses Modell unserer Meinung nach systematisch zu hohe Werte, was den Schluss nahe legt, dass weiter Faktoren einen dämpfenden Einfluss ausüben, der in reinen Zeitreihenmodellen nicht berücksichtigt ist. Eine Variable, welche einen solchen Einfluss ausüben könnte ist der Zinssatz, welcher in den USA bis Mitte 2006 gestiegen ist und sich mit einer zeitlichen Verzögerung auf das Wirtschaftswachstum auswirkt. Auch der bis dahin gestiegene Ölpreis könnte zumindest auf das 4. Quartal 2006 einen dämpfenden Einfluss ausgeübt haben. Seitdem ist der Ölpreis jedoch wieder im Sinken begriffen, weshalb eine dämpfende Auswirkung für das Jahr 2007 nicht abgeleitet werden kann. Auch gewisse Einflüsse, welche nicht quantifiziert werden können, beispielsweise ein Platzen der Immobilienblase könnten mit einbezogen werden, was ein Fall für die berühmten add factors wäre. Wenn man in den Prognosen des ARMA (2,2) Modells in die Residuen einfach -0,7 hineinschreibt und dies damit begründet, dass man daran glaubt, dass die Immobilienblase platzen wird, ergeben sich Werte, die eher mit den gängigen Prognosen zusammenpassen würden.

11 Literatur Box, G. und Jenkins G. (1970): Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco: Holden-Day. Kirchgässner, G., Savioz M. (2001) Monetary Policy and Forecasts for Real GDP Growth: An Empirical Investigation for the Federal Republic of Germany. German Economic Review 2(4): Johnston, J., Di Nardo J. (1997): Econometric Methods, Fourth Edition, Mc. Graw Hill Ramanathan, R (2002): Introductory Econometrics with Applications, Fifth edition, South Western