Statistik, Datenanalyse und Simulation

Transkript

1 Dr. Michael O. Distler Mainz, 2. November 2009

2 Poisson-Verteilung Die Poisson-Verteilung ist gegeben durch: P(r) = µr e µ r! Der Mittelwert ist: r = µ Die Varianz ergibt sich aus V [r] = np(1 p) für die Binomialverteilung: V [r] = σ 2 = np = µ µ = µ = µ = µ =

3 Charakteristische Funktion Ist x eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F(x) und der Wahrscheinlichkeitsdichte f (x), so bezeichnet man als ihre charakteristische Funktion den Erwartungswert der Größe exp(ıtx): ϕ(t) = E[exp(ıtx)] also im Fall einer kontinuierlichen Variablen ein Fourier-Integral mit seinen bekannten Transformationseigenschaften: ϕ(t) = exp(ıtx) f (x)dx Insbesondere gilt für die zentralen Momente: λ n = E[x n ] = ϕ (n) (t) = d n ϕ(t) dt n = ϕ (n) (0) = ı n λ n x n f (x)dx x n exp(ıtx) f (x)dx

4 Der Zentrale Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der Gauß-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = n i=1 x i einer Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen x i mit einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert x und Varianz σ 2 geht in der Grenze n gegen eine Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert w = n x und Varianz V [w] = nσ 2.

5 Der Zentrale Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der Gauß-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = n i=1 x i einer Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen x i mit einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert x und Varianz σ 2 geht in der Grenze n gegen eine Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert w = n x und Varianz V [w] = nσ 2. Mittelwert?

6 Der Zentrale Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der Gauß-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = n i=1 x i einer Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen x i mit einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert x und Varianz σ 2 geht in der Grenze n gegen eine Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert w = n x und Varianz V [w] = nσ 2. Mittelwert? Varianz?

7 Der Zentrale Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der Gauß-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = n i=1 x i einer Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen x i mit einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert x und Varianz σ 2 geht in der Grenze n gegen eine Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert w = n x und Varianz V [w] = nσ 2. Mittelwert? Varianz? Gauß-Verteilung?

8 Beispiel für eine Stichprobe Stichprobe von 100 Längenmessungen: l i /cm n i n i l i /cm n i li 2 /cm 2 18,9 1 18,9 357,21 19,1 1 19,1 364,81 19,2 2 38,4 737,28 19,3 1 19,3 372,49 19,4 4 77,6 1505,44 19,5 3 58,5 1140,75 19, ,4 3457,44 19, ,6 3104,72 19, ,8 4312,44 19, ,1 3564,09 20, ,0 2000,00 20, ,7 2828,07 20, ,6 3264,32 20, ,7 3708,81 20, ,4 2496,96 20,5 3 61,5 1260,75 20,6 2 41,2 848,72 20,7 2 41,4 856,98 20,8 2 41,6 865,28 20,9 2 41,8 873,62 21,0 4 84,0 1764,00 21,2 P 1 21,2 449, , ,62 N = n i = 100 Mittelwert? Varianz?

9 Beispiel für eine Stichprobe Stichprobe von 100 Längenmessungen: l i /cm n i n i l i /cm n i li 2 /cm 2 18,9 1 18,9 357,21 19,1 1 19,1 364,81 19,2 2 38,4 737,28 19,3 1 19,3 372,49 19,4 4 77,6 1505,44 19,5 3 58,5 1140,75 19, ,4 3457,44 19, ,6 3104,72 19, ,8 4312,44 19, ,1 3564,09 20, ,0 2000,00 20, ,7 2828,07 20, ,6 3264,32 20, ,7 3708,81 20, ,4 2496,96 20,5 3 61,5 1260,75 20,6 2 41,2 848,72 20,7 2 41,4 856,98 20,8 2 41,6 865,28 20,9 2 41,8 873,62 21,0 4 84,0 1764,00 21,2 P 1 21,2 449, , ,62 N = n i = 100 l = 1 ni l i = 20,028 cm N ( s 2 1 = ni li 2 1 ( ) ) 2 ni l i N 1 N = 0,2176 cm 2

10 Beispiel für eine Stichprobe Stichprobe von 100 Längenmessungen: l i /cm n i n i l i /cm n i li 2 /cm 2 18,9 1 18,9 357,21 19,1 1 19,1 364,81 19,2 2 38,4 737,28 19,3 1 19,3 372,49 19,4 4 77,6 1505,44 19,5 3 58,5 1140,75 19, ,4 3457,44 19, ,6 3104,72 19, ,8 4312,44 19, ,1 3564,09 20, ,0 2000,00 20, ,7 2828,07 20, ,6 3264,32 20, ,7 3708,81 20, ,4 2496,96 20,5 3 61,5 1260,75 20,6 2 41,2 848,72 20,7 2 41,4 856,98 20,8 2 41,6 865,28 20,9 2 41,8 873,62 21,0 4 84,0 1764,00 21,2 P 1 21,2 449, , ,62 N = n i = 100 l = 1 ni l i = 20,028 cm N ( s 2 1 = ni li 2 1 ( ) ) 2 ni l i N 1 N = 0,2176 cm 2 s l = l ± N = (20,028 ± 0,047) cm s = s s ± 2(N 1) = (0,466 ± 0,033) cm

11 Beispiel für eine Stichprobe "length.dat" Gauß(µ=20.028,σ=0.466) Gauß(µ=20.0,σ=0.5) 8 Häufigkeit Länge / cm

12 Beispiel für eine Stichprobe Wie wahrscheinlich ist es, dass die Daten einer Gauß-Verteilung mit den ermittelten Parametern (µ = 20,028 cm und σ = 0,466 cm) entstammen?

13 Beispiel für eine Stichprobe Wie wahrscheinlich ist es, dass die Daten einer Gauß-Verteilung mit den ermittelten Parametern (µ = 20,028 cm und σ = 0,466 cm) entstammen? Übungen